高三数学(理)名师导学_推理与证明(一)(课件)
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届数学文一轮复习第38讲推理与证明(一)(新课标)PPT课件
【解析】由已知条件知|x|＋|y|>n 的不同整数解 (x，y)的个数为 4n，∴|x|＋|y|＝20 的不同整数解(x， y)的个数为 4×20＝80.
2．观察下列等式 (1＋1)＝2×1 (2＋1)(2＋2)＝22×1×3 (3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5 …… 照此规律，第 n 个等式可为 (n＋1)(n＋2)(n＋3)… (n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1) ．
第38讲 推理与证明(一)
【学习目标】
1．结合已学过的数学实例和生活中的实例，了 解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行 简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现 中的作用．
2．结合已学过的数学实例和生活中的实例，体 会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模 式，并能运用它们进行一些简单推理．
3．通过具体实例，了解合情推理和演绎推理之 间的联系和差异．
【解析】根据等式两边的规律可知： 第 n 个等式为(n＋1)(n＋2)(n＋3)…(n＋n)＝ 2n×1×3×…×(2n－1)．
3．观察下列不等式：
1＋212<32，
1＋212＋312<53，
1＋212＋312＋412<74， …，
照此规律，第．五．个．不等式为
_ 1＋212＋312＋412＋512＋612<161
Байду номын сангаас
5k（5k＋1）
2
(k
为 正 整 数 ) ， b2k － 1 ＝ a5k － 1 ＝
（5k－1）（25k－1＋1）＝5k（52k－1），
故 b2 016＝b2×1 008＝a5×1 008＝a5 040，即 b2 016 是数
列{an}中的第 5 040 项．
高中数第三章推理与证明1.1归纳推理课件北师大版选修12
∵对一切的n∈N＋,an>0,∴a2＝3. 同理可求得a3＝5,a4＝7,猜想出an＝2n－1(n∈N＋).
题型二 几何中的归纳推理
例2 图(1)是一个水平摆放的小正方体木块,图(2)、图(3)是由这 样的小正方体木块叠放而成,按照这样的规律继续逐个叠放下去, 那么在第七个叠放的图形中小正方体木块数应是( )
解析 观察式子的结构可知：如果不等式的左边是 n 项的和 (n≥2),则不等式左端就为 1＋212＋312＋…＋n12,而右端分母正好是 n,分子是 2n－1,因此可以猜想,n≥2 时,满足的不等式为 1＋212＋ 312＋…＋n12＜2nn－1.
∴第 n 个不等式为：1＋212＋312＋…＋n＋112＜2nn＋＋11.
思考 什么情况下可以进行归纳推理？ 答 若干个特殊的对象具有相同的形式和结论，可以进行 归纳，进而推广到一般情形.
知识点二 归纳推理的特征
归纳推理是由 部分到 ,由整体 到个的别推理. 一般
知识点三 归纳推理结论真假
利用归纳推理得出的结论. 不一定是正确的
知识点四 思维过程流程图
实验、观察 → 概括、推广 → 猜想一般性结论
解析 图(1)是1个小正方体木块, 图(2)是(2＋1×4)个小正方体木块, 图(3)是[3＋(1＋2)×4]个小正方体木块, 按照前三个图所反映出来的规律,归纳推理可知,第七个叠放 的图形中小正方体木块数应是7＋(1＋2＋3＋…＋6)×4＝91. 故选C. 答案 C
反思与感悟 由一组平面或空间图形,归纳猜想其数量的 变化规律,也是高考的热点问题.这类问题颇有智力趣题的 味道,可以激励学生仔细观察,从不同的角度探索规律.解决 这类问题常常可从两个方面入手：(1)图形的数量规律；(2) 图形的结构变化规律.
高考数学总复习 第15单元 推理与证明单元课件(理)苏教版
纳整理成一张图表，便于记忆运用.
举一反三
2. 类比圆的下列特征，找出球的相关特征.
（1）平面内与定点距离等于定长的点的集合是圆;
（2）平面内不共线的3个点确定一个圆； （3）圆的周长和面积可求; （4）在平面直角坐标系中,以点（x0,y0）为圆心，r为半径的 圆的方程为（x-x0）2+(y-y0)2=r2. 解析:（1）在空间中与定点距离等于定长的点的集合是球;
（4）在实数加法中，任意实数与0相加都不改变大小，即a+0=a.
在向量加法中，任意向量与零向量相加，既不改变该向量的大 小，也不改变该向量的方向,即a+0=a. 学后反思 (1)类比推理是个别到个别的推理，或是由一般到一
般的推理.
(2)类比是对知识进行理线串点的好方法.在平时的学习与复习 中，常常以一到两个对象为中心，把它与有类似关系的对象归
2an ,n∈N*,试猜想这个数列 2 an
4 解析: 2 a 2a1 2 , a 2a2 3 1 2 3 2 a1 1 , 2 a2 2 2 2 4 2 a 3 2 1 3 2a3 1 2 a4 2 1 2 a3 2 5 an , , … ，猜想： . n 1 2
质点到达（4,4）处，走过的长度单位是20=2+4+6+8,方向向上； ……
猜想：质点到达(n,n)处，走过的长度单位是2+4+6+…+2n=n(n+1),
且n为偶数时运动方向与y轴相同,n为奇数时运动方向与x轴相同. 所以2 000秒后是指质点到达（44,44）后，继续前进了20个单位，
由图中规律可得向.
且每秒移动一个单位长度，那么2 000秒后，这个质点所处位置
高中数学 推理与证明课件
面面积，那么你类比得到的
结论是
S12
S
2 2
S
2 3
S
2 4
.
如何证明
变式训练2： 在△ABC中，若∠C=90°，AC=b,BC=a， 则△ABC的外接圆的半径 r a2 b2 ，
2
把上面的结论推广到空间，写出相类似的结论。
变式训练3：
在三角形中有下列性质：
(1) 三角形的两边之和大于第三边；
注：演绎推理中，只要前提和推理形式是正确的，结论 必然是正确的。
例3:有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,
则平行于平面内所有直线；已知直线l∥平面 ，
直线a 平面, 则直线l / /直线a ,的结论显然是错
误的，这是因为
A.大前提错误 √
C.推理形式错误
B.小前提错误 D.非以上错误
变式训练4：
(2) 三角形的中位线等于第三边的一半；
(3) 三角形的面积为S 1 (a b c)r,r为三角形内切圆半径 2
请类比出四面体的有关性质？
在三角形中有下列性质：
(1) 三角形的两边之和大于第三边；
(2) 三角形的中位线等于第三边的一半；
(3) 三角形的面积为
,r为三角形内
切圆半径
请类比出四面体的有关性质？
2 变式训练1： tan 5 • tan10 tan 5 • tan 75 tan10 • tan 75 1
tan10 • tan 20 tan10 • tan 60 tan 20 • tan 60 1
tan15 • tan 35 tan15 • tan 40 tan 35 • tan 40 1 由以上两式可以推出什么结论，并证明
例2. 在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的 一个角，那么截下的一个直角三角形，
中学高三数学推理与证明课件复习课件新人教A版
归纳推理的一般步骤： ①通过观察个别情况发现某些相同性质． ②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性 命题(猜想)．
(2)类比推理 根据 两类不同 事物之间具 有的某些 类似 (或一致)性 推测其 中一类事物具有与 另一类事物类似 (或相同 )的性 质，这样的推理叫类比推理． 类比推理是由特殊到特殊的一种推理形式，类比的 结论可能是真的．所以类比推理属于合情推理．
如图②，连接 BE 并延长交 CD 于 F，连接 AF.
∵AB⊥AC，AB⊥AD， ∴AB⊥平面 ACD. 而 AF⊂平面 ACD， ∴AB⊥AF， 在 Rt△ABF 中，AE⊥BF， ∴A1E2＝A1B2＋A1F2.
在 Rt△ACD 中，AF⊥CD， ∴A1F2＝A1C2＋A1D2. ∴A1E2＝A1B2＋A1C2＋A1D2，故猜想正确．
解析：设 AB＝a，AC＝b，AD＝c.
∵三个侧面 ABC、ACD、ADB 两两垂直，
∴AB、AC、AD 两两垂直．
∴S△2 ABC＋S2△ACD＋S2△ADB＝14a2b2＋14a2c2＋14b2c2. 作 BE⊥DC 于 E，连接 AE，则 CD⊥AE.
在 Rt△CAD 中，AE＝
bc b2＋c2 .
3．进行类比推理时，可以从①问题的外在结构特征， ②图形的性质或维数．③处理一类问题的方法．④事物 的相似性质等入手进行类比．
归纳推理
[例 1] 平面内有 n 条直线，其中任何两条都不平行， 任何三条不过同一点，试归纳它们的交点个数．
解析：n＝2 时，交点个数：f(2)＝1. n＝3 时，交点个数：f(3)＝3. n＝4 时，交点个数：f(4)＝6. n＝5 时，交点个数：f(5)＝10. 归纳猜想 f(n)＝12n(n－1)(n≥2)．
高考数学一轮复习 11.3 推理与证明精品课件 理 新人教A版
AD2=BD·DC,AB2=BD·BC,AC2=BC·DC.
∴
1 AD2
=
1 =
BD·DC
BC2 BD·BC·DC·BC
=
BC2 AB2 ·AC2
.
又BC2=AB2+AC2,
∴
1 AD 2
=
AB2 + AC2 AB2 ·AC2
11 = AB2 + AC2 .
∴
1 AD2
=
1 AB 2
+
1 AC2
.
猜想：类比AB⊥AC,AD⊥BC猜想四面体ABCD中，
≥(a + 1 + a
2)2 .
即
a2
+
1 a2
+4
a2
+
1 a2
+4
≥a 2
+2+
1 a2
+2
1 2(a + ) + 2
a
从而只要证 2
a2
+
1 a2
≥
1 2(a + )
a
只要证
4(a 2
+
1 a2
)
≥2(a 2
+2+
1 a2
)
即
a2
+
1 a2
≥2,而上述不等式显然成立,
故原不等式成立.
【评析】分析法是数学中常用到的一种直接证明 方法,就证明程序来讲,它是一种从未知到已知(从结论 到题设)的逻辑推理方法.具体地说,即先假设所要证明 的结论是正确的,由此逐步推出保证此结论成立的充分 条件,而当这些判断恰恰都是已证的命题 (定义、公理、 定理、法则、公式等）或要证命题的已知条件时命题 得证.
高三理科数学第一轮单元复习课件 推理与证明
► 探究点3 演绎推理 例 3 已知梯形 ABCD 中，AB＝DC＝AD，AC 和 BD
是它的对角线．用三段论证明：CA 平分∠BCD，BD 平分 ∠CBA.
【思路】分清所证问题的大前提，正确利用平面几何 的有关性质，严格按三段论加以论证．
【证明】 (1)两平行线与第三条直线相交，内错角相等(大
1．降低了对数学归纳法的要求，加强了对合情推理 的考查，尤其是加强了对合情推理下的类比推理的考查．
2．以小题为主，一般以选择题、填空题的形式出现， 多数为基础题，难度属中档偏下．主要考查学生的观察、 归纳、类比以及逻辑推理能力．
3．演绎推理在高考中虽然很少刻意去考查，但实际 上对推理的考查可以说是无处不在，特别是综合应用各 种证明方法对各种数学问题进行的分析、判断遍布在试 卷的始终．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(1)归纳推理具有以下特点：①归纳是依据特殊现象 推断出一般现象，因而由归纳所得出的结论超越了前提 所包含的范围；②归纳的前提是特殊的情况，所以归纳 是立足于观察、经验或实验的基础之上的．
(2)归纳推理的一般步骤是：①通过观察个别情况发 现某些相同本质；②从已知的相同性质中推出一个明确 表述的一般性命题．当然，归纳推理所得结论未必正确， 有待进一步证明．
f(－2)＋f(3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明．
【思路】 利用函数解析式计算各和式的值，并注意 观察各和式中的两自变量值间的关系．
【解答】
f(0)
＋
f(1)
＝
1 30＋
3
＋
1 31＋
3＝1＋1
＋ 3
1 3＋
＝ 3
32－1＋3－6
3＝ 33，
同理，f(－1)＋f(2)＝ 33，
专题十三 推理与证明(讲解部分) 高考数学(课标版,理科)复习课件
考点三 数学归纳法
考向基础 一般地,证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行:
(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n=n0(n0∈N*)时,命题成立. (2)(归纳递推)假设n=k(k≥n0,k∈N*)时,命题成立,证明当n=k+1时,命题也成立. 只要完成以上两个步骤,就可以断定命题对于从n0开始的所有正整数n都成立. 上述证明方法叫做数学归纳法. 注意:(1)两个步骤缺一不可.(2)初始值n0不一定是1.(3)证明当n=k+1时命题 成立一定会用到归纳假设(即假设n=k(k≥n0,k∈N*)时命题成立).解题时要 特别注意从n=k到n=k+1增加了哪些项或减少了哪些项.
3
考向二 间接证明 例2 (2019河北衡水第十三中学模拟,18)已知△ABC的内角A,B,C对应的 边分别为a,b,c,三边互不相等,且满足b2<ac.
bc
(1)比较 a 与 b 的大小,并证明你的结论; (2)求证:B不可能是钝角.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
解析 (1)结论: b < c .
ab
证明如下:要证 b < c ,只需证 b < c .
3 38
3 3 ,4 4 = 4 4 ,5 5 = 5 5 ,则按照以上规律,若8 8 = 8 8 具有“穿墙
8 15 15 24 24
nn
术”,则n= ( )
A.35
B.48
C.63
D.80
解析 根据规律得3=1×3,8=2×4,15=3×5,24=4×6,……,所以n=7×9=63,选C.
答案 C
考点二 直接证明与间接证明
考向基础 1.直接证明
综合法
分析法
定义
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( 2 ) AB AC , AB BC , 即直
角三角形三边中斜边最
长.
( 3 ) 射影定理 : AC 2 AD AB ,
CB 2 DB AB , CD 2 AD DB
1
1
1
(4 ) CD
2
AC
2 CB
2
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在 四 面 体 SABC 中 , 三 个 平 面 SAB , 平 面 SBC , 平 面 SAC 两 两 垂 直 , 点 S 底 面上和射影为 O ,则有类 似结论 :
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制作 09
2010年下学期
(2) 在一次珠宝应展览会上 ,某商家展
出一套珠宝首饰 ,第一件首饰是 1颗珠宝 ,第
二件首饰是由 6颗珠宝构成如图 1所示在正六
边形 , 第三件首饰是由 1528 颗珠宝构成如
图 3所示的正六边形 , 第五件是由 45 颗珠宝构
成如图 4所示的正六边形 ,以后每件首饰都在
前一件上 ,按照这种规律增加一定 数量的珠
宝 ,使它构成更大的正六边
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形 ,依此推断第 6
制作 09
2010年下学期
件首饰_上 __应 __ 有 颗 __珠 ;_则 _宝n 前 件首 饰所用珠_宝 __总 颗 _.(结 _数果 为 n表 用)示
知识要点
1. 合情推理 2. 演绎推理
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制作 09
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沉思熟虑
一、归纳推理
[例1]
(1)
已知f
(
x)
1
x
x
,
设f1(
x)
f (x), fn(x) fn1[ fn1(x)](n 1且n N*),
则f3(x)的表达式为________猜, 想fn(x)(x
N*)的表达式为_______._
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__________________
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[例3] 填表：直角三角形与直角四面体的性质类比
平面内直角三角形的性质 空间中直角四面体的性质
在 ABC 中 , BCA 90 , 点 C 在 AB 上的射影为 D , 则有 下列结论 :
( 1 ) 点 D 在线段 AB 上 .
(1) _______, ( 2 ) ________,
( 3 ) _______, (4 ) ________ .
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2010年下学期
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二、类比推理
[例2] 请用类比推理完成下表
平面
空间
三角形两边之和大于 三棱锥任意三个面的面积
第三边
之和大于第四个面的面积
三角形的面积等于任 三棱锥的体积等于任意一 意一边的长度与这边 个底面的面积与该底面上 上高的乘积的一半 的高的乘积的三分之一
三角形的面积等于其 内切圆半径与三角形 周长的乘积的一半