2018北京市朝阳区高一(上)期末数学
2018北京市朝阳区高一（上）期末
数 学 2018.1
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知集合{}
1A x x =∈>Z ，{}
04B x x =<<，则 A ．{2,3}A B =
B ．A
B =R
C ．{1,2,3,4}A
B =
D ．A
B =?
2．已知平面向量(,4)m =a ，(1,2)=-b ，且a ∥b ，则m = A ．8-
B ．2-
C ．2
D ．8
3．已知x ，y ∈R ，且0x y >>，则
A.11
0x y -> B.cos cos 0x y -> C.11()()022x y -<
D.ln ln 0x y +>
4．函数()338x
f x x =+-的零点所在的区间为
A. ()01，
B. 3
(1)2， C. 3(3)2
， D. ()34，
5.设奇函数()f x 的定义域为[]5,5-，且()30f =，当[]0,5x ∈时，()f x 的图象如图所示，则不等式()
e 1
f x <的
解集是 A.()0,3 B. ()[5,3]0,3-- C. ()[5,3)0,3-- D. ()(]3,03,5-
6.在△ABC 中，若AB AC AB AC +<-，则△ABC 的形状为 A. 锐角三角形 B. 等腰三角形
C. 直角三角形
D. 钝角三角形
7. 将函数sin 2y x =图象上的点(,1)P t 向右平移(0)s s >个单位长度得到点P '，若P '位于函数sin(2)3
y x π=-的图象上，则
A. ,4
t k k π=+π∈Z ，s 的最小值为3π
B. ,4
t k k π=
+π∈Z ，s 的最小值为6π
C. ,2
t k k π=+π∈Z ，s 的最小值为6π
D. ,2
t k k π=
+π∈Z ，s 的最小值为3π
8.定义域为(,0)
(0,)-∞+∞的函数()f x ，满足()2()f x f x -=-，若函数sin 1(0)y x ωω=+≠与()y f x =图象的
交点为(,),1,2,3,,i i x y i m =（m *∈N ），将每一个交点的横、纵坐标之和记为
,1,2,3,,i t i m =（m *∈N ），则
123m t t t t ++++=
A.m
B.
m
ω
C. 2m
D.
2m
ω
第二部分（非选择题 共80分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．已知1sin 3α=
，(,)2
απ
∈π，则cos α= ,tan α= . 10．已知函数()22,0,log ,0,
x x f x x x ?≤=?>?-则(1)-=f ___；若1
()2=f x ，则=x ___.
11．已知平面向量a ，b 的夹角为
60°，(=a ，1=b ，则?a b = ；2a b -=___.
12．在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称. 若角α的终边经过点(3,4)，则tan()αβ-=____.
13．已知函数32,,
(),x x m f x x x m ?≤=?>?
（m ∈R ），
（1）若1=-m ，则函数()f x 的零点是 ；
（2）若存在实数k ，使函数()()g x f x k =-有两个不同的零点，则m 的取值范围是 . 14．对任意两个非零的平面向量m,n ，定义一种运算“*”为：?*?m n m n =n n
．若平面向量a,b 的夹角(0,)4θπ
∈，
且*a b 和*b a 的值均为集合{|,}2
k
t t k *=
∈N 中的元素，则**a b+b a =__.
三、解答题：本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分12分）
函数()f x 的定义域为A ，关于x 的不等式22
(23)30x a x a a -+++≤的解集为B .
（Ⅰ）求集合A ；
（Ⅱ）若A B A =，试求实数a 的取值范围.
已知函数22
()2sin cos cos sin f x x x x x =?-+，x ∈R ．
（Ⅰ）求()f x 的最小正周期及单调递减区间；
（Ⅱ）求()f x 在区间[]π
2
0，上的最大值和最小值．
17．（本小题满分12分）
已知二次函数()f x 的图象经过(1,4),(1,0),(1,0),(3,0)A B C D --四个点中的三个. （Ⅰ）求函数()f x 的解析式，并求()f x 的最小值；
（Ⅱ）求证：存在常数m ，使得当实数12,x x 满足12x x m +=时，总有12()()f x f x =.
函数()f x 的定义域为D ，如果存在实数a ，b 使得()()f a x f a x b -++=对任意满足a x D -∈且a x D +∈的x 恒成立，则称()f x 为广义奇函数.
（Ⅰ）设函数1
()1f x x
=
-，试判断()f x 是否为广义奇函数，并说明理由； （Ⅱ）设函数1
()2x
f x t
=
+，其中常数t 0≠，证明()f x 是广义奇函数，并写出
2017
2016
2+
的值；
（Ⅲ）若()f x 是定义在R 上的广义奇函数，且函数()f x 的图象关于直线x m =（m 为常数）对称，试判断()
f x 是否为周期函数？若是，求出()f x 的一个周期，若不是，请说明理由.
数学试题答案
二、 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
三、解答题：本大题共4小题，共50分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. （15）（本小题满分12分） 解：
（Ⅰ）函数()f x =
的定义域满足：10,
20,x x ->??->?
则集合(1,2).A =…………4分
（Ⅱ）解不等式22(23)30,
x a x a a -+++≤
可得()(3)0x a x a ---≤. 解得[,3].B a a =+
若,A B A =则.A B ?
所以1,3 2.a a ≤??+≥?
解得： 1 1.a -≤≤
则a 的取值范围是[1,1]-.………………………………………………………………12分
（16）（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）()f x =sin 2cos2x x -
)4
x π=-.
所以函数()f x 的最小正周期为2π
= π2
T =. 令ππ3π2π22π242k x k +
-+≤≤ 得37
ππππ88
k x k ++≤≤，k ∈Z .
所以函数()f x 的单调减区间为3π7ππ,π88k k ?
?
+
+????
，k ∈Z ．…………………7分 （Ⅱ）因为π
02
x ≤≤， 所以ππ3π2444
x -
≤-≤．