高考真题：三角函数及解三角形综合

三角函数的概念、诱导公式与三角恒等变换

6.（2019浙江18）设函数()sin ,f x x x =∈R .

（1）已知[0,2),θ∈π函数()f x θ+是偶函数，求θ的值； （2）求函数22[()][()]124

y f x f x ππ

=+

++ 的值域. 解析（1）因为()sin()f x x θθ+=+是偶函数，所以，对任意实数x 都有

sin()sin()x x θθ+=-+，

即sin cos cos sin sin cos cos sin x x x x θθθθ+=-+， 故2sin cos 0x θ=， 所以cos 0θ=． 又[0,2π)θ∈，因此π2θ=

或3π2

． （2）2

2

22ππππsin sin 124124y f

x f x x x ?

???????????=+++=+++ ? ? ? ????????????

?????

ππ1cos 21cos 213621cos 2sin 222222x x x x ???

?-+-+ ? ?

??????=+=-- ? ???

π123x ?

?=+ ??

?．

因此，函数的值域是[1-

+．

27．（2018江苏）已知,αβ为锐角，4

tan 3

α=

，cos()5αβ+=-．

(1)求cos2α的值； (2)求tan()αβ-的值． 【解析】(1)因为4tan 3α=

，sin tan cos ααα=，所以4

sin cos 3

αα=． 因为22sin cos 1αα+=，所以29

cos 25

α=

，

因此，27cos22cos 125

αα=-=-

． (2)因为,αβ为锐角，所以(0,π)αβ+∈．

又因为cos()αβ+=，所以sin()αβ+=， 因此tan()2αβ+=-．

因为4tan 3α=，所以22tan 24

tan 21tan 7

ααα==--， 因此，tan 2tan()2

tan()tan[2()]1+tan 2tan()11ααβαβααβααβ-+-=-+==-+．

28．（2018浙江）已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过

点3

4(,)55

P --． (1)求sin()απ+的值；

(2)若角β满足5

sin()13

αβ+=

，求cos β的值． 【解析】(1)由角α的终边过点34(,)55P --得4

sin 5α=-，

所以4

sin()sin 5απα+=-=．

(2)由角α的终边过点34(,)55P --得3

cos 5

α=-，

由5sin()13αβ+=得12

cos()13

αβ+=±．

由()βαβα=+-得cos cos()cos sin()sin βαβααβα=+++， 所以56cos 65β=-或16

cos 65

β=-．

29．（2017浙江）已知函数22

()sin cos cos f x x x x x =--()x ∈R ．

（Ⅰ）求2(

)3

f π

的值； （Ⅱ）求()f x 的最小正周期及单调递增区间．

【解析】（Ⅰ）由2sin

32π=，21

cos 32

π=-，

2

(

)3

f π

2211()()()2222=---- 得2(

)23

f π

=． （Ⅱ）由2

2

cos 2cos sin x x x =-与sin 22sin cos x x x =得

()cos 222sin(2)6

f x x x x π

=-=-+

所以()f x 的最小正周期是π 由正弦函数的性质得

32222

6

2

k x k π

π

π

ππ++

+≤≤

，k ∈Z 解得

26

3

k x k π

π

ππ++≤≤

,k ∈Z 所以()f x 的单调递增区间是2[,

]6

3

k k π

π

ππ++(k ∈Z )．

三角函数的图象与性质

50．（2018上海）设常数a R ∈，函数2

()sin 22cos f x a x x =+．

(1)若()f x 为偶函数，求a 的值；

(2)若()14

f π

=，求方程()1f x =ππ-［，］

上的解． 【解析】(1)若()f x 为偶函数，则对任意∈R x ，均有()()=-f x f x ；

即2

2

sin 22cos sin 2()2cos ()+=-+-a x x a x x ， 化简得方程sin 20=a x 对任意∈R x 成立，故0=a ；

(2)2()sin(2)2cos ()114

44

ππ

π

=?

+=+=f a a ，所以=a

故2()22cos =+f x x x ．

则方程()1=-f x 2

22cos 1+=x x

2

22cos 1+-=x x ，化简即为2sin(2)6

π

+

=x

即sin(2)6

2π

+

=-

x ，解得1124ππ=-+x k 或524

ππ'=-+x k ，,'∈Z k k 若求该方程在[,]ππ-上有解，则1335[,]2424∈-k ，1929

[,]2424

'∈-k ， 即0=k 或1；0'=k 或1， 对应的x 的值分别为：1124π-、1324π、524π-、19

24

π．

51．（2017江苏）已知向量(cos ,sin )x x =a ，(3,=b ，[0,]x π∈．

（1）若∥a b ，求x 的值；

（2）记()f x =?a b ，求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值．

【解析】（1）因为(cos ,sin )x x =a ，(3,=b ，∥a b ，

所以3sin x x =．

若cos 0x =，则sin 0x =，与2

2

sin cos 1x x +=矛盾，故cos 0x ≠．

于是tan 3

x =-

． 又[0,]x π∈，所以56

x π=

．

（2）π(cos ,sin )(3,3cos ())6

f x x x x x x =?=?==+a b . 因为[0,]x π∈，所以ππ7π[,]666

x +

∈，

从而π1cos()6x -≤+≤

. 于是，当ππ

66

x +

=，即0x =时，()f x 取到最大值3；

当π6x +=π，即5π6

x =时，()f x 取到最小值-

52．（2017山东）设函数()sin()sin()62

f x x x π

π

ωω=-

+-，其中03ω<<．

已知()06

f π

=．

（Ⅰ）求ω；

（Ⅱ）将函数()y f x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将

得到的图象向左平移

4

π

个单位，得到函数()y g x =的图象，求()g x 在3[,]44

ππ

-

上的最小值． 【解析】（Ⅰ）因为()sin()sin()62

f x x x π

π

ωω=-

+-，

所以1

()cos cos 2f x x x x ωωω=

--

3

cos 2

x x ωω=

-

1

sin )22

x x ωω=-

)3

x π

ω=-

由题设知()06

f π

=，

所以

6

3

k ωπ

π

π-

=，k Z ∈．

故62k ω=+，k Z ∈，又03ω<<， 所以2ω=．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得())3

f x x π

=-

所以()))4312

g x x x π

ππ

=+-=-． 因为3[,]44x ππ

∈-

，

所以2[,]1233

x πππ

-∈-，

当12

3

x π

π

-

=-

，

即4

x π

=-时，()g x 取得最小值32

-

．

三角函数的综合应用

1.（2019江苏18）如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l ，湖上有桥AB （AB 是圆O 的直径）．规划在公路l 上选两个点P 、Q ，并修建两段直线型道路PB 、QA ．规划要求：线段PB 、QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆．．．．O 的半径．已知点A 、B 到直线l 的距离分别为AC 和BD （C 、D 为垂足），测得AB =10，AC =6，BD =12（单位：百米）．

（1）若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长；

（2）在规划要求下，P 和Q 中能否有一个点选在D 处？并说明理由；

（3）在规划要求下，若道路PB 和QA 的长度均为d （单位：百米）.求当d 最小时，P 、Q 两点间的距离．

解析 解法一：

（1）过A 作AE BD ⊥，垂足为E .

由已知条件得，四边形ACDE 为矩形，6, 8DE BE AC AE CD =====.' 因为PB ⊥AB ，

所以

84 cos sin

105

PBD ABE

∠=∠==.

所以

12

15

4

cos

5

BD

PB

PBD

===

∠

.

因此道路PB的长为15（百米）.

（2）①若P在D处，由（1）可得E在圆上，则线段BE上的点（除B，E）到点O的距离均小于圆O的半径，所以P选在D处不满足规划要求.

②若Q在D处，联结AD，由（1）知2210

AD AE ED

=+=，

从而

2227

cos0

225

AD AB BD

BAD

AD AB

+-

∠==>

?

，所以∠BAD为锐角.

所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.

因此，Q选在D处也不满足规划要求.

综上，P和Q均不能选在D处.

（3）先讨论点P的位置.

当∠OBP<90°时，线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径，点P不符合规划要求；

当∠OBP≥90°时，对线段PB上任意一点F，OF≥OB，即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径，点P符合规划要求.

设

1

P为l上一点，且

1

PB AB

⊥，由（1）知，

1

P B=15，

此时

1111

3

sin cos159

5

PD PB PBD PB EBA

=∠=∠=?=；

当∠OBP>90°时，在

1

PPB

△中，

1

15

PB PB

>=.

由上可知，d≥15.

再讨论点Q的位置.

由（2）知，要使得QA≥15，点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求.当QA=15时，2222

156321

CQ QA AC

=-=-=此时，线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆

O 的半径.

综上，当PB ⊥AB ，点Q 位于点C 右侧，且CQ =321时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离PQ =PD +CD +CQ =17+321.

因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17+321（百米）. 解法二：（1）如图，过O 作OH ⊥l ，垂足为H. 以O 为坐标原点，直线OH 为y 轴，建立平面直角坐标系.

因为BD =12，AC =6，所以OH =9，直线l 的方程为y =9，点A ，B 的纵坐标分别为3，?3. 因为AB 为圆O 的直径，AB =10，所以圆O 的方程为x 2+y 2=25. 从而A （4，3），B （?4，?3），直线AB 的斜率为34

. 因为PB ⊥AB ，所以直线PB 的斜率为43

-， 直线PB 的方程为425

33

y x =-

-

. 所以P （?13，9），2

2

(134)(93)15PB =-+++=. 因此道路PB 的长为15（百米）.

（2）①若P 在D 处，取线段BD 上一点E （?4，0），则EO =4<5，所以P 选在D 处不满足规划要求.

②若Q 在D 处，联结AD ，由（1）知D （?4，9），又A （4，3）， 所以线段AD ：3

6(44)4

y x x =-

+-剟. 在线段AD 上取点M （3，154），因为2

222

1533454OM ??=+<+= ???

，

所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径. 因此Q 选在D 处也不满足规划要求. 综上，P 和Q 均不能选在D 处.

（3）先讨论点P 的位置.

当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求； 当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.

设1P 为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，1P B =15，此时1P （?13，9）； 当∠OBP >90°时，在1

PPB △中，115PB PB >=. 由上可知，d ≥15. 再讨论点Q 的位置.

由（2）知，要使得QA≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，设Q

（a ，9

），由15(4)AQ a ==>，得a

=4+Q

（4+9），此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.

综上，当P （?13，9），Q

（4+9）时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离

4(13)17PQ =+-=+.

因此，d 最小时，P ，Q

两点间的距离为17+

12．（2018江苏）某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O 的一段圆弧MPN （P 为

此圆弧的中点）和线段MN 构成．已知圆O 的半径为40米，点P 到MN 的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD ，大棚Ⅱ内的地块形状为CDP △，要求,A B 均在线段MN 上，,C D 均在圆弧上．设OC 与MN 所成的角为θ．

N

M P

O

A

B C

D

(1)用θ分别表示矩形ABCD 和CDP △的面积，并确定sin θ的取值范围；

(2)若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为43∶．求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．

【解析】(1)连结PO 并延长交MN 于H ，则PH ⊥MN ，所以OH =10．

θ

H

E K

G

N

M P

O A

B

C D

过O 作OE ⊥BC 于E ，则OE ∥MN ，所以COE θ∠=， 故40cos OE θ=，40sin EC θ=，

则矩形ABCD 的面积为240cos (40sin 10)800(4sin cos cos )θθθθθ?+=+，

CDP ?的面积为1

240cos (4040sin )1600(cos sin cos )2

θθθθθ??-=-．

过N 作GN ⊥MN ，分别交圆弧和OE 的延长线于G 和K ，则10GK KN ==． 令0GOK θ∠=，则01sin 4θ=，0(0,)6

πθ∈． 当0[,

)2

π

θθ∈时，才能作出满足条件的矩形ABCD ，

所以sin θ的取值范围是1[,1)4

．

答：矩形ABCD 的面积为800(4sin cos cos )θθθ+平方米，CDP ?的面积为

1600(cos sin cos )θθθ-，sin θ的取值范围是1

[,1)4

．

(2)因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，

设甲的单位面积的年产值为4k ，乙的单位面积的年产值为3k (0)k >， 则年总产值为4800(4sin cos cos )31600(cos sin cos )k k θθθθθθ?++?-

8000(sin cos cos )k θθθ=+，0[,)2

π

θθ∈．

设()sin cos cos f θθθθ=+，0[,

)2

π

θθ∈，

则2

2

2

()cos sin sin (2sin sin 1)(2sin 1)(sin 1)f θθθθθθθθ'=--=-+-=--+． 令()0f θ'=，得π6

θ=， 当0(,)6

π

θθ∈时，()>0f θ′

，所以()f θ为增函数； 当(

,)62

ππ

θ∈时，()<0f θ′

，所以()f θ为减函数，

因此，当π

6

θ=时，()f θ取到最大值． 答：当π

6

θ=时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．

13．（2017江苏）如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均

为32cm ，容器Ⅰ的底面对角线AC 的长为cm ，容器Ⅱ的两底面对角线EG ，

11E G 的长分别为14cm 和62cm ． 分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm ． 现有一根玻璃棒l ，其长度为40cm ．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）

（1）将l 放在容器Ⅰ中，l 的一端置于点A 处，另一端置于侧棱1CC 上，求l 没入水中

部分的长度；

（2）将l 放在容器Ⅱ中，l 的一端置于点E 处，另一端置于侧棱1GG 上，求l 没入水中

部分的长度．

【解析】（1）由正棱柱的定义，1CC ⊥平面ABCD ，

所以平面11A ACC ⊥平面ABCD ，1CC AC ⊥． 记玻璃棒的另一端落在1CC 上点M 处．

因为AC =40AM =．

所以30MN =

=，从而3

sin 4

MAC ∠=

． 记AM 与水平的交点为1P ，过1P 作11PQ AC ⊥，1Q 为垂足， 则11PQ ⊥平面ABCD ，故1112PQ =， 从而11

116sin PQ AP MAC

=

=∠．

答：玻璃棒l 没入水中部分的长度为16cm.

( 如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为24cm)

（2）如图，O ，1O 是正棱台的两底面中心. 由正棱台的定义，1OO ⊥平面 EFGH ， 所以平面11E EGG ⊥平面EFGH ，1OO ⊥EG . 同理，平面11E EGG ⊥平面1111E F G H ，1OO ⊥11E G . 记玻璃棒的另一端落在1GG 上点N 处.

过G 作GK ⊥11E G ，K 为垂足， 则GK =1OO =32. 因为EG = 14，11E G = 62，

所以1KG =

6214

242

-=，从而222211 243240GG KG GK =+=+=. 设1,,EGG ENG αβ==∠∠则114

sin sin()cos 25

KGG KGG απ=+==∠∠.

因为2απ<<π，所以3cos 5

α=-.

在ENG △中，由正弦定理可得4014sin sin αβ=，解得7

sin 25

β=. 因为02βπ<<

，所以24

cos 25

β=. 于是sin sin()sin()sin cos cos sin NEG αβαβαβαβ=π--=+=+∠

42473(35)525255

=?+-?=. 记EN 与水面的交点为2P ，过2P 作22P Q EG ⊥，2Q 为垂足，则 22P Q ⊥平面EFGH ，故22P Q =12，从而 2EP =

22

20sin P NEG

Q =∠.

答:玻璃棒l 没入水中部分的长度为20cm.

(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为20cm)

解三角形

1.(2019全国Ⅰ理17)ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设

22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-．

（1）求A ；

（22b c +=，求sin C ．

解：（1）由已知得2

2

2

sin sin sin sin sin B C A B C +-=，故由正弦定理得2

2

2

b c a bc +-=．

由余弦定理得2221

cos 22

b c a A bc +-=

=． 因为0180A ?

?

<<，所以60A ?

=．

（2）由（1）知120B C ?

=-()

sin 1202sin A C C ?

+-=，

即

1cos sin 2sin 222C C C ++=，可得()cos 602

C ?+=-．

由于0120C ?

?

<<，所以(

)sin 60

2

C ?

+=

，故 ()sin sin 6060C C ??=+-

()()sin 60cos60cos 60sin 60C C ????=+-+

4

=

．

2.（2019全国Ⅲ理18）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知sin sin 2

A C

a b A +=． （1）求B ；

（2）若△ABC 为锐角三角形，且c =1，求△ABC 面积的取值范围． 解析（1）由题设及正弦定理得sin sin

sin sin 2

A C

A B A +=． 因为sin 0A ≠，所以sin

sin 2

A C

B +=． 由180A B

C ?++=，可得sin

cos 22A C B +=，故cos 2sin cos 222

B B B

=． 因为cos

02B ≠，故1

sin 22

B =，因此60B =?． （2）由题设及（1）知△ABC

的面积4

ABC S a =

△． 由正弦定理得(

)sin 120sin 1sin sin 2tan 2

C c A a C C C ?-===+．

由于ABC △为锐角三角形，故090A ?<

122a <<

ABC S <<△． 因此，ABC △

面积的取值范围是??

．

3.（2019江苏15）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ． （1）若a =3c ，b

，cos B =

2

3

，求c 的值； （2）若

sin cos 2A B a b =，求sin()2

B π

+的值． .解析 （1）由余弦定理222cos 2a c b B ac +-=

，得23=，即21

3

c =.

所以c =

（2）因为

sin cos 2A B

a b =

， 由正弦定理sin sin a b A B =，得cos sin 2B B

b b

=

，所以cos 2sin B B =. 从而22cos (2sin )B B =，即()

22

cos 41cos B B =-，故24cos 5

B =.

因为sin 0B >，所以cos 2sin 0B B =>，从而cos B =

.

因此πsin cos 2B B ??+== ?

?

?

4.（2019北京15）在ABC △中，a =3，b -c =2 ，1

cos 2

B =- ． （Ⅰ）求b ,c 的值； （Ⅱ）求sin(B -

C ) 的值.

解析：（I ）由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得22213232b c c ??

=+-???-

???

. 因为2b c =+，所以()2

22123232c c c ??

+=+-???- ???

.解得5c =， 所以7b =.

（II ）由1

cos 2

B =-

得sin B =.由正弦定理得sin sin c C B b ==

在ABC △中，B ∠是钝角，所以C ∠为锐角.所以11

cos 14

C ==.

所以()sin sin cos cos sin B C B C B C -=-=

. 5.（2019天津理15）在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知2b c a +=，

3sin 4sin c B a C =.

（Ⅰ）求cos B 的值；

（Ⅱ）求sin 26B π??

+

??

?

的值. 解析（Ⅰ）在ABC △中，由正弦定理sin sin b c

B C

=

，得sin sin b C c B =，又由3sin 4sin c B a C =，得3sin 4sin b C a C =，即34b a =.又因为2b c a +=，得到4

3

b a =，

23

c a =.

由余弦定理可得222222

416199cos 22423

a a a a c

b B a a +-+-===-??.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得sin 4

B ==

，

从而sin 22sin cos 8B B B ==-

，227cos 2cos sin 8

B B B =-=-，

故πππ71sin 2sin 2cos cos 2sin 66682B B B ?

?+=+=-?= ?

?

?.

39．（2018北京）在ABC ?中，7a =，8b =，1cos 7

B =-． (1)求A ∠；

(2)求AC 边上的高．

【解析】(1)在ABC ?中，∵1cos 7B =-

，∴(,)2

B π

π∈，

∴sin B =． 由正弦定理得

sin sin a b A B

=

?7sin 7

A =

，∴sin A =

∵(

,)2B π

π∈，∴(0,)2

A π

∈，∴π

3A ∠=．

(2)在ABC ?中，∵sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+

11()72-+

．

如图所示，在ABC ?中，∵sin h

C BC

=

，∴sin h BC C =?=33337142?=， ∴AC 边上的高为

33

2

．

40．（2018全国卷Ⅰ）在平面四边形ABCD 中，90ADC ∠=o ，45A ∠=o ，2AB =，

5BD =． (1)求cos ADB ∠； (2)若22DC =BC ． 【解析】(1)在ABD △中，由正弦定理得

sin sin BD AB

A ADB

=

∠∠． 由题设知，

52

sin 45sin ADB

=

?∠，所以2sin ADB ∠=． 由题设知，90ADB ∠

ADB ∠=-

=． (2)由题设及(1)知，2cos sin 5

BDC ADB ∠=∠=． 在BCD △中，由余弦定理得

2222cos BC BD DC BD DC BDC =+-???∠

2

2582525

=+-??25=． 所以5BC =．

41．（2018天津）在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知

sin cos()6

b A a B π

=-．

(1)求角B 的大小；

(2)设2a =，3c =，求b 和sin(2)A B -的值． 【解析】(1)在ABC △中，由正弦定理

sin sin a b

A B

=

，可得sin sin b A a B =， 又由πsin cos()6b A a B =-，得π

sin cos()6a B a B =-，

即π

sin cos()6

B B =-，可得tan B =

又因为(0π)B ∈，，可得3

B π

=

．

(2)在ABC △中，由余弦定理及2a =，3c =，3

B π

=，

有2

2

2

2cos 7b a c ac B =+-=，故b =．

由πsin cos()

6

b A a B =-，可得sin A =

a c <，故cos A =．

因此sin 22sin cos A A A ==

2

1cos 22cos 17

A A =-=．

所以，sin(2)sin 2cos cos 2sin A B A B A B -=-=1127-=

42．（2017新课标Ⅰ）ABC ?的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC ?的

面积为2

3sin a A

(1)求sin sin B C ；

(2)若6cos cos 1B C =，3a =，求ABC ?的周长．

【解析】（1）由题设得21sin 23sin a ac B A =，即1sin 23sin a

c B A

=

由正弦定理得

1sin sin sin 23sin A

C B A =

． 故2

sin sin 3

B C =．

（2）由题设及（1）得121cos()cos cos sin sin 632

B C B C B C +=-=

-=- 所以2π3B C +=

，故π

3

A =． 由题设得2

1sin 23sin a bc A A

=，即8bc =．

由余弦定理得229b c bc +-=，即2

()39b c bc +-=

，得b c +=．

故ABC △

的周长为3

43．（2017新课标Ⅲ）ABC ?的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，

已知sin 0A A =

，a =2b =． (1)求c ；

(2)设D 为BC 边上一点，且AD ⊥AC ，求ABD ?的面积． 【解析】（1）由已知得

tan A =23A π

=

． 在ABC ?中，由余弦定理得2

22844cos 3

c c π=+-，即2+224=0c c -．

解得6c =-（舍去），4c = （2）有题设可得2

CAD π

∠=

，所以6

BAD BAC CAD π

∠=∠-∠=

．

故ABD ?面积与ACD ?面积的比值为1sin

2

611

2

AB AD AC AD π

??=?． 又ABC ?

的面积为1

42sin 2

BAC ??∠=ABD ?

44．（2017新课标Ⅱ）ABC ?的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，

已知2

sin()8sin 2

B

A C +=． (1)求cos B

(2)若6a c +=，ABC ?面积为2，求b ． 【解析】由题设及A B C π++=得2

sin 8sin

2

B

B =，故sin 4(1cos )B B =-． 上式两边平方，整理得2

17cos 32cos 150B B -+=， 解得cos 1B =（舍去），15

cos 17

B =． （2）由15cos 17B =得8sin 17B =，故14

sin 217

ABC S ac B ac ?==

． 又2ABC

S ?=，则17

2

ac =．

由余弦定理及6a c +=得2222

2cos ()2(1cos )b a c ac B a c ac B =+-=+-+

1715

362(1)4217

=-?

?+=． 所以2b =．

45．（2017天津）在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知a b >，5a =，

6c =，3

sin 5

B =

． （Ⅰ）求b 和sin A 的值； （Ⅱ）求π

sin(2)4

A +

的值． 【解析】（Ⅰ）在ABC △中，因为a b >，故由3sin 5B =

，可得4cos 5

B =．

由已知及余弦定理，有2222cos 13b a c ac B =+-=，所以b =.

由正弦定理

sin sin a b

A B

=

,得sin sin 13a B A b ==.

所以，b sin A

（Ⅱ）由（Ⅰ）及a c <，得cos A =

，所以12

sin 22sin cos 13

A A A ==， 25

cos 212sin 13

A A =-=-

．

故πππsin(2)sin 2cos cos 2sin 44426

A A A +=+=．