2019-2020年高二数学数学归纳法公开课教案 人教版

2019-2020年高二数学数学归纳法公开课教案人教版

一教学目标

1、知识和技能目标

(1)了解数学推理的常用方法（归纳法）

(2)理解数学归纳法原理和其本质的科学性

(3)初步掌握数学归纳法证题的两个步骤和一个结论。

(4)会用数学归纳法证明简单的恒等式。

2、过程与方法目标

通过对归纳法的引入，说明归纳法的两难处境，引出数学归纳法原理，使学生理解理论与实际的辨证关系。在学习中培养学生探索发现问题、提出问题的意识，解决

问题和数学交流的能力,学会观察——归纳——猜想——证明的思想方法，能用总结、归纳、演绎类比探求新知识。

3.情感态度价值观目标

通过对问题的探究活动，亲历知识的构建过程，领悟其中所蕴涵的数学思想和辨证唯物主义观点；体验探索中挫折的艰辛和成功的快乐，感悟“数学美”，激发学习

热情，培养他们手脑并用，多思勤练的好习惯和勇于探索、锲而不舍的治学精神。初

步形成正确的数学观，创新意识和科学精神。

二教学重点和难点

教学重点（1）使学生理解数学归纳法的实质。

（2）掌握数学归纳法证题步骤,尤其是递推步骤中归纳假设和恒等变换的运

用。

教学难点：

（1）使学生理解数学归纳法证题的有效性；

（2）递推步骤中归纳假设的利用和代数恒等变换。

三教学方法：引导发现法.讲练结合法.

四教学手段：利用计算机多媒体课件、投影仪讲解教学。

五教学过程：

（一）创设情景、探究原理、激起兴趣

问题情境一：

问题（1）大球中有5个小球，如何验证它们都是绿色的？

（课件演示）

问题（2）：若a n=(n2- 5n+5)2,则a n=(n2-5n+5)2=1

问题（3）：若－1＋3= 2

－1＋3－5= －3

－1＋3－5＋7= 4

－1+3－5＋7－9=－5

可猜想：

－1+3－5＋…＋（－1）n（2n－1）＝（－1）n n吗

问题情境二：投影：数学家费马运用不完全归纳得出费马猜想的事例。

小结

归纳法：由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法

归纳法分为完全归纳法和不完全归纳法

①完全归纳法：考察全体对象，得到一般结论的推理方法

（结论一定可靠，但需逐一核对，实施较难）

②不完全归纳法，考察部分对象，得到一般结论的推理方法

（结论不一定可靠，但有利于发现问题，形成猜想）

问题情境三：如何解决不完全归纳法存在的问题呢？

多米诺骨牌操作实验

问题（4）如何保证任何条件下骨牌一一倒下？需要几个步骤才能做到？

①处理第一个问题；（相当于推倒第一块骨牌）

②验证前一问题与后一问题有递推关系；（相当于前牌推倒后牌）。

（二）导入课题,例练结合,激发思维

数学归纳法定义：对于由不完全归纳法得到的某些与自然数有关的数学命题我们常采用下面的方法来证明它们的正确性：

(1) 先证明当n取第一个值n

0(例如n

=1) 时命题成立，

(2) 然后假设当n=k(k∈N＋,k≥n0)时命题成立证明当n=k+1时命题也成立，这种证明方法

叫做数学归纳法.

【回顾问题（3）】

例1：用数学归纳法证明：

－1+3－5＋…＋（－1）n（2n－1）＝（－1）n n （*）

证明: (1)当n=1时,左边=－1,右边=－1,

∴当n=1时，结论成立

(2)假设当n=k时结论成立，

即－1+3－5＋…＋（－1）k（2k－1）＝（－1）k k

在这个假设下再考虑当n=k+1时式（*）的左右两边。

左边＝－1+3－5＋…＋（－1）k（2k－1）＋（－1）k＋1 [2(k+1)－1] =（－1）k k ＋（－1）k＋1 [2(k+1)－1]

＝（－1）k＋1 [－k＋2(k+1)－1]

凑假设从n=k到n=k+1 有什么变化

＝ （－1）k ＋1 (k+1)＝右边 所以当n=k+1时等式（*）成立。 由（1）（2）可知，

－1+3－5＋ …＋（－1）n （2n －1）＝（－1）n n

数学归纳法是一种证明与正整数有关的数学命题的重要方法。。 主要有两个步骤、一个结论:

（1）证明当n 取第一个值n 0（如 n 0=1或2等）时结论正确（找准起点，奠基要稳） （2）假设n=k 时结论正确，证明n=k+1时结论也正确（用上假设，递推才真） （3）由（1）、（2）得出结论(结论写明,才算完整)

其中第一步是递推的基础，解决了特殊性；第二步是递推的依据，解决了从有限到无限的过渡。这两步缺一不可。只有第一步，属不完全归纳法；只有第二步，假设就失去了基础。

例2用数学归纳法证明：1×4+2×7+3×10+…+n(3n+1)=n(n+1)2

（分析见课件）

(三)练习巩固,展示强化,激活思维

1、某个命题与自然数n 有关, 如果当n = k ( k ∈N ＋ ) 时该命题成立 , 那么可推得当n = k + 1 时该命题也成立. 现在已知n = 5 时该命题不成立, 那么请判断以下各命题的正确性： (1) n = 4 时该命题不成立; (2) n = 6 时该命题不成立; (3) n = 1 时该命题可能成立;

(4) n = 6 时该命题可能成立. 如果n = 6 时该命题成立, 那么对于任意n ≥6 ，该命题都成立.

+=+++++++=

+k k k s s k

k k k s 121312111.2，那么设 解析: ○

1观察 ， 1)各项分母都是连续的自然数 2)第一项的分母分别是 3)最后一项的分母分别是

○

2从n=k 到n=k+1项数上有什么变化,多了那些项,少了项呢? 3.如下用数学归纳发证明对吗？

证明：①当n=1时，左边＝，右边＝

②设n=k 时，有

当n=k+1时，有

2112

11]

)21(1[212

12121211112+++-=--=++++k k k k ）

（

即n=k+1时，命题成立。

由①②可知，对n ∈N +，等式成立

4. 用数学归纳法证明:1×2＋2×3＋3×4＋…＋n(n ＋1)＝. （四）归纳小结,自我整合,激升思维.

1．用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项： ① 明确初始值n 0并验证真假。（必不可少）

凑结论

n n 21(12121212132-=＋＋＋＋求证： k k )21(12

121212132-=＋＋＋＋