§22_2 矩阵与变换
矩阵的初等变换与初等矩阵
§2.2 矩阵的初等变换与初等矩阵1．矩阵的初等变换定义2.1 下列三种变换称为矩阵的初等列变换： （1）交换矩阵的第,i j 列，用i j c c ↔记之； （2）用非零数k 乘矩阵的第i 列，用i kc 记之；（3）把矩阵的第i 列的k 倍加到第j 列，用j i c kc +记之。
矩阵的初等行变换与列变换，统称为矩阵的初等变换。
如果矩阵A 经过有限次初等(行，列)变换，化为矩阵B ，就称矩阵A 与B (行，列)等价，记作~A B 。
矩阵的等价具有以下性质： （1）反身性 ~A A ；（2）对称性 如果~A B ，则~B A ；（3）传递性 如果~A B ，~B C ，则~A C 。
利用初等行变换，将方程组的增广矩阵化为行最简形，从而得出方程组的解。
可见，讨论矩阵的某种结构简单、而形式特定的等价矩阵，在理论和实际应用上都是必要而有价值的。
对矩阵的行最简形再施行初等列变换，可得到一种结构最为简单的形式。
以§A 为例，矩阵A 的行最简形为11610039210103910001300000⎛⎫⎪⎪⎪-⎪ ⎪- ⎪⎪⎝⎭，再经初等列变换344151425253116211,,,,,39393c c c c c c c c c c c c ↔---++化为10000010000010000000⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭F 。
称矩阵F 为矩阵A 的等价标准形。
定理 2.1 矩阵()ij m n a ⨯=A 经过有限次初等变换可化为如下的等价标准形：()()()()rr n r m r r m r n r ⨯--⨯-⨯-⎛⎫=⎪⎝⎭I O F O O ，其中下方及右边的零行，零列可能空缺。
由行列式的性质可知，行列式不为零的方阵，其等价矩阵的行列式也不为零。
由此可得以下结论：可逆矩阵的等价矩阵也为可逆矩阵；可逆矩阵的行最简形就是等价标准形，且一定是单位矩阵。
2．初等矩阵定义2.2 由单位矩阵经一次初等变换而得的矩阵称为初等矩阵。
矩阵与变换
一般地，对于平面上的任意一点（向量） ( x, y ), 若按照对应法则T，总能对应唯一的一个 平面点(向量） x, y ), 则称T 为一个变换，简记 （ 为 T： , y ) x, y )， (x （ 或 x x T： . y y
一般地，对于平面向量的变换T，如果变换 规则为 x x ax + by T： y , 坐标变换的形式 y cx + dy 那么，根据二阶矩阵与向量的乘法规则可以改写为 x x a b x T： y y 矩阵乘法的形式 y c d 的矩阵形式，反之亦然（a, b, c, d R ).
一般地，称形如M1,M2,M3,M4,M5这 样的矩阵为反射变换矩阵，对应的变换叫 做反射变换，其中（2）叫做中心反射， 其余叫轴反射.其中定直线叫做反射轴， 定点称为反射点.
M(l1+l2b) l1M+l2Mb 上式表明，在矩阵M的作用下，直线 l1+l2b 变成直线 l1M+l2Mb. 这种把直线变成直线的变换，通常叫做线 性变换。
切变变换
矩阵
1 k 0 1 把平面上的点P(x,
y)沿x轴方向
平移|ky|个单位: 当ky>0时，沿x轴正方向移动； 当ky<0时，沿x轴负方向移动； 当ky=0时，原地不动. 在此变换作用下，图形在x轴上的点是不动点。
像由矩阵
1 k 0 1 确定的变换通常叫做切变变换,
二阶单位矩阵一般记为E
1 M 垂直伸压变换矩阵： 0
0 1 2
2 N 0
0 1
将平面图形作沿y轴方向伸长或压缩,或作 沿x轴方向伸长或压缩的变换矩阵,通常称做沿 y轴或x轴的垂直伸压变换矩阵. 伸压变换：
高考数学一轮复习-矩阵与变换课件-新人教A
规律方法 已知 A＝ac db，求特征值和特征向量，其步骤为： (1)令 f(λ)＝（ －λc－（a）λ－d－）b＝(λ－a)(λ－d)－bc＝0，求出特征 值 λ； (2)列方程组（ －λc－x＋a） （xλ－－db）y＝y＝0，0； (3)赋值法求特征向量，一般取 x＝1 或者 y＝1，写出相应的 向量．
y)变成点 A′(13，5)，试求 M 的逆矩阵及点 A 的坐标．
解 由 M＝21 － －31，得|M|＝1， 故 M－1＝－－11 32.
从
而
由
2 1
－3 －1
x y
＝
13 5
得
x y
＝
－1 －1
3 2
13 5
＝
－－11××1133＋＋32××55＝－23，故yx＝＝－2，3，∴A(2，－3)为所求．
矩阵 M＝2b a1所对应的变换将直线 x－y＝1 变换成 x＋2y ＝1，求 a，b 的值． 解 设点(x，y)是直线 x－y＝1 上任意一点，在矩阵 M 的作 用下变成点(x′，y′)，则2b a1xy＝xy′′，
所以xy′′＝＝b2xx＋＋ya.y， 因为点(x′，y′)，在直线 x＋2y＝1 上，所以
①对于特征值 λ1＝－1， 解相应的线性方程组x2＋ x＋y＝2y＝0，0得一个非零解xy＝＝－1，1. 因此，α＝1－1是矩阵 A 的属于特征值 λ1＝－1 的一个特征向量； ②对于特征值 λ2＝3，解相应的线性方程组2－x－2x2＋y＝2y0＝，0 得一个非零解xy＝＝11.， 因此，β＝11是矩阵 A 的属于特征值 λ2＝3 的一个特征向量．
因此，由 AX＝B，同时左乘 A－1，有 A－1AX＝A－1B＝2－1－3213＝－5 7. 即原方程组的解为yx＝＝5－. 7，
第二章 矩阵及其运算
a11 b11 a12 b12 a1n b1n a 22 b22 a 2 n b2 n a b 21 21 a b a s 2 bs 2 a sn bsn s1 s1
称为 A 和 B 的和，记为
C A B.
批注
表示出来。
§2 矩阵的运算
矩阵的意义不仅在于把一些数据根据一定的顺序排列成 阵列形式， 而且还在于对它定义了一些有理论意义和实际意义 的运算，使它真正成为有用的工具。 一、矩阵的加法 1、定义 定义 设
A aij sn
a11 a 21 a s1 b11 b21 bs1
定义：设 A a ij
m s
是 m s 矩阵， B bij
s n
是 s n 矩阵，则定
义一个新的 m n 矩阵 C ：
C cij mn
s
其中
cij ai1b1 j ai 2 b2 j aik bkj ail blj aik bkj
批注
(2) 结合律 (A) (A) ( ) A (3) 分配律 ( A B) A B
A A
(4) 若 A 为 n 阶矩阵，则有 A n A 此外，还容易得到：
0 A 0,
A (1) A
矩阵相加与数乘矩阵合起来统称为矩阵的线性运算。 例
矩阵的乘法；方阵的行列式；伴随矩阵; 逆矩阵的概念；求逆方法； 分块求逆方法。
矩阵乘法不满足交律以及由此的问题；矩阵可逆性的讨论；分块求逆 方法
讲授 习题课 答疑
教 学 内 容
第二章 矩阵及其运算
矩阵是将一组有序的数据视为 “整体量” 进行表述和运算， 使得问题简洁和易于了解本质。 矩阵不仅是解线性方程组的有 力工具， 而且是线性空间内线性变换的表现形式， 因此有关矩 阵的理论构成了线性代数的基本内容。 本章介绍矩阵的概念；矩阵的线性运算、矩阵乘法；逆矩 阵及矩阵的初等变换；分块矩阵及其运算等内容。 §1 矩阵 1、矩阵的概念
二阶矩阵课件
0
a
0
0
0
a
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4.单位矩阵
如果n阶对角矩阵 A aij 中元素满足 aii1i1,2, ,n,
则称为n阶单位矩阵，记为 E n .即
1 0
0
En
0
1
0
0
0
1
返回
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§2 矩阵的运算
一、矩阵的加法
定义2 设有两个mn矩阵A=(aij), B=(bij),那么A与B的 和记为A+B,规定为
(1)矩阵A与B为同型矩阵,采用同样的分块法,有
A11 A12 A1r
AA21
A22
A2r,
As1 As2 Asr
B11 B12 B1r
BB21
B22
B2r
Bs1 Bs2 Bsr
A11B11 A12B12 A1r B1r
ABA21B21
A22B22
A2r B2r
As1
Bs1
As2Bs2 AsrBsr
A 1A X B B 1A 1C B 1,
即
X A 1 C B 1 .
返回
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由于 |A|=2,|B|=1，故 A1、B1 存在，且
1 3 2
A 1
3
3
5
,
2
2
1 1 1
B1
=
3 5
1 2
,
1 X=A1CB1 3
2 1
3 3
1
5221123
3 1053
1 2
1 1
2 1
解
A = 2 2 1 2,
1
1
1
《线性代数》课件-第二章 矩阵及其运算
a11
A
A
a21
am1
a12 a22
am1
a1n
a2n
amn
数乘矩阵的运算规律
a, b, c R 结 合 (ab)c a(bc) 律 分 (a b) c ac bc 配 律 c (a b) ca cb
设 A、B是同型矩阵， , m 是数 (m)A (m A)
a11
a12
a13
a14
4
c11 a1kbk1
b11
b21
b31
b41
k 1
4
c12 a11b12 a12b22 a13b32 a14b42 a1k bk 2 k 1
一般地，
4
cij ai1b1 j ai 2b2 j ai 3b3 j ai4b4 j aikbkj k 1
行列式
矩阵
a11 a12
a1n
a21 a22
a2n
an1 an2
ann
(1) a a t( p1 p2 pn ) 1 p1 2 p2
p1 p2 pn
行数等于列数
共有n2个元素
a11 a12
a21
a22
am1 am1
anpn
a1n
a2n
amn
行数不等于列数 共有m×n个元素 本质上就是一个数表
第二章 矩阵及其运算
§1 矩阵
一、矩阵概念的引入 二、矩阵的定义 三、特殊的矩阵 四、矩阵与线性变换
B
一、矩阵概念的引入
例 某航空公司在 A、B、C、D 四座 A
城市之间开辟了若干航线，四座城市 之间的航班图如图所示，箭头从始发 地指向目的地.
城市间的航班图情况常用表格来表示:
矩阵与变换二阶矩阵平面逆变换等强化训练专题练习(四)含答案高中数学
（1）求矩阵M的特征向量；
（2）计算 ．
6．若圆 在矩阵 对应的变换下变成椭圆 求矩阵 的逆矩阵 .
7．已知二阶矩阵M有特征值 ＝３及对应的一个特征向量 ， 并且M对应的变换将点（－１，２）变换成（９，１５）， 求矩阵M．
8．求圆 在矩阵 的变换作用下的曲线方程．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
高中数学专题复习
《矩阵与变换二阶矩阵平面逆变换等》单元过关检测
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注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
评卷人
得分
一、填空题
1．已知以 为变量的二元一次方程组的增广矩阵为 ，则这个二元一次方程组的解为____________.
所以 ．…………………………………………………………………10分
7．设 ，则 ，故 ……………4分
，故 ………………………………………………7分
联立以上两方程组解得 ，故 = ．………………10分
8．解l
2．行列式 的值是0.5。
评卷人
得分
二、解答题
3． 选修42：矩阵与变换（本小题满分10分）
已知a，b ，若 = 所对应的变换TM把直线2xy= 3变换成自身，试求
实数a，b．
4．（本小题满分14分）
已知二阶矩阵 属于特征值－1的一个特征向量为 ，属于特征值2的一个特征向量为 ，求矩阵M及其逆矩阵 ．
评卷人
得分
一、填空题
1．
2．考查行列式运算法则=
评卷人
得分
二、解答题
3．
4．解：M= ……………7分 = .……………7分
图形变换的矩阵方法
⒉当a≠d，图形产生畸变
A 0 0
例：设正方形ABCD的矩阵为
B C
2
2
0
2
D
0
2
设
T
1.5
0
0 2
，对□ABCD进行变换：
A0 0
0 0A
B2 C2 D0
0 2 2
1.5
0
0 2
3 3 0
0 B 4 C 4 D
D′
D A
A′
C′
C
B B′
㈠比例变换（缩放变换）
11
x
ya0
d0axby
并规定：①逆时针方向旋转时角度θ取正值；
②顺时针方向旋转时角度θ取负值。
变换T 矩 阵 csoinscsions
A
例：设矩形ABCD对应的矩阵为 B
0
2
0
0
D′ D
C′ C
C 2 1 .5
B′
设θ=30°
D
0
1
.
5
A′A
B
co3s0si3n0 0.866 0.5
Tsi3n0co3s0 0.5 0.86 6
变换
·
矩阵
变换后的 = 图形顶点
坐标矩阵
本章讨论的问题：如何利用变换矩阵实现对二维、三 维图形的各种变换。
§2 二维图形变换
5
分为两类：二维基本变换，二维组合变换。 二维基本变换：比例变换（缩放）、对称变换、错 切变换、旋转变换、平移变换。 二维组合变换：由多种基本变换组合而成的变换。 一、二维基本变换 矩阵变换法的形式为：
❖ 对坐标轴的对称变换 x轴:T10
0 1
y轴:T01
0 1
线性代数第二章
课题：矩阵教学目的：理解矩阵的概念，熟练掌握矩阵运算；理解矩阵的初等变换及作用；理解矩阵的秩和逆的概念，熟练掌握矩阵的秩和逆的求解教学重点：矩阵运算、秩和逆的求解教学难点：矩阵的乘法、秩和逆的概念教学时数：10教学设计：§1、§2 矩阵的概念与运算一、矩阵的概念1 矩阵的定义①定义6P def1②矩阵的行、列③行标、列标④元素(元)⑤主对角线、主对角元2 特殊矩阵①矩阵的行、列数目特殊行矩阵(只有一行的矩阵) def列矩阵(只有一列的矩阵) defn阶方阵(行数等于列数) def 注：1阶方阵②矩阵的元素特殊零矩阵 def负矩阵 def单位阵 def3 矩阵的同型 def4 矩阵的相等 def二、矩阵的运算1 矩阵的加、减法①定义9P②性质a)满足交换律与结合律b)A+(-A)=O A+O=Ac)A+(-B)=A-B (减法也可用此式定义)注：可加(减)的条件是两矩阵同型，结果也同型2 矩阵的数乘 ① 定义 10P ② 性质a) ()()A A αβαβ= b) ()A B A B ααα+=+ c) ()A A A αβαβ+=+3 矩阵的乘法 ① 定义 12P注意：可乘条件：左矩阵的列数等于右矩阵的行数 相乘结果：为左矩阵的行数右矩阵的列数 ② 乘法举例例1 设21123,13010A B -⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦求AB 解：2112322613010153AB --⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦例2 2115003,20141A B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦求AB 解 21410115003603201416201AB ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦③ 性质a) 结合律 ()()A BC AB C = b) 左、右分配律 ()A B CAC BC +=+()A B C AB AC +=+c) 不满足交换律主要有以下三方面的原因1) 若AB 有意义，BA 未必有意义如 2223A B ⨯⨯有意义而2322B A ⨯⨯则没有意义 2) 即使AB 、BA 都有意义，也不一定同型 如322333A B C ⨯⨯⨯=， 233222B A C ⨯⨯⨯=3) 即使AB 、BA 都有意义且同型，也不一定相等如24241236A B -⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦ 16320081600AB BA --⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦d) 乘法消去律不满足即当AB AC =一般说来没有B C = 如000110010000A B C ⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦虽有0000AB AC ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，但B C ≠ 以如512100603011A B C ⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦虽有1100ACBC ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，但A B ≠ ④ 方阵的幂对于方阵A 与自然数k ，称k nA A A A =⋅⋅⋅为方阵A 的k 次幂，具有性质： a) 1212k k k k A A A +=, b) 1212()k k k k A A =例3已知1101A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求nA ⑤矩阵的行列式 AB A B=⋅4 矩阵的转置 ① 定义 16P② 性质1) ()T TAA =2) ()T T T A B A B +=+3) ()()T T A A λλ= 4) ()TT T AB B A =作业：P100 2，4,5(2)(3)(6)，10，14((1)(5)，17(1)，18§3、§4 特殊矩阵与分块矩阵一、 特殊矩阵 1 对角矩阵如果n 阶方阵()ij A a =中的元素满足：0(,1,2,)ij a i j i j n =≠= ，则称A 为对角矩阵。
矩阵的初等变换
m n 矩阵A,B
1)A ~ B 可逆阵Pmm , 使PA B 2)A ~ B 可逆阵Pnn , 使AP B 3) A ~ B 的充要条件是 : 存在 m 阶可逆方阵 P 及 n 阶可逆方阵 Q, 使 PAQ B.
推论 : A可逆 A ~ E,
r
c
-5 3 1 例1 设A= , 求可逆阵P,使 2 -1 1 PA为行最简形.
初等方阵的逆及行列式
E(i, j)1 E(i(k))
1
E(i, j)
1 E(i( )) k
. ; .
E(i, j) | | E(i(k)) |
-1
; ; .
k
| E(i, j(k)) | 1
a11 a 21 例4 设A= a 31 a 41 0 0 0 0 1 0 P1 0 0 1 1 0 0
1 如上例中,A可化为 0 F 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
特点：F的左上角是一个单位矩阵，其余元素全
为零. m n 矩阵 A 总可经过初等变换化为标准形
Er O F O O m n 此标准形由 m , n, r 三个数唯一确定，其中r 就是
a13 a 23 a 33 a 43
a12 a 22 a 32 a 42
a11 a 21 a 31 a 41
其中A可逆, 则B 1 __ A)A 1P1P2 ; B)P1A 1P2 ; C)P1P2 A 1; D)P2A 1P1
3.初等变换求逆 converse matrix by elementary operation 性质1 设 A 是一个 m n 矩阵，对 A 施行一
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则
0 1
02
x0 y0
=
x y
,即
2 y0 x,
x0
y,
所以
x0 y0
y, x. 2
因为点Q(x0,y0)在曲线C1上,则 x02 + y02 =1,
82
从而 y2 + x2 =1,即x2+y2=8.
88
因此曲线C1在矩阵AB对应的变换作用下得到曲线C2:x2+y2=8.
(1)解法一:因为A=
2 1
23
,det(A)=2×2-1×3=1≠0,所以A可逆.
从而A-1=
2 1
3 2
.
解法二:设A-1=
a c
db
,
则AA-1=E(E为二阶单位矩阵),
∴
2 1
23
a c
db
=
1 0
10
,得到a=2,b=-3,c=-1,d=2,
∴A-1=
y,
又点M'(x',y')在l'上,所以x'+by'=1,即x+(b+2)y=1,
依题意得
a b
1, 2
1,
解得
a b
1, 1.
(2)由A
x0 y0
=
x0 y0
,得
x0 y0
x0 y0
,
2
y0
, 解得y0=0.
又点P(x0,y0)在直线l上,所以x0=1.
故点P的坐标为(1,0).
4
解析
(1)设矩阵M的逆矩阵M-1=
x1 y1 x2 y2
,
则MM-1=10 01
.又M=
2 0 0 3
,
所以
2 0 0 3
x1 y1 x2 y2
=
10 01 ,
所以2x1=1,2y1=0,3x2=0,3y2=1,
即x1=
1 2
,y1=0,x2=0,y2=
1 3
(2)求矩阵A-1的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量.
解析 (1)因为矩阵A是矩阵A-1的逆矩阵,且|A-1|=2×2-1×1=3≠0,
所以A=
1 3
2 1
1 2
=ห้องสมุดไป่ตู้
2
3 1
1 3
2
.
3 3
(2)矩阵A-1的特征多项式为f(λ)= λ 2 1 =λ2-4λ+3=(λ-1)(λ-3),
2 1
3 2
.
(2)设P(x,y),则
2 1
23
x y
=
3 1
,
所以
x y
=A-1
3 1
=
3 1
.
因此,点P的坐标为(3,-1).
2.(2017江苏,21B,10分)[选修4—2:矩阵与变换]
已知矩阵A=
10 01 ,B=
1 0 0 2
.
(1)求AB;
(2)若曲线C1:
1 0 0 2
,N=
2 0 01
,求对△ABC依次实施变换T1,T2后所得图形的面
积.
解析
依题意,依次实施变换T1,T2后所对应的矩阵NM=
2 0 01
1 0 0 2
=
2 0 0 2
.
则
2 0 0 2
0 0
=
0 0
,
2 0 0 2
3 0
=
6 0
,
2 0 0 2
2
2
=
4
4
.
所以A(0,0),B(3,0),C(2,2)分别变为点A'(0,0),B'(6,0),C'(4,4).
1 1
,
又∵α=
4 2
=α1+3α2,
∴A49α=
λ149 α1+3
λ249 α2=
350 350
1 1
.
方法点拨 解此类题应分成以下几个步骤:一是求特征值,二是根据特征值求特征向量,三是把 已知向量用特征向量表示,最后求得结果.
4.(2016江苏苏北四市一模,21)已知矩阵A=
1 2 1 4
1 λ 2
令f(λ)=0,得矩阵A-1的特征值为λ1=1或λ2=3,
所以ξ1=
1 1
是矩阵A-1的属于特征值λ1=1的一个特征向量,
ξ2=
1 1
是矩阵A-1的属于特征值λ2=3的一个特征向量.
2.(2013福建,21(1),7分)选修4—2:矩阵与变换
已知直线l:ax+y=1在矩阵A= 10 21 对应的变换作用下变为直线l':x+by=1. (1)求实数a,b的值;
2 2 2 xy
y
=
2 4
y
y
.故
2 2 2 xy
y
4
2
y, y.
解得
x y
1 2
4.
,
所以x+y=
7 2
.
B组 统一命题、省(区、市)卷题组
考点 矩阵与变换
1.(2014福建,21,14分)选修4—2:矩阵与变换
已知矩阵A的逆矩阵A-1=
12 21 .
(1)求矩阵A;
0,
故属于特征值3的一个特征向量α2=
1 1
.
B组 2016—2018年高考模拟·综合题组
(时间：35分钟 分值：50分)
解答题(共50分)
1.(2018江苏南通高三第二次调研测试,21B)在平面直角坐标系xOy中,已知A(0,0),B(3,0),C(2,2).
设变换T1,T2对应的矩阵分别为M=
,求矩阵A的特征值和特征向量.
解析
矩阵A的特征多项式f(λ)=
λ 1 2 1 λ
4
=λ2-5λ+6,
由f(λ)=0,解得λ1=2,λ2=3.
当λ=2时,特征方程组为
x x
2 2
y y
0, 0,
故属于特征值2的一个特征向量α1=
2 1
;
当λ=3时,特征方程组为
2x 2y x y 0,
评析 本题主要考查矩阵、矩阵与变换等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想.
C组 教师专用题组
1.(2013江苏,21B,10分,0.949)已知矩阵A=
1 0
0 2
,B=
1 2 0 6
,求矩阵A-1B.
解析
设矩阵A的逆矩阵为
a b
c d
,则
1 0
0 2
a b
c d
=
10 01 ,
§22.2 矩阵与变换
五年高考
A组 自主命题·江苏卷题组
1.(2018江苏,21B,10分)
[选修4—2:矩阵与变换]已知矩阵A=
2 1
23
.
(1)求A的逆矩阵A-1;
(2)若点P在矩阵A对应的变换作用下得到点P'(3,1),求点P的坐标.
解析 [选修4—2:矩阵与变换] 本小题主要考查矩阵的运算、线性变换等基础知识,考查运算求解能力.
,
故所求的逆矩阵M-1=
1 2
0
.
0 13
(2)设曲线C上任意一点P(x,y),它在矩阵M所对应的线性变换作用下得到点P'(x',y'),则
a 0 0 b
x y
=
x y
' '
,即
ax by
x ', 又点P(x',y')在曲线C'上,所以
y ',
x '2 4
+y'2=1,
解析
A2=
11 21
121 1 =
3 2 4 3
.
设α=
x y
.由A2α=β,得
3 2 4 3
x y
=
1 2
,从而
3x 4x
2 3
y y
1, 2.
解得x=-1,y=2,所以α=
1
2
.
评析 本题考查矩阵运算法则等基础知识,对运算能力有一定的要求,属中等难度题.
3.(2012江苏,21B)[选修4—2:矩阵与变换]已知矩阵A的逆矩阵A-1=
的属于特征值-2的一个特
征向量,求矩阵A以及它的另一个特征值.
证明
由已知,得Aα=-2α,即
x1 y 0
1 1
=
x
y
1
=
2 2
,
则
x
y
1 2,
2,
即
x y
1, 2,
所以矩阵A= 2 101 .
从而矩阵A的特征多项式f(λ)=(λ+2)(λ-1),
所以矩阵A的另一个特征值为1.
1 0
0 1
,B=
41 2 3
,若矩阵M=BA,求矩阵M的逆矩阵M-1.
解析
因为M=BA=
41 2 3
1 0
01
=
4 2
31
,
所以M-1=
3 10
1 10
.
1 2
5 5
评析 求逆矩阵可以直接用公式求,也可以利2用待定系数法求解,是基础题.
2.(2018江苏无锡高三第一学期期末,21)已知矩阵A=
3.(2016江苏,21B,10分)已知矩阵A=
1 2 0 2
,矩阵B的逆矩阵B-1=
10 12 2
,求矩阵AB.
解析
设B=
a c
db
,
则B-1B=
10 12 2