初一数学平行及垂直
七年级下册数学第二单元知识点整理归纳
七年级下册数学第二单元知识点整理归纳七年级下册数学第二单元知识点整理归纳在我们平凡无奇的学生时代，说到知识点，大家是不是都习惯性的重视？知识点就是学习的重点。
你知道哪些知识点是真正对我们有帮助的吗？下面是店铺帮大家整理的七年级下册数学第二单元知识点整理归纳，希望能够帮助到大家。
七年级下册数学第二单元知识点整理归纳1相交线与平行线1.同一平面内，两直线不平行就相交。
2.两条直线相交所成的四个角中，相邻的两个角叫做邻补角，特点是两个角共用一条边，另一条边互为反向延长线，性质是邻补角互补;相对的两个角叫做对顶角，特点是它们的两条边互为反向延长线。
性质是对顶角相等。
3.垂直定义：两条直线相交所成的四个角中，如果有一个角为90度，则称这两条直线互相垂直。
其中一条直线叫做另外一条直线的垂线，他们的交点称为垂足。
4.垂直三要素：垂直关系，垂直记号，垂足5.垂直公理：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
6.垂线段最短;7.点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度。
8.两条直线被第三条直线所截：同位角F(在两条直线的同一旁，第三条直线的同一侧),内错角Z(在两条直线内部，位于第三条直线两侧)，同旁内角U(在两条直线内部，位于第三条直线同侧)。
9.平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。
10.如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
如果b//a,c//a,那么b//cP174题11.平行线的判定。
结论：在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行。
平行线的性质：1.两直线平行，同位角相等。
2.两直线平行，内错角相等。
3.两直线平行，同旁内角互补。
七年级下册数学第二单元知识点整理归纳2平行线的判定第1课时基础知识1、C2、ADBCADBC180°—∠1—∠2∠3+∠43、ADBEADBCAECD同位角相等，两直线平行4、题目略MNAB内错角相等，两直线平行MNAB同位角相等，两直线平行两直线平行于同一条直线，两直线平行5、B6、∠BED∠DFC∠AFD∠DAF7、证明：∵AC⊥AEBD⊥BF∴∠CAE=∠DBF=90°∵∠1=35°∠2=35°∴∠1=∠2∵∠BAE=∠1+∠CAE=35°+90°=125°∠CBF=∠2+∠DBF=35°+90°=125°∴∠CBF=∠BAE∴AE∥BF（同位角相等，两直线平行）8、题目略（1）DEBC（2）∠F同位角相等，两直线平行（3）∠BCFDEBC同位角相等，两直线平行能力提升9、∠1=∠5或∠2=∠6或∠3=∠7或∠4=∠810、有，AB∥CD∵OH⊥AB∴∠BOH=90°∵∠2=37°∴∠BOE=90°—37°=53°∵∠1=53°∴∠BOE=∠1∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）11、已知互补等量代换同位角相等，两直线平行12、平行，证明如下：∵CD⊥DA，AB⊥DA∴∠CDA=∠2+∠3=∠BAD=∠1+∠4=90°（互余）∵∠1=∠2（已知）∴∠3=∠4∴DF∥AE（内错角相等，两直线平行）探索研究13、对，证明如下：∵∠1+∠2+∠3=180°∠2=80°∴∠1+∠3=100°∵∠1=∠3∴∠1=∠3=50°∵∠D=50°∴∠1=∠D=50°∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）14、证明：∵∠1+∠2+∠GEF=180°（三角形内角和为180°）且∠1=50°，∠2=65°∴∠GEF=180°—65°—50°=65°∵∠GEF=∠BEG=1/2∠BEF=65°∴∠BEG=∠2=65°∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）七年级下册数学第二单元知识点整理归纳3相交线与平行线1、两条直线相交所成的四个角中，相邻的两个角叫做邻补角，特点是两个角共用一条边，另一条边互为反向延长线，性质是邻补角互补；相对的两个角叫做对顶角，特点是它们的两条边互为反向延长线。
第6章平面图形的认识(一)—线段、射线、直线、平行线、垂直
初一数学讲义复习内容：第6章平面图形的认识（一）—线段、射线、直线、平行线、垂直 一、知识点复习及例题选讲 1、知识点1 ：（1）线段、射线、直线的异同点:（2）线段的统计方法：看线上端点的个数为n 个，则有n(n-1)/2条线段。
射线的统计方法：直线上端点的个数为n 个，则有2n 条射线；其中有2条不好用图中字母表示。
射线上端点的个数为n 个，则有n 条射线；其中有1条不好用图中字母表示。
例 1、已知点A 、点B 、点C 是直线上的三个点，则下图中有_____条线段，它们是 ，有____射线，能用图中字母表示的有 ，有_________条直线，它们是 ，。
ABC例 2、判断题：射线AB 与射线BA 表示同一条直线. （ ）例 3、根据图形，下列说法：①直线AC 和直线BD 是不同的直线；②直线AD=AB+BC+CD ；③射线DC 和射线DB 不是同一条射线；④射线AB 和射线BD 不是同一条射线；⑤线段AB 和线段BA 是同一条线段。
其中正确．．的是 ( ) A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个2、知识点2 ：（1）两点之间的所有连线中，线段最短。
（2）两点之间线段的长度叫做这两点之间的距离。
（3）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。
直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做这点到这条直线的距离。
例 1、下列四个生活、生产现象：①用两个钉子就可以把木条固定在墙上；②植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线；③从A 地到B 地架设电线，总是尽可能沿着线段AB 架设④把弯曲的道路改直，就能缩短路程。
其中可用“两点之间，线段最短．．．．．．．．．”的道理来解释的现象有__________.例 2、判断题：连结两点的线段叫做两点之间的距离.（ ）例 3、 如图，从A 地到B 地有①、②、③三条路可以走，每条路长分别为n m l 、、（图中、表示直角），则第_________条路最短，另两条路的长短例4、如图3，CD ⊥OB 于D ，EF ⊥OA 于F ，则C 到OB 的距离是______，E 到OA 的距离是______，O 到CD 的距离是______，Ｏ到EF 的距离是______．例5、直线l 外一点P 与直线l 上三点的连线段长分别为cm cm cm 654，，， 则点P 到直线l 的距离是（ ）A 、cm 4B 、cm 5C 、不超过cm 4D 、大于cm 63、知识点3 ：（1）过一个点可以画无数条直线（2）经过两点有一条直线，并且只有一条直线（3）过同一平面上的三个点可以画一或三条直线（不在一直线上可画3条直线，在一直线上可画1条直线）例 1、如果你想将一根细木条固定在墙上，至少需要钉2个钉子，这一事实说明了____________________________________。
初一数学平行线知识点
教案初一数学平行线知识点教学目标：1. 让学生理解平行线的定义及性质。
2. 培养学生运用平行线性质解决问题的能力。
3. 培养学生合作交流、动手操作的能力。
教学重点：1. 平行线的定义及性质。
2. 平行线的判定方法。
教学难点：1. 平行线性质的推导。
2. 平行线在实际生活中的应用。
教学准备：1. 教学课件或黑板。
2. 直尺、圆规等绘图工具。
3. 练习题。
教学过程：一、导入1. 引导学生回顾已学的直线、射线、线段等基本概念。
2. 提问：在同一平面内，不相交的两条直线有什么关系？二、新课讲解1. 讲解平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
2. 讲解平行线的性质：a. 同位角相等。
b. 内错角相等。
c. 同旁内角互补。
3. 讲解平行线的判定方法：a. 同位角相等。
b. 内错角相等。
c. 同旁内角互补。
三、课堂练习1. 让学生完成教材上的练习题，巩固平行线的性质及判定方法。
2. 老师巡回指导，解答学生疑问。
四、动手操作1. 分组合作，每组学生用直尺、圆规等绘图工具绘制一组平行线。
2. 学生互相交流，讨论如何判定两条直线是否平行。
3. 老师挑选几组学生的作品进行展示，并给予评价和指导。
五、课堂小结2. 提问：如何在实际生活中应用平行线？六、课后作业1. 完成教材上的课后习题。
2. 观察生活中的平行线现象，并尝试用所学知识解释。
教学反思：本节课通过讲解、练习、动手操作等多种教学方法，使学生掌握了平行线的定义、性质及判定方法。
在动手操作环节，学生积极参与，合作交流，提高了动手能力和团队协作能力。
在课后作业环节，学生将所学知识应用于实际生活，提高了学以致用的能力。
总体来说，本节课教学效果良好，达到了预期目标。
在今后的教学中，可适当增加课堂互动，提高学生的学习兴趣。
教案小学五年级科学光与影子教学目标：1. 让学生理解光与影子的基本概念。
2. 培养学生观察、描述和解释光与影子现象的能力。
3. 培养学生进行科学实验和探究的兴趣。
人教版初一数学知识点总结
人教版初一数学知识点总结人教版七年级数学上册主要包含有理数、整式的加减、一元一次方程、图形的认识初步四个章节的内容。
其中第一章是有理数。
1.有理数有理数是指能够写成 p/q（p、q 为整数且p ≠ 0）形式的数，包括正整数、负整数、正分数、负分数以及零。
注意，π 不是有理数。
有理数可以分为零、正有理数、负有理数、正整数、负整数、正分数和负分数。
2.数轴数轴是一条带有原点、正方向和单位长度的直线。
3.相反数只有符号不同的两个数互为相反数，它们的和为零。
4.绝对值正数的绝对值是其本身，负数的绝对值是它的相反数。
绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离。
5.有理数比大小正数的绝对值越大，这个数越大。
正数永远比负数大，两个负数比大小，绝对值大的反而小。
在数轴上，右边的数总比左边的数大。
大数减去小数大于零，小数减去大数小于零。
6.互为倒数乘积为 1 的两个数互为倒数，如果a ≠ 0，则 a 的倒数是1/a。
7.有理数加法法则同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；一个数与零相加，仍得这个数。
8.有理数加法的运算律加法的交换律：a+b=b+a；加法的结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。
9.有理数减法法则减去一个数，等于加上这个数的相反数；即 a-b=a+(-b)。
10.有理数乘法法则两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘；任何数同零相乘都得零。
11.当几个数相乘时，如果有一个因式为零，那么积就为零；如果所有因式都不为零，那么积的符号由负因式的个数决定。
12.有理数除法的法则是，除以一个数等于乘以这个数的倒数。
但需要注意的是，零不能做除数，因为这是无意义的。
13.有理数乘方的法则包括以下两点：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，偶次幂是正数。
此外，当n为正奇数时，(-a)n=-an或(a-b)n=-(b-a)n；当n为正偶数时，(-a)n=an或(a-b)n=(b-a)n。
初一数学证明题解题技巧总结
初一数学证明题解题技巧总结数学立体几何证明解题技巧1平行、垂直位置关系的论证的策略:(1)由已知想性质，由求证想判定，即分析法与综合法相结合寻找证题思路。
(2)利用题设条件的性质适当添加辅助线(或面)是解题的常用方法之一。
(3)三垂线定理及其逆定理在高考题中使用的频率最高，在证明线线垂直时应优先考虑。
2空间角的计算方法与技巧:主要步骤：一作、二证、三算;若用向量，那就是一证、二算。
(1)两条异面直线所成的角：①平移法：②补形法：③向量法：(2)直线和平面所成的角①作出直线和平面所成的角，关键是作垂线，找射影转化到同一三角形中计算，或用向量计算。
②用公式计算.(3)二面角：①平面角的作法：(i)定义法;(ii)三垂线定理及其逆定理法;(iii)垂面法。
②平面角的计算法：(i)找到平面角，然后在三角形中计算(解三角形)或用向量计算;(ii)射影面积法;(iii)向量夹角公式.3空间距离的计算方法与技巧:(1)求点到直线的距离：经常应用三垂线定理作出点到直线的垂线，然后在相关的三角形中求解，也可以借助于面积相等求出点到直线的距离。
(2)求两条异面直线间距离：一般先找出其公垂线，然后求其公垂线段的长。
在不能直接作出公垂线的情况下，可转化为线面距离求解(这种情况高考不做要求)。
(3)求点到平面的距离：一般找出(或作出)过此点与已知平面垂直的平面，利用面面垂直的性质过该点作出平面的垂线，进而计算;也可以利用“三棱锥体积法”直接求距离;有时直接利用已知点求距离比较困难时，我们可以把点到平面的距离转化为直线到平面的距离，从而“转移”到另一点上去求“点到平面的距离”。
求直线与平面的距离及平面与平面的距离一般均转化为点到平面的距离来求解。
4熟记一些常用的小结论诸如：正四面体的体积公式是;面积射影公式;“立平斜关系式”;最小角定理。
弄清楚棱锥的顶点在底面的射影为底面的内心、外心、垂心的条件，这可能是快速解答某些问题的前提。
初一数学性质平行线与垂直线
初一数学性质平行线与垂直线初一数学性质：平行线与垂直线在初一数学的学习中，平行线与垂直线是非常重要的概念。
它们不仅在几何图形的研究中起着关键作用，也为我们理解和解决许多数学问题提供了基础。
首先，让我们来了解一下什么是平行线。
平行线是指在同一平面内，永远不会相交的两条直线。
想象一下，在一个无限延展的平面上，有两条直线，无论它们延伸多远，都始终保持着相同的距离，没有任何交点，这就是平行线。
比如，我们常见的铁路轨道，就是两条平行线的很好例子。
它们始终保持着相等的间距，让火车能够平稳地行驶。
平行线具有一些重要的性质。
其中一个关键性质是，如果两条直线与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
这就像是在传递一种“平行的信息”，如果直线 a 平行于直线 c，直线 b 也平行于直线 c，那么直线 a 和直线 b 也必然平行。
另外，同位角相等、内错角相等以及同旁内角互补，也是平行线的重要性质。
同位角是指两条平行线被第三条直线所截，在截线的同旁，且在被截两直线的同一侧的角。
内错角则是两条平行线被第三条直线所截，两个角分别在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间。
同旁内角是在两条平行线被第三条直线所截，在截线同旁，且在两条被截线之间的角。
当两条直线平行时，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。
这些性质在解决与平行线相关的几何问题时非常有用。
接下来，我们再看看垂直线。
垂直线是指两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直。
直角就是 90 度的角。
比如，我们日常生活中的电线杆与地面通常是垂直的，建筑物的墙壁与地面也是垂直的。
垂直线也有其独特的性质。
其中最重要的性质是，在同一平面内，过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直。
这就意味着，如果给定一条直线和一个点，那么只有一条直线可以通过这个点并且与给定的直线垂直。
此外，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也必定垂直于另一条。
这就像是垂直线的“连锁反应”，只要与其中一条平行线有垂直关系，那么与另一条也必然存在垂直关系。
初一下册数学知识点总结(集锦20篇)
初一下册数学知识点总结〔集锦20篇〕篇1：初一数学下册知识点总结相交线对顶角相等。
过一点有且只有一条直线与直线垂直。
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短〔简单说成：垂线段最短〕。
平行线经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
假如两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
1、直线平行的条件两条直线被第三条直线所截，假如同位角相等，那么两直线平行。
两条直线被第三条直线所截，假如内错角相等，那么两直线平行。
两条直线被第三条直线所截，假如同旁内角互补，那么两直线平行。
2、平行线的性质两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。
两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。
两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。
二元一次方程组方程中含有两个未知数〔x和y〕，并且未知数的指数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程。
把两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。
使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。
二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。
消元将未知数的个数由多化少、逐一解决的'想法，叫做消元思想。
不等式用小于号或大于号表示大小关系的式子，叫做不等式。
使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。
能使不等式成立的x的取值范围，叫做不等式的解的集合，简称解集。
不等式的性质不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变。
不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变。
不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变。
篇2：初一下册数学知识点总结多项式除以单项式一、单项式1、都是数字与字母的乘积的代数式叫做单项式。
2、单项式的数字因数叫做单项式的系数。
3、单项式中所有字母的指数和叫做单项式的次数。
4、单独一个数或一个字母也是单项式。
5、只含有字母因式的单项式的系数是1或―1。
6、单独的一个数字是单项式，它的系数是它本身。
初一数学：平行线(含解析)
平行线知识互联网板块一 平行线的定义、性质及判定知识导航【例1】 ⑴ 如下左图，AB CD ∥，AD AC ⊥，32ADC ∠=°，则CAB ∠的度数是________． ⑵ 如下中图，直线l 与直线a ，b 相交．若a b ∥，170∠=°，则2∠的度数是________． ⑶ 如下右图，已知a b ∥，170∠=°，240∠=°，则3∠=________． 图DCBA21ba lb a321CBA 【解析】⑴ 122°；⑵ 110°；⑶ 70°【例2】 ⑴ 根据图在（）内填注理由：① ∵B CEF ∠ =∠（已知）∴AB CD ∥（ ）② ∵B BED ∠= ∠（已知）∴AB CD ∥（ ） ③ ∵180B CEB ∠+∠=°（已知） ∴AB CD ∥（ ）⑵ 下列说法中，不正确的是（ ）A ．如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行B ．过直线外一点，有且只有一条直线和已知直线相交C ．同一平面内的两条不相交直线平行D ．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行【解析】⑴ ① 同位角相等，两直线平行；② 内错角相等，两直线平行；③ 同旁内角互补，两直线平行．⑵ 本题主要考察两直线平行的识别．根据平行公理及其推论可知A 、D 正确；同一平面内的两条直线的位置关系只有相交和平行两种，C 正确；过直线外一点，有且只有一条直经典例题FC EB D A线与这条直线平行，而有无数条直线与这条直线相交，B 不正确．【例3】 请你分析下面的题目，从中总结规律，填写在空格上，并选择一道题目具体书写证明．⑴ 如图⑴，已知：AB CD ∥，直线EF 分别交AB ，CD 于M ，N ，MG ，NH 分别平分AME ∠，CNE ∠．求证：MG NH ∥．从本题我能得到的结论是：____________________________________．⑵ 如图⑵，已知：AB CD ∥，直线EF 分别交AB ，CD 于M ，N ，MG ，NH 分别平分BMF ∠，CNE ∠．求证：MG NH ∥．从本题我能得到的结论是：____________________________________．⑶ 如图⑶，已知：AB CD ∥，直线EF 分别交AB ，CD 于M ，N ，MG ，NH 分别平分AMF ∠，CNE ∠，相交于点O ．求证：MG NH ⊥．从本题我能得到的结论是：____________________________________．(1)A B C DE FG H M N(2)NMFEDC B A GH (3)NM FEDC B A G H O 【解析】⑴ 两直线平行，同位角的角平分线平行．⑵ 证明：∵AB ∥CD ，∴BMFCNE ∠ 又∵MG ，NH 分别平分BMF从本题我能得到的结论是：两直线平行，内错角的角平分线平行．⑶ 证明：∵AB ∥CD ，∴180AMF CNE ∠+∠=又∵MG ，NH 分别平分AMF ∠，CNE ∠ ∴∴18090MON GMF HNE ∠= ，∴MG ⊥NH从本题我能得到的结论是：两直线平行，同旁内角的角平分线垂直．【例4】 证明：三角形三个内角的和等于180°．【解析】平角为180°，若能用平行线的性质，将三角形三个内角集中到同一个顶点，并得到一个平角，问题即可解决．证法1 : 如图所示，过ABC △的顶点A 作直线l BC ∥，则1BBAC所以180B BAC C ∠+∠+∠=°量代换）．即三角形三个内角的和等于180°． 证法2 : 如图所示，延长BC ，过C 作CE AB ∥，则1A ∠=∠ （两直线平行，内错角相等），2B ∠= ∠ （两直线平行，同位角12180BCA ∠+∠+∠=°， 所以180BCA A B ∠+∠+∠=°，即三角形三个内角的和等于180°．【教师备案】利用平行线证明三角形内角和为180°的方法有很l21C BA 21D C EB A多，老师可以带着学生多练几个【例5】 如图，ABC △中CD AB ⊥于D ，DE BC ∥，交AC 于点E ．过BC 上任意一点F ，作FG AB ⊥于G ，求证：12∠=∠．GFE 21D CBA【解析】∵FG AB CD AB ⊥⊥，， ∴GF CD ∥ ∴∠∵DE BC ∥， ∴2BCD ∠=∠， ∴12∠=∠【例6】 我们知道，光线从空气射入水中会发生折射现象．光线从水射入空气中，同样也会发生折射现象．如图，为光线从空气射入水中，再从水射入空气中的示意图．由于折射率相同，因此有14∠=∠，23∠=∠．请你用所学的知识来判断光线c 与d 是否平行？并说明理由．ba465dcba321【解析】c d ∥如图：∵25180∠+∠=°，36180∠+∠=°，23∠= ∠ ∴56∠= ∠（等角的补角相等）又∵14∠=∠∴1564∠+∠=∠+∠∴c d ∥（内错角相等，两直线平行）【例7】 （成都市初中数学竞赛）如图，已知AE 平分BAC ∠，BE AE ⊥，垂足为E ，ED AC ∥，36BAE ∠ = ° 求BED ∠ 的度数．EDCBA【解析】126°【例8】 ⑴ 如图所示AB CD ∥．求证：360B E D ∠+∠+∠=°EDCBA⑵ 已知，如图，AEC A C ∠=∠+∠,证明AB CD ∥ED CBA【解析】⑴ 如图，过E 点作EF AB ∥，则180B BEF ∠+∠=°因为AB CD ∥，所以EF CD ∥，180FED D ∠+∠=°所以360B BEF FED D ∠+∠+∠+∠=°又BEF FED BED ∠+∠=∠，∴360B BED D ∠+∠+∠=°即360B E D ∠+∠+∠=°F EDCBA ⑵ 解法一：过点E 作AEF A ∠=∠,则AB EF ∥， 又AEC A C AEF CEF ∠=∠+∠=∠+∠，∴C CEF ∠=∠，∴EF CD ∥，∴AB CD ∥． F ED CBA解法二：作180AEF A ∠+∠=°, 则AB EF ∥,∵360AEC AEF CEF ∠+∠+∠=°， ∴360A C AEF CEF ∠+∠+∠+∠=°， 经典例题板块二 平行线的构造∴180C CEF ∠+∠=°， ∴CD EF ∥, ∴AB CD ∥FE DCB A 【教师备案】这两个模型非常重要，建议各位老师分别从已知角度关系证明平行和已知平行证明角度关系两个方面讲解这两个小题，重点强调书写过程 【例9】 ⑴ 如图⑴，已知14MA NA ∥，探索1A ∠、2A ∠、3A ∠、4A ∠，1B ∠、2B ∠之间的关系．⑵ 如图⑵，已知1n MA NA ∥，探索1A ∠、2A ∠、…、n A ∠之间的关系．⑶ 如图⑶，已知1n MA NA ∥，探索1A ∠、2A ∠、…、n A ∠，1B ∠、2B ∠、…、1n B −∠之间的关系．MNA 4B 2A 2A 3B 1A 1MNA nA 4A 3A 2A 1B n -1B 2B 1A nA n -1A 2A 1NM图⑴ 图⑵ 图⑶【解析】⑴ 123412180A A A A B B ∠+∠+∠+∠=∠+∠+°；⑵ 123(1)180n A A A A n ∠+∠+∠++∠=−×° ． ⑶ 12121n n A A A B B B −∠+∠++∠=∠+∠++∠ ；【例10】如图，已知，CD EF ∥，C F ABC +=∠∠∠，求证AB GF ∥G FDECBAQPABCEDFG【解析】如图，过点B 作PQ CD ∥交GF 的延长线于点Q 则PQ EF ∥，【拓1】 如图所示，已知CB OA ∥，100C OAB∠ =∠ ，E ，F 在CB 上，且满足FOB AOB ∠= ∠，OE 平分COF ∠．思维拓展⑴ 求EOB ∠的度数；⑵ 若平行移动AB ，那么OBC ∠：OFC ∠的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律；若不变，求出这个比值；⑶ 在平行移动AB 的过程中，是否存在某种情况，使OECOBA ∠=∠？若存在，求出其度数；若不存在，请说明理由．ABC E FO 【解析】⑴40°；⑵1:2；⑶存在，60OECOBA ∠=【拓2】 在同一平面内有1a ，2a ，3a ，…，97a 共97条直线，如果12a a ∥，23a a ⊥，34a a ∥，45a a ⊥，56a a ∥，67a a ⊥，…，那么1a 与97a 的位置关系是________．【解析】寻找规律，12a a ∥，13a a ⊥，14a a ⊥；15a a ∥，16a a ∥，17a a ⊥，18a a ⊥…，4个一循环，974241÷= ，所以971a a ∥【拓3】 在同一平面内有7条直线，证明：必有两条直线的夹角小于26°．【解析】由平行线的性质可知，平移某条直线不影响该直线与其它直线的夹角，故可将7条直线平移使其交于同一点（如下图），A 7A 6A 5A 4A 3A 2A 1O点O 把7条直线分成14条射线，记为1OA ，2OA ，…，14OA ，相邻两射线组成14个角，记为1α，2α，…，14α，其和为一个周角：1214360ααα+++=° ， 若结论不成立，则26i α°≥，()1214i = ，，，， 相加，得360这一矛盾说明，在1α，2α，…，14α中，必有一个角小于26°，即必有两条直线的夹角小于26°．【拓4】 如图，已知ABCDFED BC A FEDBC A【解析】如右图所示，分别过点E ，F 做AB 和CD 的平行线，易得：AEC EAB ECD∠=∠+∠x 90°50°30°30°ABCD E FG HMNPR Qx 90°50°30°30°AB CDE FG HMNOP【解析】过点G ，H 作AB ，CD 的平行线，那么AB OG HQ CD ∥∥∥∵AB OG ∥，HQ CD ∥∵OG HQ ∥，∴60GHQ OGH HGE EGO ∠=∠=∠−∠=° ∵在MHQ ∆中,180MHQ HMQ MQH ∠+∠+∠=°又∵180MQR MQH ∠+∠=°，∴MHQ HMQ MQR ∠+∠=∠ ，∴40GHM GHQ MHQ ∠=∠−∠=°习题1． 如图：已知12∠=∠，A C ∠= ∠，求证：①ABDC ∥证明：∵12∠=∠（ ）∴______∥______（ ）． ∴C CBE ∠= ∠（ ）又∵C A ∠=∠（ ）∴A ∠=________（ ） ∴______∥______（ ）．EDCBA21【解析】已知：AB ，CD ；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；已知；CBE ∠； 等量代换；AD ，BC ；同位角相等，两直线平行． 习题2． 如图所示，复习巩固⑴ 已知：AB CD ∥，12∠=∠，求证：BE CF ∥； ⑵ 已知：AB CD ∥，BE CF ∥，求证：12∠=∠．F 21E B DA C【解析】⑴ ∵AB CD ∥（已知），∴ABC BCD ∠= ∠（两直线平行，内错角相等） ∵12∠=∠（已知），∴EBC BCF ∠= ∠（等量减等量差相等） ∴BE CF ∥（内错角相等，两直线平行）⑵ ∵AB CD ∥（已知），∴ABC BCD ∠= ∠（两直线平行，内错角相等） 又BE CF ∥（已知），∴EBCBCF ∠= ∠（两直线平行，内错角相等） ∴12∠=∠（等量减等量差相等）习题3． 如图，A B C ，，和D E F ，，分别在同一直线上，AF 分别交CE ，BD 于点G ，H ．已知H BCG FE D A习题4． 如图，在折线ABCDEFG 中，已知∠1=∠2=∠3=∠4=∠5，延长AB GF 、交于点M ．试探索AMG ∠与3∠的关系，并说明理由．M5G4321DCFEBA【解析】3AMG ∠= ∠．理由：∵12∠=∠，∴AB CD ∥（内错角相等，两直线平行）． ∵34∠= ∠，∴CD EF ∥（内错角相等，两直线平行）． ∴AB EF又53习题5． （十二届希望杯）如图所示，AB ED ∥，A E α=∠+∠，B C D β=∠+∠+∠，证明：2βα=．DCEBA21D CFEBA21DCFEBA【解析】证法l ：因为AB ED ∥，所以180A E α=∠+∠=°．（两直线平行，同旁内角互补）过C 作CF AB ∥．由AB ED ∥，得CF ED ∥ （平行于同一条直线的两条直线平行） 因为CF AB ∥，有1B ∠= ∠ （两直线平行，内错角相等） 又CF ED ∥，有2D ∠= ∠，（两直线平行，内错角相等）所以12360B C D BCD β=∠+∠+∠=∠+∠+∠=° （周角定义）所以2βα=（等量代换）证法2：由AB ED ∥，得180A E α=∠+∠=°．（两直线平行，同旁内角互补）过C 作CF AB ∥（如图）． 由AB ED ∥，得CF ED ∥．（平行于同一条直线的两条直线平行）因为CF AB ∥，所以1180B ∠+∠=（两直线平行，同旁内角互补）， 又CF ED ∥，所以2180D ∠+∠=（两直线平行，同旁内角互补） 所以(12)(1)(2)360BCD B D B D β=∠+∠+∠=∠+∠+∠+∠=∠+∠+∠+∠=°所以2βα=（等量代换）． 习题6． 如图，已知：AB CD ∥，ABFDCE ∠=∠，求证：BFE FEC ∠=∠ FEDCBA4321ABC DEF 习题7． 如图，AB DE ∥，70ABC ∠=，147CDE ∠= °，求C ∠的度数． 147°70°ED CB AF147°70°E DCBA∴CF DE∥∴18018014733DCF CDE ∴703337BCD BCF DCF ∠=∠−∠=°−°=°．练习1． （2012年第23届“希望杯”初一决赛试题）下面四个命题：① 若两个角是同旁内角，则这两个角互补② 若两个角互补，则这两个角是同旁内角③ 若两个角不是同旁内角，则这两个角不互补④ 若两个角不互补，则这两个角不是同旁内角其中错误的命题个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】D练习2． 如图，已知AB CD ∥，CE 平分ACD ∠，且交AB 于E ，118A ∠=°，则AEC ∠=________． E BC DA 【解析】∵AB CD练习3． 如图，∵3E ∠=∠（已知），12∠=∠（已知） 又∵∠________=∠________（ ）∴∠________=∠________（ ）∴AB CE ∥（ ）【解析】2；3；对顶角相等；1；E ；等量代换；内错角相等，两直线平行． 练习4． 如图，AD 是ABC △的角平分线，2BAC B ∠=∠，DE BA ∥．试探究B ∠与ADE ∠有何关系？并对你的结论加以说明．补充练习12图F 3E D AAB C D E【解析】 B ADE ∠= ∠，证明略．练习5． 已知，如图所示，AB DE ∥,116D ∠=°，93DCB ∠，求B ∠的度数． E D C B A FED C BA 【解析】过点C 作直线CF AB ∥，因为AB DE ∥,所以AB DE CF ∥∥，练习6． 如图所示，两直线AB CD 、平行，则123456∠+∠+∠+∠+∠+∠=（）A ．630° B ．720° C ．800° D ．900°65HG4321DC FE BA 【解析】分别过E F G H ，，，点做AB 的平行线，再求各个角度的和．选D。
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辅导教案
教学目的
1.了解平行线的概念
2.会用三角尺和直尺过直线外一点画已知直线的平行线．
3.会使用工具按要求画垂线，掌握垂线（段）的性质。
教学内容
4.平行线的概念
同一平面内不相交的两条直线叫做平行线．
【注意】：
①“在同一平面内”是定义的首要前提条件，不可缺少，因为在空间里，还存在两条直线既不相交，也不平行的情况；
②“不相交”是说两条直线向两个方向怎样延长都不会相交；
③平常所说的两条射线或线段平行，实质上是指它们所在的直线平行；
④在同一平面内，两条不重合的直线只有两种位置关系：平行与相交．
5.平行线的表示方法
平行线符号“∥”表示．如AB平行于CD表示为AB∥CD．
6.平行线的基本性质
经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．
推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．平行公理及其推论是整个初中平面几何的基石，是其他公理、定理的基础，它们的作用十分重要．平行公理及其推论在说明直线平行时，经常用到．
【注意】：
这条性质与垂线的性质很相似，但过任意一点都可以画垂线，而画平行线，只能是过直线外一点才可以．
7.垂直的定义
如果两条直线相交成直角。
那么这两条直线互相垂直；
互相垂直的两条直线的交点叫做垂足。
【注意】当两条直线垂直时，其中一条直线叫做两一条直线的垂线
8.垂直的表示方法
如图的两条直线互相垂直，记作a b
⊥，也可以记作AB CD
⊥，其中点O是垂足。
b
a
O
B
A
D
C
9.垂直的基本性质
a)经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
b)直线外一点与直线上各点连线的所有线段中，垂线段最短
c)直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离
【典型例题讲解】
【例l】下列结论中正确的个数是( )
①同一平面内不相交的两条直线必平行；②同一平面内不平行的两条直线必相交；③同一平面内不相交的两条线段必平行；④同一平面内不平行的两条线段必相交．
(A)l (B)2 (C)3 (D)4
【例2】完成下列推理：
(1)如图，已知AB∥EF，AB∥CD．因为AB∥EF，（已知），所以____∥____()
(2)如图所示，已知MN AB
⊥于M，CD AB
⊥于D．因为MN AB
⊥于M，
CD AB
⊥于D（已知），所以NMB
∠=____＝()．
你能发现这两条直线MN与CD位置关系是．
【巩固练习】
1.平行线是( )
A．没有公共点的两条直线
B．在同一平面内，不相交的两条直线
C．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
D．永远不会相交的两条直线
【例3】如图所示，经过点M画MN∥OA，交OB于点N；画ME∥OB，交OA于点E．
【巩固练习】
1.⑴在如图所示的方格纸上，画DE∥AB，EF∥BC；
⑵∠ABC与∠DEF的大小有什么关系？
2.按要求作图：
①在ABC
∆在边AB上取中点D，过D画BC的平行线交AC于点E；
②在OMN
∆的边MN上顺次取三等分点Q
P、，分别过Q
P、作OM的平行线，交ON于点T
S、。
用量角器测量一下，看看
你的结论是否正确？
C
B
A
⑵量出EC AE 、的长，量出TN ST OS 、、的长，你有什么发现？
3.如图，已知线段AB 、BC 、CA ，AB=AC ，按要求画图： ⑴画出∠BAC 的平分线AD 交BC 于D ； ⑵画出∠ABC 的平分线BE 交AC 于E ；
⑶过点E 画BC 的平行线EF 交AB 于F ，并连接FC ；
⑷通过观察、度量，你发现了哪些结论？请把它们写出来。
（至少写3条，不需要写理由）
【例4】
1．如图，已知直线AB 、CD 和AB 上一点M ，过点M 分别画直线AB 、CD 的垂线。
2．如图，污水处理厂A 要把处理过的水引入排水沟PQ ，应如何铺设排水管道，才能使用料最短，试画
出铺设管道路线，并说明理由。
3．如图，P 是∠AOB 的边OB 上的一点。
（1）过点P 画OB 的垂线，交OA 于点C （2）过点P 画OA 的垂线，垂足为H
比较PH 与PC 、PC 与CO 的长短，并说明理由。
4．如图射线OC 是∠AOB 的角平分线，M 是OC 上任意一点。
（1）画MP ⊥OA ，垂足为P
（2）画MQ ⊥OB ，垂足为Q
（3）度量点M 到OA 、OB 的距离，你发现什么？
【随堂练习】
1．过一点画已知直线的平行线有 ( ) A ．有且只有一条 B ．有两条 C ．不存在 D ．不存在或仅一条
2．在同一平面内，两条直线的位置关系可能是 ( ) (A)相交或垂直 (B)垂直或平行
(C)平行或相交 (D)相交或垂直或平行
3．如图射线OC 是∠AOB 的角平分线，M 是OC 上任意一点。
（1）画MP ⊥OA ，垂足为P （2）画MQ ⊥OB ，垂足为Q
（3）度量点M 到OA 、OB 的距离，你发现什么？
4. 如图,直线 AB 上一点C ,过点C 引两条射线CE 、CD ，且∠ACE=31°，
∠DCB=59°，则
D
E
B
C
A
CE、CD的位置关系是什么？为什么？
【课堂总结】
【课后作业】
1.下列说法中，错误的是（）
A.直线a∥b，若c与a相交，则b与c也相交
B.直线a与b相交，c与a相交，则b∥c
C.直线a∥b，b∥c,则a∥c
D.直线AB与CD平行，则AB上所有点都在CD同侧
2.下列说法中，正确的个数是（）
①两条不相交的直线是平行线；
②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
③同一平面内的三条直线，它们的交点个数可能是0或1或2或3；
④在同一平面内，和第三条直线都不相交的两条直线平行；
⑤过两条相交直线外一点A，能作一直线m与这两条直线都平行；
⑥在同一平面内不相交的两条射线必平行。
A、1个
B、2个
C、3个
D、4个
3.如图所示：EF//AB，FC//AB，则点E、C、F在一条直线上。
理由是：.。
4.在同一平面内，直线l1与l2满足下列条件，写出其对应的位置关系：（1）l1与l2没有公共点，则l1与l2 ；
（2）l1与l2有且只有一个公共点，则l1与l2；
（3）l1与l2有两个公共点，则l1与l2 。
A C
O B
D
5.用如图所示的方法将圆柱切开，所得的截面中有没有互相平行的线段？若有，请写出来。
6.如图,把水渠中的水引到水池C,先过C 点向渠岸AB 画垂线,垂足为D,再沿垂线CD 开沟才能使沟最短,其依据是( ) A.垂线最短
B.过一点确定一条直线与已知直线垂直
C.垂线段最短
D.以上说法都不对
7．从A 地测得B 地在南偏东52°的方向上,则A 地在B 地的( )方向上｡ A.北偏西52° B.南偏东52° C.西偏北52° D.北偏西38°
8．如图(7)中的∠1与∠2满足______________条件时,能使OA ⊥OB ｡(只要添一个条件即可)
9．如图,将一副三角板叠放在一起,使直角的顶点重合于点O,则∠AOB+∠DOC __________度.
10．下列语句表示的图形是(只填序号)
①三条直线两两相交,交点分别为A 、B 、C ｡_________.
②已知点A 、B 、C,画直线AB 、射线AC,连结BC ｡_________. ③以线段AB 上一点C 为端点画射线________.
A C
B
A
C
B A
C B
(1)
(2)
(3)
A
B
C
D
11．如图4,计划把河水引到水池A中,先引AB⊥CD,垂足为B,然后沿AB开渠,能使所开的渠道最短,这样设计的依据是_________________________________________
12．知识是用来为人类服务的,我们应该把它们用于有意义的方.下面就两个情景请你作出评判.
情景一:从教室到图书馆,总有少数同学不走人行道而横穿草坪,这是为什么呢?试用所学数学知识来说明这个问题｡
情景二:A、B是河流l两旁的两个村庄,现要在河边修一个抽水站向两村供水,问抽水站修在什么地方才能使所需的管道最短?请在图中表示出抽水站点P的位置,并说明你的理由:________________________
你赞同以上哪种做法?你认为应用数学知识为人类服务时应注意什么?
草坪
图书馆
教
学
楼
l
A
B。