五年级奥数之长方体和正方体的体积
五年级数学技巧之体积计算
五年级数学技巧之体积计算在五年级学习数学的过程中，体积计算是一个重要的技巧。
通过学习体积计算，学生可以更好地理解物体的三维空间，并能应用于日常生活和解决实际问题。
本文将介绍几种常见的体积计算方法，并以实际例子说明其应用。
一、立方体的体积计算立方体是最基本的三维几何图形，其体积计算相对简单。
立方体的体积等于边长的立方。
例如，一个边长为5厘米的立方体，其体积计算公式为5 × 5 × 5 = 125立方厘米。
在日常生活中，我们常常遇到类似问题，比如水果盒子的体积。
假设一个水果盒子的长、宽、高分别为10厘米、8厘米、6厘米，我们可以利用体积计算公式得到水果盒子的体积为10 × 8 × 6 = 480立方厘米。
这样，在购买水果时，我们可以根据水果的数量来选择合适大小的盒子，以确保装下所有的水果。
二、长方体的体积计算长方体是指具有三个不同边长的长方形，也是常见的几何图形之一。
长方体的体积计算公式为三条边长的乘积。
例如，一个长方体的长、宽、高分别为10厘米、6厘米、4厘米，我们可以通过计算10 × 6 × 4= 240立方厘米来得到其体积。
假设我们在装书包时需要计算书包的容量，书包长30厘米，宽20厘米，高15厘米。
我们可以利用体积计算公式，计算书包的容量为30× 20 × 15 = 9000立方厘米。
通过计算书包的容量，我们可以判断书包是否足够装下所需要的物品。
三、圆柱体的体积计算圆柱体是一个底面为圆形的立体图形。
它的体积计算公式为底面积乘以高。
底面积等于半径的平方乘以π（圆周率）。
例如，一个半径为5厘米，高为10厘米的圆柱体的体积计算公式为5 × 5 × π × 10。
假设我们在做一个水杯的设计时，需要计算水杯的容量。
水杯的底面半径为3厘米，高为8厘米。
通过计算，我们可以得到水杯的体积为3 × 3 × π × 8。
【奥数】五年级下03-2长方体和正方体的体积
长方体和正方体的体积知识引入：一、体积和体积单位例题1：填空。
(1)我们常用的体积单位有( )、 ( )、( )，用字母表示是( )、( )、( )。
(2)棱长是1 cm、1 dm和1 m的正方体的体积分别是1( )、1( )和1( )。
例题2：连线。
学校升旗台的体积 24立方厘米书包的体积 24立方米健胃消食片包装盒的体积 24立方分米例题3：下面图中的每个木块都一样，哪堆的体积大？为什么？知识精讲1：体积和体积单位1.物体所占空间的大小叫做物体的体积。
2.计量体积要用体积单位，常用的体积单位有立方厘米、立方分米和立方米，可以分别写成cm3、dm3、m3。
二、长方体和正方体的体积例题4：填空。
(1)用( )个棱长1 cm的小正方体可以拼成一个长3 cm，宽2 cm，高5 cm的长方体，这个长方体的体积是( )cm3。
(2)一个长方体铁块，长50厘米，宽30厘米，高2.5厘米。
它的体积是( )立方厘米。
(3)棱长为4厘米的正方体的体积是( )立方厘米。
(4)正方体的棱长扩大为原来的3倍，体积扩大为原来的( )倍。
(5)一个正方体的棱长总和是36米，体积是( )立方米。
例题5：计算下面长方体和正方体的体积。
例题6：中心广场要建一个喷水池，施工时要挖长15 m、宽7 m、深5 m的长方体土坑，一共挖出多少方的土(“1 m3”的土、石、沙称为“1方”)?知识精讲2：长方体和正方体的体积。
1.长方体的体积＝长×宽×高 V＝a b h2.正方体的体积＝棱长×棱长×棱长V＝a33.长方体(或正方体)的体积＝底面积×高V＝S h4.当长方体的长、宽、高都扩大到原来的n倍时，它的体积扩大到原来的倍；5.当正方体的棱长扩大到原来的n倍时，它的体积扩大到原来的倍。
名称体积计算公式需要的条件长方体长方体的体积＝长×宽×高长方体的长、宽和高正方体正方体的体积＝棱长×棱长×棱长正方体的棱长长方体（或正方体）长方体（或正方体）的体积=底面积×高长方体（或正方体）的底面积和高三、体积单位间的进率例题7：填空。
五年级奥数长方体与正方体(二)教师版
五年级奥数长方体与正方体（二）教师版如右图,长方体共有六个面(每个面都是长方形),八个顶点,十二条棱．cba HGFEDCBA①在六个面中,两个对面是全等的,即三组对面两两全等． (叠放在一起能够完全重合的两个图形称为全等图形．) ②长方体的表面积和体积的计算公式是： 长方体的表面积：2()S ab bc ca =++长方体； 长方体的体积：V abc =长方体．③正方体是各棱相等的长方体,它是长方体的特例,它的六个面都是正方形． 如果它的棱长为a ,那么：26S a =正方体,3V a =正方体．长方体与正方体的体积立体图形 示例体积公式 相关要素长方体V abh = V Sh = h 、b 、a 三要素： h、S 二要素： 正方体3V a =V Sh= a一要素： h、S 二要素：不规则形体的体积常用方法： ①化虚为实法 ②切片转化法例题精讲长方体与正方体（二）③先补后去法④实际操作法⑤画图建模法【例 1】一个长方体的棱长之和是28厘米,而长方体的长宽高的长度各不相同,并且都是整厘米数,则长方体的体积等于立方厘米。
【考点】长方体与正方体【难度】2星【题型】填空【关键词】希望杯, 6年级,第16题,6分【解析】由题意知长、宽、高的和为2847÷=,又根据题意长、宽、高各不相同,且是整数,所以只能是1、2、4,所以体积为8立方厘米【答案】8【例 2】将几个大小相同的正方体木块放成一堆,从正面看到的视图是图（a）,从左向右看到的视图是图（b）,从上向下看到的视图是图（c）,则这堆木块最多共有___________块。
【考点】长方体与正方体【难度】2星【题型】填空【关键词】希望杯,4年级,初赛,8题【解析】对于图c来说,每个小方块都摞了2层,最多有6块。
【答案】6【例 3】一根长方体木料,体积是0.078立方米．已知这根木料长1.3米．宽为3分米,高该是多少分米?孙健同学把高错算为3分米．这样,这根木料的体积要比0.078立方米多多少?【考点】长方体与正方体【难度】2星【题型】解答【关键词】小数报,决赛【解析】0.078(1.30.3)0.2÷⨯=(米)．0.2米=2分米．⨯⨯-=(立方米)．1.30.30.30.0780.039所以这根木料的高是2分米；算错后,这根木料的体积比0.078立方米多0.039立方米．【答案】0.039【例 4】如图,两个同样的铁环连在一起长28厘米,每个铁环长16厘米。
【沪教版】五年级上册奥数：长方体和正方体的体积与表面积 (含答案)
图1 图2 图3图4【答案】按图1所示沿一条棱挖，为592平方厘米；按图2所示在某一面上挖，为632平方厘米；按图3所示在某面上斜着挖，为648平方厘米；按图4所示挖通两个对面，为672平方厘米．【例 7】从一个长8厘米、宽7厘米、高6厘米的长方体中截下一个最大的正方体(如下图)，剩下部分的表面积之和是平方厘米．【考点】长方体与正方体【难度】3星【题型】填空【解析】可以将这个图形看作一个八棱柱，表面积和为：（）（）(平方厘米)．⨯-⨯⨯+⨯+++++++=87662616661787292也可以这样想：由于截去后原来的长方体的表面少了3个66⨯的正方形，而新图形凹进去的部分恰好是3个66⨯的正方形，所以新图形的表面积与原图形的表面积相等，为()⨯+⨯+⨯⨯=(平方厘米)．8786762292【答案】292【例 8】右图是一个表面被涂上红色的棱长为10厘米的正方体木块，如果把它沿虚线切成8个正方体，这些小正方体中没有被涂上红色的所有表面的面积和是多少平方厘米？【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】解答【解析】 10⨯10⨯6=600(平方厘米)．【答案】600【例 9】 由六个棱长为1的小正方体拼成如图所示立体，它的表面积是 ．【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】填空【关键词】2006年，第四届，走美杯，4年级，决赛，第3题，8分【解析】 三视图法：表面积为：()454226++⨯=【答案】26【例 10】 将15个棱长为1的正方体堆放在桌子上，喷上红色后再将它们分开。
涂上红色的部分，面积是（ ）平方厘米【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】填空【关键词】2010年，第8届，走美杯，3年级，初赛，第12题【解析】 注意底面放在桌子上，不能被染到。
从上向下看有10个：从左向右看有6个；从前向后看有7个。
因此被染色的面有()1067236++⨯=个面【答案】36【例 11】 用6块右图所示(单位：cm )的长方体木块拼成一个大长方体，有许多种拼法，其中表面积最小的是多少平方厘米？最大是多少平方厘米？【考点】长方体与正方体 【难度】4星 【题型】解答【解析】 要使表面积最小，需重叠的面积最大，如图⑴的拼接方式新的长方体长为5，宽为4，高为3，所以表面积为2(343334)266(cm )⨯+⨯+⨯⨯=；要使表面积最大需重叠的面积最小，如图⑵所示，长为18，宽为2，高为1，所以最大的表面积为2(18118212)2112(cm )⨯+⨯+⨯⨯=【答案】112【例 12】 要把12件同样的长a 、宽b 、高h 的长方体物品拼装成一件大的长方体，使打包后表面积最小，该如何打包？⑴当 b =2h 时，如何打包？⑵当 b <2h 时，如何打包？⑶当 b >2h 时，如何打包？【考点】长方体与正方体 【难度】5星 【题型】解答【解析】 图2和图3正面的面积相同，侧面面积=正面周长⨯长方体长，所以正面的周长愈大表面积越大，图2的正面周长是8h +6b ，图3的周长是12h +4b .两者的周长之差为2（b -2h ）.当b =2h 时，图2和图3周长相等，可随意打包；当b <2h 时，按图2打包；当b >2h 时，按图3打包.【答案】当b =2h 时，图2和图3周长相等，可随意打包；当b <2h 时，按图2打包；当b >2h 时，按图3打包. (1)图3图2图1hba【例 13】 如图，把正方体用两个与它的底面平行的平面切开，分成三个长方体，这三个长方体的表面积比是3：4：5时，用最简单的整数比表示这三个长方体的体积比： ： ： 。
奥数长方体和正方体(体积)
奥数长方体和正方体(体积)
长方体的体积公式
长方体是一种具有六个面，并且所有面都是矩形的立体。
它有
三个不同的边长：长度、宽度和高度。
我们可以使用以下公式来计
算长方体的体积：
体积 = 长度 ×宽度 ×高度
其中，长度、宽度和高度分别代表长方体的三个边长。
正方体的体积公式
正方体是一种特殊类型的长方体，其中所有的边长相等。
因此，我们只需要知道任意一条边的长度就能计算出正方体的体积。
体积 = 边长 ×边长 ×边长
其中，边长代表正方体的边长。
示例
让我们通过一个示例来说明如何使用这些公式计算长方体和正方体的体积。
示例1：计算长方体的体积
假设我们有一个长方体，其长度为4米，宽度为3米，高度为2米。
我们可以使用上述公式计算它的体积：
体积 = 4米 × 3米 × 2米 = 24立方米
因此，该长方体的体积为24立方米。
示例2：计算正方体的体积
假设我们有一个正方体，其边长为5米。
我们可以使用上述公式计算它的体积：
体积 = 5米 × 5米 × 5米 = 125立方米
因此，该正方体的体积为125立方米。
以上就是关于奥数长方体和正方体(体积)的简要介绍。
希望这份文档能帮助你理解如何计算长方体和正方体的体积。
五年级数学长方体、正方体体积公式的推导解析,主要是思维的提升
五年级数学长方体、正方体体积公式的推导解析，主要是思维的提升长方体的体积计算公式：1．长方体的体积计算公式：长方体的体积＝长×宽×高。
2．长方体的体积用字母表示：如果用字母V表示长方体的体积，用a、b、h分别表示长方体的长、宽、高，那么长方体的体积计算公式可以写成：V＝abh。
3、长=体积÷宽÷高a=V÷b÷h宽=体积÷长÷高b=V÷a÷h高=体积÷长÷宽h= V÷a÷b（长方体的体积计算。
中三个关键的量分别为长宽高，那么在已知体积和其中的两个关键量时，要求第三个量的公式变换。
看似简单，在运用的过程当中要多加练习才能熟能生巧。
）正方体的体积计算公式：正方体的体积=棱长×棱长×棱长V=a×a×a = a³a³读作“a的立方”表示3个a相乘，（即a·a·a）我们在理解长方体和正方体体积的含义时，都是通过物体所包含的小正方体的数量来知道物体的体积。
那么，当多个小立方体组成的图形是长方体和正方体时，就要通过计算边长来推导出计算其体积的公式。
可以，计算长方体和正方体体积更方便。
接下来，我们将通过计算长方体和体积的含义来计算长方体的体积，进而探索和推导长方体和正方体体积的计算公式。
通过以上应用长方体体积所代表的意义。
探究，从而得出长方体和正方体体积计算公式。
这个过程可以把之前学过的知识点和宣传联系起来，让学生对体积的公式有更深入的理解。
接下来唐老师将通过长方体计算公式推导的应用来分析常见问题，进一步帮助大家理解正方体和长方体的计算公式。
通过对常问问题的分析和对解题思路的理解，我们发现除了公式之外，卷所代表的意义也是常问问题所伴随的考点。
因此，学生在学习时要注意它们之间的关系，才能真正理解长方体和正方体体积的计算公式。
五年级奥数第9讲：长方体与正方体的体积-教案
（五年级）备课教员：***第九讲长方体与正方体的体积一、教学目标：知识目标1. 知道长方体、正方体体积公式的推导过程。
2. 学会解决实际生活中有关长方体和正方体体积的计算问题。
能力目标1. 经历长方体、正方体体积计算公式的探究过程。
2. 通过实验操作、讨论归纳等活动发展学生的空间观念。
情感目标在活动中使学生感受数学与实际生活的密切联系，体验学数学、用数学的乐趣，从而激发学生的学习兴趣。
二、教学重点：正确、熟练地运用长方体和正方体的体积公式。
三、教学难点：理解体积公式，正确计算长方体与正方体的体积。
四、教学准备：PPT、1立方厘米的小正方体木块若干五、教学过程：第一课时（50分钟）一、导入（5分)【设计意图：通过学生自己动手操作，理解体积的概念，了解长方体与正方体的体积计算公式。
】师：同学们，大家已经认识了体积和体积单位。
现在请大家看屏幕上的这个长方体，（出示PPT）它是用1立方厘米的小正方体木块摆成的，你们能数出它的体积吗？生：……师：是的，我们换一种方法试试看。
大家看，一行有几个木块？生：……师：有几行呢？生：……师：大家用每行的个数乘行数，得出是多少？生：……师：那么一共有几层呢？大家再用刚刚求出的积乘层数，看看得出的是多少？生：……师：是的，与我们刚刚数出来的答案是一样的。
现在四个人为一组，大家手上都有正方体小木块，自己动手摆出一个长5厘米，宽3厘米，高4厘米的长方体，然后告诉老师它的体积是多少。
生：……师：你是怎么求出它的体积的？生1：数出了的。
生2：用长乘宽乘高。
师：是的，这就是我们刚才用每行的个数×行数×层数求出的结果。
那么同学们再来做一做这个练习，求出它们的体积。
（PPT出示题目）生：……师：大家仔细观察一下刚刚小正方体的数量与长、宽、高有什么关系？生：……师：每行的个数就是长，行数就是宽，层数就是高。
长方体的体积=长×宽×高。
（PPT上出示图示）或者我们用a表示长，b表示宽，h表示高，V表示长方体的体积，那么也可以表示为V=a×b×h（或V=abh）。
五年级奥数几何专项十五 长方体和正方体的表面积与体积
一、立体图形的体积计算常用公式：立体图形示例表面积公式体积公式相关要素长方体S = 2(ab+bc+ac)V abh=V sh=三要素：a、b、h二要素：s、h 正方体S = 6a23V a=V sh=一要素：a二要素：s、h重点：观察并找出．难点：三视图法【例 1】大正方体的棱长是小正方体棱长的4倍，那么它的表面积是小正方体表面积的______倍．【巩固】边长l米的正方体2100个，堆成了一个实心的长方体。
它的高是10米，长、宽都大于高。
问长方体的表面积和体积是多少?知识框架重难点例题精讲专项十五表面积与体积（一）【例 2】如图，在一个棱长为5分米的正方体上放一个棱长为4分米的小正方体，求这个立体图形的表面积．【巩固】如右图所示，由三个正方体木块粘合而成的模型，它们的棱长分别为1米、2米、4米，要在表面涂刷油漆，如果大正方体的下面不涂油漆，则模型涂刷油漆的面积是多少平方米？【例 3】用棱长是1厘米的立方块拼成如右图所示的立体图形，问该图形的表面积是多少平方厘米?【巩固】把19个棱长为1厘米的正方体重叠在一起，按右图中的方式拼成一个立体图形.，求这个立体图形的表面积．【例 4】边长为1厘米的正方体，如图这样层层重叠放置，那么当重叠到第5层时，这个立体图形的表面积是多少平方厘米？N )，要想使总表面积恰好是一个完全平方数，则N 【巩固】按照上题的堆法一直堆到N层(3的最小值是多少？【例 5】由27个棱长为1的小正方体组成一个棱长为3的大正方体，若自上而下去掉中间的3个小正方体，如图所示，则剩下的几何体的表面积是。
【巩固】如右图，一个边长为3a 厘米的正方体，分别在它的前后、左右、上下各面的中心位置挖去一个截口是边长为a 厘米的正方形的长方体（都和对面打通）．如果这个镂空的物体的表面积为2592平方厘米，试求正方形截口a 的边长．【例 6】有一个棱长为5cm 的正方体木块，从它的每个面看都有一个穿透的完全相同的孔(右上图)，求这个立体图形的内、外表面的总面积．【巩固】 如图所示，一个555⨯⨯的立方体，在一个方向上开有115⨯⨯的孔，在另一个方向上开有215⨯⨯的孔，在第三个方向上开有315⨯⨯的孔，剩余部分的体积是多少？表面积为多少？【例 7】若长方体的三个侧面的面积分别是6，8，12，则长方体的体积是。
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长方体和正方体的体积
例1、有一个长8厘米，宽1厘米，高3厘米的长方体木块，在它的左右两角各切掉一个正方体（如图），求切掉正方体后的体积是多少立方厘米？
例2、长方体不同的三个面的面积分别为10平方厘米、15平方厘米和6平方厘米。
这个长方体的体积是多少立方厘米？
例3、一个棱长为3厘米的正方体，分别在前后、左右、上下各面的中心位置挖去一个棱长1厘米的正方体，做成一种玩具。
它的体积是多少平方厘米?
例4、在一个长15分米，宽12分米的长方体水箱中，有10分米深的水，如果在水中沉入一个棱长为30厘米的正方体铁块，那么水箱中水深多少分米？
例5、有一个小金鱼缸，长4分米，宽3分米，水深2分米。
把一个小块假山石浸入水中后，水面上升了0.8分米，这块假山石的体积是多少立方分米？
例6、将表面积分别为54平方厘米，96平方厘米和150平方厘
米的三个铁质正方体熔成一个大正方体（不计损耗），求这个大正方体的体积。
例7、将表面积分别为216平方厘米和384平方厘米的两个正方体铁块熔成一个长方体，已知这个长方体的长是13厘米，宽是7厘米，求它的高。
例8、有一个长方体容器，长30厘米、宽20厘米、高10厘米，里面的水深6厘米。
如果把这个容器盖紧，再朝左竖起来，里面的水深应该是多少厘米？
例9、一个长方体容器的底面是一个边长为60厘米的正方体，容器里直立一个高1米，底面边长15厘米的长方体铁块。
这时容器里的水深0.5米。
如果把铁块取出，容器里的水深多少厘米？
例10、一个长方体容器内装水，现在有大、中、小三个铁球。
第一次把小球沉入水中；第二次把小球取出，把中球沉入水中；第三次把中球取出，把小球和大球一起沉入水中。
已知每次从容器中溢出的水量的情况是：第二次是第一次的3倍，第三次是第一次的2.5倍。
问，大球的体积是小球的多少倍？
应用与拓展
1、有一个形状如下图的零件，求它的体积。
2、一个长方体不同的三个面的面积分别是25平方厘米、18平方厘米和8平方厘米，这个长方体的体积是多少立方厘米？
3、有一个棱长是12厘米的正方体木块，把它的上面、前面、右面中心处分别凿穿一个边长为4厘米的正方形孔。
穿孔后木块的体积是多少立方厘米？
4、有一个长方体容器，从里面量长5分米，宽4分米，高6分米，里面注有水，水深3分米，如果把一块棱长2分米的正方体
铁块浸入水中，水面上升了多少分米？
5、在一个长20分米，宽15分米的长方体容器中，有20分米深的水，现在在水中沉入一个正方体铁块，这时水面上升了0.09分米，这块正方体铁块的体积是多少立方分米？
6、有三个正方体铁块，它们的表面积分别是24平方厘米、54平方厘米和294平方厘米。
现将三块铁熔成一个大正方体，求这个正方体的体积。
7、把9个棱长是2分米的正方体铁块熔成一个长方体，已知这
个长方体的长是3厘米，宽4厘米，求它的高。
8、有两个长方体水缸，甲缸长3分米、宽和高都是2分米，乙缸长4分米，宽2分米，里面的水深1.5分米。
现把乙缸的水倒进甲缸，水在甲缸里深几分米？
9、有一块边长是5厘米的正方体铁块，浸没在一个长方体容器里的水中，取出铁块后，水面下降了0.5厘米。
这个长方体容器的底面积是多少平方厘米？
10、有一个正方体容器，边长是25厘米，里面注满水。
有一根长50里面，横截面是12平方厘米的长方体铁棒，现将铁棒垂直插入水中。
问，会溢出多少立方厘米的水？。