关于最佳平方逼近多项式课件
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最佳平方逼近多项式
（2） f g 2 f 2 g 2 ，又称三角不等式； 2 2 2 2 （3） f g 2 f g 2 2( f 2 g 2 ) ，又称平 行四边形定律。
2.两类特殊的函数族
正交：若 f ( x), g ( x) C[a, b], ( x)为[a,b]上的权 函数且满足 b ( f , g ) ( x) f ( x) g ( x)dx 0 a 则称 f ( x) 与 g ( x)在[a,b]上带权正交。 正交函数族：若函数族 0 ( x),1 ( x), , n ( x), 满足关系 b jk 0, ( j , k ) ( x) j ( x)k ( x)dx a
d1 ( f , x) x 1 x 3 dx 0.5883
0
Matlab 求定积分（int函数）
d 0= (2*2^(1/2))/5 - (6*ellipticF(asin(1/(3/2 + (3^(1/2)*i)/2)^(1/2)), -(3/2 + (3^(1/2)*i)/2)/(- 3/2 + (3^(1/2)*i)/2))*(-1/(- 3/2 + (3^(1/2)*i)/2))^(1/2))/5 + (6*(3/2 + (3^(1/2)*i)/2)*(2/(3/2 + (3^(1/2)*i)/2))^(1/2)*((- 1/2 + (3^(1/2)*i)/2)/(3/2 + (3^(1/2)*i)/2))^(1/2)*((1/2 + (3^(1/2)*i)/2)/(- 3/2 + (3^(1/2)*i)/2))^(1/2)*ellipticF(asin((2/(3/2 + (3^(1/2)*i)/2))^(1/2)), -(3/2 + (3^(1/2)*i)/2)/(- 3/2 + (3^(1/2)*i)/2))*(-1/(2*(- 1/2 + (3^(1/2)*i)/2)*(1/2 + (3^(1/2)*i)/2)))^(1/2))/5
函数的插值与最佳平方逼近PPT课件
(2) 令
n
pn(x)
i0
n
fili(x)
i0
fi
n j0
xxj xi xj
ji
(5.1-8)
则易知(5.1-8)所示的pn(x)为次数不大于n的多项式，且满足
插值条件(5.1-1)
n
pn(xj) fili(xj)fj
i0
(j = 0，1，...，n)
称pn(x)为Lagrange插值多项式。
a0 a1(5)a2 (5)2 a3(5)3 35
解之得：a0 = 10，a1 = 5，a2 = – 5，a3 = 2
即有p3(x) = 10 + 5x – 5x2 +2x3
注：(1) 范德蒙矩阵的条件数很大 —— 误差大计算量大
(2) 选择适当基函数使插值多项式具有特殊形式
10
1. Lagrange插值
1 x0
1 Vn(x0,x1,...x,n)
x1
1 xn
x0n
x1n
n
i1
i1
(xi xj)
j0
xnn
(5.1-3)
8
(5.1-3)的系数行列式为范德蒙行列式：
1 x0
1 Vn(x0,x1,...x,n)
x1
1 xn
x0n
x1n
n
i1
i1
(xi xj)
j0
xnn
因为x0，x1，…，xn互异，所以Vn ≠ 0 即(5.1-3)存在唯一解，从而存在唯一的pn(x) Pn[x] 满足插 值条件(5.1-1)。
证明：取Pn[x]的一组基{1，x，x2，…，xn }，则pn(x) Pn[x] 表为
由(5.1-1)知
第5章 10.最佳逼近多项式
定理： 是内积空间， 是其有限维子空间， 定理： C [a , b]是内积空间， M是其有限维子空间， f ( x ) ∈ C [a , b]，M中ϕ * ( x )是f ( x )的最佳平方逼近 函数的 ⇔ f − ϕ *与M中任一元正交
证（⇐） ∀ϕ ∈ M， ϕ − ϕ ∈ M
*
f −ϕ
2 2
⇒ P2 ( x ) = 1.013 + 0.851 x + 0.839 x
2
= ( f −ϕ, f −ϕ)
= ( f −ϕ +ϕ −ϕ, f −ϕ +ϕ −ϕ)
* * * *
= ( f − ϕ * , f − ϕ * ) + 2( f − ϕ * , ϕ * − ϕ ) + (ϕ * − ϕ , ϕ * − ϕ )
=0
= f −ϕ
* 2 2
+ ϕ −ϕ
*
2 2
≥ f −ϕ
0 1
1
{
}
1 (ϕ 0 , ϕ 1 ) = (ϕ 1 , ϕ 0 ) = ∫ xdx = 0 2 1 (ϕ 0 , f ) = ∫ e x dx = e − 1
0
(ϕ 1 , f ) = ∫ xe x dx = 1
0
1
(ϕ 2 , f ) = ∫ x 2 e x dx = e − 2
0
1
1 1 / 2 1 / 3 c1 e − 1 1 / 2 1 / 3 1 / 4 c 2 = 1 1 / 3 1 / 4 1 / 5 c e − 2 3
*
ϕ 的构造求法
*
设M的基底为 span{ϕ 0 , ϕ 1 ,Lϕ n }
第三章-2-最佳平方逼近
性质 5 设 k k 0是 [a, b] 上带权 (x) 的正交多项式
族，则n(x) (n>0) 有n个单重实根，且都位于 区间[a, b] 内。
几类重要的正交多项式 Legendre 多项式 Chebyshev 多项式
第二类 Chebyshev 多项式
Laguerre 多项式 Hermite 多项式
Chebyshev 多项式
切比雪夫多项式的性质：
(1) 递推公式： Tn1 ( x ) 2 xTn ( x ) Tn1 ( x )
cos(n+1) + cos(n-1) = 2cos cosn x = cos
mn 0, 1 T ( x )T ( x ) n m (Tn , Tm ) dx π / 2, m n 0 (2) 正交性： 2 1 1 x π, mn0 n T ( x ) ( 1) Tn ( x) (3) 奇偶性： n
性质1 性质2
n ( x)
为首一 n 次多项式。 [a, b] 上带权 (x) 的正交多
是 k k 0
项式族，且
H n span 0 ,1,...,n
性质 3 正交。
n ( x) 与所有次数不高于n-1次的多项式
正交多项式性质
性质 4
此 k k 0 满足如下三项递推公式：
数值分析及计算软件
第三章
函数逼近与计算
3.3 最 佳 平 方 逼 近 及正交多项式
最佳平方逼近问题：
若存在 Pn* ( x )H n , 使得
|| f ( x) Pn ( x) ||2 inf || f ( x) Pn ( x) ||2 ,
第二章最佳平方逼近课件
在区间[-1,1]上关于权函数
正交,且
10
事实上,若 于是有
则有
11
例 4、 Laguerre 多项式 即多项式
是在
上带权 的n次正交多项式,且
例 5 、Hermite 多项式
12
即多项式
是在区间
上带权 的n次正交多项式,且有正交关系式:
13
(二)、 正交多项式的性质
设
是在 上带权正交的多项式序列，其中
的方程组为
解之得
故
29
三、一般最小二乘逼近问题的提法 1、广义多项式与权系数 2、一般最小二乘逼近问题的提法 3、正规方程组 4、小结
30
(一)、广义多项式与权系数
(1) 、广义多项式 设函数系
线性无关，则其有限项线性组合
称为广义多项式。
例如
(2) 、“权系数”的概念 在例6中，如果要研究低温时电阻与温度的关系，显然低温 下测得的电阻值更重要一些，而另外一些电阻值的作用小 些。这在数学上表现为用和
求电阻 和温度 间的关系。
22
解决这类问题通常的步骤如下 :
y (1)用一坐标将 ， 值描于图上
(1) (2)凭视觉知，
在一条直线
上的两测附近，于是可设
近
x
，
似的成直线关系。 上面的直线关系称为数学模型。在第 次观测数据中， 与
实测值 有误差
通常称为残差。 23
它是衡量被确定的参数 和 (也就是近似多项式 )好坏的重要标志。
使得 最小。这时
称为函数
在区间 上关于
权函数 的最小二乘逼近多项式。
注意， 可看成 中
且
的极限。通常， “最小”也可说成“最优”或“最佳”；“二乘 可
最佳平方逼近
逼近元g(x) a11(x) ..... amm(x)
(1,1) (2,1) L
A
(1,2
)
(2,2 )
L
L
LL
(1,m ) (2,m ) L
(m,1)
(m
,2
)
L
(m
,
m
)
称为函数1(x)，.....，m (x)的Gram矩阵，
A显然是对称矩阵。
若1(x)，.....，m (x)线性无关，则它们
0
3
(ex ,1) 2 ex 1dx e2 1 0
(ex , x) 2 ex xdx e2 1 0
法方程组为
2a0
2a0
2a1 8 3 a1
e2 1 e2 1
a0=0.1945 , a1=3.0000
最佳平方逼近一次多项式为 0.1945+3.0000x
8 7 6 5 4 3 2 1 0
b w(x) f (x) g(x)2 dx a
函数f (x)和g(x)正交
b
( f , g) a w(x) f (x)g(x)dx 0
设次数不超过n的多项式空间为n ,显然 是C[a, b]的一个子空间，
n的基为1, x,..., xn ,则，p(x) a0 a1x ... anxn n 是f (x)在n的最佳逼近元的充分必要条件为
a0 (1,1) a1(x,1) ... an (xn ,1) ( f ,1)
a0 (1, x) a1(x, x) ... an (xn , x) ( f , x)
a0 (1, xn ) a1(x, xn ) ... an (xn , xn ) ( f , xn )
求解法方程组，得到a0，a1，...，an
(1,1) (2,1) L
A
(1,2
)
(2,2 )
L
L
LL
(1,m ) (2,m ) L
(m,1)
(m
,2
)
L
(m
,
m
)
称为函数1(x)，.....，m (x)的Gram矩阵，
A显然是对称矩阵。
若1(x)，.....，m (x)线性无关，则它们
0
3
(ex ,1) 2 ex 1dx e2 1 0
(ex , x) 2 ex xdx e2 1 0
法方程组为
2a0
2a0
2a1 8 3 a1
e2 1 e2 1
a0=0.1945 , a1=3.0000
最佳平方逼近一次多项式为 0.1945+3.0000x
8 7 6 5 4 3 2 1 0
b w(x) f (x) g(x)2 dx a
函数f (x)和g(x)正交
b
( f , g) a w(x) f (x)g(x)dx 0
设次数不超过n的多项式空间为n ,显然 是C[a, b]的一个子空间，
n的基为1, x,..., xn ,则，p(x) a0 a1x ... anxn n 是f (x)在n的最佳逼近元的充分必要条件为
a0 (1,1) a1(x,1) ... an (xn ,1) ( f ,1)
a0 (1, x) a1(x, x) ... an (xn , x) ( f , x)
a0 (1, xn ) a1(x, xn ) ... an (xn , xn ) ( f , xn )
求解法方程组，得到a0，a1，...，an
4章§3 最佳平方逼近
定理6
ϕ0 (x),ϕ1(x),Lϕn−1(x), 在[a，b]上线性无关的充分必要条
件是它的克来姆(Gramer)行列式 G ≠ 0, ，其中 n−1
(ϕ0 ,ϕ0 ) Gn−1 = G(ϕ0,ϕ1, Lϕn−1 = (ϕ1,ϕ0 ) L
(ϕ0 ,ϕ1) L (ϕ0 ,ϕn−1) (ϕ1,ϕ1) L (ϕ1,ϕn−1) L L L
用{1，x，…，xn)做基，求最佳平方逼近多项式，当n较大时，系数 矩阵(3.16)式是高度病态的(病态矩阵概念见第七章)，求法方程 (3.13)的解，舍人误差很大，这时要用正交多项式做基，才能求得 最小平方逼近多项式(见§5).
(ϕn−1,ϕ0 ) (ϕn−1,ϕ1) L (ϕn−1,ϕn−1)
(3.10) 定理的证明由读者完成.
一、函数的最佳平方逼近
现在我们研究在区间[a，b]上一般的最佳平方逼近问题. 对 f (x) ∈C[a，b]及C[a，b]中的一个子集ϕ = span{ 0 ,ϕ1 ,L,ϕn ) ， ϕ 若存在S*(x) ∈ϕ ，使
(3.2)
则在(a，b)上g(x)≡0，就称 ρ(x) 为区间(a，b)上的权函数. 定义5 设f(x)，g(x)∈[a，b]，是[a，b]上的权函数，积分
( f , g) = ∫ ρ(x) f (x)g( x)dx
a
b
称为函数f(x)与g(x)在[a，b]上的内积.
容易验证这样定义的内积满足下列四条公理； 1) ( f , g)=(g, f ) ； 2) (cf , g)=c(f , g) ，c为常数； 3)
于是有
∑(ϕ ,ϕ )a
j=0 k, j
n
j
= ( f ,ϕk )
(k = 0,1,L, n)
最佳逼近PPT课件.ppt
性质3 ( f1 f 2 , g) ( f1, g) ( f 2 , g); 性质4 ( f , f ) 0,切当且仅当f 0是等号成立。
称线性空间Y为内积空间，(f,g)为内积。
有可能给的条件个数n大于多项式
P(x)的待定系数个数，如，10个插值条件求
5次多项式，该问题是无解的。
有时我们所需的近似函数不一定是多项式。
在实际问题中,往往并不要求近似函
数φ(x)所表示的曲线通过这些观测点,而只
要求由已知数据(xi,yi)(i=0,1,…,n)找出x,y之 间的依赖关系,使得近似函数φ(x)能充分地
a0(n 1) a1 n xi
i0
a0
n i0
n
xi a1
i0
xi2
n
n
am xim
yi
i0
i0
n
n
am
x m 1 i
xi yi
i0
i0
a0
n i0
n
xim a2
i0
x m 1 i
n
n
m
xi2m
xim yi
i0
i0
(4―73)
写成矩阵形式
(4-74)
例8 设有一组数据表
故在基点x0,x1,x2,…,xn上φ(x)与f(x)有
误差
ri=φ(xi)-yi, i=0,1,2,…,n
(4―69)
称ri为用φ(x)拟合f(x)的偏差。
设 函 数 关 系 y=f(x) 的 一 组 观 测 数 据 为
(xi,yi)(i=0,1,2,…,n),欲求一个m(m＜n)次多项 式
Pm(x)=α0+α1x+…+αmxm
称线性空间Y为内积空间，(f,g)为内积。
有可能给的条件个数n大于多项式
P(x)的待定系数个数，如，10个插值条件求
5次多项式，该问题是无解的。
有时我们所需的近似函数不一定是多项式。
在实际问题中,往往并不要求近似函
数φ(x)所表示的曲线通过这些观测点,而只
要求由已知数据(xi,yi)(i=0,1,…,n)找出x,y之 间的依赖关系,使得近似函数φ(x)能充分地
a0(n 1) a1 n xi
i0
a0
n i0
n
xi a1
i0
xi2
n
n
am xim
yi
i0
i0
n
n
am
x m 1 i
xi yi
i0
i0
a0
n i0
n
xim a2
i0
x m 1 i
n
n
m
xi2m
xim yi
i0
i0
(4―73)
写成矩阵形式
(4-74)
例8 设有一组数据表
故在基点x0,x1,x2,…,xn上φ(x)与f(x)有
误差
ri=φ(xi)-yi, i=0,1,2,…,n
(4―69)
称ri为用φ(x)拟合f(x)的偏差。
设 函 数 关 系 y=f(x) 的 一 组 观 测 数 据 为
(xi,yi)(i=0,1,2,…,n),欲求一个m(m＜n)次多项 式
Pm(x)=α0+α1x+…+αmxm
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2
2
2
2
行四边形定律。
2.两类特殊的函数族
正交：若 f(x ),g (x ) C [a ,b ],(x ) 为[a,b]上的权
函数且满足
(f,g)b(x)f(x)g(x)dx0 a
则称 f ( x )与g ( x )在[a,b]上带权正交。
正交函数族：若函数族 0 (x ),1 (x ),, n(x ),
b
I(a 0,a 1,,a n)a
n
(x) [aj
j(x)f(x)]2dx
j 0
的最小值。令 I 0(k0,1, ,n), 则
ak
I b n
a k 2 a( x ) [j 0 a j j( x ) f( x ) ]k ( x ) d x 0( k 0 ,1 , ,n )
引入内积定义，可得
(1,n1)
(n1,0) (n1,1) (n1,n1)
3.函数的最佳平方逼近
最佳平方逼近函数：对于 f(x)C[a,b]及C [ a , b ]中的
一个子集 S pan{ 0,1, ,n},若存在 s(x)
使下式成立:
f s2 in ff s(x )2 in fb(x )[f(x ) s(x )]2 d x
2.两类特殊的函数族
线性无关函数族：若函数族 k(x)(k0,1 ,2,)
中的任何有限个 k 线性无关，则称 k 为线性
无关函数族。
充要条件：0(x),1(x),,n1(x)在[a,b]上线性无关
的充要条件是它的Gramer行列式 G n1 0，其中
(0,0) (0,1)
(0,n1)
Gn1G(0,1, ,n1)(1,0) (1,1)
1） b|x|n(x)(n0,1, a
)存在；
2）对非负的连续函数
g
(x)
，若
bg(x)(x)dx0, a
则在[a,b]上，g(x) 0，即 ( x ) 不恒为0。
就称 ( x )为[a,b]上的权函数。它的物理意 义可以解释为密度函数。
1.内积空间
内积：设 f(x ),g (x ) C [a ,b ],(x )是[a,b]上的权
k1
1.内积空间
欧式范数：若 f(x)C[a,b],则量
f (f,f) bf2(x)dx
2
a
称为f ( x )的欧式范数。
对任何 f,gC[a,b],有以下结论：
（1）(f,g)f
2
g2，又称柯西-施瓦茨不等式；
（2）fg f g，又称三角不等式；
2
2
2
（3）f g2f g2 2 (f 2g2 )，又称平
关于最佳平方逼近 多项式
§5.2 最佳平方逼近多项式
本节内容
1.内积空间 2.两类特殊的函数族 3.函数的最佳平方逼近 4.举例 5.MATLAB程序实现
1.内积空间
权函数：考虑到 f ( x )在区间[a,b]上各点的函数
值比重不同,常引进加权形式的定义，设在区
间[a,b]上的非负函数 ( x ) 满足条件：
函数，则称积(分f,g)b(x)f(x)g(x)dx a
为函数 f ( x )与g ( x )在[a,b]上的内积,有下列性质：
1）(f,g)(g,f); 2）(C f,g)C (f,g),C为常数; 3）(f1 f2 ,g ) (f1 ,g ) (f2 ,g ); 4）( f , f ) 0, 当且仅当f 0 时，(f , f )0。
1.内积空间
内积空间：满足内积定义的函数空间称为内积 空间。如在连续函数空间C [ a , b ] 上定义了内积 就形成了一个内积空间。
向量的模：在n维欧氏空间R n 中，内积就是两
向量的数量积，即 n (x,y)xTy xkyk k1
向量的模（范数)的定义为：
n
1
f (x,x)( 2
fk2)2
线性无关：若函数 0(x) ,1(x),,n 1(x)在区间[a,b]
上连续，如果
a 0 0 ( x ) a 1 1 ( x ) a 2 2 ( x ) a n 1 n 1 ( x ) 0
当且仅当 a0a1 an10时成立，则称
0(x),1(x),,n 1(x)在[a,b]上是线性无关的。
2 s
2 s a
则称 s ( x ) 是 f ( x ) 在子集C[a,b]中的最佳平方
逼近函数，其中 k 是一组线性无关函数族，函
数 s ( x ) a 00 ( x ) a 11 ( x ) a nn ( x ) 。
3.函数的最佳平方逼近
对函数s*(x)的求解：等价于求以下多元函数
满足关系
(j,k)a b(x)j(x)k(x)dx 0 A ,k0,jj k k
则称 ( x ) 是[a,b]上带权 ( x ) 的正交函数族；
若 A k 1，则称为标准正交函数族。
2.两类特殊的函数族
可以证明，三角函数族 1 ,c o sx ,sinx ,c o s2 x ,sin 2 x , 满足上述条件，是在[ , ] 上的正交函数族。
n
aj(k,j)(f,k)0(k0,1, ,n)
j0
n
即
(k,j)aj (f,k) (k0,1, ,n)
j0
3.函数的最佳平方逼近
n
(k,j)aj (f,k) (k0,1, ,n)
j0
上式是关于a0,a1, ,an的线性方程组，称
为法方程。用矩阵形式可表示为
(0,0) (1,0)
(0,1) (1,1)
(0,n1)a0 (f,0) (1,n1) a1(f,1)
(n1,0) (n1,1)
(n1,n1)an (f,n)
简记为Ha d。其中 a(a0,a1, ,an)T,
d ( d 0 ,d 1 ,,d n ) T ,d k ( f,k )( k 0 , 1 ,2 ,,n )
3.函数的最佳平方逼近
由于0,1,,n线性无关，故其系数矩阵H的
行列式非奇异，即 G (0,1,,n)0，该法方程有
唯一解为
a ka k *(k0 ,1 ,2 , ,n)
则最佳平方逼近函数为
s * ( x ) a 0 *0 (x ) a 1 *1 (x ) a n *n ( x )
令f(x)s*(x)，则平方误差
n 2 2 (f s * ,f s * ) (f,f) (s * ,f)f2 2 a k * (k ,f) k 0
3.函数的最佳平方逼近
特别地，取 k (x ) x k ,(x ) 1 ,f(x ) C [ 0 ,1 ]，