2019·新课标高考总复习·数学6 7数学归纳法
高考数学一轮复习方法指导：数学归纳法
2019年高考数学一轮复习方法指导：数学归纳法数学归纳法是一种数学证明方法，通常被用于证明某个给定命题在整个（或者局部）自然数范围内成立，下面是小编整理2019年高考数学一轮复习方法指导：数学归纳法，希望对您高考复习有所帮助.(一)第一数学归纳法一般地，证明一个与正整数n有关的命题，有如下步骤(1)证明当n取第一个值时命题成立，对于一般数列取值为1，但也有特殊情况，(2)假设当n=k(k≥[n的第一个值]，k为自然数)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。
(二)第二数学归纳法对于某个与自然数有关的命题，(1)验证n=n0时P(n)成立，(2)假设no综合(1)(2)对一切自然数n(>n0)，命题P(n)都成立，(三)螺旋式数学归纳法P(n)，Q(n)为两个与自然数有关的命题，假如(1)P(n0)成立，(2)假设P(k)(k>n0)成立，能推出Q(k)成立，假设Q(k)成立，能推出P(k+1)成立，综合(1)(2)，对于一切自然数n(>n0)，P(n)，Q(n)都成立，(四)倒推数学归纳法(又名反向数学归纳法)(1)对于无穷多个自然数命题P(n)成立，一般说来，“教师”概念之形成经历了十分漫长的历史。
杨士勋（唐初学者，四门博士）《春秋谷梁传疏》曰：“师者教人以不及，故谓师为师资也”。
这儿的“师资”，其实就是先秦而后历代对教师的别称之一。
《韩非子》也有云：“今有不才之子……师长教之弗为变”其“师长”当然也指教师。
这儿的“师资”和“师长”可称为“教师”概念的雏形，但仍说不上是名副其实的“教师”，因为“教师”必须要有明确的传授知识的对象和本身明确的职责。
(2)假设P(k+1)成立，并在此基础上推出P(k)成立，教师范读的是阅读教学中不可缺少的部分，我常采用范读，让幼儿学习、模仿。
如领读，我读一句，让幼儿读一句，边读边记；第二通读，我大声读，我大声读，幼儿小声读，边学边仿；第三赏读，我借用录好配朗读磁带，一边放录音，一边幼儿反复倾听，在反复倾听中体验、品味。
高三数学一轮复习知识点讲解7-6数学归纳法
精品基础教育教学资料，仅供参考，需要可下载使用！专题7.6 数学归纳法【考纲解读与核心素养】1.了解数学归纳原理，会用数学归纳法证明简单的数学命题.2.本节涉及所有的数学核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等.3.高考预测：利用数学归纳法证明数列问题.4.备考重点:（1）数学归纳法原理；（2）数学归纳法的简单应用.【知识清单】知识点1．数学归纳法1.证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立．(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．2.数学归纳法的框图表示【典例剖析】高频考点一利用数学归纳法证明等式【典例1】已知a，b，c，使等式N+都成立，（1）猜测a，b，c的值；（2）用数学归纳法证明你的结论.【答案】（1）；（2）见解析【解析】(1):假设存在符合题意的常数a，b，c，在等式1•22+2•32+…+n（n+1）2=（an2+bn+c）中，令n=1，得4=（a+b+c）①令n=2，得22=（4a+2b+c）②令n=3，得70=9a+3b+c③由①②③解得a=3，b=11，c=10，于是，对于n=1，2，3都有1•22+2•32+…+n（n+1）2=（3n2+11n+10）（*）成立．(2)下面用数学归纳法证明：对于一切正整数n，（*）式都成立．（1）当n=1时，由上述知，（*）成立．（2）假设n=k（k≥1）时，（*）成立，即1•22+2•32+…+k（k+1）2=（3k2+11k+10），那么当n=k+1时，1•22+2•32+…+k（k+1）2+（k+1）（k+2）2=（3k2+11k+10）+（k+1）（k+2）2=（3k2+5k+12k+24）=[3（k+1）2+11（k+1）+10]，由此可知，当n=k+1时，（*）式也成立．综上所述，当a=3，b=11，c=10时题设的等式对于一切正整数n都成立．【总结提升】数学归纳法证明等式的思路和注意点(1)思路：用数学归纳法证明等式问题，要“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是多少．(2)注意点：由n＝k时等式成立，推出n＝k＋1时等式成立，一要找出等式两边的变化(差异)，明确变形目标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确写出证明过程，不利用归纳假设的证明，就不是数学归纳法．【变式探究】（2018·江苏高考模拟（理））在正整数集上定义函数，满足，且．（1）求证：；（2）是否存在实数a，b，使，对任意正整数n恒成立，并证明你的结论．【答案】（1）见解析（2）【解析】（1）因为，整理得，由，代入得，，所以．（2）由，，可得．以下用数学归纳法证明存在实数，，使成立．① 当时，显然成立．② 当时，假设存在，使得成立，那么，当时，，即当时，存在，使得成立．由①，②可知，存在实数，，使对任意正整数n 恒成立．【易错提醒】 数学归纳法的注意事项由n=k 到n=k+1时,除等式两边变化的项外还要利用n=k 时的式子,即利用假设,正确写出归纳证明的步骤,从而使问题得以证明.高频考点二 利用数学归纳法证明不等式【典例2】（2019·浙江嘉兴一中高一期中）已知数列{}n a 满足12a =,()*12(1)n n n a a n N ++=-∈．（Ⅰ）求证：数列{}(1)nn a --是等比数列；（Ⅱ）比较n a 与312n +的大小，并用数学归纳法证明；（Ⅲ）设12nn n n b a a +-=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若n T m <对任意*n N ∈成立，求实数m 的取值范围．【答案】（Ⅰ）见证明（Ⅱ）312n n a +≥（Ⅲ）13m ≥ 【解析】 （Ⅰ）()()()()()()()11112112212111n nn nn n n nnnn n n a a a a a a +++---+----+-===-------且1130a +=≠,(){}1nn a ∴--是以3为首项，2-为公比的等比数列，（Ⅱ）由（Ⅰ）知：()()1132nn n a ---=⨯-()()()()11132+11321n n n n n a ---∴=⨯--=-⨯-1321n n a -∴=⨯-312n n a +≥,下面用数学归纳法证明 （1）当1n =时,3122n n a +=≥（2）假设当*,n k k N =∈时,312k k a +≥, 当1n k =+时,()()1311313212112113222kk k k k a a k ++++⎛⎫=⨯-=+-≥+-=+> ⎪⎝⎭,即当1n k =+时,结论成立， 由（1）（2）得312n n a +≥, （Ⅲ）因为()()()()1112213211321n nn n n n n n n b a a --+--==-⨯--⨯- ()()1122113321321321321n n nn n --⎛⎫==- ⎪⨯-⨯-⨯-⨯-⎝⎭011212112112112111332132133213213321321323213n n n n T -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-=-+=-=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⨯-⨯-⨯-⨯-⨯-⨯-⨯-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 13m ∴≥【典例3】（2020届浙江湖州、衢州、丽水三地市高三上期中）已知数列{}n a 满足()*11()11,1n n a an N n a +==∈+.(1)求23,aa ，并猜想{}n a 的通项公式(不需证明)； (2)求证()*)1n N <∈.【答案】(1) 2311,23a a ==;猜想1n a n=;(2)证明见解析 【解析】(1)2311,23aa == 猜想1n a n====<=<1⋅⋅⋅+)1=-(2)方法二用数学归纳法证明:(1)当1n=时，左边1==，右边)1==左边<右边，不等式成立；(2)假设*()n k k N=∈)1⋅⋅⋅+<，那么当1n k=+)1成立，))11+<只要证明()()12212231k kk+++++即证141k++，即证43k<+只要证明221624816249k k k k++<++，显然成立，所以1n k=+时不等式也成立.综合(1)(2)可得对一切的*n N∈不等式均成立.【例4】（2020届浙江省温州市11月适应测试）已知等差数列{}n a的首项11a=，数列{}2n a的前n项和为nS，且12S+，22S+，32S+成等比数列．（1）求通项公式n a；（2）求证：11nnan a⎫+<⎪⎪⎭*n N∈）；【答案】（1）n a n=；（2）见解析【解析】（1）记d为{}n a的公差，则对任意n*∈N，112222nn nnaa a da++-==，即{}2na 为等比数列，公比20dq =>.由12S +，22S +，32S +成等比数列，得2213(2)(2)(2)S S S +=++，即22[2(1)2](22)[2(1)2]q q q ++=++++，解得2q，即1d =.所以1(1)n a a n d n =+-=，即()n a n n N *=∈；（2）由（1）1)n N n*+<+∈.下面用数学归纳法证明上述不等式.①当1n =时，不等式显然成立；②假设当()n k k N *=∈1k+<，则当1n k =+1k+++<+因0+=<，<.1k+++<+，即当1nk =+时，不等式仍成立.1)n N n*+<+∈.所以1)1)n n a n N n a *+<∈ 【总结提升】数学归纳法证明不等式的适用范围及关键(1)适用范围：当遇到与正整数n 有关的不等式证明时，若用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法．(2)关键：由n ＝k 时命题成立证n ＝k ＋1时命题也成立，在归纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明，充分应用均值不等式、不等式的性质等放缩技巧，使问题得以简化【变式探究】1.（2018·浙江高一期末）已知数列满足，且．Ⅰ使用数学归纳法证明：；Ⅱ证明：；Ⅲ设数列的前n项和为，证明：．【答案】（I）详见解析；（II）详见解析；（III）详见解析.【解析】Ⅰ当时，，故当时命题成立；假设时命题成立，即，当时，注意在单调递增，所以，故，故当时命题成立．因此对任意的，有；Ⅱ由，由Ⅰ知，故．Ⅲ因为，所以因为，所以，故有，．综上所述，．2. （2020届浙江省浙南名校联盟高三上学期第一次联考）已知等比数列{}n a 的公比1q >，且13542a a a ++=，39a +是15,a a 的等差中项，数列{}n b 的通项公式111nn n n b a a +=-+-，*n N ∈.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）证明：11221n n b b b ++++<-，*n N ∈.【答案】（Ⅰ）2nn a =；（Ⅱ）详见解析.【解析】（Ⅰ）由39a +是1a ，5a 的等差中项得153218a a a +=+，所以135a a a ++331842a =+=， 解得38a =， 由1534a a +=，得228834q q+=， 解得24q =或214q =， 因为1q >，所以2q.所以，2nn a =.（Ⅱ）法1：由（Ⅰ）可得12121nn n n b +=-+-，*n N ∈.122121nn nn b +==-+-1112(2121)(2121)(2121)n n n nn n n +++----+----112(2121)2121n n n n n ++---==--+112(2121)21212n n n n n n++---=----， ∴2112(2121)n b b b +++=---+321(2121)2121n n +---++---1121121n n ++=--<-.法2：由（Ⅰ）可得122121nn n n b +=-+-，*n N ∈.我们用数学归纳法证明. （1）当1n =时，1231313b ==-<+，不等式成立；（2）假设n k =（*k N ∈）时不等式成立，即11221k k b b b ++++<-.那么，当1n k =+时，121k k b b b b +++++11122212121k k k k ++++<-+-+-121k +=-+11212122(2121)(2121)(2121)k k k k k k k +++++++----+----112112(2121)212k k k k k +++++---=-+-221k +=-， 即当1n k =+时不等式也成立. 根据（1）和（2），不等式11221n n b b b ++++<-，对任意*n N ∈成立.3.（2018·浙江余姚中学高考模拟）设,对于，有.（1）证明：（2）令,证明：（I）当时，（II）当时，【答案】（1）见解析;（2）（I）见解析;（II）见解析.【解析】（1）若，则只需证只需证成立只需要证成立，而该不等式在时恒成立…故只需要验证时成立即可，而当时，均满足该不等式.综上所得不等式成立.（2）、（I）当时，用数学归纳法很明显可证当时，有;下证：,只需要证,只需证只需证,只需证,只需证.由（1）可知，我们只需要证,只需证,只需证.当时该不等式恒成立 当时，，故该不等式恒成立综上所得，上述不等式成立（II ）、当时，用数学归纳法很明显可证当时，有下证：只需证:,只需证：只需证：,只需证：只需证：,……同理由（2）及数学归纳法，可得该不等式成立. 综上所述，不等式成立高频考点三 归纳、猜想、证明【典例5】（2019·浙江高二期中）已知正项数列{}n a 满足11a =，前n 项和n S 满足()()2*41n n S a n N =+∈，（Ⅰ）求234,,a a a 的值；（Ⅱ）猜测数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法证明． 【答案】（Ⅰ）2343,5,7a a a === ；（Ⅱ）见解析 【解析】（Ⅰ）当2n =时，()22241S a =+，()()222411a a +=+ 解得23a = 当3n =时，()()()2233233341,415S a S a a a =++=+∴=，当4n =时，()24441S a =+，47a = . （Ⅱ）猜想得21n a n =- 下面用数学归纳法证明：①1,2n =时121,3a a ==，满足21n a n =-.②假设n k =时，结论成立，即21k a k =-，则1n k =+时()21141k k S a ++=+()()()221114141k k k k k S a a a a +++∴+=++=+，将21k a k =-代入化简得()22114k a k +-= ，()121211k a k k +∴=+=+-故1n k =+时 结论成立 . 综合①②可知，21n a n =-．【典例6】（2019·吉林高考模拟（理））已知数列{}n a 满足：11a =，点()()*1,n n a a n +∈N 在直线21y x =+上.（1）求2a ，3a ，4a 的值，并猜想数列{}n a 的通项公式； （2）用数学归纳法证明（1）中你的猜想.【答案】（Ⅰ）2343,7,15a a a ===;21n n a =-.（Ⅱ）见解析.【解析】（Ⅰ）因为点()()*1,n n a a n N+∈在直线21y x =+上所以121n n a a +=+， 因为11a =，故22113a =⨯+=，32317a =⨯+=， 427115a =⨯+=，由上述结果，猜想：21nn a =-.（Ⅱ）1︒，当1n =时，1211a =-=成立，2︒，假设当()1,n k k k N =≥∈时，21kk a =-成立，那么，当1n k =+时，()1121221121kk k k a a ++=+=-+=-成立，由1︒，2︒可得21n n a =-.【总结提升】(1)“归纳——猜想——证明”的一般步骤 ①计算(根据条件，计算若干项)．②归纳猜想(通过观察、分析、综合、联想，猜想出一般结论)． ③证明(用数学归纳法证明)．(2)与“归纳——猜想——证明”相关的常用题型的处理策略①与函数有关的证明：由已知条件验证前几个特殊值正确得出猜想，充分利用已知条件并用数学归纳法证明．②与数列有关的证明：利用已知条件，当直接证明遇阻时，可考虑应用数学归纳法． 【变式探究】1.（2019·浙江高二期末）数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()*12N n n na S n S =+-∈．(Ⅰ)求1S ，2S ，3S ，4S 的值；(Ⅱ)猜想数列{}n S 的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论． 【答案】（Ⅰ）112S =，223S =，334S =，445S =；（Ⅱ）见证明【解析】（Ⅰ）当1n =时，∵111112a S S S ==+-，∴112S =， 又2212212a S S S S =-=+-，∴223S =， 同理334S =，445S =； （Ⅱ）猜想()*N 1n nS n n =∈+ 下面用数学归纳法证明这个结论. ①当1n =时，结论成立.②假设()*,1n k k N k =∈≥时结论成立，即1k kS k =+， 当1n k =+时，111112k k k k k a S S S S ++++=-=+-， ∴112k k S S +=-，∴11112221k k k S k S k k ++===-+-+ 即当1n k =+时结论成立. 由①②知1n nS n =+对任意的正整数n 都成立. 2.给出下列不等式：，，，，，……（1）根据给出不等式的规律，归纳猜想出不等式的一般结论；（2）用数学归纳法证明你的猜想.【答案】（1）；（2）详见解析. 【解析】（1）观察不等式左边最后一个数分母的特点：，……猜想不等式左边最后一个数分母，对应各式右端为，所以，不等式的一般结论为：. （2）证明：①当时显然成立；②假设时结论成立，即：成立当时，即当时结论也成立.由①②可知对任意，结论都成立.。
高考数学一轮复习 6.7 数学归纳法精品课件 理 新人教A版
热点之一 数学归纳法的基本原理 数学归纳法是一种只适用于与自然数有关的命题的证明方法，它 的表述严格而且规范，两个步骤缺一不可.第一步是递推的基础，第二 步是递推的依据，第二步中，归纳假设起着“已知条件”的作用，在 第二步的证明中一定要运用它，否则就不是数学归纳法.第二步的关键 是“一凑假设，二凑结论”.
3．数学归纳法证题的步骤
(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值 n＝n0
时，命题成立；
(2)(归纳递推)假设 n＝k
(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明
当
n＝k＋1 时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以
断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．
1．用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3，n∈N)，第一步应验证( )
[例1] 下面给出了用数学归纳法证明：12＋212＋213＋…＋2n1－1
＋21n＝1－21n(n∈N*)的证明步骤，试分析证明过程是否正确？
证明过程如下：(1)当n＝1时，左边＝
1 2
，右边＝1－
1 2
＝
1 2
，
等式成立．
(2)假设n＝k时，等式成立，即
12＋212＋213＋…＋2k1－1＋21k＝1－21k，
(ⅱ)设当n＝k时，ak<ak＋1，则当n＝k＋1时，ak＋2＝c－
1 ak＋1
>c
－a1k＝ak＋1.
故由(ⅰ)，(ⅱ)知当c>2时，an<an＋1.
当c>2时，令α＝c＋ 2c2－4， 由an＋a1n<an＋1＋a1n＝c得an<α； 当2<c≤130时，an<α≤3. 当c>130时，α>3，且1≤an<α，于是
5．在数列{an}中，a1＝1，且Sn，Sn＋1,2S1成等差数列(Sn表示数列 {an} 的 前 n 项 和 ) ， 则 S2 ， S3 ， S4 分 别 为 ________ ； 由 此 猜 想 Sn ＝ ________.
高考数学一轮总复习 6.7数学归纳法
A．n＝k＋1时等式成立
B．n＝k＋2时等式成立
C．n＝2k＋2时等式成立
D．n＝2(k＋2)时等式成立
.
解析 k为偶数，则k＋2为偶数，故选B. 答案 B
.
4．设f(n)＝1＋12＋13＋14＋…＋3n1－1(n∈N*)，则f(n＋1)－f(n) ＝________.
解析 ∵f(n)＝1＋12＋13＋14＋…＋3n1－1， ∴f(n＋1)＝1＋12＋13＋…＋3n1－1＋31n＋3n1＋1＋3n1＋2. ∴f(n＋1)－f(n)＝31n＋3n1＋1＋3n1＋2. 答案 31n＋3n1＋1＋3n1＋2
.
5．用数学归纳法证明：“1＋
1 2
＋
1 3
＋…＋
1 2n－1
<n(n>1)”，
由n＝k(k>1)不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的项的项
数是________．
解析
由n＝k(k>1)到n＝k＋1时，不等式左端增加的项为
1 2k
＋
2k＋1 1＋…＋2k＋11－1，共增加(2k＋1－1)－(2k－1)＝2k项．
.
那么当n＝k＋1时，
1 2×4
＋
1 4×6
＋
1 6×8
＋…＋
1 2k2k＋2
＋
1 2k＋1[2k＋1＋2]
＝4k＋k 1＋4k＋11k＋2＝4kk＋k＋12k＋＋12
＝4k＋k＋11k＋2 2＝4[k＋k＋11＋1]，
即n＝k＋1时等式成立．
由(1)(2)可知，对任意n∈N*等式均成立．
.
考点二
.
高频考点
考点一
用数学归纳法证明等式
【例1】 设f(n)＝1＋12＋13＋…＋1n(n∈N*)． 求证：f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n·[f(n)－1](n≥2，n∈N*)．
高考数学总复习 第6章 第7讲 数学归纳法课件 理 新人教A版
1＋12＋13＋…＋21k＋2k＋1 1＋2k＋1 2＋…＋2k＋1 2k>1＋2k＋ 2k·2k1＋1＝1＋k＋2 1.
又 1＋12＋13＋…＋21k＋2k＋1 1＋2k＋1 2＋…＋2k＋1 2k<12＋k ＋2k·21k＝12＋(k＋1)，
即 n＝k＋1 时，命题成立． 由(1)(2)可知，命题对所有 n∈N*都成立．
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n＝k＋1 时，ak＋1＝Sk＋1－Sk＝2(k＋1)－ak＋1－(2k－ak)， ∴ak＋1＝2＋2 ak＝2＋222k－k－11＝2k＋21－k 1， ∴当 n＝k＋1 时猜想成立；② 综合①②，当 n∈N*时猜想成立．
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(1)利用数学归纳法可以探索与正整数n有关的未知问题、存在性问 题，其基本模式是“归纳—猜想—证明(zhèngmíng)”，即先由合情推 理发现结论，然后经逻辑推理即演绎推理论证结论的正确性． (2)“归纳—猜想—证明(zhèngmíng)”的基本步骤是“试验—归纳—猜 想 — 证 明 (zhèngmíng)” ． 高 中 阶 段 与 数 列 结 合 的 问 题 是 最 常 见 的 问 题．
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[解] (1)a1＝1，a2＝32，a3＝74，a4＝185. (2)猜想 an＝22n－n－11，证明： 当 n＝1 时，a1＝1 猜想显然成立；① 假设当 n＝k(n≥1 且 n∈N*)时，猜想成立， 即 ak＝22k－k－11，Sk＝a1＋a2＋…＋ak＝2k－ak， 那么，
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1.第一个值 n0 n＝k＋1 填一填：(1)3 (2)1＋a＋a2 (3)n2－n＋1 12＋13＋14 2．n＝k＋1 时命题也成立 对一切 n∈N*，n≥n0 选一选：D
高考数学总复习考点知识专题讲解6 数学归纳法
高考数学总复习考点知识专题讲解专题6 数学归纳法数学归纳法是一种重要的数学方法，其应用主要体现在证明等式、证明数列不等式、证明整除性问题、归纳猜想证明等．本高考数学总复习考点知识专题讲解专题主要举例说明利用数学归纳法证明数列问题.知识点一数学归纳法在证明一个与正整数有关的命题时，可采用下面两个步骤：1．(奠基)验证：n＝n0(n0∈N＋)时，命题成立；2．(递推)假设n＝k(k∈N＋，k≥n0)时命题成立，证明n＝k＋1时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以知道：对任何从n0开始的正整数n，命题成立．这种证明方法叫作数学归纳法．3.利用数学归纳法证题的三个关键点(1)验证是基础找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定是1.(2)递推是关键数学归纳法的实质是递推，分析从n＝k到n＝k＋1的过程中，式子项数的变化，关键是弄清等式两边的构成规律，即从n＝k到n＝k＋1，等式的两边会增加多少项、增加怎样的项．(3)利用假设是核心在第二步证明n＝k＋1成立时，一定要利用归纳假设，即把归纳假设“n＝k时命题成立”作为条件．在书写f(k＋1)时，一定要把包含f(k)的式子写出来，尤其是f(k)中的最后一项，这是数学归纳法的核心，不用归纳假设的证明就不是数学归纳法． 【例1】用数学归纳法证明不等式2*2(1)()n n n N >+∈时，初始值0n 应等于．【例2】用数学归纳法证明不等式11113(2,)1224n n N n n n n +++>≥∈+++的过程中，由n k =递推到1n k =+时，不等式左边增加了() A ．12(1)k +B ．112122k k +++C ．11211k k -++D ．112122k k -++【例3】用数学归纳法证明等式(1)(2)(3)()213(21)n n n n n n n ++++=⋅⋅⋅⋅-，其中n N ∈，1n ≥，从n k =到1n k =+时，等式左边需要增乘的代数式为()A ．22k +B ．(21)(22)k k ++C ．211k k ++D ．(21)(22)1k k k +++ 【例4】已知n 为正偶数，用数学归纳法证明111111112()2341242n n n n-+-+⋯+>++⋯+-++时，若已假设(2n k k =≥，且k 为偶数）时等式成立，则还需利用假设再证() A ．1n k =+时不等式成立B ．2n k =+时不等式成立 C ．22n k =+时不等式成立D ．2(2)n k =+时不等式成立知识点二用数学归纳法证明等式 1.看结构（1）看等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n 的取值是否有关，从k n =到1+=k n ，等式两边会增加多少项； 2.配凑项（1）凑假设：将1+=k n 时的式子转化成与归纳假设的结构相同的式子； （2）凑结构：然后利用归纳假设，经过恒等变形，得到结论所需的结构形式. 【例5】用数学归纳法证明：*(1)(2)()213(21)()n n n n n n n N ++⋯+=⨯⨯⨯⋯⨯-∈．【例6】请用数学归纳法证明：223333(1)12...(1)4n n n n ++++-+=．知识点三归纳—猜想—证明1.“归纳—猜想—证明”的主要题型有： （1）已知数列的递推公式，求通项或前n 项和．（2）由一些恒等式、不等式改编的一些探究性问题，求使命题成立的参数值是否存在． （3）给出一些简单的命题(n ＝1，2，3，…)，猜想并证明对任意正整数n 都成立的一般性命题．2.“归纳—猜想—证明”的一般环节（1）计算：根据条件，准确计算出前若干项，这是归纳、猜想的基础；（2）归纳与猜想：通过观察、分析、比较、综合、联想，猜想出一般性的结论； （3）证明：利用数学归纳法证明一般性结论. 【例7】已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，(1)2n n n a a S +=．（1）计算1a ，2a ，3a ，猜想数列{}n a 的通项公式； （2）用数学归纳法证明数列{}n a 的通项公式．知识点四数学归纳法的综合应用用数学归纳法证明不等式的关键是由n k =时成立得1n k =+时成立.要注意两凑：一凑归纳假设；二凑证明目标，在凑证明目标时，主要方法有①放缩法；②基本不等式法；③作差比较法；④综合法与分析法；⑤利用函数的单调性.【例8】（2009•山东理）等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知对任意的*n N ∈，点(,)n n S 均在函数(0x y b r b =+>且1)b ≠，b ，r 均为常数的图象上． （Ⅰ）求r 的值．（Ⅱ）当2b =时，记22(log 1)(*)n n b a n N =+∈，证明：对任意的*n N ∈，不等式成立1212111n nb b b b b b +++⋅⋅⋯⋅>【例9】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且420S =，510a =． （1）求n S ；（2(1)()2n n n S n N +++>∈．【例10】用两种方法证明：33*278()n n n N +--∈能被49整除．【例11】是否存在实数a ，b ，c ，使得等式2(1)135246(2)(4)()4n n n n n an bn c +⋅⋅+⋅⋅+⋯⋯+++=++对于一切正整数n 都成立？若存在，求出a ，b ，c 的值；若不存在，说明理由．【训练1】用数学归纳法证明等式：1221357(1)(21)(1)(21)(1)(23)(1)(2)n n n n n n n n +++-+-++⋯+--+-++-+=-+．要验证当1n =时等式成立，其左边的式子应为()A ．1-B ．13-+C ．135-+-D ．1357-+-+【训练2】用数学归纳法证明21211n n nn ->++对任意(,)n k n k N >∈的自然数都成立，则k 的最小值为()A ．1B ．2C ．3D ．4【训练3】用数学归纳法证明“22n n >对于0n n …的正整数n 都成立”时，第一步证明中的初始值0n 应取() A ．2B ．3C ．4D ．5【训练4】用数学归纳法证明不等式“1111(,2)232nn n N n +++⋅⋅⋅+<∈≥”时，由(2)n k k =…时不等式成立，推证1n k =+时，左边增加的项数是() A ．12k -B ．21k -C ．2k D ．21k +【训练5】用数学归纳法证明222(1)1232n n n +++++=时，由n k =到1n k =+，左边需要添加的项数为()A ．1B ．kC ．2kD ．21k +【训练6】用数学归纳法证明不等式“111131214n n n n ++⋯+>+++”的过程中，由n k =递推到1n k =+时，不等式左边() A ．增加了一项“12(1)k +” B ．增加了两项“121k +”和“12(1)k +”C ．增加了一项“12(1)k +”，但又减少了一项“11k +” D ．增加了两项“121k +”和“12(1)k +”，但又减少了一项“11k +”【训练7】已知经过同一点的*(n n N ∈，3)n ≥个平面，任意三个平面不经过同一条直线，若这n 个平面将空间分成()f n 个部分．现用数学归纳法证明这一命题，证明过程中由n k =到1n k =+时，应证明增加的空间个数为()A ．2kB ．22k +C ．222k k ++D ．22k k ++【训练8】用数学归纳法证明：2221(11)(22)()(1)(2)(3n n n n n n ++++++=++为正整数）．【训练9】已知正数列{}n a 满足233312na n =+++．（1）求1a ，2a ，3a 的值；（2）试猜想数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论．【训练10】用数学归纳法证明：2221112(1)11...23(1)1n n n +-++++<++．【训练11】2(1)2n +．【训练12】用数学归纳法证明：21243()n n n N ++++∈能被13整除．【训练13】用数学归纳法证明：对任意正整数n ，4151n n +-能被9整除．【训练14】在教材中，我们已研究出如下结论：平面内n 条直线最多可将平面分成211122n n ++个部分．现探究：空间内n 个平面最多可将空间分成多少个部分，*n N ∈． 设空间内n 个平面最多可将空间分成32()1f n an bn cn =+++个部分． （1）求a ，b ，c 的值； （2）用数学归纳法证明此结论．。
高考数学一轮复习方法之数学归纳法
2019年高考数学一轮复习方法之数学归纳法2019高考数学的复习一定要有好的方法，以下是数学归纳法，请考生学习。
数学归纳是一种有特殊事例导出一般原理的思维方法。
归纳推理分完全归纳推理与不完全归纳推理两种。
不完全归纳推理只根据一类事物中的部分对象具有的共同性质，推断该类事物全体都具有的性质，这种推理方法，在数学推理论证中是不允许的。
完全归纳推理是在考察了一类事物的全部对象后归纳得出结论来。
数学归纳法是用来证明某些与自然数有关的数学命题的一种推理方法，在解数学题中有着广泛的应用。
它是一个递推的数学论证方法，论证的第一步是证明命题在n=1(或n)时成立，这是递推的基础，第二步是假设在n=k时命题成立，再证明n=k+1时命题也成立，这是无限递推下去的理论依据，它判断命题的正确性能否由特殊推广到一般，实际上它使命题的正确性突破了有限，达到无限。
这两个步骤密切相关，缺一不可，完成了这两步，就可以断定对任何自然数(或nn 且nN)结论都正确。
由这两步可以看出，数学归纳法是由递推实现归纳的，属于完全归纳。
运用数学归纳法证明问题时，关键是n=k+1时命题成立的推证，此步证明要具有目标意识，注意与最终要达到的解题目标进行分析比较，以此确定和调控解题的方向，使差异逐步减小，最终实现目标完成解题。
运用数学归纳法，可以证明下列问题：与自然数n有关的恒等式、代数不等式、三角不等式、数列问题、几何问题、整除性问题等等。
常见数学归纳法及其证明方法(一)第一数学归纳法一般地，证明一个与正整数n有关的命题，有如下步骤(1)证明当n取第一个值时命题成立，对于一般数列取值为1，但也有特殊情况，(2)假设当n=k(k[n的第一个值]，k为自然数)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。
(二)第二数学归纳法对于某个与自然数有关的命题，(1)验证n=n0时P(n)成立，(2)假设no综合(1)(2)对一切自然数n(n0)，命题P(n)都成立，(三)螺旋式数学归纳法P(n)，Q(n)为两个与自然数有关的命题，假如(1)P(n0)成立，(2)假设P(k)(kn0)成立，能推出Q(k)成立，假设Q(k)成立，能推出P(k+1)成立，综合(1)(2)，对于一切自然数n(n0)，P(n)，Q(n)都成立，(四)倒推数学归纳法(又名反向数学归纳法)语文课本中的文章都是精选的比较优秀的文章,还有不少名家名篇。
高考数学 6.7 数学归纳法知识研习课件 理(通用版)
(a≠0)，在验证 n＝1 时，等式左端计算所得的项是( )
A．1 C．1＋a＋a2
B．1＋a D．1＋a＋a2＋a3
解析：n＝1，左边为1＋a＋a2. 答案：C
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第六章 不等式、推理与证明
3．设 f(n)＝n＋1 1＋n＋1 2＋n＋1 3＋…＋21n(n∈N*)，那么
f(n＋1)－f(n)等于( )
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第六章 不等式、推理与证明
因为an≥0恒成立，所以ak＋2＋ak＋1＋1＞0， 所以ak＋2－ak＋1＞0，即ak＋1＜ak＋2， 所以命题对n＝k＋1时也成立． 综上①②可知，原命题成立．
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第六章 不等式、推理与证明
【即时巩固 2】 数列{an}中，a1＝52，an＋1＝2aan－n2 1 (n∈N*)，用数学归纳法证明：an＞2(n∈N*)．
.
1
第六章 不等式、推理与证明
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步 骤进行：
(1)(归纳奠基) 证明当n取第一个值n0时命题成立 ； (2)(归纳递推) 假设n＝k(k∈N*，k≥n0)时命题成立， 证明当n＝k＋1时结论也成立． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所 有正整数n都成立．上述证明方法叫做 数学归纳法 ．
第六章 不等式、推理与证明
考点三 证明整除问题 【案例3】 用数学归纳法证明：f(n)＝3·52n＋1＋23n＋ 1(n∈N*)能被17整除． 关键提示：用数学归纳法证明整除问题，由k过渡到k＋ 1时常使用拼凑法． 证明：(1)当n＝1时， f(1)＝3×53＋24＝391＝17×23， 故f(1)能被17整除，命题成立．
第六章 不等式、推理与证明
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答案：C
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抓主干 双基知 能优化
4．(课本习题改编)在数列{（an}B中·，理a1）＝13且 Sn＝n(2n－1)·an，通过
研考向 计算 a2，a3，a4，猜想 an 的表达式是 ________.
要点知 识探究
解析：a1＝13＝1×1 3，悟真题悟真题 透析解－3)条时，第一步检验第一个值 n0 等于(
)
题策略
提素能 高效题 组训练
A．1 C．3
B．2 D．0
解析：边数最少的凸n边形是三角形．
答案：C
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（B · 理）
抓主干
双基知
能优化
研考向 要点知
2．利用数学归纳法证明不等式 1＋12＋13＋…＋2n－1 1＜f(n)(n≥2，n
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抓主干 双基知 能优化
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研考向 要点知
1．用数学归纳法证明 1＋2＋3＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)(2n＋1)时，
＝?22kk＋2＋1?3?2k＋k＋13?＝2kk＋＋13＝2?k＋k＋11?＋1，
所以当 n＝k＋1 时，等式也成立．
由(1)(2)可知，对一切 n∈N*等式都成立．
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抓主干 双基知 能优化
研考向 要点知 识探究
悟真题 透析解 题策略
提素能 高效题 组训练
2014 · 新课标高考总复习 · 数学 （B · 理）
高效题
组训练
一个与自然数相关的命题，如果 (1)当n取第一个值 n0时命题成立；
在假设当n＝k(k∈N＋，且k≥n0)时命题成立的前提下，推出当 n＝k＋1
时命题也成立，那么可以断定，这个命题对 n取第一个值后面的所有
正整数成立．
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抓主干 双基知 能优化
C．n＝4时该命题不成立
提素能
D．n＝4时该命题成立
高效题
组训练
解析：解法一 由n＝k(k∈N*)时命题成立，可推得当 n＝k＋1时
该命题也成立．因而若 n＝4成立，必有n＝5成立．现知n＝5不成立，
所以n＝4一定不成立．
解法二 其逆否命题为“若当 n＝k＋1时该命题不成立，则当 n＝ k时也不成立”为真，故“n＝5时不成立”? “n＝4时不成立”．
透析解 题策略
当 n＝2 时，a1＋a2＝S2＝2(2×2－1)a2
提素能 高效题 组训练
5a2＝13，a2＝115＝3×1 5；
当 n＝3 时 a1＋a2＋a3＝S3＝3(2×3－1)a3＝15a3 a3＝315＝5×1 7
…
由此可猜想 an＝?2n－1?1?2n＋1?. 答案：an＝?2n－1?1?2n＋1?
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抓主干 双基知 能优化
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研考向
要点知
识探究
第七节 数学归纳法
悟真题 透析解 题策略
提素能 高效题 组训练
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研考向 要点知 识探究
悟真题 透析解 题策略
提素能
数学归纳法
（B · 理）
研考向 要点知
[疑难关注]
识探究
1．数学归纳法是一种重要的数学思想方法，主要用于解决与正
悟真题
透析解 题策略
整数有关的数学问题．证明时步骤 (1)和(2)缺一不可，步骤(1)是步骤(2)
提素能 的基础，步骤(2)是递推的依据．
高效题 组训练
2．在用数学归纳法证明时，第(1)步验算n＝n0的n0不一定为1，
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研考向 要点知 识探究
则当 n＝k＋1 时，1×1 3＋3×1 5＋…＋?2k－1?1?2k＋1?
悟真题 透析解 题策略
＋?2k＋1?1?2k＋3?＝2k＋k 1＋?2k＋1?1?2k＋3?
提素能 高效题 组训练
＝?2kk?＋2k＋1??32?k＋＋13?
而是根据题目要求，选择合适的起始值．第(2)步，证明n＝k＋1时命
题也成立的过程，一定要用到归纳假设，否则就不是数学归纳法．
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研考向 要点知 识探究
1．(课本习题改编)在应用数学归纳法证明凸 n 边形的对角线为12n(n
提素能
高效题 组训练
?2n－1?1?2n＋1?＝2nn＋1.
[证明] (1)当 n＝1 时，左边＝1×1 3＝13，右边＝2×11＋1＝13，左边
＝右边，等式成立．
(2)假设当 n＝k(k∈N*且 k≥1)时等式成立，即有1×1 3＋3×1 5＋…＋ ?2k－1?1?2k＋1?＝2k＋k 1，
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抓主干 双基知
3．某个命题与自然数n有关，若n＝k(k∈N*)时命题成立，那么可
能优化
推得当n＝k＋1时该命题也成立，现已知 n＝5时，该命题不成立，那
研考向
要点知 识探究
么可以推得(
)
悟真题 透析解
A．n＝6时该命题不成立
题策略
B．n＝6时该命题成立
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研考向 要点知
5．(2019年徐州模拟)用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn
识探究
能被x＋y整除”，当第二步假设 n＝2k－1(k∈N*)命题为真时，进而需
悟真题
透析解 题策略
证n＝________时，命题亦真．
提素能
解析：∵n为正奇数，假设 n＝2k－1成立后，需证明的应为 n＝2k
高效题
组训练 ＋1时成立．
答案：2k＋1
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研考向 要点知 识探究
考向一 证明等式
悟真题 透析解 题策略
[例 1] 用数学归纳法证明：对任意的 n∈N*，1×1 3＋3×1 5＋…＋
识探究
∈N*)的过程，由 n＝k 到 n＝k＋1 时，左边增加了( )
悟真题 透析解 题策略
A．1 项
B．k 项
提素能 高效题 组训练
C．2k－1 项
D．2k 项
解析：1＋12＋13＋…＋2k＋11－1－???1＋12＋13＋…＋2k－1 1???
＝21k＋2k＋1 1＋…＋2k＋11－1，共增加了 2k 项，故选 D. 答案：D