2019年高等数学专升本真题(回忆版)

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2019 年成人高校专升本招生全国统一考试高等数学（二）

2020/11~122019年成人高校专升本招生全国统一考试本试题共150分，考试时间150分钟。

一、选择题：1~10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.lim x →∞（1+2x ）x=A.-e 2B.-eC.eD.e 22.设函数y =arcsin x ，则y ′=A.-11-x 2√B.11-x 2√ C.-11+x 2D.11+x23.设函数f （x ）在a ，b []连续，在（a ，b ）可导，f ′（x ）＞0，f （a ）f （b ）＜0，则f （x ）在（a ，b ）零点的个数为A.3B.2C.1D.04.设函数y =x 3+e x ，则y （4）=A.0 B.e x C.2+e x D.6+e x5.d d x∫11+x2d x =18.设函数z =x arcsin y ，则ə2z əx2=.19.幂级数∞n =1∑nx n 的收敛半径为.20.微分方程y ′=2x 的通解y =.三、解答题：21~28题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

21.（8分）若lim x →0sin x +2kx x =2，求k .22.（8分）设函数y =sin （2x -1），求y ′.23.（8分）设函数y =x ln x ，求y ″.24.（8分）计算∫（x 13+e x ）d x .25.（8分）设函数z =1x -1y ，求x 2əz əx +y 2əz əy .26.（10分）设D 是由曲线x =1-y 2，x 轴，y 轴在第一象限围成的有界区域.（1）求D 的面积S ；（2）求D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积V .27.（10分）求微分方程y ″-5y ′-6y =0的通解.28.（10分）计算D∬（x 2+y 2）d x d y ，其中D 是由曲线x 2+y 2=1，y =x ，x 轴在第一象限围成的有界区域.. All Rights Reserved.2020/11~12A.arctan xB.arccot xC.11+x 2D.06.∫cos2x d x =A.12sin2x +C B.-12sin2x +CC.12cos2x +CD.-12cos2x +C7.1∫（2x +1）3d x=A.-10 B.-8C.8D.108.设函数z=（x-y ）10，则əz əx=A.（x-y ）10B.-（x-y ）10C.10（x-y ）9D.-10（x-y ）99.设函数z =2（x-y ）-x 2-y 2，则其极值点为A.（0，0）B.（-1，1）C.（1，1）D.（1，-1）10.设离散型随机变量X 的概率分布为X -1012P 2aa3a4a则a =A.0.1 B.0.2C.0.3D.0.4二、填空题：11~20小题，每小题4分，共40分。

2019年浙江省专升本高等数学真题参考答案

2019年专升本<<高等数学>>真题答案解析一、选择题：本题共有5个小题，每小题4分，共20分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.1.D【解析】极限精确定义，若存在a x n n =∞→lim ，则对于ε<->∃>∀a x N n a n ,,0.2.A【解析】B 应改为0→h ，C 是可导的必要条件，D 改为∞→h .3.B【解析】原式=⎰∑+=⋅+=∞→101sin 11sin1limdx x n n i ni n ππ4.B【解析】A.条件收敛B.0cos lim 2≠∞→n n 发散C.2=x 为瑕点，D.令t x tan =,则()20323arctan 442sin 2(22cos 1sec 11123arctan 23arctan 23arctan 2322+-=-=+==+⎰⎰⎰∞+ππππt t dt t dt tdx x 5.C 【解析】由044=+'-''y y y ，特征方程0442=+-r r ，即()022=-r ，所以()xe x c c y 221+=二、填空题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.6.解：ee e e nn nnn nn n n n n n n n ====+=+∞→∞→⋅⋅⋅∞→∞→111sin lim1sin lim 1sin 1sin 1)1sin 1(lim 1sin 1(lim 7.解：10)5(,2)(-='-='h t t h 8.解：x e a e a x xe a x x x x x x x x 2lim )(21lim )()1ln(cos 1lim 032030-=-=-+-→→→极限存在且不等于0，且02lim 0=→x x ，1,01)(lim 0=∴=-=-∴→a a e a xx ，且212lim 0-=-→x e a x x .362122arcsin41212πππ=-==-⎰x dx x9.t t t t t t dtdx dt dx dy d dx y d ttt dx dy t dt dx t dt dy 33222cos 1sec cos sec cos )tan ((tan cos sin ,cos ,sin -=-=-='-==-=-==-=解：10.解：222011000sin ()sin lim lim lim lim (0,)xn n n n x x x x t dt g x x x C x xnx nx --→→→→====≠≠∞⎰所以12,3n n -==即.11.解：由定积分的几何意义可得，定积分为41圆的面积，211144ππ=⋅⋅=⎰.12.解：方程两边分别对x 求导得，(1)()0x yey y xy +''+-+=所以x yx y y e y e x ++-'=-,所以dy dx ++--==--x y x y y e y xy e x xy x.13.解:(),x ∈-∞+∞236,66,y x x y x '''=+=+令0,1y x ''==-解得当1,0x y ''<-<时;1,0x y ''>->时所以，拐点为(1,2)-.14.解:222221111322x V dx xdx x ππππ====⎰⎰.15.解:2()39,9(ln 9)9(2ln 3)====x x n x n x ny y 三、计算题：本大题共8小题，其中16—19小题每小题7分，20—23小题每小题8分，共60分.16.解：原式00011(1)11111lim lim lim 222(1)2x x x x x x x x x →→→-+--++====-+.17.解:()ln(2cos )x y x x x π=++=ln ln(2cos )xx x e π++ln ln(2cos )x xx e π=++ln sin (ln 1)2cos x x x y e x x πππ-'=+++sin (ln 1)2cos x xx x xπππ-=+++(1)1y '=1(1)x dyy dx dx ='==.18.解:2,,2t x t dx tdt===则sin 22(cos )2(cos cos )2(cos sin )+Ct tdt td t t t tdt t t t =⋅=-=--=--⎰⎰⎰原式sin C =-+.19.解:当02x π≤<时，000()()cos sin sin x x xp x f t dt tdt tx ====⎰⎰；当2x ππ≤<时，222000221()()cos sin 2x x p x f t dt tdt tdt tt πππππ==+=+⎰⎰⎰221128x π=+-；22sin ,[0,)2()()11,[,]282ππππ⎧∈⎪⎪∴==⎨⎪+-⎪⎩⎰xx x p x f t dt x 20.解:距离为8s =⎰2,1,2u t u dt udu ==-=则，当0,1;8,3t u t u ====时当时283320113313=26(1)16()403s udu u duu u u =⋅=-=-=⎰⎰⎰（u -1）物体运动到8秒时离开出发点的距离为40米.21.解:2lim ()lim ()x x f x x a a --→→=+=0lim ()lim (1)0ax x x f x e ++→→=-=若2,0()1,0axx a x f x e x ⎧+≤=⎨->⎩在0x =处可导，则它在0x =处一定连续，所以0lim ()x f x -→=0lim ()(0)x f x f +→=，所以(0)0f a ==200()(0)(0)lim lim 0x x f x f x f x x ---→→-'===00()(0)0(0)lim lim 0x x f x f f xx +++→→-'===所以当0a =时，(0)0f '=，也就是函数2,0()1,0axx a x f x e x ⎧+≤=⎨->⎩在0x =处可导.22.解:平面1π的法向量为(1,1,1)=-1n ，平面2π的法向量为2(1,0,1)=-n ，所求直线的方向向量为111211⨯=-=++-12i j ks =n n i j k 又已知所求直线过点(1,0,2)A ，所以，所求直线方程为12121x y z --==.22.解：11lim lim 11n n n n n nu x nx u n x +-→∞→∞=⋅=<+收敛区间为(-1,1)当1=x 时，级数11n n ∞=∑发散；当1-=x 时，级数11(1)n n n -∞=-∑收敛；所以，收敛域为)1,1[-令111()n n S x x n ∞-==∑,则11()nn x S x xn∞=⋅=∑111(())1n n x S x x x∞-='⋅==-∑0001()ln(1)1ln(1)0()0ln(1)(0)lim ()lim1ln(1),[1,0)(0,1)()1,0xx x x S x dt x tx x S x xx x S S x xx x S x xx →→∴⋅==-----∴≠==--===--⎧∈-⋃⎪=⎨⎪=⎩⎰当时，当时，由和函数在收敛域内连续可导得，综上，11111()2ln 222-∞=⎛⎫∴== ⎪⎝⎭∑n n S n 四、综合题：本大题共3小题，每小题10分，共30分.24.解:32(4)1,(),()263OBPMBPN xy x S x S f t dt y x +'=⋅==+⎰322()41()263()4()()22214()()x f x x x f t dt f x x x f x f x f x f x x x x+⋅+=++'+-='-=-⎰由题意，化简，即，1124()(())4((1))dxdx xxf x ex e dx c xx dx c x ---⎰⎰=-+=-+⎰⎰224()4(2)0,4()44=++=++=∴=-∴=-+ 又x x c xx cx f c f x x x 25.解：成本为32()2123021c x x x x =-++323222()60()()()60(2123021)2123021,(0)()624306(45)()0,51r x x y x r x c x x x x x x x x x y x x x x x x y x x x ==-=--++=-++-≥'=-++=---'===-收入为利润为令得：或（舍）x （0,5）5（5，+∞）()y x '+0-()y x 179所以，5x =是利润()y x 的极大值点，又因为5x =是()y x 的唯一驻点，所以5x =是利润()y x 的最大值点.(5)179=y .因此公司应生产5千件产品时，公司取得最大利润，并且最大利润为179万元.26.解：（1）2()()(0)(0),02f f x f f x x x ξξ'''=++<<（2）证明：()[1,1]f x M m ''- 在上有最大值和最小值，[][]2111211111()()1()(0)21,1()()()()(0)0233(),1,1()333()33m f x Mf f x f x x f f f f x dx f xdx x dx m f x M x m f M m Mf x dx ξξξξξ----''∴≤≤'''=+-'''''''=+=+=''≤≤∈-''∴≤≤∴≤≤⎰⎰⎰⎰而由（）知对上式进行积分即而(3)证明：由（2）可知11()33m Mf x dx -≤≤⎰，所以113()m f x dx M-≤≤⎰[][]11()1,1()3(),1,1f x f f x dx ηη--''∴=∈-⎰ 在上只有二阶连续导数，由介值定理知，。

河南省2019年专升本考试《高等数学》试题+答案

河南省2019年普通高等学校专科毕业生进入本科阶段学习考试《高等数学》注意事项：答题前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上。

本卷的试题答案必须答在答题卡上，答在卷上无效。

一、选择题（每小题2分，共60分）在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标。

1.函数)1ln()(2x x x f -+=在定义域是（）A.不确定B.偶函数C.非奇非偶函数D.奇函数[解析]D由()()f x f x -=-得，为奇函数2.已知()f x 的定义域为[]1e ，，则()xf e 的定义域为（）A.(]1,0B.[]0,1 C.()1,0 D.[)10，[解析]B由101xe e x ≤≤⇒≤≤；3.曲线32116132y x x x =+++在点(0,1)处的切线与x 轴的交点坐标为（）A.1(,0)6-B.()10，C.⎪⎭⎫ ⎝⎛0,61 D.()0,1-[解析]A由200=6661x x k y x x y x =='=++=⇒=+，与x 轴的交点即当0y =时得交点坐标为1(,0)6-；4.当0x →1与212x -等价，则=a （）A.32-B.32-C.21-D.32[解析]A由当0x →2113ax -→，所以22113=322ax x a -⇒=-；5.极限22324lim 354x n n n n →∞+-=-+（）A.1B.43 C.52-D.34-[解析]D由抓大头口诀：相同即为系数比，可得223244lim 3543x n n n n →∞+-=--+；6.极限0sin 4lim =5x xx→（）A.45B.51C.54 D.1[解析]C00sin 444lim=lim 555x x x x x x →→=；7.当0x →时，221x e -是2x 的_______无穷小（）A.高阶B.低阶C.等价D.同阶非等价[解析]D 当0x →时，22212x ex -→，故是2x 的同阶非等价；8.已知函数()ln 21a xf x ax +⎧=⎨-⎩在1x =处连续，则a =（）A.1B.1- C.0D.3题号一二三四五总分分值602050146150班级：姓名：准考证号：[解析]A9.设1,1()=cos ,12x x f x x x π-≥<⎧⎪⎨⎪⎩则1x =是____间断点（）A.连续点B.可去C.跳跃D.第二类[解析]A 10.函数()f x 在x a =处可导，则()()limf a x f a x xx +--→（）A.()2f a 'B.0C.()a f ' D.()a f '21[解析]A11.已知()12x f x x=+，求1(1)f -=（）A.1- B.1C.13-D.13[解析]反解12y x y=-，交换,x y 得反函数12x y x =-，则1(1)1f -=-。

2019河南专升本高等数学真题及其答案

2019年河南省普通高等学校选拔优秀专科毕业生进入本科阶段学习考试高等数学注意事项：答题前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上。

本试卷的试题答案必须答在答题卡上，答在试卷上无效。

一、选择题（每小题2分，共60分）在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它选项。

1.函数f (x )=ln(√1+x 2−x)在定义域内是（） A.不确定 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.奇函数2.已知f (x )的定义域是[1,e ]，则f (e x )的定义域为（）A.(0,1]B.[0,1]C.[0,1)D.(0,1) 3.曲线y =13x 3+12x 2+6x +1在点(0,1)处的切线与x 轴的交点坐标为（）A.(−16,0)B.(−1,0)C.(16,0)D.(1,0) 4.当x →0时，√1+ax 23−1与−12x 2等价，则a = （）A.−32 B.32C.12D.−125.极限lim x→∞3+2n−4n 23n 2−5n+4=（）A.1B.−1C.−43D.436.极限lim x→0sin 4x 5x= （）A.−45B.45C.−54D.547.当x →0时，e 2x 2−1是x 2的（）A.低阶无穷小B.高阶无穷小x u a ny iC.等价无穷小D.同阶非等价无穷小8.已知函数f (x )={a +ln x ,x ≥12ax −1, x <1，在x =1处连续，则a =（）A.1B.−1C.12D.−129.设f (x )={1−x, x <−1cos π2x ,x ≥−1,则x =−1是f (x )的（）A.连续点B.可去间断点C.跳跃间断点D.第二类间断点10.函数f (x )在点x =a 处可导，则：lim x→0f (a+x )−f (a−x )x=（）A.2f ′(a )B.−2f ′(a )C.f ′(a )D.−f ′(a )11.设f (x )=x 1+2x，那么f −1(1)= （）A.−1B.1C.−13D.1312.已知y =xe x ，求 dy = （）A.(x −1)e 2x dxB.(x −1)e x dxC.(x +1)e x dxD.xe x dx13.曲线y =x 21+x 的垂直渐近线为（）A.x =1B.x =−1C.y =1D.y =−114.方程3x −2sin x =0 (−∞<x <+∞)的实根的个数为（） A.0B.1C.2D.无数个15.曲线y =2x 3+x +1的拐点为（） A.x =0B.(1,1)C.(0,0)D.(0,1)16.若在区间[a,b ]内，g ′(x )=f ′(x )，则下列等式正确的是（）A .g (x )=f(x)B.(∫g(x)dx )′=(∫f(x)dx )′C.g (x )=f (x )−CD.∫g(x)dx =∫f(x)dx17.计算不定积分∫11−2xdx =（）A.12ln |1−2x |+CB.12ln (1−2x )+CC.−12ln |1−2x |+C D.−12ln (1−2x )+C18.ddx ∫cos t dt ba = （）A.sinxB.cosxC.0D.xsinx19.当k 为何值时，广义积分∫e −kx dx 0−∞收敛（）A.k >0B.k ≥0C.k <0D.k ≤0x u a ny i20.已知函数f (x )在(1,5)上可积，∫f (x )dx =1,∫f (x )dx =2,5−11−1求∫3f (x )dx 15 （）A.−2B.2C.−3D.321.平面x −2y +7z +1=0与平面5x −y −z +5=0的位置关系是（）A.重合B.垂直C.平行D.相交但不垂直22.已知向量a ⃗=(6,x,−4),b ⃗⃗={y,−2,−2}，已知a ⃗与b⃗⃗平行，则x,y =（）A.4,−3B.−3,−4C.−4,3D.3,−423.二元函数z =x ln (x +y )，则ð2zðxðy = （）A.x(x+y )2B.−x(x+y )2C.y(x+y )2D.−y(x+y )224.一元函数在某点处极限存在是在该点可导的_____条件 A.必要B.充分C.充要D.无关25.已知D ={(x,y )|x 2+y 2≤9}，则二重积分∬D√9−x 2−y 2dxdy =（）A.18πB.36πC.9πD.6π26.设L 是直线x +y =0上从(2,−2)到(−2,2)的一段弧，则曲线积分∫Lcos y dx =（）A.−2sin 2B.2sin 2C.−2cos 2D.2cos 227.已知∑∞n=1(u 2n−1+u 2n )收敛，则（）A.∑∞n=1u n 收敛B.lim n→∞u n =0C.∑∞n=1u n 不确定D.∑∞n=1u n 发散28.y =Ce x 是y ′′−y =0的（） A.解B.通解C.特解D.所有解29.已知y =2e x −x 2+x +1，则y (520)= （） A.520e x B.2e xC.2e 520xD.030.x 2−y 2=1表示的二次曲面是（）A.锥面B.抛物面C.双曲柱面D.单叶双曲面二、填空题（每小题2分，共20分）31.极限lim x→∞(1+33+x)x =_____。

2019年陕西省专升本(高等数学)真题试卷(题后含答案及解析)

2019年陕西省专升本（高等数学）真题试卷(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 4. 解答题 6. 证明题选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1．函数f(x)=的无穷间断点的个数为A．0个B．1个C．2个D．3个正确答案：C2．设函数f(x)=｜x(x一1)｜，则A．x=0是f(x)的极值点，但点(0，0)不是曲线y=f(x)的拐点B．x=0是f(x)的极值点，且点(0，0)是曲线y=f(x)的拐点C．x=0不是f(x)的极值点，但点(0，0)是曲线y=f(x)的拐点D．x=0不是f(x)的极值点，且点(0，0)不是曲线y=f(x)的拐点正确答案：B3．通过x轴和点(一3，1，一2)的平面方程为A．x一2y+3z=0B．x+3y=0C．2x—y—z=0D．2y+z=0正确答案：B4．微分方=ex-y的通解为A．ey-ex=CB．ey+ex=CC．ey+x=CD．ey-x=C正确答案：A5．下列级数中绝对收敛的是A．B．C．D．正确答案：C填空题6．极限=_______．正确答案：17．已知函数f(x)在x=0的某邻域内连续，且f(0)=0，f’(0)=1，则极限=_______．正确答案：28．函数y=y(x)由参数方程所确定，则=_______．正确答案：2t9．设连续函数f(x)满足f(x)=sinx—，则f(x)=_______．正确答案：10．设曲线L：x2+y2=a2，则对弧长的曲线积(1+x2+y2)2ds=_______．正确答案：2πa(1+a2)2解答题解答时应写出推理、演算步骤。

11．求极限正确答案：原式12．求由方程y=1+xey的确定的隐函数y=y(x)的二阶导数．正确答案：两边对x求导得y’=ey+xeyy’，解出y’得13．求不定积分正确答案：原式14．计算定积分∫04正确答案：15．设函数u=f(x2—y2，exy)，函数f具有二阶连续偏导数，求及．正确答案：=f1’·(一2y)+f2’·exy·x=一2yf1’+xexyf2’=一4xyf11’’+2(x2一y2)exyf12’’+xye2xyf22’’+(1+xy)exyf2’16．已知函数f(x，y，z)=x+y2+z3(1)求函数f(x，y，z)的梯度；(2)求函数f(x，y，z)在点P0(1，1，1)处沿方向l=(2，一2，1)的方向导数.正确答案：f(x，y，z)=x+y2+z3在点P0(1，1，1)处可微，则在该点的梯度为gradfP0=(1，2，3)，l0=(cosα，cosβ，cosγ)=从而有17．计算二重积(1—4x2—4y2)dxdy，其中D是由y=z，x2+y2=1和x轴在第一象限内所围成的区域．正确答案：D={(r，θ)：0≤θ≤，0≤r≤1}18．计算曲线积(2x—y+4)dx+(5y+3x一6)dy，其中L为三顶点分别为(0，0)、(3，0)和(3，2)的三角形的正向边界．正确答案：由格林公式得19．求幂级数的和函数.正确答案：，收敛半径R=3，当x=3时，级数收敛，当x=一3时，级数发散，故收敛域为(一3，3]．令=ln3一ln(3+x)，x∈(一3，3] 20．求微分方程y’’一2y’=3e2x的通解．正确答案：特征方程为λ2一2λ=0，特征根λ1=0，λ2=2，对应齐次方程的通解y=C1e2x+C2，设方程y’’一2y’=3e2x的一个特解为y*=Axe2x，代入方程y’’一2y’=3e2x，得，特解为y*=xe2x，故原方程的通解为y=C1e2x+C2+xe2x．证明题21．证明：当x＞0时，不等式＜ln(1+x)＜x．正确答案：令f(x)=ln(1+x)，x＞0在[0，x]上对f(x)应用拉格朗日定理得ξ∈(0，x)，使得f(x)一f(0)=f’(ξ)(x一0)=，因为0＜ξ＜x，所以从而得证22．求由曲线y=x2与y2=x2所围成的平面图形的面积S，并求该平面图形绕x轴旋转所形成旋转体的体积V．正确答案：两曲线交点为(0，0)和(1，1)两曲线交点为(0，0)和(1，1)S=∫01V=π∫01(x3一x4)dx=。

19专升本真题高数

42.

lim
x

x

x2
ln1
1 x

解析：令
1 x

t,
x

1 t
，则原式=
lim
t0
1 t

ln1 t
t 2

lim
t0

t
ln1 t
t 2

1 lim
t0
1
1
2t
t

1 2
43.
xy

xyz

2x

4
y,
16.在 a,b内， g 'x f 'x，则下列哪个正确
（）
A. gx f x
B. gxdx ' f xdx '
C. gx f x C
D. gxdx f xdx
解析：对 g 'x f 'x两边同时积分得 gx f x C
解析： r 2 10r 9 0 r1 1, r2 9 ，通解为 y C 1 e x C 2 e 9 x , C 1 , C 2 为任意常数
33. f x 1 2x 3，求 f f x 3=
解析：令 x 1 t, x t 1 ， f t 2t 1 ，故 f f x 3= f 2x 1 3 4x 3
n1

n2

0
，故选
B
22.
a

6,
x,4,
b

y,2,2
，已知
a
||
b
，求
x,

专升本高等数学一2019年真题

高等数学一第Ⅰ卷（选择题，共40分）一、选择题（1~10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 当时，为的（）0x →234x x x x +++x A.等价无穷小 B.2阶无穷小 C.3阶无穷小D.4阶无穷小2. （）2lim 1xx x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭A. B. C. D.2e -e-e 2e 3. 设函数，则＝（）cos 2y x =y 'A. B. C. D.2sin 2x2sin 2x-sin 2xsin 2x -4. 设函数在上连续，在可导，＞0，f (a ) f (b )＜0，则在内()f x [,]a b (,)a b ()f x '()f x (,)a b 零点的个数为（）A.3B.2C.1D.05. 设为的一个原函数，则＝（）2x ()f x ()f x A.0B.2C. D.2x 2x C+6. 设函数，则（）()arctan f x x =()d f x x '=⎰A. B.arctan x C -+211C x -++C. D.arctan x C+211C x ++7. 设，，，则（）1210d I x x =⎰1320d I x x =⎰1430d I x x =⎰A. I 1＞I 2＞I 3 B. I 2＞I 3＞I 1C. I 3＞I 2＞I 1D. I 1＞I 3＞I 28. 设函数，则＝（）2e y z x =(1,0)z x∂∂A.0B.C.1D.2129. 平面的一个法向量为（）2340x y z +-+=A. B. C. D.{1,3,4}-{1,2,4}{1,2,3}-{2,3,4}-10. 微分方程的阶数为（）34()yy y y x ''++=A.1B.2C.3D.4第Ⅱ卷（非选择题，共110分）二、填空题（11~20小题，每小题4分，共40分）11..0tan 2limx xx→=12.若函数在点处连续，则a =.0x =13. 设函数，则d y =.2e x y =14.函数的极小值点x = .3()12f x x x =-15.= .x 16..121tan d x x x -=⎰17.设函数，d z =.32z x y =+18.设函数，则＝.arcsin z x y =22zx ∂∂19.幂级数的收敛半径为.1n n nx ∞=∑20.微分方程的通解y =.2y x '=三、解答题（21~28题，共70分.解答应写出推理、演算步骤）21.（本题满分8分）若，求k .0sin 2lim2x x kxx→+=22.（本题满分8分）设函数，求.sin(21)y x =-y '23.（本题满分8分）设函数，求.ln y x x =y ''24.（本题满分8分）计算.13(e ) d x x x +⎰25.（本题满分8分）设函数，求.11z x y =-22z z x y x y ∂∂+∂∂26.（本题满分10分）设D 是由曲线与x 轴、y 轴，在第一象限围成的有界区域.求：21x y =-（1）D 的面积S ；（2）D 绕x 轴旋转所得旋转体的体积V .27.（本题满分10分）求微分方程的通解.560y y y '''--=28.（本题满分10分）计算，其中D 是由曲线，，轴在第一象限围成的有界区22()d d Dx y x y +⎰⎰221x y +=y x =x 域.参考答案及解析一、选择题1.【答案】A【考情点拨】本题考查了等价无穷小的知识点.【应试指导】，故是的等价无穷2342300limlim(1)1x x x x x x x x x x→→+++=+++=234x x x x +++x 小.2.【答案】D【考情点拨】本题考查了两个重要极限的知识点.【应试指导】.22222222lim(1)lim(1)[lim(1)]e x x x x x x x x x→∞→∞→∞+=+=+=3.【答案】B【考情点拨】本题考查了复合函数的导数的知识点.【应试指导】·.(cos 2)sin 2y x x ''==-(2)2sin 2x x '=-4.【答案】C【考情点拨】本题考查了零点存在定理的知识点.【应试指导】由零点存在定理可知，在上必有零点，且函数是单调函数，故其()f x (,)a b 在上只有一个零点.(,)a b 5.【答案】B【考情点拨】本题考查了函数的原函数的知识点.【应试指导】由题可知，故.()d 2f x x x C =+⎰()(()d )(2)2f x f x x x C ''==+=⎰6.【答案】C【考情点拨】本题考查了不定积分的性质的知识点.【应试指导】.()d ()arctan f x x f x C x C '=+=+⎰7.【答案】A【考情点拨】本题考查了定积分的性质的知识点.【应试指导】在区间内，有x 2＞x 3＞x 4，由积分的性质可知(0,1)＞＞，即I 1＞I 2＞I 3.120d x x ⎰130d x x ⎰140d x x ⎰8.【答案】D【考情点拨】本题考查了二元函数的偏导数的知识点.【应试指导】，故2×1×1＝2.2e y zx x∂=∂(1,0)z x ∂=∂9.【答案】C【考情点拨】本题考查了平面的法向量的知识点.【应试指导】平面的法向量即平面方程的系数{1，2，}.3-10.【答案】B【考情点拨】本题考查了微分方程的阶的知识点.【应试指导】微分方程中导数的最高阶数称为微分方程的阶，本题最高是2阶导数，故本题阶数为2.二、填空题11.【答案】2【考情点拨】本题考查了等价无穷小的代换定理的知识点.【应试指导】.00tan 22limlim 2x x x xxx →→==12.【答案】0【考情点拨】本题考查了函数的连续性的知识点.【应试指导】由于在处连续，故有.()f x 0x =0lim ()lim 50(0)x x f x x f a --→→====13.【答案】22e d x x【考情点拨】本题考查了复合函数的微分的知识点.【应试指导】d y = d(e 2x ) = e 2x ·(2x )′d x = 2 e 2x d x.14.【答案】2【考情点拨】本题考查了函数的极值的知识点.【应试指导】，当或时，，当x ＜2()3123(2)(2)f x x x x '=-=-+2x =2x =-()0f x '=时，＞0；当＜x ＜2时，＜0；当x ＞2时，＞0，因此x =2是极小值2-()f x '2-()f x '()f x '点.15.【答案】arcsin x C+【考情点拨】本题考查了不定积分的计算的知识点.【应试指导】.arcsin x x C =+16.【答案】0【考情点拨】本题考查了定积分的性质的知识点.【应试指导】被积函数x tan 2x 在对称区间上是奇函数，故.[1,1]-121tan d 0x x y -=⎰17.【答案】23d 2d x x y y+【考情点拨】本题考查了二元函数的全微分的知识点.【应试指导】，，所以.23z x x ∂=∂2z y y ∂=∂2d d d 3d 2d z z z x y x x y y x y∂∂==+=+∂∂18.【答案】0【考情点拨】本题考查了二阶偏导数的知识点.【应试指导】，.arcsin z y x ∂=∂220zx ∂=∂19.【答案】1【考情点拨】本题考查了收敛半径的知识点.【应试指导】，设，则有，故其收敛半径1nn n n nx nx ∞∞===∑∑n a n =11limlim(1)1x x n n nρ→∞→∞+==+=为.11R ρ==20.【答案】2x C+【考情点拨】本题考查了可分离变量的微分方程的通解的知识点.【应试指导】微分方程是可分离变量的微分方程，两边同时积分得2y x '=.2d 2d y x x x y xC '=⇒=+⎰⎰三、解答题21.，故.00sin 2sin limlim 2122x x x kx x k k x x →→+=+=+=12k =22.[sin(21)]y x ''=-·cos(21)x =-(21)x '- .2cos(21)x =-23.()ln (ln )y x x x x '''=+，ln 1x +故.1(ln )y x x'''==24.1133(e )d d e d xx x x x x x +=+⎰⎰⎰1131e 113x xC+=+++ .433e 4x x C =++25.，，故21z x x ∂=-∂21z y y ∂=∂··2221z z x y x y x∂∂+=-∂∂22x y +21y .110=-+=26.（1）积分区域D 可表示为：0≤y ≤1，0≤x ≤1y 2，-120(1)d S y y=-⎰3101()3y y =-.23（2）120πd V y x=⎰ 10π(1)d x x =-⎰.π2=27.特征方程，解得或，故微分方程的通解为2560r r --=11r =-26r =（C 1，C 2为任意常数）.1261212e e e e r x r x x x y C C C C -=+=+28.积分区域用极坐标可表示为：0≤≤，0≤r ≤1，θπ4所以22()d d DI x y x y=+⎰⎰ ·r d rπ12400d r θ=⎰⎰ ·π4=41014r.π16=。

专升本高等数学二真题2019附解析

专升本高等数学（二）真题2019年第［卷（选择题）一・选择題在每小登给出的四个选顶中•只有一顶是符合题目要求的・• A.-e2• B.-e• C.e］1 + %23•设函数 f(x)在［a ,b］上连续,≡(a ,b)内可导zf,(x) > 0 ,f(a)f(b)< 0则f(x)≡(ar b)内李点的个数为 __ ■Iirn ( 1 十一)二X >≈XD［解Iiln(I+-)X = Iim(U-)2 2 = ι⅛(i+-)∣2=e2 .χ→a X2•设函数 y=arcsinx ,则 y,≡≡_ ［解析］arcsine•A3• B.2•Cl• D.04•设函数y=×3+eκf则 y r4,≡___ • A.0• B.e x• C.2+eκ• D.6+e x⅛∕-f⅛dX=A ・ arctanxB ・ arccotx1厂1 +%2D . 06・ JCOS2xdx= _____Sin2 尤÷ C1-sin2jc + C-~cos2τ + C c. 2- 4-COS 2X + C• A.-10 • B.-8 • C.8 • D.10 D -［解⅛ flj ⅛ 4 (⅛+l)⅛(⅛H) 4 ∙⅛⅛M f析］丿 O 2 4 i 4“∂z8•设函数z=(x-y)1° f 则B 兀= ___• A.(x-y)iθ • B.-(x-y)1° • C.10(x-y)9 • D.-10(x-y)9 C ［解析］9•设函数z=2(x ∙y)-χRy 2 ,则其极值点为 ___ • A.(0 i 0) • B.(-l f 1) • C.(l, 1) • D.(l, -1) D -(2咒 + 1 )3d l r∣2∂Z［解析］曲I=0^=010 •设韶散型随机变量X 的概率分布为X -1 0 1 2 P 2a a 3a4a• A.0.1 • B.0.2 • C.0.3 • D.0.4 A［解析］由概率分布的性质可知2a+a + 3a+4a = 10a=l ,得a=0.1・第II 卷QE 选择题) 二填空题1. 当X→O 时f(x)与3x 是等价无穷小，则=x-→0 X ------- ~~3［解析］由题可知-2 -2y,令,可得驻点为(1. -1),而故厶=0-(-2)∙(-2)=-4<0f 因此(「・1)星函数的极值点・ZX 1. e -11IlnI --- 2.x→O XCly= d(InSinX)COSΛ:ClX = cottcLx.si n%2x 11. C — 1 Ilm= Iim^= =2. %→o 14•设χ2为f(χ)的一个原函数，则Kx)= __ ・ 2x^昭析］由题意可知Jf(x)dx=χ2+C ,因而f(x)=(∫ f(x)dx) =(χ2+C)'=2x .5.设函数 y=lnsinx f 则 dy= _____COtXdX［解析］1 +2Y∕,ω=⅛w ,(∣)≡［解析］1+2x1 30■ ― ■■ .1•则F ⑴二 ____J (%cos2x +2)<⅛二_______________________ ［解析］Z ■■9・设函数X ,贝P尤'I*10.设函数 Z=SinX lny , dz= _____CoSXlnyfk ÷ SinX —dyy嚴析］dz=d(sinx∙lny)=lnyd(sinx)+si nxd(lny)=cosxlnyd×+三.解答题共70分•鮮答应写出推湮、漓算步骤・1. 计算(XCOS4χ +2)(IX =Jxcos-=0+4=4.Oz_ XΣ ^Xdy ~2Λ XSInX1- Iim-mαo X2+ Iimg;TroQ 久•2•设函数」,求f(x)∙Zf、 1 +/ — % • 2兀八宀(F1 -/(1 *)2X.专升本商等数学真题2019第11页共9页12 (In%)2J_25. 一个袋中有10个乒乓球,其中7个橙色r 3个白色I 从中任取2个，设事件A 为"所取的2个乒乓球颜色不同"•求事件A 发生的概率P(A).6•设函数f(x)=aG+bχ2+cx 在x=2处取得极值，点(1 ,・1)为曲线y=f(x)的拐点，求a , b r c . 解:f(x)=3ax 2+2bx+c Z f(x)=6ax÷2b r由于f(x≡×=2处取得极值，则f(2)=12a+4b+c=0 r 点(1 • -1)是 y=f(x)的拐点■故有 f(l)=-l, f"(D=O r(IibiC- -1,I 3即 / A J Λ Wft=y 5⅛≡ -γ,c=0. 6« +2i=01 - 27.已知函数f(x)的导函数连续，且f(l)=0 ,P(Q专升本商等数学真题2019X.第12页共9页。

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2019年高等数学专升本真题（回忆版）
一、选择题
1. 下列是同一函数的是（D ）
A 、2ln ,ln 2x y x y ==
B 、 x
x y y 2log ,2==
C 、1
1,12--=+=x x y x y D 、||,2x y x y ==
2.当0→x 时12-x e 是inx 3s 的（B ） A 、低阶无穷小 B 、同阶无穷校 C 、等价无穷小 D 、高阶无穷小
3.设x
x x x f 2
2log 16
)(+-++-=，则)(x f 的定义域为（ C ）. A 、[2,3） B 、（2，3） C 、[-2,2)u(2,3] D 、(0,2)u(2,3)
4.0=x 为函数的x x x f 1sin )(2=（ A ）. 01sin lim 2
0=→x
x x （有界量*无穷小量） A. 可去 B.跳跃 C. 连续点 D. 无穷
5.设a x x z ln 2
+=，则=dx
dz （ A ）. （把z 换成y 就容易理解了，lna 为常数）
A. a x ln 2+ B 、a x
x +2 C.a
x a x ++ln 2 D.x 2
6.求曲线1234+-=x x y 在R 上拐点个数为（ C ）. （x x y 1212''2
-=）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
7. 函数⎪⎩
⎪
⎨⎧<=>+=0,0,10,1)(2x e x x x x f x 则函数f(x)在x=0处是（ D ）.
A 、极限不存在
B 、不连续但右极限存在
C 、不连续但左极限存在
D 、连续
8.下列式子成立的是（ B ）.
A 、)2(
a x ad adx += B 、22
22
1dx e dx xe x x = C 、x d dx x = D 、x
d xdx 1
ln =
9.函数f(x)在定义域[0,1]上连续，其中0)('',0)('><x f x f ，则下列说法正确的是（ A ）.
A 、单调减函数且凹
B 、单调减函数且凸
C 、单调增函数且凹
D 、单调增函数且凸
10.已知函数1
2
32)(323+++=x x x x f ，求=∞→)(lim x f x （ A ）.
A 、2
B 、-2
C 、1
D 、-1
二、填空题
11.设=++=+)(,2)1(2x f e x x f x
则
1232-++-x e x x .
(令x+1=t ，x=t -1代入即可)
12.已知1,,sin ,2
-====x w w v v u e y u
，则1
sin 2-=x e
y .
13. ==',)(cos y x y x
)tan cos (ln )(cos x x x x x
- .
14. =+⎰dx x
11
C x x ++-)1ln(22 . (令t x = )
15. =-+∞
→)1(lim n n n n . n n n n n n n n n n n n ++++-+=-+∞→∞→1)
1)(1(lim )1(lim 21
11
11lim
1lim
=++=++=∞
→∞
→n n n n
n n
16.
==)(2,n x y e y 则x
n e 22 .
17. )3ln(x x y -+=在区间 )3,0[ 连续 .
18. 已知参数方程⎩
⎨⎧==t b y t a x sin cos ，在
4
π
=
t 的切线方程
)(222
b b
a x
b a y --= .
19.3
2
32lim sin 31lim 020==-→→x x x e x x x . (等价无穷小)
三、计算题
20.
⎰4
sin π
xdx < ⎰4
cos π
xdx .
(从几何意义出发最简单，或者笨方法就是计算结果比大小)
21.
C
e dx e xdx e dx xe x x x x +==⋅=⎰⎰⎰2
2
22
2
22.
22.))1()1((lim )111(lim 200x
e e x x x e x x x x x x --→-→---+=--+2322lim 221lim )1(lim 00220=+=-+=--+=-→-→-→x x x x x x e x e x x e x x 洛洛等价
(利用x e x
~1-，则x e
x
~1--)
23.由方程
0sin 2
1
=+-y y x 所确定的隐函数，求y 的二阶导数''y . 解：0'cos 2
1
'1=⋅+-y y y ，即y y cos 22'-= 'sin )
cos 2(2
''2y y y y ⋅⋅--= 3
322
)cos 2(sin 4)cos 2(2sin 2)cos 2(cos 22
sin 2)
cos 2('
sin 2y y y y y y y y y y --=-⋅-=--⋅
-=-⋅-=
24.2
12lim )cos 1(tan lim sin tan lim 32
03030=⋅
=-=-→→→x x x x x x x x x x x x (利用等价无穷小，2
~cos 1,~tan 2
x x x x -)
四、应用题
25. 求抛物线342
-+-=x x y 与其点)3,0(-和)0,3(处切线所围成的图形
的面积. 解：42'+-=x y
则在点)3,0(-的切线方程的k=4
切线方程为：)0(4)3(-=--x y 即34-=x y
同理，点)0,3(的切线方程k=-2 切线方程为：62+-=x y
如右图所示，两条切线相较于点)3,1.5(（自己算）
则面积dx x x x dx x x x S ⎰⎰-+--+-+-+---=3
1.5
21.5
2
)]34()62[()]34()34[(
dx x x dx x ⎰⎰+-+=3
1.5
21.5
2
)96(
4
9|)9331(|31
3
1.5231.503=
+-+=x x x x
五、证明题
26. 证明：当0>x 时，x x +>+12
11成立. 证明：设),0(,12
11)(+∞∈+-+=x x x x f
则,),0(,0121
112121)('恒成立+∞∈>+-+=+-
=x x x x x f 所以函数)(x f 在),0(+∞上单调递增，因此有0)0()(=>f x f 成立。

故),0(,12
11+∞∈+>+x x x 即证成立。