第4章二次曲面的一般理论资料
二次曲面
一、曲面方程的概念
曲面的实例：水桶的表面、台灯的罩子面等．
如果空间图形与三元方程（组）有下述关系：点在图形上点的坐标满足方程（组）
则称这个方程（组）为这个曲面的方程，而这个曲面就称为这个方程的图形．
如前面讲过的平面 Ax+By+Cz+D= 0．
平面是曲面的特殊情形，我们已经知道，关于 的一次方程 的图形是平面。本节将讨论几种常见的用 的二次方程所表示的曲面。这类曲面称为二次曲面。
它表示母线平行于 轴的圆柱面与 坐标面的交线。因此可知表示空间曲线的方程组不是惟一的。
（2）空间曲线的参数方程
对空间曲线来说 上动点 的坐标 也可以用一个变量 的函数来表示，形如
当 时就得到 上一个点（ ），随着 的变化便可得到 上所有点。上方程组称为空间曲线的参数方程
如 为曲线 的参数面与锥面的交线为
：
由方程消去 ,得
这是一个母线平行于z轴的圆柱面。
于是交线C在 面上的投影曲线方程为
五、小结：学生应对已知曲面方程能知道所表示曲面的形状。知道各种常用立体的解析表达式，对投影等应特别注意。
六、作业：习题一28（1）、29（1）、（3）、（5）31（1）.
备注
第四节二次曲面与空间曲线
教学要求：(1)了解以坐标轴为旋转轴的旋转曲面方程；母线平行于坐标轴的柱面及常见的二次曲面方程及图形；空间曲线的参数方程和一般方程。
(2)会求简单空间曲线在坐标面上的投影。
教学重点：常见的二次曲面方程及图形（柱面、旋转曲面、椭球面、圆锥面）；
教学难点：旋转曲面
教学方法：启发讲解法；
我们只讨论准线在坐标面上，而母线垂直于该坐标轴的柱面．.
设柱面的准线为 面上的曲线 ： ，母线平行于 轴，求该柱面的方程。
高等数学二次曲面
高等数学二次曲面引言在高等数学中，二次曲面是一类重要的曲面，它们在空间中具有特定的几何性质和数学定义。
本文将介绍二次曲面的定义、分类以及一些重要的性质和应用。
定义二次曲面是定义在三维空间中的曲面，它可以用一个二次方程的方程来表示。
二次曲面的方程一般具有以下形式：Ax^2 + By^2 + Cz^2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0其中，A、B、C、D、E、F、G、H、I和J是实数。
当方程中的系数满足一些条件时，可以得到不同种类的二次曲面。
分类根据方程中系数的特点，可以将二次曲面分为以下几类：1. 椭球面当A、B和C的系数都为正时，方程表示一个椭球面。
椭球面具有两个主轴，其中两个主轴的长度由A、B和C的值决定。
椭球面在物理学、天文学和工程学等领域有广泛的应用。
2. 单叶双曲面当A、B和C的系数分别为正、负和负时，方程表示一个单叶双曲面。
单叶双曲面有一个中心点，可以通过平移和旋转变换得到不同的形状。
3. 双叶双曲面当A、B和C的系数分别为负、负和正时，方程表示一个双叶双曲面。
双叶双曲面同样有一个中心点，可以通过平移和旋转变换得到不同的形状。
4. 椭圆抛物面当D、E和F的系数都为零时，方程表示一个椭圆抛物面。
椭圆抛物面具有一个焦点和一条对称轴，可以通过平移和旋转变换得到不同的形状。
5. 双曲抛物面当D、E和F的系数至少有一个不为零时，方程表示一个双曲抛物面。
双曲抛物面同样具有一个焦点和一条对称轴，可以通过平移和旋转变换得到不同的形状。
6. 椭圆锥面当A、B、C的系数满足一个特定的条件时，方程表示一个椭圆锥面。
椭圆锥面可以看作是椭球面在一个主轴的方向上无限延伸而成的曲面。
7. 双曲锥面当A、B、C的系数满足另一个特定的条件时，方程表示一个双曲锥面。
双曲锥面同样可以看作是椭球面在一个主轴的方向上无限延伸而成的曲面。
性质和应用二次曲面具有许多重要的性质和应用，以下是其中的一些：•二次曲面对称性：对于大多数二次曲面，它们都具有某种对称性，可以通过变换来描述这种对称性。
简单的二次曲面
1 2 1 v 0 r dz 0 ( x 2 y 2 )dz
2 1 0 [ z
2 (1 z ) ]dz . 3
2
（4）锥面
一条动直线通过一定点且沿空间一条固定曲线移动 所产生的曲面称为锥面。动直线称为母线，定点称 为顶点，固定曲线称为准线。
圆锥方程（半顶角a)
同理与平面 x=k 和 y=k 的交线也是椭圆. 椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化.
椭球面的几种特殊情况：
x2 y2 z2 (1) a b, 2 2 1 旋转椭球面 2 a a c 2 2 x z 由椭圆 2 2 1 绕 z 轴旋转而成． a c x2 y2 z2 2 1 方程可写为 2 a c
半径为2 的圆
斜率为1的直线
以z 轴为中心轴的圆柱面
平行于 z 轴的平面
（5）椭球面
x2 y2 z2 2 2 1 2 a b c
图形有界，并且关于坐标面对称。
椭球面与 三个坐标面 的交线：
2 z2 x2 2 1 , a c y 0
2 y2 x2 2 1 , a b z 0
f ( y1 , z1 ) 0
2 2 z z , y x y 将 1 代入 f ( y1 , z1 ) 0 1
得方程
f x 2 y 2 , z 0,
yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y , z ) 0 绕 z 轴
旋转一周的旋转曲面方程.
同理： yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y , z ) 0 绕 y 轴旋转一周的旋转曲面方程为
柱面方程：F(x,y)=0
F ( x , y ) 0, 准线方程 z 0.
4.3二次曲面
§4.3 二次曲面本节重点：掌握五种标准二次曲面的方程、变量范围、对称性、平截线等性质。
前两节主要研究对于具有较突出几何特征的曲面如何建立它们的方程.本节将研究具有标准方程的二次曲面, 如何通过对方程的一些定性讨论和平行截割法,考察曲面的形状。
所谓平行截割法，就是用平行于坐标面的一族平面去截割曲面，通过它们的交线（叫截线或截口）的形状和变动规律，想象、了解和直观表示整个曲面的大致形状。
在空间直角坐标系下，三元二次方程表示的图形叫做二次曲面，已介绍过的二次柱面， 二次锥面都是二次曲面的特例。
本节再讨论如下五种二次曲面。
(一)椭球面4 .3 .1定义 由方程1222222=++cZ b Y a X (4.3.1) 表示的曲面叫做椭球面（或椭圆面）；方程（4.3.1）叫做椭球面的标准方程，其中c b a ,,均为正的常数。
球面和旋转椭球面都是特殊的椭球面。
下面利用标准方程（4.3.1）讨论这椭球面的一些简单性质： Ⅰ、对称性由于方程（4.3.1）中仅含坐标扣平方项，若将坐标Z Y X ,,中的一个，两个或三个改号，则方程不变，所以椭球面（4.3.1）含有它的每个点关于三个坐标面，三条坐标轴及原点的对称点。
[注]: 即它关于三个坐标面，三条坐标轴以及原点都是对称的。
Ⅱ、主截线，顶点与半轴曲面与其对称平面的截线叫做曲面的主截线，而与其对称轴的交点叫做曲面的顶点。
椭球面（4.3.1）在XOY 面，XOZ 面，YOZ 面上的主截线分别为⎪⎩⎪⎨⎧==+012222Z bY a X (4.3.2) ⎪⎩⎪⎨⎧==+012222Y cZ a X (4.3.3) ⎪⎩⎪⎨⎧==+012222X cZ b Y (4.3.4) ───────────────────────[注] 所谓两点',P P 关于一平面α成(镜面)对称，即α是线段'PP 的垂直平分面；两点',P P 关于一直线L 成(轴) 对称,即L 为线段'PP 的一条垂直平分线；两点',P P 关于一点成(中心)对称,即此点为线段'PP 的中点。
二次曲面一般式
二次曲面一般式摘要：一、二次曲面的定义二、二次曲面的分类1.椭圆曲面2.双曲线曲面3.抛物线曲面三、二次曲面的性质1.标准方程2.参数方程3.二次曲面的对称性四、二次曲面的应用1.数学领域2.物理领域3.工程领域正文：二次曲面是数学中的一种曲面，它的定义可以表示为二次方程的曲面。
在三维空间中，二次曲面是一个与二次方程相关的曲面。
根据二次方程的不同，二次曲面可以分为椭圆曲面、双曲线曲面和抛物线曲面三类。
1.椭圆曲面椭圆曲面是一种二次曲面，它的标准方程为：(x^2 / a^2) + (y^2 / b^2) = 1其中a和b分别表示椭圆的长短轴。
椭圆曲面在数学和物理领域中都有着广泛的应用，比如在光学和天文学中，椭圆曲面常用于描述光的传播和成像。
2.双曲线曲面双曲线曲面是另一种二次曲面，它的标准方程为：(x^2 / a^2) - (y^2 / b^2) = 1或(x^2 / b^2) - (y^2 / a^2) = 1其中a和b分别表示双曲线的长短轴。
双曲线曲面在数学和物理领域中也有广泛的应用，例如在电场和磁场的研究中，双曲线曲面可以用于描述电荷和电流分布。
3.抛物线曲面抛物线曲面是一种特殊的二次曲面，它的标准方程为：y = ax^2 + bx + c或x = ay^2 + by + c其中a、b和c是常数。
抛物线曲面在数学和工程领域中都有广泛的应用，例如在计算机图形学和机器人运动控制中，抛物线曲面可以用于描述物体的运动轨迹。
二次曲面不仅具有标准方程和参数方程，而且还具有丰富的性质和应用。
例如，二次曲面的对称性可以通过其标准方程或参数方程进行判断。
在数学领域，二次曲面是代数几何、微分几何和拓扑学等学科的重要研究对象。
二次曲面部分内容总结归纳
二次曲面部分内容总结归纳在数学中，二次曲面是一类重要的曲线图形，具有广泛的应用。
本文将对二次曲面的定义、性质以及常见的二次曲面进行总结归纳，以帮助读者更好地理解和应用这一内容。
一、二次曲面的定义和特点二次曲面是由二次方程定义的曲面，其一般方程可以表示为Ax² + By² + Cz² + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0，其中A、B、C、D、E、F、G、H、I、J为系数。
1. 定义：二次曲面是在三维空间中满足以上方程的点的集合。
它是由平面或曲线与另外一个平面所构成的立体。
2. 分类：根据系数之间的关系，二次曲面可以分为椭球面、双曲面、抛物面和圆锥曲面等。
3. 对称性：二次曲面通常具有一定的对称性，例如椭球面关于三个坐标轴对称，双曲面关于两个坐标轴对称，抛物面则关于一个坐标轴对称。
二、常见的二次曲面下面将介绍几种常见的二次曲面及其特点：1. 椭球面：椭球面是指A、B、C系数均为正数的二次曲面。
它可以是一个三维椭球，具有三个轴，其中有一个是最大的主轴。
2. 双曲面：双曲面是指A、B、C系数有正有负的二次曲面。
它可以是两个相交的曲面，呈现典型的双曲线形状。
3. 抛物面：抛物面是指A、B系数有一个为零的二次曲面。
它可以是开口向上或向下的形状，对称于坐标轴。
4. 圆锥曲面：圆锥曲面是指除了A、B、C系数外，D、E、F系数都为零的二次曲面。
它可以是圆锥的侧面，或者是圆锥的顶部和底部。
三、二次曲面的应用二次曲面具有广泛的应用，其中一些常见的领域包括：1. 几何学：二次曲面在几何学中的应用非常广泛，如描述平面、曲线和曲面之间的关系，解决几何问题等。
2. 物理学：在物理学中，二次曲面可以用来描述电磁场、电荷分布和光学等现象。
3. 工程学：二次曲面在工程学中常用于描述悬索桥、天线接收器的覆盖范围等。
4. 经济学：二次曲面可以用于描述经济模型中的供需曲线、成本函数等。
二次曲面形的性质及求法
二次曲面形的性质及求法二次曲面是一个重要的数学概念，它在图像处理、物理学、工程学等领域中都有重要的应用。
本文将介绍二次曲面的性质及其求法。
一、二次曲面的定义二次曲面是指具有二次项（或更高次项）的二元多项式所构成的曲面。
一般二次曲面的方程可以写为以下形式：$$ax^2+by^2+cz^2+2fxy+2gxz+2hyz+d=0$$其中，$a,b,c,f,g,h$和$d$均为实数，并且至少其中一项系数不为零。
二、二次曲面的性质1.对称性对于任意一个二次曲面，它都具有以下三种对称性：（1）关于$x$轴的对称性当$a=b$且$f=g=h=0$时，二次曲面具有关于$x$轴的对称性。
（2）关于$y$轴的对称性当$a=c$且$f=h=g=0$时，二次曲面具有关于$y$轴的对称性。
（3）关于$z$轴的对称性当$c=b$且$h=g=f=0$时，二次曲面具有关于$z$轴的对称性。
2.焦点和直线二次曲面的焦点是指使二次曲面上的所有点到其确定的两个固定点的距离之比等于一个定值的点对。
二次曲面的焦线是指对于二次曲面上的任一点，都满足其到焦点的距离与到焦线的距离之比等于一个定值。
3.标准形式通过线性代数的方法，可以将任意一个二次曲面通过坐标变换，化为以下标准形式：$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$$其中，$a,b,c$为正实数，分别代表$x,y,z$轴上的半轴长。
三、二次曲面的求法1.第一种方法：配方法配方法是求解二次曲面的一种基本方法。
通过将二次曲面的方程变形为一个平方差式，来实现对二次曲面的求解。
例如，对于方程$4x^2+y^2+z^2+4xy+4xz+2yz=1$，可以通过配方法将其变为以下形式：$$\bigg(2x+\frac{y}{2}+\frac{z}{2}\bigg)^2+\frac{3}{4}y^2+\frac{3} {4}z^2=1$$我们最终得到的形式就是一个椭球面的标准形式。
高等数学 二次曲面
（3）用坐标面 yoz ( x = 0)， x = x1与曲面相截 ） 均可得抛物线. 均可得抛物线 时可类似讨论. 同理当 p < 0, q < 0 时可类似讨论
2007年8月 南京航空航天大学 理学院 数学系` 9
椭圆抛物面的图形如下： 椭圆抛物面的图形如下：
z o x y z
x
o
y
p < 0, q < 0
2007年8月
南京航空航天大学 理学院 数学系`
19
思考题
x 2 − 4 y 2 + z 2 = 25 方程 表示怎样的曲线？ 表示怎样的曲线？ x = −3
2007年8月
南京航空航天大学 理学院 数学系`
20
思考题解答
2 2 − 4 y + z = 16 x 2 − 4 y 2 + z 2 = 25 ⇒ . x = −3 x = −3
表示双曲线. 表示双曲线.
2007年8月
南京航空航天大学 理学院 数学系`
21
练 习 题
y2 + z2 − 2x = 0 一、求曲线 ，在 xoy 面上的投影曲线 z = 3 的方程， 的方程，并指出原曲线是什么曲线 . 画出方程所表示的曲面： 二、画出方程所表示的曲面： z x2 y2 1、 = + ； 3 4 9 2、16 x 2 + 4 y 2 − z 2 = 64 . 画出下列各曲面所围成的立体的图形： 三、画出下列各曲面所围成的立体的图形： y 1、 x = 0 , z = 0 , x = 1 , y = 2 , z = ； 4 2、 x = 0 , y = 0 , z = 0 , x 2 + y 2 = R 2 , y 2 + z 2 = R 2 (在第一卦限内 在第一卦限内) (在第一卦限内) .
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0 00
i, j, k在下的坐标分别为
(c11, c21, c31), (c12 , c22 , c32 ), (c13 , c23 , c33 )
则(i,
j, k)
(i,
c11 j, k ) c21
c12 c22
c13 c23
为了以后讨论的方便，我们引进一些记号：
F(x, y, z) ≡a x2 + a y2 + a z2 + 2a xy
11
22
33
12
+ 2a xz + 2a yz + 2a x + 2a y + 2a z + a = 0
13
23
14
24
34
44
F (x, y, z) ≡a x + a y + a z + a
x
从而有：
y
x0 y0
c11 x c12 y c21x c22 y
c13 z c23z
z z0 c31 x c32 y c33z
记x ( x, y, z)T，x ( x, y, z)T , x0 ( x0 , y0 , z0 )T
x y
x0 y0
c11x c21x
c31 c32 c33
其中矩阵T (cij )称为从到的过度矩阵
任一点P在和下坐标分别是( x, y, z)，( x, y, z)
OP OO OP ( x0 i y0 j z0 k) ( xi y j zk) ( x0 i y0 j z0 k ) x(c11 i c21 j c31 k ) y(c12 i c22 j c32 k ) z(c13 i c23 j c33 k ) ( x0 c11 x c12 y c13z)i ( y0 c21 x c22 y c23z) j (z0 c31x c32 y c33z)k
x
移
轴公式为:
y
x y
x0 y0
z z z0
四、转轴变换
设 {O;i, j, k}及 {O;i, j, k}两个直角坐标系 新坐标系可以看成原坐标系绕原点O旋转， 使得i, j, k分别与i, j, k重合得到的， 这种坐标变换叫旋转变换，简称转轴
设i, j, k在直角坐标系Oxyz中的方向角分别为 i，i，i；i 1,2,3 i i cos 1 j cos1 k cos 1, j i cos 2 j cos2 k cos 2 , k i cos 3 j cos3 k cos 3;
第四章 二次曲面的一般理论
§4.1 空间直角坐标变换
一、一些常见的记号
在空间中,由三元二次方程
a11x2 a22 y2 a33z2 2a12 xy 2a13 xz 2a23 yz 2a14 x 2a24 y 2a34z a44 0
表示的曲面叫二次曲面
其中aij为实常数，且a11, a22, a33, a12, a13, a23不全为零
a12 a13 a14
a22 a23 a24
a23 a33 a34
a24
a34 a44
a11 A* a12
a13
a12 a22 a23
a13 a23 a33
分别称为二次曲面F( x, y, z) 0和( x, y, z)的矩阵
利用矩阵法可以写成
a11 a12 a13 x ( x, y, z) ( x y z) a12 a22 a23 y
1111213 Nhomakorabea14
F (x, y, z) ≡a x + a y + a z + a
2
12
22
23
24
F (x, y, z) ≡a x + a y + a z + a
3
13
23
33
34
F (x, y, z) ≡a x + a y + a z + a
4
14
24
34
44
记Φ(x, y, z) ≡a x2 + a y2 + a z2 + 2a xy + 2a xz + 2a yz
11
22
33
12
13
23
Φ (x, y, z) ≡a x + a y + a z
1
11
12
13
Φ (x, y, z) ≡a x + a y + a z
2
12
22
23
Φ (x, y, z) ≡a x + a y + a z
3
13
23
33
Φ (x, y, z) ≡a x + a y + a z
4
14
24
a13 a23 a33 z
a11 a12 a13 a14 x
F(x, y, z) (x
y
z
1)
a12
a13 a14
a22 a23 a24
a23 a33 a34
a24 y
a34 a44
z 1
二、直角坐标变换
设 {O; i, j, k}及 {O; i, j, k}
c12 c22
y y
c13z c23z
z z0 c31x c32 y c33z
可以化为x T x x0
两个式子 都称为点的 直角坐标变换公式
其中T
c11 c21
c12 c22
c13 c23
c31 c32 c33
c121 c221 c321 1, c11c12 c21c22 c31c32 0 c122 c222 c322 1, c12c13 c22c23 c32c33 0 c123 c223 c323 1, c11c13 c21c23 c31c33 0
六个关系式为正交的条件，则T也是正交矩阵 则T 1 T T
{O;i, j, k}及{O;i, j, k}都是右手系
(i, j, k) (i, j, k) 1 c11 c12 c13
det T c21 c22 c23 1 c31 c32 c33
三、移轴变换
设 {O;i, j, k}及 {O;i, j, k}空间两个直角坐标系 点O在下的坐标是( x0 , y0 , z0 ), 到的坐标变换称为平移变换，简称为移轴，
34
则F(x, y, z) ≡xF (x, y, z) + yF (x, y, z)
1
2
+ zF (x, y, z) + F (x, y, z)
3
4
Φ(x, y, z) = xΦ (x, y, z) + yΦ (x, y, z)
1
2
+ zΦ (x, y, z)
3
a11 a12 a13 a14
A