马井堂第二十一章代数方程复习
第二十一章代数方程复习
(m-3)2=625m-3=±25
m１=28,m2=-22.
.
➢ 典型例题解析
【例1】 若实数x满足条件： (x２+4x-5)2+｜x２-x-30｜=0，求 (x2)2 (x1)2 的值.
解：根据题意得 x２+4x-5＝0，且x２-x-30=0 ∴x＝-5或x=1，且x=6或x=-5 ∴x＝-5
(x 2)2 (x 1)2 (5 2)2 (5 1)2 3
x
y
y23y40 解,得 y4或 1
当y4时,2x2 14, x
当y1时,2x2 11 x
解x得 416 82 6
4
2
解得 ,x1或1
2
经检,验 2 6,1,1.都是原方程的解 22
解分式方程的注意点：
(1)去分母时，原方程的整式部分 不要漏乘． (2)约去分母后，分子是多项式 时， 要注意添括号． (3)增根舍掉. (4)不能产生失根
经检,x验 2是增,所 根以原方程x的 1
解法二：
.原方程:化 2为 2 x2 x 2
2 x2
1 x2
1
得, 3 1,解得 x1
x2
经检验 ,x1是. 2x13
解 :方程 通分2x变 21为 4x 3
x 2x21
设2x2 1 y, 则有y 1 3 去分母,整理得
解：通分得 2x x
2x 1 x 2
此方程两边 分子中的X 能约去吗？
2 x x 2 x 2 x 1
2x
x
2x24x2x2x
解：2x 1 x 2
2
1
解得 x0
2x 1 x 2
2x42x1
经检验 x 0是原方程的根 ∴此方程无解
数学八下第21章：代数方程-知识点
1数学八下第21章：代数方程-知识点1、解含字母系数的一元一次方程的一般步骤：①去分母，②去括号，③移项，④合并同类项，⑤系数化为1。
2、解含字母系数的方程“ax=b ”时，需要分类讨论 ，分三种情况：①若a ≠0 ，则x=b/a ；②若a=0 ，b=0 ，则x 可以取一切实数 ；③若a=0 ，b ≠0 ，则x 无解 。
3、一元二次方程的一般解法有：① 开平方 法，② 因式分解 法（主要指提取公因式、平方差公式、完全平方公式和十字相乘），③ 配方 法，④ 公式 法。
（当△ ＞0 时，有 两个不相等 的实数根，x=a acb b 242-±- ；当△ ＝0 时，有两个相等 的实数根，x= a b2- ；△ ＜0 时， 无 实数根）。
4、解含字母系数的方程“ax 2+bx+c=0”时，如果已指明 是一元二次 方程或明确有两个 实数根，则必有a ≠0 。
如果没有说明 是几次方程，则应对 a 进行讨论：①若a =0 ，则转化为解方程bx+c=0；②若a ≠0，则继续讨论判别式△ 的符号。
★特别地，对于方程（b 2+2）x 2=1，因二次项系数b 2+2具有非负性 时，所以不需要对系数进行讨论。
5、二项方程：形如ax n +b=0 （a ≠0，b ≠0，n 是正整数）只含两项的一元n 次方程，其中一项含未知数，另一项是非零的常数项 。
解法：①变形为x n =a b -，②当n 是奇数时，x=n 1b ）（a - ；当n 是偶数时，如果ab ＜0，则x=±n 1b ）（a -，如果ab ＞0，则方程没有实数根 。
6、双二次方程：形如ax 4+bx 2+c=0（a ≠0），只含有偶数次项的一元四次方程。
解方程的思想是降次 ，通常采用换元 法或因式分解 法。
比如：x 4-3x 2-10=0。
①换元法：设 x ²=y ，则 y 2-3y-10=0 ，解出y 之后 回代 到x ²=y 即可解出x 。
代数方程知识点总结
代数方程知识点总结
一、代数方程基础知识
1. 代数方程的定义：代数方程是一个数学表达式，其中包含一个或多个未知数，通过等号连接左右两边。
2. 代数方程的解：使等号成立的未知数的值称为代数方程的解。
3. 代数方程的解法：通过一定的数学方法找到代数方程的解的过程称为代数方程的解法。
二、一元一次方程
1. 一元一次方程的定义：只含有一个未知数，且该未知数的次数为1的代数方程称为一元一次方程。
2. 一元一次方程的标准形式：ax + b = 0 (a ≠0)
3. 一元一次方程的解法：通过移项和合并同类项，将一元一次方程化为标准形式，然后求解未知数的值。
三、一元二次方程
1. 一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且该未知数的次数为2的代数方程称为一元二次方程。
2. 一元二次方程的标准形式：ax^2 + bx + c = 0 (a ≠0)
3. 一元二次方程的解法：通过因式分解、配方方法和公式法等方法求解一元二次方程的解。
四、分式方程
1. 分式方程的定义：分母中含有未知数的代数方程称为分式方程。
2. 分式方程的解法：通过去分母、换元和消元等方法求解分式方程的解。
五、二元一次方程组
1. 二元一次方程组的定义：包含两个未知数，且每个未知数的次数都为1的代数方程组称为二元一次方程组。
2. 二元一次方程组的解法：通过消元法和代入法等方法求解二元一次方程组的解。
六、其他类型的代数方程
1. 高次代数方程：含有未知数的高次方的代数方程，可以通过因式分解、配方方法和公式法等方法求解。
2. 多元高次方程组：包含多个未知数的高次方的代数方程组，可以通过消元法和代入法等方法求解。
第二十一章《代数方程》复习教学提纲
（3）修建360米长的一段高速公路，甲工程队单独 修建比乙工程队单独修建多用10天，甲工程 队每天比乙工程队少修建6米，求甲、乙两个 工程队每天各修建多少米？
（4）有一市政建设工程，若由甲、乙两工程队合做，要 12个月完成；若甲队先做5个月，余下部分再由甲、 乙两队合做，还要9个月才能完成，求甲、乙两工程 队单独完成此项工程各需要多少个月？
13(2)
y x1
xx22yy252xy1(3)0xxyy6 5
二·二型二元二次方程组 因式分解法（降次）
x2 y2 5 x2 3xy 2y2 0
x2 9y2 0
x2
2xy
y2
4
8、列方程（组）解应用题
找等量 审题 设元 关系 列方程
解方程
①检验是否是所列方程的解 ②检验是否符合实际意义
(√1) 2x3 16 0 (√2) x 4 16
(×3) x 5 x
(√4) 7 x2 1
解方程： (1) 2(1x)3 540
(2) 81(x2)40 2
下列方程中，哪些是分式方程？哪些是无理方程？
(1) x3 1
(3) x 3 x 1
(2) x－ x2 2 3x－1－10
(4) 1 2 3x
1
(1)
20 无 5x2
(2)
3x2 27无
(3) x1 2x0 无
(4) x3 2x1无 (5) x －x 有
(6) x2312无 (7) x3 2x 无
1、字母系数方程的讨论
解方b程 2x1： 1x2 (b1)
2、特殊高次方程的解法
一般地,二项方程 a x n b 0 ( a 0 ,b 0 ,n 是 正 整 数 ) 可转化为 x n b ,转化为求一个数的n次方根
精选名校 初中数学八年级下册第二十一章代数方程复习课
方案设计问题大多取材于生活背景，富有浓厚的生活气息， 能够让学生充分体验数学知识的应用价值，有利于激发学生学 习数学的乐趣和学好数学的动力，因此，这类问题必然在中考 中盛久不衰，它的出现改变了学生以往只依赖于模仿和记忆的 “重结果，轻过程”的学习方式，这不仅有利于培养学生动手 操作和实践活动的能力，更为重要的是能够让学生养成用数学 的意识．
(4x2 5x 1)(6x2 5x 1) 3x4
设: 5x 1 a 21x4 10ax2 a2 0
(3x2 5x 1)(7x2 5x 1) 0
(3x2 5x 1) 0, (7x2 5x 1) 0
x 5 13
0
6
∴原方程的根是
5 x1
13
5
, x2
13
5、无理方程的解法
解无理方程的一般步骤：
开始 去根号
解有理方程 检验 不是 舍去
是
写出原方程的根 结束
具体方法:平方法 无理方程有理化 体现的数学思想：化归思想
观察分析的方法也是解无理方程的一种好方法
6、有关增根的问题 增根产生的原因： 在解分式方程或无理方程时，将方程转化成整式方程或 有理方程时，扩大了未知数的取值范围，从而产生了增根
解分式方程的一般步骤：
舍去
使最简公分母为零
同乘以最简公分母
分式方程
整式方程
检验
使最简公分母Leabharlann 为零写出方程的根去分母的关键是确定最简公分母，
在转化过程中要注意不要漏乘，不忘检验。
4、用换元法解分式方程
1.原方程可看作某一分式的二次方程.
x
2
5x
60
x 1 x 1
x y x 1
2.原方程含有未知数的几个分式有互为倒数的关系.
九年级数学上册第21章一元二次方程章末复习课件(新版)新人教版
分裂、传播问题
面积、体积问题
销售利润问题
循环问题
定义 一般形式 根的情况
解法
列方程解决 实际问题
根与系数 的关系
一元二次方程
归纳整合
专题一 一元二次方程的解法
【要点指导】解一元二次方程的主要方法有四种：直接开平方 法、因式分解法、公式法、配方法. 直接开平方法和因式分解法 可解特 殊的一元二次方程, 公式法和配方法可解任意的一元二次 方程. 若没有 特别说明, 解法选择的一般顺序为直接开平方法、 因式分解法、公式 法、配方法.
相关题1 解方程：6x2-x-1=0.
解：移项，得 6x2－x＝1. 方程两边都除以 6，得 x2－61x＝16. 配方，得 x2－16x＋1414＝16＋1144， 即x－1122＝12454， ∴x－112＝±152，∴x1＝12，x2＝－13.
解一元二次方程时, 要根 据方程的特点选择简便的 方 法. 当方程不含一次项 时, 一般采用直接开平方 法；当方程 不含常数项时, 一般采用因式分解法.
解析 设出未知数后，用含未知数的代数式 表示出 AM，AN 的长，利用△AMN 的面积 等于矩形 ABCD 面积的91列出方程求解即可．
解：设经过 t s，△AMN 的面积等于矩形 ABCD 面积的91.
根据题意，可得 AM＝t cm，AN＝(6－2t)cm.
所以12AM·AN＝19BC·AB，即 21t·(6－2t)＝91×6×3. 整理，得 t2－3t＋2＝0，解得 t1＝2，t2＝1.
素养提升
专题 利用方程思想解决几何问题
【要点指导】运用方程思想解决几何问题, 首先要用含未知数的 式 子表示出相关线段的长度, 然后利用图形中存在的等量关系构 建方程.
人教部初三九年级数学上册 21一元二次方程章末复习与归纳 名师教学PPT课件
堂 21章一元二次方程章末
教
复习与归纳
学
21章一元二次方程章末复习与归纳
一个未知数
一 概念 最高次是2
元
整式方程
二
次 一般形式： ax2 + bx + c =0(a≠0)
方
程
二次项系数
常数项
一次项系数
一
元 配方法
二
次 方 公式法
程
的
b
b2 4ac 根的判别式
2a
Δ=b2-4ac
Δ>0, 有两个不等的实数根 Δ=0, 有两个相等的实数根 Δ<0, 无实数根
解 因式分解法
法
关于x的一元二次方程根的几种情况：
（1）方程有两个不等的实数根
Δ>0
（2）方程有两个相等的实数根
Δ=0
（3）方程无实数根
Δ<0
根与系数的关系
b
x1 x1 x2
x2
c a
பைடு நூலகம்
a
通过对一元二次方程这章的学习，那如何应 用一元二次方程解决实际问题呢？
1. 将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出
学情 分析
设计 理念
教学 目标
重点 难点
教学 方法
教学 过程
教材解析
• 本节课是义务教育教科书九年级数学下册第二十一章《一元二 次方程》的章末复习与归纳。 • 1、一元二次方程是中学数学的主要内容，在初中代数中占有重要
的地位，学习本章内容是对一元一次方程学习的扩展。 • 2、一元二次方程可以解决更为广泛的实际问题，为后续学习起到
教学过程
环节五 ：课堂小结
通过本节课时的学习： 1、你有什么收获呢？ 2、在知识应用过程中需要注意什么？ 设计意图：本环节的设计是为了让学生更深层次的掌握知识的应用。
最新人教版九年级全一册数学第二十一章一元二次方程 第11课时 《一元二次方程》单元复习
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数学
对点训练
1.填空:
(1)若关于x的方程(k＋2)x2－3x＋2＝0是一元二次方程,则k的
取值范围是 k≠－2 ;
(2)一元二次方程4x2＋5x－81＝0,二次项系数为 4
为 5x ,常数项为 －81 .
,一次项
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数学
知识点二:一元二次方程的根
使一元二次方程等号左右两边相等的未知数的值.
(2)一元二次方程2x2－4x＋1＝0的两根为x1,x2,则x1＋x2＝
1
2 ,x1x2＝
.
2
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数学
知识点四:一元二次方程的解法
(1)直接开平方法;
(2)因式分解法;
(3)配方法;
(4)公式法.
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数学
4.用适当的方法解下列方程:
(1)x2－49＝0; (2)x2＋4x－1＝0.
(1)x＝±7
一幅矩形挂图.如果要使整个挂图的面积是5 400 cm2,求金色
纸边的宽度.
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数学
解:设金色纸边的宽度为x cm,
根据题意,得(80＋2x)(50＋2x)＝5 400,
解得x1＝－70(不合题意,舍去),x2＝5.
答:金色纸边的宽度为5 cm.
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数学
精典范例
6.【例 1】关于 x 的方程(m－3)x
数学
第二十一章
一元二次方程
第11课时 《一元二次方程》单元复习
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目
录
01
知识要点
02
对点训练
03
精典范例
04
变式练习
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知识要点
知识点一:一元二次方程定义和派生的概念
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第二十一章《代数方程》复习
（两课时）
九峰实验学校 肖华明
第一课时
复习要点：
1． 知道一元整式方程与高次方程的有关概念，知道一元整式方程的一般形
式. 理解含字母系数的一元一次方程、一元二次方程的概念，掌握它们的基本解法。
2． 理解和掌握二项方程的意义以及二项方程的解法,理解双二次方程的意
义，了解高次方程求解的基本方法是降次，会用换元法把双二次方程转化为一元二次方程；学会判断双二次方程的根的个数。
3． 会用“换元法”解特殊的分式方程（组）。
4． 理解无理方程的概念，会识别无理方程，知道有理方程及代数方程的概
念，领会无理方程“有理化”的化归思想. 会解简单的无理方程（方程中只含一个或两个关于未知数的二次根式）。
5． 知道二元二次方程的概念和二元二次方程组的概念。
例题1： 判断下列关于x 的方程,哪些是整式方程?这些整式方程分别是一元几次方程?
;1523)3(;0814)2(;0121)1(332a
x x a x x a x -=+=+=-+ .087)6(;322)5(;3122)4(242=-+--=+=+x x a a x x
x x 例题2：解二项方程 是正整数）n b a b ax n ,0,0(0≠≠=+
当n 为奇数时，方程有且只有一个实数根，n a
b x -= 当n 为偶数时，如果ab<0，那么方程有两个实数根，且这两个根互为
相反数， n a
b x -±=；如果ab>0，那么方程没有实数根. 例题3：写出关于x 、y 的二元二次方程的一般形式？并指出它的二次项，二次项系数，一次项，一次项系数，常数项？
关于x 、y 的二元二次方程的一般形式是：
22ax bxy cy dx ey f o +++++=（a 、b 、c 、d 、e 、f 都是常数，且a 、b 、c 中至少有一个不为零），二次项有：22,,ax bxy cy ，a 、b 、c 分别是它们系数，一次项有,dx ey ，它们的系数分别是d 、e ；f 是这个方程的常数项.
例题4：已知下列关于x 的方程：
其中无理方程是____________________(填序号). 例题5：写出双二次方程的一般形式？并解下列方程：
（1）014924=+-x x （2）024524=-+x x
解：双二次方程的一般形式：)0(024≠=++a c bx ax ，（1）、（
2）方程
省略。
例题6：144
21
.12+-=-x x 解方程
课后练习
1．解方程 ： ①020924=++x x ② x 3-2x 2-4x ＋8=0
2．解分式方程
3．解下列无理方程:
（1）;632-=-x x （2）;1222+=-x x
（3）;323x x =-- （4）.12=-+x x
4．换元法解方程：
（1）22124x x x x --=-； （2）2231
21x x x x +
-=+
.3231)6(;21)5(;721)4(;
071)3(;015)2(;
015122=-++=+=+-=-+=++=++x x x x x x a x x x x x ）（⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--+=-++1
1
3
7
1
5.2y x y x y x y x 解方程组：3
31
3111)2(4
16
24)1(22
-=--+-=--x x x x y y y
第二课时
复习要点：
1． 掌握由“代入法”解由一个二元一次方程和二元二次方程组成的方程组；掌握用“因式分解法”解由两个二元二次方程组成的方程组。
2． 能熟练地列出方程组解应用题.并能根据具体问题的实际意义，检查结果是否合理.通过将实际生活中的问题抽象为方程模型，让学生形成良好思维习惯，学会从数学角度提出问题、理解问题.运用所学知识解决问题，发展应用意识，体会数学的情感与价值。
例题1 解方程组： 22210 (1)10 (2)
x y x y ⎧+-=⎨-+=⎩
例题2 解方程组：
例题3： 今年“子弹头”新型高速列车投入沪杭线运行. 已知上海到杭州全
程约为200公里，如果“子弹头”列车行驶的平均速度比原来特快列车行驶的平均速度每分钟快0.5公里，那么它从上海到杭州比原来特快列车少用20分钟.问“子弹头”列车从上海到达杭州大约需要多少分钟？ 例题4： 某市为治理污水，需要铺设一端全长3000米的污水排放管道。
为了
尽量减少施工对交通所造成的影响，实际施工时，每天的工效比原计划增加25%，结果提前10天完成了这项任务。
原计划完成这项工程是多少天？
课后练习： 1．解方程： 2. 若方程组有实数解，求实数k 的取值范围？
3. 一汽艇用一定速度驶完一段路程，若汽艇每小时少走8千米，则走完全程要多用4小时，若汽艇每小时多走8千米，则走完全程可少用2小时，试求这段路的长度以及汽艇原来的速度？
4．某学校组织学生乘坐甲、乙两车(甲为大客车、乙为小客车)到洋山深水港参观，连接临港新城和深水港的东海大桥全长32千米，从临港新城出发到深水港时，甲车比乙车8分钟上桥，但由于乙车比甲车每小时多行32千米，所以甲车比乙车晚到2分钟到达深水港，求甲、乙两辆大客车的速度各是多少？
⎩⎨⎧=++=--42062222y xy x y xy x x x x x 2211+=++⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--+=-++7
1281
3y x y x y x y x ⎩⎨⎧=-=++k y x y xy x 31922（1） （2）。