二次函数线段最值问题
中考数学：二次函数——线段最大值问题
中考数学：二次函数——线段最大值问题一前提知识:二典型例题：1.如图，已知二次函数y=-x2-2x+3的图象交x轴于A、B两点（A在B左边），交y轴于C点。
（1）求A、B、C三点的坐标和直线AC的解析式；（2）点P是直线AC y=x+3 上方抛物线y=-x2-2x+3上一动点（不与A,C重合）过点P作y轴平行线交直线AC于Q点，求线段PQ的最大值；三变式练习:2.变式1：点P是直线AC y=x+3 上方抛物线y=-x2-2x+3上一动点（不与A,C重合），过点P作x轴平行线交直线AC于M点，求线段PM的最大值；大值：问题2：你能求出△PQH周长的最大值吗？的最大值；积的最大值；积的最大值；四直通中考：1.（2014 ·重庆中考A卷25题）如图，抛物线y= -x2 -2x+3的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点。
（1）求点A、B、C的坐标；（2）点M为线段AB上一点（点M不与点A、B重合），过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN ⊥X轴于点N，若点P在点Q 左边，当矩形PMNQ的周长最大时，求△AEM的面积；26．（8分）如图1，抛物线y＝﹣x2+x+与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C．将直线AC以点A为旋转中心，顺时针旋转90°，交y轴于点D，交拋物线于另一点E．直线AE的解析式为：y＝﹣x﹣（1）点F是第一象限内抛物线上一点，当△F AD的面积最大时，在线段AE上找一点G（不与点A、E 重合），使FG+GE的值最小，求出点G的坐标，并直接写出FG+GE的最小值；（2）如图2，将△ACD沿射线AE方向以每秒个单位的速度平移，记平移后的△ACD为△A′C′D′，平移时间为t秒，当△AC′E为等腰三角形时，求t的值．26．（8分）如图1，抛物线y＝﹣x2+x+与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C．将直线AC以点A为旋转中心，顺时针旋转90°，交y轴于点D，交拋物线于另一点E．直线AE 的解析式为：y＝﹣x﹣（1）点F是第一象限内抛物线上一点，当△F AD的面积最大时，在线段AE上找一点G（不与点A、E 重合），使FG+GE的值最小，求出点G的坐标，并直接写出FG+GE的最小值；（2）如图2，将△ACD沿射线AE方向以每秒个单位的速度平移，记平移后的△ACD为△A′C′D′，平移时间为t秒，当△AC′E为等腰三角形时，求t的值．【分析】（1）由S△F AD＝S△F AK﹣S△FDK＝求而出点F（，），而FG+GE＝FG+GP，过点F作EQ的垂线交AE于点G，此时FG+GE最小，即可求解；（2）分AC′＝EC′、AE＝EC′、AC′＝AE三种情况，求解即可．【解答】解：（1）过点F作FK⊥x轴于点H，交直线AE于点K（如下图），过点D作DM⊥FK于点M，令y＝﹣x﹣＝0，则点A（﹣1，0），设点F坐标为（x，﹣x2+x+），则点K（x，﹣x﹣），S△F AD＝S△F AK﹣S△FDK＝FK•AH﹣FK•DM＝FK（AH﹣DM）＝FK•AO＝（﹣x2+x++x+）×1＝﹣x2+x+，当x＝﹣＝时，S△F AD有最大值，此时点F（，），点G是线段AE上一点，作EQ⊥y轴于点Q，作GP⊥EQ于点P，则∠PEG＝30°，∴GP＝GE，∴FG+GE＝FG+GP，过点F作EQ的垂线交AE于点G，此时FG+GE最小，当x＝时，y＝﹣x﹣＝﹣，此时点G（，﹣），FG+GE最小值为：；（2）连接CC′，过点C′作C′F⊥y轴于点F，则C′C＝，CF＝CC′＝t，FC′＝CC′＝t，∴点C′（t，﹣t），由（1）知点E（4，﹣），∴AE2＝，AC′2＝t2+4，EC′2＝t2﹣t+，①当AC′＝EC′时，t2+4＝t2﹣t+，解得：t＝；②当AC′＝AE时，同理可得：t＝（舍去负值）；③当AE＝EC′时，同理可得：t＝5；故：t的值为或或5或5．。
二次函数中线段最值问题
二次函数中线段最值问题二次函数中的线段最值问题（一）例1：已知抛物线经过点A（-1，0）、B（3，0）、C（0，-3），顶点为M。
求抛物线的解析式和对称轴上使得PA+PC最小的点P的坐标。
解：（1）由已知点可列出三个方程：y=a(-1)^2+b(-1)+cy=a(3)^2+b(3)+c3=a(0)^2+b(0)+c化简后可得：y=x^2-2x-32）对称轴为x=1，因此P的横坐标为1.设P的纵坐标为y，则根据距离公式可得：PA+PC=sqrt[(1+1)^2+y^2]+sqrt[(1-0)^2+(y+3)^2]对其求导并令其为0，可得y=-1/2.因此P的坐标为（1，-1/2），PA+PC的最小值为3.练1：如图，直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线y=-x^2+2x+3经过点B、C，与x轴另一交点为A，顶点为D。
在x轴上找一点E，使得EC+ED的值最小，求EC+ED的最小值。
解：（1）由已知点可列出四个方程：y=a(-1)^2+b(-1)+cy=a(3)^2+b(3)+c0=a(1)^2+b(1)+cy=aD^2+bD+c化简后可得：y=-x^2+2x+32）对称轴为x=1，因此D的横坐标为1.设E的横坐标为x，则EC+ED=sqrt[x^2+(3-(-x+3))^2]+sqrt[(1-x)^2+D^2]。
对其求导并令其为0，可得x=1/2.因此E的坐标为（1/2，0），EC+ED的最小值为2sqrt(10)。
练2：如图，抛物线经过点A（-1，0）、B（1，0）、C （0，-3），顶点为D。
点M是对称轴上的一个动点，当△ACM的周长最小时，求点M的坐标。
解：（1）由已知点可列出三个方程：y=a(-1)^2+b(-1)+cy=a(1)^2+b(1)+c3=aD^2+bD+c化简后可得：y=x^2-2x-32）设M的横坐标为x，则△ACM的周长为AC+CM+MA=sqrt[(x+1)^2+9]+2sqrt[(x-D)^2+1]。
专题复习二次函数之线段问题
变式2：点P是抛物线对称轴 上的一个动点， 求PB-PC的最大值。
探究二：
设点Q是线段BC上方抛物线上的一动点， 作QD⊥x轴，交BC于点D，求线段DQ长度的最 大值．
变式：
接着上面问题，你能求出△BQC面积的最大 值吗 ？
小组合作
请再提出一个数学问题并能解答出来
跟踪练习
如图所示，已知点A（-1，0），B（3，0），C （0，t），且t＞0，tan∠BAC=3，抛物线经过A、 B、C三点，点P（2，m）是抛物线与直线l：
y=k（x+1）的一个交点． 必做（1）求抛物线和直线l的表达式;
（2）对于动点Q（1，n），求PQ+QB的最小 值和此时Q点的坐标； 选做
（3）若动点M在直线l上方的抛物线上运动， 求△AM课的收获！
学
不变应万变
研
数
学 ❖ 今天我们研究了什么?
知识点链接
一：线段长度的计算
1、分别求出数轴上两点间的距离： （1）表示数6的点与表示数2的点； （2）表示数2的点与表示数-5的点； （3）表示数-1的点与表示数-6的点． 请思考数轴上任意两点（A、B）间线段的长 度如何求？
2、推广到平面直角坐标系内，AB长度如何求？
二、常见线段最值问题 1、“将军饮马”模型PA+PB最小值问题
线 段
知
最
识
方 ❖ 我们得到了哪些成果?
值 问
法
题
， 取
❖ 在研究过程中有何体会?
， 展
其
其
精
学习梳理
本
髓
质
2、变式：当A、B位于直线l异侧时，求PA-PB 最大值问题
探究一（模型思想的应用）
如图，已知抛物线 与 轴交于点C，与 轴交于 A，B两点，点B的坐标为（3，0）。
二次函数 线段最值问题
题型七：线段最值问题【例9】如图，抛物线y=x2+bx﹣2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）判断△ABC的形状，证明你的结论；（3）点M（m，0）是x轴上的一个动点，当MC+MD的值最小时，求m的值．2.抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交与A（1，0），B（﹣3，0）两点，（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线与y轴交于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．4.如图，抛物线y＝x2+bx+c的对称轴是y轴，点D，P在抛物线上，A（0，2），D（0，1），PC⊥x轴于点C，CB∥AP，交x轴于点B．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P是抛物线上的动点，四边形ABCP是什么特殊的四边形？证明你的结论；（3）设点Q是x轴上一动点，当（2）中的四边形ABCP是正方形时，△DQP周长是否存在最小值，若存在，请直接写出△DQP周长最小时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【变式练习】1. 如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与y轴交于点A(0，3)，与x轴分别交于B(1，0)、C(5，0)两点．（1）求此抛物线的解析式；（2）若一个动点P自OA的中点M出发，先到达x轴上的某点（设为点E），再到达抛物线的对称轴上某点（设为点F），最后运动到点A．求使点P运动的总路径最短的点E、点F的坐标，并求出这个最短总路径的长．2. 如图13，抛物线y=ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点为（1,4）x轴于A、B，交y轴于D，其中B点的坐标为（3,0）（1）求抛物线的解析式（2）如图14，过点A的直线与抛物线交于点E，交y轴于点F，其中E点的横坐标为2，若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为PQ上一动点，则x轴上是否存在一点H，使D、G、F、H四点围成的四边形周长最小.若存在，求出这个最小值及G、H的坐标；若不存在，请说明理由.（3）如图15，抛物线上是否存在一点T，过点T作x的垂线，垂足为M，过点M作直线MN∥BD，交线段AD 于点N，连接MD，使△DNM∽△BMD，若存在，求出点T的坐标；若不存在，说明理由.1. 已知,如图11,二次函数223y ax ax a=+-(0)a≠图象的顶点为H,与x轴交于A、B两点(B在A点右侧),点H、B关于直线l:33y=对称.（1）求A、B两点坐标,并证明点A在直线l上;（2）求二次函数解析式;（3）过点B作直线BK∥AH交直线l于K点,M、N分别为直线AH和直线l上的两个动点,连接HN、OyxAB CNM、MK,求HN NM MK++和的最小值.2.如图．在直角坐标系中，已知点A(0．1．)，B(4-．4)．将点B绕点A顺时针方向旋转90°得到点C，顶点在坐标原点的抛物线经过点B．(1) 求抛物线的解析式和点C的坐标；(2) 抛物线上一动点P．设点P到x轴的距离为1d，点P到点A的距离为2d，试说明211d d=+；(3) 在(2)的条件下，请探究当点P位于何处时．△PAC的周长有最小值，并求出△PAC的周长的最小值。
二次函数—动点产生的线段最值问题典型例题
二次函数——动点产生的线段最值问题【例1】如图，在直角坐标系中，点A,B,C 的坐标分别为（-1，0），（3，0），（0，3），过A,B,C 三点的抛物线的对称轴为直线l ．（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；（2）点E 是抛物线的对称轴上的一个动点，求当AE+CE 最小时点E 的坐标；（3）点P 是x 轴上的一个动点，求当PD+PC 最小时点P 的坐标；（4）点Q 是抛物线的对称轴上的一个动点，当点Q 在什么位置时有QB QC-最大？并求出最大值．解：（1）设抛物线的解析式为：y=ax 2+bx+c ，∵抛物线经过A 、B 、C 三点， ∴09303a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得：123a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴抛物线的解析式为：y=-x 2+2x+3．∵y=-x 2+2x+3= 2(1)4x --+， ∴该抛物线的对称轴为直线x=1，顶点D 的坐标为（1，4）．（2）∵点A 关于抛物线的对称轴的对称点为B ，则AE=BE ，要使AE+CE 最小，即BE+CE 最小,则B 、E 、C 三点共线如图，连接BC 交抛物线的对称轴于点E ，解法一：设直线BC 的解析式为y=kx+n ，则303k n n +=⎧⎨=⎩,解得13k n =-⎧⎨=⎩∴3y x =-+．当x=1时，3132x -+=-+=，∴点E 的坐标为（1，2）解法二：设抛物线的对称轴交x 轴于点F ．∵E F ∥y 轴，∴∠BEF =∠BCO ，∠BFE =∠BOC∴△BFE ∽△BOC ∴BF EF BO CO=， ∴3133EF -=, ∴2EF = ∴点E 的坐标为（1，2）（3）作出点C 关于x 轴的对称点为C′，则C′（0，-3），OC′=3，如图，连接C′D 交x 轴于点P ，∵点C 关于x 轴的对称点为C′，则PC=P C′，F E要使PD+PC 最小，即PD+P C′最小,则D 、P 、C′三点共线设直线C′D 的解析式为y=kx+n ，则43k n n +=⎧⎨=-⎩,解得73k n =⎧⎨=⎩∴73y x =-．当y=0时，073x =-，∴37x =∴点P 的坐标为（37，0） （4）∵点A 关于抛物线的对称轴的对称点为B ，则QB=QA ， 要使QB QC -最大，即QA QC -最大,则A 、C 、Q 三点共线如图，连接AC 交抛物线的对称轴于点Q ，解法一：设直线AC 的解析式为y=kx+n ，则03k n n -+=⎧⎨=⎩,解得33k n =⎧⎨=⎩∴33y x =+．当x=1时，333136x +=⨯+=，∴点Q 的坐标为（1，6）解法二：设抛物线的对称轴交x 轴于点F ．∵QF ∥y 轴，∴∠ACO =∠AQF ，∠AOC =∠AFQ∴△AOC ∽△AFQ ∴AO CO AF QF=， ∴1311QF=+, ∴6QF = ∴点Q 的坐标为（1，6）∴QB QC QA QC AC -=-===即当点Q 的坐标为（1，6）时，QB QC-【作业1】（2011菏泽）如图，抛物线y=21x 2+bx ﹣2与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，且A （-1，0）． （1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；（2）判断△ABC 的形状，证明你的结论；（3）点M （m ，0）是x 轴上的一个动点，当MC+MD 的值最小时，求m 的值．解：（1）∵点A （﹣1，0）在抛物线y=21x 2+bx ﹣2上， ∴21×（﹣1 ）2+b×（﹣1）﹣2=0，解得b=-23 ∴抛物线的解析式为y=21x 2﹣23x ﹣2． QF -- C ′Py=21x 2﹣23x ﹣2=21（ x 2﹣3x ﹣4 ）=21（x ﹣23）2﹣825， ∴顶点D 的坐标为 （23，﹣825）． （2）当x=0时y=﹣2，∴C（0，﹣2），OC=2．当y=0时，21x 2﹣23x ﹣2=0，∴x 1=﹣1，x 2=4，∴B （4，0） ∴OA=1，OB=4，AB=5． ∵AB 2=25，AC 2=OA 2+OC 2=5，BC 2=OC 2+OB 2=20，∴AC 2+BC 2=AB 2．∴△ABC 是直角三角形．（3）作出点C 关于x 轴的对称点C′，则C′（0，2），OC′=2，连接C′D 交x 轴于点M ，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC+MD 的值最小．解法一：设抛物线的对称轴交x 轴于点E ．∵ED∥y 轴，∴∠OC′M=∠EDM，∠C′OM=∠DEM∴△C′OM∽△DEM． ∴ED C O EM OM '=，∴825223=-m m , ∴m=4124 解法二：设直线C′D 的解析式为y=kx+n ， 则⎪⎩⎪⎨⎧-=+=825232n k n ,解得n=2，1241-=k ∴21241+-=x y ． ∴当y=0时，-4124,4124,021241=∴==+m x x 【作业2】2011四川广安）如图所示，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 是直角梯形，BC ∥AD ，∠BAD ＝ 90°，BC 与y 轴相交于点M ，且M 是BC 的中点，A 、B 、D 三点的坐标分别是A （－1，0），B ( －1，2)，D ( 3，0)，连接DM ，并把线段DM 沿DA 方向平移到ON ，若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点D 、M 、N ．（1）求抛物线的解析式．（2）抛物线上是否存在点P ．使得PA ＝PC ．若存在，求出点P 的坐标；若不存在．请说明理由．（3）设抛物线与x 轴的另—个交点为E ．点Q 是抛物线的对称轴上的一个动点，当点Q 在什么位置时有QE QC -最大？并求出最大值．解：（1）由题意可得M （0，2），N （－3，2）， ∴ 2,293,093.c a b c a b c =⎧⎪=-+⎨⎪=++⎩ 解得：1,91,32.a b c ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩E∴211293y x x =--+（2）∵PA ＝PC ， ∴P 为AC 的垂直平分线上，依题意，AC 的垂直平分线经过（－1，2）、（1，0），其所在的直线为y ＝－x ＋1． 根据题意可列方程组21,11 2.93y x y x x =-+⎧⎪⎨=--+⎪⎩解得：1132x y ⎧=+⎪⎨=--⎪⎩2232x y ⎧=-⎪⎨=-+⎪⎩∴P 1（32+--）、P 2（32--+）．（3）如图所示，延长DC 交抛物线的对称轴于点Q ，根据题意可知此时点Q 满足条件．由题意可知C （1，2），D （3，0），可求得CD 所在的直线的解析式为3y x =-+． 抛物线211293y x x =--+的对称轴为直线 1.5x =-． ∵点Q 在直线x ＝－1.5上，又在直线3y x =-+上． ∴Q （－1 .5，4.5），QE ＝QD ． ∴QE QC QD QC CD -=-===．即当点Q 的坐标为（－1.5，4.5）时，QE QC -有最大值，最大值为。
二次函数求线段最值问题
二次函数求线段最值问题二次函数是高中数学的一个重要内容，本文将会详细介绍二次函数以及如何利用二次函数解决线段最值问题。
一、二次函数的基本概念1.二次函数的定义二次函数是指形式为y=ax^2+bx+c的函数，其中a、b、c为常数，且a不等于零。
其中，a决定了二次函数的开口方向（是向上开口还是向下开口），b决定了二次函数的对称轴，c是二次函数的纵坐标系原点和曲线的纵坐标的距离。
2.二次函数的图像根据二次函数的定义，我们可以画出二次函数的图像。
当a大于0时，二次函数开口向上；当a小于0时，二次函数开口向下。
b决定了二次函数的对称轴，对称轴的方程是x=-b/2a。
3.二次函数的最值针对二次函数，我们通常关心的是它的最值问题，也就是函数的峰值和谷值。
对于开口向上的二次函数，它的最小值处于对称轴上；对于开口向下的二次函数，它的最大值处于对称轴上。
二、利用二次函数求线段最值的步骤1.确定二次函数的表达式首先，我们需要明确给定线段的条件，确定二次函数的表达式。
例如，给定线段为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c是待确定的系数。
2.求二次函数的对称轴根据二次函数的定义，可以通过计算-b/2a来求得对称轴的横坐标。
3.求二次函数的最值通过求解对应二次函数的最值问题，可以得到线段的最值。
需要将对称轴的横坐标代入二次函数的表达式中，计算出最值对应的纵坐标。
三、例题解析下面通过一个具体的例题，来说明如何利用二次函数求解线段最值的问题。
例题：给定线段y=x^2-4x+5上的点M(-2, 13)，求线段上的最小值。
解析：根据题意，给定线段的二次函数表达式为y=x^2-4x+5。
1.求对称轴根据二次函数的定义，可以通过计算-b/2a来求得对称轴的横坐标。
本题中，a=1，b=-4，所以对称轴的横坐标为x=-(-4)/2*1=2。
2.求最小值线段的最小值处于对称轴上，对应的纵坐标可以通过将对称轴的横坐标代入二次函数的表达式中，计算出最小值对应的纵坐标。
二次函数中线段最值问题
二次函数中线段最值问题（一）例1.已知，抛物线y＝ax2+bx+c，过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，﹣3），M为顶点．（1）求抛物线的解析式；y＝x2﹣2x﹣3（2）在该抛物线的对称轴上找一点P，使得PA+PC的值最小，并求出P的坐标；练习1.如图，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点B、C，与x轴另一交点为A，顶点为D．（1）求抛物线的解析式；y＝﹣x2+2x+3，（2）在x轴上找一点E，使EC+ED的值最小，求EC+ED的最小值；练习2.如图，抛物线y＝x2+bx﹣3与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；y＝x2﹣2x﹣3，（2）点M是对称轴上的一个动点，当△ACM的周长最小时，求点M的坐标．例2.如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）经过点A（1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C．（1）求此抛物线的解析式；y＝x2﹣4x+3（2）若点T为对称轴直线x＝2上一点，则TC﹣TB的最大值为．练习3.在平面直角坐标系xOy中，把与x轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物线”．如图，抛物线L1：y＝x2﹣x﹣2的顶点为D，交x轴于点A、B（点A在点B左侧），交y轴于点C．抛物线L2与L1是“共根抛物线”，其顶点为P．（1）若抛物线L2经过点（2，﹣12），求L2对应的函数表达式；y＝＝2x2﹣6x﹣8．（2）当BP﹣CP的值最大时，求点P的坐标；例3.如图，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A，B两点，且OA＝2OB，与y轴交于点C，连接BC，抛物线对称轴为直线x＝，D为第一象限内抛物线上一动点，过点D作DE⊥OA于点E，与AC交于点F，设点D的横坐标为m．（1）求抛物线的表达式；y＝﹣x2+x+2；（2）当线段DF的长度最大时，求D点的坐标；练习4.如图，已知二次函数图象的顶点坐标为C（1，0），直线y＝x+m与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点的坐标为（3，4），B点在轴y上．（1）求m的值及这个二次函数的关系式；y＝x2﹣2x+1．（2）P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E点，设线段PE的长为h，点P的横坐标为x．①求h与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；②线段PE的长h是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此时的x值；若不存在，请说明理由？、练习5.如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于点A、C，与y轴交于点B，直线y＝x+3经过A、B两点．（1）求b、c的值．y＝﹣x2﹣x+3，（2）若点P是直线AB上方抛物线上的一动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线AB 于点D，求线段PD的最大值．练习6.如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象交x轴于点A（﹣3，0），B（1，0），交y轴于点C．点P（m，0）是x轴上的一动点，PM⊥x轴，交直线AC于点M，交抛物线于点N．（1）求这个二次函数的表达式；y＝x2+2x﹣3．（2）①若点P仅在线段AO上运动，如图，求线段MN的最大值；例4.如图，已知二次函数图象的顶点坐标为A（1，4），与坐标轴交于B、C、D三点，且B 点的坐标为（﹣1，0）．（1）求二次函数的解析式；（y＝﹣x2+2x+3）（2）在二次函数图象位于x轴上方部分有两个动点M、N，且点N在点M的左侧，过M、N作x轴的垂线交x轴于点G、H两点，当四边形MNHG为矩形时，求该矩形周长的最大值；练习7.如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣5，0）和点B（1，0）．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）点P是抛物线上A、D之间的一点，过点P作PE⊥x轴于点E，PG⊥y轴，交抛物线于点G，过点G作GF⊥x轴于点F，当矩形PEFG的周长最大时，求点P的横坐标；例5.如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为（﹣1，0），且OA＝OC＝4OB，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）图象经过A，B，C三点．（1）求A，C两点的坐标；（2）求抛物线的解析式；y＝x2﹣3x﹣4；（3）若点P是直线AC下方的抛物线上的一个动点，作PD⊥AC于点D，当PD的值最大时，求此时点P的坐标及PD的最大值．练习8.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A，点B，与y 轴交于点C，其中A（﹣4，0），B（2，0），C（0，﹣4）．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点P为直线AC下方抛物线上一点，PD⊥AC，当线段PD的长度最大时，求点P 的坐标；。
二次函数中线段周长最值及定值问题(八大题型)学生版
二次函数中线段周长最值及定值问题(八大题型)通用的解题思路：一、二次函数中的线段最值问题有三种形式:1.平行于坐标轴的线段的最值问题:常通过线段两端点的坐标差表示线段长的函数关系式,运用二次函数性质求解，求最值时应注意:①当线段平行于y轴时,用上端点的纵坐标减去下端点的纵坐标;②当线段平行于x轴时,用右端点的横坐标减去左端点的横坐标.在确定最值时,函数自变量的取值范围应确定正确。
2.两条线段和的最值问题:解决这类问题最基本的定理就是“两点之间线段最短”,解决这类问题的方法是:作其中一个定点关于已知直线的对称点,连接对称点与另一个定点,它们与已知直线的交点即为所求的点,其变形问题有三角形周长最小或四边形周长最小等.【常见模型一】(两点在河的异侧)：在直线L上找一点M，使PA+PB的值最小.方法：如右图，连接AB，与直线L交于点M,在M处渡河距离最短，最短距离为线段AB的长。
【常见模型二】(两点在河的同侧)：在直线L上找一点M，使PA+PB的值最小.方法：如右图，作点B关于直线L的对称点B'，连接AB',与直线L的交点即为所求的渡河点，最短距离为线段AB'的长。
3. 两条线段差的最值问题：解决这类问题最基本的定理就是“三角形任何两边之差小于第三边”，解决这类问题的方法是：求解时,先根据原理确定线段差取最值时的图形,再根据已知条件求解。
【常见模型一】(两点在同侧)：在直线L上求一点P,求|PA-PB|的最大值方法：如右图，延长射线AB，与直线L交于点P，|PA-PB|最大值为AB【常见模型二】(两点在异侧)：在直线L上求一点P,求|PA-PB|的最大值。
方法：如右图，作点B关于直线L的对称点B'，延长射线AB'，与直线L交于点P，|PA-PB|最大值为AB'二、二次函数中的定值问题一般来说，二次函数求解几何线段代数式定值问题属于定量问题，方法采用:1.参数计算法:即在图形运动中，选取其中的变量(如线段长，点坐标)作为参数,将要求的定值用参数表示出，然后消去参数即得定值。
二次函数线段最值问题二师兄解答
二次函数线段最值问题二师兄解答（实用版）目录1.二次函数线段最值问题的基本概念2.二次函数线段最值问题的求解方法3.二次函数线段最值问题的实际应用正文一、二次函数线段最值问题的基本概念二次函数线段最值问题是指在给定的二次函数中，求解某一区间内函数的最大值或最小值。
这类问题在数学和实际生活中都有广泛的应用，如在物理学、经济学、工程学等领域。
为了更好地理解和解决这类问题，我们需要对二次函数的性质有一定的了解。
二次函数的函数图像通常是一个开口朝上或开口朝下的抛物线。
对于二次函数 f(x)=ax^2+bx+c（a≠0），其最值的求解可以通过求导数的方法得到。
然而，在实际问题中，我们通常需要求解线段上的最值，这就需要利用一些特殊的方法。
二、二次函数线段最值问题的求解方法求解二次函数线段最值问题的方法主要有以下两种：1.区间套定理区间套定理是指，如果一个函数在一个区间 [a, b] 的两个端点的函数值异号，那么在这个区间内一定存在一个点 c，使得函数在这个点取得最值。
对于二次函数 f(x)=ax^2+bx+c（a≠0），我们可以通过求解 f(a) 和f(b) 的符号，确定最值点 c 所在的区间，然后通过求导数或代入法求解最值。
2.函数图像法函数图像法是指通过观察函数图像，直观地判断函数在某一区间内的最值。
对于二次函数 f(x)=ax^2+bx+c（a≠0），我们可以通过观察抛物线的开口方向、顶点坐标等特征，来判断函数在给定区间内的最值。
三、二次函数线段最值问题的实际应用二次函数线段最值问题在实际生活中的应用非常广泛，下面举一个简单的例子：假设一个物体在重力作用下从高处落下，其运动符合二次函数模型：h(t)=-16t^2+8t+1（其中 h 表示物体的高度，t 表示时间，单位均为国际单位制中的基本单位）。
问题：物体在 0~4 秒内落的最远距离是多少？解：首先，根据函数的性质，可知物体落地时的高度为 1。
然后，求解 h(t) 在 [0, 4] 区间的最大值。
二次函数线段最值问题
二次函数线段最值问题二次函数线段最值问题是高中数学中经常出现的一个问题。
在实际生活中，许多问题都可以通过二次函数线段最值问题来解决。
本文将从以下几个方面来探讨这个问题：二次函数线段的定义、最值问题的解法、实际应用、注意事项等。
一、二次函数线段的定义二次函数线段是指一条由二次函数所描述的直线。
一般来说，它的函数公式为：y = ax² + bx + c，其中a、b和c均为常数。
其中，a控制二次函数的“开口向上”或“开口向下”，b控制二次函数图像的位置，c为常数项。
当a>0时，函数图像开口向上，当a<0时，函数图像开口向下。
二、最值问题的解法求解二次函数线段最值的问题，需要先找到函数图像的顶点。
顶点是函数图像的最高点或最低点。
根据函数的定义，可以求得顶点的坐标为：x = -b / 2ay = f(x) = -Δ / 4a + c其中Δ = b² - 4ac为判别式。
当a>0时，函数的最小值为y = f(x)，当a<0时，函数的最大值为y = f(x)。
三、实际应用二次函数线段最值问题在许多实际问题中都有广泛应用。
例如，在生产生活中，我们需要计算能够取得最大利润的销售数量；在物理学、化学等领域，也需要求出最高或最低点的数值。
此外，对于空间中的曲面图像，也可以利用二次函数线段最值问题来求出曲面的极值点。
四、注意事项在解题过程中，需要注意以下几点：1. 判别式Δ要大于等于0，否则函数没有最值。
2. 当a = 0时，不是二次函数，也不存在最值问题。
3. 在应用中，需要理解题目中的具体含义，才能正确求解最值问题。
总之，二次函数线段最值问题是高中数学中的重要内容，应当掌握。
通过理解其定义、解法以及实际应用，我们可以更好地理解和应用二次函数线段的相关知识，更好地完成数学学习。
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次函数线段最值问题
—几何类
“最短距离”经典问题汇总
一、 “两点之间线段最短”.
【基本问题】在直线I 上找一点P ，使得其到直线异侧两点A 、B 的距离之和最小，如图所示•作点 A （或B ）关于直线I 的对称点，再连接另一点与对称点，与I 的交点即为P 点.
【变式1】直线爪I 2交于O ，P 是两直线间的一点，在直线11、12上分别找一点 A 、B ，使得PAB 的周长最短•如图所示，作P 点关于h 、J 的对称点P 、P 2，连 接PP ，与h 、J 分别交于A 、B 两点，即为所求.
【变式2】直线l i 、I 2交于O ，A 、B 是两直线间的两点，从点A 出发，先到I i 上 一点P ，再从P 点到I 2上一点Q ，再回至U B 点，求作P 、Q 两点，使AP PQ QB 最小•如图所示，作A 、B 两点分别关于直线h 、I 2的对称点A 、B ：连接AB 分 别交I i 、12于P 、Q ，即为所求.
【变式3】从A 点出发，先到直线I 上的一点P ，再在I 上移动一段固定的距离PQ ，再回到点B ， 求作P 点使移动的距离最短， 轴交于点C,顶点为D. E （1, 2）为线段BC 的中点，BC 的垂直平分线与x 轴、y 轴分别 交于F 、G.
在直线EF 上求一点H ,使A CDH 的周长最小，并求出最小周长； 【探究2】已知在平面直角坐标xOy 系抛物线y x 2 2x 3与x 轴交于
A 、
B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点
C 。
若一个动点 P 自点C 出发，先到达x 轴上某点（设为点E ），再到达抛物线 的对称轴上某点（设为点F ），最后运动到点C .求使点P 运动 的总路径最短的点E 、点F 的坐标，并求出这个最短总路径的长.
【探究3】 已知在平面直角坐标xOy 系抛物线y x 2 2x 3与x 轴
交于A B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ,在 线段
BC 上是否存在一点P ，使得B 、C 两点到直线AP 的距 离之和最
大？若存在，请求出P 点的坐标；若不存在，请说 明理由。
【探究4】已知在平面直角坐标xOy 系抛物线y x 2 2x 3与x 轴交于A B 两点
（点A 在点B 的左 侧），与y 轴交于点C 。
若一个动点P 自OC
的中点M 出发，先到达x 轴上某点（设为点E ）， 再到达抛物线
的对称轴上某点（设为点 F ），最后运动到点C .求使点P 运动
的总路径最 短的点E 、点F 的坐标，并求出这个最短总路径的
如图所示•先将A 点向右平移到A ，点，使AA 等于PQ 的长，作点B 关 于I 的对称点B ，,连接AB ,与直线I 的交点即为Q 点，将Q 点向左平移线段PQ 的长，即得到P 点.
【变式4】下面这个题与对称无关，但涉及到了平移的内容，与【变式 4】的作 法有点类似，因此放在这里，共享一下.
A 、
B 是位于河两岸的两个村庄，要在这条宽度为d 的河上垂直建一座桥，使得从 A 村庄经过桥到B 村庄
所走的路程最短.如图所示，将点 A 向垂直于河岸的方向 向下平移距离d ，到A ，点，连接AB 交河岸于Q 点，过Q 点作PQ 垂直于河岸，交 河岸的另一端为P ，即为所求.
【变式5】在直线I 上找一点P ，使得其到直线异侧两点 A 、B 的距离之差的绝对 值最大，如图所示.作点A 交点即为P 点.
二、 “垂线段最短”. 例题探究： 【探究1】 如图，抛物线y
（或B ） 关于直线I 的对称点，再连接另一点与对称点, 'P A'
d
Q 卄 B 其延长线与I 的 x 4与x 轴的两个交点分别为 A （-4, 0）、B （2, 0），与y
2 F O B x
长.
【探究5】如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y ?x 6与x轴、y轴的交点分别为A、B，将OBA 4对折，使点O的对应点H落在直线AB上，折痕交x轴于点C .设过A、B、C三点的抛物线y 1x2
6的对称轴与直线BC的交点为T，Q为线段BT上一点，请求出QA QO的
取值范围. ％
【探究6】在平面直角坐标系xOy中，抛物线y x2 6x 8 6
经过A （2，0）、B （4, 0）两点，直线y J 2 ‘
2 』
交y轴于点C,且过点D（8,m）.将抛物线和
y x 6x 8左右平移，记平移后点A的对应点为2.
A'，点B的对应点为B'，当四边形A'B'DC的周长■
最小时，求抛物线的解析式及此时四边形A'B'DC 一… ........ .. .............. ...
周长的最小值.
【探究7】已知：抛物线y x2 2x 3与x轴交于A、B
两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C ,顶_[2|-
点为D.直线I过点C,且I // x轴,E为I上一个动点，EF 1
丄x轴于F.求使DE+EF+B的和为最小值的E、F两■ ----
点的坐标，并直接写出DE+EF+B的最小值. .1.。