根轨迹法的基本概念共40页文档
根轨迹法
根轨迹法一、定义：〈①〉()()()01111*0=+++=+∏∏==nj imi ip s z s Ks G 。
其中*K 为根轨迹增益。
开环放大倍数∏∏===nj jmi ipzKK 11*闭环特征方程的根随参数*K 而变化的轨迹，称为根轨迹。
其符合两个条件：()()()()⎪⎩⎪⎨⎧=∠+=∠=非最小相位系统或最小相位系统相角条件：幅值条件：,2,121000ππk s G k s G s G〈②〉几条规则：①实轴上的根轨迹〈最小相位系统〉右边有奇数个零极点时，有根轨迹 〈非最小相位系统〉右边有偶数个零极点时，有根轨迹 ②根轨迹条数=Max （n,m ），起点为开环极点（0=g K ），终点为开环零点（∞→g K ）③渐进线条数：（n-m ）条，与实轴交点坐标：mn --=∑∑零点极点1σ与实轴夹角：()mn k -+±=πϕ121。
④分离点与会合点：使0*=dsdK ，并使*K >0的点 ⑤复数极点出射角：∑∑-+︒=量辐角其他极点至该极点的向零点至极点的向量辐角1801p θ对非最小相位系统∑∑-='量辐角其他极点至该极点的向零点至极点的向量辐角1p θ 复数零点的入射角：∑∑+-︒=角极点至该零点的向量辐量辐角其他零点至该零点的向1801z θ对非最小相位系统∑∑+-='角极点至该零点的向量辐量辐角其他零点至该零点的向1z θ⑥与虚轴交点：（a ）用劳斯判据确定，用辅助方程求得（b ）ωj s =代入闭环特征方程，由实部=0，虚部=0求得例1：()()()210++=s s s Ks G解：渐进线（3条）：()()10321-=--+-=σ，()πππϕ,3312=+±=k由()()0211=+++s s s K，则()()21++-=s s s K ，()()026323223*=++-=++-=s s dsss s d ds dK ，得 ⎩⎨⎧-=-==-=385.0,577.1385.0,423.0*22*11K s K s 与虚轴的交点：方法一02323=+++K s s s ，劳斯阵：Ks K sKs s 0123323021-要与虚轴有交点，则有一行全零，即6032=⇒=-K K辅助方程：j s s 20632,12±=⇒=+ 方法二将ωj s =代入特征方程：()()()02323=+++K j j j ωωω2,60320332==⇒=-=-ωωωωK K 虚部：实部：，则与虚部的交点6,22,1=±=K j s 根轨迹如下图例2：()()32220+++=s s s K s G 解：渐进线一条。
自动控制第五章根轨迹法资料
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绘制根轨迹的基本条件
根轨迹的幅值条件：
n
s pj
j 1
负反馈根轨迹的相角条件：
m
n
(s z j ) (s pi ) (2q 1)
j 1
i 1
满足此式的根轨迹，称为1800根轨迹；
正反馈根轨迹的相角条件：
m
n
(s z j ) (s pi ) (2q)
j 1
i 1
满足此式的根轨迹，称为00根轨迹；
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绘制根轨迹的基本条件
n
s pi
i 1 m
K1
s zj
j 1
m
n
(s z j ) (s pi ) (2q 1)
j 1
i 1
➢ 根轨迹的幅值条件不仅取决于系统开环零极点的分 布，同时还取决于开环根轨迹的增益K1。
➢ 根轨迹的相角条件仅仅取决于系统开环零极点的分 布，与开环根轨迹的增益K1无关。
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第一章根轨迹的基本概念
根轨迹的概念的提出 反馈控制系统的性质取决于闭环传函。只要求解
出闭环系统的根，系统的响应就迎刃而解。但是对于 3阶以上的系统求根比较困难。如果系统中有一个可 变参数时，求根更困难了。
1948年，伊凡思提出了一种确定系统闭环特征根 的图解法——根轨迹法。在已知开环零极点分布的基 础上，当某些参数变化时确定闭环极点的一种简单的 图解方法。
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第二节 绘制根轨迹的基本规则
当K1 时，① s z j ( j 1 ~ m) ，上式成立。 z j 是开环传递
函数有限值的零点，有m个。故n阶系统有m支根轨迹的终点在
利用这一方法可以分析系统的性能，确定系统应 有的结构和参数。
3
第一节 根轨迹的基本概念
第四章 根轨迹法
r 0,1,2,, n m 1
jω
5 3
r 0, 600 r 1, 1800 r 2, 3000
0
σ
五.实轴上的根轨迹 规则五：实轴右侧的开环零、极点个数总和为奇数时， 该实轴段属于根轨迹。
相角条件
( s z j ) ( s pi ) (2r 1)1800
求取分离点与会合点的方法
计算思想：寻找特征方程中k的极值。 闭环特征方程： 1 G ( s ) H ( s ) 0
k ( s z1 )( s z 2 )....( s z m ) k N( s ) G(s) H (s) ( s p1 )( s p2 )....( s pn ) D( s)
根轨迹终止于[s]平面的无穷远处。
闭环特征方程：
( s z1 )( s z 2 )....( s z m ) 1 ( s p1 )( s p2 )....( s pn ) k
当k→∞，得
( s z1 )( s z2 )....( s zm ) 0
即 s z j ( j 1,2,..., m) 闭环极点就是开环零点。 说明根轨迹终止于开环零点。
( s z j ) ( s pi ) (2r 1)1800
j 1 i 1
m
n
r 0,1,2,
按相角条件绘制根轨迹图
具体方法是：在复平面上选足够多的试验点，对每 一个试验点检查它是否满足相角条件，如果是则该 点在根轨迹上，如果不是则该点不在根轨迹上，最 后将在根轨迹上的试验点连接就得到根轨迹图。
k=2 k=0 －2 k=1 －1
K→∞
jω
j k=0 0
第4章 根轨迹法
m n
sk
s+
jω
s+p
s
j=1 n
=
1 ； K gk
−z j
z
j
i
αj
βi
σ
0
∑ α jk − ∑ βik = ±180 (1 + 2k) (k = 1, 2,⋯)
j=1 i =1
−p i
幅值条件为：
∏ s + zj ∏ s + pi
i =1 j=1 n
m
1 = Kg
幅角条件：
∑ α j − ∑ βi = ±180 (1 + 2k)
j=1 i =1
m
n
(k = 1, 2,⋯)
三、应用幅值条件确定 K g 值
jω
△
某控制系统的开环传递函数为
1 K g (s + ) K(8s + 1) 8 G(s)H(s) = 2 = s (2s + 1) s 2 (s + 1 ) 2
-0.5 L3
sk L 1,2 l 60° σ
1 8 1 p1 = − 2 z1 = −
可见，闭环零点由前向通道的零点和反馈通道的极点组成， 闭环零极点放大系数等于前向通道零极点放大系数 K Gg 。
一、根轨迹的连续性 第二节 绘制根轨迹的一般规则 二、根轨迹的分支数 三、根轨迹的对称性 四、根轨迹的起点和终点
m m
j=1 lim n s→∞ i =1
∏ s + zj ∏ s + pi
六、根轨迹的分离点和会合点
D(s) K g (s) = − N(s)
dK g (s) ds
=0
D' (s)N(s) − N ' (s)D(s) = 0
根轨迹法的基本概念
K*
s1,2 1
1 K*
令K*（由0到∞ ）变动，s1、s2在s平面的移动轨 迹即为根轨迹。
K* 0, s1 0, s2 2 K* 1, s1 1, s2 1 K* 2, s1 1 j, s2 1 j K* 5, s1 1 2 j, s2 1 2 j
特征方程的根 运动模态 性、系统性能）
1
1
1 ,d 4
m
(s zi )
1 G(s)H(s) 0
G(s)H(s) K*
i1 n
m
(s pj )
(s zi )
j 1
K * i1 n
1
(s pj )
j 1
m
n
模值条件： (s zi ) (s pj ) (2k 1)
i1
j1
n
s pj
相角条件： K *
j 1 m
s zi
i 1
相角条件是确定根轨迹的充分必要条件。相角条件满足(2k 1) 称为180º根轨迹。
4-2 绘制根轨迹的基本法则
一、基本法则
1、 根轨迹的起点和终点：
根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点；如果开环零点个数少于 开环极点个数，则有（n-m)条根轨迹终止于无穷远处。
起点： K* 0 s pi
K* s p1 s z1
i 1, 2, n
s pn s zm
终点： K* s zi j 1, 2, m
例题：单位反馈系统的开环传递函数为：G(s)H (s) K *(s 1)
s(s 2)(s 3)
试绘制闭环系统的根轨迹
解： 1、开环零点z1=-1，开环极点p1=0，p2=-2，p3=-3， 根轨迹分支数为3条，有两个无穷远的零点。
根轨迹法-精选文档
180 ( 2 k 1 ), k 1 , 2 ,
i 1 zi j 1 pj
m
n
K
m
A zi A pj
i1 n
1
j1
5.3绘制根轨迹的基本法则
系统开环增益K变化时绘制根轨迹法则如下：
1)根轨迹的起点与终点
根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点，如 果 开环零点数m小于开环极点数n，则有(n-m)条根 轨迹终止于无穷远处。
比较复杂，特别是当分析系统参数变化对整个系统的 影响时，就显得非常复杂与不便。根轨迹法是通过图
解法方便的表示闭环极点和系统某一参数变化的全部
关系，在工程上得到了较广泛的应用。
5.1根轨迹的概念
根轨迹是开环系统的某一参数从零变到无穷 时，闭环特征方程的根在s平面运行的轨迹。
根轨迹是通过系统开环传递函数和闭环传递 函数之间的关系来建立的，表现的是闭环极点随 系统某一参数变化而产生的变化，进而通过这些 变化来分析系统的性能。
根轨迹方程也可表示为： 相角条件
[ G ( s ) H ( s )] 180 ( 2 k 1 ), k 0 , 1 , 2 ,
幅值条件
G (s )H (s ) 1
传递函数也可写为如下形式： K ( s z )( s z ) ( s z ) 1 2 m G ( s ) H ( s ) ( s p )( s p ) ( s p ) 1 2 n 其向量表达式为： j j zm z 1 K A e A e 1 zm G ( s ) H ( s ) z j j p 1 pn A e A e p 1 pn
根轨迹
2
G0 s
K ss 1s 2
2 j s2 2 j
求 s3 ?
4．3广义根轨迹 (前面按根轨迹方程K从0→∞变化时的根轨迹叫常规根轨迹) 除根轨迹增益K变化以外的根轨迹统称为广义根轨迹。 如：参数根轨迹，m>n时的根轨迹，零度根轨迹 一、参数根轨迹 以根轨迹增益K以外的参数为可变参数绘制的根轨迹，称为参数根轨迹。
pi z j
i 1 j 1
n
m
nm
倾角（方向角）为：
2k 1
nm
k 0,1,2,n m 1
5．实轴上的根轨迹仅决定于实轴上的开环极点和开环零点。若实轴上某线段右边的实零、极点总数
为奇数，则该线段是根轨迹，为偶数时不是。 6．根轨迹的分离点与分离角。两条或两条以上根轨迹分支在s平面相遇又立即分开的点，称为根轨 迹的分离点。根轨迹进入分离点的切线方向与离开分离点的切线方向的夹角称为根轨迹的分离角。 m n m 1 ★无零点时， 分离点的坐标d满足方程： 1 1 0
k * k
(s )
=
(s p i ) k * (s z j )
i 1
j 1
n
k (s z i ) (s p j ) j 1
* G i 1
f
h
m
三、根轨迹方程
特征方程：
根轨迹方程
特征方程 1+GH = 0
1 Gs H s 0
1 K
s z
例：已知 G0 s s s 2
K s 4
,确定分离点或会合点,证明根轨迹在实轴外的部分是圆。
n m p a 2k 1 p a z j pa pi i 1 j 1 ia n m z a 2k 1 z a z j z a pi i 1 jj 1 a
根轨迹法
四．根轨迹法反馈系统的稳定性由系统的闭环极点确定。
研究系统参数变化对闭环系统特性的影响，是分析系统和设计控制器的重要内容。
参数变化的作用，体现在对闭环极点的影响上。
对于高阶系统，用解析方法说明这种影响，很困难，且不易理解。
图解法是一种方便的近似方法。
4-1 根轨迹法的基本概念 1． 根轨迹概念根轨迹法：根据参数变化∞→0，研究系统闭环极点变化轨迹的一种图解方法。
即在参数变化时图解特征方程。
近似作图；重要区域，如与虚轴的交点与实轴的交点等，根轨迹要准确；依据根轨迹图，可以确定合适的系统参数，为设计控制器提供依据。
例图4-1，研究系统的开环增益K 的变化∞→0， 对闭环极点的影响。
开环传递函数)15.0()(+=s s Ks G ，闭环传递函数Ks s K s 222)(2++=Φ，特征方程0222=++K s s ，根轨迹方程1)2(-=+s s k ，∞→=0,2K k 。
该例的解析分析为2/11)21(1K s -+-=，2/12)21(1K s ---=。
参见图4-2。
开环极点X ，开环零点O ；根轨迹上的箭头表示参数增大的方向。
2． 根轨迹与系统性能 以图4-2为例，(1) 稳定性： 根轨迹始终都处于S 平面左半部，则无论参数取多大的值，闭环系统稳定；若在参数的某些取值范围，有根轨迹段(闭环极点)处于S 平面右半部，则闭环系统在该参数范围不稳定。
根轨迹与虚轴的交点出的参数值，为参数临界值。
(2) 稳态性能：在研究开环增益K 对闭环极点作用时，据在原点处的开环极点个数就可以知道系统的误差型别。
(3) 动态性能：从根轨迹上的共轭复数极点，能够知道该振荡模态的阻尼系数，对高阶系统的动态性能有粗略估计。
3． 根轨迹方程根轨迹方程实际上是便于应用规则绘制根轨迹图的标准形式的特征方程。
例 已知负反馈开环传递函数：∏∏==------=++++++++=ni i mj j nn n n mm m m p s z s k a s a s a s b s b s b s b s H s G 111111110)()()()( ；根轨迹方程1)()(11-=--∏∏==ni i mj j p s z s k 。