大学数学c1练习题及答案
大学数学实操考试题及答案
大学数学实操考试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 下列哪个选项是函数f(x) = x^2 + 3x + 2的最小值？A. -1B. 0C. 1D. 2答案：B2. 函数f(x) = sin(x)在区间[0, π]上的最大值是：A. 1B. πC. -1D. π/2答案：A3. 如果一个数列是等差数列，且a_3 = 7，a_5 = 13，那么这个数列的公差d是：A. 2B. 3C. 4D. 5答案：B4. 以下哪个选项是微分方程dy/dx = x^2 - y^2的解？A. y = x^2B. y = x - 1C. y = x + cD. y = c/x答案：D5. 曲线y = x^3在点(1,1)处的切线斜率是：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：D二、填空题（每题3分，共15分）6. 极限lim (x→2) (x^2 - 4) / (x - 2) 的值是________。
答案：47. 如果函数f(x)在点x=a处可导，那么曲线y=f(x)在该点处的切线方程是y - f(a) = f'(a)(x - a)，其中f'(a)是函数f(x)在x=a处的________。
答案：导数8. 定积分∫[0, 1] x dx的值是________。
答案：1/29. 矩阵A = [1 2; 3 4]的行列式|A|是________。
答案：-210. 二阶偏导数fxx(x, y)表示函数f(x, y)对x的________偏导数。
答案：二阶三、解答题（共75分）11. （15分）计算定积分∫[1, e] (2x + 1) dx。
答案：首先计算原函数F(x) = ∫(2x + 1) dx = x^2 + x + C。
然后计算F(e) - F(1) = (e^2 + e) - (1 + 1) = e^2 + e - 2。
12. （15分）解微分方程dy/dx - 2y = 4x。
答案：首先求解齐次方程dy/dx - 2y = 0，得到y = Ce^(2x)。
大学数学精选试题及答案
大学数学精选试题及答案一、选择题1. 设函数f(x)在区间(a, b)内连续，且满足f(a)f(b) < 0，则下列结论正确的是：A. 函数f(x)在(a, b)内至少有一个零点B. 中值定理在(a, b)内不成立C. 函数f(x)在(a, b)内单调递增D. 函数f(x)在(a, b)内单调递减答案：A2. 已知数列{an}满足a1 = 1，且an+1 = an + 2n，求数列的通项公式an。
A. an = n^2B. an = n(n+1)C. an = 2n - 1D. an = 2^n - 1答案：B二、填空题3. 计算定积分∫(0到1) x^2 dx 的值为 ________。
答案：1/34. 设矩阵A为3阶方阵，且|A| = 2，则矩阵A的逆矩阵的行列式为________。
答案：1/2三、解答题5. 证明：若函数f(x)在区间[a, b]上连续，则f(x)在该区间上一定存在最大值和最小值。
证明：根据连续函数的性质，我们知道如果函数在闭区间上连续，那么它在该区间上必定有最大值和最小值。
首先，由于f(x)在[a, b]上连续，根据闭区间上连续函数的性质，f(x)在[a, b]上也连续。
因此，根据极值定理，f(x)在[a, b]上必定存在最大值和最小值。
6. 求解二元一次方程组：\[\begin{cases}x + y = 5 \\2x - y = 1\end{cases}\]解：将方程组写成增广矩阵形式，通过高斯消元法求解。
首先，我们有\[\begin{bmatrix}1 & 1 & | & 5 \\2 & -1 & | & 1\end{bmatrix}\]通过行变换，我们得到\[\begin{bmatrix}1 & 0 & | & 3 \\0 & 1 & | & -1\end{bmatrix}\]因此，方程组的解为 x = 3，y = -1。
大学-线性代数习题答案01
1 2 5 1
2 0 2 1
4 2 0 7
cc427cc3311040
1 2 3 0
2 0 2 1
10 2
14 0
4 1
10
1 2 3
10 2 (1)43
14
4 1 10 c2 c3 9 9 10
1 2 2 0 0 2 0
10
3
14
c1
1 2
c3
17
17
14
2 1 41
(2)
3 1
1 2
bf cf ef
ab ac ae
b c e
解 bd cd de adf b c e
bf cf ef
b c e
1 1 1 adfbce 1 1 1 4abcdef
1 1 1
a 1 00
(4)
1 0
b 1
1 c
0 1
0 0 1 d
解
a1 1 b 0 1
0 1 c
0 0 1
r1 ar2
0 1 0
5 2 5 4(2 个) 7 2 7 4 7 6(3 个)
(2n1)2 (2n1)4 (2n1)6 (2n1)(2n2) (n1 个)
(6)1 3 (2n1) (2n) (2n2) 2
解 逆序数为 n(n1)
3 2(1 个)
5 2 5 4 (2 个)
(2n1)2 (2n1)4 (2n1)6 (2n1)(2n2) (n1 个)
(b
a)(c
a)(d
a)(c
b)(d
b) c(c
1 b
a)
1 d(d b a)
=(ab)(ac)(ad)(bc)(bd)(cd)(abcd)
武汉大学2016-2017学年第一学期末《高等数学C1》试卷(A卷)
x 2+ax +b(x −1)(x +2) , x /= 1d x 1+cos 2x√ cos 2 x x10 1+x 2a武汉大学2016-2017学年第一学期末《高等数学C1》试卷(A 卷)一. 计算 lim n →∞ n [ln(n + 2) − ln n ].(7分)√ √ √二. 计算 lim x −√ a + x −a . (7分) x →a +x 2−a 2续.(7分)2,x = 1四. 若y = √x 2 + x − 1 − √x 2 − 2x + 3, 求d y . (7分)五. 设y = y (x )由方程y 2 + ln y 2 = x 6确定, 求d y .六. 设y = arctan 1+x , 求y II . (7分)1−x七. 求函数f (x ) = x 5 − 5x 4 + 5x 3 + 1在区间[−1, 2]上的最大值与最小值. (8分)八. 计算J 1+cos 2x d x . (7分)九. 计算J 1 d x . (7分)2+ x +1十. 计算J ln cos xd x . (7分)十一. 设f (x ) = x arctan 1+ J x e t 2 d t , 求f I(1). (7分)十二. 计算J 1(√1 + x + 2x） d x . (7分) 十一. 设0 < a < b , f (x )在[a, b ]上可导, 证明存在ξ, 使得f (b ) − f (a ) =ξf I (ξ) ln b . (7分) 十四. 设有一块边长为a 的正方形铁皮, 从四个角截去同样在的小方块, 做成一个无盖的方盒子, 问小方块边长为多少时才能使盒子的容积最大? 最大的容积为多少?(8分)一. 设f(x ) = , 求a, b 使得函数f (x )在x = 1处连− √ 2 2✓ ✓ x 2 − a 2 x → +ax →a + (x − a )(x + a )(x − a )(x + a ) 1 − − −武汉大学2016-2017学年第一学期末 《高等数学C1》试卷(A 卷)答案一. 计算 lim n →∞n [ln(n + 2) − ln n ].(7分)解.lim n →∞ n [ln(n +2) ln n ] = lim n →∞n ln(1+ 2 )(2分) = lim nn →∞ln[(1+ 2 n ) 2 ] n = 2(5分).二. 计算 limx →a +√x −√a +√x −a . (7分) x −a解.√x − √a + √x − a√x − √a √x − a ](2分)li m √ = lim [ + x − a √x − a = lim [ ✓(x − a )(x + a )(√x + √a ) + ✓(x − a )(x + a )] = √2a. (5分)三. 设f (x ) =x 2+ax +b(x −1)(x +2), x /= 1, 求a, b 使得函数f (x )在x = 1处连续.(7分)2,x = 1解. 由lim(x 1)(x + 2) = 0, 1 + a + b = 0, a = b 1(3分). 又 x →1由x 2− (b + 1)x + b = (x − 1)(x − b )及lim (x −1)(x −b ) = 1−b = 2得, b = −5.由此, a = 4(4 分).x →1 (x −1)(x +2)1+2四. 若y = √x 2 + x − 1 − √x 2 − 2x + 3, 求d y . (7分)解. 由y l =√2x +1 − √ x −1 (5分), d y = [ √2x +1 − √ x −1 ]d x.(2分) 2 x 2+x −1 x 2−2x +3 2 x 2+x −1 x 2−2x +32x →a +d x −1+cos 2xr √五. 设y = y (x )由方程y 2 + ln y 2 = x 6确定, 求d y .解. 方程两边同时对x 求导得, 2yy l + 2 y l = 6x 5(5分). 故d y = 3x 5y (2分).yd x y 2+1六. 设y = arctan 1+x , 求y ll . (7分)1−x解.1 + 1+x21 − x + 1 + x1y l= 1−x (1−x ) = 1 + (1+x )2 (1−x )2=(1 − x )2 + (1 + x )2 1 + x 2(4分),y ll = 2x.(3分)(1 + x 2)2七. 求函数f (x ) = x 5 − 5x 4 + 5x 3 + 1在区间[−1, 2]上的最大值与最小值. (8分)解. 由f l(x ) = 5x 4−20x 3+15x 2 = 5x 2(x −1)(x −3), 函数在区间[−1, 2]有驻点x = 0, x = 1(4分). 又f (−1) = −10, f (0) = 1, f (1) = 2, f (2) = −7, 函数 在区间[−1, 2]上的最大值为f (1) = 2, 最小值为f (−1) = −10(4分). 八. 计算J 1+cos 2 xd x . (7分)解.1 + cos 2x d x = 1 + cos 2x1 + cos2 x 2 cos 2 x d x (3 分) = 1 r( 1 + 1)d x = tan x + x + C. (4分)九. 计算J 21d x . (7分) cos 2 x 2 2r2 +t cos 2 xr r r −r − x 1 01+x 21 + x + 11 d x = (1 + x )32 + ln(1 + x 2)1 a解. 令t = √x + 1, 则x = t 2 − 1, d x = 2t d t (3分),1 2 + √x + 1 d x = r2t d t = 2t − 4 ln |2 + t | + C =2√x + 1 − 4 ln |2 + √x + 1| + C. (4分) 十. 计算J ln cos xd x . (7分)解.ln cos x d x = ln cos x d tan x = tan x ln cos xtan x d ln cos x(3分)cos 2 x = tan x ln cos x + rtan 2 x d x = tan x ln cos x + (11)d xcos 2 x = tan x ln cos x + tan x − x + C.(4分)十一. 设f (x ) = x arctan 1 + J x e t 2d t , 求f l(1). (7分)解. 由f l (x ) = arctan 1 − x + e x 2 (5分), f l(1) = π − 1 + e (2分).x1+x 242十二. 计算J 1 (√1 + x + 2x） d x . (7分)解.r 1 (√2x '2 1 114√2 2= 3 − 3+ ln 2. (2分)十三. 设0 < a < b , f (x )在[a, b ]上可导, 证明存在ξ ∈ (a, b ), 使得f (b )−f (a ) =ξf l (ξ) ln b . (7分)证. 令g (x ) = ln x , 则函数f (x ), g (x )在区间[a, b ]上满足Cauch 中值定理 的条件(3分). 故存在ξ ∈ (a, b )使得0 0 3 1 + x 2 0 r (5分)ξ a d x2 6 f (b ) − f (a ) = f l (ξ) = f l(ξ) .g (b ) − g (a ) g l (ξ) 1即有f (b ) − f (a ) = ξf l (ξ) ln b (4分).十四. 设有一块边长为a 的正方形铁皮, 从四个角截去同样在的小方块, 做成一个无盖的方盒子, 问小方块边长为多少时才能使盒子的容积最大? 最大的容积为多少?(8分)解. 设小正方形的边长为x , 则无盖方盒子的底边长为a − 2x , 高为x ,体积V = (a −2x )2x (3分). 由d V = (6x − a )(2x − a ), 函数V 有驻点x = a , x = a . 故小方块边长为x = a 盒子的容积最大, 此时小盒子的容积为2a 3(5分).627。
大学高数c试题及答案
大学高数c试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x)在点x=a处可导，且f'(a)=2，则下列说法正确的是：A. f(x)在点x=a处连续B. f(x)在点x=a处可微C. f(x)在点x=a处不可导D. f(x)在点x=a处的导数为0答案：A2. 函数y=x^2在区间[0,2]上的定积分为：A. 4B. 8C. 6D. 2答案：B3. 极限lim(x→0) (sin x)/x的值为：A. 0B. 1C. 2D. 不存在答案：B4. 微分方程y'' + y = 0的通解是：A. y = c1 * cos x + c2 * sin xB. y = c1 * e^x + c2 * e^(-x)C. y = c1 * x + c2D. y = c1 * x^2 + c2 * x答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x)=x^3-3x+2，则f'(x)=________。
答案：3x^2-32. 曲线y=x^2在点(1,1)处的切线斜率为________。
答案：23. 函数y=ln(x)的不定积分为________。
答案：x * ln(x) - x + C4. 微分方程y' - 2y = e^(2x)的特解为________。
答案：(1/3) * e^(2x)三、解答题（每题10分，共60分）1. 求函数y=x^3-6x^2+9x+15在x=2处的导数。
答案：将x=2代入导数f'(x)=3x^2-12x+9，得到f'(2)=3。
2. 计算定积分∫(0到1) (2x+1)dx。
答案：∫(0到1) (2x+1)dx = [x^2+x](0到1) = 1^2 + 1 - 0^2 - 0 = 2。
3. 求极限lim(x→∞) (1+1/x)^x。
答案：lim(x→∞) (1+1/x)^x = e。
4. 求微分方程y' + 2y = 6的通解。
大学数学考试试题及答案
大学数学考试试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x)=x^2-3x+2，下列哪个选项是正确的？A. f(x)在x=1处取得最小值B. f(x)在x=3处取得最大值C. f(x)在x=1处取得最大值D. f(x)在x=3处取得最小值答案：A2. 以下哪个选项是复数z=3+4i的模？A. 5B. √7C. √13D. 7答案：C3. 矩阵A=\[\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\]的行列式det(A)等于多少？A. 2B. -2C. 5D. -5答案：B4. 如果序列{an}满足a1=1，且an+1 = 2an + 1，那么a3的值是多少？A. 7B. 9C. 11D. 13答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 求极限lim(x→0)(sinx/x)的值是______。
答案：12. 给定函数g(x)=x^3-6x^2+9x+1，求g'(x)的值。
答案：3x^2-12x+93. 计算定积分∫(0 t o 1) (2x+3)dx的结果。
答案：5/24. 已知圆的方程为x^2+y^2-6x-8y+24=0，求该圆的半径。
答案：√5三、解答题（每题10分，共60分）1. 证明：如果一个数列{an}是单调递增且有界的，则它必定收敛。
答案：略2. 求解微分方程dy/dx = y/x，其中初始条件是当x=1时，y=1。
答案：略3. 计算二重积分∬(D) (x^2+y^2) dA，其中D是区域x^2+y^2≤4。
答案：略4. 证明：对于任意正整数n，n^3-n是6的倍数。
答案：略5. 给定函数f(x,y)=x^2y+2xy^2-x^2-y^2，求该函数在点(1,1)处的梯度和方向导数。
答案：略6. 证明：如果一个函数f(x)在区间[a,b]上连续，那么它在该区间上必定有最大值和最小值。
答案：略四、附加题（10分）1. 给定函数f(x)=x^3-3x^2+4，求f(x)的极值点。
大学数学1试题(A)参考答案
大学数学1试题（A）参考答案一、选择题1. 答案：C解析：题目中要求求出f(x)=3x2-7x+5的导数。
根据求导法则，导数的求法为f'(x)=[3*(2x)^(2-1)-7*(1x)^(1-1)]，即f'(x)=6x-7。
根据选项，可知C选项是正确答案。
2. 答案：B解析：题目中要求求出f(x)=2sin(x)+cos(x)的导数。
根据求导法则，导数的求法为f'(x)=2*cos(x)-sin(x)。
根据选项，可知B选项是正确答案。
3. 答案：A解析：题目中要求求出下列等差数列的前n项和。
根据等差数列的前n项和公式Sn=n*(a1+an)/2，其中a1为首项，an为末项，n为项数。
根据选项，可知A选项是正确答案。
4. 答案：D解析：题目中要求求出平面上一点到x轴的距离。
根据平面几何知识，点P(x,y)到x轴的距离为|y|，即D选项是正确答案。
5. 答案：C据求导法则，在极值点处的导数为零。
对函数f(x)求导得到f'(x)=3x2-3=0，解得x=±1。
根据选项，可知C选项是正确答案。
二、填空题1. 答案：-√3解析：题目中要求求出方程x2+3x+3=0的解。
根据二次方程求根公式，解出x=(-b±√(b2-4ac))/(2a)，代入a=1，b=3，c=3，可得到x=(-3±√(3^2-4*1*3))/(2*1)，计算得x=-√3。
2. 答案：15解析：题目中要求求出3,5,7...97的等差数列的前n项和，根据等差数列的前n项和公式Sn=n*(a1+an)/2，其中a1为首项，an为末项，n 为项数。
根据选项，可得n=16，代入公式计算得Sn=16*(3+97)/2=15*100/2=1500/2=750。
3. 答案：-1解析：题目中要求求出方程sin(x)=cos(x)的解。
根据三角函数的定义，sin(x)=cos(π/2-x)，即sin(x)=sin(π/2-x)，因此x=π/2-x+2kπ，化简得到x=-1/2+2kπ，其中k为整数。
大学数学相关考试题目及答案
大学数学相关考试题目及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 下列函数中，哪一个不是周期函数？A. y = sin(x)B. y = cos(x)C. y = e^xD. y = tan(x)答案：C2. 假设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，那么P(X=k)等于：A. λ^k / k!B. e^(-λ)λ^k / k!C. (λ^k / k!) * e^(-λ)D. (k! / λ^k) * e^(-λ)答案：B3. 在复数域中，下列哪个表达式是正确的？A. (1 - i)(1 + i) = 2B. (1 - i)^2 = -2iC. i^2 = -1D. i^3 = 1答案：C4. 以下哪个级数是收敛的？A. ∑(1/n^2) (n从1到∞)B. ∑((-1)^n)/n (n从1到∞)C. ∑n (n从1到∞)D. ∑(1/n) (n从2到∞)答案：A5. 设函数f(x) = x^2 - 4x + 3，求f(x)的最小值。
A. -1B. 0C. 3D. 4答案：A二、填空题（每题3分，共15分）6. 极限lim (x→0) [x^2 sin(1/x)] 的值是 _______。
答案：07. 假设函数f(x)在点x=a处连续，且f'(a)存在，那么f(x)在x=a处的导数为 _______。
答案：f'(a)8. 矩阵A = [1 2; 3 4] 的行列式 |A| 等于 _______。
答案：-29. 设随机变量Y服从正态分布N(μ, σ^2)，那么Y的期望值E(Y)等于 _______。
答案：μ10. 利用洛必达法则计算极限lim (x→∞) [(x^2 + 1)/(x - 1)] 的结果为 _______。
答案：x + 1三、解答题（共75分）11. （15分）证明：对于任意实数x，不等式e^x ≥ x + 1成立。
证明：首先，我们考虑函数f(x) = e^x - x - 1。
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练习一一、选择题(在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案,并将正确答案的序号填入题后的括号内。
(每小题3分,共24分 ) 1、 函数xx f -=11arctan)(当1→x 时的极限就是( C )、 (A)2π (B) 2π- (C) 0 (D) 不存在、 2、 若c x F dx x f +=⎰)()(,若0a ≠,则=+⎰xdx b ax f )(2( )、(A)cb ax F ++)(2(B))(212b ax F a+ (C)c b ax F a++)(212 (D)c b ax aF ++)(22、3、 若函数 ()⎩⎨⎧>-≤=0)1(02x x b x e x f ax 在x =0处可导,则( )、 (A) 1==b a (B) 0,1==b a (C) 1,0==b a (D) 1,2-=-=b a 、4、 函数11x x e y e +=- 就是( )、(A)偶函数 (B)奇函数 (C)非奇非偶函数; (D)既就是奇函数又就是偶函数、5、 设函数)(x f 在点a x =处可导,则=--+→xx a f x a f x )()(lim( )、(A) )(2a f ' (B) )(a f ' (C) )2(a f ' (D) 0、6、 已知x y sin =,则=)10(y( )。
(A) x sin (B) x cos (C) x sin - (D) x cos -、 7、 若()f x 与()g x 均为区间I 内的可导函数,则在I 内,下列结论中正确的就是( )、(A)若'()'()f x g x =,则 ()()f x g x = (B)若()()f x g x >,则'()'()f x g x >(C)若'()'()f x g x =,则 ()()f x g x c =+ (D)若'()'()f x g x >,则()()f x g x >、8、若()(1)(2)(3)f x x x x x =---,则方程'()0f x =根的个数为( )、（A ） 0个 (B) 1个 (C) 2个 (D) 3个、二、填空题(每题3分,共18分。
) 9、 函数2132x y x x -=-+的可去间断点为______________________、 10、 当0x →时,sin x x -就是2x 的____________(填高阶、低阶或同阶)无穷小。
11、设ln(y x =,则=dy _________ 、12.已知点(0,1)就是曲线322y x bx c =++的拐点,则b =______, c =______;13.已知()f x 的一个原函数就是2ln x ,则()f x dx =⎰_________;14、 设11()xxf x e dx ec =+⎰,则()f x = __ 、三、计算题(每题6分,共42分) 15.计算极限011lim[]ln(1)x x x→-+、16.求极限:21lim(cos )x x x →、17.设函数)(x y y =由方程2y xxy e e +=所确定,求(0)y '。
18、 设参数方程(1cos )(1sin )ttx e t y e t ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩确定函数()y f x =,求在0t =时曲线的切线方程、 19.求不定积分:2sin 3xdx ⎰、20、 计算不定积分:、21、 计算不定积分:21arctan xdx x ⎰四、解答题(8分)22、某服装公司确定,为卖出x 套服装,其单价应为 x p 5.0150-=,同时还确定,生产x 套服装的总成本可表示为225.04000)(x x C +=。
求:(1)为使利润最大化,公司必须生产多少套服装？最大利润为多少？ (2) 为实现利润最大化,其服装单价应定为多少？ 五、证明题(8分)23、证明:当0x >时,不等式tan ln(1)1arc xx x+>+成立、练习一答案一、选择题(在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案,并将正确答案的序号填入题后的括号内。
(每小题3分,共24分。
)（B ） 1、 D; 2、 C; 3、 C; 4、 B; 5、 A; 6、 C; 7、 C; 8、D 、二、填空题(每题3分,共18分。
)9、 1x =;10、高阶;11;12、 则0b =, 1c =;;13、2ln x C +;14、21x-、三、计算题(每题6分,共36分) 15.计算极限011lim[]ln(1)x x x→-+、解:011lim[]ln(1)x x x →-+0ln(1)lim ln(1)x x x x x →-+=+20ln(1)limx x x x →-+=0111(1)lim 22x x x →-+== (6分) 16.求极限:210)(cos lim x x x →、解:21)(cos lim xx x →2cos 1cos 110)1cos 1(lim x xx x x --→-+=21-=e (6分)或21)(cos lim x x x →2cos ln limxx x e→=x x x x ecos 2sin lim0-→=21-=e17.设函数)(x y y =由方程xy e e xy 2=+所确定,求(0)y '。
解:两边对x 求导数:xyey e y x y 22='+'+ 3分得:yx e x ye y +-='22 4分(0)2y '= 5分18.设参数方程(1cos )(1sin )ttx e t y e t ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩确定函数()y f x =,求在0t =时曲线的切线方程。
解:(1sin cos )t dy e t t dt -=++ ,(1cos sin )t dx e t t dt=+- 'y =/1sin cos /1cos sin dy dy dt t tdx dx dt t t++==+- 0'1t y =∴= (4分)0,2,1t x y ===所以,切线方程为: 10x y --= (2分)19、 求不定积分:2sin 3xdx ⎰解:2sin 3xdx ⎰11sin 6(1cos6)()226x x dx x C =-=-+⎰ (6分) 20.求不定积分:解:令sec x t =,则sec tan sec tan t t dt t t =⎰t C =+1arccos C x=+ (6分)21、 求不定积分:21arctan xdx x ⎰解:根据分部积分,原式1arctan ()xd x =-⎰=211arctan (1)x dx x x x -++⎰211arctan ()1x x dx xx x =-+-+⎰=211arctan ln ||ln(1)2x x x C x -+-++ (6分)四、解答题(8分)22、某服装公司确定,为卖出x 套服装,其单价应为 x p 5.0150-=,同时还确定,生产x 套服装的总成本可表示为225.04000)(x x C +=。
求: (1)为使利润最大化,公司必须生产多少套服装？最大利润为多少？ (2) 为实现利润最大化,其服装单价应定为多少？解:(1)400075.0150)()()(2--=-=x x x C x R x L ( 2分)x x C x R x L 5.1150)()()(-=-='令05.1150)(=-=='x x L ,得100=x (套) ( 2分)因为05.1)(<-=''x L ,唯一驻点100=x 即为最大值点,故生产100套服装,其利润最大,最大利润为3500)100(=L (元) ( 2分)(2)实现最大利润所需的单价为1001005.0150=⨯-=p (元)。
(2分)五、证明题(8分)23.证明:当0x >时,tan ln(1)1arc xx x+>+成立。
证明:作函数()(1)ln(1)arctan f x x x x =++-,则(0)0f =, (2分 )2221()ln(1)1ln(1)011x f x x x x x'=++-=++>++ (2分 )、 所以,()f x 在(0,)+∞上就是增函数, (2分)故,当0x >时,()(0)0f x f >=,即:(1)ln(1)arctan 0x x x ++->,由此,得当0x >时, tan ln(1)1arc xx x+>+ (2分)练习二一、选择题(在每题的四个备选答案中选出一个正确答案,并将正确答案的序号填入题后的括号内。
(每题3分,共24分)1.当0x 时,与2sin x 等价的无穷小量就是( )、A .ln(1)x +B 、 tan xC 、 2(1cos )x -D 、 1xe -2、 设221()32x f x x x -=-+,则0x =就是()f x 的( )、A.可去间断点 B 、 连续点 C.跳跃间断点 D 、 振荡间断点 3.若()f x 在x 0处可导,则000(2)()limh f x h f x h→--=( )、A.20()f x 'B.02()f x '-C.01()2f x ' D.0()f x ' 4.设已知sin ,y x = 则()10y=( )、A 、sin xB 、 sin x -C 、 cos xD 、 cos x -5、 函数1sin0()0ax x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在点0x =处可导,则( )、A.0a ≥B. 01a ≤<C. 1a >D. 0a ≤ 6、 已知()ln f x dx x x C =+⎰,则()f x dx '=⎰( )、A.ln x x C +B. ln x xC. ln 1x +D. ln x C +7.若x x f 22cos )(sin =',则)(x f =( )、A.C x x +-2sin 21sin B.C x x +-sin cosC.C x x +-221 D.C x x +-221二、填空题(每空3分,共18分)9、 0x =就是函数11()2xf x e=+的__________________间断点、10.极限 201sinlimsin x x x x→=______________________、11.函数)12sin(2-=x y ,则dy=___________________、12、 已知参数方程()cos sin x a t y a t t =⎧⎨=-⎩确定函数()y f x =, 则2t dydx π==___________ 、13.设曲线21x y e -=与1x =-的交点为P,则曲线在点P 处的切线方程为________________、 14、 设函数()xf x e -=,则(ln )f x dx x'=⎰_____________________、 三、计算题 (每题6分,共42分)15.求极限:011lim 1x x x e →⎛⎫-⎪-⎝⎭、 17.求函数3226187y x x x =---的单调区间、极值、凹凸区间及拐点、18.设方程x yxy e+=确定了函数()y f x =,求dydx,dy 19.求不定积分22x xedx -⎰、20.求不定积分2ln x xdx ⎰、四、解答题 (共16分)22.(6分)证明:当0x >时, 1ln(x x +>、练习二答案一、C,B,B,B,C,D,C二、9.跳跃(第一),10、 0, 11、 ,)12cos(42dx x x - 12、 1-, 13、230x y -+=,14、 1c x+三、15.解:()0001111lim lim lim 111x x x xx x x x x e x e x e e xe x e →→→---⎛⎫-== ⎪--+-⎝⎭01lim 22x x x x e e xe →==+(6分)17.解:2612186(1)(3)y x x x x '=--=+-,1212y x ''=-,令0y '=,0y ''=,得:1,3,1x x x =-==单增区间:(,1)-∞-与(3,)+∞,单减区间:(1,1)-,极大值(1)3f -=,极小值(3)61f =- 凸区间:(,1)-∞,凹区间:(1,)+∞,拐点:(1,29)- (6分)19.解:22x xe dx-⎰2222211(2)44x x e d x e C --=--=-+⎰、 (6分) 20.解:2ln x xdx ⎰332331111ln(ln )ln 3339xdx x x x dx x x x C ==-=-+⎰⎰ (6分) 四、22.解:t =,则302121t dt t =+⎰222111111222(1)2(ln(1))2(1ln )113t dt t t t t +-==-=-+=+++⎰⎰ (6分)22.证明:令函数()1ln(f x x x =+则(0)0f =。