2020版数学高考专题突破 (67)
2024年高考数学新增高频考点(解析版)
(多拿20分)2024年高考数学新增高频考点专题突破新增高频考点1：复数的三角表示新增高频考点2：三角函数的积化和差公式新增高频考点3：三角函数的和差化积公式新增高频考点4：投影向量新增高频考点5：百分位数新增高频考点6：点、线、面距离公式新增高频考点7：条件概率新增高频考点8：全概率公式新增高频考点9：贝叶斯公式新增高频考点10：二项分布中的最大项2023年高考数学新增高频考点专题突破一．复数的三角表示(共5小题)1已知复数z 1=2cos π12+i sin π12 ，z 2=3cos π6+i sin π6，则z 1z 2的代数形式是()A.6cosπ4+i sin π4B.6cos π12+i sin π12 C.3-3i D.3+3i2若复数z =r (cos θ+i sin θ)(r >0，θ∈R )，则把这种形式叫做复数z 的三角形式，其中r 为复数z 的模，θ为复数z 的辐角，则复数z =32+12i 的三角形式正确的是()A.cos π6+i sinπ6 B.sin π6+i cos π6 C.cos π3+i sin π3 D.sin π3+i cos π33已知复数z =cos θ+i sin θ(i 为虚数单位)，则()A.|z |=2B.z 2=1C.z ⋅z =1D.z +1z为纯虚数4复数z =cos -2π5+i sin -2π5 的辐角主值为()A.8π5B.-8π5C.2π5D.-2π55任何一个复数z =a +bi (其中a ，b ∈R ，i 为虚数单位)都可以表示成z =r (cos θ+i sin θ)(其中r ≥0，θ∈R )的形式，通常称之为复数z 的三角形式，法国数学家棣莫弗发现：[r (cos θ+i sin θ)]n =r n (cos nθ+i sin nθ)(n ∈N *)，我们称这个结论为棣莫弗定理．由棣莫弗定理可知，若复数cos π8+i sin π8 m (m ∈N *)为纯虚数，则正整数m 的最小值为()A.2B.4C.6D.8二．三角函数的积化和差公式(共5小题)6设直角三角形中两锐角为A 和B ，则cos A cos B 的取值范围是()A.0，12B.(0，1)C.12，1 D.34，17利用积化和差公式化简sin αsin π2-β 的结果为()A.-12[cos (α+β)-cos (α-β)]B.12[cos (α+β)+cos (α-β)]C.12[sin (α+β)-sin (α-β)]D.12[sin (α+β)+sin (α-β)]8已知cos α+cos β=12，则cos α+β2cos α-β2的值为．9已知sin (α+β)•sin (β-α)=m ，则cos 2α-cos 2β的值为．10已知α，β为锐角，且α-β=π6，那么sin αsin β的取值范围是．三．三角函数的和差化积公式(共5小题)11对任意的实数α、β，下列等式恒成立的是()A.2sin α•cos β=sin (α+β)+sin (α-β)B.2cos α•sin β=sin (α+β)+cos (α-β)C.cos α+cos β=2sin α+β2⋅sin α-β2D.cos α-cos β=2cos α+β2⋅cosα-β212在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，设a +c =2b ，则tan A2•tan C 2的值为(参考公式：sin A +sin C =2sin A +C 2cos A -C2)()A.2B.12C.3D.1313已知sin α+sin β=2165，cos α+cos β=2765，则sin β-sin αcos β-cos α=．14已知sin α+sin β=14，cos α+cos β=13，则tan (α+β)的值为．15在△ABC 中a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，若cos B +cos C =sin B +sin C ，则△ABC 为三角形．四．投影向量(共5小题)16已知两个单位向量a 和b 的夹角为120°，则向量a -b在向量b 上的投影向量为()A.-12aB.-12bC.32bD.-32b17已知平面向量a =(-2，λ)，b =(1，1)，且a ⊥b ，则a -b 在b方向上的投影向量的坐标为()A.(1，1)B.(1，-1)C.(-1，1)D.(-1，-1)18在正△ABC 中，向量AB 在CA上的投影向量为()A.12CAB.-12CAC.32CAD.-32CA19设a ，b 是两个单位向量，若a +b 在b 上的投影向量为23b，则cos ‹a ，b ›=()A.-13B.13C.-223D.22320已知|a |=2|b |，若a 与b的夹角为120°，则2b -a 在a 上的投影向量为()A.3-3aB.-32aC.-12aD.3a五．百分位数(共5小题)21学校组织班级知识竞赛，某班的8名学生的成绩(单位：分)分别是：68、63、77、76、82、88、92、93，则这8名学生成绩的75%分位数是．22为了进一步学习贯彻党的二十大精神，推进科普宣传教育，激发学生的学习热情，营造良好的学习氛围，不断提高学生对科学、法律、健康等知识的了解，某学校组织高一10个班级的学生开展“红色百年路•科普万里行”知识竞赛．统计发现，10个班级的平均成绩恰好成等差数列，最低平均成绩为70，公差为2，则这10个班级的平均成绩的第40百分位数为()A.76B.77C.78D.8023某工厂随机抽取20名工人，对他们某天生产的产品件数进行统计，数据如表，则该组数据的第75百分位数是()件数7891011人数37541A.8.5B.9C.9.5D.1024某校1000名学生参加数学竞赛，随机抽取了20名学生的考试成绩(单位：分)，成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是()A.频率分布直方图中a 的值为0.012B.估计这20名学生数学考试成绩的第60百分位数为80C.估计这20名学生数学考试成绩的众数为80D.估计总体中成绩落在[50，60)内的学生人数为11025某个品种的小麦麦穗长度(单位：cm )的样本数据如下：10.2、9.7、10.8、9.1、8.9、8.6、9.8、9.6、9.9、11.2、10.6、11.7，则这组数据的第80百分位数为．六．点、线、面间的距离(共3小题)26如图，在多面体ABCDE 中，平面ABCD ⊥平面ABE ，AD ⊥AB ，AD ∥BC ，∠BAE =π2，AB =AD =AE =2BC =2，F 是AE 的中点．(1)证明：BF ∥面CDE ；(2)求点F 到平面CDE 的距离．27如图多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是菱形，∠ABC =60°，EA ⊥平面ABCD ，EA ∥BF ，AB =AE =2BF =2．(1)证明：CF ∥平面ADE ；(2)在棱EC 上有一点M (不包括端点)，使得平面MBD 与平面BCF 的夹角余弦值为155，求点M 到平面BCF 的距离．28如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA =AB =2，E 为线段PB 的中点，F 为线段BC 上的动点．(1)证明：平面AEF ⊥平面PBC ；(2)若直线AF 与平面PAB 所成的角的余弦值为255，求点P 到平面AEF 的距离．七．条件概率(共8小题)29已知事件A 、B 满足P (A |B )=0.7，P (A)=0.3，则()A.P (A ∩B )=0.3B.P (B |A )=0.3C.事件A ，B 相互独立D.事件A ，B 互斥30已知P (A )=13，P (B |A )=23，P (B |A )=14，则P (B )=，P (A|B )=．31研究人员开展甲、乙两种药物的临床抗药性研究实验，事件A 为“对药物甲产生抗药性”，事件B 为“对药物乙产生抗药性”，事件C 为“对甲、乙两种药物均不产生抗药性”．若P (A )=415，P (B )=215，P (C )=710，则P (B |A )=．32已知某地市场上供应的一种电子产品中，甲厂产品占80%，乙厂产品占20%，甲厂产品的合格率是75%，乙厂产品的合格率是80%，则从该地市场上买到一个合格产品的概率是()A.0.75B.0.8C.0.76D.0.9533为丰富学生的课外活动，学校羽毛球社团举行羽毛球团体赛，赛制采取5局3胜制，每局都是单打模式，每队有5名队员，比赛中每个队员至多上场一次且上场顺序是随机的，每局比赛结果互不影响，经过小组赛后，最终甲乙两队进入最后的决赛，根据前期比赛的数据统计，甲队明星队员M对乙队的每名队员的胜率均为34，甲队其余4名队员对乙队每名队员的胜率均为12．(注：比赛结果没有平局)(Ⅰ)求甲队明星队员M在前四局比赛中不出场的前提下，甲乙两队比赛4局，甲队最终获胜的概率；(Ⅱ)求甲乙两队比赛3局，甲队获得最终胜利的概率；(Ⅲ)若已知甲乙两队比赛3局，甲队获得最终胜利，求甲队明星队员M上场的概率．34某地病毒暴发，全省支援，需要从我市某医院某科室的4名男医生(含一名主任医师)、5名女医生(含一名主任医师)中分别选派3名男医生和2名女医生，则在有一名主任医师被选派的条件下，两名主任医师都被选派的概率为()A.38B.310C.611D.61735人工智能是研究用于模拟和延伸人类智能的技术科学，被认为是21世纪最重要的尖端科技之一，其理论和技术正在日益成熟，应用领域也在不断扩大．人工智能背后的一个基本原理：首先确定先验概率，然后通过计算得到后验概率，使先验概率得到修正和校对，再根据后验概率做出推理和决策．基于这一基本原理，我们可以设计如下试验模型；有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球乙袋中有2个红球和8个白球．从这两个袋子中选择一个袋子，再从该袋子中等可能摸出一个球，称为一次试验．若多次试验直到摸出红球，则试验结束．假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为12(先验概率)．(1)求首次试验结束的概率；(2)在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率(先验概率)进行调整．①求选到的袋子为甲袋的概率，②将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有如下两种方案：方案一，从原来袋子中摸球；方案二，从另外一个袋子中摸球．请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大．36某企业使用新技术对某款芯片进行试生产．在试产初期，该款芯片的生产有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道是检测评估工序，包括智能自动检测与人工抽检．已知该款芯片在生产中，前三道工序的次品率分别为P 1=110，P 2=19，P 3=18．(1)求该款芯片生产在进入第四道工序前的次品率；(2)如果第四道工序中智能自动检测为次品的芯片会被自动淘汰，合格的芯片进入流水线并由工人进行人工抽查检验．在芯片智能自动检测显示合格率为90%的条件下，求工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个芯片恰为合格品的概率．八．全概率公式(共2小题)37某铅笔工厂有甲、乙两条生产线，甲生产线的产品次品率为10%，乙生产线的产品次品率为5%．现在某客户在该厂定制生产同一种铅笔产品，由甲、乙两条生产线同时生产，且甲生产线的产量是乙生产线产量的1.5倍．现在从这种铅笔产品中任取一件，则取到合格产品的概率为()A.0.92B.0.08C.0.54D.0.3838假设有两箱零件，第一箱内装有10件，其中有2件次品；第二箱内装有20件，其中有3件次品，现从两箱中随意挑选一箱，然后从该箱中随机取1个零件，则取出的零件是次品的概率为()A.18B.320C.740D.15九．贝叶斯公式(共2小题)39对正在横行全球的“新冠病毒”，某科研团队研发了一款新药用于治疗，为检验药效，该团队从“新冠”感染者中随机抽取若干名患者，检测发现其中感染了“普通型毒株”、“奥密克戎型毒株”、“其他型毒株”的人数占比为5：3：2．对他们进行治疗后，统计出该药对“普通型毒株”、“奥密克戎毒株”、“其他型毒株”的有效率分别为78%、60%、75%，那么你预估这款新药对“新冠病毒”的总体有效率是；若已知这款新药对“新冠病毒”有效，求该药对“奥密克戎毒株”的有效率是．40英国数学家贝叶斯(1701-1763)在概率论研究方面成就显著，创立了贝叶斯统计理论，对于统计决策函数、统计推断等做出了重要贡献．根据贝叶斯统计理论，事件A ，B ，A(A 的对立事件)存在如下关系：P (B )=P (B |A )•P (A )+P (B |A )•P (A)．若某地区一种疾病的患病率是0.01，现有一种试剂可以检验被检者是否患病．已知该试剂的准确率为99%，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有99%的可能呈现阳性；该试剂的误报率为10%，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有10%的可能会误报阳性．现随机抽取该地区的一个被检验者，用该试剂来检验，结果呈现阳性的概率为()A.0.01B.0.0099C.0.1089D.0.1十．二项分布中的最大项(共3小题)41若X ~B 100，13 ，则当k =0，1，2，⋯，100时()A.P (X =k )≤P (X =50)B.P (X =k )≤P (X =32)C.P (X =k )≤P (X =33)D.P (X =k )≤P (X =49)42已知随变量从二项分布B 1001，12，则()（多选）A.P (X =k )=C k100112 1001 B.P (X ≤301)=P (X ≥701)C.P (X >E (X ))>12D.P (X =k )最大时k =500或50143经检测有一批产品合格率为75%，现从这批产品中任取5件，设取得合格产品的件数为ξ，则P (ξ=k )取得最大值时k 的值为．(多拿20分)2023年高考新增高频考点专题突破新增高频考点1：复数的三角表示新增高频考点2：三角函数的积化和差公式新增高频考点3：三角函数的和差化积公式新增高频考点4：投影向量新增高频考点5：百分位数新增高频考点6：点、线、面距离公式新增高频考点7：条件概率新增高频考点8：全概率公式新增高频考点9：贝叶斯公式新增高频考点10：二项分布中的最大项参考答案与试题解析一．复数的三角表示(共5小题)已知复数z 1=2cos π12+i sin π12 ，z 2=3cos π6+i sin π6 ，则z 1z 2的代数形式是()+i sin π4B.6cos π12+i sin π12 D.3+3i【解析】：∵z 1=2cosπ12+i sin π12 ，z 2=3cos π6+i sin π6 ，∴z 1z 2=6cos π12+i sin π12 cos π6+i sin π6=6cos π12cos π6-sin π12sin π6 +cos π12sin π6+sin π12cos π6 i=6cos π12+π6 +i sin π12+π6=6cos π4+i sin π4 =622+22i=3+3i ，故选：D ．z =r (cos θ+i sin θ)(r >0，θ∈R )，则把这种形式叫做复数z 的三角形式，其中r 为复数z 的模，θ为复数z 的辐角，则复数z =32+12i 的三角形式正确的是()A.cos π6+i sinπ6 B.sin π6+i cos π6 C.cos π3+i sin π3 D.sin π3+i cos π3【解析】：z =32+12i 的模为1，辐角为π6，则复数z =32+12i 的三角形式为cos π6+i sin π6．故选：A ．z =cos θ+i sin θ(i 为虚数单位)，则()A.|z |=2B.z 2=1C.z ⋅z =1D.z +1z为纯虚数【解析】：对于A ，|z |=cos 2θ+sin 2θ=1，故A 错误，对于B ，z 2=(cos θ+i sin θ)2=cos 2θ+2sin θcos θi +i 2sin 2θ=cos 2θ-sin 2θ+2cos θsin θi ，故B 错误，对于C ，z ⋅z=(cos θ+i sin θ)(cos θ-i sin θ)=cos 2θ+sin 2θ=1，故C 正确，对于D ，z +1z =cos θ+i sin θ+1cos θ+i sin θ=cos θ+i sin θ+cos θ-i sin θ(cos θ+i sin θ)(cos θ-i sin θ)=2cos θ，故D 错误．故选：C ．=cos -2π5 +i sin -2π5的辐角主值为()B.-8π5C.2π5D.-2π5=cos -2π5 +i sin -2π5 ，∴复数z 的辐角为2k π-2π5，k ∈Z ，∴复数z 的辐角主值为2π-2π5=8π5．5任何一个复数z =a +bi (其中a ，b ∈R ，i 为虚数单位)都可以表示成z =r (cos θ+i sin θ)(其中r ≥0，θ∈R )的形式，通常称之为复数z 的三角形式，法国数学家棣莫弗发现：[r (cos θ+i sin θ)]n =r n (cos nθ+i sin nθ)(n ∈N *)，我们称这个结论为棣莫弗定理．由棣莫弗定理可知，若复数cos π8+i sin π8m(m ∈N *)为纯虚数，则正整数m 的最小值为()A.2B.4C.6D.8【解析】：∵复数cosπ8+i sin π8 m =cos m π8+i sin m π8为纯虚数，∴cos m π8=0，sin m π8≠0，∴m π8=k π+π2，k ∈Z ，根据m ∈N *，可得正整数m 的最小值为4，此时，k =0，故选：B ．二．三角函数的积化和差公式(共5小题)6设直角三角形中两锐角为A 和B ，则cos A cos B 的取值范围是()A.0，12B.(0，1)C.12，1 D.34，1【解析】：直角三角形中两锐角为A 和B ，A +B =C =π2，则cos A cos B =12[cos (A -B )+cos (A +B )]=12cos (A -B )，再结合A -B ∈-π2，π2，可得cos (A -B )∈(0，1]，∴12cos (A -B )∈0，12 ，故选：A ．7利用积化和差公式化简sin αsin π2-β的结果为()A.-12[cos (α+β)-cos (α-β)] B.12[cos (α+β)+cos (α-β)]C.12[sin (α+β)-sin (α-β)]D.12[sin (α+β)+sin (α-β)]【解析】：sin αsin π2-β =sin αcos β=12[sin (α+β)+sin (α-β)]故选：D ．8已知cos α+cos β=12，则cos α+β2cos α-β2的值为 14 ．【解析】：∵cos α+cos β=12，∴cos α+β2cos α-β2=12cos α+β2-α-β2 +cos α+β2+α-β2 =12(cos α+cos β)=12×12=14．故答案为：14．9已知sin (α+β)•sin (β-α)=m ，则cos 2α-cos 2β的值为 m ．【解析】：由已知得：sin (α+β)•sin (β-α)=cos2α-cos2β2=(2cos 2α-1)-(2cos 2β-1)2=cos 2α-cos 2β=m10已知α，β为锐角，且α-β=π6，那么sinαsinβ的取值范围是 0，32 ．【解析】：∵α-β=π6∴sinαsinβ=-12[cos(α+β)-cos(α-β)]=-12cos(α+β)-32=-12cos2β+π6-32∵β为锐角，即0<β<π3∴π6<2β+π6<5π6，∴-32<cos2β+π6<32∴0<-12cos2β+π6-32<32故答案为：0，3 2三．三角函数的和差化积公式(共5小题)11对任意的实数α、β，下列等式恒成立的是()A.2sinα•cosβ=sin(α+β)+sin(α-β)B.2cosα•sinβ=sin(α+β)+cos(α-β)C.cosα+cosβ=2sinα+β2⋅sinα-β2D.cosα-cosβ=2cosα+β2⋅cosα-β2【解析】：sin(α+β)+sin(α-β)=sinαcosβ+cosαsinβ+sinαcosβ-cosαsinβ=2sinαcosβ，故选：A．12在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，设a+c=2b，则tan A2•tan C2的值为(参考公式：sin A+sin C=2sin A+C2cos A-C2)()A.2B.12C.3 D.13【解析】：∵a+c=2b，∴由正弦定理得sin A+sin C=2sin B=2sin(A+C)，即2sin A+C2cos A-C2=4sin A+C2cos A+C2，在三角形中sin A+C2≠0，∴cos A-C2=cos A+C2，即cosαA2cos C2+sin A2sin C2=2cos A2cos C2-2sin A2sin C2，即3sin A2sin C2=cos A2cos C2，即sin A2sin C2cos A2cos C2=13，即tan A2•tan C2=13，故选：D．13已知sinα+sinβ=2165，cosα+cosβ=2765，则sinβ-sinαcosβ-cosα= -97 ．【解析】：sin α+sin β=2165，可得2sin α+β2cos α-β2=2165⋯①cos α+cos β=2765，2cos α+β2cos α-β2=2765⋯②．①②可得sin α+β2cosα+β2=2127=79．sin β-sin αcos β-cos α=-2cos α+β2sin α-β22sin α+β2sin α-β2=-cos α+β2sinα+β2=-97．故答案为：-97．14已知sin α+sin β=14，cos α+cos β=13，则tan (α+β)的值为 247 ．【解析】：由sin α+sin β=14，得2sinα+β2cos α-β2=14，由cos α+cos β=13，得2cos α+β2cos α-β2=13，两式相除，得tanα+β2=34，则tan (α+β)=2tan α+β21-tan 2α+β2=2×341-34 2=247故答案为：24715在△ABC 中a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，若cos B +cos C =sin B +sin C ，则△ABC 为直角三角形．【解析】：由cos B +cos C =sin B +sin C 得到2cosB +C 2cos B -C 2=2sin B +C 2cos B -C2两边同除以2cos B -C 2得sin B +C 2=cos B +C 2即tan B +C2=1，由0<B <π，0<C <π，得到B +C 2∈(0，π)，所以B +C 2=π4即B +C =π2，所以A =π2，则△ABC 为直角三角形．故答案为：直角四．投影向量(共5小题)16已知两个单位向量a 和b 的夹角为120°，则向量a -b在向量b 上的投影向量为()A.-12aB.-12bC.32bD.-32b【解析】：因为两个单位向量a 和b的夹角为120°，所以a ⋅b =|a |⋅|b |cos120°=1×1×-12=-12，所以(a -b )⋅b =a ⋅b -b 2=-12-1=-32，故所求投影向量为(a-b )⋅b |b |⋅b =-32b．故选：D ．17已知平面向量a =(-2，λ)，b =(1，1)，且a ⊥b ，则a -b 在b方向上的投影向量的坐标为()A.(1，1)B.(1，-1)C.(-1，1)D.(-1，-1)【解析】：已知a =(-2，λ)，b =(1，1)，由于a ⊥b ，所以a ⋅b=(-2)×1+λ×1=0，解得λ=2，所以a =(-2，2)，b =(1，1)，得a -b=(-3，1)，则(a -b )⋅b=(-3)×1+1×1=-2，|b |=12+12=2，故a -b 在b 方向上的投影为(a -b )⋅b|b |=-22=-2，得a -b 在b方向上的投影向量为-2⋅b 2=(-1，-1)．故选：D ．18在正△ABC 中，向量AB 在CA上的投影向量为()A.12CA B.-12CA C.32CA D.-32CA【解析】：AB 与CA 的夹角为2π3，则cos ‹AB ，CA ›=-12，根据投影向量的定义有：AB 在CA 上的投影向量为|AB |⋅cos ‹AB ，CA ›⋅CA|CA |=-12CA ．故选：B ．19设a ，b 是两个单位向量，若a +b 在b 上的投影向量为23b，则cos ‹a ，b ›=()A.-13B.13C.-223D.223【解析】：∵a +b 在b 上的投影向量为23b，∴(a+b )⋅b |b |⋅b |b |=23b ，∴a ⋅b =-13，∵|a|=|b |=1，∴由向量的夹角公式可知，cos ‹a ，b ›=a ⋅b |a ||b |=-13．故选：A ．20已知|a |=2|b |，若a 与b的夹角为120°，则2b -a 在a 上的投影向量为()A.3-3aB.-32aC.-12aD.3a【解析】：∵|a|=2|b |，a 与b 的夹角为120°，∴(2b -a )⋅a =2a ⋅b -a 2=2|a |⋅12|a | ⋅cos120°-a 2=-32a 2，∴2b -a 在a 上的投影向量为：(2b -a )⋅a |a |⋅a|a |=-32a ．故选：B ．五．百分位数(共5小题)21学校组织班级知识竞赛，某班的8名学生的成绩(单位：分)分别是：68、63、77、76、82、88、92、93，则这8名学生成绩的75%分位数是90分．【解析】：8名学生的成绩从小到大排列为：63，68，76，77，82，88，92，93，因为8×75%=6，所以75%分位数为第6个数和第7个数的平均数，即12×(88+92)=90(分)．故答案为：90分．22为了进一步学习贯彻党的二十大精神，推进科普宣传教育，激发学生的学习热情，营造良好的学习氛围，不断提高学生对科学、法律、健康等知识的了解，某学校组织高一10个班级的学生开展“红色百年路•科普万里行”知识竞赛．统计发现，10个班级的平均成绩恰好成等差数列，最低平均成绩为70，公差为2，则这10个班级的平均成绩的第40百分位数为()A.76B.77C.78D.80【解析】：记构成的等差数列为{a n }，则a n =70+2(n -1)=2n +68，∵10×40%=4，∴这10个班级的平均成绩的第40百分位数为a 4+a 52=76+782=77，故选：B ．23某工厂随机抽取20名工人，对他们某天生产的产品件数进行统计，数据如表，则该组数据的第75百分位数是()件数7891011人数37541A.8.5B.9C.9.5D.10【解析】；抽取的工人总数为20，20×75%=15，那么第75百分位数是所有数据从小到大排序的第15项与第16项数据的平均数，第15项与第16项数据分别为9，10，所以第75百分位数是9+102=9.5．故选：C ．24某校1000名学生参加数学竞赛，随机抽取了20名学生的考试成绩(单位：分)，成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是()A.频率分布直方图中a 的值为0.012B.估计这20名学生数学考试成绩的第60百分位数为80C.估计这20名学生数学考试成绩的众数为80D.估计总体中成绩落在[50，60)内的学生人数为110【解析】：由频率分布直方图可得，(a +0.01+0.03+0.035+0.01)×10=1，解得a =0.015，故A 错误，设第60百分位数为x ，则0.1+0.015+(x -70)×0.035=0.6，解得x =80，故B 正确，估计这20名学生数学考试成绩的众数为75，故C 错误，估计总体中成绩落在[50，60)内的学生人数为1000×0.01×10=100，故D 错误．故选：B ．25某个品种的小麦麦穗长度(单位：cm )的样本数据如下：10.2、9.7、10.8、9.1、8.9、8.6、9.8、9.6、9.9、11.2、10.6、11.7，则这组数据的第80百分位数为10.8．【解析】：数据从小到大排序为：8.6、8.9、9.1、9.6、9.7、9.8、9.9、10.2、10.6、10.8、11.2、11.7，共有12个，所以12×80%=9.6，所以这组数据的第80百分位数是第10个数即：10.8．故答案为：10.8．六．点、线、面间的距离计算(共3小题)26如图，在多面体ABCDE 中，平面ABCD ⊥平面ABE ，AD ⊥AB ，AD ∥BC ，∠BAE =π2，AB =AD =AE =2BC =2，F 是AE 的中点．(1)证明：BF ∥面CDE ；(2)求点F 到平面CDE 的距离．【答案】(1)证明：取DE 中点G ，连接FG ，CG ，∵F ，G 分别为AE ，DE 中点，∴FG ∥AD ，FG =12AD ，又AD ∥BC ，BC =12AD ，∴BC ∥FG ，BC =FG ，∴四边形BCGF 为平行四边形，∴BF ∥CG ，又BF ⊄平面CDE ，CG ⊂平面CDE ，∴BF ∥平面CDE ．(2)∵平面ABCD ⊥平面ABE ，平面ABCD ∩平面ABE =AB ，AD ⊥AB ，AD ⊂平面ABCD ，∴AD ⊥平面ABE ，又∠BAE =π2，则以A 为坐标原点，AB ，AE ，AD正方向为x ，y ，z 轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则F (0，1，0)，C (2，0，1)，D (0，0，2)，E (0，2，0)，∴CD =(-2，0，1)，DE =(0，2，-2)，FE =(0，1，0)，设平面CDE 的法向量n=(x ，y ，z )，则CD ⋅n=-2x +z =0DE ⋅n =2y -2z =0，令x =1，解得：y =2，z =2，∴n=(1，2，2)，∴点F 到平面CDE 的距离d =|FE ⋅n||n |=23．27如图多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是菱形，∠ABC =60°，EA ⊥平面ABCD ，EA ∥BF ，AB =AE =2BF =2．(1)证明：CF ∥平面ADE ；(2)在棱EC 上有一点M (不包括端点)，使得平面MBD 与平面BCF 的夹角余弦值为155，求点M 到平面BCF 的距离．【答案】(1)证明：取AE 的中点G ，连接GD ，GF ，因为BF ∥EA ，且BF =12AE ，所以AG ∥BF 且AG =BF ，所以四边形AGFB 是平行四边形，所以GF ∥AB ，又因为ABCD 是菱形，所以AB ∥DC ，且AB =DC ，所以GF ∥DC 且GF =DC ，所以四边形CFGD 是平行四边形，CF ∥DG ，又CF ⊄平面ADE ，DG ⊂平面ADE ，所以CF ∥平面ADE ；解：(2)连接BD 交AC 于N ，取CE 中点P ，∵PN ∥AE ，EA ⊥平面ABCD ，∴PN ⊥平面ABCD ，且CN ⊥BN ，∴以N 为原点，NC ，NB ，NP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，设在棱EC 上存在点M 使得平面MBD 与平面BCF 的夹角余弦值为155，E (-1，0，2)，B (0，3，0)，C (1，0，0)，F (0，3，1)，A (-1，0，0)，D (0，-3，0)则设CM =λCE=λ(-2，0，2)(0<λ<1)，∴M (1-2λ，0，2λ)，所以DM =(1-2λ，3，2λ)，DB =(0，23，0)，BC =(1，-3，0)，FB=(0，0，-1)设平面DBM 的一个法向量为n=(x ，y ，z )，则n ⋅DM=0n ⋅DB =0，即(1-2λ)x +3y +2λz =023y =0 ，令y =0，x =-2λ，z =1-2λ，得n=(-2λ，0，1-2λ)，设平面FBC 的一个法向量为m=(a ，b ，c )，则m ⋅BC =0m ⋅FB =0，即a -3b =0-c =0 ，取b =1，得m=(3，1，0)，∴|cos ‹n ，m ›|=|m ⋅n ||m |⋅|n |=|-23λ|2(-2λ)2+(1-2i )2=155，解得λ=13或λ=1，又∵0<λ<1，∴λ=13，此时M 13，0，23 ，∴CM =-23，0，23 ，∴点M 到平面BCF 的距离d =|CM ⋅m||m |=2332=33．28如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA =AB =2，E 为线段PB 的中点，F 为线段BC 上的动点．(1)证明：平面AEF ⊥平面PBC ；(2)若直线AF 与平面PAB 所成的角的余弦值为255，求点P 到平面AEF 的距离．【解析】：(1)证明：因为PA ⊥底面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥BC ．因为ABCD 为正方形，所以AB ⊥BC ，又因为PA ∩AB =A ，PA ⊂平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，所以BC ⊥平面PAB ．因为AE ⊂平面PAB ，所以AE ⊥BC ．因为PA =AB ，E 为线段PB 的中点，所以AE ⊥PB ，又因为PB ∩BC =B ，PB ⊂平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以AE ⊥平面PBC ．又因为AE ⊂平面AEF ，所以平面AEF ⊥平面PBC ．(2)因为PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，以A 为坐标原点，以AB ，AD ，AP 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz ，则A (0，0，0)，B (2，0，0)，P (0，0，2)，E (1，0，1)，易知u=(0，1，0)是平面PAB 的法向量，设BF =t (t ∈[0，2])，则F (2，t ，0)，所以AE=(1，0，1)，AF =(2，t ，0)，所以|cos ‹AF ，u ›|=|AF ⋅u||AF ||u |=1-255 2，即t t 2+4=55，得t =1，所以AF =(2，1，0)，设n=(x 1，y 1，z 1)为平面AEF 的法向量，则n ⋅AE=0，n ⋅AF =0，，所以平面AEF 的法向量n=(-1，2，1)，又因为AP=(0，0，2)，所以点P 到平面AEF 的距离为d =|AP ⋅n ||n |=26=63，所以点P 到平面AEF 的距离为63，由(1)可知，∠BAF 是直线AF 与平面PAB 所成的角，所以cos ∠BAF =AB AF =AB AB 2+BF 2=255，解得BF =12AB =12BC ，故F 是BC 的中点，所以AF =AB 2+BF 2=5，AE =12PB =2，EF =AF 2-AE 2=3，所以△AEF 的面积为S △AEF =12AE ⋅EF =62，因为PA =AB =2，△PAE 的面积为S △PAE =12S △PAB =14PA ⋅AB =1，设点P 到平面AEF 的距离为h ，则有V P -AEF =13S △AEF ⋅h =66h =V F -PAE =13S △PAE ⋅BF =13，解得h =63，所以点P 到平面AEF 的距离为63．七．条件概率(共8小题)A 、B 满足P (A |B )=0.7，P (A)=0.3，则()A.P (A ∩B )=0.3B.P (B |A )=0.3C.事件A ，B 相互独立D.事件A ，B 互斥【解析】：根据题意，设P (B )=x ，由于P (A |B )=0.7，则P (AB )=P (B )P (A |B )=0.7x ，P (A )=1-P (A)=0.7，则P (A )P (B )=0.7x ，则有P (AB )=P (A )P (B )，事件A ，B 相互独立．不确定x 的值，P (A ∩B )=P (AB )=0.7x ，A 错误；P (B |A )=P (AB )P (A )=x ，B 错误；由于A 、B 相互独立，事件A 、B 可能同时发生，则事件A 、B 一定不互斥，D 错误．故选：C ．P (A )=13，P (B |A )=23，P (B |A )=14，则P (B )= 1936 ，P (A |B )= 319 ．【解析】：P (A )=13，则P (A )=1-P (A )=23，故P (B )=P (AB )+P (A B )=P (A )P (B |A )+P (A )P B |A )=23×23+13×14=1936，P (A |B )=P (AB )P (B )=13×141936=319．故答案为：1936，319．31研究人员开展甲、乙两种药物的临床抗药性研究实验，事件A 为“对药物甲产生抗药性”，事件B 为“对药物乙产生抗药性”，事件C 为“对甲、乙两种药物均不产生抗药性”．若P (A )=415，P (B )=215，P (C )=710，则P (B |A )= 38 ．【解析】：由题意可知P (C )=P (A ∩B )=710，则P (A ∪B )=1-P (A ∩B )=1-710=310．又P (A ∪B )=P (A )+P (B )-P (AB )，所以P (AB )=P (A )+P (B )-P (A ∪B )=415+215-310=110，则P (B |A )=P (AB )P (A )=110415=38．故答案为：38．32已知某地市场上供应的一种电子产品中，甲厂产品占80%，乙厂产品占20%，甲厂产品的合格率是75%，乙厂产品的合格率是80%，则从该地市场上买到一个合格产品的概率是()A.0.75B.0.8C.0.76D.0.95【解析】：设买到的产品是甲厂产品为事件A ，买到的产品是乙厂产品为事件B ，则P (A )=0.8，P (B )=0.2，记事件C ：从该地市场上买到一个合格产品，则P (C |A )=0.75，P (C |B )=0.8，所以P (C )=P (AC )+P (BC )=P (A )P (C |A )+P (B )P (C |B )=0.8×0.75+0.2×0.8=0.76．故选：C ．33为丰富学生的课外活动，学校羽毛球社团举行羽毛球团体赛，赛制采取5局3胜制，每局都是单打模式，每队有5名队员，比赛中每个队员至多上场一次且上场顺序是随机的，每局比赛结果互不影响，经过小组赛后，最终甲乙两队进入最后的决赛，根据前期比赛的数据统计，甲队明星队员M 对乙队的每名队员的胜率均为34，甲队其余4名队员对乙队每名队员的胜率均为12．(注：比赛结果没有平局)(Ⅰ)求甲队明星队员M 在前四局比赛中不出场的前提下，甲乙两队比赛4局，甲队最终获胜的概率；(Ⅱ)求甲乙两队比赛3局，甲队获得最终胜利的概率；(Ⅲ)若已知甲乙两队比赛3局，甲队获得最终胜利，求甲队明星队员M 上场的概率．【解析】：(Ⅰ)事件B =“甲乙两队比赛4局甲队最终获胜”，事件A j =“甲队第j 局获胜”，其中j =1，2，3，4，A j 相互独立．又甲队明星队员M 前四局不出场，故P (A j )=12，j =1，2，3，4，B =A 1 A 2A 3A 4+A 1A 2 A 3A 4+A 1A 2A 3 A 4，所以P (B )=C 13×124=316．(Ⅱ)设C 为甲3局获得最终胜利，D 为前3局甲队明星队员M 上场比赛，由全概率公式知，P (C )=P (C |D )P (D )+P (C |D )P (D)，因为每名队员上场顺序随机，故P (D )=C 24A 33A 35=35，P (D )=1-35=25，P (C |D )=122×34=316，P C |D )=123=18， 所以P (C )=316×35+18×25=1380．(Ⅲ)由(2)，P (D |C )=P (CD )P (C )=P (C |D )P (D )P (C )=316×351380=913．34某地病毒暴发，全省支援，需要从我市某医院某科室的4名男医生(含一名主任医师)、5名女医生(含一名主任医师)中分别选派3名男医生和2名女医生，则在有一名主任医师被选派的条件下，两名主任医师都被选派的概率为()A.38B.310C.611D.617【解析】：需要从我市某医院某科室的4名男医生(含一名主任医师)、5名女医生(含一名主任医师)中分别选派3名男医生和2名女医生，设事件A 表示“选派3名男医生和2名女医生，有一名主任医生被选派”，B 表示“选派3名男医生和2名女医生，两名主任医师都被选派”，P (A )=C 23C 24+C 33C 14+C 23C 14C 34C 25=1720，P (AB )=C 23C 14C 34C 25=310，则在有一名主任医师被选派的条件下，两名主任医师都被选派的概率为：P (B |A )=P (AB )P (A )=3101720=617．故选：D ．35人工智能是研究用于模拟和延伸人类智能的技术科学，被认为是21世纪最重要的尖端科技之一，其理论和技术正在日益成熟，应用领域也在不断扩大．人工智能背后的一个基本原理：首先确定先验概率，然后通过计算得到后验概率，使先验概率得到修正和校对，再根据后验概率做出推理和决策．基于这一基本原理，我们可以设计如下试验模型；有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球乙袋中有2个红球和8个白球．从这两个袋子中选择一个袋子，再从该袋子中等可能摸出一个球，称为一次试验．若多次试验直到摸出红球，则试验结束．假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为12(先验概率)．(1)求首次试验结束的概率；(2)在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率(先验概率)进行调整．①求选到的袋子为甲袋的概率，②将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有如下两种方案：方案一，从原来袋子中摸球；方案二，从另外一个袋子中摸球．请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大．【解析】：设试验一次，“取到甲袋”为事件A 1，“取到乙袋”为事件A 2，“试验结果为红球”为事件B 1，“试验结果为白球”为事件B 2，(1)P (B 1)=P (A 1)P (B 1|A 1)+P (A 2)P (B 1|A 2)=12×910+12×210=1120；所以试验一次结果为红球的概率为1120．(2)①因为B 1，B 2是对立事件，P (B 2)=1-P (B 1)=920，所以P A 1|B 2)=P (A 1B 2)P (B 2)=P (B 2|A 1)P (A 1)P (B 2)=110×12920=19，所以选到的袋子为甲袋的概率为19；②由①得P (A 2|B 2)=1-P A 1|B 2)=1-19=89，中取到红球的概率为：P 1=P (A 1|B2)P (B1|A1)+P (A2|B2)910+89×210=518，方案二中取到红球的概率为：P 2=P (A 2|B 2)P (B 1|A 1)+P (A 1|B 2)P B 1|A 2)=89×910+19×210=3745， 所以方案二中取到红球的概率更大．该款芯片的生产有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道是检测评估工序，包括智能自动检测与人工抽检．已知该款芯片在生产中，前三道工序的次品率分别为P 1=110，P 2=19，P 3=18．(1)求该款芯片生产在进入第四道工序前的次品率；(2)如果第四道工序中智能自动检测为次品的芯片会被自动淘汰，合格的芯片进入流水线并由工人进行人工抽查检验．在芯片智能自动检测显示合格率为90%的条件下，求工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个芯片恰为合格品的概率．【解析】：(1)该款芯片生产在进入第四道工序前的次品率P =1-1-110 ×1-19 ×1-18=310．(2)设该批次智能自动检测合格为事件A ，人工抽检合格为事件B ，则P (A )=910，P (AB )=1-310=710，则工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个芯片恰为合格品的概率P (B |A )=P (AB )P (A )=710910=79．八．全概率公式(共2小题)乙两条生产线，甲生产线的产品次品率为10%，乙生产线的产品次品率为5%．现在某客户在该厂定制生产同一种铅笔产品，由甲、乙两条生产线同时生产，且甲生产线的产量是乙生产线产量的1.5倍．现在从这种铅笔产品中任取一件，则取到合格产品的概率为()A.0.92B.0.08C.0.54D.0.38【解析】：甲生产线的产量是乙生产线产量的1.5倍，则从这种铅笔中任取一件抽到甲生产线的概率为0.6，抽到乙生产线的概率为0.4，从这种铅笔产品中任取一件，则取到次品的概率为0.6×10%+0.4×5%=0.08，所以取到合格产品的概率为1-0.08=0.92．故选：A ．第一箱内装有10件，其中有2件次品；第二箱内装有20件，其中有3件次品，现从两箱中随意挑选一箱，然后从该箱中随机取1个零件，则取出的零件是次品的概率为()A.18B.320C.740D.15【解析】：设事件A i 表示从第i (i =1，2)箱中取一个零件，事件B 表示取出的零件是次品，则P (B )=P (A 1。
2020年高考数学专项突破50题(3)--数列【含答案解析】
2020年高考数学专项突破50题（3）--数列学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题（本题共40道小题，每小题2分，共80分）1.用数学归纳法证明“633123,*2n n n n N ++++⋅⋅⋅+=∈ ”，则当 1n k =+时，左端应在n k =的基础上加上（ ）A. ()()33312(1)k k k ++++++LB.()()()333121k k kk +++++++LC. 3(1)k + D. 63(1)(1)2k k +++2.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）。
这个问题中，甲所得为（ ） A. 54钱 B.43钱 C.23钱 D.35钱 3.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，首项10a >，公差0d <，10210a S ⋅<，则S n 最大时，n 的值为( ) A. 11 B. 10C. 9D. 84.等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若243,15S S ==，则56a a +=( ) A. 16 B. 17C. 48D. 495.设正项等比数列{a n }的前项和为S n ，若32=S ，154=S ，则公比q =（ ） A. 2 B. 3C. 4D. 56.公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在阿基里斯前面1000米处开始，和阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，此时乌龟便领先他100米；当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟仍然前于他10米.当阿基里斯跑完下一个10米时，乌龟仍然前于他1米……，所以，阿基里斯永远追不上乌龟.根据这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为210-米时，乌龟爬行的总距离为（ ）A. 410190-B. 5101900-C. 510990-D.4109900- 7.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若1785S =，则7911a a a ++的值为 A. 10 B. 15C. 25D. 308.已知数列{a n }中，12a =，111n n a a ＋－－3=，若n a 1000≤，则n 的最大取值为（ ）A. 4B. 5C. 6D. 79.等差数列{a n }中，若243,7a a ==，则6a =( ) A. 11 B. 7C. 3D. 210.设等差数列{a n }前n 项和为S n ，等差数列{b n }前n 项和为T n ，若2018134n n S n T n -=+，则33a b =（ ） A. 528 B. 529C. 530D. 53111.设等差数列{a n }的前n 项和为S n 若39S =,627S =，则9S =( ) A. 45 B. 54C. 72D. 8112.已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足56S S <且678S S S =>，则下列结论错误的是（ ） A. 6S 和7S 均为S n 的最大值 B. 70a = C. 公差0d < D. 95S S > 13.用数学归纳法证明：“()221*111,1n nn a a a a a n N a++-++++=≠∈-L ”，在验证1n =成立时，左边计算所得结果是（ ） A. 1B. 1a +C. 21a a ++D.231a a a +++14.等比数列{a n }的各项均为正数，且564718a a a a +=，则3132310log log log a a a +++=L （ ） A. 12 B. 10 C. 8 D. 2+log 3515.在等差数列{a n }中，64=a ，3510a a a +=，则=12a （ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 1616.已知数列{a n }的前n 项和S 满足*1(1)26()2nn n n S a n n N --=-+∈，则100S =（ ） A. 196 B. 200C. 10011942+ D. 10211982+17.若点(),n n a 都在函数324y x =-图象上，则数列{a n }的前n 项和最小时的n 等于( ) A. 7或8 B. 7C. 8D. 8或918.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且8,45241=+=+a a a a ，则20192019S = ( ) A. 2016 B. 2017C. 2018D. 201919.已知数列{a n }满足：112a =，*11()2n n n a a n N +=+∈，则2019a =（）A. 2018112-B. 2019112-C.20183122- D.20193122- 20.已知数列{a n }満足: 11a =,132n n a a +=-，则6a =( ) A. 0 B. 1C. 2D. 621.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，11a =，当2n ≥时，12n n a S n -+=，则2019S 的值为（ ） A. 1008 B. 1009C. 1010D. 101122.记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若53a =，1391S =，则11S =（ ） A. 36 B. 72C. 55D. 11023.在等差数列{a n }中，其前132<<m 项和为S n ，且满足若3512a S +=，4724a S +=，则59a S +=（ ）A. 24B. 32C. 40D. 7224.若{a n }为等差数列，S n 是其前n 项和，且11223S π=，则6tan()a 的值为（ ）A. 3B.C.3D. 33-25.若a ，b 是方程20(0,0)x px q p q -+=<>的两个根，且a ，b ，2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q +的值为( ) A.－4 B. －3C. －2D. －126.已知S n 为等比数列{a n }的前n 项和，1a 1=，23a a 8=-，则6S (= ) A.1283B. －24C. －21D. 1127.已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 依次成等差数列，BC 边上的中线32=AD ，2AB =,则△ABC 的面积S 为（ ）A. 3B.C.D. 28.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且181212a a a ++=，则13S =（ ） A. 104 B. 78C. 52D. 3929.记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若53a =，1391S =，则11S =（ ） A. 36 B. 72C. 55D. 11030.《算法统宗》是明朝程大位所著数学名著，其中有这样一段表述：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一”，其意大致为：有一栋七层宝塔，每层悬挂的红灯数为上一层的两倍，共有381盏灯，则该塔中间一层灯的盏数是（ ） A. 24 B. 48 C. 12 D. 6031.已知数列{a n }是等差数列，数列{b n }分别满足下列各式，其中数列{b n }必为等差数列的是（ ） A. ||n n b a =B. 2n n b a =C. 1n nb a =D.2nn a b =-32.已知数列{a n }是一个递增数列，满足*n a N ∈，21n a a n =+，*n N ∈，则4a =（ ）A. 4B. 6C. 7D. 833.11的等比中项是（ ） A. 1 B. －1C. ±1D.1234.某个命题与自然数n 有关，且已证得“假设()*n k k N=∈时该命题成立，则1n k =+时该命题也成立”．现已知当7n =时，该命题不成立，那么（ ） A. 当8n =时，该命题不成立 B. 当8n =时，该命题成立 C. 当6n =时，该命题不成立 D. 当6n =时，该命题成立35.在数列{a n }中，231518n a n n =+-，则a n 的最大值为（ ）A. 0B. 4C.313 D.213 36.在等差数列{a n }中，已知1a 与11a 的等差中项是15，9321=++a a a ，则9a =（ ） A. 24 B. 18 C. 12 D. 637.已知等差数列{a n }的公差0≠d ，前n 项和为S n ，若对所有的)(*∈N n n ，都有10S S n ≥，则（ ）． A. 0≥n aB. 0109<⋅a aC. 172S S <D. 019≤S38.已知等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为n A 和n B ，且6302n n A n B n +=+，则使得nnb a 为整数的正整数n 的个数是（ ） A. 2 B. 3C. 4D. 539.设数列{a n }满足31=a ，且对任意整数n ，总有1(1)(1)2n n n a a a +--=成立，则数列{a n }的前2018项的和为（ ） A. 588 B. 589C. 2018D. 201940.数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( ) A. 1盏B. 2盏C. 3盏D. 4盏第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、（本题共10道小题，每小题7分，共70分）41.已知数列{ a n }的首项1133,()521n n n a a a n N a *+==∈+. (1)求证：数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列；(2)记12111...n nS a a a =+++，若<100n S ，求最大正整数n . 42.已知在等比数列{a n }中，23411,92187a a a ==. （1）求数列{a n }的通项公式；（2）设n n b na =，求数列{b n }的前n 项和T n . 43.若{c n }是递增数列，数列{a n }满足：对任意*n N ∈，存在*m N ∈，使得10m nm n a c a c +--…，则称{a n }是{c n }的“分隔数列”.（1）设2,1n n c n a n ==+，证明：数列{a n }是{c n }的分隔数列；（2）设4,n n c n S =-是{c n }的前n 项和，32n n d c -=，判断数列{S n }是否是数列{d n }的分隔数列，并说明理由；（3）设1,n n n c aq T -=是{c n }的前n 项和，若数列{T n }是{c n }的分隔数列，求实数a ，q 的取值范围． 44..在等比数列{a n }与等差数列{b n }中，11a =，12b =-，223a b +=-，334a b +=-. （1）求数列{a n }与数列{b n }的通项公式； （2）若n n n c a b =+，求数列{c n }的前n 项和S n . 45.已知数列{a n }各项均为正数，满足2333(1)122n n a n +⎛⎫+++= ⎪⎝⎭L ．（1）求1a ，2a ，3a 的值；（2）猜想数列{a n }的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论． 46.已知数列{a n }满足： 12n n n a a ++=，且111,23nn n a b a ==-⨯.（1）求证：数列{b n }是等比数列；（2）设S n 是数列{a n }的前n 项和，若10n n n a a tS +->对任意*n N ∈都成立．试求t 的取值范围． 47.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点(,)n n a S 在直线22y x =-上. （1）求数列{a n }的通项公式； （2）设()23log 2n n nS b a -+=，求数列{b n }的前n 项和T n .48.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }是等比数列，满足55a =，410S =，0n b >，24b a =，416b a =.（1）求数列{a n }和{b n }的通项公式；（2）令()()1211na n n n cb b +=--，求数列{c n }的前n 项和T n .49.已知数列{a n }满足11a =，11+=+n nn a a a （n N *∈）． （1）求2a ，3a ，4a 的值； （2）证明：数列{1na }是等差数列，并求数列{a n }的通项公式． 50.定义12...nnp p p +++为n 个正数12,,...,n p p p 的“均倒数”．已知正项数列{a n }的前n 项的“均倒数”为1n． （1）求数列{a n }的通项公式． （2）设数列21211n n a a -+⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和为T n ，若4n T <244m m --对一切*n N ∈恒成立，求实数m 的取值范围．（3）令9()10nn nb a=⋅，问：是否存在正整数k使得k nb b≥对一切*n N∈恒成立，如存在,求出k值；如不存在，说明理由．试卷答案1.A 【分析】写成n k =的式子和1n k =+的式子，两式相减可得. 【详解】当n k =时，左端式子为3123k +++⋅⋅⋅+，当1n k =+时，左端式子为3333(1)(12312())k k k k ++++++++⋅⋅⋅+++L ， 两式比较可知增加的式子为()()33312(1)k k k ++++++L .故选A.【点睛】本题主要考查数学归纳法，从n k =到1n k =+过渡时，注意三个地方，一是起始项，二是终止项，三是每一项之间的步长规律，侧重考查逻辑推理的核心素养. 2.B设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为2,,,,2a d a d a a d a d --++,则22a d a d a a d a d -+-=++++,解得6a d =-,又225,a d a d a a d a d -+-+++++=1a \=,则4422633a a d a a ⎛⎫-=-⨯-== ⎪⎝⎭,故选B. 3.B 【分析】由等差数列前n 项和公式得出21S 1121a =，结合数列{}n a 为递减数列确定10110,0a a ><，从而得到n S 最大时，n 的值为10.【详解】由题意可得()2111112120212110212S a d a d a ´=+=+= 10210a S ⋅<Q 10110a a ∴⋅<等差数列{}n a 的首项10a >，公差0d < 则数列{}n a 为递减数列10110,0a a ∴><即当10n =时，n S 最大 故选B 。
2020高考新课标数学最后冲刺阶段专项突破(文理通用)
__________ 姓名：__________ 班级：__________一、选择题1．把函数sin ()y x x R =∈ 的图象上所有点向左平移6π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是 （ ）AC2．己知关于x 的不等式22ln 2(1)2x m x mx +-+≤在(0，＋∞)上恒成立，则整数m 的最小值为( )A.1B.2C.3D.4第Ⅱ卷3．(2019·大庆三模)若复数z 1，z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z 1＝1＋i ，则z 1z 2＝( )A ．iB ．－iC ．1D ．－1 4．已知两随机变量6X Y +=，若()8,0.5X B ，则()E X 和()D Y 分别为（ ）A. 6和4B. 4和2C. 6和2.4D. 2和45．以下命题：①根据斜二测画法，三角形的直观图是三角形；②有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱；③两相邻侧面所成角相等的棱锥是正棱锥；④若两个二面角的半平面互相垂直，则这两个二面角的大小相等或互补.其中正确命题的个数为（ ） A. 1 B. 2C. 3D. 46．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边a ，b ，c 成等比数列，则角B 的取值范围是（ ）A. 0,6π⎛⎤ ⎥⎝⎦B. ,62ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. 0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦D.,32ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭评卷人 得分二、填空题7．如图所示,在空间四边形OABC 中，,,OA a OB b OC c ===,点M 在线段OA 上，且2OM MA =，N 为BC 中点，若=MN xa yb zc ++，则x y z ++=_____________8．若直线3450x y -+=与圆()2220x y r r +=>相交于A,B 两点，且120o AOB ∠=（O为坐标原点），则r =_____. 评卷人 得分三、解答题9．已知函数()2123f x x x =+--，()1g x x x a =++-. （l ）求()1f x ≥的解集；（2）若对任意的R t ∈，R s ∈，都有()()g s f t ≥.求a 的取值范围.10．如图所示的几何体中，111ABC A B C -为三棱柱，且1AA ⊥平面ABC ，四边形ABCD 为平行四边形，2AD CD =，60ADC ∠=︒.（1）若1AA AC =，求证：1AC ⊥平面11A B CD ；（2）若2CD =，1AA AC λ=，二面角11C A D C --211C A CD -的体积.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．无 2．无 3．B 解析：{} B解析 ∵z 1，z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，且z 1＝1＋i ，∴z 2＝－1＋i ，∴z 1z 2＝1＋i－1＋i ＝(1＋i )(－1－i )(－1＋i )(－1－i )＝－2i 2＝－i.故选B. 4．B解析：B 【解析】 【分析】利用二项分布的数学期望和方差的计算公式求得()E X 和()D X ；根据方差的性质可得到()()()6D Y D X D X =-=.【详解】由()8,0.5XB 可得：()80.54E X =⨯=，()()80.510.52D X =⨯⨯-=又6X Y +=，则6Y X =-()()()()()2612D Y D X D X D X ∴=-=-==本题正确选项：B【点睛】本题考查二项分布的数学期望和方差的求解、方差性质的应用，属于基础题.5．A解析：A 【解析】 【分析】由斜二测画法规则直接判断①正确；举出反例即可说明命题②、③、④错误； 【详解】对于①，由斜二测画法规则知：三角形的直观图是三角形；故①正确； 对于②，如图符合条件但却不是棱柱；故②错误；对于③，两相邻侧面所成角相等的棱锥不一定是正棱锥，例如把如图所示的正方形折叠成三棱锥不是正棱锥．故③错误；对于④，一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个角的平面角相等或互补错误，如教室中的前墙面和左墙面构成一个直二面角，底板面垂直于左墙面，垂直于前墙面且与底板面相交的面与底板面构成的二面角不一定是直角．故④错误；∴只有命题①正确． 故选A ．【点睛】本题考查了命题的真假判断与应用，考查了空间几何体的结构特征，考查了学生的空间想象能力和思维能力，是中档题．6．C解析：C 【解析】 【分析】设公比为q ，得到三角形三边为ba q=，c bq =，利用余弦定理和基本不等式，求得1cos 2B ≥，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边a ，b ，c 成等比数列， 设公比为q ，则0q >，所以ba q=，c bq =， 由余弦定理得22222cos 2b b q b qB b bq q+-=⨯⨯221112q q ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭221112122q q ⎛⎫⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭， 当且仅当1q =时等号成立，又因为B 是ABC ∆的内角，所以03B π<<，所以角B 的取位范围是0,3π⎛⎤⎥⎝⎦，故选：C .【点睛】本题主要考查了余弦定理的应用，以及基本不等式的应用，其中解答中根据题设条件，利用余弦定理和基本不等式，求得1cos 2B ≥是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.二、填空题7．【解析】 【分析】用表示 ，从而求出，即可求出，从而得出答案 【详解】点在上，且，为的中点 故 故答案为【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算，运用向量的加法法则来求解，属解析：13【解析】 【分析】用,,a b c 表示,ON OM ，从而求出MN ，即可求出,,x y z ，从而得出答案 【详解】,,,OA a OB b OC c ===点M 在OA 上，且2OM MA =，N 为BC 的中点22=33OM OA a ∴=()111222ON OB OC b c =+=+ 112=223MN ON OM b c a ∴-=+-211,,322x y z ∴=-==故21113223x y z ++=-++=故答案为13【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算，运用向量的加法法则来求解，属于基础题8．【解析】试题分析：若直线3x-4y+5=0与圆交于A 、B 两点，O 为坐标原点， 且∠AOB=120°，则圆心（0，0）到直线3x-4y+5=0的距离， 即，解得r=2，考点：直线与圆相交的性质解析：【解析】试题分析：若直线3x-4y+5=0与圆()2220x y rr +=>交于A 、B 两点，O 为坐标原点，且∠AOB=120°，则圆心（0，0）到直线3x-4y+5=0的距离1201cos 22d r r ==，12r =，解得r=2， 考点：直线与圆相交的性质三、解答题9．(1)34x x ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭；(2){3x a ≥或}5a ≤-. 【解析】试题分析：（1）首先利用零点讨论法求出在不同范围内的不等式组，进一步解不等式组求出结论，直接根据函数的恒成立问题进一步建立，对任意的t R ∈，s R ∈，都有()()g s f t ≥，可得()()min max g x f x ≥，进一步求出参数的取值范围.试题解析：（1）∵函数()2123f x x x =+--，故()1f x ≥，等价于21231x x +--≥，令210x +=，解得12x =-，令230x -=，解得32x =，则不等式等价于：()1 221321x x x ⎧<-⎪⎨⎪----≥⎩①，或132221(32)1x x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪+--≥⎩②，或3 221(23)1x x x ⎧>⎪⎨⎪+--≥⎩③，解①求得x ∈∅，解②求得33 24x ≥≥，解③求得32x >，综上可得，不等式的解集为3{|}4x x ≥.（2）若对任意的t R ∈，s R ∈，都有()()g s f t ≥，可得()()min max g x f x ≥，∵函数()212321234f x x x x x =+--≤+-+=，∴()4max f x =，∵()111g x x x a x x a a =++-≥+-+=+，故()1min g x a =+，∴14a +≥，∴14a +≥或14a +≤-，求得3a ≥或5a ≤-，故所求的a 的范围为{|3a a ≥或5}a ≤-．点睛：本题主要考查了绝对值不等式的解法，以及转化与化归思想，难度一般；常见的绝对值不等式的解法，法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想． 10．（1）见解析（2）4 【解析】 【分析】（1）若AA 1＝AC ，根据线面垂直的判定定理即可证明AC 1⊥平面A 1B 1CD ； （2）建立坐标系，根据二面角C ﹣A 1D ﹣C 1的余弦值为24，求出λ的值，根据三棱锥的体积公式进行计算即可．【详解】解：（1）证明：连接1A C 交1AC 于E ，因为1AA AC =，又1AA ⊥平面ABCD ，所以1AA AC ⊥，所以四边形11A ACC 为正方形，所以11A C AC ⊥，在ACD ∆中，2,60AD CD ADC =∠=， 由余弦定理得2222cos60AC AD CD AD CD =+-⋅，所以3AC CD =，所以222AD AC CD =+，所以CD AC ⊥，又1AA CD ⊥， 所以CD ⊥平面11A ACC ，所以1CD AC ⊥，又因为1,CD A C C ⋂= AC 1⊥平面A 1B 1CD ； （2）如图建立直角坐标系，则()()()()112,0,0,0,23,0,0,0,23,0,23,23D A C A λλ()()112,0,23,2,23,23DC DA λλ∴=-=-，设平面11AC D 的法向量为()1111,,n x y z =，由111100n DC n DA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即11111202230x z x z ⎧-+=⎪⎨-++=⎪⎩，解得()1111,03,0,1x z y n λ==∴=设平面1A CD 的法向量为()2222,,n x y z =由22100n CD n CA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得22220230x z λ=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得()22220,,0,,1x y z n λλ==-∴=- 由1212cos 4||3n n n n θλ⋅===⋅得1λ=，所以1,AA AC = 此时12,,CD AA AC === 所以1111112432C A CD D A CC V V --⎛==⨯⨯⨯= ⎝ 【点睛】本题主要考查线面垂直的判断以及三棱锥体积的计算，根据二面角的关系建立坐标系求出λ的值是解决本题的关键．。
高考数学二轮复习考点知识与题型专题讲解与训练67 二项分布及其应用
高考数学二轮复习考点知识与题型专题讲解与训练专题67二项分布及其应用考点知识要点1.了解条件概率和两个事件相互独立的概念．2.理解n次独立重复试验的模型及二项分布．3.能解决一些简单的实际问题.基础知识融会贯通1．条件概率及其性质(1)对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率，用符号P(B|A)来表示，其公式为P(B|A)＝P ABP A(P(A)>0)．在古典概型中，若用n(A)表示事件A中基本事件的个数，则P(B|A)＝n ABn A.(2)条件概率具有的性质①0≤P(B|A)≤1；②如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．2．相互独立事件(1)对于事件A，B，若事件A的发生与事件B的发生互不影响，则称事件A，B是相互独立事件．(2)若A与B相互独立，则P(B|A)＝P(B)，P(AB)＝P(B|A)P(A)＝P(A)P(B)．(3)若A与B相互独立，则A与B，A与B，A与B也都相互独立．(4)若P(AB)＝P(A)P(B)，则A与B相互独立．3．独立重复试验与二项分布(1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有两种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的．(2)在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝C k n p k(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，此时称随机变量X服从二项分布，记为X～B(n，p)，并称p为成功概率．重点难点突破【题型一】条件概率【典型例题】某班组织由甲，乙，丙等5名同学参加的演讲比赛，现采用抽签法决定演讲顺序，在“学生甲不是第一个出场，学生乙不是最后一个出场”的前提下，学生丙第一个出场的概率为（）A．B．C．D．【再练一题】在由直线x＝1，y＝x和x轴围成的三角形内任取一点（x，y），记事件A为y＞x3，B为y＞x2，则P（B|A）＝（）A．B．C．D．思维升华(1)利用定义，分别求P(A)和P(AB)，得P(B|A)＝P ABP A，这是通用的求条件概率的方法．(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事件数，即n(AB)，得P(B|A)＝n ABn A.【题型二】相互独立事件的概率【典型例题】为了提升全民身体素质，学校十分重视学生体育锻炼．某校篮球运动员进行投篮练习，若他前一球投进则后一球投进的概率为，若他前一球投不进则后一球投进的概率为．若他第1球投进的概率为，则他第2球投进的概率为（）A．B．C．D．【再练一题】在某段时间内，甲地不下雨的概率为P1（0＜P1＜1），乙地不下雨的概率为P2（0＜P2＜1），若在这段时间内两地下雨相互独立，则这段时间内两地都下雨的概率为（）A．P1P2B．1﹣P1P2C．P1（1﹣P2）D．（1﹣P1）（1﹣P2）思维升华求相互独立事件同时发生的概率的方法(1)首先判断几个事件的发生是否相互独立．(2)求相互独立事件同时发生的概率的方法①利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解；【题型三】独立重复试验与二项分布命题点1根据独立重复试验求概率【典型例题】将一枚质地均匀的硬币抛掷三次，则出现“2次正面朝上，1次反面朝上”的概率为（）A．B．C．D．【再练一题】某射手每次射击击中目标的概率是，求这名射手在10次射击中，（1）恰有8次击中目标的概率；（2）至少有8次击中目标的概率．命题点2根据独立重复试验求二项分布【典型例题】设有3个投球手，其中一人命中率为q，剩下的两人水平相当且命中率均为p（p，q∈（0，1）），每位投球手均独立投球一次，记投球命中的总次数为随机变量为ξ．（1）当p＝q时，求数学期望E（ξ）及方差V（ξ）；（2）当p+q＝1时，将ξ的数学期望E（ξ）用p表示．【再练一题】一个盒子里有2个黑球和m个白球（m≥2，且m∈N*）．现举行摸奖活动：从盒中取球，每次取2个，记录颜色后放回．若取出2球的颜色相同则为中奖，否则不中．（Ⅰ）求每次中奖的概率p（用m表示）；（Ⅱ）若m＝3，求三次摸奖恰有一次中奖的概率；（Ⅲ）记三次摸奖恰有一次中奖的概率为f（p），当m为何值时，f（p）取得最大值？思维升华独立重复试验与二项分布问题的常见类型及解题策略(1)在求n次独立重复试验中事件恰好发生k次的概率时，首先要确定好n和k的值，再准确利用公式求概率．(2)在根据独立重复试验求二项分布的有关问题时，关键是理清事件与事件之间的关系，确定二项分布的试验次数n和变量的概率，求得概率．基础知识训练1．已知袋子内有7个球，其中4个红球，3个白球，从中不放回地依次抽取2个球，那么在已知第一次抽到红球的条件下，第二次也抽到红球的概率是（ ） A ．13 B ．37 C ．16 D ．122．科目二，又称小路考，是机动车驾驶证考核的一部分，是场地驾驶技能考试科目的简称．假设甲每次通过科目二的概率均为34，且每次考试相互独立，则甲第3次考试才通过科目二的概率为（ ） A ．164 B ．12131344C ⎛⎫⎛⎫⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．21231344C ⎛⎫⎛⎫⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．364 3．甲骑自行车从A 地到B 地，途中要经过4个十字路口，已知甲在每个十字路口遇到红灯的概率都是13，且在每个路口是否遇到红灯相互独立，那么甲在前两个十字路口都没有遇到红灯，直到第三个路口才首次遇到红灯的概率是（ ） A ．13 B ．427 C ．49 D ．1274．甲、乙同时参加某次法语考试，甲、乙考试达到优秀的概率分别为0.6，0.7，两人考试相互独立，则甲、乙两人都未达到优秀的概率为（ ） A ．0.42 B ．0.28 C ．0.18 D ．0.12 5．设随机变量X 服从二项分布，则函数存在零点的概率是()A ．B ．C ．D ．6．设随机变量ξ~B(2,p),η~B(4,p),若P(ξ≥1)=,则D(η)=( ) A ． B ． C ． D ．7．某次考试共有12个选择题，每个选择题的分值为5分，每个选择题四个选项且只有一个选项是正确的，A 学生对12个选择题中每个题的四个选择项都没有把握，最后选择题的得分为X 分，B 学生对12个选择题中每个题的四个选项都能判断其中有一个选项是错误的，对其它三个选项都没有把握，选择题的得分为Y 分，则()()D Y D X -的值为( ) A ．12512 B ．3512 C ．274 D ．2348．若10件产品中包含8件一等品，在其中任取2件，则在已知取出的2件中有1件不是一等品的条件下，另1件是一等品的概率为（）A．1213B．1415C．1617D．18199．甲、乙、丙、丁4个人进行网球比赛，首先甲、乙一组，丙、丁一组进行比赛，两组的胜者进入决赛，决赛的胜者为冠军、败者为亚军．4个人相互比赛的胜率如右表所示，表中的数字表示所在行选手击败其所在列选手的概率．那么甲得冠军且丙得亚军的概率是( )A．0.15B．0.105C．0.045D．0.2110．在体育选修课排球模块基本功(发球)测试中，计分规则如下(满分为10分)：①每人可发球7次，每成功一次记1分；②若连续两次发球成功加0.5分，连续三次发球成功加1分，连续四次发球成功加1.5分，以此类推， ，连续七次发球成功加3分.假设某同学每次发球成功的概率为23，且各次发球之间相互独立，则该同学在测试中恰好得5分的概率是( )A．6523B．5523C．6623D．562311．假定某人在规定区域投篮命中的概率为，现他在某个投篮游戏中，共投篮3次.（1）求连续命中2次的概率；（2）设命中的次数为X，求X的分布列和数学期望.12．为了调查高中生的数学成绩与学生自主学习时间之间的相关关系，新苗中学数学教师对新入学的45名学生进行了跟踪调查，其中每周自主做数学题的时间不少于15小时的有19人，余下的人中，在高三模拟考试中数学成绩不足120分的占8，统计成绩后，得到如下的22⨯列联表：分数大于等于120分分数不足120分合计周做题时间不少于15小时419周做题时间不足15小时合计45（1）请完成上面的22⨯列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“高中生的数学成绩与学生自主学习时间有关”．（2）（i）按照分层抽样的方法，在上述样本中，从分数大于等于120分和分数不足120分的两组学生中抽取9名学生，设抽到的不足120分且周做题时间不足15小时的人数为X，求X的分布列（概率用组合数算式表示）．（ii ）若将频率视为概率，从全校大于等于120分的学生中随机抽取20人，求这些人中周做题时间不少于15小时的人数的期望和方差．附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++()20P k k ≥ 0.050 0.010 0.0010k3.841 6.635 10.82813．生蚝即牡蛎(oyster)，是所有食物中含锌最丰富的，在亚热带、热带沿海都适宜蚝的养殖，我国分布很广，北起鸭绿江，南至海南岛，沿海皆可产蚝.蚝乃软体有壳，依附寄生的动物，咸淡水交界所产尤为肥美，因此生蚝成为了一年四季不可或缺的一类美食.某饭店从某水产养殖厂购进一批生蚝，并随机抽取了40只统计质量，得到的结果如下表所示. 质量(g )[)5,15[)15,25[)25,35[)35,45[)45,55数量 6101284(1)若购进这批生蚝500kg ，且同一组数据用该组区间的中点值代表，试估计这批生蚝的数量(所得结果保留整数)；(2)以频率估计概率，若在本次购买的生蚝中随机挑选4个，记质量在[)5,25间的生蚝的个数为X ，求X 的分布列及数学期望.14．某工厂的检验员为了检测生产线上生产零件的情况,从产品中随机抽取了个进行测量,根据所测量的数据画出频率分布直方图如下:注:尺寸数据在内的零件为合格品,频率作为概率.(Ⅰ) 从产品中随机抽取件,合格品的个数为,求的分布列与期望；(Ⅱ) 从产品中随机抽取件,全是合格品的概率不小于,求的最大值；(Ⅲ) 为了提高产品合格率,现提出两种不同的改进方案进行试验.若按方案进行试验后,随机抽取件产品,不合格个数的期望是；若按方案试验后,抽取件产品,不合格个数的期望是,你会选择哪个改进方案?15．为了引导居民合理用水，某市决定全面实施阶梯水价．阶梯水价原则上以住宅(一套住宅为一户)的月用水量为基准定价，具体划分标准如表：阶梯级别第一阶梯水量第二阶梯水量第三阶梯水量月用水量范围(单位：立方米)从本市随机抽取了10户家庭，统计了同一月份的月用水量，得到如图茎叶图：（Ⅰ）现要在这10户家庭中任意选取3户，求取到第二阶梯水量的户数X 的分布列与数学期望； （Ⅱ）用抽到的10户家庭作为样本估计全市的居民用水情况，从全市依次随机抽取10户，若抽到户月用水量为一阶的可能性最大，求的值．能力提升训练1．若已知随机变量，则____．2．某工厂生产电子元件，其产品的次品率为5%，现从一批产品中任意地连续取出2件，写出其中次品ξ的概率分布.ξ0 1 2P3．设随机变量1~,4X B n ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且()34D X =，则事件“2X =”的概率为_____（用数字作答） 4．如图，在小地图中，一机器人从点()0,0A 出发，每秒向上或向右移动1格到达相应点，已知每次向上移动1格的概率是23，向右移动1格的概率是13，则该机器人6秒后到达点()4,2B 的概率为__________.5．一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，若X 表示抽到的二等品件数，则()V X =_________.6．设随机变量(2,)B p ξ，(4,)B p η，若2()3E ξ=，则(3)P η≥=______. 7．为响应绿色出行，某市在推出“共享单车”后，又推出“新能源分时租赁汽车”．其中一款新能源分时租赁汽车，每次租车收费的标准由两部分组成：①根据行驶里程数按1元/公里计费；②行驶时间不超过分时，按元/分计费；超过分时，超出部分按元/分计费．已知王先生家离上班地点15公里，每天租用该款汽车上、下班各一次．由于堵车、红绿灯等因素，每次路上开车花费的时间(分)是一个随机变量．现统计了50次路上开车花费时间，在各时间段内的频数分布情况如下表所示：时间（分）频数2 18 20 10将各时间段发生的频率视为概率，每次路上开车花费的时间视为用车时间，范围为分．（1）写出王先生一次租车费用（元）与用车时间（分）的函数关系式； （2）若王先生一次开车时间不超过40分为“路段畅通”，设表示3次租用新能源分时租赁汽车中“路段畅通”的次数，求的分布列和期望；（3）若公司每月给1000元的车补，请估计王先生每月（按22天计算）的车补是否足够上、下班租用新能源分时租赁汽车？并说明理由．（同一时段，用该区间的中点值作代表）8．甲、乙两支球队进行总决赛，比赛采用五场三胜制，即若有一队先胜三场，则此队为总冠军，比赛就此结束．因两队实力相当，每场比赛两队获胜的可能性均为二分之一．据以往资料统计，第一场比赛可获得门票收入40万元，以后每场比赛门票收入比上一场增加10万元．(1)求总决赛中获得门票总收入恰好为150万元且甲获得总冠军的概率；(2)设总决赛中获得的门票总收入为，求的分布列和数学期望．9．在某项娱乐活动的海选过程中评分人员需对同批次的选手进行考核并评分，并将其得分作为该选手的成绩，成绩大于等于60分的选手定为合格选手，直接参加第二轮比赛，不超过40分的选手将直接被淘汰，成绩在内的选手可以参加复活赛，如果通过，也可以参加第二轮比赛．（1）已知成绩合格的200名参赛选手成绩的频率分布直方图如图，求a的值及估计这200名参赛选手的成绩平均数；（2）根据已有的经验，参加复活赛的选手能够进入第二轮比赛的概率为，假设每名选手能否通过复活赛相互独立，现有3名选手进入复活赛，记这3名选手在复活赛中通过的人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望．10．为了解市民对某项政策的态度，随机抽取了男性市民25人，女性市民75人进行调查，得到以下的列联表：支持不支持合计男性20525女性403575合计6040100(1)根据以上数据，能否有97.5%的把握认为市民“支持政策”与“性别”有关？(2)将上述调查所得的频率视为概率，现在从所有市民中，采用随机抽样的方法抽取4位市民进行长期跟踪调查，记被抽取的4位市民中持“支持”态度的人数为,求的分布列及数学期望。
高考数学一轮总复习第三章一元函数的导数及其应用专题突破7导数的综合应用课件
2
0恒成立.
考点二 利用导数研究恒（能）成立问题
例2 已知函数 = ln , = − 2 − − 4 ∈ .
（1）求函数 的极值；
1
3
（2）若对任意 ∈ 0, +∞ ，不等式 > 恒成立，求的取值范围.
解：（1） 的定义域为 0, +∞ ,′ = ln + 1.
（2）证明:由（1）得，
要证 > 2ln
即证2
= −ln = (e−ln + ) + ln = 1 + 2 + ln .
3
+ ，
2
即证1 + + ln > 2ln
2
min
3
+ ，
2
1
2
− − ln > 0恒成立.
1
设 = − − ln > 0 ，
第二问
在综合性和应用性的层次上考查了逻辑推
理、数学抽象及数学运算等学科素养，转化
与化归、函数与方程、数形结合等数学思想
方法，运算求解、推理论证等关键能力，以
及导数在研究函数性质中的应用及等差数列
等必备知识.
解：（1） 的定义域为，′ = e − .
若 ≤ 0，则′ > 0，此时 无最小值，故 > 0.
当 < −ln 时，′ < 0，则 在 −∞, −ln 上单调递减；当 > −ln 时，
′ > 0，则 在 −ln , +∞ 上单调递增.
综上,当 ≤ 0时， 在上单调递减;当 > 0时， 在 −∞, −ln 上单调递减,在
2020版数学高考专题突破及解析
第 2 节函数的单调性与最大( 小) 值最新考纲 1. 理解函数的单调性、最大( 小) 值及其几何意义； 2. 会运用基本初等函数的图像分析函数的性质.知识梳理1 . 函数的单调性(1) 单调函数的定义增函数减函数定义在函数y ＝ f ( x )的定义域内的一个区间A 上，如果对于任意两数x 1 ，x 2 ∈ A当x 1 < x 2 时，都有f ( x 1 )< f ( x 2 ) ，那么就说函数 f ( x ) 在区间 A 上是增加的当x 1 < x 2 时，都有f ( x 1 )> f ( x 2 ) ，那么就说函数 f ( x ) 在区间 A 上是减少的图像描述自左向右看图像是上升的自左向右看图像是下降的(2) 单调区间的定义如果y ＝ f ( x ) 在区间 A 上是增加的或是减少的，那么称 A 为单调区间.2 . 函数的最值前提函数y ＝ f ( x ) 的定义域为 D条件(1) 对于任意x ∈D ，都有 f ( x ) ≤M ；(2) 存在x 0 ∈ D ，使得 f ( x 0 ) ＝M (3) 对于任意x ∈D ，都有 f ( x ) ≥ M ；(4) 存在x 0 ∈ D ，使得 f ( x 0 ) ＝M结论M 为最大值M 为最小值[ 微点提醒]1 . 函数y ＝ f ( x )( f ( x )>0) 在公共定义域内与y ＝－ f ( x ) ，y ＝的单调性相反.2 . “ 对勾函数” y ＝x ＋( a >0) 的单调增区间为( －∞ ，－) ，( ，＋∞ ) ；单调减区间是[ －，0) ，(0 ，] .基础自测1 . 判断下列结论正误( 在括号内打“√” 或“×” )(1) 对于函数 f ( x ) ，x ∈ D ，若对任意x 1 ，x 2 ∈ D ，且x 1 ≠ x 2 有( x 1 －x 2 )[ f ( x 1 ) － f ( x 2 )]>0 ，则函数 f ( x ) 在区间 D 上是增函数. ( )(2) 函数y ＝的单调递减区间是( －∞ ，0) ∪ (0 ，＋∞ ) . ( )(3) 对于函数y ＝ f ( x ) ，若 f (1)< f (3) ，则 f ( x ) 为增函数. ( )(4) 函数y ＝ f ( x ) 在[1 ，＋∞ ) 上是增函数，则函数的单调递增区间是[1 ，＋∞ ) . ( )解析(2) 此单调区间不能用并集符号连接，取x 1 ＝－ 1 ，x 2 ＝ 1 ，则 f ( －1) ＜ f (1) ，故应说成单调递减区间为( －∞ ，0) 和(0 ，＋∞ ) .(3) 应对任意的x 1 ＜x 2 ， f ( x 1 ) ＜ f ( x 2 ) 成立才可以.(4) 若 f ( x ) ＝x ， f ( x ) 在[1 ，＋∞ ) 上为增函数，但y ＝ f ( x ) 的单调递增区间是R .答案(1) √ (2) × (3) × (4) ×2 . ( 必修1P 37 例 1 改编) 下列函数中，在区间(0 ，＋∞ ) 内单调递减的是( )A . y ＝－xB . y ＝x 2 －xC . y ＝ln x －xD . y ＝ e x解析对于 A ，y 1 ＝在(0 ，＋∞ ) 内是减函数，y 2 ＝x 在(0 ，＋∞ ) 内是增函数，则y ＝－x 在(0 ，＋∞ ) 内是减函数；B ，C 选项中的函数在(0 ，＋∞ ) 上均不单调；选项D 中，y ＝ e x 在(0 ，＋∞ ) 上是增函数.答案 A3 . ( 必修1P3 8 例4 改编) 函数y ＝在区间[2 ，3] 上的最大值是________ .解析函数y ＝在[2 ，3] 上是减函数，当x ＝ 2 时，y ＝取得最大值＝ 2.答案 24 . (2018·广东省际名校联考) 设函数 f ( x ) 在R 上为增函数，则下列结论一定正确的是( )A . y ＝在R 上为减函数B . y ＝| f ( x )| 在R 上为增函数C . y ＝－在R 上为增函数D . y ＝－ f ( x ) 在R 上为减函数解析如 f ( x ) ＝x 3 ，则y ＝的定义域为( －∞ ，0) ∪ (0 ，＋∞ ) ，在定义域上无单调性， A 错；则y ＝| f ( x )| 在R 上无单调性，B 错；则y ＝－的定义域为( －∞ ，0) ∪ (0 ，＋∞ ) ，在定义域上无单调性，C 错.答案 D5 . (2019·西安调研) 若函数 f ( x ) ＝( m －1) x ＋ b 在R 上是增函数，则 f ( m ) 与 f (1) 的大小关系是( )A . f ( m )> f (1)B . f ( m )< f (1)C . f ( m ) ≥ f (1)D . f ( m ) ≤ f (1)解析因为 f ( x ) ＝( m －1) x ＋ b 在R 上是增函数，则m －1>0 ，所以m >1 ，所以 f ( m )> f (1) .答案 A6 . (2017·全国Ⅱ卷) 函数 f ( x ) ＝ln( x 2 － 2 x －8) 的单调递增区间是( )A . ( －∞ ，－2)B . ( －∞ ，1)C . (1 ，＋∞ )D . (4 ，＋∞ )解析由x 2 － 2 x －8>0 ，得x >4 或x < － 2.设t ＝x 2 － 2 x －8 ，则y ＝ln t 为增函数.要求函数 f ( x ) 的单调递增区间，即求函数t ＝x 2 － 2 x －8 的单调递增区间.∵ 函数t ＝x 2 － 2 x －8 的单调递增区间为(4 ，＋∞ ) ，∴ 函数 f ( x ) 的单调递增区间为(4 ，＋∞ ) .答案 D考点一确定函数的单调性( 区间)【例 1 】(1) (2019·东北三省四校质检) 若函数y ＝log ( x 2 －ax ＋ 3 a ) 在区间(2 ，＋∞ ) 上是减函数，则 a 的取值范围为( )A . ( －∞ ，－4) ∪ [2 ，＋∞ )B . ( － 4 ，4]C . [ － 4 ，4)D . [ － 4 ，4]解析令t ＝x 2 －ax ＋ 3 a ，则y ＝log t ( t >0) ，易知t ＝x 2 －ax ＋ 3 a 在上单调递减，在上单调递增.∵ y ＝log ( x 2 －ax ＋ 3 a ) 在区间(2 ，＋∞ ) 上是减函数，∴ t ＝x 2 －ax ＋ 3 a 在(2 ，＋∞ ) 上是增函数，且在(2 ，＋∞ ) 上t >0 ，∴ 2 ≥ ，且 4 － 2 a ＋ 3 a ≥ 0 ，∴ a ∈ [ － 4 ，4] .答案 D(2) 判断并证明函数 f ( x ) ＝ax 2 ＋( 其中1< a <3) 在x ∈ [1 ，2] 上的单调性.解 f ( x ) 在[1 ，2] 上单调递增，证明如下：设 1 ≤ x 1 < x 2 ≤ 2 ，则 f ( x 2 ) － f ( x 1 ) ＝ax ＋－ax －＝( x 2 －x 1 ) ，由 1 ≤ x 1 < x 2 ≤ 2 ，得x 2 －x 1 >0 ，2< x 1 ＋x 2 <4 ，1< x 1 x 2 <4 ，－1< －< －.又因为1< a <3 ，所以2< a ( x 1 ＋x 2 )<12 ，得 a ( x 1 ＋x 2 ) －>0 ，从而 f ( x 2 ) － f ( x 1 )>0 ，即 f ( x 2 )> f ( x 1 ) ，故当 a ∈ (1 ，3) 时， f ( x ) 在[1 ，2] 上单调递增.规律方法 1.(1) 求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间，如例1(1) . (2) 单调区间不能用集合或不等式表达，且图像不连续的单调区间要用“ 和”“ ，” 连接.2 . (1) 函数单调性的判断方法有：① 定义法；② 图像法；③ 利用已知函数的单调性；④ 导数法.(2) 函数y ＝ f [ g ( x )] 的单调性应根据外层函数y ＝ f ( t ) 和内层函数t ＝g ( x ) 的单调性判断，遵循“ 同增异减” 的原则.【训练 1 】( 一题多解) 试讨论函数 f ( x ) ＝( a ≠ 0) 在( －1 ，1) 上的单调性.解法一设－1< x 1 < x 2 <1 ，f ( x ) ＝ a ＝ a ，f ( x 1 ) － f ( x 2 ) ＝ a － a ＝，由于－1< x 1 < x 2 <1 ，所以x 2 －x 1 >0 ，x 1 －1<0 ，x 2 －1<0 ，故当 a >0 时， f ( x 1 ) － f ( x 2 )>0 ，即 f ( x 1 )> f ( x 2 ) ，函数 f ( x ) 在( － 1 ，1) 上单调递减；当 a <0 时， f ( x 1 ) － f ( x 2 )<0 ，即 f ( x 1 )< f ( x 2 ) ，函数 f ( x ) 在( － 1 ，1) 上单调递增.法二 f ′( x ) ＝＝＝－.当 a >0 时， f ′( x )<0 ，函数 f ( x ) 在( － 1 ，1) 上单调递减；当 a <0 时， f ′( x )>0 ，函数 f ( x ) 在( － 1 ，1) 上单调递增.考点二求函数的最值【例 2 】(1) 已知函数 f ( x ) ＝ a x ＋log a x ( a >0 ，且 a ≠ 1) 在[1 ，2] 上的最大值与最小值之和为log a 2 ＋ 6 ，则 a 的值为( )A. B. C . 2 D . 4(2) 已知函数 f ( x ) ＝则 f [ f ( －3)] ＝________ ， f ( x ) 的最小值是________ .解析(1) f ( x ) ＝ a x ＋log a x 在[1 ，2] 上是单调函数，所以 f (1) ＋ f (2) ＝log a 2 ＋ 6 ，则 a ＋log a 1 ＋ a 2 ＋log a 2 ＝log a 2 ＋ 6 ，即( a －2)( a ＋3) ＝0 ，又 a >0 ，所以 a ＝ 2.(2) ∵ f ( －3) ＝lg[( －3) 2 ＋1] ＝lg 10 ＝ 1 ，∴ f [ f ( －3)] ＝ f (1) ＝0 ，当x ≥ 1 时， f ( x ) ＝x ＋－ 3 ≥ 2 － 3 ，当且仅当x ＝时，取等号，此时 f ( x ) min ＝ 2 －3<0 ；当x <1 时， f ( x ) ＝lg( x 2 ＋1) ≥ lg 1 ＝0 ，当且仅当x ＝0 时，取等号，此时 f ( x ) min ＝0.∴ f ( x ) 的最小值为 2 － 3.答案(1)C (2)0 2 － 3规律方法求函数最值的四种常用方法(1) 单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.(2) 图像法：先作出函数的图像，再观察其最高点、最低点，求出最值.(3) 基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“ 一正二定三相等” 的条件后用基本不等式求出最值.(4) 导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.【训练 2 】(1) (2019·郑州调研) 函数 f ( x ) ＝－在x ∈ [1 ，4] 上的最大值为M ，最小值为m ，则M －m 的值是( )A. B . 2 C. D.(2) (2018·邵阳质检) 定义max{ a ， b ， c ，} 为 a ， b ， c 中的最大值，设M ＝max{2 x ， 2 x － 3 ， 6 －x } ，则M 的最小值是( )A . 2B . 3C . 4D . 6解析(1) 易知 f ( x ) ＝－在[1 ，4] 上是增函数，∴ M ＝ f ( x ) max ＝ f (4) ＝ 2 －＝，m ＝ f (1) ＝0.因此M －m ＝.(2) 画出函数M ＝{2 x ， 2 x － 3 ， 6 －x } 的图像( 如图) ，由图可知，函数M 在 A (2 ，4) 处取得最小值 2 2 ＝ 6 － 2 ＝ 4 ，故M 的最小值为 4.答案(1)A (2)C考点三函数单调性的应用多维探究角度 1 利用单调性比较大小【例 3 － 1 】已知函数 f ( x ) 的图像向左平移 1 个单位后关于y 轴对称，当x 2 > x 1 >1 时，[ f ( x 2 ) － f ( x 1 )]·( x 2 －x 1 )<0 恒成立，设 a＝ f ， b ＝ f (2) ， c ＝ f (3) ，则 a ， b ， c 的大小关系为( )A . c > a > bB . c > b > aC . a > c > bD . b > a > c解析由于函数 f ( x ) 的图像向左平移 1 个单位后得到的图像关于y 轴对称，故函数y ＝ f ( x ) 的图像关于直线x ＝ 1 对称，所以 a ＝ f ＝ f .当x 2 > x 1 >1 时，[ f ( x 2 ) － f ( x 1 )]( x 2 －x 1 )<0 恒成立，等价于函数f ( x ) 在(1 ，＋∞ ) 上单调递减，所以 b > a > c .答案 D角度 2 求解函数不等式【例 3 － 2 】(2018·全国Ⅰ卷) 设函数 f ( x ) ＝则满足f ( x ＋1)< f (2 x ) 的x 的取值范围是( )A . ( －∞ ，－1]B . (0 ，＋∞ )C . ( － 1 ，0)D . ( －∞ ，0)解析当x ≤ 0 时，函数 f ( x ) ＝ 2 －x 是减函数，则 f ( x ) ≥ f (0) ＝ 1. 作出 f ( x ) 的大致图像如图所示，结合图像知，要使 f ( x ＋1) ＜ f (2x ) ，当且仅当或解得x < － 1 或－ 1 ≤ x <0 ，即x <0.答案 D角度 3 求参数的值或取值范围【例 3 － 3 】已知 f ( x ) ＝满足对任意x 1 ≠ x 2 ，都有>0 成立，那么实数 a 的取值范围是________ .解析对任意x 1 ≠ x 2 ，都有>0 ，所以y ＝ f ( x ) 在( －∞ ，＋∞ ) 上是增函数.所以解得≤ a <2.故实数 a 的取值范围是.答案规律方法 1. 利用单调性求参数的取值( 范围) 的思路是：根据其单调性直接构建参数满足的方程( 组)( 不等式( 组)) 或先得到其图像的升降，再结合图像求解. 对于分段函数，要注意衔接点的取值.2 . (1) 比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决.(2) 求解函数不等式，其实质是函数单调性的逆用，由条件脱去“ f ” .【训练 3 】(1) 已知奇函数 f ( x ) 在R 上是增函数，若 a ＝－ f ，b ＝ f (log 2 4.1) ， c ＝ f (2 0.8 ) ，则 a ， b ， c 的大小关系为( )A . a < b < cB . b < a < cC . c < b < aD . c < a < b(2) 若函数 f ( x ) ＝－x 2 ＋ 2 ax 与g ( x ) ＝在区间[1 ，2] 上都是减函数，则 a 的取值范围是( )A . ( － 1 ，0) ∪ (0 ，1)B . ( － 1 ，0) ∪ (0 ，1]C . (0 ，1)D . (0 ，1]解析(1) 由 f ( x ) 是奇函数，得 a ＝－ f ＝ f (log 2 5) .又log 2 5>log 2 4.1>2>2 0.8 ，且y ＝ f ( x ) 在R 上是增函数，所以 a > b >c .(2) 因为 f ( x ) ＝－x 2 ＋ 2 ax ＝－( x － a ) 2 ＋ a 2 在[1 ，2] 上为减函数，所以由其图像得 a ≤ 1 ，g ( x ) ＝，g ′( x ) ＝－，要使g ( x ) 在[1 ，2] 上为减函数，需g ′( x )<0 在[1 ，2] 上恒成立，故有－ a <0 ，因此 a >0 ，综上可知0< a ≤ 1.答案(1)C (2)D[ 思维升华]1 . 利用定义证明或判断函数单调性的步骤：(1) 取值；(2) 作差；(3) 定号；(4) 判断.2 . 确定函数单调性有四种常用方法：定义法、导数法、复合函数法、图像法，也可利用单调函数的和差确定单调性.3 . 求函数最值的常用求法：单调性法、图像法、换元法、利用基本不等式. 闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，当函数在闭区间上单调时，最值一定在端点处取到；开区间上的“ 单峰” 函数一定存在最大值( 最小值) .[ 易错防范]1 . 区分两个概念：“ 函数的单调区间” 和“ 函数在某区间上单调” ，前者指函数具备单调性的“ 最大” 的区间，后者是前者“ 最大” 区间的子集.2 . 函数在两个不同的区间上单调性相同，一般要分开写，用“ ，” 或“ 和” 连接，不要用“ ∪ ” . 例如，函数 f ( x ) 在区间( － 1 ，0) 上是减函数，在(0 ，1) 上是减函数，但在( － 1 ，0) ∪ (0 ，1) 上却不一定是减函数，如函数 f ( x ) ＝.基础巩固题组( 建议用时：40 分钟)一、选择题1 . 函数 f ( x ) ＝－x ＋在上的最大值是( )A. B . － C . － 2 D . 2解析易知 f ( x ) 在上是减函数，∴ f ( x ) max ＝ f ( －2) ＝ 2 －＝.答案 A2 . (2019·广州模拟) 下列函数 f ( x ) 中，满足“ 任意x 1 ，x 2 ∈ (0 ，＋∞ ) 且x 1 ≠ x 2 ，( x 1 －x 2 )·[ f ( x 1 ) － f ( x 2 )]<0 ” 的是( )A . f ( x ) ＝ 2 xB . f ( x ) ＝| x －1|C . f ( x ) ＝－xD . f ( x ) ＝ln( x ＋1)解析由( x 1 －x 2 )·[ f ( x 1 ) － f ( x 2 )]<0 可知， f ( x ) 在(0 ，＋∞ ) 上是减函数， A ， D 选项中， f ( x ) 为增函数； B 中， f ( x ) ＝| x －1| 在(0 ，＋∞ ) 上不单调，对于 f ( x ) ＝－x ，因为y ＝与y ＝－x 在(0 ，＋∞ ) 上单调递减，因此 f ( x ) 在(0 ，＋∞ ) 上是减函数. 答案 C3 . (2019·萍乡一模) 已知函数 f ( x ) ＝log a ( －x 2 － 2 x ＋3)( a >0 且 a ≠ 1) ，若 f (0)<0 ，则此函数的单调递增区间是( )A . ( －∞ ，－1]B . [ － 1 ，＋∞ )C . [ － 1 ，1)D . ( － 3 ，－1]解析令g ( x ) ＝－x 2 － 2 x ＋ 3 ，由题意知g ( x )>0 ，可得－3< x <1 ，故函数的定义域为{ x | －3< x <1} . 根据 f (0) ＝log a 3<0 ，可得0< a <1 ，又g ( x ) 在定义域( － 3 ，1) 内的减区间是[ － 1 ，1) ，∴ f ( x ) 的单调递增区间为[ － 1 ，1) .答案 C4 . 函数y ＝，x ∈ ( m ，n ] 的最小值为0 ，则m 的取值范围是( )A . (1 ，2)B . ( － 1 ，2)C . [1 ，2)D . [ － 1 ，2)解析函数y ＝＝＝－ 1 在区间( － 1 ，＋∞ ) 上是减函数，且 f (2) ＝0 ，所以n ＝ 2.根据题意，x ∈ ( m ，n ] 时，y min ＝0.∴ m 的取值范围是[ － 1 ，2) .答案 D5 . (2019·蚌埠模拟) 已知单调函数 f ( x ) ，对任意的x ∈ R 都有 f [ f ( x ) －2 x ] ＝ 6 ，则 f (2) ＝( )A . 2B . 4C . 6D . 8解析设t ＝ f ( x ) － 2 x ，则 f ( t ) ＝ 6 ，且 f ( x ) ＝ 2 x ＋t ，令x ＝t ，则 f ( t ) ＝ 2 t ＋t ＝ 6 ，∵ f ( x ) 是单调函数，且 f (2) ＝ 2 2 ＋ 2 ＝ 6 ，∴ t ＝ 2 ，即 f ( x ) ＝ 2 x ＋ 2 ，则 f (2) ＝ 4 ＋ 2 ＝6.答案 C二、填空题6 . 设函数 f ( x ) ＝g ( x ) ＝x 2 f ( x －1) ，则函数g ( x ) 的递减区间是________ .解析由题意知g ( x ) ＝函数的图像如图所示的实线部分，根据图像，g ( x ) 的递减区间是[0 ，1) .答案[0 ，1)7 . 设函数 f ( x ) ＝在区间( － 2 ，＋∞ ) 上是增函数，那么 a 的取值范围是________ .解析 f ( x ) ＝＝ a －，∵ 函数 f ( x ) 在区间( － 2 ，＋∞ ) 上是增函数，∴ 即即 a ≥ 1.答案[1 ，＋∞ )8 . ( 一题多解)(2019·成都诊断) 对于任意实数 a ， b ，定义min{ a ，b } ＝设函数 f ( x ) ＝－x ＋ 3 ，g ( x ) ＝log 2 x ，则函数h ( x ) ＝min{ f ( x ) ，g ( x )} 的最大值是______ .解析法一在同一坐标系中，作函数 f ( x ) ，g ( x ) 图像，依题意，h ( x ) 的图像如图所示的实线部分.易知点 A (2 ，1) 为图像的最高点，因此h ( x ) 的最大值为h (2) ＝ 1.法二依题意，h ( x ) ＝当0< x ≤ 2 时，h ( x ) ＝log 2 x 是增函数，当x >2 时，h ( x ) ＝ 3 －x 是减函数，因此h ( x ) 在x ＝ 2 时取得最大值h (2) ＝ 1.答案 1三、解答题9 . 已知函数 f ( x ) ＝－( a >0 ，x >0) .(1) 求证： f ( x ) 在(0 ，＋∞ ) 上是增函数；(2) 若 f ( x ) 在上的值域是，求 a 的值.(1) 证明设x 2 > x 1 >0 ，则x 2 －x 1 >0 ，x 1 x 2 >0 ，∵ f ( x 2 ) － f ( x 1 ) ＝－＝－＝>0 ，∴ f ( x 2 )> f ( x 1 ) ，∴ f ( x ) 在(0 ，＋∞ ) 上是增函数.(2) 解∵ f ( x ) 在上的值域是，又由(1) 得 f ( x ) 在上是单调增函数，∴ f ＝， f (2) ＝ 2 ，易得 a ＝.10 . 函数 f ( x ) ＝log a (1 －x ) ＋log a ( x ＋3)(0< a <1) .(1) 求方程 f ( x ) ＝0 的解.(2) 若函数 f ( x ) 的最小值为－ 1 ，求 a 的值.解(1) 由得－3< x <1.∴ f ( x ) 的定义域为( － 3 ，1) .则 f ( x ) ＝log a ( －x 2 － 2 x ＋3) ，x ∈ ( － 3 ，1) ，令 f ( x ) ＝0 ，得－x 2 － 2 x ＋ 3 ＝ 1 ，解得x ＝－1± ∈ ( － 3 ，1) .故 f ( x ) ＝0 的解为x ＝－1± .(2) 由(1) 得 f ( x ) ＝log a [ －( x ＋1) 2 ＋4] ，x ∈ ( － 3 ，1) ，由于0< －( x ＋1) 2 ＋ 4 ≤ 4 ，且 a ∈ (0 ，1) ，∴ log a [ －( x ＋1) 2 ＋4] ≥ log a 4 ，由题意可得log a 4 ＝－ 1 ，解得 a ＝，满足条件.所以 a 的值为.能力提升题组( 建议用时：20 分钟)11 . (2017·全国Ⅰ卷) 已知函数 f ( x ) 在( －∞ ，＋∞ ) 上单调递减，且为奇函数. 若 f (1) ＝－ 1 ，则满足－ 1 ≤ f ( x －2) ≤ 1 的x 的取值范围是( )A . [ － 2 ，2]B . [ － 1 ，1]C . [0 ，4]D . [1 ，3]解析∵ f ( x ) 为奇函数，∴ f ( －x ) ＝－ f ( x ) .∵ f (1) ＝－ 1 ，∴ f ( －1) ＝－ f (1) ＝ 1.故由－ 1 ≤ f ( x －2) ≤ 1 ，得 f (1) ≤ f ( x －2) ≤ f (－1) .又 f ( x ) 在( －∞ ，＋∞ ) 单调递减，∴ － 1 ≤ x － 2 ≤ 1 ，∴ 1 ≤ x ≤ 3.答案 D12 . 已知函数 f ( x ) ＝x 2 － 2 ax ＋ a 在区间( －∞ ，1) 上有最小值，则函数g ( x ) ＝在区间(1 ，＋∞ ) 上一定( )A . 有最小值B . 有最大值C . 是减函数D . 是增函数解析因为函数 f ( x ) ＝x 2 － 2 ax ＋ a ＝( x － a ) 2 ＋ a － a 2 在区间( －∞ ，1) 上有最小值，所以函数 f ( x ) 的对称轴x ＝ a 应当位于区间( －∞ ，1) 内，即 a <1 ，又g ( x ) ＝＝x ＋－ 2 a ，当 a <0 时，g ( x ) ＝x ＋－ 2 a 在区间(1 ，＋∞ ) 上为增函数，此时，g ( x ) min > g (1) ＝ 1 － a >0 ；当 a ＝0 时，g ( x ) ＝x 在区间(1 ，＋∞ ) 上为增函数，此时，g ( x ) min > g (1) ＝ 1 ：当0< a <1 时，g ( x ) ＝x ＋－ 2 a ，g ′( x ) ＝ 1 －>1 －a >0 ，此时g ( x ) min > g (1) ＝ 1 － a ；综上，g ( x ) 在区间(1 ，＋∞ ) 上单调递增.答案 D13 . 已知 f ( x ) ＝不等式 f ( x ＋ a )> f (2 a －x ) 在[ a ， a ＋1] 上恒成立，则实数 a 的取值范围是________ .解析二次函数y 1 ＝x 2 － 4 x ＋ 3 的对称轴是x ＝ 2 ，所以该函数在( －∞ ，0] 上单调递减，所以x 2 － 4 x ＋ 3 ≥ 3 ，同样可知函数y 2 ＝－x 2 － 2 x ＋ 3 在(0 ，＋∞ ) 上单调递减，所以－x 2 － 2 x ＋3<3 ，所以 f ( x ) 在R 上单调递减，所以由 f ( x ＋ a )> f (2 a －x ) 得到x ＋ a <2 a －x ，即 2 x < a 在[ a ， a ＋1] 上恒成立，所以2( a ＋1)< a ， a < － 2 ，所以实数 a 的取值范围是( －∞ ，－2) .答案( －∞ ，－2)14 . 已知函数 f ( x ) ＝ a －.(1) 求 f (0) ；(2) 探究 f ( x ) 的单调性，并证明你的结论；(3) 若 f ( x ) 为奇函数，求满足 f ( ax )< f (2) 的x 的范围.解(1) f (0) ＝ a －＝ a － 1.(2) f ( x ) 在R 上单调递增. 证明如下：∵ f ( x ) 的定义域为R ，∴ 任取x 1 ，x 2 ∈ R 且x 1 < x 2 ，则 f ( x 1 ) － f ( x 2 ) ＝ a －－ a ＋＝，∵ y ＝ 2 x 在R 上单调递增且x 1 < x 2 ，∴ 0<2 x 1 <2 x 2 ，∴ 2 x 1 － 2 x 2 <0 ， 2 x 1 ＋1>0 ， 2 x 2 ＋1>0.∴ f ( x 1 ) － f ( x 2 )<0 ，即 f ( x 1 )< f ( x 2 ) .∴ f ( x ) 在R 上单调递增.(3) ∵ f ( x ) 是奇函数，∴ f ( －x ) ＝－ f ( x ) ，即 a －＝－ a ＋，解得 a ＝1( 或用 f (0) ＝0 去解) .∴ f ( ax )< f (2) 即为 f ( x )< f (2) ，又∵ f ( x ) 在R 上单调递增，∴ x <2.∴ x 的取值范围是( －∞ ，2) .。
2020年高考数学(京津鲁琼版)二轮复习典型例题分层突破课件：第二部分 专题七 第1讲 数学文化
B
我 国 南 宋 数 学 家 秦 九 韶 发 现 的 “ 三 斜 求 积 术 ” 虽 然 与 海 伦 公 式 (S ＝ p（p－a）（p－b）（p－c），其中 p＝12(a＋b＋c))在形式上不一样，但两者完全等价，
它填补了我国传统数学的一项空白，从中可以看出我国古代已经具有很高的数学水平．
[对点训练] (2019·济南市学习质量评估)我国《物权法》规定：建造建筑物，不得违反国家有关工 程建设标准，妨碍相邻建筑物的通风、采光和日照．已知某小区的住宅楼的底部均在 同一水平面上，且楼高均为 45 m，依据规定，该小区内住宅楼楼间距应不小于 52 m．若 该小区内某居民在距离楼底 27 m 高处的某阳台观测点，测得该小区内正对面住宅楼楼 顶的仰角与楼底的俯角之和为 45°，则该小区的住宅楼楼间距实际为________m.
万物生成变化根源的哲理，展现了一种相互转化，相对统一的形式美．按照太极图的
构图方法，在平面直角坐标系中，圆 O 被函数 y＝3sin π6x 的图象分割为两个对称的鱼
形图案，如图所示，其中小圆的半径均为 1，现从大圆内随机取一点，则此点取自阴影
部分的概率为( )
A．316
B．118
C．112
D．19
第二部分 高考热点 分层突破
专题七 数学文化及数学思想 第1讲 数学文化
数学
01
研考点考向
破重点难点
02
练典型习题
提数学素养
函数中的数学文化题 [典型例题]
在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，如图所示，鳖 臑 ABCD 中，AB⊥平面 BCD，且 BD⊥CD，AB＝BD＝CD，点 P 在棱 AC 上运动， 设 CP 的长度为 x，若△PBD 的面积为 f(x)，则函数 y＝f(x)的图象大致是( )
2020年高考数学专项突破50题(5)--平面向量【含答案解析】
2020年高考数学专项突破50题（5）--平面向量学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题（本题共40道小题，每小题2分，共80分）1.已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+u u u r u u u r u u u r的最小值是( ) A. －32B. －2C. －43D. －12.O 为△ABC 所在平面上动点，点P 满足AB AC OP OA AB AC λ⎛⎫⎪=++ ⎪⎝⎭u u u v u u u v u u u v u u u vu u u v u u u v ,,[)0λ∈+∞ ,则射线AP 过△ABC 的（ ） A. 外心 B. 内心C. 重心D. 垂心3.已知向量()()2,1,,1a b λ=--=r r ，则a r 与b r的夹角θ为钝角时，λ的取值范围为（ ）A. 12λ> B. 12λ<-C. 12λ>-且2λ≠ D. 无法确定 4.设O 在△ABC 的内部，且20OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r，则△ABC 的面积与AOC ∆的面积之比为（ ） A. 3 B. 4C. 5D. 65.已知平面向量()()1,3,,3a b x ==-v v，且//a b r r ，则2a b +=r r （ ）A. 10C. 56.设等边三角形△ABC 的边长为1，平面内一点M 满足1123AM AB AC =+u u u u r u u u r u u u r ，向量AM u u u u r与AB u u u r夹角的余弦值为（ ）A. 63B.3 C.1912D.419197.如图，在△ABC 中，AC AD 32=，13BP PD =u u u r u u u r ，若AP AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r ，则λμ+的值为（ ）A. 1112B.34C.89D.97 8.已知：()()3,1,0,5OA OB →→=-=且//,AC OB BC AB →→→→⊥，O 为坐标原点，则点C 的坐标为 ( ) A. 293,4⎛⎫-- ⎪⎝⎭B. 293,4⎛⎫- ⎪⎝⎭C. 293,4⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 293,4⎛⎫-⎪⎝⎭9.在边长为4的等边△ABC 中，M ，N 分别为BC ，AC 的中点，则AM BN ⋅u u u u v u u u v=( ) A. －6 B. 6C. 0D. 32-10.已知点P 是△ABC 所在平面内一点，且满足()()cos cos AB AC AP R AB B AC Cλλ=+∈u u u v u u u vu u u v u u u v u u u v ，则直线AP 必经过△ABC 的( ) A. 外心 B. 内心C. 重心D. 垂心11.设x R ∈，向量(,1)a x =r ，(1,2)b =-r ，且a b ⊥r r ，则a b r r +=（ ）510C. 5D. 1012.如图，在四边形ABCD 中，1AB BC CD ===，且90B ∠=︒，135BCD ∠=︒，记向量,,AB a AC b ==u u u r u u u r r r 则AD u u u r= （ ）A. 22(1)2a b -+r rB. 22(1)2a b -++r rC. 22(1)2a b -+-r rD. 22(1)2a b +-r r13.在四边形ABCD 中，若AB DC =u u u r u u u r ，且0AB AD ⋅=u u u r u u u r，则四边形ABCD 是（ ） A. 矩形 B. 菱形C. 正方形D. 梯形14.向量a r ，b r ，c r在正方形网格中的位置如图所示。
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第9节离散型随机变量的均值与方差最新考纲 1.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念；2.能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些简单实际问题．知识梳理1.离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量X的分布列为P(X＝a i)＝p i(i＝1，2，…，r).(1)均值EX＝a1p1＋a2p2＋…＋a r p r，EX刻画的是X取值的“中心位置”.(2)方差DX＝E(X－EX)2为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值EX的平均偏离程度.2.均值与方差的性质(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.(2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数).3.两点分布与二项分布的均值、方差(1)若X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p).(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p).[微点提醒]1.若x1，x2相互独立，则E(x1·x2)＝E(x1)·E(x2).2.均值与方差的关系：D(X)＝E(X2)－E2(X).3.超几何分布的均值：若X服从参数为N，M，n的超几何分布，则E(X)＝nM N.基础自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)期望值就是算术平均数，与概率无关.()(2)随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量.()(3)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量平均程度越小.()(4)均值与方差都是从整体上刻画离散型随机变量的情况，因此它们是一回事.()解析均值即期望值刻画了离散型随机变量取值的平均水平，而方差刻画了离散型随机变量的取值偏离期望值的平均程度，因此它们不是一回事，故(1)(4)均不正确.答案(1)×(2)√(3)√(4)×2.(选修2－3P58例1改编)已知X的分布列为设Y＝2X＋3，则E(Y)的值为()A.73 B.4 C.－1 D.1解析E(X)＝－1×12＋0×13＋1×16＝－13，E(Y)＝E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝－23＋3＝73.答案 A3.(选修2－3P62A2改编)若随机变量X满足P(X＝c)＝1，其中c为常数，则D(X)的值为________.解析∵P(X＝c)＝1，∴E(X)＝c×1＝c，∴D(X)＝(c－c)2×1＝0.答案04.(2018·浙江卷)设0<p<1，随机变量ξ的分布列是则当p在(0，1)内增大时()A.D(ξ)减小B.D(ξ)增大C.D(ξ)先减小后增大D.D(ξ)先增大后减小解析由题可得E(ξ)＝12＋p，所以D(ξ)＝－p2＋p＋14＝－⎝⎛⎭⎪⎫p－122＋12，所以当p在(0，1)内增大时，D(ξ)先增大后减小.答案 D5.(2019·合肥检测)甲、乙两工人在一天生产中出现的废品数分别是两个随机变量X，Y，其分布列分别为：若甲、乙两人的日产量相等，则甲、乙两人中技术较好的是________.解析E(X)＝0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1.E(Y)＝0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＝0.9，所以E(Y)<E(X)，故乙技术好.答案乙6.(2017·全国Ⅱ卷)一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，则D(X)＝________.解析有放回地抽取，是一个二项分布模型，其中p＝0.02，n＝100，则D(X)＝np(1－p)＝100×0.02×0.98＝1.96.答案 1.96考点一 离散型随机变量的均值与方差【例1】 (2019·青岛一模)为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动.该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算).有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为14，16；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为12，23；两人滑雪时间都不会超过3小时.(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ(单位：元)，求ξ的分布列与数学期望E (ξ)，方差D (ξ).解 (1)两人所付费用相同，相同的费用可能为0，40，80元， 两人都付0元的概率为p 1＝14×16＝124， 两人都付40元的概率为p 2＝12×23＝13， 两人都付80元的概率为p 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－16－23＝14×16＝124，则两人所付费用相同的概率为p ＝p 1＋p 2＋p 3＝124＋13＋124＝512.(2)由题设甲、乙所付费用之和为ξ，ξ可能取值为0，40，80，120，160，则： P (ξ＝0)＝14×16＝124；P (ξ＝40)＝14×23＋12×16＝14；P (ξ＝80)＝14×16＋12×23＋14×16＝512；P (ξ＝120)＝12×16＋14×23＝14；P (ξ＝160)＝14×16＝124. ξ的分布列为E (ξ)＝0×124＋40×14＋80×512＋120×14＋160×124＝80.D (ξ)＝(0－80)2×124＋(40－80)2×14＋(80－80)2×512＋(120－80)2×14＋(160－80)2×124＝4 0003.规律方法 (1)求离散型随机变量的均值与方差关键是确定随机变量的所有可能值，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算. (2)注意E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ，D (aX ＋b )＝a 2D (X )的应用.【训练1】 从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为12，13，14.(1)记X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X 的分布列和数学期望；(2)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率. 解 (1)随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3，P (X ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＝14，P (X ＝1)＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×14＝1124，P (X ＝2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×13×14＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×14＋12×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＝14， P (X ＝3)＝12×13×14＝124. 所以，随机变量X 的分布列为随机变量X 的数学期望E (X )＝0×14＋1×1124＋2×14＋3×124＝1312.(2)设Y 表示第一辆车遇到红灯的个数，Z 表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为P (Y ＋Z ＝1)＝P (Y ＝0，Z ＝1)＋P (Y ＝1，Z ＝0) ＝P (Y ＝0)P (Z ＝1)＋P (Y ＝1)P (Z ＝0)＝14×1124＋1124×14＝1148.所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为1148. 考点二 二项分布的均值与方差【例2】 (2019·吉安一模)某市市民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量不超过w 立方米的部分按4元/立方米收费，超出w 立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了100位市民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图，并且前四组频数成等差数列.(1)求a ，b ，c 的值及居民月用水量在2～2.5内的频数；(2)根据此次调查，为使80%以上居民月用水价格为4元/立方米，应将w 定为多少？(精确到小数点后2位)(3)若将频率视为概率，现从该市随机调查3名居民的月用水量，将月用水量不超过2.5立方米的人数记为X ，求其分布列及均值. 解 (1)∵前四组频数成等差数列， ∴所对应的频率组距也成等差数列，设a ＝0.2＋d ，b ＝0.2＋2d ，c ＝0.2＋3d ，∴0.5[0.2＋(0.2＋d )×2＋0.2＋2d ＋0.2＋3d ＋0.1×3]＝1， 解得d ＝0.1，∴a ＝0.3，b ＝0.4，c ＝0.5.居民月用水量在2～2.5内的频率为0.5×0.5＝0.25. 居民月用水量在2～2.5内的频数为0.25×100＝25.(2)由题图及(1)可知，居民月用水量小于2.5的频率为0.7<0.8， ∴为使80%以上居民月用水价格为4元/立方米， 应规定w ＝2.5＋0.8－0.70.3≈2.83.(3)将频率视为概率，设A(单位：立方米)代表居民月用水量，可知P(A≤2.5)＝0.7，由题意，X～B(3，0.7)，P(X＝0)＝C03×0.33＝0.027，P(X＝1)＝C13×0.32×0.7＝0.189，P(X＝2)＝C23×0.3×0.72＝0.441，P(X＝3)＝C33×0.73＝0.343，∴X的分布列为∵X～B(3，0.7)，∴E(X)＝np＝2.1.规律方法二项分布的均值与方差.(1)如果ξ～B(n，p)，则用公式E(ξ)＝np；D(ξ)＝np(1－p)求解，可大大减少计算量.(2)有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布，这时，可以综合应用E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b以及E(ξ)＝np求出E(aξ＋b)，同样还可求出D(aξ＋b).【训练2】(2019·湘潭三模)某饭店从某水产养殖厂购进一批生蚝，并随机抽取了40只统计质量，得到结果如表所示：(1)若购进这批生蚝500 kg，且同一组数据用该组区间的中点值代表，试估计这批生蚝的数量(所得结果保留整数)；(2)以频率视为概率，若在本次购买的生蚝中随机挑选4个，记质量在[5，25)间的生蚝的个数为X，求X的分布列及数学期望.解(1)由表中的数据可以估算一只生蚝的质量为140(6×10＋10×20＋12×30＋8×40＋4×50)＝28.5(g)，所以购进500 kg 生蚝，其数量为500 000÷28.5≈17 544(只).(2)由表中数据知，任意挑选一只生蚝，质量在[5，25)间的概率为25， 由题意知X 的可能取值为0，1，2，3，4， P (X ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫354＝81625，P (X ＝1)＝C 14⎝ ⎛⎭⎪⎫251⎝ ⎛⎭⎪⎫353＝216625， P (X ＝2)＝C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫252⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝216625， P (X ＝3)＝C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫253⎝ ⎛⎭⎪⎫351＝96625， P (X ＝4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫254＝16625，∴X 的分布列为∴E (X )＝0×81625＋216625×3＋96625×3＋16625×4＝85. 考点三 均值与方差在决策问题中的应用【例3】 某投资公司在2019年年初准备将1 000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：项目一：新能源汽车.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为79和29；项目二：通信设备.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为35，13和115. 针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由. 解 若按“项目一”投资，设获利为X 1万元.则X 1的分布列为∴E(X1)＝300×79＋(－150)×29＝200(万元).若按“项目二”投资，设获利X2万元，则X2的分布列为：∴E(X2)＝500×35＋(－300)×13＋0×115＝200(万元).D(X1)＝(300－200)2×79＋(－150－200)2×29＝35 000，D(X2)＝(500－200)2×35＋(－300－200)2×13＋(0－200)2×115＝140 000.所以E(X1)＝E(X2)，D(X1)<D(X2)，这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥.综上所述，建议该投资公司选择项目一投资.规律方法随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据.一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定.【训练3】计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站.过去50年的水文资料显示，水库年入流量X(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米)都在40以上.其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立.(1)求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系：若某台发电机运行，则该台发电机年利润为5 000万元；若某台发电机未运行，则该台发电机年亏损800万元.欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？解 (1)依题意，得p 1＝P (40<X <80)＝1050＝0.2， p 2＝P (80≤x ≤120)＝3550＝0.7， p 3＝P (X >120)＝550＝0.1.由二项分布，在未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率为 p ＝C 04(1－p 3)4＋C 14(1－p 3)3p 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9104＋4×⎝ ⎛⎭⎪⎫9103×⎝ ⎛⎭⎪⎫110＝0.947 7. (2)记水电站年总利润为Y (单位：万元). ①安装1台发电机的情形.由于水库年入流量总大于40，故一台发电机运行的概率为1， 对应的年利润Y ＝5 000，E (Y )＝5 000×1＝5 000. ②安装2台发电机的情形.依题意，当40<X <80时，一台发电机运行，此时Y ＝5 000－800＝4 200，因此P (Y ＝4 200)＝P (40<X <80)＝p 1＝0.2；当X ≥80时，两台发电机运行，此时Y ＝5 000×2＝10 000，因此P (Y ＝10 000)＝P (X ≥80)＝p 2＋p 3＝0.8.由此得Y 的分布列如下：所以，E (Y )＝4 200×0.2＋10 000×0.8＝8 840. ③安装3台发电机的情形.依题意，当40<X <80时，一台发电机运行，此时Y ＝5 000－1 600＝3 400，因此P (Y ＝3 400)＝P (40<X <80)＝p 1＝0.2；当80≤X ≤120时，两台发电机运行，此时Y ＝5 000×2－800＝9 200，因此P (Y ＝9 200)＝P (80≤X ≤120)＝p 2＝0.7；当X >120时，三台发电机运行，此时Y ＝5 000×3＝15 000，因此P (Y ＝15 000)＝P (X >120)＝p 3＝0.1.因此得Y 的分布列如下：所以，E(Y)＝3 400×0.2＋9 200×0.7＋15 000×0.1＝8 620.综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台.[思维升华]1.掌握下述均值与方差有关性质，会给解题带来方便：(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b，E(X＋Y)＝E(X)＋E(Y)，D(aX＋b)＝a2D(X)；(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p).2.基本方法(1)已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差，可直接按定义(公式)求解；(2)已知随机变量X的均值、方差，求X的线性函数Y＝aX＋b的均值、方差和标准差，可直接用均值、方差的性质求解；(3)如能分析所给随机变量服从常用的分布(如二项分布)，可直接利用它们的均值、方差公式求解.[易错防范]1.在没有准确判断分布列模型之前不能乱套公式.2.对于应用问题，必须对实际问题进行具体分析，一般要将问题中的随机变量设出来，再进行分析，求出随机变量的分布列，然后按定义计算出随机变量的均值、方差.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.已知离散型随机变量X的分布列为则X的数学期望E(X)＝()A.32 B.2 C.52 D.3解析由数学期望公式可得E(X)＝1×35＋2×310＋3×110＝32.答案 A2.已知离散型随机变量X的概率分布列为则其方差D(X)＝()A.1B.0.6C.2.44D.2.4解析由0.5＋m＋0.2＝1得m＝0.3，∴E(X)＝1×0.5＋3×0.3＋5×0.2＝2.4，∴D(X)＝(1－2.4)2×0.5＋(3－2.4)2×0.3＋(5－2.4)2×0.2＝2.44.答案 C3.(2019·宁波期末)一个箱子中装有形状完全相同的5个白球和n(n∈N+)个黑球.现从中有放回的摸取4次，每次都是随机摸取一球，设摸得白球个数为X，若D(X)＝1，则E(X)＝()A.1B.2C.3D.4解析由题意，X～B(4，p)，∵D(X)＝4p(1－p)＝1，∴p＝12，E(X)＝4p＝4×12＝2.答案 B4.签盒中有编号为1，2，3，4，5，6的六支签，从中任意取3支，设X为这3支签的号码之中最大的一个，则X的数学期望为()A.5B.5.25C.5.8D.4.6解析由题意可知，X可以为3，4，5，6，P(X＝3)＝1C36＝120，P(X＝4)＝C23C36＝320，P(X＝5)＝C24C36＝310，P(X＝6)＝C25C36＝12.由数学期望的定义可求得E(X)＝3×120＋4×320＋5×310＋6×12＝5.25. 答案 B5.甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止.设甲在每局中获胜的概率为23，乙在每局中获胜的概率为13，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数X 的期望E (X )为( ) A.24181B.26681C.27481D.670243解析 依题意，知X 的所有可能值为2，4，6，设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝59.若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响.从而有P (X ＝2)＝59， P (X ＝4)＝49×59＝2081，P (X ＝6)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫492＝1681，故E (X )＝2×59＋4×2081＋6×1681＝26681. 答案 B 二、填空题6.已知随机变量ξ的分布列为若E (ξ)＝158，则D (ξ)＝________. 解析 由分布列性质，得x ＋y ＝0.5. 又E (ξ)＝158，得2x ＋3y ＝118，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝18，y ＝38.D (ξ)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1582×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1582×18＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3－1582×38＝5564.答案55 647.在一次随机试验中，事件A发生的概率为p，事件A发生的次数为ξ，则数学期望E(ξ)＝______，方差D(ξ)的最大值为________.解析记事件A发生的次数ξ可能的值为0，1.数学期望E(ξ)＝0×(1－p)＋1×p＝p，方差D(ξ)＝(0－p)2×(1－p)＋(1－p)2×p＝p(1－p)≤1 4.故数学期望E(ξ)＝p，方差D(ξ)的最大值为1 4.答案p 1 48.一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标有数字0、两个面上标有数字1、一个面上标有数字2.将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积X的数学期望是________.解析随机变量X的取值为0，1，2，4，则P(X＝0)＝C13C13＋C13C13＋C13C13C16C16＝34，P(X＝1)＝C12C12C16C16＝19，P(X＝2)＝C12C11＋C11C12C16C16＝19，P(X＝4)＝C12C12C16C16＝136，因此E(X)＝4 9.答案4 9三、解答题9.(2019·淮北模拟)某班共50名同学，在一次数学考试中全班同学成绩全部在90分到140分之间.将成绩按如下方式分成五组：第一组：[90，100)，第二组：[100，110)，……，第五组：[130，140].按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示.将成绩大于或等于100分且小于120分记为“良好”，120分以上记为“优秀”，不超过100分记为“及格”.(1)求该班学生在这次数学考试中成绩“良好”的人数；(2)若从第一、五组中共随机取出两个成绩，记X为取得第一组成绩的个数，求X 的分布列与数学期望.解(1)由频率分布直方图知，成绩在[100，120)内的人数为50×0.016×10＋50×0.038×10＝27，∴该班学生在这次数学考试中成绩“良好”的人数为27.(2)由频率分布直方图可知第一组有0.006×10×50＝3个成绩，第五组有0.008×10×50＝4个成绩，即第一、五组中共有7个成绩.由题意，X的可能取值为0，1，2，P(X＝0)＝C03C24C27＝27，P(X＝1)＝C13C14C27＝47，P(X＝2)＝C23C04C27＝17，则X的分布列为E(X)＝0×27＋1×47＋2×17＝67.10.(2016·全国Ⅰ卷)某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.(1)求X的分布列；(2)若要求P(X≤n)≥0.5，确定n的最小值；(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n＝19与n＝20之中选其一，应选用哪个？解(1)由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8，9，10，11的概率分别为0.2，0.4，0.2，0.2.可知X的所有可能取值为16、17、18、19、20、21、22，P(X＝16)＝0.2×0.2＝0.04；P(X＝17)＝2×0.2×0.4＝0.16；P(X＝18)＝2×0.2×0.2＋0.4×0.4＝0.24；P(X＝19)＝2×0.2×0.2＋2×0.4×0.2＝0.24；P(X＝20)＝2×0.2×0.4＋0.2×0.2＝0.2；P(X＝21)＝2×0.2×0.2＝0.08；P(X＝22)＝0.2×0.2＝0.04；所以X的分布列为(2)由(1)知P(X≤18)＝0.44，P(X≤19)＝0.68，故n的最小值为19.(3)记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元).当n＝19时，E(Y)＝19×200×0.68＋(19×200＋500)×0.2＋(19×200＋2×500)×0.08＋(19×200＋3×500)×0.04＝4 040.当n＝20时，E (Y )＝20×200×0.88＋(20×200＋500)×0.08＋(20×200＋2×500)×0.04＝4 080. 可知当n ＝19时所需费用的期望值小于n ＝20时所需费用的期望值， 故应选n ＝19.能力提升题组 (建议用时：20分钟)11.从装有除颜色外完全相同的3个白球和m 个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回地摸取5次，设摸得白球个数为X ，已知E (X )＝3，则D (X )＝( ) A.85B.65C.45D.25解析 由题意，X ～B ⎝⎛⎭⎪⎫5，3m ＋3， 又E (X )＝5×3m ＋3＝3，∴m ＝2，则X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，35，故D (X )＝5×35×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35＝65.答案 B12.某篮球队对队员进行考核，规则是：①每人进3个轮次的投篮；②每个轮次每人投篮2次，若至少投中1次，则本轮通过，否则不通过.已知队员甲投篮1次投中的概率为23，如果甲各次投篮投中与否互不影响，那么甲3个轮次通过的次数X 的期望是( ) A.3B.83C.2D.53解析 在一轮投篮中，甲通过的概率为p ＝89，通不过的概率为19. 由题意可知，甲3个轮次通过的次数X 的取值分别为0，1，2，3， 则P (X ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫193＝1729； P (X ＝1)＝C 13×89×⎝ ⎛⎭⎪⎫192＝24729； P (X ＝2)＝C 23×⎝ ⎛⎭⎪⎫892×19＝192729；P (X ＝3)＝512729.∴随机变量X 的分布列为：数学期望E (X )＝0×1729＋1×24729＋2×192729＋3×512729＝83，或由二项分布的期望公式可得E (X )＝83. 答案 B13.某商场在儿童节举行回馈顾客活动，凡在商场消费满100元者即可参加射击赢玩具活动，具体规则如下：每人最多可射击3次，一旦击中，则可获奖且不再继续射击，否则一直射击到3次为止.设甲每次击中的概率为p (p ≠0)，射击次数为Y ，若Y 的数学期望E (Y )>74，则p 的取值范围是________. 解析 由已知得P (Y ＝1)＝p ，P (Y ＝2)＝(1－p )p ， P (Y ＝3)＝(1－p )2，则E (Y )＝p ＋2(1－p )p ＋3(1－p )2＝p 2－3p ＋3>74， 解得p >52或p <12，又p ∈(0，1)，所以p ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 14.(2019·西安模拟)某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该校200名学生的课外体育锻炼平均每天运动的时间(单位：分钟)进行调查，将收集的数据分成[0，10)，[10，20)，[20，30)，[30，40)，[40，50)，[50，60]六组，并作出频率分布直方图(如图)，将日均课外体育锻炼时间不低于40分钟的学生评价为“课外体育达标”.(1)请根据直方图中的数据填写下面的2×2列联表，并通过计算判断是否有95%的把握认为“课外体育达标”与性别有关？(2)现按照“课外体育达标”与“课外体育不达标”进行分层抽样，抽取8人，再从这8名学生中随机抽取3人参加体育知识问卷调查，记“课外体育不达标”的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望.解 (1)由题意得“课外体育达标”人数为200×[(0.02＋0.005)×10]＝50， 则“课外体育不达标”人数为150， ∴列联表如下：∴χ2＝200×（60×20－30×90）290×110×150×50＝20033≈6.061>3.841.∴有95%的把握认为“课外体育达标”与性别有关.(2)由题意采用分层抽样在“课外体育达标”的学生中抽取2人，在“课外体育不达标”的学生中抽取6人，由题意知：ξ的所有可能取值为1，2，3，P (ξ＝1)＝C 16C 22C 38＝656＝328；P (ξ＝2)＝C 26C 12C 38＝3056＝1528；P (ξ＝3)＝C 36C 38＝2056＝514；故ξ的分布列为故ξ的数学期望为E(ξ)＝1×328＋2×1528＋3×514＝94.。