高一抽象函数专题

取值范围。
方法总结：利用奇偶性将已知转化为
f ( g( x)) f (h( x)) 的形式，再利用 f ( x) 的单调性 得到关于 x 的不等式，求出 x 的范围
问题四：抽象函数奇偶性的问题
例 6.已知 f (x) 的定义域为 R，且对任意实数 x，y 满足
f (xy) f (x) f (y) ，求证： f (x) 是偶函数。
f(x+y)=f(x)+f(y)，且 x >0 时，f(x)<0
(1)判断f ( x)的奇偶性；
(2)求证:f(x)在 R 上是减函数; (3)若 f(1)=-2，求 f(x)在[-3,3]上 的最大值和最小值。
例 9. 已知函数 f(x)为定义域 (0, )
上的函数，满足 f(xy)=f(x)+f(y)，且 x>1 时，f(x)>0
问题三：抽象函数与不等式问题
例 4.定义在 1,1上的奇函数 f ( x) 是增函数,且
f ( x 1) f (1 x2 ) 0 ,求 x 的取值范围.
例 5 设定义在2, 2 上的偶函数 f (x) 在 0, 2
上单调递减，若 f (1 m) f (m) ，求实数 m 的
抽象函数专题
定义：我们把只给出函数的一些性质没有给出具体 解析式的函数称为抽象函数
一.几类常见的抽象函数
抽象函数满足条件
1
f (x1 x2 ) f (x1) f (x2 )
f (x1 x2 ) f (x1) f (x2 )
2
f (x1 x2 ) f (x1) f (x2 )
f (x) loga x
二、题型分析 问题一：抽象函数定义域问题 例1
(1)若 f (x) 的定义域是 1,1 ，求 f (2x 1) 的定义域。
(2)若 f (2x 1) 的定义域是 1,1 ，求 f (x) 的定义域。
方法总结：若函数 f ( x) 的定义域为 D ，则在函数 f g( x)
x 0时 1 f (x) 0 , 且 对 任 意 a,b R , 满 足
f (a b)
f (a) f (b)
.
1 f (a) f (b)
(1)求 f (0)的值;
(2)求证 f ( x)是奇函数；
(3)判断 f ( x)在R上的单调性
5.函数 f(x)对任意的 m、n∈R，都有 f(m＋n)＝f(m)＋f(n)－1，并且 x>0 时， 恒有 f(x)>1.
(1)求证 f(x)在定义域上是增函数
(2)若 f(2)=1 解不等式 f(x)+f(x-2)<3。
方法总结：由已知推出
f ( x1 )
f ( x2 ) (或
f ( x1 ) )的表达式， f ( x2 )
再用单调性的定义得出结论。
例 10:函数 f ( x) 的定义域为 R ,且 f (0) 0 ，当 x 0时, f ( x) 1, 且对任意的 a、b R ,都有 f (a b) f (a) f (b) .
例 7.已知 f (x y) f (x y) 2 f (x) f ( y) ,对一切实
数 x 、 y 都成立，且 f (0) 0 ,求证 f (x) 为偶函数。 方法总结：通过赋值，得出 f ( x)与f ( x) 的关
系，判断出奇偶性
问题五：抽象函数的单调性问题
例 8. 函数 f(x)对任意 x, y R 都有
f (x1 x2 ) f (x1) f (x2 )
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4
f (x1 x2 ) f (x1) f (x2 )
5
f (x) 1 f (x)
代表函数
f (x) kx （ k 0 ） f (x) ax（ a 0, a 1 ）
f (x) loga x f (x) xa
(1)求证： f (0) 1 ; (2)求证：对任意的 x R,都有f ( x) 0; (3)证明 f ( x) 在 R 上是增函数；
(4)若 f ( x) f (2 x x2 ) 1, 求 x 的取值范围。
例 11. 定 义 域 为 R 的 函 数 f ( x) 的 值域为 1,1, 当
(1)求证：f(x)在 R 上是增函数； (2)若 f(3)＝4，解不等式 f(a2＋a－5)<2.
中 g( x) D ,从中求出 x 的范围即为 f g( x) 的定义域。
(注意：定义域一定是指单位 x (自变量)的取值范围)
问题二：.抽象函数求值问题
例 2. 已知 f (x) 的定义域为 R ，且 f (x y) f (x) f (y) 对一切正实
数 x，y 都成立，若 f (8) 4 ，则 f (2) _______。
例 3 已知 f (x) 满足 f (a b) f (a) f (b) ，且 f (1) 3 ，
则 f 2 (1) f (2) f 2 (2) f (4) f 2 (3) f (6) f 2 (4) f (8)
f (1)
f (3)
f (5)
f (7)
方法总结：赋值法