湖南省邵东县第一中学2020-2021学年高一上学期第一次月考数学试题含答案
2020-2021学年高一上学期第一次月考数学试卷含答案
数学试卷考试时间：120分钟；一、单选题（12小题，每小题5分，共60分）1．设集合{}3A x x =<，{}2,B x x k k ==∈Z ，则AB =（ ） A ．{}0,2 B ．{}2,2-C ．2,0,2D ．{}2,1,0,1,2-- 2．下列各组函数表示同一函数的是（ ）A ．()2f x x =()2f x x = B ．(),0,0x x f x x x ≥⎧=⎨-<⎩与()g t t = C ．21y x =-11y x x =+-D ．()1f x =与()0g x x = 3．已知函数()1f x +的定义域为[]2,1-，则函数()()122g x f x x =+--的定义域为 A ．[1,4] B ．[0,3] C ．[1,2)(2,4]⋃ D ．[1,2)(2,3]⋃4．已知函数1,2()(3),2x x f x f x x ⎧≥⎪=⎨+<⎪⎩，则(1)(9)f f -=（ ） A ．1- B ．2- C ．6 D ．75．下列四个函数中，在()0,∞+上为增函数的是（ ）．A ．()3f x x =-B ．()23f x x x =-C ．()11f x x =-+D ．()f x x =-6．在映射f ：M N →中，(){},,,M x y x y x y R =<∈，(){},,N x y x y R =∈，M 中的元素(),x y 对应到N 中的元素(),xy x y +，则N 中的元素()4,5的原象为（ ） A ．()4,1 B ．()20,1C ．()1,4D ．()1,4和()4,1 7．已知全集U =R ，集合91A x x ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭和{}44,B x x x Z =-<<∈关系的Venn 图如图所示，则阴影部分所表示集合中的元素共有（ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．无穷多个 8．函数24y x x -+ ）A ．(],4-∞B ．(],2-∞C ．[]0,2D ．[]0,49．已知函数()()()22,12136,(1)x ax x f x a x a x ⎧-+⎪=⎨--+>⎪⎩，若()f x 在(),-∞+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1(,1]2 B ．1(,)2+∞ C ．[1，)+∞ D ．[1，2]10．函数()f x 是奇函数，且在∞（0，+）内是增函数，(3)0f -=，则不等式()0xf x <的解集为（ ）A ．∞（-3,0）（3，+）B ．∞（-，-3）（0,3）C ．∞∞（-，-3）（3，+）D ．（-3,0）（0,3）11．已知函数24y x x =-+-的最小值为（ ）A ．6B ．2-C ．6-D ．212．已知()f x 是定义在[]1,1-上的奇函数，对任意的1x ，[]21,1x ∈-，均有()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +≥+.且当[]0,1x ∈时，()25x f f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()()11f x f x =--，那么表达式1901913193202020202020202020f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（ ） A ．654- B ．65- C ．1314- D ．1312-二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．已知幂函数()f x 的图象经过3,3)，则函数2)f =_____14．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出：则满足f(g(x))＝g(f(x))的x 的值为________. x 1 23 4f(x)1 3 1 3 g(x)3 2 3 215．已知32()(2)5f x m x nx =+++是定义在[,4]n n +上的偶函数，则2m n +等于_______. 16．某同学在研究函数 f （x ）=1x x+（x ∈R ） 时，分别给出下面几个结论： ①等式f （-x ）=-f （x ）在x ∈R 时恒成立；②函数f （x ）的值域为（-1，1）；③若x 1≠x 2，则一定有f （x 1）≠f （x 2）；④方程f （x ）=x 在R 上有三个根．其中正确结论的序号有______．（请将你认为正确的结论的序号都填上）三、解答题（共70分）17（10分）．已知集合{|121}A x a x a =-<<+，{}B 03x x =<≤，U =R . （1）若12a =，求A B ⋃；()U A C B ⋂． （2）若A B φ⋂=，求实数a 的取值范围. 18（12分）．设函数()1,00,01,0x D x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，()()()42D x f x x =-.（1）写出x ∈R 时分段函数()f x 的解析式；（2）当()f x 的定义域为[]3,3-时，画出()f x 图象的简图并写出()f x 的单调区间.19（12分）．已知函数2()21f x x ax a =-++-，（1）若2a =，求()f x 在区间[0,3]上的最小值；（2）若()f x 在区间[0,1]上有最大值3，求实数a 的值.20（12分）．已知函数()m f x x x=+，()12f =. （1）判定函数()f x 在[)1,+∞的单调性，并用定义证明；（2）若()a f x x -<在()1,+∞恒成立，求实数a 的取值范围.21（12分）．已知函数()1f x x x =-（1）求()f x 单调区间（2）求[0,]x a ∈时，函数的最大值.22（12分）．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，2()2f x x x =+. （1）求(0)f 的值；（2）求此函数在R 上的解析式；（3）若对任意t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f k t -+-<恒成立，求实数k 的取值范围. 23（12分）．函数()f x 的定义域为R ,且对任意,x y R ∈,有()()()f x y f x f y +=+,且当0x >时()()0,12f x f <=-.（1）证明:()f x 是奇函数;（2）证明:()f x 在R 上是减函数;（3）求()f x 在区间[]3,3-上的最大值和最小数学试卷参考答案1．C{}{}333A x x x x =<=-<<，{}2,B x x k k ==∈Z ，因此，{}2,0,2A B =-. 故选：C.2．B选项A ：()f x =R ，()2f x =的定义域为[)0+，∞，两函数的定义域不同，故不是同一函数.选项B ：()00t t g t t t t ≥⎧==⎨-<⎩和函数(),0,0x x f x x x ≥⎧=⎨-<⎩的定义域、法则和值域都相同，故是同一函数.选项C ：y =(][)11+-∞-⋃∞，，，y =的定义域为[)1+∞，，两函数的定义域不同，故不是同一函数.选项D ：()1f x =的定义域为R ，()0g x x =的定义域为{}|0x x ≠，两函数的定义域不同，故不是同一函数.故选：B【点睛】本题考查判断两个函数是否是同一函数，属于基础题.3．C【解析】【分析】首先求得()f x 定义域，根据分式和复合函数定义域的要求可构造不等式求得结果.【详解】()1f x +定义域为[]2,1- 112x ∴-≤+≤，即()f x 定义域为[]1,2-由题意得：20122x x -≠⎧⎨-≤-≤⎩，解得：12x ≤<或24x <≤ ()g x ∴定义域为：[)(]1,22,4本题正确选项：C本题考查函数定义域的求解问题，关键是能够通过复合函数定义域确定()f x 定义域，从而利用分式和复合函数定义域的要求构造不等式.4．A【解析】【分析】由题意结合函数的解析式分别求得()()19,f f 的值，然后求解两者之差即可.【详解】由题意可得：()()1413f f ===，()914f ==， 则(1)(9)341f f -=-=-.故选A.【点睛】求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值．5．C【解析】【分析】A ，B 可直接通过一次函数的单调性和二次函数的单调性进行判断；C 利用1y x =-以及平移的思路去判断；D 根据y x =-的图象的对称性判断.【详解】A ．()3f x x =-在R 上是减函数，不符合；B ．()23f x x x =-在3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上是减函数，在3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上是增函数，不符合； C ．()11f x x =-+可认为是1y x=-向左平移一个单位所得，所以在()1,-+∞上是增函数，符合； D ．()f x x =-图象关于y 轴对称，且在(),0-∞上是增函数，在()0,∞+上是减函数，不符合；【点睛】（1）一次函数()0y kx b k =+≠、反比例函数()0k y k x=≠的单调性直接通过k 的正负判断； （2）二次函数的单调性判断要借助函数的对称轴和开口方向判断；（3）复杂函数的单调性判断还可以通过平移、翻折等变换以及图象进行判断.6．C【解析】【分析】由题意得4 5xy x y =⎧⎨+=⎩，再由x y <，能求出N 中元素()45，的原像. 【详解】由题意得4 5xy x y =⎧⎨+=⎩，解得1 4x y =⎧⎨=⎩或4 1x y =⎧⎨=⎩， ∵x y <，∴N 中元素()45，的原像为()1,4， 故选：C .【点睛】本题考查象的原象的求法，考查映射等基础知识，考运算求解能力，考查函数与方程思想. 7．B【解析】【分析】先解分式不等式得集合A ，再化简B ，最后根据交集与补集定义得结果.【详解】 因为91(0,9)A x x ⎧⎫=>=⎨⎬⎩⎭，{}{}44,3,2,1,0,1,2,3B x x x Z =-<<∈=---， 所以阴影部分所表示集合为(){0,1,2,3}U C A B =---,元素共有4个，故选B【点睛】 本题考查分式不等式以及交集与补集定义，考查基本分析求解能力，属基础题.【解析】【分析】配方即可得到()224=24x x x -+--+，从而得出≤2，即得出y 的范围，从而得出原函数的值域．【详解】∵()224=24x x x -+--+，∴0≤()224x --+≤4；∴≤2；∴函数y =的值域为[0,2].故选：C .【点睛】本题考查函数的值域，利用配方法即可，属于简单题.9．D【解析】【分析】根据分段函数单调性的性质进行求解即可．【详解】∵当1x ≤时，函数f （x ）的对称轴为x a =，又()f x 在(),-∞+∞上为增函数， ∴ 1210125a a a a ≥⎧⎪-⎨⎪-+≤-⎩＞，即1122a a a ≥⎧⎪⎪>⎨⎪≤⎪⎩，得1≤a 2≤， 故选D ．【点睛】本题主要考查函数单调性的应用，根据分段函数单调性的性质建立不等式关系是解决本题的关键，注意分段处保证单调递增．10．D【解析】【分析】易判断f （x ）在（-∞，0）上的单调性及f （x ）图象所过特殊点，作出f （x ）的草图，根据图象可解不等式．【详解】∵f （x ）在R 上是奇函数，且f （x ）在（0，+∞）上是增函数，∴f （x ）在（﹣∞，0）上也是增函数，由f （-3）＝0，得f （﹣3）＝﹣f （3）＝0，即f （3）＝0，作出f （x ）的草图，如图所示：由图象，得()0xf x <()()0000x x f x f x ><⎧⎧⇔⎨⎨<>⎩⎩或 解得0＜x ＜3或﹣3＜x ＜0，∴xf （x ）＜0的解集为：（﹣3，0）∪（0，3），故选D ．【点睛】本题考查函数奇偶性、单调性的综合应用，考查数形结合思想，灵活作出函数的草图是解题关键．11．D【解析】【分析】用绝对值三角不等式求得最小值．【详解】24(2)(4)2y x x x x =-+-≥---=，当且仅当(2)(4)0x x --≤，即24x ≤≤时取等号．所以min 2y =．故选：D ．【点睛】本题考查绝对值三角不等式，利用绝对值三角不等式可以很快求得其最值，本题也可以利用绝对值定义去掉绝对值符号，然后利用分段函数性质求得最值．12．C【解析】【分析】由()f x 是定义在[1-，1]上的奇函数，且()1(1)f x f x =--，推出()1f ，12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭，再结合当(0,1)x ∈时，2()()5xf f x =，推出1()5f ，1()25f ，4()5f ，4()25f ，由题意可得x 对任意的1x ，2[1x ∈-，1]，均有2121()(()())0x x f x f x --，进而得1903193201()()()2020202020204f f f =⋯===，再由奇函数的性质()()f x f x -=-算出最终结果．【详解】解：由()()11f x f x =--，令0x =，得()11f =，令12x =，则1122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭﹐ 当[]0,1x ∈时，()25x f f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()152x f f x ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭， 即()1111522f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，111125254f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 且4111552f f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，414125254f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 11903204252020202025<<<， 19031932012020202020204f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 对任意的1x ，[]21,1x ∈-，均有()()()()21210x x f x f x --≥，190120204f ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，同理19031932012020202020204f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫====⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.()f x 是奇函数， 1901913193202020202020202020f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭19019131932013120202020202020204f f f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++++=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 故选：C 【点睛】本题考查函数的奇偶性，函数值计算，属于中档题． 13．2 【解析】 【分析】设幂函数()f x x α=，将点代入求出α，即可求解.【详解】设()f x x α=，()f x 的图象经过，23,2,(),2f x x f αα=∴==∴=.故答案为:2. 【点睛】本题考查幂函数的定义以及函数值，属于基础题. 14．2或4 【解析】 【分析】对于x 的任一取值，分别计算()()f g x 和()()g f x 的值若两个值相等，则为正确的值. 【详解】当1x =时，()()()()()()131,113f g f g f g ====，不合题意.当2x =时，()()()()()()223,233f g f g f g ====，符合题意.当3x =时，()()()()()()331,313f g f g f g ====，不合题意.当4x =时，()()()()()()423,433f g f g f g ====，符合题意.故填2或4.【点睛】本小题主要考查函数的对应法则，考查复合函数求值.在计算这类型题目的过程中，往往先算出内部函数对应的函数值，再计算外部函数的函数值.属于基础题. 15．-6 【解析】 【分析】由函数是偶函数，则定义域关于原点对称、()()f x f x -=即可求出参数m 、n 的值； 【详解】解：已知32()(2)5f x m x nx =+++是定义在[,4]n n +上的偶函数，所以40n n ++=，解得2n =-，又()()f x f x -=，()3232(2)5(2)5m x nx m x nx ∴+-++=+++302(2)m x +=∴解得2m =-，所以26m n +=- 故答案为：6- 【点睛】本题考查函数的奇偶性的应用，属于基础题. 16．①②③ 【解析】 【分析】由奇偶性的定义判断①正确，由分类讨论结合反比例函数的单调性求解②；根据单调性，结合单调区间上的值域说明③正确；由1xx x=+只有0x =一个根说明④错误． 【详解】对于①，任取x ∈R ，都有()()11x xf x f x x x--==-=-+-+，∴①正确；对于②，当0x >时，()()110,111x f x x x==-∈++， 根据函数()f x 的奇偶性知0x <时，()()1,0f x ∈-， 且0x =时，()()()0,1,1f x f x =∴∈-，②正确； 对于③，则当0x >时，()111f x x=-+， 由反比例函数的单调性以及复合函数知，()f x 在()1,-+∞上是增函数，且()1f x <；再由()f x 的奇偶性知，()f x 在(),1-∞-上也是增函数，且()1f x >12x x ∴≠时，一定有()()12f x f x ≠，③正确；对于④，因为1xx x=+只有0x =一个根， ∴方程()f x x =在R 上有一个根，④错误． 正确结论的序号是①②③． 故答案为：①②③． 【点睛】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查函数的单调性、函数的奇偶性、函数的图象与性质，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题. 17．（1）1|32AB x x ⎧⎫=-<≤⎨⎬⎩⎭，()1|02U AC B x x ⎧⎫⋂=-<≤⎨⎬⎩⎭；（2）1|24a a a ⎧⎫≤-⎨⎬⎩⎭≥或. 【解析】 【分析】 （1）当12a =，求出集合A ，按交集、并集和补集定义，即可求解； （2）对A 是否为空集分类讨论，若A =∅，满足题意，若A ≠∅，由A B φ⋂=确定集合A 的端点位置，建立a 的不等量关系，求解即可. 【详解】（1）若12a =时1|22A x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭，{}|03B x x =<≤， ∴1|32AB x x ⎧⎫=-<≤⎨⎬⎩⎭，由{|0U C B x x =≤或3}x >，所以()1|02U A C B x x ⎧⎫⋂=-<≤⎨⎬⎩⎭（2）由AB =∅知当A =∅时121a a -≥+∴2a ≤-当A ≠∅时21113a a a +>-⎧⎨-≥⎩或211210a a a +>-⎧⎨+≤⎩∴4a ≥或122a -<≤-综上：a 的取值范围是1|24a a a ⎧⎫≤-⎨⎬⎩⎭≥或. 【点睛】本题考查集合间的运算，以及集合间的关系求参数范围，不要忽略了空集讨论，属于基础题.18．（1）()48,04,04,02x x f x x x x ⎧⎪->⎪==⎨⎪⎪<-⎩； （2）图见解析；单调递增区间为(]0,3，单调递减区间为[)3,0- 【解析】 【分析】(1)代入()1,00,01,0x D x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩求解即可. (2)根据一次函数与分式函数的图像画图,再根据图像判断单调区间即可. 【详解】（1）()48,0 4,04,02x xf x xxx⎧⎪->⎪==⎨⎪⎪<-⎩；（2）()f x的图象如下图所示：单调递增区间为(]0,3,单调递减区间为[)3,0-.【点睛】本题主要考查了分段函数的应用与一次函数、分式函数的图像与性质等.属于基础题. 19．（1）min()(0)1f x f==-；（2）2a=-或3a=.【解析】试题分析：（1）先求函数对称轴，再根据对称轴与定义区间位置关系确定最小值取法（2）根据对称轴与定义区间位置关系三种情况分类讨论最大值取法，再根据最大值为3，解方程求出实数a的值试题解析：解：（1）若2a=，则()()224123f x x x x=-+-=--+函数图像开口向下，对称轴为2x=，所以函数()f x在区间[]0,2上是单调递增的，在区间[]2,3上是单调递减的，有又()01f=-，()32f=()()min01f x f∴==-（2）对称轴为x a =当0a ≤时，函数在()f x 在区间[]0,1上是单调递减的，则 ()()max 013f x f a ==-=，即2a =-；当01a <<时，函数()f x 在区间[]0,a 上是单调递增的，在区间[],1a 上是单调递减的，则()()2max 13f x f a a a ==-+=，解得21a =-或，不符合；当1a ≥时，函数()f x 在区间[]0,1上是单调递增的，则()()max 11213f x f a a ==-++-=，解得3a =；综上所述，2a =-或3a =点睛：(1)已知函数的奇偶性求参数，一般采用待定系数法求解，根据()()0f x f x ±-=得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值；(2)已知函数的奇偶性求函数值或解析式，首先抓住奇偶性讨论函数在各个区间上的解析式，或充分利用奇偶性得出关于()f x 的方程，从而可得()f x 的值或解析式. 20．（1）单调递增,证明见解析.（2）3a ≤ 【解析】 【分析】（1）先根据()12f =求得m 的值,得函数解析式.进而利用作差法证明函数单调性即可. （2）构造函数()()g x f x x =+.根据（1）中函数单调性,结合y x =的单调性,可判断()g x 的单调性,求得()g x 最小值后即可求得a 的取值范围. 【详解】（1）函数()mf x x x=+,()12f = 代入可得211m=+,则1m = 所以()1f x x x =+函数()1f x x x=+在[)1,+∞上单调递增.证明:任取12,x x 满足121x x ≤<,则()()21f x f x -212111x x x x ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭212111x x x x =-+- 122112x x x x x x -=-+()()2112121x x x x x x --=因为121x x ≤<,则21120,10x x x x ->->所以()()21121210x x x x x x -->,即()()210f x f x ->所以()()21f x f x > 函数()1f x x x=+在[)1,+∞上单调递增. （2）若()a f x x -<在()1,+∞恒成立 则()a f x x <+, 令()()g x f x x =+ 由（1）可知()1f x x x=+在()1,+∞上单调递增,y x =在()1,+∞上单调递增 所以()()g x f x x =+在()1,+∞上单调递增 所以()()13g x g >=所以3a ≤即可满足()a f x x -<在()1,+∞恒成立 即a 的取值范围为3a ≤ 【点睛】本题考查了利用定义证明函数单调性的方法,根据函数单调性解决恒成立问题,属于基础题.21．（1）单调增区间是()11,2∞∞-+，和,单调减区间为112（，）；（2）当10a 2<<时，函数的最大值为()2f a a a =-+.， 当112a 2+≤≤时，函数的最大值为11f 24⎛⎫= ⎪⎝⎭， 当12a +≥时，函数的最大值为()2f a a a =-． 【解析】 【分析】（1）对函数()f x 去绝对值，表示成分段函数模型并作出图像，由函数图像进行判断． （2）令()12f x f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（1x >），解出122x +=，对实数a 的范围分类讨论求解． 【详解】（1）()22,1f x ,1x x x x x x ⎧-+≤=⎨->⎩， 由分段函数的图象知,函数的单调增区间是()11,2∞∞-+，和,单调减区间为112（，）. （2）当10a 2<<时，函数的最大值为()2f a a a =-+ 当112a 22+≤≤时，函数的最大值为11f 24⎛⎫= ⎪⎝⎭； 当12a +>()2f a a a =-. 【点睛】（1）考查了分段函数单调性问题，结合分段函数图像可直接判断单调区间.（2）主要考查了分类讨论思想，结合分段函数图像，对区间端点的范围讨论，自变量的范围不同，对应的函数的最值也不同.22．（1）；（2）；（3）.【解析】试题分析：(1)利用奇函数的特性,定义在的奇函数必过原点,易得值；(2)当,则,根据函数为奇函数及当时,,可得函数在时的解析式,进而得到函数在上的解析式；(3)根据奇函数在对称区间上单调性相同,结合二次函数图象和性质,可分析出函数的单调性,进而将原不等式变形,解不等式可得实数的取值范围.试题解析：（1）为上的奇函数，；（2）设，则，，又为奇函数，，即，.（3）在上为增函数，且，为上的奇函数，为上的增函数，原不等式可变形为：即，对任意恒成立，（分离参数法）另法：即，对任意恒成立，∴解得：，取值范围为.考点：函数的奇偶性；函数的解析式；解不等式. 【方法点晴】(1)由奇函数的特性,在时必有，，故定义在的奇函数必过原点；(2)当,则,根据函数为奇函数及当时,,可得函数在时的解析式,进而得到函数在上的解析式；(3)根据奇函数在对称区间上单调性相同,结合二次函数图象和性质,可分析出函数的单调性,进而将原不等式变形,解不等式可得实数的取值范围.23．(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3) 最大值是6,最小值是-6. 【解析】 【分析】（1）令x ＝y ＝0，则可得f （0）＝0；y ＝﹣x ，即可证明f （x ）是奇函数，（2）设x 1＞x 2，由已知可得f （x 1﹣x 2）＜0，再利用f （x +y ）＝f （x ）+f （y ），及减函数的定义即可证明．（3）由（2）的结论可知f （﹣3）、f （3）分别是函数y ＝f （x ）在[﹣3、3]上的最大值与最小值，故求出f （﹣3）与f （3）就可得所求值域． 【详解】（1）因为()f x 的定义域为R ,且()()()f x y f x f y +=+,令y x =-得()()()f x x f x f x +-=+-⎡⎤⎣⎦,所以()()()0f x f x f +-=; 令0x y ==,则()()()0000f f f +=+,所以()00f =,从而有()()0f x f x +-=,所以()()f x f x -=-,所以()f x 是奇函数. （2）任取,x y R ∈,且12x x <,则()()()()121121f x f x f x f x x x -=-+-⎡⎤⎣⎦()()()()112121f x f x f x x f x x =-+-=--⎡⎤⎣⎦,因为12x x <,所以210x x ->,所以()210f x x -<,所以()210f x x -->, 所以()()12f x f x >,从而()f x 在R 上是减函数.（3）由于()f x 在R 上是减函数,故()f x 在区间[]3,3-上的最大值是()3f -,最小值是()3f ,由于12f ,所以()()()()()()()31212111f f f f f f f =+=+=++()()31326f ==⨯-=-,由于()f x 为奇函数知， ()()3-36f f -==,从而()f x 在区间[]3,3-上的最大值是6,最小值是-6.【点睛】本题考查了抽象函数的奇偶性和单调性，深刻理解函数奇偶性和单调性的定义及充分利用已知条件是解决问题的关键．。
高一上册数学第一次月考试卷带答案
2020-2021学年高一（上）第一次月考数学试卷一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 下列关系正确的是（）A.{0}∈{0, 1, 2}B.{0, 1}≠{1, 0}C.{0, 1}⊆{(0, 1)}D.⌀⊆{0, 1}2. 已知集合A＝{1, 3a}，B＝{a, b}，若A∩B={13}，则a2−b2＝（）A.0B.43C.89D.2√233. 设x>0，y>0，M=x+y1+x+y ，N=x1+x+y1+y，则M，N的大小关系是（）A.M＝NB.M<NC.M>ND.不能确定4. 若实数a，b满足a≥0，b≥0，且ab＝0，则称a与b互补，记φ(a, b)=√a2+b2−a−b，那么φ(a, b)＝0是a与b互补的（）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5. 已知不等式ax2−bx−1≥0的解集是{x|−12≤x≤−13}，则不等式x2−bx−a<0的解集是（）A.{x|2<x<3}B.{x|x<2或x>3}C.{x|13<x<12} D.{x|x<13x>12}6. 若a>0，b>0且a+b＝7，则4a +1b+2的最小值为（）A.89B.1 C.98D.102777. 关于x的不等式x2−(a+1)x+a<0的解集中恰有两个整数，则实数a的取值范围是（）A.−2<a≤−1或3≤a<4B.−2≤a≤−1或3≤a≤4C.−2≤a<−1或3<a≤4D.−2<a<−1或3<a<48. 下列说法正确的是（）A.若命题p，￢q都是真命题，则命题“(￢p)∨q”为真命题B.命题“若x+y≠5，则x≠2或y≠3”与命题“若x＝2且y＝3，则x+y＝5”真假相同C.“x＝−1”是“x2−5x−6＝0”的必要不充分条件D.命题“∀x>1，2x>0”的否定是“∃x0≤1，2x0≤0”二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）1.下列各不等式，其中不正确的是（）A.a2+1>2a(a∈R)B.|x+1x|≥2(x∈R,x≠0)C.√ab ≥2(ab≠0) D.x2+1x2+1>1(x∈R)2.下列不等式中可以作为x2<1的一个充分不必要条件的有（）A.x<1B.0<x<1C.−1<x<0D.−1<x<13. 下列命题正确的是（）A.∃a，b∈R，|a−2|+(b+1)2≤0B.∀a∈R，∃x∈R，使得ax>2C.ab≠0是a2+b2≠0的充要条件D.若a≥b>0，则a1+a ≥b1+b4. 给定数集M，若对于任意a，b∈M，有a+b∈M，且a−b∈M，则称集合M为闭集合，则下列说法中不正确的是（）A.集合M＝{−4, −2, 0, 2, 4}为闭集合B.正整数集是闭集合C.集合M＝{n|n＝3k, k∈Z}为闭集合D.若集合A1，A2为闭集合，则A1∪A2为闭集合三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）1. 已知集合A＝{x∈Z|x2−4x+3<0}，B＝{0, 1, 2}，则A∩B＝________．2. 若“x>3”是“x>a“的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．3.若不等式ax2+2ax−4<0的解集为R，则实数a的取值范围是________．4.已知x>0，y>0，且x+3y＝xy，若t2+t<x+3y恒成立，则实数t的取值范围是________四、解答题：（本大题共6小题，共70分。
湖南省邵东市邵东市第一中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题(含解析)
邵东市第一中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试卷时间：120分钟 满分：150分一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中只有一个选项是正确的．1．设，则“且”是“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．下列命题是假命题的是（ ）A ．若，则B ．若，则C ．若且，则D ．若且，则3．已知集合，集合，则（ ）A ．B ．C ．D ．4．下列说法不正确的是（ ）A ．命题p ：，，则命题p 的否定：，B ．若集合中只有一个元素，则C ．若，，则D ．已知集合，且，满足条件的集合N 的个数为45．若函数的定义域为R ，则实数m 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．6．下列说法正确的是（ ）A ．，对任意的，，这个对应是A 到B 的函数B ．若函数的定义域为，则函数的定义域为,x y ∈R 2x >3y >5x y +>0a b c d >>>>ab cd >22ac bc >a b >0a b >>0c <22c c a b >a b >11ab>0ab <1,44k M x x k ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭Z 1,84k N x x k ⎧⎫==-∈⎨⎬⎩⎭Z M N =∅M N M= N MÜM NÜx ∀∈R 20x >x ∃∈R 20x ≤{}210A x ax x =++=14a =13x <<21y -<<-328x y <-<{}0,1M =N M ⊆()f x =()0,4[)0,4[]0,4(](),04,-∞+∞ *A B ==N x A ∈1x x →-()f x ()1,1-()21y f x =-()3,1-C ．和表示同一函数D ．函数的最小值是-17．在R 上定义运算：．已知时，存在x 使不等式成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知函数若对任意的，都有成立，则实数k 的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．二、选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知关于x 的不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ）A ．B ．的解集是C ．D ．的解集是10．已知函数，关于函数的结论正确的是（ ）A ．的定义域为RB ．的值域为C ．若，则xD ．的解集为11．已知，，，则（ ）A ．B ．C ．D ．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知命题p ：，，命题q ：，使得成立，若p 是真命题，q是假命题，则实数a 的取值范围是______．13．函数的单调递减区间为______．y =y =()[]()221,2f x x x x =+∈x y xy y ⊗=+12x ≤≤()()4a x a x -⊗+<{}22a a -<<{}12a a -<<{}32a a -<<{}12a a <<()f x =()123,,0,x x x ∈+∞()()()1230f x f x f x +->[]1,8-3,62⎡⎤-⎢⎥⎣⎦[]2,4-5,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦20ax bx c ++>{}24x x x <->或0a >0bx c +>{}4x x <-0a b c ++>20cx bx a -+<1142x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或()22,1,12x x f x x x +≤-⎧=⎨-<<⎩()f x ()f x ()f x (),4-∞()3f x =()1f x <()1,1-0a >0b >a b ab +=4a b +≥4ab ≤49a b +≥221223a b +≥[]1,2x ∀∈21x a +≥[]1,1x ∃∈-210x a +->()11g x x x =-+14．若关于x 的不等式的解集中的整数恰有2个，则实数a 的取值范围是______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知全集，集合，，．（1）求集合；（2）若，求实数a 的取值范围．16．（15分）设函数．（1）若关于x 的不等式有实数解，求实数a 的取值范围；（2）若不等式对于实数时恒成立，求实数x 的取值范围．17．（15分）某学校要建造一个长方体形的体育馆，其地面面积为，体育馆高5m ，如果甲工程队报价为：馆顶每平方米的造价为100元，体育馆前后两侧墙壁平均造价为每平方米150元，左右两侧墙壁平均造价为每平方米250元，设体育馆前墙长为x 米．（1）当前墙的长度为多少米时，甲工程队报价最低？（2）现有乙工程队也参与该校的体育馆建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功（学校选择报价更低的工程队），试求a 的取值范围．18．（17分）已知函数，．（1）求函数的值域；（2）试判断在区间，的单调性，并证明；（3）对，总，使成立，求实数m 的取值范围．19．（17分）高斯，著名的数学家、物理学家、天文学家、是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称．函数称为高斯函数，其中表示不超过实数x 的最大整数，如，．（1）求的解集和的解集．()2221x ax -<U =R {}2280A x x x =--<2313x B xx ⎧-⎫=<⎨⎬-⎩⎭{}11C x a x a =-≤<+()A B R ðB C B = ()()212f x ax a x a =+-+-()2f x ≥-()6f x ≥-[]1,1a ∈-2240m 115212000500a a x +⎛⎫++⎪⎝⎭()0a >()2121487f x x x -=-+()()1g x xf x =()f x ()g x [)2,+∞130,2x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦[]22,x m ∃∈()()129f x g x =[]y x =[]x []1.21=[]1.22-=-5522x -≤≤[][]2211150x x -+≤（2）设方程的解集为A ，集合，若，求k 的取值范围．（3）若的解集为，求a 的范围．邵东一中2024年下学期高一第一次月考数学试卷答案一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中只有一个选项是正确的．1．A 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可．【详解】若且，由不等式的可加性得到，即则“且”是“”的充分条件，若不一定得到且，如，满足，但是，所以“且”不是“”的必要条件．故选：A 2．答案：A解析：对于A 项，取，，，，则，，所以，故A 选项错误；对于B 选项，若，有，则，B 选项正确；对于C 选项，若，则，则，又因为，由不等式的性质可得，所以C 选项正确；对于D 选项，若且，则，所以，，D 选项正确．故选：A ．3．答案：D解析：由题意可知：，集合，因为代表所有的偶数，代表所有的整数，所以，即．故选：D ．4．答案：B解析：对于A ，由全称命题的否定知，命题p ：，，的否定为，，故A 正确；102x ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦{}22211150B x x kx k =-+≥A B =R [][]22210x x a --+≤{}03x x ≤<2x >3y >5x y +>2x >3y >5x y +>5x y +>2x >3y >10x =0y =2x y +>3y <2x >3y >5x y +>2a =1b =3c =-4d =-2ab =12cd =ab cd <22ac bc >20c >a b >0a b >>220a b >>22a b >0c <22c ca b>a b >11a b >110a bb a ab--=<0ab <122,,448k k M x x k x x k ⎧⎫⎧+⎫==+∈==∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭Z Z 12,,848k k N x x k x x k ⎧⎫⎧-⎫==-∈==∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭Z Z ()22k k +∈Z ()2k k -∈Z M N ÜM N M = x ∀∈R 20x >x ∃∈R 20x ≤对于B ，若集合中只有一个元素，当时，，符合题意，又，解得，也符合题意，故B 不正确；对于C ，因为，，所以，，则，故C 正确．对于D ，由，故集合N 的个数为，故D 正确．故选：B 5．答案：B （学法大视野课时作业p232页12题）解析：若的定义域是R ，则在R 恒成立，时，显然成立，时，只需，解得：，综上，m 的取值范围是，故选：B ．6．答案：C解析：对于A 选项，当时，故不符合函数定义，A 错误；对于B 选项，因为函数的定义域为，∴，∴，所以函数的定义域为，故B 错误；对于C 选项，两个函数定义域和对应关系都相同，故是同一函数，C 正确；对于D 选项，，函数在单调递增，则，，故D 错误．故选C ．7．答案：C解析：由，即为，当时，存在x 使不等式成立，等价于，由，可得时，取得最大值，且为6，所以，解得，故选C ．8．答案：B【分析】利用换元法构造函数，结合单调性求函数值域，结合题意即可求解．【详解】设，则，，{}210A x ax x =++=0a ={}1A x x ==-0140a a ≠⎧⎨∆=-=⎩14a =13x <<21y -<<-226x <<12y <-<328x y <-<N M ⊆224=()f x 2240mx mx ++>0m =0m ≠24160m m m >⎧⎨∆=-<⎩04m <<[)0,41x =10x x B =-=∉()f x ()1,1-1211x -<-<01x <<()21f x -()0,1()()22211f x x x x =+=+-()f x []1,2x ∈()()min 13f x f ==()()4a x a x -⊗+<224a x a x -++<12x ≤≤224a a x x +<-+()22max4a a x x +<-+22115424x x x ⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭2x =24x x -+26a a +<32a -<<()0t t =>()()2222214411144441t k t kt t t kt t k f t t t t t t t t t-+++++--===+=+++++++++()0t >令，则，因为，所以，当且仅当时等号成立，当，即时，函数y 在上单调递减，则，当，即时，，当，即时，函数y 在上单调递增，则，所以，当时，，，由于对任意的，都有成立，所以，，解得，当时，，显然符合题意，当时，，，由题意知，，解得，，综上可得，k 的取值范围为，故选：B ．二、选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．答案：ABD （学法大视野课时作业p227页第4题）【分析】由题意可得的两个根为-2和4，且，则有，，表示出b ，c ，再逐个分析判断即可．【详解】因为关于x 的不等式的解集为，所以的两个根为-2和4，且，41u t t =++11k y u-=+0t >4115u t t =++≥+=2t =10k ->1k >[)5,+∞41,5k y +⎛⎤∈ ⎥⎝⎦10k -=1k ={}1y ∈10k -<1k <[)5,+∞4,15k y +⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭1k >()()122825k f x f x +<+≤()3415k f x +<≤()123,,0,x x x ∈+∞()()()1230f x f x f x +->425k +≤16k <≤1k =()()()1231f x f x f x ===1k <()()122825k f x f x +≤+<()3415k f x +≤<2815k +≤312k -≤<3,62⎡⎤-⎢⎥⎣⎦20ax bx c ++=0a >24b a -+=-24ca-⨯=20ax bx c ++>{}24x x x <->或20ax bx c ++=0a >所以，得，，所以A 正确，对于B ，因为，，所以可化为，因为，所以，得，所以的解集为，所以B 正确，对于C ，因为，所以，所以C 错误，对于D ，因为，，所以可化为，因为，所以，，得或，所以原不等式的解集为，所以D 正确，故选：ABD10．答案：BC （学法大视野课时作业p236页第11题）【解析】根据解析式判断定义域，结合单调性求出值域，分段代值即可求解方程，分段解不等式，得出不等式解集．【详解】由题意知函数的定义域为，故A 错误；当时，的取值范围是，当时，的取值范围是，因此的值域为，故B 正确；当时，，解得（舍去），当时，，解得，故C 正确；当时，，解得，当时，，解得，因此的解集为；故D 错误．故选：BC ．【点睛】此题考查分段函数，涉及定义域，值域，根据函数值求自变量取值，解不等式，关键在于分段依次求解．11．答案：ACD解析：对A 、B ：因为，所以，，当且仅当时，等号成立，故A 正确，B 错误；对C ：若，则，所以，当且仅当，即，时，等号成立，故C 正确，24b a -+=-24ca-⨯=2b a =-8c a =-2b a =-8c a =-0bx c +>280ax a -->0a >40x +<4x <-0bx c +>{}4x x <-()()2890a b c a a a a ++=+-+-=-<0a b c ++<2b a =-8c a =-20cx bx a -+<2820ax ax a -++<0a >28210x x -->()()21410x x -+>14x <-12x >1142x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或()f x (),2-∞1x ≤-()f x (],1-∞12x -<<()f x [)0,4()f x (),4-∞1x ≤-23x +=1x =12x -<<23x =x =x =1x ≤-21x +<1x <-12x -<<21x <11x -<<()1f x <()(),11,1-∞-- 22a b a b ab +⎛⎫+=≤ ⎪⎝⎭4a b +≥4ab ≥2a b ==a b ab +=111a b +=()11444559a b a b a b a b b a ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭4a b b a =32b =3a =对D ：若，则，所以，由，，及，可知，则当，即，时，，故D 正确，故选：ACD ．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．答案：（学法大视野课时作业p214页第12题）【分析】根据p 是真命题可得，再分析当q 是真命题时，进而求得q 是假命题时a 的取值范围即可【详解】命题p ：，恒成立，若p 是真命题，则：，命题q ：，使得成立，若命题q 为真命题，则．所以命题q 是假命题时，，综上，参数a 的取值范围是：，即故答案为：13．答案：（填或或也可）【详解】．画出函数图象，如图可知，函数的单调递减区间为．14．答案：【解析】【分析】先根据判别式确定a 的范围，运用求根公式求出方程的根，再根据解的情况确定a 的范围．【详解】由不等式得：，因为解集中只有2个整数，必有，a b ab +=111a b +=2222212123211a b b b b b ⎛⎫+=-+=-+ ⎪⎝⎭0a >0b >111a b +=101b <<113b =32a =3b =22321121321333b b ⎛⎫-+≥⨯-⨯+= ⎪⎝⎭(],1-∞-()2min1a x ≤+()min 12121a x >-=-=-[]1,2x ∀∈21x a +≥()2min12a x ≤+=[]1,1x ∃∈-210x a +->()min 12121a x >-=-=-1a ≤-1a ≤-(],1a ∈-∞-(],1-∞-1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦1,12⎛⎫⎪⎝⎭1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭1,12⎛⎤⎥⎝⎦()221,1111,1x x x g x x x x x x ⎧-+≥⎪=-+=⎨-++<⎪⎩1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦925,49⎛⎤⎥⎝⎦()2221x ax -<()2221x ax -<()24410a x x --+<40a ->，并且，∴，∴，由求根公式得方程的解为，∵∴，即不等式的2个整数解必定为1和2，∴，解得；故答案为：．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（1）；（2）．【解析】（1）先求出集合A ，B ，再根据补集定义求出，进一步根据交集运算求出；（2）由可知，分和两种情况讨论可求出．【详解】（1）∵，，∴，∴；（2）∵，∴，当，即时，，满足题意；当时，满足，解得，综上，实数?的取值范围是【点睛】本题考查集合的补集交集运算，其中涉及一元二次不等式和分式不等式的求解，考查根据集合的包含关系求参数，属于基础题．16．【解题思路】（1）将给定的不等式等价转化成，按与并结合二次函数的性质讨论存在实数使不等式成立即可；（2）将给定的不等式等价转化成，根据给定条件借助一次函数的性质即可作答；【解答过程】（1）依题意，有实数解，即不等式有实数解，当时，有实数解，则，4a <()16440a ∆=-->0a >04a <<()24410a x x --+=1x ==2x =04a <<11142x <<()24410a x x --+<23≤<92549a <≤925,49⎛⎤⎥⎝⎦{}2034x x x x -<≤≤<或1a <()B R ð()A B R ðB C B = C B ⊆C =∅C ≠∅{}{}228024A x x x x x x =--<=-<<{}23100333x x B x x x x x x ⎧-⎫⎧⎫=<=<=<<⎨⎬⎨⎬--⎩⎭⎩⎭{}3x B x x ≤=≥R 或ð(){}2034A x x x B =-<≤≤<R 或ðB C B = C B ⊆11a a -≥+0a ≤C =∅C ≠∅111013a aa a -<+⎧⎪->⎨⎪+≤⎩01a <<(),1-∞()210ax a x a +-+≥0a =0a ≠()210x x a x -++≥()2f x ≥-()210ax a x a +-+≥0a =0x ≥0a =当时，取，则成立，即有实数解，于是得，当时，二次函数的图象开口向下，要有解，当且仅当，从而得，综上，，所以实数a 的取值范围是；另解：解题思路：将参数a 分离，，分别按，，三种情况结合基本不等式及不等式的性质求出函数的值域，（2）不等式对于实数时恒成立，即，，显然，函数在上递增，从而得，即，解得，所以实数x 的取值范围是；17．答案：（1）当前墙的长度为20米时，甲工程队报价最低为84000元（2）当时，无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功解析：（1）因为体育馆前墙长为x 米，地面面积为，所以体育馆的左右两侧墙的长度均为米（），设甲工程队报价为y 元，所以，解析：（1）因为体育馆前墙长为x 米，地面面积为，所以体育馆的左右两侧墙的长度均为米（），设甲工程队报价为y 元，所以．因为，0a >0x =()210ax a x a a +-+=>()210ax a x a +-+≥0a >0a <()21y ax a x a =+-+0y ≥()22114013a a a ∆=--≥⇔-≤≤10a -≤<1a ≥-[)1,-+∞21xa x x -≥-+0x >0x =0x <2min1x a x x -⎛⎫≥⎪-+⎝⎭()6f x ≥-[]1,1a ∈-[]1,1a ∀∈-()2140x x a x -+++≥210x x -+>()()214g a x x a x =-+++[]1,1a ∈-()10g -≥2230x x -++≥13x -≤≤[]1,3-036a <<2240m 240x0x >2401200525021505224000500324000y x x x x ⎛⎫=⨯⨯⨯+⨯⨯+=++ ⎪⎝⎭2240m 240x0x >2401200400525021505224000500324000150024000y x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯+⨯⨯+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭15002400084000y ≥⨯+=当且仅当，即时等号成立，所以当前墙的长度为20米时，甲工程队报价最低为84000元；（2）根据题意可知对任意的恒成立，即对任意的恒成立，所以对任意的恒成立，因为，，当且仅当，即时等号成立，所以，故当时，无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功．18．解析：（1）令，则，∴，即则函数的值域为；（2）由（1）知，，则在区间是增函数分，证明如下：，且则∵，∴，，∴，则，即∴在区间是增函数（3）由（1）（2）知，则400x x=20x =1200115250032400012000500a x a x x +⎛⎫⎛⎫++>++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0x >()2324481x x a x ++>+0x >()2341x a x+<+0x >0a >()()()()2241619916612111x x x x xx x +++++==+++≥+=+++911x x +=+2x =036a <<036a <<21t x =-()112x t =+()()()2211241417f t t t t t ==-++-++()()221110,24313f x x x x ⎛⎤==∈ ⎥-+⎝⎦-+()f x 10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦()2124f x x x =-+()()420g x x x x=+-≠()g x [)2,+∞[)12,2,x x ∀∈+∞12x x >()()()1212121212444422g x g x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+--+-=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()()21121212121244x x x x x x x x x x x x ---=-+=122x x >≥120x x ->124x x >120x x >1240x x ->()()120g x g x ->()()12g x g x >()g x [)2,+∞()2124f x x x =-+()()420g x x x x=+-≠当时，则，记集合当时，由（2）知在区间单调递增∴ 记集合∵对，总，使成立，∴，则，又∵，∴，∴则实数的取值范围是19．【分析】（1）由表示不超过实数x 的最大整数可得x 的范围；（2）根据高斯函数的定义求得集合A ，从而得出集合B 的可能情形，根据集合的情形求解．（3）不等式可化为，分，，三类讨论解集情况可得．【详解】（1）由题意得，且，由，即，所以，故的解集为；由，即，∴，则，所以．所以的解集为．（2），则，，∴，（时）或（时），，则30,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()()221111,244313f x x x x ⎡⎤==∈⎢⎥-+⎣⎦-+()99,34f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦9,34A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦[]2,x m ∈()g x []2,m ()42,2g x m m ⎡⎤∈+-⎢⎥⎣⎦42,2B m m ⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦130,2x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦[]22,x m ∃∈()()129f x g x =A B ⊆423m m +-≥2m >()()2540140m m m m -+≥⇔--≥4m ≥[)4,+∞[]x []()[]()110x a x a +---≤0a =0a >0a <[][]1x x x ≤<+[]x ∈Z 5522x -≤≤[]22x -≤≤23x -≤<5522x -≤≤{}23x x -≤<[][]2211150x x -+≤[]()[]()3250x x --≤532x ≤≤[]3x =34x ≤<[][]2211150x x -+≤{}34x x ≤<102x ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦1012x ≤-<1322x -<<13,22A ⎛⎫=- ⎪⎝⎭22125211153,2x kx k x k x k -+⇒==(][)12,,B x x =-∞+∞ 12x x ≤(][),,B x x =-∞+∞ 21x x <A B =R，解得，即k 的范围是．注：按，，分论讨论也可给分．（3）不等式，即，由方程可得或．①若，不等式为，即，所以，显然不符合题意；②若，，由，解得，因为不等式的解集为，所以，解得③若，，由，解得，因为不等式解集为，所以，解得．综上所述，或．故a 的范围为．13322153222k k ⎧-≤≤⎪⎪⎨⎪-≤≤⎪⎩1162k -≤≤11,62⎡⎤-⎢⎥⎣⎦0k >0k =0k <[][]22210x x a --+≤[]()[]()110x a x a +---≤[]()[]()110x a x a +---=[]1x a =-1a +0a =[][]2210x x -+≤[]1x =01x ≤<0a >11a a -<+[]()[]()110x a x a +---≤[]11a x a -≤≤+[]{}{}[]{}110313x a x a x x x x -≤≤+=≤<=-<<110213a a -<-≤⎧⎨≤+<⎩12a ≤<0a <11a a +<-[]()[]()110x a x a +---≤[]11a x a +≤≤-[]{}{}[]{}110313x a x a x x x x +≤≤-=≤<=-<<110213a a -<+≤⎧⎨≤-<⎩21a -<≤-21a -<≤-12a ≤<(][)2,11,2--。
高一上学期第一次月考数学试卷(含答案解析)
高一上学期第一次月考数学试卷(含答案解析)第I 卷（选择题）一、单选题（本大题共10小题，共40.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 若集合{0,1}A =，{|0}B x x =，则下列结论正确的是( ) A. {0}B ∈B. A B ⋂=∅C. A B ⊆D. A B R ⋃=2. 已知集合，{2,1,0,1,2,4}B =--，则A B ⋂=( ) A. {1,0,1,2}-B. {2,0,4}-C. {0,1,2}D. {0,1}3. 已知命题p ：x R ∃∈，2 1.x x +则命题p 的否定是( ) A. x R ∃∈，21x x >+ B. x R ∃∈，21x x + C. x R ∀∈，21x x +D. x R ∀∈，21x x >+4. 已知a R ∈，则“2a >”是“4a >”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5. “A B ⊆“是“A B B ⋂=“的( ) A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件6. 如果0a <，0b >，那么下列不等式中正确的是( )A.11a b< B. <C. 22a b <D. ||||a b >7. 已知集合M 满足{1,2}{1,2,3}M ⋃=，则集合M 的个数是( ) A. 1B. 2C. 3D. 48. 对于任意实数x ，不等式2(2)2(2)40m x m x ---+>恒成立，则m 的取值范围是( ) A. {|22}m m -<< B. {|22}m m -< C. {|2m m <-或2}m >D. {|2m m <-或2}m9. 已知a ，b R ∈，且0ab ≠，则在下列四个不等式中，不恒成立的是( )A.222a b ab +B.2b a a b+ C. 2()2a b ab +D. 222()22a b a b ++10. 设S 为实数集R 上的非空子集．若对任意x ，y S ∈，都有x y +，x y -，xy S ∈，则称S 为封闭集．下面是关于封闭集的4个判断：(1)自然数集N 为封闭集； (2)整数集Z 为封闭集；(3)若S 为封闭集，则一定有0S ∈； (4)封闭集一定是无限集．则其中正确的判断是( )A. (2)(3)B. (2)(4)C. (3)(4)D. (1)(2)第II 卷（非选择题）二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）11. 已知函数21()ln log f x a x b x =+，若(2017)1f =，则1()2017f =______ . 12. 若0x >，则12x x+的最小值为______，此时x 的取值为______. 13. 一元二次不等式220ax bx ++>的解集是11(,)23-，则a b +的值是__________.14. 设2{|340}A x x x =+-=，{|10}.B x ax =-=若B A ⊆，则a 的值为______.15. 某公司购买一批机器投入生产，据市场分析每台机器生产的产品可获得的总利润(y 万元)与机器运转时间(x 年数，*)x N ∈的关系为21825.y x x =-+-则当每台机器运转______ 年时，年平均利润最大，最大值是______ 万元．三、解答题（本大题共6小题，共85.0分。
2021年湖南省邵阳市邵东县第一中学高一数学理联考试题含解析
2021年湖南省邵阳市邵东县第一中学高一数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在△ABC 中，若，则的大小是( )A. B. C. D.参考答案：C【分析】利用余弦定理表示出，将已知等式变形后代入求出的值，由为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出角的度数。
【详解】已知等式变形得：，即，由余弦定理得：，角为三角形内角，，故答案选C.2. 若=(2,1)，=(3,4)，则向量在向量方向上的投影为A. B.2 C.D.10、参考答案：D3. 函数的零点是（）A． B．0 C．1 D．0或参考答案：A4. 若向量满足则和的夹角为( )A． B． C． D．参考答案：C【知识点】数量积的定义解：因为所以即故答案为：C5. 等差数列中，则（）A、30B、27C、24D、21参考答案：B6. 设函数且，在上单调递增，则与的大小关系为（）A． B．C． D．不确定参考答案：C7. 函数f（x）＝的定义域是（）A．（1，＋∞） B．（2，＋∞）C．（－∞，2） D．参考答案：D8. 计算的值为()．A. B. C. D.参考答案：D【分析】利用诱导公式以及特殊角的三角函数值可求出结果.【详解】由诱导公式可得，故选：D.【点睛】本题考查诱导公式求值，解题时要熟练利用“奇变偶不变，符号看象限”基本原则加以理解，考查计算能力，属于基础题.9. 在正方体中，下列几种说法正确的是A、B、C、与成角D、与成角参考答案：D10. 函数f（x）=log a（ax﹣3）在[1，3]上单调递增，则a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（0，1）C．（0，）D．（3，+∞）参考答案：D【考点】4O：对数函数的单调性与特殊点．【分析】由题意可得可得a＞1，且a﹣3＞0，由此求得a的范围．【解答】解：∵函数f（x）=log a（ax﹣3）在[1，3]上单调递增，而函数t=ax﹣3在[1，3]上单调递增，根据复合函数的单调性可得a＞1，且a﹣3＞0，求得a＞3，故选：D．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 过原点的直线与圆x2+y2+4x +3=0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是．参考答案：略12. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AC＝2，点D是BC的中点，点E是边AB上一动点，沿DE所在直线把△BDE翻折到△B′DE的位置，B′D交AB于点F.若△AB′F为直角三角形，则AE的长为____或___参考答案：3或【分析】△AB′F为直角三角形，应分两种情况进行讨论.当∠AFB′为直角时，利用勾股定理求出B′E，也就是BE的长，便求出AE。
2021学年湖南省邵阳市某校高一(上)第一次月考数学试卷(有答案)
2021学年湖南省邵阳市某校高一（上）第一次月考数学试卷一、选择题（每小题5分，共50分）1. 已知集合A={x|x2−2x=0}，B={0, 1, 2}，则A∩B=()A.{0}B.{0, 1}C.{0, 2}D.{0, 1, 2}2. 下列函数中，在区间(0, +∞)上为增函数的是（）A.y=√x+1B.y=(x−1)2C.y=2−xD.y=log0.5(x+1)3. 设集合p={x|x>1}，Q={x|x2−x>0}，则下列结论正确的是（）A.p=QB.p⊈QC.p⊆QD.Q⊆p4. 设全集U=R，集合A={x|x(x+3)<0}，B={x|x<−1}，则如图中阴影部分表示的集合为（）A.{x|−3<x<−1}B.{x|−1≤x<0}C.{x|−3<x<0}D.{x|−1<x<0}5. 在集合{a, b, c, d}上定义两种运算如下：那么d⊗(a⊕c)=()A.aB.bC.cD.d6. 已知函数f(x)={x+2(x<0)x2(0≤x<2)1 2x(x≥2)，若f(x)=2，则x的值为（）A.±√2B.√2或4C.4D.±√2或47. 函数f(x)=√−x 2+x 的单调递增区间为（ ）A.[0, 1]B.(−∞, 12]C.[12, 1]D.[0, 12]8. 已知f(x)=ax 3+bx −4，若f(−2)=2，则f(2)=( )A.−2B.−4C.−6D.−109. 若函数y =x 2−2x −4的定义域为[0, m]，值域为[−5, −4]，则m 取值范围是（ ）A.[0, 1]B.(1, 2]C.[1, 2]D.[0, 2]10. 设f(x)是定义在R 上单调递减的奇函数，若x 1+x 2>0，x 2+x 3>0，x 3+x 1>0，则（ ）A.f(x 1)+f(x 2)+f(x 3)>0B.f(x 1)+f(x 2)+f(x 3)<0C.f(x 1)+f(x 2)+f(x 3)=0D.f(x 1)+f(x 2)>f(x 3)二、填空题（每小题5分，共25分）函数y =a x−1+1过定点________．函数y =a x 在区间[1, 2]上的最小值和最大值之和6，则a =________．已知f(x)是定义R 上的奇函数，当x <0时，f(x)=x 2−2x +3，则f(3)=________．若函数f(x)=x 2+2(a −1)x +2在(−∞, 4)上是减函数，则实数a 的取值范围是________．用max {a, b}表示a ，b 两数中的最大值，若f(x)=max {|x|, |x +2|}，则f(x)的最小值为________．三、解答题（12+12+12+13+13+13）已知集合A ＝{x|−2≤x ≤5}，B ＝{x|m −4≤x ≤3m +2}．（1）若A ∪B ＝B ，求实数m 的取值范围；（2）求A ∩B ＝B ，求实数m 的取值范围．已知函数y=√mx2+6mx+m+8的定义域为R，求实数m的取值范围．已知函数f(x)=(12x−1+12)⋅x．（1）求函数f(x)的定义域；（2）判断函数f(x)的奇偶性；（3）求证：f(x)>0．某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元．该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出厂单价就降低0.02元．根据市场调查，销售商一次订购量不会超过500件．（1）设一次订购量为x件，服装的实际出厂单价为P元，写出函数P=f(x)的表达式；（2）当销售商一次订购了450件服装时，该服装厂获得的利润是多少元？（服装厂售出一件服装的利润=实际出厂单价-成本）（3）求当销售商一次订购多少件服装时，该服装厂获得的利润最大？设函数f(x)是实数集R上的单调增函数，令F(x)=f(x)−f(2−x)．（1）求证：F(x)在R上是单调增函数；（2）若F(x1)+F(x2)>0，求证：x1+x2>2．y=f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=2x−x2；（1）求x<0时，f(x)的解析式；（2）问是否存在这样的正数a，b，当x∈[a, b]时，g(x)=f(x)，且g(x)的值域为[1 b ，1a]若存在，求出所有的a，b值，若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析2021学年湖南省邵阳市某校高一（上）第一次月考数学试卷一、选择题（每小题5分，共50分）1.【答案】C【考点】交集及其运算【解析】解出集合A，再由交的定义求出两集合的交集．【解答】解：∵A={x|x2−2x=0}={0, 2}，B={0, 1, 2}，∴A∩B={0, 2}.故选C.2.【答案】A【考点】函数单调性的判断与证明【解析】根据基本初等函数的单调性，判断各个选项中函数的单调性，从而得出结论．【解答】解：由于函数y=√x+1在(−1, +∞)上是增函数，故满足条件，由于函数y=(x−1)2在(0, 1)上是减函数，故不满足条件，由于函数y=2−x在(0, +∞)上是减函数，故不满足条件，(x+1)在(−1, +∞)上是减函数，故不满足条件.由于函数y=log0.5故选A.3.【答案】C【考点】集合的包含关系判断及应用【解析】首先化简Q={x|x2−x>0}={x|x>1或x<0}，从而判断P、Q的关系．【解答】解：∵Q={x|x2−x>0}={x|x>1或x<0}，又∵p={x|x>1}，∴p⊆Q．故选C．4.【答案】B【考点】Venn图表达集合的关系及运算【解析】根据题意，图中阴影部分表示的区域为只属于A 的部分，即A ∩(∁U B)，计算可得集合A 与∁U B ，对其求交集可得答案．【解答】解：根据题意，图中阴影部分表示的区域为只属于A 的部分，即A ∩(∁U B)， A ={x|x(x +3)<0}={x|−3<x <0}，B ={x|x <−1}，则∁U B ={x|x ≥−1}，则A ∩(∁U B)={x|−1≤x <0}，故选B ．5.【答案】A【考点】函数的求值【解析】由题意得a ⊕c =c ，得d ⊗(a ⊕c)d ⊗c =a ．【解答】解：由题意得a ⊕c =c ，∴ d ⊗(a ⊕c)=d ⊗c =a ．故选：A ．6.【答案】B【考点】函数的求值【解析】根据分段函数的标准讨论x ，分别在每一段解析式上解方程f(x)=2即可．【解答】解：当x <0时，f(x)=x +2=2，解得x =0（舍去）当0≤x <2时，f(x)=x 2=2，解得x =±√2（负值舍去）当x ≥2时，f(x)=12x =2，解得x =4 ∴ x =√2或4故选B ．7.【答案】D【考点】复合函数的单调性【解析】令t =−x 2+x ≥0，求得函数f(x)的定义域，再由f(x)=√t ，可得本题即求函数t 在[0, 1]上的增区间．再利用二次函数的性质求得函数t 在[0, 1]上的增区间．【解答】解：令t =−x 2+x ≥0，求得0≤x ≤1，故函数f(x)的定义域为[0, 1]，且f(x)=√t ， 本题即求函数t =−(x −12)2+14在[0, 1]上的增区间．再利用二次函数的性质求得函数t =−(x −12)2+14在[0, 1]上的增区间为[0, 12]， 故选：D ．8.【答案】D【考点】函数奇偶性的性质【解析】由于f(x)=ax 3+bx −4，可得f(−x)+f(x)=−8，即可得出．【解答】解：∵ f(x)=ax 3+bx −4，∴ f(−x)+f(x)=−ax 3−bx −4+ax 3+bx −4=−8，∵ f(−2)=2，∴ 2+f(2)=−8，解得f(2)=−10．故选：D ．9.【答案】C【考点】二次函数在闭区间上的最值【解析】首先把函数转化为：函数y =x 2−2x −4=(x −1)2−5，进一步当x =1时y =−5，当x =0或2是函数y =−4，则函数的定义域为[0, 2]，最后确定参数的范围．【解答】解：函数y =x 2−2x −4=(x −1)2−5当x =1时y =−5当x =0或2时，函数y =−4则函数的定义域为[0, 2]由于m 2−2m −4≤−4解得：0≤m ≤2所以求得：m 的范围为[1, 2]或[0, 1]进一步结合四个选项m 的范围为[1, 2]故选：C10.【答案】B【考点】奇偶性与单调性的综合【解析】对题设中的条件进行变化，利用函数的性质得到不等式关系，再由不等式的运算性质整理变形成结果，与四个选项比对即可得出正确选项．【解答】解：∵ x 1+x 2>0，x 2+x 3>0，x 3+x 1>0，∴ x 1>−x 2，x 2>−x 3，x 3>−x 1，又f(x)是定义在R上单调递减的奇函数，∴f(x1)<f(−x2)=−f(x2)，f(x2)<f(−x3)=−f(x3)，f(x3)<f(−x1)=−f(x1)，∴f(x1)+f(x2)<0，f(x2)+f(x3)<0，f(x3)+f(x1)<0，∴三式相加整理得f(x1)+f(x2)+f(x3)<0故选B二、填空题（每小题5分，共25分）【答案】(1, 2)【考点】指数函数的单调性与特殊点幂函数的性质【解析】根据指数函数的性质即可确定函数过定点．【解答】解：∵函数f(x)=a x过定点(0, 1)，∴当x−1=0时，x=1，∴此时y=a x−1+1=1+1=2，故y=a x−1+1过定点(1, 2)．故答案为：(1, 2)．【答案】2【考点】指数函数单调性的应用【解析】分两种情况：(1)当a>1时，函数y=a x在区间[1, 2]上是增函数，所以y max=a2y min=a，由于最小值和最大值之和6，所以建立方程a2+a=6解得：a=2或−3（负值舍去）(2)0<a<1，函数y=a x在区间[1, 2]上是减函数，所以：y max=a y min=a2，由于最小值和最大值之和6，所以建立方程，即a2+a=6，解得：a=2或−3，因为0<a<1，所以都舍去【解答】解：(1)当a>1时，函数y=a x在区间[1, 2]上是增函数，所以y max=a2y min=a，由于最小值和最大值之和6，即：a2+a=6，解得：a=2或−3（负值舍去）；(2)0<a<1，函数y=a x在区间[1, 2]上是减函数，所以：y max=a y min=a2，由于最小值和最大值之和6，即：a2+a=6，解得：a=2或−3，而0<a<1，故都舍去；故答案为：2．【答案】−18【考点】函数奇偶性的性质【解析】根据当x<0时，f(x)=x2−2x+3，可得f(−3)．利用f(x)是定义R上的奇函数，可得f(3)=−f(−3)．【解答】解：∵当x<0时，f(x)=x2−2x+3，∴f(−3)=(−3)2−2×(−3)+3=18．∵f(x)是定义R上的奇函数，∴f(3)=−f(−3)=−18．故答案为：−18．【答案】a≤−3【考点】二次函数的性质【解析】利用二次函数的对称轴公式求出二次函数的对称轴，据对称轴与单调区间的关系，令1−a≥4求出a的范围．【解答】解：二次函数的对称轴为：x=1−a∵函数f(x)=x2+2(a−1)x+2在(−∞, 4)上是减函数∴1−a≥4解得a≤−3故答案为：a≤−3．【答案】1【考点】函数的最值及其几何意义【解析】先将f(x)写成分段函数，求出每一段上最小值，再求出f(x)在定义域R上的最小值；本题也可以图象来解，画出f(x)的图象，由图象可以得函数的最小值．【解答】解：f(x)={|x|，x≤−1，|x+2|，x>−1，∴当x≤−1时，f(x)≥1，当x>−1时，f(x)>1，∴当x=−1时，f(x)有最小值，且最小值为f(−1)=1．故答案为：1．三、解答题（12+12+12+13+13+13）【答案】∵集合A＝{x|−2≤x≤5}，B＝{x|m−4≤x≤3m+2}．若A∪B＝B，则A⊆B，则m−4≤−2，且3m+2≥5，解得：m∈[1, 2]，即此时实数m的取值范围为[1, 2]；若A∩B＝B，则A⊇B，①当B＝⌀时，m−4>3m+2，解得m<−3，满足条件，②当B≠⌀时，若A⊇B，则−2≤m−4≤3m+2≤5，此时不等式组无解，综上所述此时实数m的取值范围为(−∞, −3)【考点】子集与交集、并集运算的转换【解析】（1）由集合A＝{x|−2≤x≤5}，B＝{x|m−4≤x≤3m+2}，若A∪B＝B，则A⊆B，则m−4≤−2，且3m+2≥5，解得实数m的取值范围；（2）由集合A＝{x|−2≤x≤5}，B＝{x|m−4≤x≤3m+2}，若A∩B＝B，则A⊇B，分当B＝⌀时和当B≠⌀时，两种情况分别求出实数m的取值范围，最后综合讨论结果，可得答案；【解答】∵集合A＝{x|−2≤x≤5}，B＝{x|m−4≤x≤3m+2}．若A∪B＝B，则A⊆B，则m−4≤−2，且3m+2≥5，解得：m∈[1, 2]，即此时实数m的取值范围为[1, 2]；若A∩B＝B，则A⊇B，①当B＝⌀时，m−4>3m+2，解得m<−3，满足条件，②当B≠⌀时，若A⊇B，则−2≤m−4≤3m+2≤5，此时不等式组无解，综上所述此时实数m的取值范围为(−∞, −3)【答案】解：∵函数y=√mx2+6mx+m+8的定义域为R，即对于任意实数x，不等式mx2+6mx+m+8≥0恒成立．当m=0时，y=√8，适合；当m≠0时，则{m>0△=36m2−4m(m+8)≤0，解得0<m≤1．综上，m的范围为[0, 1]．【考点】函数的定义域及其求法【解析】把函数y=√mx2+6mx+m+8的定义域为R转化为对于任意实数x，不等式mx2+ 6mx+m+8≥0恒成立，然后分m=0和m≠0分类求解实数m的取值范围．【解答】解：∵函数y=√mx2+6mx+m+8的定义域为R，即对于任意实数x，不等式mx2+6mx+m+8≥0恒成立．当m=0时，y=√8，适合；当m≠0时，则{m>0△=36m2−4m(m+8)≤0，解得0<m≤1．综上，m的范围为[0, 1]．【答案】解：（1）由2x−1≠0得x≠0，∴函数f(x)的定义域为(−∞, 0)∪(0, +∞)（2）∵f(x)=(12x−1+12)⋅x=2x+12(2x−1)⋅x∴f(−x)=2−x+12(2−x−1)⋅(−x)=−x⋅12x+12(12x−1)=−x⋅1+2x2(1−2x)=2x+12(2x−1)⋅x=f(x)∴函数f(x)为定义域上的偶函数．（3）证明：当x>0时，2x>1∴2x−1>0，∴12x−1>0，∴(12x−1+12)⋅x>0∵f(x)为定义域上的偶函数∴当x<0时，f(x)>0∴f(x)>0成立【考点】函数的定义域及其求法函数的值域及其求法函数奇偶性的判断【解析】（1）由分母不能为零得2x−1≠0求解即可．要注意定义域要写成集合或区间的形式．（2）在（1）的基础上，只要再判断f(x)与f(−x)的关系即可，但要注意作适当的变形．（3）在（2）的基础上要证明对称区间上成立可即可．不妨证明：当x>0时，则有2x>1进而有2x−1>0，12x−1>0然后得到(12x−1+12)⋅x>0．再由奇偶性得到对称区间上的结论．【解答】解：（1）由2x−1≠0得x≠0，∴函数f(x)的定义域为(−∞, 0)∪(0, +∞)（2）∵f(x)=(12x−1+12)⋅x=2x+12(2x−1)⋅x∴f(−x)=2−x+12(2−x−1)⋅(−x)=−x⋅12x+12(12x−1)=−x⋅1+2x2(1−2x)=2x+12(2x−1)⋅x=f(x)∴函数f(x)为定义域上的偶函数．（3）证明：当x>0时，2x>1∴2x−1>0，∴12x−1>0，∴(12x−1+12)⋅x>0∵f(x)为定义域上的偶函数∴当x<0时，f(x)>0∴f(x)>0成立【答案】解：（1）当0<x≤100，x∈N时，P=60．当100<x≤500，x∈N时，P=60−0.02(x−100)=62−x50∴P=f(x)={6062−x500<x≤100100<x≤500(x∈N)．（2）设销售商的一次订购量为x件时，工厂获得的利润为L元，则L=(P−40)x={20x22x−x2500<x≤100100<x≤500(x∈N)当x=450时，L=5850因此，当销售商一次订购了450件服装时，该厂获得的利润是5850元；（3）L=(P−40)x={20x22x−x2500<x≤100100<x≤500(x∈N)当0<x≤100，x∈N时，L max=20×100=2000元，当100<x≤500，x∈N时L=−x 250+22x=−150(x−550)2+6050当x=500时，L mzx=6000元综上，当x=500时，L mzx=6000元．【考点】函数模型的选择与应用【解析】（1）当0<x≤100，x∈N时，P=60．当100<x≤500，x∈N时，P=60−0.02(x−100)=62−x50即可得出；（2）设销售商的一次订购量为x件时，工厂获得的利润为L元，根据服装厂售出一件服装的利润=实际出厂单价-成本可得：L=(P−40)x={20x22x−x2500<x≤100100<x≤500(x∈N)，把x=450代入即可得出．（3）利用（2）的解析式，分类讨论：当0<x≤100，x∈N时，利用一次函数的单调性可得此时的最大值；当100<x≤500，x∈N时，利用二次函数的单调性即可得出其最大值．【解答】解：（1）当0<x≤100，x∈N时，P=60．当100<x≤500，x∈N时，P=60−0.02(x−100)=62−x50∴P=f(x)={6062−x500<x≤100100<x≤500(x∈N)．（2）设销售商的一次订购量为x件时，工厂获得的利润为L元，则L=(P−40)x={20x22x−x2500<x≤100100<x≤500(x∈N)当x=450时，L=5850因此，当销售商一次订购了450件服装时，该厂获得的利润是5850元；（3）L=(P−40)x={20x22x−x2500<x≤100100<x≤500(x∈N)当0<x≤100，x∈N时，L max=20×100=2000元，当100<x≤500，x∈N时L=−x 250+22x=−150(x−550)2+6050当x=500时，L mzx=6000元综上，当x=500时，L mzx=6000元．【答案】解：（1）任取x1，x2∈R，且x1<x2，则F(x1)−F(x2)=[f(x1)−f(2−x1)]−[f(x2)−f(2−x2)]=[f(x1)−f(x2)]+[f(2−x2)−f(2−x1)]；∵f(x)是实数集R上的增函数，且x1<x2，则f(x1)−f(x2)<0，由x1<x2，得−x1>−x2，∴2−x1>2−x2，∴f(2−x1)>f(2−x2)，∴f(2−x2)−f(2−x1)<0，∴[f(x1)−f(x2)]+[f(2−x2)−f(2−x1)]<0；即F(x1)<F(x2)；∴F(x)是R上的增函数．（2）证明：∵F(x1)+F(x2)>0，∴F(x1)>−F(x2)>0；由F(x)=f(x)−f(2−x)知，−F(x2)=−[f(x2)−f(2−x2)]=f(2−x2)−f(x2)=f(2−x2)−f[2−(2−x2)]=F(2−x2)，∴F(x1)>F(2−x2)；又F(x)是实数集R上的增函数，所以x1+>2−x2．，即x1+x2>2．【考点】抽象函数及其应用函数单调性的性质【解析】（1）用单调性的定义来证明F(x)是增函数，基本步骤是：一取值，二作差（商），三判定，四结论；（2）由F(x1)+F(x2)>0，得到F(x1)>−F(x2)>0；由F(x)=f(x)−f(2−x)变形，得F(2−x2)，即F(x1)>−F(x2)>0，从而证出结论．【解答】解：（1）任取x1，x2∈R，且x1<x2，则F(x1)−F(x2)=[f(x1)−f(2−x1)]−[f(x2)−f(2−x2)]=[f(x1)−f(x2)]+[f(2−x2)−f(2−x1)]；∵f(x)是实数集R上的增函数，且x1<x2，则f(x1)−f(x2)<0，由x1<x2，得−x1>−x2，∴2−x1>2−x2，∴f(2−x1)>f(2−x2)，∴f(2−x2)−f(2−x1)<0，∴[f(x1)−f(x2)]+[f(2−x2)−f(2−x1)]<0；即F(x1)<F(x2)；∴F(x)是R上的增函数．（2）证明：∵F(x1)+F(x2)>0，∴F(x1)>−F(x2)>0；由F(x)=f(x)−f(2−x)知，−F(x2)=−[f(x2)−f(2−x2)]=f(2−x2)−f(x2)=f(2−x2)−f[2−(2−x2)]= F(2−x2)，∴F(x1)>F(2−x2)；又F(x)是实数集R上的增函数，所以x1+>2−x2．，即x1+x2>2．【答案】解：（1）设x<0，则−x>0于是f(−x)=−2x−x2，-------------------------又f(x)为奇函数，所以f(x)=−f(−x)=2x+x2，即f(x)=2x+x2(x<0)，--- （2）分下述三种情况：①0<a<b≤1，那么1a>1，而当x≥0，f(x)的最大值为1，故此时不可能使g(x)=f(x)，-------------------------②若0<a<1<b，此时若g(x)=f(x)，则g(x)的最大值为g(1)=f(1)=1，得a=1，这与0<a<1<b矛盾；-------------- ③若1≤a<b，因为x≥1时，f(x)是减函数，则f(x)=2x−x2，于是有{1b=g(b)=−b2+2b 1a =g(a)=−a2+2a⇔{(a−1)(a2−a+1)=0(b−1)(b2−b−1)=0，考虑到1≤a<b，解得a=1,b=1+√52−−−−综上所述{a=1b=1+√52.−−−−−【考点】函数奇偶性的性质函数解析式的求解及常用方法二次函数的性质【解析】（1）令x<0，则−x>0，由当x≥0时，f(x)=2x−x2，可得f(−x)的表达式，进而根据f(x)为奇函数，f(x)=−f(−x)，可得答案；（2）分0<a<b≤1，0<a<1<b和1≤a<b三种情况分别讨论，a，b的取值情况，最后综合讨论结果可得答案．【解答】解：（1）设x<0，则−x>0于是f(−x)=−2x−x2，-------------------------又f(x)为奇函数，所以f(x)=−f(−x)=2x+x2，即f(x)=2x+x2(x<0)，--- （2）分下述三种情况：①0<a<b≤1，那么1a>1，而当x≥0，f(x)的最大值为1，故此时不可能使g(x)=f(x)，-------------------------②若0<a<1<b，此时若g(x)=f(x)，则g(x)的最大值为g(1)=f(1)=1，得a=1，这与0<a<1<b矛盾；-------------- ③若1≤a<b，因为x≥1时，f(x)是减函数，则f(x)=2x−x2，于是有{1b=g(b)=−b2+2b 1a =g(a)=−a2+2a⇔{(a−1)(a2−a+1)=0(b−1)(b2−b−1)=0，考虑到1≤a<b，解得a=1,b=1+√52−−−−综上所述{a=1b=1+√52.−−−−−。
湖南省第一中学2020-2021学年高一数学上学期第一次月考试题(含解析)
湖南省邵阳市邵东县第一中学2020-2021学年高一数学上学期第一次月考试题（含解析）第Ⅰ卷（选择题，共48分）一．选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{}1,3,A m =，{}1,B m =，若A B A ⋃=，则m =（ ） A. 0或3 B. 0或3C. 1或3D. 1或3【答案】B 【解析】 因为,所以,所以或.若，则,满足.若，解得或.若，则，满足.若，显然不成立，综上或，选B.2.设x 取实数，则()f x 与()g x 表示同一个函数的是（ ）A. ()()2,f x x g x x ==B. ()()()22,x xf xg x xx ==C. ()()()01,1f x g x x ==- D. ()()29,33x f x g x x x -==-+【答案】B 【解析】 【分析】对于同一函数问题，先判断函数定义域是否一致，再判断解析式是否一致，均一致时则为同一函数；也可以先判断值域是否一致，若不一致时，一定不为同一函数。
【详解】选项A ：()f x 值域为R ，()g x 值域为[)0+，∞，二者值域不同，故不为同一函数，故A 不满足；选项B ：()f x 定义域需满足0x x ≠⎧⎨≥⎩，即()0,x ∈+∞，()g x 的定义域为()0,∞+，二者定义域相同，对于解析式，()1x f x x ==，()1xg x x==，二者解析式相同，故B 满足；选项C ：()f x 定义域为R ，()g x 定义域需满足10x -≠，即{}|1x x x ∈≠，二者定义域不同，故C 不满足；选项D ：()f x 定义域需满足30x +≠，即{}|3x x x ∈≠-，()g x 定义域为R ，二者定义域不同，故D 不满足，综上，选B【点睛】本题考查同一函数问题，判断两函数是否为同一函数可以：①定义域与解析式均相同时，为同一函数；②当值域易于判断时，若值域不同，则不为同一函数。
高一(上)第一次月考数学试卷(附答案解析)
高一（上）第一次月考数学试卷(附答案解析)班级:___________姓名：___________考号：____________一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 已知集合A={2,3,4,5,6}，B={x|x2−8x+12≥0}，则A∩∁RB=()A. {2,3,4,5}B. {2,3,4,5,6}C. {3,4,5}D. {3,4,5,6}2. 命题“∀x>0，都有x2−x≤0”的否定是()A. ∃x>0，使得x2−x≤0B. ∃x>0，使得x2−x>0C. ∀x>0，都有x2−x>0D. ∀x≤0，都有x2−x>03. 已知a是实数，则“a<−1”是“a+1a<−2”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 下列各组函数中，表示同一个函数的是()A. y=1，y=xxB. y=x，y=3x3C. y=x−1×x+1，y=x2−1D. y=|x|，y=(x)25. 若集合A={1,2,3,4,5}，集合B={x|(x+2)(x−3)<0}，则图中阴影部分表示()A. {3,4,5}B. {1,2,3}C. {1,4,5}D. {1,2}6. 已知不等式ax2−5x+b>0的解集为{x|−3<x<2}，则不等式bx2−5x+a>0的解集为()A. {x|−13<x<12}B. {x|x<−13或x>12}C. {x|−3<x<2}D. {x|x<−3或x>2}7. 函数f(x)=ex+ln(2x+1)的定义域为()A. (−∞,+∞)B. (0,+∞)C. (−12,+∞)D. (12,+∞)8. 设函数f(x)=x+2，g(x)=x2−x−1.用M(x)表示f(x)，g(x)中的较大者，记为M(x)=max{f(x),g(x)}，则M(x)的最小值是()A. 1B. 3C. 0D. −54二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。
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邵东一中2020年下学期高一第一次月考数学试题
一、单项选择题(本题共8小题，每小题4分，共32分）
1．设集合A ＝{x|－1<x<4}，集合B ＝{x|x<5}，则 ( )
A ．A ∈B
B ．A ⊆B
C ．B ∈A
D ．B ⊆A
2.设集合U ＝{1,2,3,4,5,6},M ＝{1,2,3},N ＝{3,4,5}
则 (∁U M )∩(∁U N )=( )
A{2,3,4,5} B{1,2,4,5,6}
C{1,2,6} D{6}
3．下列命题中，p 是q 的充分条件的是( )
A ．P:0≠ab , q:0≠a
B ．P:022≥+b a , q:00≥≥b a 且
C ．P:12>x , q:1>x
D ．P:b a >, q: b a >
4．“022=+y x ”是“xy=0”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
5.命题p:∀x>0，总有x ＋1>1则p ⌝为（ ）
A ∃x 0≤,使得11≤+x
B ∃x 0>,使得11≤+x
C ∀x 0>,总有11≤+x
D ∀x 0≤,总有11≤+x
6已知.0<a<1,0<b<1,b a ≠,下列各式中最大的是（ ）
A 22b a +
B ab 2
C ab 2
D b a +
7. 若一元二次不等式08
322<-+kx kx 对一切实数x 都成立，求k 的取值范围（ ）
A (-3,0] B[-3,0) C[-3,0] D(-3,0)
8. 定义集合运算：A*B={z|z=(x+y)(x-y),x ∈A,y ∈B }设A ＝{3,2}, B ＝{1,2}则集合A*B 的真子集个数为（ ）
A 8
B 7
C 16
D 15 二、多项选择题(本题共4小题，每小题4分，共16分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．下面四个说法中错误的是( )
A ．10以内的质数组成的集合是{2,3,5,7}
B ．由1,2,3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,1,2}
C ．方程x 2－2x ＋1＝0的所有解组成的集合是{1,1}
D ．0与{0}表示同一个集合
10．设全集为U ，在下列选项中，是B ⊆A 的充要条件的为( )
A ．A ∪
B ＝A B ．(∁U A )∩B ＝∅
C ．(∁U A )⊆(∁U B )
D ．A ∪(∁U B )＝U
11．已知a ∈Z ，关于x 的一元二次不等式x 2－6x ＋a ≤0的解集中有且仅有3个整数，则a 的值可以是( )
A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
12．若a >0，b >0，且a ＋b ＝4，则下列不等式恒成立的是( )
A ．a 2＋b 2
≥8 B.1ab ≥14 C.ab ≥2 D.1a ＋1b ≤1 三、填空题(本题共4小题，每小题4分，共16分）
13.若x>0,则x
x 432--的最大值是
14.若不等式0)2)(1(>--x mx 的解集为{x|
21<<x m }，则m 的取值范围是
15.若02)1(22=-+-+m x m x 的两个实根一个小于 -1，另一个大于
1。
则m 的取值范围是
43,,.1622=-+-z y xy x z y x 满足正数
的最大值为取得最小值时，当z y x xy z -+2
三、解答题(本题共6题，共56分）
17.(8分)已知A ＝{x | 0232=+-x x }，B ＝{x |05)1(222=-+-+a x a x }．
(1)若A ∩B ＝{2}，求实数a 的值；
(2)若A ∪B ＝A ，求实数a 的取值范围．
18.(8分)p ：∃x ∈R ，使0242=+-x mx 为假命题
（1）求m 的取值集合B (2)A ＝{x|3a<x<a+2}为非空集合，若x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围
19(10分)已知0122≥++ax ax 恒成立，解关于x 的不等式
022<+--a a x x
20.(10分)已知x>0,y>0且2x+8y-xy=0求：
（1）xy 的最小值 （2）x+y 的最小值
21(10分)某厂家举行促销活动，经调查测算，某产品的年销售量（即该产品的年产量）x 万件与年促销费用m(m ≥0)万元满足
1
3+-=m k x （k 为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1万件。
已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）
（1）将该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数。
（2）该厂家的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？
22(10分)已知二次函数c bx ax y ++=2
（1）若y>0的解集为{x|－3<x<4}，解关于x 的不等式0)3(22<+-+b c ax bx
（2）若对任意的x ∈R,不等式b ax y +≥2恒成立，求
的最大值222
c
a b +。