7.5多元复合函数的求导法则和微分法则
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多元复合函数的求导法则
z = f (u, v), u = ϕ(x, y), v =ψ (y)
z = f (u, v, t), u = ϕ(t),
v =ψ (t)
z = f (u, x, y), u = ϕ(x, y)
解 (1)
z = f (u, v), u = ϕ(x, y), v =ψ (y)
+
∂z ∂z ∂u = ∂x ∂u ∂x ∂z = ∂u ∂z = ∂u ∂z ∂z = ∂y ∂u
2 2 x2 + y2 +x4 sin2 y
x2 + y2 +z2
∂f ∂u ∂f ∂f ∂z ∂f ∂f ∂z = = + ⋅1 + ⋅0 + ∂y ∂y ∂x ∂z ∂y ∂y ∂z ∂y
= 2ye
x2 + y2 +z2
4
x2 + y2 +z2 x2 cos y ⋅ + 2ze
x2 + y2 + x4 sin2 y
y
∂z ∂u ∂z ∂v ∂z + = ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y
注
设 u = ϕ( x, y)、 =ψ( x, y)及w = ω( x, y) 都在点 v
(x,y) 具有对x及对y的偏导数，函数z=f(u,v,w)在对应点 (u,v,w)有连续偏导数，则复合函数
z = f [ϕ(x, y),ψ (x, y),ω(x, y)]
= eu (sin v + y cos v) = ex+ y[sin( xy) + y cos(xy)]
∂z ∂z ∂u ∂z ∂v = + ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y
= eu sin v ⋅1 + eu cos v ⋅ x
多元复合函数的求导法则
分线相加
同理可得
z z u z v y u y v y
返回
一、多元复合函数求导法则 —链锁规则
设下列各公式中所出现的函数均满足所需条件， 且有相应的导数或偏导数。 1、全导数 情形1 链锁规则公式
u z x
全导数
v
dz z du z dv dx u dx v dx
dh h dV w dr dt V dt r dt 3 6V r 2 4 3 e r r
返回
dh 6 V r 2 (2 e ) dt r r
设t0时刻沙丘体积为60立方米、底面半径为6米，则
dh 6 60 6 2 (2 e ) dt t t0 6 6
3
dz ,求 . dt
〖解〗由多元复合函数求导法则得全导数为：
x z y
2
t
dz z dx z dy dt x dt y dt 2 cos t f x 3t f y
部分抽象函数
□
设f具有二阶连续偏导数，如何求二阶导数？
d z d dz 2 dt dt dt d 2 (cos t f x 3t f y ) dt
返回
视y为常数
视u,v为常数
【例8】设 u f ( x, y, z ), z g ( x, y), y h( x, t ), t ( x),
du 求 . dx
〖解〗方法1(链锁规则公式)
x u y z
x y
x
x
du f dx x
f h h d y x t dx
情形5
x z u v
x y
z f f u f v x x u x v x z f u y u y
复合函数微分法
u u x u y u z t x t y t z t
u
xyst来自z特殊地 z u v x型
dz z du z dv . dx u dx v dx
上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况. 如
dz z du z dv z dw dt u dt v dt w dt
x 2 y 2 u2
，而 u x 2 sin y .
解
z f u f x u x x
2ue
x 2 y 2 u2 2
2 x sin y 2 xe
x 2 y 2 u2
x 2 y 2 u2
2 x(1 2 x sin y )e z f u f . y u y y 2ue
z f u f . y u y y
把 z f [ ( x , y ), x , y ] 中的 y 看作不变而对
把 z f ( u, x , y ) 中 的 u 及 y 看作不变 而对 x 的偏导数
x 的偏导数
区 别 类 似
例 4 设 f ( u, x , y ) e 求 z , z . x y
z z u z v y u y v y
e u sin v x e u cos v 1
e xy [ x sin( x y ) cos( x y )].
z z 练习 设 z e sin v , u x y , v x y , 求 , . x y z v z 解 v x x
z z x z y t x t y t
在点 ( s, t ) 可微， 且它关于 s 与 t 的偏导数分别为
z z x z y s x s y s
u
xyst来自z特殊地 z u v x型
dz z du z dv . dx u dx v dx
上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况. 如
dz z du z dv z dw dt u dt v dt w dt
x 2 y 2 u2
，而 u x 2 sin y .
解
z f u f x u x x
2ue
x 2 y 2 u2 2
2 x sin y 2 xe
x 2 y 2 u2
x 2 y 2 u2
2 x(1 2 x sin y )e z f u f . y u y y 2ue
z f u f . y u y y
把 z f [ ( x , y ), x , y ] 中的 y 看作不变而对
把 z f ( u, x , y ) 中 的 u 及 y 看作不变 而对 x 的偏导数
x 的偏导数
区 别 类 似
例 4 设 f ( u, x , y ) e 求 z , z . x y
z z u z v y u y v y
e u sin v x e u cos v 1
e xy [ x sin( x y ) cos( x y )].
z z 练习 设 z e sin v , u x y , v x y , 求 , . x y z v z 解 v x x
z z x z y t x t y t
在点 ( s, t ) 可微， 且它关于 s 与 t 的偏导数分别为
z z x z y s x s y s
多元函数的求导法则-精选
z z u z v y u y v y
x yx y
eusinvx eucovs1
e x y [x six n y ) (co x y s )( ]
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主讲人： 苏本堂
例2. u f(x ,y ,z ) e x 2 y 2 z 2 ,z x 2 sy i,求nu , u x y
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推广: 设下面所涉及的函数都可微 .
1) 中间变量多于两个的情形. 例如, zf(u,v,w ),
u ( t ) ,v ( t ) ,w ( t )
z
d z z du z dv z dw d t u d t v dt w dt
在点 t 可导, 且有链式法则 dzzduzdv dt u dt v dt
z
uv
证: 设 t 取增量△t , 则相应中间变量 t t
有增量△u ,△v ,
zzuzvo() (( u)2( v)2)
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zzuzv o ( ) (( u)2( v)2)
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第四节多元复合函数的求导法则
一、多元复合函数求导的链式法则 二、多元复合函数的全微分
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一、多元复合函数求导的链式法则
定理. 若函数 u (t),v (t)在 t可 点 ,z导 f(u,v) 在点 (u,v)处偏导连续, 则复合函数 zf((t) ,(t))
e xy[x six ny ) (co x y s )]d(y 所以 zexy[ysixn y()co x sy)(]
多元复合函数的求导法则
多元复合函数的求导法则为了简化讲解，假设我们有一个复合函数f(g(x))，其中g(x)是一个一元函数，f(y)是一个多元函数。
我们希望计算该函数的导数。
下面是多元复合函数求导的三种基本法则。
法则一：链式法则链式法则是求导复合函数最常用的法则。
它可以帮助我们计算f(g(x))的导数。
根据链式法则，导数可以通过链式相乘的方式进行计算。
链式法则的公式为：(f(g(x)))'=f'(g(x))*g'(x)其中f'(y)是f(y)对变量y的导数，g'(x)是g(x)对变量x的导数。
通过链式法则，我们可以将f(g(x))的导数转化为f'(g(x))和g'(x)的乘积。
法则二：导数反函数法则导数反函数法则是求导复合函数的另一种常用法则。
它适用于求导符合函数的反函数的导数。
设y=g(x)是一个可逆函数，且g'(x)≠0，则它的反函数x=g⁻¹(y)的导数可以通过导数的反函数进行计算。
导数反函数法则的公式为：(g⁻¹(y))'=1/(g'(x))其中g'(x)是g(x)对变量x的导数。
通过导数反函数法则，我们可以计算得到反函数的导数。
法则三：隐函数法则隐函数法则适用于求导复合函数中的隐式函数。
隐式函数是一种表示函数关系的方程，它的导数可以通过隐函数法则进行计算。
假设我们有一个隐函数F(x,y)=0，其中y=g(x)是一个表示x与y的关系的函数。
我们可以使用隐函数法则计算y的导数。
隐函数法则的公式为：(dy/dx) = - (∂F/∂x) / (∂F/∂y)其中(∂F/∂x)和(∂F/∂y)分别表示F(x,y)对变量x和y的偏导数。
通过隐函数法则，我们可以计算得到复合函数的导数。
综上所述，链式法则、导数反函数法则和隐函数法则是求导复合函数的三种基本法则。
这些法则能够帮助我们解决复杂的多元函数求导问题，提高计算效率。
多元复合函数求导的链式法则
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第四节多元复合函数的求导法则
一、多元复合函数求导的链式法则 二、多元复合函数的全微分
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一、多元复合函数求导的链式法则
定理. 若函数
z f (u, v)
处偏导连续, 则复合函数
在点 t 可导, 且有链式法则
dz z d u z dv d t u d t v d t
z x
z
2
x y
f1
z x y
f 13
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二、多元复合函数的全微分
设函数 都可微, 则复合函数 z f ( ( x, y ) , ( x, y ) ) 的全微分为
dz z x dx z y dy
z u z v ( )dy u y v y u u v v ( dx dy ) ( dx dy ) x y x y
z
x y z
2
x
2 2 2
y
2 ye
x y z
2ze
x cos y
2 4 2
2
2 ( y x sin y cos y ) e
4
x y x sin
y
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例3. 设 z u v sin t , u e , v cos t , 求全导数
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练习 1. 设
u x u y u z f1 f1 1 y f1
求偏导数。
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第四节多元复合函数的求导法则
一、多元复合函数求导的链式法则 二、多元复合函数的全微分
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一、多元复合函数求导的链式法则
定理. 若函数
z f (u, v)
处偏导连续, 则复合函数
在点 t 可导, 且有链式法则
dz z d u z dv d t u d t v d t
z x
z
2
x y
f1
z x y
f 13
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二、多元复合函数的全微分
设函数 都可微, 则复合函数 z f ( ( x, y ) , ( x, y ) ) 的全微分为
dz z x dx z y dy
z u z v ( )dy u y v y u u v v ( dx dy ) ( dx dy ) x y x y
z
x y z
2
x
2 2 2
y
2 ye
x y z
2ze
x cos y
2 4 2
2
2 ( y x sin y cos y ) e
4
x y x sin
y
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例3. 设 z u v sin t , u e , v cos t , 求全导数
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练习 1. 设
u x u y u z f1 f1 1 y f1
求偏导数。
多元复合函数的求偏导法则
2x(1 2x2 sin2 y)ex2y2x4 sin2 y
z f f u y y u y
当然也可代入直接求偏导
ex2y2u2 2y (ex2y2u2 .2u) (x2 cos y)
2( y x4 sin y cos y)ex2 y2x4 sin2 y
式中
（z 或
x
z y
）是表示复合后函数
另一种解法：代入直接求偏导
z ln(e2x2y2 x2 y)
2 x2 y2
2e 2x z e x y x
e2 x2 y2
1
x
y2
(e2x2 y2
x2
y)
x
2x y2
2
z y
e2x2y2
1
x
y2
(e2x2y2
x2
y)
y
4 ye2x2 y2 1 e2xy2 x y2
注：
（1）求复合函数偏导数时，最后要将中间变量都 换成自变量表示。 （2）用哪一种方法因题而定 （3）有些复杂的或不易直接求解的多元函数求偏 导问题，我们可以引进中间变量。
x y z
【例6】 设x2 + 2y2 + 3z2 = 4x，求 z ,
解法2：公式法
x
z , y
2z xy
令F(x, y, z) x2 2y2 3z2 4x
则 Fx 2x 4 ，Fy 4 y ， Fz 6z
故
z x
z y
Fx FFzy Fz
2x 4 2 x 6z 3z
图7-21
z z u z y u y y
多元复合函数的求偏导法则：多元复合函数对某一自 变量的偏导数，等于这个函数对各个中间变量的偏导数 与这个中间变量对该自变量的偏导数的乘积和。
多元复合函数的求导法则
u v
上式两端同时除以△t ，得到
.
3
z f u f v o( ) ( (u)2 (v)2 )
t u t v t t 令 t 0, 则有u 0, v 0,
z
u du , v dv
uv
t dt t dt
o ( ) o( ) (u)2 ( v)2 0 t t
t
t
u xyz xt
u f f f
z
dt u dt v dt t
v e t u sin t cos t
uvt
e t (cost sin t) cos t
tt
注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与 验证解的问题中经常遇到, 下列几个例题有助于掌握 这方面问题的求导技巧与常用导数符号.
求导口诀 : 分段用乘, 分叉用加.
在对应点（u, v）可微, 则复合函数 z f ( (t), (t))
在点 t 可导, 且有链法则（见右边的树图）
dz f du f dv dt u dt v dt 证: 设 △t 为t 的增量, 则相应中间变量
z
uv
有增量△u ,△v , 由于 f 可微，所以
tt
z f u f v o ( ) ( (u)2 (v)2 )
d t 2 u dt v dt
.
5
定理2. 设 z f (u,v) 在对应点可微
u(x,y)， v(x,y)偏导数都存在，
则
z z u z v
x u x v x
z
uv x yx y
z z u z v y u y v y 推广: 设下面所涉及的函数都可微 . 1) 中间变量多于两个的情形. 例如,
注意防止记号的混淆.
.
上式两端同时除以△t ，得到
.
3
z f u f v o( ) ( (u)2 (v)2 )
t u t v t t 令 t 0, 则有u 0, v 0,
z
u du , v dv
uv
t dt t dt
o ( ) o( ) (u)2 ( v)2 0 t t
t
t
u xyz xt
u f f f
z
dt u dt v dt t
v e t u sin t cos t
uvt
e t (cost sin t) cos t
tt
注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与 验证解的问题中经常遇到, 下列几个例题有助于掌握 这方面问题的求导技巧与常用导数符号.
求导口诀 : 分段用乘, 分叉用加.
在对应点（u, v）可微, 则复合函数 z f ( (t), (t))
在点 t 可导, 且有链法则（见右边的树图）
dz f du f dv dt u dt v dt 证: 设 △t 为t 的增量, 则相应中间变量
z
uv
有增量△u ,△v , 由于 f 可微，所以
tt
z f u f v o ( ) ( (u)2 (v)2 )
d t 2 u dt v dt
.
5
定理2. 设 z f (u,v) 在对应点可微
u(x,y)， v(x,y)偏导数都存在，
则
z z u z v
x u x v x
z
uv x yx y
z z u z v y u y v y 推广: 设下面所涉及的函数都可微 . 1) 中间变量多于两个的情形. 例如,
注意防止记号的混淆.
.
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z z u z v x u x v x
z
u v
x y
z z u z v y u y v y
（2 2型）
求导公式
函数结构（路线图）
例 z u2v uv2,u x cos y, v x sin y, 求 z , z .
wy
求和的项数等于路径条数(加法原理）
每一项的因子数等于每条路线上的步骤数 （乘法原理）
推广(2) 设w = f (u, v) , u (x, y, z), v (x, y, z) 其复
合函数为 w f [(x, y, z), (x, y, z)] u
x
w w u w v x u x v x
用7.3的方法直接求偏导数
推广(1) 设z= f (u,v,w), u u(x, y),v v(x, y), w w(x, y) 其复合函数为 z f [u(x, y),v(x, y), w(x, y)]
z z u z v z w. z
u v
x
dy dy du dx du dx
y
u
x
1.全导数
A.典型结构
定理1（全导数） 设函数 u = (x) 与v = (x) 在x 处均可导, 二元函数 z = f (u , v)在 x 对 应点(u , v)处有一阶连续偏导数，则对于复合函数
z f [(x), (x)] 最终的自变量只有一个时求全导
z f f v z f v . z x
x x v x y v y
v
x y
注意2：一般地对于函数z f (x, y)
即 z v
不至于引起混淆时，不必区分
z x
,
f x
，z
x
,
z 'x ,
fx,
f x
以上几种符号，神马（什么）都是一样的 见教材
2w
xz
f11
f12 xy
yf2
yz( f21
f22 xy)
f1'
1
x y
2z
f11 y( x z) f12 xy2zf22 yf2
f
' 2
1
x y
2z
二、多元复合函数的微分法则
得（偏）导数者得（全）微分
设函数z f (u,v)具有连续偏导数，则有全微分 dz z du z dv ; u v
D 二阶导数
例f (u, v) u2 2uv v2
思考：设z f (u,v),则,一般地：
(A) fu既是u的函数,也是v的函数 √
(B) fu只是u的函数,不是v的函数
同理fv既是u的函数,也是v的函数
例 3 设w f ( x y z, xyz)，f 具有二阶
连续偏导数，求w 和 2w . x xz
dz z du z dv z dw dx u dx v dx w dx
最终的自变量只有一个时求全导
u zv x
w
（31型）
这些结构均为典型结构
B.特殊结构:双重身份，身兼数职 z
ex2.设z u2v3 cost,u sin t, v et ,求 dz . dt
2 xe x2 y2 z2 2ze x2 y2 z2 2x sin y
u f f z y y z y
2 ye x2 y2 z2 2ze x2 y2 z2 x2 cos y
C.抽象函数的导数 及其导数简便符号的引入
（如教材P285例4）
解 令 u x y z, v xyz; 记
同理有 f2, f11, f22 .
f (u, v) u
fu
f1
f1,
2 f (u, v)
uv
fuv f12 f12
w x
f u u x
f v
xv（ 或f1fu
dz z du z dv . z dx u dx v dx
求导公式
u
x
v （21型）
函数结构（路线图）
例1设 z u2v, u cos x, v sin x 求全导数 dz
dx
解1 由复合函数求导法则，得
u
dz z du z dv
z
v
x
dx u dx v dx
x u x v x w x
wy
z z u z v z w. z y u y v y w y
u v
x
wy
（3 2型）
复合函数求导法则特征说明
u z z u z v z w. z v
x
x u x v x w x
z
x v
x y
注意1:
这里的
z 与 f
x x
是代表不同的意义.
彻底求导
不彻底求导
z f f v x x v x
z f v . y v y
z
x v
x y
注意1: 这里的
z与
x
f x
是代表不同的意义.
彻底求导
不彻底求导
将复合函数 z f [x, (x, y)] 将函数z=f (x, v)中的v 中的y看成不变对x求偏导 看成不变对x求偏导
解：
彻底 dz z z du z dv 求导 dt t u dt v dt
u vt t
不彻底 求导
将复合函数 z f (u, v,t) 将函数z=f (u, v, t)中
挖地三尺，对所有的t（包 的u, v看成不变，而
括在线的和隐身的）求导 对明摆着的t求偏导
ex2.设z u2v3 cost,u sin t, v et ,求 dz .
7.5 多元复合函数的求导法则和微分法则 一、多元复合函数的求导链式法则 二、多元复合函数的微分法则
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导言：首先要求对一元（复合）函数求导 法则烂熟于胸
其次，要求对本节所介绍的多元函数求导法 则理解透彻。简言之，要熟悉多元的游戏规则。
一、多元复合函数的求导链式法则
一元复合函数求导法则
y f (u), u (x), y f [(x)]
w
y
vz
（2 3型）
w w u w v w w u w v y u y v y z u z v z
u z
v
x
ux
ux
zv
y
w
w
y
v
y z
2 2型
3 2型
2 3型
x
z u y 1 2型 z dz u z dz u x du x y du y
（2 1型）
解2 将u cos x,v sin x,代入z u2v得z F(x, y)
用7.3的方法直接求偏导数
类似题型：P322 16（4）；P285 例2（1）
推广：设z= f (u,v,w), u u(x),v v(x), w w(x)
其复合函数为 z f [u(x), v(x), w(x)]
yzf2; w
yzfv）
u v 1
x y x
或w
2
y
例 3 设w f ( x y z, xyz)，f 具有二阶 1
x
连续偏导数，求w 和 2w . x xz
w 2y
w f1 yzf2 x
f1 f1 f1(x y z, xyz),
注意 f2 f2 f2(x y z, xyz)
类似题： P322 16（5） P284 例1（1）
求全导还是求偏导 不用死记硬背
这些结构均为典型结构
B 特殊结构：双重身份，身兼数职
设z=f (x, v) ,v (x, y) 复合函数为z f [x, (x, y)]
z f f v x x v x
z f v . y v y
类似题型： P285 例2（2） ； P323 16（7）
2.偏导数
A.典型结构
定理2（偏导数） 设 u (x, y),v (x, y)在点(x,
y)处有偏导数, 而 z = f (u, v)在对应点(u, v)有连续偏导
数, 对于复合函数 z f [(x, y), (x, y)] 有：
f z
P271倒数
上式中的
与 代表 相同 的意义.
v v
第2行
ex3.设u f ( x, y, z) e x2 y2 z2 , z x2 sin y, 求 u , u . x y
Solution.
x
x
uy
y
z
u f f z x x z x
x y
解1由复合函数求导法则
ux
z z u z v ... z
v
y
x u x v x
类似题：
z z u z v ... P322 16（1,2,3）
y u y v y
P284 例1（2）
解2 将u x cos y,v xsin y,代入z u2v uv2得z F(x, y)
u dt
特殊结构:双重身份
zv t
身兼数职
t
Sol. dz z z du z dv dt t u dt v dt
u2v3 sin t 2uv3 cost cost 3u2v2 costet
e3t sin t(2 cos2 t 3sin t cost sin2 t)
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z u