三角函数定义及其三角函数公式大全
完整三角函数公式表

完整三角函数公式表三角函数公式表是数学中常用的一个工具,用于计算三角函数的数值。
它包含了各种三角函数的定义和性质,能够帮助我们在解决三角函数相关问题时,快速找到所需的公式和计算方法。
以下是一个完整的三角函数公式表,包含了常见的正弦、余弦、正切、余切、正割和余割函数的公式:1. 正弦函数(sin):- 定义:在单位圆上,从原点到圆上一点与x轴的正角对应的y坐标。
- 基本关系:sin θ = y/r,其中θ是角度,y是对应的y坐标,r是单位圆的半径(常为1)。
- 周期性:sin (θ + 2π) = sin θ。
- 奇偶性:sin (-θ) = -sin θ。
2. 余弦函数(cos):- 定义:在单位圆上,从原点到圆上一点与x轴的正角对应的x坐标。
- 基本关系:cos θ = x/r,其中θ是角度,x是对应的x坐标,r是单位圆的半径(常为1)。
- 周期性:cos (θ + 2π) = cos θ。
- 奇偶性:cos (-θ) = cos θ。
3. 正切函数(tan):- 定义:tan θ = sin θ / cos θ。
- 周期性:tan (θ + π) = tanθ。
- 奇偶性:tan (-θ) = -tan θ。
4. 余切函数(cot):- 定义:cot θ = 1 / tan θ = cos θ / sin θ。
- 周期性:cot (θ + π) = cot θ。
- 奇偶性:cot (-θ) = -cot θ。
5. 正割函数(sec):- 定义:sec θ = 1 / cos θ。
- 周期性:sec (θ + 2π) = sec θ。
- 奇偶性:sec (-θ) = sec θ。
6. 余割函数(csc):- 定义:csc θ = 1 / sin θ。
- 周期性:csc (θ + 2π) = csc θ。
- 奇偶性:csc (-θ) = -csc θ。
此外,三角函数还有一些重要的性质:1. 三角函数的范围:sin、cos、csc、sec的值在[-1, 1]之间,tan、cot的值在整个实数范围内。
三角函数公式(最全)

5 、幂级数
c0+c1x+c2x2+...+cnxn+...=
∑cnxn (n=0.. ∞)
c0+c1(x-a)+c2(x-a)2+...+cn(x-a)n+...=
90 ° -(60 ° -a)]sin[-90
° +(60 ° +a)] =-4cosacos(6
a)[-cos(60
° +a)] =4cosacos(60
° -a)cos(60
上述两式相比可得: tan3a=tana · tan(60 ° +a)
· tan(60 ° -a)
6、四倍角公式
sin4a=-4*[cosa*sina*(2*sina^2-1)] cos4a=1+(-8*cosa^2+8*cosa^4) tan4a=(4*tana-4*tana^3)/(1-6*tana^2+tana^4)
1
三角函数公式
一、定义公式
锐角三角函数 任意角三角函数
正弦( sin ) 余弦( cos ) 正切( tan 或 tg ) 余切( cot 或 ctg ) 正割( sec ) 余割( csc) 正弦( sin ) 余弦( cos ) 正切( tan 或 tg ) 余切( cot 或 ctg ) 正割( sec ) 余割( csc)
在任意△ ABC 中,角 A 、 B 、 C 所对的边长分别为 a 、 b 、 c , 三角形 外接圆的半径为 R.则有:
三角函数公式大全

三角函数公式大全1.三角函数的基本定义:- 正弦函数:sinθ = 对边/斜边- 余弦函数:cosθ = 邻边/斜边- 正切函数:tanθ = 对边/邻边- 余切函数:cotθ = 1/tanθ- 正割函数:secθ = 1/cosθ- 余割函数:cscθ = 1/sinθ2.三角函数的周期性:- 正弦函数的周期为2π:sin(θ+2π) = sinθ- 余弦函数的周期为2π:cos(θ+2π) = cosθ- 正切函数的周期为π:tan(θ+π) = tanθ3.三角函数的平方和差公式:- 正弦函数的平方和差公式:sin(A±B) = sinAcosB ± cosAsinB - 余弦函数的平方和差公式:cos(A±B) = cosAcosB ∓ sinAsinB - 正切函数的平方和差公式:tan(A±B) = (tanA ± tanB)/(1 ∓tanAtanB)4.三角函数的倍角公式:- 正弦函数的倍角公式:sin2θ = 2sinθcosθ- 余弦函数的倍角公式:cos2θ = cos²θ - sin²θ- 正切函数的倍角公式:tan2θ = (2tanθ)/(1 - tan²θ)5.三角函数的半角公式:- 正弦函数的半角公式:sin(θ/2) = ±√((1 - cosθ)/2)- 余弦函数的半角公式:cos(θ/2) = ±√((1 + cosθ)/2)- 正切函数的半角公式:tan(θ/2) = ±√((1 - cosθ)/(1 +cosθ))6.三角函数的和差化积公式:- 正弦函数的和差化积公式:sinA + sinB = 2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2)- 余弦函数的和差化积公式:cosA + cosB = 2cos((A+B)/2)cos((A-B)/2)- 正弦函数的差化积公式:sinA - sinB = 2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)- 余弦函数的差化积公式:cosA - cosB = 2sin((A+B)/2)sin((A-B)/2)7.其他重要公式:- 三角函数的平方公式:sin²θ + cos²θ = 1- 三角函数的倒数公式:sin(π/2 - θ) = cosθ,cos(π/2 - θ) = sinθ,tan(π/2 - θ) = cotθ- 三角函数的和差化差公式:cos(A-B) = cosAcosB + sinAsinB,cos(A+B) = cosAcosB - sinAsinB这些是三角函数中一些重要的公式,对于理解和应用三角函数有很大的帮助。
三角函数定义及三角函数公式大全

三角函数定义及三角函数公式大全三角函数是数学中一类重要的函数,主要用于描述和分析三角形以及周期性现象。
三角函数的定义涵盖了正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、割函数和余割函数等,它们在数学和物理等领域都有广泛的应用。
下面将对每个三角函数的定义及其公式进行详细介绍。
1. 正弦函数(sine function):正弦函数是一个周期性函数,在单位圆上定义。
它的定义域是所有实数,值域是[-1, 1]。
通常用sin(x)或者sinθ来表示,其中θ为角度值。
正弦函数的公式为:sin(x) = sinθ = y/r = 对边/斜边2. 余弦函数(cosine function):余弦函数同样也是一个周期性函数,也在单位圆上定义。
它的定义域是所有实数,值域也是[-1, 1]。
通常用cos(x)或者cosθ来表示。
余弦函数的公式为:cos(x) = cosθ = x/r = 邻边/斜边3. 正切函数(tangent function):正切函数是一个无界函数,定义于所有实数上。
它的定义域是除了π/2 + kπ(k=0,1,2,...)外的所有实数,值域是(-∞, ∞)。
正切函数通常用tan(x)或者ta nθ来表示。
正切函数的公式为:tan(x) = tanθ = y/x = 对边/邻边4. 余切函数(cotangent function):余切函数也是一个无界函数,定义于所有实数上。
它的定义域是除了kπ(k=0,1,2,...)外的所有实数,值域也是(-∞, ∞)。
余切函数通常用cot(x)或者cotθ来表示。
余切函数的公式为:cot(x) = cotθ = x/y = 邻边/对边5. 割函数(secant function):割函数是一个无界函数,在余弦函数的基础上定义。
它的定义域是除了π/2 + kπ(k=0,1,2,...)外的所有实数,值域是(-∞, -1]∪[1, ∞)。
割函数通常用sec(x)或者secθ来表示。
九年级数学:三角函数定义及三角函数公式大全(1)

斜边 cba a 2 +b 2 =c 2三角函数定义及三角函数公式大全一:初中三角函数公式及其定理1、勾股定理:直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。
2、如下图,在 Rt△ABC 中,∠C 为直角,则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成 ∠B):3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值;任意锐角的余弦值等于它的余B角的正弦值。
由∠A + ∠B = 90︒得∠B = 90︒ - ∠AAC邻边4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值;任意锐角的余切值等于它的余 角的正切值。
由∠A + ∠B = 90︒得∠B = 90︒ - ∠A5、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要)sin A = cos Bcos A = sin Bsin A = cos(90︒ - A ) cos A = sin(90︒ - A ) tan A = cot B cot A = tan Btan A = cot(90︒ - A )cot A = tan(90︒ - A )对边sin α 0 1 22 23 21 cos α 1 32 2 21 20 tan α 03 313 - cot α-313 3当 0°≤α≤90°时,sin α随α的增大而增大,cos α随α的增大而减小。
7、正切、余切的增减性:当 0°<α<90°时,tan α随α的增大而增大,cot α随α的增大而减小。
1、解直角三角形的定义:已知边和角(两个,其中必有一边)→所有未知 的边和角。
依据:①边的关系: a 2 + b 2 = c 2 ;②角的关系:A+B=90°;③边角关系: 三角函数的定义。
(注意:尽量避免使用中间数据和除法)2、应用举例:(1)仰角:视线在水平线上方的角;俯角:视线在水平线下方的角。
三角函数公式全解

视线
仰角 水平线 俯角
h
i h:l
视线
二:初中三角函数公式及其定理 ﻩ
1、勾股定理:直角三角形两直角边 a 、 b 的平方和等于斜边 c 的平方。 a2 b2 c2
2、如下图,在 Rt△ABC 中,∠C 为直角,则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B):
定
义
表达式
取值范围
关系
正 弦
sin
A
A的对边 斜边
sin A a c
0 sin A 1
(∠A为锐角)
余 弦
cos
A
A的邻边 斜边
cos A b c
0 cosA 1
(∠A 为锐角)
正 切
tan
A
A的对边 A的邻边∠A 为锐角)
余 切
cot
A
A的邻边 A的对边
cot A b a
cot A 0
(∠A 为锐角)
sin A cosB cos A sin B sin 2 A cos2 A 1
ss= +ciαnα-o)(ﻫstπi(cn=/α2πo-ﻫ/cs+2(to+αaπt)nαα/()2=πc+o/2α)c ot αcso a oαtn(sπ((π++πα+)α)α=)==co-ttcaαn
=-tanα
两角和与差的三角函数公式
万能公式
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ ﻫs in(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ ﻫcos
三角函数
0°
30°
45°
60°
90°
(完整版)三角函数公式汇总

(完整版)三角函数公式汇总介绍三角函数是数学中重要的概念,可用来描述角的性质和在各个学科中的应用。
三角函数包括正弦(sin)、余弦(cos)、正切(tan)等,它们之间存在一系列的基本关系和公式。
本文档将详细介绍常见的三角函数公式,以帮助读者更好地理解和应用三角函数。
正弦函数(sin)定义正弦函数是一个周期为2π的周期函数,定义域为实数集,值域为[-1, 1]。
公式1. 正弦函数的周期性公式为:sin(x + 2kπ) = sin(x),其中 k ∈ Z。
2. 正弦函数的关系公式有:- 反正弦函数:x = arcsin(y),其中 y ∈ [-1, 1]。
- 正弦函数的平方和公式:sin^2(x) + cos^2(x) = 1。
余弦函数(cos)定义余弦函数是一个周期为2π的周期函数,定义域为实数集,值域为[-1, 1]。
公式1. 余弦函数的周期性公式为:cos(x + 2kπ) = cos(x),其中 k ∈Z。
2. 余弦函数的关系公式有:- 反余弦函数:x = arccos(y),其中 y ∈ [-1, 1]。
- 余弦函数的平方和公式:sin^2(x) + cos^2(x) = 1。
正切函数(tan)定义正切函数是一个周期为π的周期函数,定义域为实数集。
公式1. 正切函数的周期性公式为:tan(x + kπ) = tan(x),其中 k ∈ Z。
2. 正切函数的关系公式有:- 反正切函数:x = arctan(y),其中 y ∈ R。
其他三角函数公式1. 余切函数(cot)与正切函数的关系式:cot(x) = 1/tan(x)。
2. 正割函数(sec)与余弦函数的关系式:sec(x) = 1/cos(x)。
3. 余割函数(csc)与正弦函数的关系式:csc(x) = 1/sin(x)。
应用领域三角函数广泛应用于工程、物理、计算机图形学等领域。
例如,在三角形的计算中,可以利用正弦、余弦、正切等函数来求解各种角度和边长。
三角函数公式大全及其推导方法

1. 三角函数的定义 由此,我们定义: 如Figure I, 在ΔABC 中sin () cos () tan ()11 cot ()tan 11 sec ()cos 11 csc ()sin bca cb a a b b ac a a c c b b c θθθθθθθθθθθθθθθ∠=∠=∠=∠===∠===∠===对边的正弦值:斜边邻边的余弦值:斜边对边的正切值:邻边邻边的余切值:对边斜边的正割值:邻边斜边的余割值:对边备注:当用一个字母或希腊字母表示角时,可略写∠符号,但用三个子母表示时,不能省略。
在本文中,我们只研究sin 、cos 、tan 。
A c b θ Figure I2. 额外的定义222222sin (sin )cos (cos )tan (tan )θθθθθθ===3. 简便计算公式22sin cos cos(90)cos sin sin(90)111tan tan tan(90)sin cos 1b A cc A b b a a A bθθθθθθθθ===-∠===-∠====-∠+= 证明:2222222222901sin sin 1sin cos 1ABC ABC a b c a b c cB A θθ∆∠=∴+=∴+=∴+=∴+=在中,证完222222sin tan cos sin cos 1tan 1cos cos cos bb c a a cθθθθθθθθθ===+=+= 4. 任意三角形的面积公式如Figure II , Ca bhFigure II121sin 21sin ()2ABC S ah ab C ac B ∆===两边和其夹角正弦的乘积 5. 余弦定理:任意三角形一角的余弦等于两邻边的平方和减对边的平方之差与两邻边积的两倍之比。
证明:如Figure II, 2222222222222222222222(cos )(sin )2cos cos sin =2cos (cos sin )2cos cos 22b d h a c B c B a ac B c B c Ba ac B c B B a c ac Bb ac a c b B ac ac=+=-+=-++-++=+---+-⇒==-证完6. 海伦公式证明:如Figure II ,2222244422222222224442222222222444222222222244422221sin 211cos 21122122212414222241422244214ABC S ab C ab C a b c ab ab a b c a b a c b c ab a b a b a b c a b a c b c ab a b a b a b c a b a c b c a b a b a b c a b a b ∆==-⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭+++--=-----++=----++=⋅-----=⋅()()()()()22222222416a c b c a b a b c a b c b c a a b c -+--++-++=()()()()()()()222222222222222222=2ABC a b c c a b c b a b c a a b c a b c c a b c b a b c a a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b cs S s s a s b s c ∆++-++-++-++=⨯⨯⨯++-++-++-++=⨯⨯⨯++++++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--- ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭++=---设: 7. 正弦定理A如 Figure III ,c 为ΔABC 外接圆的直径,sin 2 sin a A c ac r r ABC A =∴==∆(为的外接圆半径)同理:, sin sin 2sin sin sin b c c c B C a b c r A B C ==∴===8. 加法定理(1)两角差的余弦如 Figure IV,AOC BOC AOB αβαβ∠=∠∠=∠∠=∠-∠令AO=BO=r点A 的横坐标为cos A x r α=点A 的纵坐标为sin A y r α= y A BO C xβ (α-α Figure IV点B 的横坐标为cos B x r β=点B 的纵坐标为sin B y r β=()()()()()()22222222222222222222222222sin sin cos cos sin sin 2sin sin cos cos 2cos cos sin sin 2sin sin cos cos 2cos cos sin cos sin cos 2sin sin 2cos cos 112s A B A B AB y y x x r r r r r r r r r r r r r αββααβαβαβαβαβαβαβαβααββαβαβ=-+-=-+-=+-++-=+-++-=+++--=+-()()()22in sin cos cos 22sin sin cos cos 21sin sin cos cos r r αβαβαβαβαβαβ+⎡⎤⎣⎦=-+⎡⎤⎣⎦=-+⎡⎤⎣⎦由余弦公式可得:()()()()2222222222cos 2cos 22cos 22cos 21cos AB AC BC AC BC ACBr r r r r r r r αβαβαβαβ=+-⋅∠=++⋅-=+-=--⎡⎤⎣⎦=--⎡⎤⎣⎦综上得:()cos sin sin cos cos αβαβαβ-=+(2)两角和的余弦()()()()cos cos sin sin cos cos sin sin cos cos cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβαβαβ+=--⎡⎤⎣⎦=-+-=-+=-(3)两角和的正弦()()()()()sin cos 90cos 90sin 90sin cos 90cos cos sin sin cos αβαβαβαβαβαβαβ+=︒-+⎡⎤⎣⎦=︒--⎡⎤⎣⎦=︒-+︒-=+(4)两角差的正弦()()()()sin sin cos sin sin cos cos sin sin cos sin cos cos sin αβαβαβαβαβαβαβαβ-=+-⎡⎤⎣⎦=-+-=-+=-(5)两角和的正切()()()sin tan cos cos sin sin cos cos cos sin sin cos sin sin cos cos cos cos cos sin sin cos cos sin sin cos cos sin sin 1cos cos tan tan 1tan tan αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαββαβααβαβαβαβ++=++=-+=-+=-+=-(6)两角差的正切()()()()tan tan tan tan 1tan tan tan tan 1tan tan αβαβαβαβαβαβ-=+-⎡⎤⎣⎦+-=---=+ 9. 两倍角公式()()()()()()()222222222222sin 2sin sin cos sin cos 2sin cos cos 2cos cos cos sin sin cos sin 12sin 2cos 1sin 2tan 2cos 22sin cos cos sin 2sin cos cos cos sin cos 2sin cos sin 1cos 2tan 1ta αααααααααααααααααααααααααααααααααααααα=+=+==+=-=-=-=-==-=-=-=-2n α10.积化和差公式()()()()1sin cos 2sin cos 21sin cos sin cos cos sin cos sin 21sin sin 2αβαβαβαβαβαβαβαβ==++-=++-⎡⎤⎣⎦()()()()()()()()1cos cos 2cos cos 21cos cos cos cos sin sin sin sin 21cos cos 21sin sin 2sin sin 21sin sin sin sin cos cos cos cos 21cos cos 2αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ==++-=++-⎡⎤⎣⎦==++-=+--⎡⎤⎣⎦ 11.和差化积公式 (1)设:A=α+β, B=α-β,()()()()sin sin sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin 2sin cos 2sin cos 222sin cos 22sin sin sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin 2cos si A B A B A B A B αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα+=++-=++-=++-+--⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+-⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=+--=+-+=n 2cos sin 222cos sin 22A B A B βαβαβαβαβ++-+-+⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+-⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(2)设:cos sin αα==∵22cos sin 1αα+=()()sin sin coscos sin sin cossinsin baθθθθαθαθαθ+=+=+=+12.其他常用公式()()()()()()()()()()()()()()000sin 360sin cos 360cos tan 360tan sin 90cos cos 90sin 1tan 90tan sin 90cos cos 90sin 1tan 90tan sin 90cos cos 90sin 1tan 90tan sin 180sin cos 180cos n n n θθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθ+⨯=+⨯=+⨯=︒-=︒-=︒-=︒+=︒+=-︒+=--︒=--︒=-︒=-︒-=︒-=-()()()()()()()()tan 180tan sin 180sin cos 180cos tan 180tan sin sin cos cos tan tan tan 2190 1cos 1cos 11sin 1sin 1n θθθθθθθθθθθθθθθθθθθ︒-=-±︒=-±︒=-±︒=-=--=-=-+⨯︒⎡⎤⎣⎦-≤≤⇒≤-≤≤⇒≤不存在13.特殊的三角函数值14.关于机器算法在计算机中,三角函数的算法是这样的,其中x 用弧度计算()()1357210246sin 1!3!5!7!21!cos 0!2!4!6!2!n n nn x x x x x x n x x x x x x n +=∞=∞=-+-+=+=-+-+=∑∑推导公式:(a+b+c)/(sinA+sinB+sinC)=2R(其中,R为外接圆半径) 由正弦定理有a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R所以a=2R*sinAb=2R*sinBc=2R*sinC加起来a+b+c=2R*(sinA+sinB+sinC)带入(a+b+c)/(sinA+sinB+sinC)=2R*(sinA+sinB+sinC)/(sinA+sinB+sinC)=2R 两角和公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A-B)=sinAcosB-cosAsinBcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA)cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA)倍角公式Sin2A=2SinACosA对数的性质及推导用^表示乘方,用log(a)(b)表示以a为底,b的对数*表示乘号,/表示除号定义式:若a^n=b(a>0且a≠1)则n=log(a)(b)基本性质:^(log(a)(b))=b(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N);(a)(M^n)=nlog(a)(M)推导1.这个就不用推了吧,直接由定义式可得(把定义式中的[n=log(a)(b)]带入a^n=b)2.MN=M*N由基本性质1(换掉M和N)a^[log(a)(MN)]=a^[log(a)(M)]*a^[log(a)(N)]由指数的性质a^[log(a)(MN)]=a^{[log(a)(M)]+[log(a)(N)]}又因为指数函数是单调函数,所以log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N)3.与2类似处理MN=M/N由基本性质1(换掉M和N)a^[log(a)(M/N)]=a^[log(a)(M)]/a^[log(a)(N)]由指数的性质a^[log(a)(M/N)]=a^{[log(a)(M)]-[log(a)(N)]}又因为指数函数是单调函数,所以log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N)4.与2类似处理M^n=M^n由基本性质1(换掉M)a^[log(a)(M^n)]={a^[log(a)(M)]}^n由指数的性质a^[log(a)(M^n)]=a^{[log(a)(M)]*n}又因为指数函数是单调函数,所以log(a)(M^n)=nlog(a)(M)其他性质:性质一:换底公式log(a)(N)=log(b)(N)/log(b)(a)推导如下N=a^[log(a)(N)]a=b^[log(b)(a)]综合两式可得N={b^[log(b)(a)]}^[log(a)(N)]=b^{[log(a)(N)]*[log(b)(a)]}又因为N=b^[log(b)(N)]所以b^[log(b)(N)]=b^{[log(a)(N)]*[log(b)(a)]}所以log(b)(N)=[log(a)(N)]*[log(b)(a)]{这步不明白或有疑问看上面的}所以log(a)(N)=log(b)(N)/log(b)(a)性质二:(不知道什么名字)log(a^n)(b^m)=m/n*[log(a)(b)]推导如下由换底公式[lnx是log(e)(x),e称作自然对数的底]log(a^n)(b^m)=ln(a^n)/ln(b^n)由基本性质4可得log(a^n)(b^m)=[n*ln(a)]/[m*ln(b)]=(m/n)*{[ln(a)]/[ln(b)]}再由换底公式log(a^n)(b^m)=m/n*[log(a)(b)]--------------------------------------------(性质及推导完)公式三:log(a)(b)=1/log(b)(a)证明如下:由换底公式log(a)(b)=log(b)(b)/log(b)(a)----取以b为底的对数,log(b)(b)=1=1/log(b)(a)还可变形得:log(a)(b)*log(b)(a)=1平方关系:sin^2(α)+cos^2(α)=1tan^2(α)+1=sec^2(α)cot^2(α)+1=csc^2(α)·商的关系:tanα=sinα/cosαcotα=cosα/sinα·倒数关系:tanα·cotα=1sinα·cscα=1cosα·secα=1万能公式:sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]常用的诱导公式有以下几组:公式一:设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等:sin(2kπ+α)=sinαcos(2kπ+α)=cosαtan(2kπ+α)=tanαcot(2kπ+α)=cotα公式二:设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系:sin(π+α)=-sinαcos(π+α)=-cosαtan(π+α)=tanαcot(π+α)=cotα公式三:任意角α与-α的三角函数值之间的关系:sin(-α)=-sinαcos(-α)=cosαtan(-α)=-tanα公式四:利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系:sin(π-α)=sinαcos(π-α)=-cosαtan(π-α)=-tanαcot(π-α)=-cotα公式五:利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系:sin(2π-α)=-sinαcos(2π-α)=cosαtan(2π-α)=-tanαcot(2π-α)=-cotα公式六:π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系:sin(π/2+α)=cosαcos(π/2+α)=-sinαtan(π/2+α)=-cotαcot(π/2+α)=-tanαsin(π/2-α)=cosαcos(π/2-α)=sinαtan(π/2-α)=cotαsin(3π/2+α)=-cosαcos(3π/2+α)=sinαtan(3π/2+α)=-cotαcot(3π/2+α)=-tanαsin(3π/2-α)=-cosαcos(3π/2-α)=-sinαtan(3π/2-α)=cotαcot(3π/2-α)=tanα(以上k∈Z)一般的最常用公式有:Sin(A+B)=SinA*CosB+SinB*CosASin(A-B)=SinA*CosB-SinB*CosACos(A+B)=CosA*CosB-SinA*SinBCos(A-B)=CosA*CosB+SinA*SinBTan(A+B)=(TanA+TanB)/(1-TanA*TanB) Tan(A-B)=(TanA-TanB)/(1+TanA*TanB)平方关系:sin^2(α)+cos^2(α)=1tan^2(α)+1=sec^2(α)cot^2(α)+1=csc^2(α)·积的关系:sinα=tanα*cosαcosα=cotα*sinαtanα=sinα*secαcotα=cosα*cscαsecα=tanα*cscαcscα=secα*cotα·倒数关系:tanα·cotα=1sinα·cscα=1cosα·secα=1直角三角形ABC中,角A的正弦值就等于角A的对边比斜边,余弦等于角A的邻边比斜边正切等于对边比邻边,三角函数恒等变形公式·两角和与差的三角函数:cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβcos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβsin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβtan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)·辅助角公式:Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t),其中sint=B/(A^2+B^2)^(1/2)cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)·倍角公式:sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]·三倍角公式:sin(3α)=3sinα-4sin^3(α)cos(3α)=4cos^3(α)-3cosα·半角公式:sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα·降幂公式sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=vercos(2α)/2tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))·万能公式:sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]·积化和差公式:sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]·和差化积公式:sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]·其他:sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*( n-1)/n]=0cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*( n-1)/n]=0以及sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0部分高等内容·高等代数中三角函数的指数表示(由泰勒级数易得):sinx=[e^(ix)-e^(-ix)]/(2i)cosx=[e^(ix)+e^(-ix)]/2tanx=[e^(ix)-e^(-ix)]/[ie^(ix)+ie^(-ix)]泰勒展开有无穷级数,e^z=exp(z)=1+z/1!+z^2/2!+z^3/3!+z^4/4!+…+z^n/n!+…此时三角函数定义域已推广至整个复数集。
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2sin A
2sin B
2 s in C
(其中 p 1 (a b c) , r 为三角形内切圆半径)
2
⒌同角关系:
:
⑴商的关系:① tg = y = sin = sin sec ② ctg x cos cos csc
x cos
y sin
③ sin y cos tg
④
r
sec r 1 tg csc x cos
22
22
⑧ tg 1 cos sin 1 cos
2 1 cos 1 cos sin
⒔积化和差公式:
sin cos 1 sin( ) sin( )
2
cos sin 1 sin( ) sin( )
2
cos cos 1 cos( ) cos( ) sin sin 1 cos( ) cos
22 22 22
① sin 2
2 sin
cos
2tg 1 tg2
—
② cos 2
cos2
sin2
2 cos2
1 1 2 sin2
1 tg 2 1 tg 2
③ tg2
2tg 1 tg2
④ sin2
1
tg 2 tg 2
1 cos 2 2
⑤ cos2 1 cos2
2
⒒三倍角公式:
① sin 3 3sin 4 sin3 4 sin sin(60 ) sin(60 )
② cos 3 3cos 4 cos3 4 cos cos(60 ) cos(60 )
③ tg3
3tg tg3 1 3tg 2
tg tg(60 ) tg(60 )
%
三角函数定义及其三角函数公式汇总
1、勾股定理:直角三角形b2 c2
2、如下图,在 Rt△ABC 中,∠C 为直角,则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B):
定义
表达式
取值范围
关系
¥
正
sin
A
A的对边 斜边
弦
*
余
cos
A
A的邻边 斜边
2k + + sin + cos + tg + ctg 三角函数值等于 的异名三
sin con tg ctg 角函数值,前面加上一个把
2
2
—
3 2 3 2
+ cos `
+ ctg + tg
+ sin
+ cos - sin - ctg - tg
- cos - sin + ctg + tg
⑤ cos x sin ctg
⑥
r
csc r 1 ctg sec y sin
⑵倒数关系: sin csc cos sec tg ctg 1
⑶平方关系: sin2 cos2 sec2 tg2 csc2 ctg2 1
⑷ a sin bcos a2 b2 sin( ) (其中辅助角 与点(a,b)在同
二倍角的余弦公式 () 有以下常用变形:(规律:降幂扩角,升幂缩角)
1 cos2 2cos2
、
1 sin 2 (sin cos)2
1 cos2 2sin2 1 sin 2 (sin cos)2
cos2 1 cos2 , sin2 1 sin 2 , tan 1 cos2 sin 2 。
①边的关系: a2 b2 c2 ;②角的关系:A+B=90°;③边角关系:三角函数的定义。(注
意:尽量避免使用中间数据和除法)
2、应用举例:
{
(1)仰角:视线在水平线上方的角;俯角:视线在水平线下方的角。
铅垂线
视线
仰角 水平线 俯角
视线
h
i h:l
α
l
(2)坡面的铅直高度 h 和水平宽度 l 的比叫做坡度(坡比)。用字母 i 表示,即 i h 。坡 l
⑤ tg( ) tg tg tg tg tg tg 其中当 A+B+C=π 时,有:
1 tg tg tg tg tg tg
i). tgA tgB tgC tgA tgB tgC ⒑二倍角公式:(含万能公式)
ii). tg A tg B tg A tg C tg B tg C 1
ctg
《
三角函数值等于 的同名三
-
<
+ cos - tg - ctg
- sin
角函数值,前面加上一个把
-
+ 2 -
+ sin - cos - tg
- sin - cos + tg
- sin 】
- tg
+ cos
、
- ctg + ctg - ctg
看作锐角时,原三角函数 值的符号;即:函数名不变, 符号看象限
sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
—
<
6、正弦、余弦的增减性: 当 0°≤ ≤90°时,sin 随 的增大而增大,cos 随 的增大而减小。 7、正切、余切的增减性: 当 0°< <90°时,tan 随 的增大而增大,cot 随 的增大而减小。 1、解直角三角形的定义:已知边和角(两个,其中必有一边)→所有未知的边和角。依据:
|
三角函数公式汇总 1
>
nπR ⒈L = 弧长 R= 180
S 扇= 1 LR= 1 R2 = n R2
22
360
⒉正弦定理: a = b = c = 2R(R 为三角形外接圆半径)
sin A sin B sin C
⒊ 余 弦 定 理 : a 2 =b 2 +c 2 -2bc cos A
b 2 =a 2 +c 2 -2ac cosB
数
2
,
2
arcsin(-x) -arcsinx 奇
反余弦函
>
y arccosx
1,1减
数
反 正 切 函 y arctgx R 增
数 反 余 切 函 y arcctgx R 减
0,
arccos(x) arccosx
【
2
,
2
arctg(-x) - arctgx 奇
0,
arcctg(x) arcctgx
度一般写成1: m 的形式,如 i 1: 5 等。 把坡面与水平面的夹角记作 (叫做坡角),那么 i h tan 。 l
3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角,叫做方位角。如图 3,OA、OB、 OC、OD 的方向角分别是:45°、135°、225°。
4、指北或指南方向线与目标方向 线所成的小于 90°的水平角,叫做方向角。如图 4,OA、 OB、OC、OD 的方向角分别是:北偏东 30°(东北方向) , 南偏东 45°(东南方向), 南偏西 60°(西南方向), 北偏西 60°(西北方向)。 sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
⑵ 、 、 3 、 3 的三角函数值,等于 的异名函数值,
2
2
2
2
前面加上一个把 看.成.锐角时原函数值的符号。(口诀:函数名改变,符号看象
限)
四、和角公式和差角公式
sin( ) sin cos cos sin sin( ) sin cos cos sin cos( ) cos cos sin sin cos( ) cos cos sin sin
注:我们还可以用单位圆中的有向线段表示任意角的三角函数:如图,与单
位圆有关的有.向.线段 MP 、OM 、 AT 分别叫做角 的正弦线、余弦线、正切线。
二、同角三角函数的基本关系式
倒数关系: sin csc 1, cos sec 1, tan cot 1。
商数关系: tan sin , cot cos 。
cos
sin
平方关系: sin2 cos2 1,1 tan2 sec2 ,1 cot2 csc2 。
(
三、诱导公式
⑴ 2k (k Z) 、 、 、 、 2 的三角函数值,等于 的
同名函数值,前面加上一个把 看.成.锐角时原函数值的符号。(口诀:函数名不 变,符号看象限)
c 2 =a 2 +b 2 -2ab cosC
cos A b2 c2 a2 2bc
⒋S⊿=
1 2
a ha
=
1 2
ab sinC
=
1 2
bc sin A =
1 2
ac sin B
=
abc 4R
=2R
2
sin
A
sin B
sin C
= a2 sin B sin C = b2 sin Asin C = c2 sin Asin B =pr= p( p a)(p b)(p c)
<
tan( ) tan tan 1 tan tan
tan( ) tan tan 1 tan tan
五、二倍角公式
sin 2 2sin cos cos2 cos2 sin2 2cos2 1 1 2sin2 … ()
tan 2
2 tan 1 tan2
弦
sin A a c
cos A b c
0 sin A 1
(∠A 为锐角)
0 cosA 1
(∠A 为锐角)
sin A cosB cos A sin B
sin 2 A cos2 A 1