冲激函数和阶跃函数的傅里叶变换
信号与系统傅里叶变换对照表
信号与系统傅里叶变换对照表
傅里叶变换是信号与系统领域中非常重要的数学工具，它将一个时域信号转换为频域信号，可以帮助我们理解信号的频谱特性。
下面是一份傅里叶变换的对照表，列出了一些常见的信号和它们的傅里叶变换形式：
1. 单位冲激函数（单位脉冲）：
时域表示，δ(t)。
频域表示，1。
2. 正弦函数：
时域表示，sin(2πft)。
频域表示，jπ[δ(f-f0) δ(f+f0)]
3. 余弦函数：
时域表示，cos(2πft)。
频域表示，1/2[δ(f-f0) + δ(f+f0)] 4. 矩形脉冲信号：
时域表示，rect(t/T)。
频域表示，T sinc(fT)。
5. 三角脉冲信号：
时域表示，tri(t/T)。
频域表示，T^2 sinc^2(fT)。
6. 高斯脉冲信号：
时域表示，exp(-πt^2/σ^2)。
频域表示，exp(-π^2f^2σ^2)。
7. 指数衰减信号：
时域表示，exp(-at)。
频域表示，1/(a+j2πf)。
8. 阶跃函数（单位阶跃函数）：
时域表示，u(t)。
频域表示，1/(j2πf) + 1/2。
9. 周期方波信号：
时域表示，square(t/T)。
频域表示，(1/T)[δ(f-nf0) + δ(f+nf0)], n为整数。
以上仅列举了一些常见的信号及其傅里叶变换形式。
傅里叶变换对照表可以帮助我们在信号分析和系统设计中快速理解信号的频域特性，从而更好地理解信号与系统的行为和特性。
傅里叶变换的性质
由于 满足绝对可积条件，其傅里叶变换不含冲激函数，故
10） 频谱如图 5.4-8(d)所示。
（5.4-
(a)
(b)
(c) 图 5.4-8 三角脉冲信号及其频谱 若傅里叶变换式对 求导，可得频域微分性质：
(d) （5.4-11）
例 5.4-6 利用频域微分性质求斜变函数 解
的傅里叶变换。
根据频域微分性质，有
4 傅里叶变换的性质
傅里叶变换建立了信号的时域与频域间的一般关系。实际上， 通过数学运算求解一个信号的傅里叶变换不是最终的目的，重要的是在信号分 析的理论研究与实际设计中能够了解当信号在时域进行某种运算后在频域将 发生何种变化，或反过来从频域的运算推测时域信号的变动。如果采用傅里叶 变换的基本性质求解复杂信号变换，不仅计算过程简单，而且物理概念清楚。
一、线性 傅里叶变换的线性性质包含齐次性与可加性，若
，
则
（5.4-1）
式中 、 为任意常数。
上面的结论可以容易地由傅里叶变换的定义式证明。即傅里 叶变换是一种线性运算，相加信号的频谱等于各个信号的频谱之和。
二、对偶性 若
则
如图 5.4-1 所示，其中
，
。
图 5.4-1 对偶性说明 证明 由逆傅里叶变换公式
（5.4-8）
图 5.4-7 符号函数及其频谱 利用常数 1 和符号函数的傅里叶变换，可求得阶跃函数的变换。由于
故有
（5.4-9）
阶跃函数的傅里叶变换在 处为
，在 处为
。
例 5.4-5 利用时域微分性质求图 5.4-8(a)所示三角脉冲 信号的傅里叶变换。
解 三角脉冲信号可表示为
对 求两次导数，波形如图 5.4-8(b)和(c)所示。根据微分性质得
阶跃信号的傅里叶变换
阶跃信号的傅里叶变换
阶跃信号是一种在某一时刻突然发生变化的信号，它的数学表达式为：
u(t) = {0, t < 0; 1, t >= 0}
其中，t表示时间，u(t)表示阶跃信号的值。
在t=0时，阶跃信号从0突然跳变到1，表示一个突然的事件发生了。
阶跃信号的傅里叶变换是指将阶跃信号在频域中的表达式，它可以用来分析阶跃信号的频谱特性。
傅里叶变换的公式为：
F(w) = ∫u(t)e^(-jwt)dt
其中，F(w)表示阶跃信号在频域中的表达式，w表示频率，j表示虚数单位，u(t)表示阶跃信号的值。
根据傅里叶变换的定义，我们可以得到阶跃信号的傅里叶变换表达式为：
F(w) = ∫u(t)e^(-jwt)dt = ∫0^∞e^(-jwt)dt = 1/jw
这个公式告诉我们，阶跃信号在频域中的表达式是一个复数，它的实部为0，虚部为1/w。
这意味着阶跃信号在频域中的幅度是与频率成反比的，频率越高，幅度越小。
阶跃信号的傅里叶变换还可以用来分析阶跃信号的相位特性。
根据傅里叶变换的定义，我们可以得到阶跃信号的相位为：
φ(w) = arg(F(w)) = -π/2
这个公式告诉我们，阶跃信号在频域中的相位是一个常数，它的值为-π/2。
这意味着阶跃信号在频域中的相位与频率无关，始终保持不变。
阶跃信号的傅里叶变换是一个重要的数学工具，它可以用来分析阶跃信号的频谱特性和相位特性。
在实际应用中，我们可以利用阶跃信号的傅里叶变换来设计滤波器、调制器等电路，以满足不同的信号处理需求。
常用傅里叶逆变换公式
常用傅里叶逆变换公式傅里叶变换和逆变换是信号处理领域中非常基础的数学工具。
在现代数字信号处理领域中，它们被广泛应用于信号滤波、数据压缩和频谱分析等方面。
作为傅里叶变换的逆运算，傅里叶逆变换起着重要的作用。
在这篇文章中，我们将详细介绍一些常用的傅里叶逆变换公式，并说明它们在实际应用中的作用。
傅里叶逆变换的定义在深入讨论傅里叶逆变换公式之前，我们需要先了解一下傅里叶逆变换的定义。
傅里叶逆变换是指将复频域信号转换成复时域信号的过程。
与傅里叶变换不同的是，逆变换是不可逆的。
即使我们进行完傅里叶逆变换之后，再进行傅里叶变换，也不能恢复原来的复频域信号。
傅里叶逆变换的数学表达式如下：$$x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}X(j\omega)e^{j\omega t}d\omega$$其中，$x(t)$是时域信号，$X(j\omega)$是傅里叶变换后的频域信号，$j$是虚数单位，$\omega$是频率，$t$是时间。
这个公式的意思是，我们可以通过对傅里叶变换后的复频域信号做积分，得到复时域信号$x(t)$。
傅里叶逆变换的性质在实际应用中，我们常常需要使用傅里叶逆变换公式对信号进行处理。
为了更好地利用傅里叶逆变换公式，我们需要了解一些它的性质。
下面是一些常见的性质：1. 线性性质：傅里叶逆变换具有线性性，即如果$x_1(t)$的傅里叶变换是$X_1(j\omega)$，$x_2(t)$的傅里叶变换是$X_2(j\omega)$，那么$ax_1(t)+bx_2(t)$的傅里叶逆变换就是$aX_1(j\omega)+bX_2(j\omega)$。
2. 时移性质：如果$x(t)$的傅里叶变换为$X(j\omega)$，那么$x(t-t_0)$的傅里叶逆变换就是$e^{-j\omega t_0}X(j\omega)$，其中$t_0$是一个常数。
3. 频移性质：如果$x(t)$的傅里叶变换为$X(j\omega)$，那么$x(t)e^{j\omega_0t}$的傅里叶逆变换就是$X(j(\omega-\omega_0))$，其中$\omega_0$是一个常数。
信号与系统第三章
1
2 t0 T1
2 t0 T1
2
[ T1
t0
f (t) cos n 1tdt
j T1
t0
f (t) sin n 1tdt]
1 t0 T1
T1 t0 f (t)[cos n 1t j sin n 1t]dt
1 t0 T1 f (t)
T1 t0
2e jn 1t dt
2
1 t0
T1
f (t)e
jn 1t dt
1768年生于法国 1807年提出“任何周
期信号都可用正弦函 数级数表示”
拉格朗日，拉普拉斯 反对发表
1822年首次发表在 “热的分析理论”
一书中
一、频域分析
从本章开始由时域转入变换域分析，首先讨 论傅里叶变换。傅里叶变换是在傅里叶级数正交 函数展开的基础上发展而产生的，这方面的问题 也称为傅里叶分析（频域分析）。将信号进行正 交分解，即分解为三角函数或复指数函数的组合。
t0 T1 t0
f (t)e jn1tdt
n 0,1, 2,3 。
Fn
1 t0
T1
f (t)e
jn 1t dt
T1 t0
n 0, 1, 2, 3 。
为了积分方便，通常取积分区间为：0
~
T1或
T1 2
~
T1 2
推导完毕
f (t)
n
Fne jn 1t F0
Fne jn 1t
n1
1
Fne jn 1t
n
（形式一） f (t) a0 an cos(n1t) bn sin(n1t) n1
傅氏级数展开实质就是确定展开式中各分量系数
确定系数：
f (t) a0 an cos(n1t) bn sin(n1t) n1
014第三章-5常用信号的傅里叶变换
jct
jc t
F ( j( c ))
相乘，等效于在
频域中将整个频谱向频率增加方向搬移c
F f (t )e
jct
f (t )e
jct jt
e
dt dt F j jc
f (t )e
j c t
例：已知 f (t ) F ( j ) 求 f (t ) cosc t 的频谱。 解：
四、尺度变换特性（时域频域成反比）
1 若：f (t ) F ( j ) 则 f (at) F ( j ) a a
扩展
压缩
压缩
扩展
2 A Sa( )
ASa (
2
)
A Sa ( ) 2 4
四、尺度变换特性（时域频域成反比）
1 若：f (t ) F ( j ) 则 f (at) F ( j ) a a
t
记 f1 (t ) e (t )
1 F f1 (t ) j
则 f (t ) e
|t|
t f1 (t ) f1 (t )
F ( j) F[ f1 (t )] F[ f1 (t )]
F1 ( j) F ( j)
* 1
F f at
f at e
若不符合绝对可积条件则不能直接计算， 但可通过其它变换对推出，并且一般含有 冲激函数。
常用信号的傅氏变换—8 8、周期性冲激序列δT(t)
间隔为T的均匀冲激序列， 以符号δT(t)表示
δT(t)是一个周期函数，可以展开成傅里叶级数：
1 jnt T (t ) (t nT ) An e 2 n n
冲激函数和阶跃函数的傅里叶变换
其傅里叶变换为：
F () j,
F ()
( )
22,
,
0 0
（纯虚函数）
0
t
1
F (w)
0
w
(w)
2
0
w
2
推导：
解： IFT : (t) 1 e jwtdw
两边求导：
2
d (t) 1 ( jw)e jwt dw
dt
2
得：
d (t) FT jw
dt
推广：
d n (t) FT( jw)n
dt n
tn
FT 2
(
j)n
d
n (w)
dwn
三、阶跃信号的傅里叶变换
阶跃函数：u(t) 1 1 sgn( t) 22
阶跃函数u(t)不满足绝 对可积条件，但它仍 存在傅里叶变换。
即：u(t)含有直流分量。
此外：由于u(t)不是纯直流信号，它在t=0点有跳变， 因此在频谱中还存在其他频率分量。
思考题
• 1. 冲激函数的傅立叶变换及其反变换的公 式？
• 2. 阶跃函数的傅立叶变换公式？
2
若令
[] lim k Sa(kw) k
k 比较上两式可得到：
2
F[w] 2E (w)
当E=1时， F[w] 2(w)
(t) FT1 1FT2(w)
二、冲激偶信号的傅里叶变换
冲激偶函数： f (t) '(t)
f (t) '(t)
§ 3.6 冲激函数和阶跃函数的傅里叶变换
• 主要内容
•冲激函数的傅里叶变换 •冲激偶的傅里叶变换 •阶跃函数的傅里叶变换
信号与系统第3章傅里叶变换
*本章要点
1.利用傅立叶级数的定义式分析周期信号的离散谱。 2.利用傅立叶积分分析非周期信号的连续谱。 3.理解信号的时域与频域间的关系。 4.用傅立叶变换的性质进行正逆变换。 5.掌握抽样信号频谱的计算及抽样定理
将信号表示为不同频率正弦分量的线性组合意义
1.从信号分析的角度 将信号表示为不同频率正弦分量的线性组合，为不同信号之 间进行比较提供了途径。
发展历史
•1822年，法国数学家傅里叶(J.Fourier,1768-1830)在研究热传导 理论时发表了“热的分析理论”，提出并证明了将周期函数展 开为正弦级数的原理，奠定了傅里叶级数的理论基础。 •泊松(Poisson)、高斯(Guass)等人把这一成果应用到电学中去， 得到广泛应用。 •19世纪末，人们制造出用于工程实际的电容器。 •进入20世纪以后，谐振电路、滤波器、正弦振荡器等一系列具 体问题的解决为正弦函数与傅里叶分析的进一步应用开辟了广 阔的前景。 •在通信与控制系统的理论研究和工程实际应用中，傅里叶变换 法具有很多的优点。 •“FFT”快速傅里叶变换为傅里叶分析法赋予了新的生命力。
一．三角函数形式的傅里叶级数
1.正交三角函数集
三角函数系1, cos x,sin x, cos 2x,sin 2x,..., cos nx,sin nx,...
在区间[-π,π]上正交，是指在三角函数系中任何不同的两个函 数的乘积在区间的积分等于零，即
cosnxdx 0(n 1,2,3,...)
傅里叶生平
1768年生于法国 1807年提出“任何周期信号
都可用正弦函数级数表示” 1829年狄里赫利第一个给出
收敛条件 拉格朗日反对发表 1822年首次发表“热的分析
理论”中
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t
c f (t)
2
0
2
2
t
c
c
F()
2 0 2
F ( )
1
c 0
c
2
2
若f(t)为偶函数，则时域和频域完全对称
(t)
1
f (t)
1
F ( )
1
F ( ) 2 ()
奇偶虚实性
f (t) F () | F () | e j() R() jX ()
1. f (t)为实函数
F () f (t)e jt dt
证明:
f (t) 1 F ()e j td
2
f (t) 1 F ()e j td
2
f () 1 F (t)e j tdt
2
FTF (t) 2f ()
例如：
1. (t) 1
1 2 () 2 ()
2.G
(t)
Sa(
2
)
Sa(t)
1 2
2G
()
Gห้องสมุดไป่ตู้
()
f (t)
1
2
0
* f (t)为实奇函数 R() 0
F () jX () 2 j0 f (t) sin(t)dt
实偶函数 X () 0 实奇函数 R() 0
任意实信号f (t) fo (t) fe (t)
F () R() jX ()
fe (t) fo (t)
R() jX ()
2. f (t)为虚函数f (t) jg(t)
0
0
0
1
卷积
1
2
2
0
1 2
[F
(
0
)
F
(
0
)]
微分特性
f (t) F() 时域微分: f (t) jF()
f (n) (t) ( j)n F () 频域微分: ( jt) f (t) F()
( jt)n f (t) F (n) ()
积分特性
f (t) F ()
时域积分: t f ( )d F () F (0) ()
j
频域积分: f (t) f (0) (t)
F ()d
jt
对于时域积分，
t f ( )d g(t) g() F () F (0) ()
j
此处g(t)令为f (t)的原函数;
其中F (0)
－
f
(t
)e
jt
dt
0
f (t)dt g() g() －
g(t) F () [g() g()] () j
1 f (x)e j(xb)/ adx
a
1
j b
ea
j x
f (x)e a dx
a
1
e
j
b a
F
(
)
a
a
a 0,则有绝对值.
频移特性
f (t) F () f (t)e j0t F ( 0 )
证明:
FT[ f (t)e j0t ]
f
(t)e j0te jt dt
F (
0 )
|a| a a为非零实常数 时域中a倍的压缩等效于频域中a倍的扩展; 时域中a倍的扩展等效于频域中a倍的压缩.
1
0
t
压缩 1
/4 0 /4 t
2F (2 )
2
0
1 2
F
( 2
)
2
0
4
4
扩展
等效脉冲宽度和等效频带宽度
f (0)和F (0)分别为f (t)和F ()曲线的最大值 f (0) F (0) F (0)B 2f (0)
同理
FT[ f (t)e j0t ] F ( 0 )
例如：
频谱搬移:利用复指数与三角函数
之间的欧拉公式.
f
(t)
cos(0t)
1 2
[F
(
0 )
F
(
0
)]
f
(t) sin(0t)
j 2
[F (
0 )
F (
0 )]
FT [ f (t) cos0t]
FT[ f (t)]
1
FT [cos 0t ]
在时域分析中,一个系统的零状态响应是 系统激励与系统冲激响应的卷积.
yzs (t) e(t) h(t) 根据时域卷积定理,该系统零状态响应的 FT为:
f (t) cos(t)dt j f (t) sin(t)dt
F () F ();
R() R(); X () X ()
F () f (t) cos(t)dt j f (t) sin(t)dt
* f (t)为实偶函数 X () 0
F () R() 20 f (t) cos(t)dt
E f 2 (t)dt | F ( f ) |2 df
1 | F () |2 d
2
3.8 卷积特性(卷积定理)
时域卷积定理 频域卷积定理
时域卷积定理
f1(t) F1(); f2 (t) F2 () f1(t) f2 (t) F1() F2 ()
时域卷积对应频域乘积!
F () f (t)e jtdt
(t) 1
f (t)
(t)
F ( ) 1
t
1 2 ()
f (t)
F ( )
1
2 ()
t
思考：
(t) j (t) 1
u(t) () 1 j
3.7傅里叶变换的基本性质
线性(叠加性) 对称性 奇偶虚实性 尺度变换特性 时移特性 & 频移特性 微分特性 & 积分特性
对于频域积分也有类似结论，同学们可自行推导。
用FT积分特性求阶跃的 FT
f (t) (t) F() 1
t
y(t) u(t) ( )d
Y () FT[u(t)] F () ()F (0) j
1 () j
Parseval定理
Parseval关系:
能量可由f (t)或它的频谱| F () |求得.
B 2
脉宽与带宽的关系仍然是反比关系.
时移特性
f (t) F ()
f (t t0 ) F ()e jt0 信号平移后,相位谱产生附加变换 t0,
幅度谱不变.
f (at b)
1
F
(
)e
j
b a
|a| a
证明:
FT[ f (at b)] f (at b)e jtdt
a0
x at b
线性(叠加性)
fi (t) Fi () (i 1,2,...,n)
n
n
ai fi (t) ai Fi ()
i 1
i 1
sgn(t)
1
0
t
1
u(t) 1
0
t
u(t) 1 [sgn(t) 1] 2
u(t) 1 [ 2 2 ()] 2 j
对称性
f (t) F () F (t) 2f ()
F () jg(t)e jtdt
g(t) sin(t)dt j g(t) cos(t)dt
F () F ();
R() R(); X () X ()
同时,无论f (t)为实或复函数,都有
f (t) F() f (t) F () f (t) F ()
尺度变换特性
f (t) F() f (at) 1 F( )