画曲面立体的截交线解析
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第6章 曲面立体及截交线
截平面位置 立 体 图 与V面平行 与H面平行 与V面垂直
投 影 图
六、圆球体切割
例5-11 圆球被一正垂面截切，完成其水平投影和侧 例5-11 求圆球被正垂面截切的截交线 面投影。 绘图步骤： (1)截交线的投影为椭圆，投 影椭圆上短轴的两个端点Ⅰ、 Ⅱ与长轴的两个端点Ⅲ 、 Ⅳ； (2)求截交线与轮廓线的交点 Ⅴ 、Ⅵ ； (3)求截交线与轮廓线的交点 Ⅶ 、Ⅷ ； (4)依次光滑连接各点； (5)检查并加粗可见轮廓线。 点击播放视频
c
a
例5-5 圆柱表面取点
a” (c”) b”
b
二、圆锥的投影及表面取点
圆锥的形成 圆锥是由一直母线绕与它相交的轴线旋转一周形 成的，具有一个底面和一个回转面（圆锥面）。 圆锥面上所有素线相交于锥顶，所有纬圆平行。
锥顶 圆锥面 母线 底面 轴线 素线 纬圆
(a) 圆锥面的形成 点击图片播放视频
(b) 圆锥的结构特征 圆锥的特征
s’
例5-6 圆锥表面取点
s”
a”
e’
e”
s
a e
素线法
二、圆锥的投影及表面取点
2、表面取点
例5-6 圆锥表面取点
例5-6 如图所示，已知点 A在圆锥表面上，并知它 的正面投影a’，可采用下 列两种方法求出点A的水 平投影a和侧面投影a” 。
s’
s”
a”
s a
纬圆法
三、圆球的投影及表面取点
圆球的形成 一圆周绕自身的一直径旋转一周即形成圆球， 形成的回转面称为圆球面。平面与球面的交线为 一个圆，称为纬圆。
(c) 圆锥面的结构特征
二、圆锥的投影及表面取点
1、投影分析 圆锥面的轮廓素线 圆锥的轴线垂直 SA、SB将圆柱面分成可 于H面。圆锥底圆为水 见的前半部分与不可见 平面，水平投影反映实 的后半部分。 形，其正面和侧面投影 轮廓素线SC、SD将 积聚为水平直线。 圆柱面分成可见的左半 圆锥面的水平投影 部分与不可见的右半部 为圆，其正面和侧面投 分。 影为三角形。
投 影 图
六、圆球体切割
例5-11 圆球被一正垂面截切，完成其水平投影和侧 例5-11 求圆球被正垂面截切的截交线 面投影。 绘图步骤： (1)截交线的投影为椭圆，投 影椭圆上短轴的两个端点Ⅰ、 Ⅱ与长轴的两个端点Ⅲ 、 Ⅳ； (2)求截交线与轮廓线的交点 Ⅴ 、Ⅵ ； (3)求截交线与轮廓线的交点 Ⅶ 、Ⅷ ； (4)依次光滑连接各点； (5)检查并加粗可见轮廓线。 点击播放视频
c
a
例5-5 圆柱表面取点
a” (c”) b”
b
二、圆锥的投影及表面取点
圆锥的形成 圆锥是由一直母线绕与它相交的轴线旋转一周形 成的，具有一个底面和一个回转面（圆锥面）。 圆锥面上所有素线相交于锥顶，所有纬圆平行。
锥顶 圆锥面 母线 底面 轴线 素线 纬圆
(a) 圆锥面的形成 点击图片播放视频
(b) 圆锥的结构特征 圆锥的特征
s’
例5-6 圆锥表面取点
s”
a”
e’
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素线法
二、圆锥的投影及表面取点
2、表面取点
例5-6 圆锥表面取点
例5-6 如图所示，已知点 A在圆锥表面上，并知它 的正面投影a’，可采用下 列两种方法求出点A的水 平投影a和侧面投影a” 。
s’
s”
a”
s a
纬圆法
三、圆球的投影及表面取点
圆球的形成 一圆周绕自身的一直径旋转一周即形成圆球， 形成的回转面称为圆球面。平面与球面的交线为 一个圆，称为纬圆。
(c) 圆锥面的结构特征
二、圆锥的投影及表面取点
1、投影分析 圆锥面的轮廓素线 圆锥的轴线垂直 SA、SB将圆柱面分成可 于H面。圆锥底圆为水 见的前半部分与不可见 平面，水平投影反映实 的后半部分。 形，其正面和侧面投影 轮廓素线SC、SD将 积聚为水平直线。 圆柱面分成可见的左半 圆锥面的水平投影 部分与不可见的右半部 为圆，其正面和侧面投 分。 影为三角形。
曲面立体的截交线、贯穿点、相贯线.
1
d
f
e
29
平面体与曲面立体相交 交线 （相贯线）
共性
交线为二表面所共有线 求交线的本质 求二表面的共有点
本节重点讨论：求交线的基本方法
30
求交线的基本方法
作图步骤看动画演示
31
求交线的基本方法
例
此段外形轮廓线消失
（直线）构成的封 交线投影分析 实质是求平面体 闭的空间折线 交线的投影作图 各表面与回转体 H、 W投影已知 求V投影 求截交 的交线
特殊点 外形轮廓线 中间点 终止点 光滑连接曲线 截交线投影 虚实分界点 交线可见性
11
例 圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个投影。
3’
2’ 1’5”4” (4’)(5’)
3” 2” 1”
具体步骤如下： （1）先求特殊点。 （2）再求一般点。 （3）依次光滑连接各点。
5 4 3 2 1 4 5
内、外交线分别求解 注意检查 孔的外形轮廓线投影 截平面与孔的交线
7
4、平面与圆锥体相交 平面P与圆锥面的交线
P
P
P轴线 交线为圆
P∠轴线 > 交线为椭圆
8
平面P与圆锥面的交线
P
P
P ∠轴线 = 交线为抛物线
P ∠轴线 0 < 交线为双曲线
9
平面P与圆锥面的交线
P
归纳
P轴线 交线为圆 P∠轴线 > 交线为椭圆 P∠ 轴线 = 交线为抛物线 P∠轴线 0< 交线为双曲线 P过锥顶 交线为直线
10
P过锥顶 交线为直线
例 求截交线
椭圆短轴的投影 是什么点？
P
P
椭圆画法
抓“四点”绘制曲面立体截交线
抓“四点”绘制曲面立体截交线作者：余敏来源：《教育教学论坛》 2016年第2期余敏（海军蚌埠士官学校，安徽蚌埠233012）摘要：截交线是截平面和几何体表面共有点的集合，为了正确清楚地表达零件的形状，必须正确地画出相应的截交线。
绘制截交线的常用方法是取点法，在取点过程中如何确定其中特殊点的位置是解题的关键，“四点法”给出了取点绘制曲面立体截交线的有效思路和方法。
关键词：四点法；截平面；截交线；曲面立体中图分类号：G712 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2016）02-0184-02作者简介：余敏（1965-），女（汉族），安徽六安人，大学本科，教员，研究方向：士官基础教育。
一、曲面立体的截交线实际的机器零件，有许多都是根据结构需要经过截切基本几何体而得到的。
一立体被一平面（该平面称为截平面）所截切，在该立体表面上所产生的交线称为截交线。
截交线的形状由立体形状以及截平面与立体的相对位置等决定。
截交线是截平面和立体表面的公共点组成的点的集合，一般是由直线或曲线围成的封闭的平面图形。
若平面立体被一个截平面所截切，截交线是一个平面多边形；若曲面立体被一个截平面所截切，截交线是一条封闭的平面曲线，或者是直线段围成的多边形，或者是直线段和曲线段围成的平面图形。
为了正确清楚地表达零件的形状，必须正确地画出相应截交线（形状）。
截交线是截平面和立体表面共有点的集合，因此，手工绘制曲线时，在明确截交线投影特性（积聚性、类似性等）的基础上，必须找到一些重要、关键、特殊位置上的点，才能较准确地画出截交线。
二、曲面立体截交线上的“四点”这里的曲面立体主指圆柱体、圆锥体和圆球体。
“四点”（4类特殊点）是指对绘制曲线有影响的各种点，它们决定着截交线的位置、范围和形状。
三、抓“四点”绘制曲面立体截交线的一般步骤1.根据曲面立体表面性质与截平面的位置，分析、判别截交线的性质和形状。
2.求出截交线特殊位置上的“四点”。
4-2 曲面立体-截交线
§4-2 截交线
3、平面切割圆球体
圆球有无穷多条回转轴线，故它与平面的截交线总是圆。 当截平面为投影面平行面时，截交线的三投影为一个圆与 两条直线段。
PV QV
截平面为水平面
§4-2 截交线
截平面为侧平面
3、平面切割圆球体
例7 完成半球切槽的水平投影和侧面投影。
分析： 切槽由一对侧平面和一个水平面组成，截平面与圆球面的交线都是圆。
PV
分析：
截平面是正垂面，截交线 的正面投影积聚为直线，底面 投影随圆柱面积聚为一个圆； 其侧面投影待求。
§4-2 截交线
1、平面切割圆柱体
例1 求正垂面P与直立正圆柱面的截交线。
PV 5'(6') 1'(2') 4' 8 4 7 7'(8') 2 6 3 3' (6 ”) 2” 8” (3 ”) 7” 4” (5 ”) 1”
§4-2 截交线
(2)求侧平面的水平投影； (3)求直线ⅠⅡ、ⅢⅣ、ⅤⅥ和ⅦⅧ 的 侧面投影；
(4)求圆弧及水平截断面的侧面投影； (5)完成作图。
1、平面切割圆柱体
例5 完成带切口圆筒的水平投影和侧面投影。
矩形
分析：
圆环的一部 分
1.形体分析：基本体为空心圆柱体； 2.位置分析：弄清楚被切的位置； 3.截断面分析：搞清楚截断面的形状； 4.投影分析：截断面分别为侧平面和水平面。
RV
截交线为 椭圆
椭圆的短轴与 圆柱直径相等
§4-2 截交线
绘制 截交 线三 视图
1、平面切割圆柱体
(4)当截平面倾斜于圆柱轴线且与顶面相交时，截交线是由 直线段和椭圆弧围成的平面图线。 截切动画 三视图中截切
3、平面切割圆球体
圆球有无穷多条回转轴线，故它与平面的截交线总是圆。 当截平面为投影面平行面时，截交线的三投影为一个圆与 两条直线段。
PV QV
截平面为水平面
§4-2 截交线
截平面为侧平面
3、平面切割圆球体
例7 完成半球切槽的水平投影和侧面投影。
分析： 切槽由一对侧平面和一个水平面组成，截平面与圆球面的交线都是圆。
PV
分析：
截平面是正垂面，截交线 的正面投影积聚为直线，底面 投影随圆柱面积聚为一个圆； 其侧面投影待求。
§4-2 截交线
1、平面切割圆柱体
例1 求正垂面P与直立正圆柱面的截交线。
PV 5'(6') 1'(2') 4' 8 4 7 7'(8') 2 6 3 3' (6 ”) 2” 8” (3 ”) 7” 4” (5 ”) 1”
§4-2 截交线
(2)求侧平面的水平投影； (3)求直线ⅠⅡ、ⅢⅣ、ⅤⅥ和ⅦⅧ 的 侧面投影；
(4)求圆弧及水平截断面的侧面投影； (5)完成作图。
1、平面切割圆柱体
例5 完成带切口圆筒的水平投影和侧面投影。
矩形
分析：
圆环的一部 分
1.形体分析：基本体为空心圆柱体； 2.位置分析：弄清楚被切的位置； 3.截断面分析：搞清楚截断面的形状； 4.投影分析：截断面分别为侧平面和水平面。
RV
截交线为 椭圆
椭圆的短轴与 圆柱直径相等
§4-2 截交线
绘制 截交 线三 视图
1、平面切割圆柱体
(4)当截平面倾斜于圆柱轴线且与顶面相交时，截交线是由 直线段和椭圆弧围成的平面图线。 截切动画 三视图中截切
第5章(4)曲面立体截切
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3(4● )
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4
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3 1
●
●
●
2
●
●
●
●4
截交线空间 侧面形状？ 已知投影？ 形状？
●
●
3
●
截平面与轴线 夹角变 长、短轴变
何时为圆？
45°
截平面与轴线 夹角45°
例2 圆柱开方槽。 ◐ 分析 ◆圆柱左部开方槽 ◆上下对称 ◆方槽——两水平面、一侧平面 ◆水平面与圆柱面——两直线 ◆侧平面与圆柱面——两圆弧
PV
与锥面的截交线不同
PV
θ PV PV θ
α
α
θ PV
α
θ = 90°
过锥顶
θ ＞α 椭圆
圆
两相交直线
例7 已知俯视图，补全主视图，画出左视图。 ◐ 分析 平面截切圆锥 正平面∥轴线,θ =0°<α ◎与锥面交线——双曲线 ◎与底面交线——直线 ◎正投影——实形 ◎水平、侧投影——直线 ◐ 作图 ◆ 作特殊点A、B、C
主视方向
◐ 作图 ◆画出完整圆柱的三视图 ◆开槽圆柱体的三视图 ◆加深轮廓线
注意
方槽范围内 水平转向线被切去
例3 圆筒上开方槽。 ◐ 分析 ◆圆筒左部开方槽 ◆上下对称 ◆方槽——两水平面、一侧平面 ◆水平面与圆筒——上下各四直线 ◆侧平面与圆筒——内外四圆弧 ◐ 作图 ◆画出完整圆筒的三视图 ◆开槽圆筒的三视图 ◆加深轮廓线
●
例9 求作顶尖的俯视图。 复合回转体
● ●
●
● ●
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● ●
● ● ● ●
●
复合回转体——基本回转体及连接关系 求出各基本回转体的截交线——依次连接
3(4● )
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4
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2
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●4
截交线空间 侧面形状？ 已知投影？ 形状？
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截平面与轴线 夹角变 长、短轴变
何时为圆？
45°
截平面与轴线 夹角45°
例2 圆柱开方槽。 ◐ 分析 ◆圆柱左部开方槽 ◆上下对称 ◆方槽——两水平面、一侧平面 ◆水平面与圆柱面——两直线 ◆侧平面与圆柱面——两圆弧
PV
与锥面的截交线不同
PV
θ PV PV θ
α
α
θ PV
α
θ = 90°
过锥顶
θ ＞α 椭圆
圆
两相交直线
例7 已知俯视图，补全主视图，画出左视图。 ◐ 分析 平面截切圆锥 正平面∥轴线,θ =0°<α ◎与锥面交线——双曲线 ◎与底面交线——直线 ◎正投影——实形 ◎水平、侧投影——直线 ◐ 作图 ◆ 作特殊点A、B、C
主视方向
◐ 作图 ◆画出完整圆柱的三视图 ◆开槽圆柱体的三视图 ◆加深轮廓线
注意
方槽范围内 水平转向线被切去
例3 圆筒上开方槽。 ◐ 分析 ◆圆筒左部开方槽 ◆上下对称 ◆方槽——两水平面、一侧平面 ◆水平面与圆筒——上下各四直线 ◆侧平面与圆筒——内外四圆弧 ◐ 作图 ◆画出完整圆筒的三视图 ◆开槽圆筒的三视图 ◆加深轮廓线
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例9 求作顶尖的俯视图。 复合回转体
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复合回转体——基本回转体及连接关系 求出各基本回转体的截交线——依次连接
机械绘图——曲面立体截切
机械绘图——曲面立体截切
三、圆球
1、圆球的形成
球的表面是球面。球面是一条圆母线绕过圆心且在同一平面 上的轴线回转而形成的。
机械绘图——曲面立体截切
2、球的投影
球的三个投影 均为圆，其直径与 球直径相等，但三 个投影面上的圆是 不同的转向轮廓线 的投影。
机械绘图——曲面立体截切
3、球面上取点
m’
在投影图上表示 回转体，就是把组成 立体的回转面或表示 出来，然后判断可见 性。
回转面用转向轮 廓线表示。转向轮廓 线是与曲面相切的投 射线的交点所组成的 线段。
转向轮廓线
转向轮廓线 机械绘图——曲面立体截切
一、圆柱
1、圆柱的投影
圆柱表面由圆柱面和顶面、底面所组成。圆柱面是 由一条母线绕与之平行的轴线回转而成。
b’ c’(d’) d
d” a’(b’) c” Z
s’
(3) 作出锥 顶的正面投 影和侧面投
V
S
s” W 影并画出正
面转向轮廓
a
s
b
c 圆锥的投影
a’
X
b’ c’d’
Ad
a
d”
线和侧面转
Ba”(b”) c” 向轮廓线。
bC
c
Y
机械绘图——曲面立体截切
3、圆锥表面上取点
机械绘图——曲面立体截切
4. 圆锥面上的曲线
㈠ 圆柱体表面的截交线
截平面与圆柱面的交线的形状取决于截 平面与圆柱轴线的相对位置。
平行 两平行直线
垂直
圆
机械绘图——曲面立体截切
倾斜 椭圆
㈠ 圆柱体的截切
截交线的形状取决于截平面与圆柱轴线的相对位置。
垂直 圆
平行 两平行直线
三、圆球
1、圆球的形成
球的表面是球面。球面是一条圆母线绕过圆心且在同一平面 上的轴线回转而形成的。
机械绘图——曲面立体截切
2、球的投影
球的三个投影 均为圆，其直径与 球直径相等，但三 个投影面上的圆是 不同的转向轮廓线 的投影。
机械绘图——曲面立体截切
3、球面上取点
m’
在投影图上表示 回转体，就是把组成 立体的回转面或表示 出来，然后判断可见 性。
回转面用转向轮 廓线表示。转向轮廓 线是与曲面相切的投 射线的交点所组成的 线段。
转向轮廓线
转向轮廓线 机械绘图——曲面立体截切
一、圆柱
1、圆柱的投影
圆柱表面由圆柱面和顶面、底面所组成。圆柱面是 由一条母线绕与之平行的轴线回转而成。
b’ c’(d’) d
d” a’(b’) c” Z
s’
(3) 作出锥 顶的正面投 影和侧面投
V
S
s” W 影并画出正
面转向轮廓
a
s
b
c 圆锥的投影
a’
X
b’ c’d’
Ad
a
d”
线和侧面转
Ba”(b”) c” 向轮廓线。
bC
c
Y
机械绘图——曲面立体截切
3、圆锥表面上取点
机械绘图——曲面立体截切
4. 圆锥面上的曲线
㈠ 圆柱体表面的截交线
截平面与圆柱面的交线的形状取决于截 平面与圆柱轴线的相对位置。
平行 两平行直线
垂直
圆
机械绘图——曲面立体截切
倾斜 椭圆
㈠ 圆柱体的截切
截交线的形状取决于截平面与圆柱轴线的相对位置。
垂直 圆
平行 两平行直线
第3、4章 立体的投影(2基本曲面立体截交线)
（a）题图
（b）作截交线的正面投影
图4-19 圆弧回转体被铅垂面截切后的投影
5、组合体的截交线
组合体可分解为若干基本几何体，因此，求平面与组合 体的截交线，就是分别求出平面与各个几何体的截交线。
[例4-15] 如图4-20（a），求作平面截切组合回转体 的截交线。
（a）题图
（b）立体图
图4-20 求平面截切组合回转体的截交线
转向线的投影特点？
e
e f k" d
A
k' (f )
d
C
f
e
d
F点在C转向线上。
4.2.2 回转体的截交线
P101
回转体被平面截切，在回转体表面上产生截交线，截 切的位置不同，其截交线的形状也不同。回转体的截交线 一般为封闭的平面曲线或平面曲线与直线的组合，在特殊 情况下是直线组成的平面多边形。截交线上的每一点都是 截平面与回转体表面的共有点，所以求截交线的问题可归 结为求截平面与回转体表面的共有点问题。
1
2 1 （2 ） 3 （4 ） 4 3
（ ）
4
1
2
3
一般点：K点，不在转向线上；
一般点利用素线法或纬圆法求出第2面投影，则很容易求出第3 面投影。
别忘了可见 性判断！
圆锥表面上的点
辅助素线
1) 作一般点E（素线法） 2) 作一般点E (辅助平面法）
辅助平面
辅助纬圆
素线法求一般点
纬圆法求一般点(好！)
图4-12 求作圆柱体切口的投影
2、 平面与圆锥体相交
P106
当平面与圆锥相交时，由于截平面对圆锥轴线的相对位置 不同，其截交线可能是圆、椭圆、抛物线、双曲线及两条相交 直线，如表4-2的五种情况。 记住！ 记住！
第4章 平面与曲面立体相交、两曲面立体相交
图4-7 辅助平面法作图原理
例：求作如图所示部分球体与圆锥台的相贯线。
(1) 空间分析及投影分析：
部分球体为 1／4 球前后对称地切去两块而成，圆锥台的轴 线垂直于水平面但不通过球心，其相贯线为前后对称的封闭空 间曲线。因为球与锥台的各投影都没有积聚性 , 故需用辅助平 面法求作相贯线。
(2) 作图：
② 作一般位置点。 在点I、III的高度范围 内 , 选取水平面 R 为辅助平 面,平面R与球及圆锥台的截 交线分别是以r2、r3为半径 的圆弧, 它们的交点Ⅴ、Ⅵ 就是相贯线上的点。先求出 水 平 投 影 5 、 6, 然 后 找 到 5′、 6′和 5" 、 6", 如图 (d)所示。
③ 依次光滑连接各点的 投影, 并判别可见性, 完 成相贯线的投影。最后 注意，圆锥台左视轮廓 素线画到2"、4"两点， 球体左视轮廓素线上有 一段虚线, 如图 (e)所示。
① 辅助平面法的实质， 是求辅助平面分别截两立 体所得截交线的交点。
② 辅助平面位置选取的原则，是使辅助平面分别 截两立体所得截交线的形状最简单(直线和圆)，以便用 工具作图。
例：求轴线正交的水平圆柱与直立圆锥的相贯线。
解题步骤：
1'
4' 3'
1"
PV1 PV2
PV3
2" y y
4" PW1
PW2
g"(h")
c"
y
d e a g c h f b
y
2、利用辅助平面法求相贯线
作图原理 ：
如图，为了求作部分球 体与圆锥台相交的表面共有 点，假想用一平面P （称为 辅助平面）截切两立体。平 面P 与部分球体的截交线为 一个圆LA，平面P 与圆锥台 的截交线也为一个圆LB。 LA 与LB的交点K1和K2 即为辅助 平面P、球体和圆锥台三个表 面的共有点，因此也是相贯 线上的点。 这种利用三面共点的原 理求相贯线上的点的方法叫 做辅助平面法。
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0°≤θ＜α 双曲线
任务三 画圆锥的截交线
例1:圆锥被正平面截切，补全视图。
e′
●
●
●
c′ d′
●
●
a′
b′
●e" ● c"(d")
● a"(b")
E
C
DB
A
a● c●
e
●
●d
●
b
任务三 画圆锥的截交线
例:圆锥被正垂面截 切，补全各视图。
截交线的 空间形状？
如何找椭圆另 一根轴的端点？
★找特殊点 ★补充中间点 ★光滑连接各点 ★分析轮廓线的投影
垂直 圆
倾斜 椭圆
任务二 画圆柱的截交线
●
●
●
●
●
●
●
★找特殊点 ★补充中间点 ★光滑连接各点 ★分析轮廓素线的投影
任务三 画圆锥的截交线
根据截平面与圆锥轴线的相对位置不同，截 平面与圆锥面的交线有五种形状。
α
α
α
α
θ
θ
θ
过锥顶 两相交直线
θ =90° 圆
90°＞ ＞θ α 椭圆
θ＝α 抛物线
画曲面立体的截交线
广州铁路职业技术学院 模具教研室
机械制图与CAD
任务一 了解曲面立体的截交线
• 截交线是截平面与回转体 表面的共有线。
• 截交线的形状取决于回转 体表面的形状及截平面与回 转体轴线的相对位置。
任务二 画圆柱的截交线
截平面与圆柱面的交线的形状取决于 截平面与圆柱轴线的相对位置。
平行 两平行直线
任务四 画圆球的截交线
平面与圆球相交，截交线的形状都是圆，但 根据截平面与投影面的相对位置不同，截交线的 投影可能为圆、椭圆或积聚成一条直线。
平行截切 投影为圆
斜切 投影为椭圆
任务四 画圆球的截交线
例：求半球体截切后的俯视图和左视图。
水两平个面侧与平圆面球与面圆的球交面线的 交的线投的影投，影在，俯在视侧图视上上为为部部 分分圆圆弧弧，，在在俯侧视视图图上上积积聚聚为 直为线直。线。