2.1离散型随机变量及其分布列(公开课)
2.1离散型随机变量及其分布列课后练习题答案
22 ＝12 2 C3 离散型随机变量及其分布列课后练习题一、选择题1.解析：C 选项中，P (X ＝1)＜0 不符合 P (X ＝x i )≥0 的特点，也不符合 P (X ＝1)＋P (X ＝2) ＋P (X ＝3)＝1 的特点，故 C 选项不是分布列．答案：C2.解析：由 X ＜4 知 X ＝1,2,3，3所以 P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝0.3＝ ，解得 n ＝10.n答案：C⎛ 1⎫53.解析：∵P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＋P (X ＝4)＝a 1－ ⎪＝1，∴a ＝ .⎛1 5⎫a a ⎛⎝ 5⎭ 4 1⎫5 2 5∴P ＜X ＜ ⎪＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝ ＋ ＝a 1－ ⎪＝ × ＝ .⎝22⎭ 1×2 2×3 ⎝ 3⎭ 4 3 6 4.解析：由分布列的性质得0．5＋1－2q＋q 2＝1，整理得 q 2－2q ＋0.5＝0，解得 q ＝1± ，又 0≤1－2q ≤1,0≤q 2≤1，所以 q 2答案：D12 2(a + b )215.解析：由分布列的性质可知a + b = ，而a + b 2≥= .故选 C.28答案：C二、填空题6.解析：由离散型随机变量的分布列的性质可求得 P (X ＝3)＝0.25，P (X ＝5)＝0.15，故 X 取奇数值时的概率为 P (X ＝1)＋P (X ＝3)＋P (X ＝5)＝0.20＋0.25＋0.15＝0.6. 答案：0.6C 2 C 1C 17.解析：当有 0 个红球时，P (X ＝0)＝ 2＝0.1；当有 1 个红球时，P (X ＝1)＝ 2 ＝0.6；当 C 5 C 5 23 有 2 个红球时，P (X ＝2)＝ 2＝0.3. C 5答案：78.解析：设二级品有 k 个，∴一级品有 2k 个，三级品有 个，总数为 k 个．2 2∴分布列为⎛1 5⎫ 4P ≤ξ ≤ ⎪＝P(ξ ＝1)＝.⎝3 3⎭74答案：7三、解答题19.解：(1)由a·1＋a·2＋a·3＋a·4＋a·5＝1 得a＝.15k 1(2)因为分布列为P(X＝ )＝k(k＝1、2、3、4、5)5 153 34 3 45 4解法一：P(X≥ )＝P(X＝ )＋P(X＝ )＋P(X＝1)＝＋＋＝ .5 5 5 15 15 15 53 1 2 1 2 4解法二：P(X≥ )＝1－[P(X＝ )＋P(X＝ )]＝1－[ ＋]＝ .5 5 5 15 15 51 7 123 1 7 1 2 3 (3)因为<X< ，只有X＝、、时满足，故P( <X< )＝P(X＝ )＋P(X＝ )＋P(X＝ )10 10 5 5 5 10 10 5 5 51 2 3 2＝＋＋＝ .15 15 15 510.解：依题意，η的可能取值是 5,6,7,8,9,10,11.1 1则有P(η＝5)＝＝，4×4162 1 3P(η＝6)＝＝，P(η＝7)＝，16 8 164 1 3P(η＝8)＝＝，P(η＝9)＝，16 4 162 1 1P(η＝10)＝＝，P(η＝11)＝.16 8 16所以η 的分布列为。
新教材选择性必修二8.2.1随机变量及其分布列课件(60张)
2．概率分布列 (1)定义 一般地，随机变量 X 有 n 个不同的取值，它们分别是 x1，x2，…，xn，且 P(X＝xi)＝ pi，i＝1，2，…，n，① 称①为随机变量 X 的概率分布列，简称 X 的分布列．①也可以用下表的形式来表示．
X x1 x2 … xn P p1 P2 … pn 我们将上表称为随机变量 X 的概率分布表．它和①都叫作随机变量 X 的概率分布．
三、解答题 11．设 S 是不等式 x2－x－6≤0 的解集，整数 m，n∈S. (1)记“使得 m＋n＝0 成立的有序数组(m，n)”为事件 A，试列举 A 包含的基本事件； (2)设 X＝m2，求 X 的分布列．
【解析】(1)由 x2－x－6≤0，得－2≤x≤3，即 S＝{x|－2≤x≤3}．由于 m，n∈Z，m，n ∈S 且 m＋n＝0，所以 A 包含的基本事件为(－2，2)，(2，－2)，(－1，1)，(1，－1)， (0，0). (2)由于 m 的所有不同取值为－2，－1，0，1，2，3， 所以 X＝m2 的所有不同取值为 0，1，4，9， 且有 P(X＝0)＝61 ，P(X＝1)＝26 ＝13 ，
【解析】选 BCD.抛掷两枚骰子，点数之差满足小于等于－4 的只有三种情况，故第 一枚为 1 点、第二枚为 6 点，第一枚为 1 点、第二枚为 5 点，第一枚为 2 点、第二枚 为 6 点．
8．(多选题)(2021·成都高二检测)已知随机变量 X 的分布列如表(其中 a 为常数)：
X0 1 2 34 P 0.1 0.2 0.4 0.2 a 则下列计算结果正确的有( )
离散型随机变量及其分布列 随机变量及其分布列
基础认知·自主学习
1．随机变量 一般地，对于随机试验样本空间 Ω 中的每个样本点 ω 都有唯一的实数 X(ω)与之对应， 则称 X 为随机变量．通常用大写字母 X，Y，Z(或小写字母 ζ，η，ξ)等表示，而用小 写英文字母 x，y，z(加上适当下标)等表示随机变量的取值．
高中数学选修2(新课标)课件2.1.1离散型随机变量及其分布列
知识导图
学法指导
1.随机变量表示随机试验的结果． 2．类比函数来学习随机变量，它们之间既有联系又有区别．事 实上，本章的内容与《数学 1》中函数的内容具有一致性，都是先 一般性了解随机变量(函数)的概念和性质，然后将其具体化为两点 分布、超几何分布、二项分布、连续的正态分布(指数、对数、幂 函数、三角函数、数列)，这样的学习有利于更好地认识随机变量．
【解析】 (1)A 的取值不具有随机性，C 是一个事件而非随机 变量，D 中概率值是一个定值而非随机变量，只有 B 满足要求．
【答案】 (1)B
(2)下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量？并说明 理由．
①北京机场一年中每天运送乘客的数量； ②北京某中学办公室一天中接待家长来访人数； ③2018 年除夕收看春节联欢晚会的人数； ④2018 年 3 月 15 号，收看两会开幕式的人数．
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
解析：根据离散型随机变量的定义，判断一个随机变量是否是 离散型随机变量，就是看这一变量的所有取值是否可以一一列 出．①②④中的 X 可能取的值，可以一一列举出来，而③中的 X 可 以取某一区间内的一切值，属于连续型的．
答案：B
3．一木箱中装有 8 个同样大小的篮球，编号为 1,2,3,4,5,6,7,8， 现从中随机取出 3 个篮球，以 ξ 表示取出的篮球的最大号码，则 ξ ＝8 表示的试验结果有________种．
{Y＝3}表示掷出的两枚骰子的点数相差 3，其包含的基本事件 有(1,4)，(4,1)Y＝4}表示掷出的两枚骰子的点数相差 4，其包含的基本事件 有(1,5)，(5,1)，(2,6)，(6,2)．
{Y＝5}表示掷出的两枚骰子的点数相差 5，其包含的基本事件 有(1,6)，(6,1)．
人教A版必修第三册课件2.1.1离散型随机变量
(2)写出下列随机变量可能的取值,并说明随机变量所
取的值表示的随机试验的结果.
①一袋中装有5只同样大小的白球,编号为1,2,3,4,5, 现从该袋内随机取出3只球,被取出的球的最大号码数
ξ;
②某单位的某部电话在单位时间内收到的呼叫次数η.
【解析】①因为降雨量的大小是随机的,所以降雨量X是 随机变量;②因为交易所的交易额也是随机的,所以Y是
随机变量;③因为投球10次,命中的次数可能是
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,所以Z是随机变量;④因为比 赛中的得分是不确定的,所以M是随机变量;⑤因为年龄 大于18岁的人数是一个常数,所以N不是随机变量.
【解析】选D.抛掷2枚骰子,其中1枚是x点,另1枚是y点,
其中x,y=1,2,…,6.而ξ=x+y,ξ=4⇔
x y
1,或 3
x y
2, 2.
2.甲、乙两人下象棋,赢了得3分,平局得1分,输了
得0分,共下三局.用ξ表示甲的得分,则{ξ=3}表
示( )
A.甲赢三局
B.甲赢一局
C.甲、乙平局三次 D.甲赢一局或甲、乙平局三次
随机变量.
(2)投一颗骰子出现的结果是1点,2点,3点,4点,5点,6点
中的一个且出现哪个结果是随机的,因此是随机变量.
(3)属相是出生时便定的,不随年龄的变化而变化,不是
随机变量.
(4)标准状况下,在-5 ℃时水结冰是必然事件,不是随机
变量.
【方法总结】随机变量的辨析方法 (1)随机试验的结果具有可变性,即每次试验对应的结
结论: 离散型随机变量 所有取值可以_一__一__列__出__的随机变量称为离散型随机变
2.1.2离散型随机变量的分布列课件人教新课标B版(1)
X1 2 3 4
P 11 36
1
则 p的值为 3 ．
1p
6
2、设随机变量 的散布列为 P( i) a 1 i ,
3
i 1,2,3
a 则 的值为 27/13 ．
3、X的散布列为
X
-1
0
1
2
3
P 0.16 a/10 a2 a/5 0.3
求常数a。
解：由离散型随机变量的散布列的性质有
x2，…，xi，… xn
2.求X的每个概率p1，p2，…，pi，… pn. 3、列成表格。
• 某射击选手在一段时间内的成绩
命中 0 1 环数 X
概率 0 0 P
2 3 4 5 6 7 8 9 10
0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.2 0.2 0.2 11226 9 8 9 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
概念深化
应用举例
• 例2.抛掷一枚骰子，所得的点数为X: (1) 求X的散布列；
（2）求点数大于四的概率； （3）求点数不超过5的概率。
对应练习：教材第44页A4
• 4.抛掷两枚骰子，所得的点数之和为X: (1) 求X的散布列；
（2）求点数之和大于9的概率； （3）求点数之和不超过7的概率。
课堂练习：
2.1.2离散型随机变量的散布列
人教B版《数学选修2-3 》
复习回顾:
随机变量:如果随机实验的结果可以用一个变 量来表示，那么这样的变量叫做随机变量。 随机变量常用大写字母X,Y等表示。
离散型随机变量:如果随机变量X的所有可能 取值都能一一列出，则X叫做离散型随机变 量。
• 某射击选手在一段时间内的成绩
离散型随机变量及其分布列教案
离散型随机变量及其分布列教案离散型随机变量及其分布列教案一、引言1.1 概念介绍离散型随机变量是统计学中的一个重要概念，它描述了在一次实验中可能取到的离散数值，如扔一枚硬币可以取到正面和反面两个离散数值。
本文将介绍离散型随机变量的基本概念及其分布列。
1.2 学习目标通过本教案的学习，你将能够：- 理解离散型随机变量的基本概念；- 了解离散型随机变量的分布列及其性质；- 掌握计算离散型随机变量概率的方法。
二、离散型随机变量的定义2.1 随机变量的概念在概率论中，随机变量是指定义在某个概率空间上的实值函数，它的取值是由实验结果决定的。
随机变量可以分为离散型和连续型两种类型，本文主要关注离散型随机变量。
2.2 离散型随机变量的定义离散型随机变量是指其取值是有限个或可数个的随机变量。
扔一枚硬币的实验可以定义一个离散型随机变量X，它的取值为1（正面）和-1（反面）。
三、离散型随机变量的分布列3.1 定义离散型随机变量的分布列，也称为概率质量函数（Probability Mass Function，简称PMF），描述了随机变量取各个值的概率。
3.2 示意图我们可以通过绘制柱状图来直观地表示离散型随机变量的分布列。
横轴表示随机变量的取值，纵轴表示对应取值的概率。
3.3 性质离散型随机变量的分布列具有以下性质：- 非负性：概率质量函数的取值非负；- 总和为1：所有可能取值的概率之和等于1。
四、计算概率4.1 概念介绍在实际问题中，我们常常需要计算离散型随机变量的概率。
概率计算可以基于分布列进行。
4.2 计算方法计算离散型随机变量概率的基本方法是通过分布列查找对应取值的概率。
具体而言，对于随机变量X和某个取值x，我们可以通过查找分布列找到对应的概率P(X=x)。
五、总结与回顾5.1 概括概念通过本教案的学习，我们了解了离散型随机变量的基本概念及其分布列。
离散型随机变量的分布列描述了随机变量取各个值的概率。
5.2 理解计算方法我们学会了通过分布列计算离散型随机变量的概率的方法。
人教A版必修第三册课件2.1.2离散型随机变量的分布列
(2)从盒子中随机取出4个球,其中红球个数记为X,求随 机变量X的分布列.
【解题指南】(1)计算取出2个球的基本事件总数,计算 取出2个相同颜色的球的基本事件数,结合古典概型计
算公式,计算概率,即可. (2)分别计算出X=0,1,2,3,4对应的概率,列出分布列即 可.
【解析】(1)一个盒子里装有9个球,其中有4个红球,3
答案:①②③
2.甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A,B,C,D四个 不同的岗位服务,每个岗位至少有一名志愿者.设随机 变量ξ为这五名志愿者中参加A岗位服务的人数,则ξ 的分布列为________.
【解析】随机变量ξ可能取的值为1,2.
事件“ξ=1”是指有1人参加A岗位服务,则P(ξ=1)
=
C15C42A33
的可能取值为0,1,2,3,4,P(X=0)= C54 P5 (，X=1)=
PC(C14XC94 =35 4P)26=03(X，CC9444=21)21=6所，以随CC24机C94P52(变X1量2=013，X)的= 分C布94 列12为C6C34C:94 15
10 ， 63
【方法总结】求离散型随机变量的分布列的步骤
A.(-∞,2]
B.[1,2]
C.(1,2]
D.(1,2)
【解析】选C.由随机变量X的分布列知:P(X<-1)= 0.1,P(X<0)=0.3,P(X<1)=0.5,P(X<2)=0.8,则当 P(X<a)=0.8时,实数a的取值范围是(1,2].
2.下列表格中,不是某个随机变量的分布列的是( )
张,每张可获价值10元的奖品;其余6张没有奖品.
(1)顾客甲从10张奖券中任意抽取1张,求中奖次数X的 分布列.
2014年人教A版选修2-3课件 2.1 离散随机变量及其分布
练习: (课本45页) 第 1、 2 题 .
练习: (课本45页)
1. 下列随机试验的结果能否用离散型随机变量表示? 若能, 请写出各随机变量可能的取值, 并说明这些值所表 示的随机试验的结果. (1) 抛掷两枚骰子, 所得点数之和; (2) 某足球队在 5 次点球中射进的球数; (3) 任意抽取一瓶某种标有 2500 ml 的饮料, 其实际量 与规定量之差. 解: (1) 能用离散型随机变量表示. 随机变量的可能取 值为 X{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}. {X=2} 表示两枚都出现 1 点. {X=3} 表示一枚出现 1 点, 另一枚出现 2 点. {X=4} 表示一枚出现 1 点, 另一枚出现 3 点; 或两枚 都出现 2 点.
2. 什么是离散型随机变量? 变量的取值是 否有一个确定的范围? 每一个取值表示怎样的 一个试验结果?
问题 1. 你能说出下列各试验的结果吗? 各试验 结果是否能用数量表示? (1) 掷一枚骰子; (2) 掷一枚硬币; (3) 测一病人体温.
(1) 掷一枚骰子的试验结果有: 1 点向上, 2 点向上, 3 点向上, 4 点向上, 5 点向上, 6 点向上. 可分别用
出现点数
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
正面 向上 反面 向上
1
正常 低热 高烧
0 1 2
0
随机变量也是一种映射, 与函数比较, 函数是把 实数映射为实数, 随机变量是把试验结果映射为实数. 试验结果的范围相当于函数的定义域, 随机变量的取 值范围相当于函数的值域.
出现点数
1 2 3 4 5 6
数字 1, 2, 3, 4, 5, 6 表示上面的六个试验结果.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
思考：前3个随机变量与最后两个有什么区别？
二、随机变量的分类：
1、如果可以按一定次序，把随机变量可能取的值一一 列出，那么这样的随机变量就叫做离散型随机变量。 （如掷骰子的结果，城市每天火警的次数等等） 2、若随机变量可以取某个区间内的一切值，那么这样的 随机变量叫做连续型随机变量。 （如灯泡的寿命，树木的高度等等）
X P x1 P1 x2 P2 … … xi Pi … …
为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列. 有时为了表达简单，也用等式 P(X=xi)=Pi i=1，2，…，n 来表示X的分布列
离散型随机变量的分布列应注意问题：
X P x1 P1 x2 P2 … … xi Pi … …
1、分布列的构成： （1）列出了离散型随机变量X的所有取值； （2）求出了X的每一个取值的概率；
（2） pi p1 p2 பைடு நூலகம் pn 1
i 1
n
2、求分布列的步骤:
定值
求概率
列表
a 10
a
2
a 5
课堂练习：
3、某一射手射击所得环数 x 分布列为 X P 4 0.02 5 0.04 6 0.06 7 0.09 8 0.28 9 0.29 10 0.22
0.88 则此射手“射击一次命中环数≥7”的概率是_______
思考：一个口袋有5只同样大小的球，编号分别为1，2， 3，4，5，从中同时取出3只，以X表示取出的球最小的 号码，求X的分布列。
定值
求概率
列表
课堂练习：
1、随机变量 x 的所有等可能取值为 1, 2,3，…, n ， 若 P x 4 0.3 ，则（ A． n 3 B． n 4
C
） D．不能确定
C． n 10
3 5 2、若随机变量ξ的分布列如下表所示，则常数a=_____
ξ P -1 0.16 0 1 2 3 0.3
变题：{X < 3}在这里又表示什么事件呢？ “取出的3个球中，白球不超过2个”
写出下列各随机变量可能的取值，并说明它们各自 所表示的随机试验的结果：
（1）从10张已编号的卡片（从1号到10号）中任取1张，
被取出的卡片的号数x ； （x=1、2、3、· · · 、10）
（2）抛掷两个骰子，所得点数之和Y； （Y=2、3、· · · 、12）
思考：一个口袋有5只同样大小的球，编号分别为1，2， 3，4，5，从中同时取出3只，以X表示取出的球最小的 号码，求X的分布列。
∴随机变量X的分布列为
X
P
1 3 5
2 3 10
3 1 10
小结：
一、随机变量的定义： 二、随机变量的分类： 三、随机变量的分布列： 1、分布列的性质: （1）pi 0, i 1, 2,
解：因为同时取出3个球，故X的取值只能是1，2，3 当X=1时，其他两球可在剩余的4个球中任选 2 C4 3 故其概率为 P ( X 1) 3 C5 5 当X=2时，其他两球的编号在3，4，5中选，
2 C3 3 故其概率为 P ( X 2) 3 C5 10 当X=3时，只可能是3，4，5这种情况， 1 概率为 P ( X 3) 10
∴从袋子中随机取出一球所得分数X的分布列为：
1 2 1 P ( X 1) , P ( X 0) , 6 6 3 3 1 P ( X 1) 6 2
X
1
0
-1
P
1 6
1 3
1 2
求离散型随机变量分布列的基本步骤：
（1）确定随机变量的所有可能的值xi （2）求出各取值的概率P(X=xi)=pi （3）列出表格
离散型随机变量及其分布列
引例：
（1）抛掷一枚骰子，可能出现的点数有几种情况？ 能否把掷硬 （2）姚明罚球2次有可能得到的分数有几种情况？ 币的结果也 用数字来表 0分，1分，2分 示呢？ （3）抛掷一枚硬币，可能出现的结果有几种情况？
1，2，3，4，5，6
正面向上，反面向上
思考：在上述试验开始之前，你能确定结果是哪一 种情况吗？
X P 1 2 3 4 5 6
1 6
1 6
1 6
1 6
1 6
1 6
1 解：P(X是偶数)=P(X=2)+P(X=4)+P(X=6) 2 1 P(X<3)=P(X=1)+P(X=2) 3
三、离散型随机变量的分布列：
一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为： x1，x2，…，xi，…，xn X取每一个xi (i=1，2，…，n)的概率P(X=xi)=Pi，则称表：
下列试验的结果是否是离散型随机变量？ （1）已知在从汕头到广州的铁道线上，每隔50米有一个 电线铁站，这些电线铁站的编号； （2）任意抽取一瓶某种标有2500ml的饮料，其实际量 与规定量之差； （3）在优、良、中、及格、不及格5个等级的测试中， 某同学可能取得的等级。
若用X表示抛掷一枚质地均匀的骰子所得的点数， 请把X取不同值的概率填入下表，并求判断下列事件发生 的概率是多少？ （1）{X是偶数}；（2） {X<3}；
例1、一个袋中装有5个白球和5个黑球，若从中任取3个， 则其中所含白球的个数X就是一个随机变量，求X的取值 范围，并说明X的不同取值所表示的事件。 解：X的取值范围是{0，1，2，3} ，其中 {X=0}表示的事件是“取出0个白球，3个黑球”； {X=1}表示的事件是“取出1个白球，2个黑球”； {X=2}表示的事件是“取出2个白球，1个黑球”； {X=3}表示的事件是“取出3个白球，0个黑球”；
X P 0 1-p 1 p
像上面这样的分布列称为两点分布列。
如果随机变量X的分布列为两点分布列，就称 X服从两点分布，而称p=P(X=1)为成功概率。
例3、袋子中有3个红球，2个白球，1个黑球，这些球 除颜色外完全相同，现要从中摸一个球出来，若摸到 黑球得1分，摸到白球得0分，摸到红球倒扣1分，试写 出从该盒内随机取出一球所得分数X的分布列. 解：因为只取1球，所以X的取值只能是1，0，-1
2、分布列的性质:
（1）pi 0, i 1, 2,
（2） pi p1 p2 pn 1
i 1
n
例2、在掷一枚图钉的随机试验中，令
1，针尖向上 X 0，针尖向下
如果针尖向上的概率为p，试写出随机变量X的分布列。 解：根据分布列的性质，针尖向下的概率是(1-p),于是， 随机变量X的分布列是