暨南大学数学分析考研真题试题2015—2020(缺2016)年
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2015年暨南大学研究生入学考试《西方经济学》真题及详解
2015年暨南大学研究生入学考试《西方经济学》真题及详解2015年暨南大学研究生入学考试《西方经济学》真题(总分：150.00，做题时间：180分钟)一、单项选择题(总题数：15，分数：45.00)1.当X商品的价格下降时，替代效应＝＋6，收入效应＝－4，则X商品是（）。
（分数：3.00）A.低档商品√B.正常商品C.吉芬商品D.独立商品解析：低档商品的替代效应与价格成反方向的变动，收入效应与价格成同方向的变动，而且，在大多数的场合，替代效应的作用大于收入效应的作用。
2.同一条无差异曲线上的不同点表示（）。
（分数：3.00）A.效用水平不同，但所消费的两种商品的组合比例相同B.效用水平相同，但所消费的两种商品的组合比例不同√C.效用水平不同，所消费的两种商品的组合比例也不同D.效用水平相同，所消费的两种商品的组合比例也相同解析：无差异曲线代表了能带给消费者相同满足程度的商品的所有组合。
所以，同一条无差异曲线上效用水平相同，不同的点代表着不同的商品组合。
3.在以下生产函数里，哪一生产函数呈现规模报酬递增（）。
（分数：3.00）A.Q＝min\'7baK， bL\'7dB.Q＝4K＋2LC.Q＝10K1/2 L1/2D.Q＝5K2/5 L4/5√解析：规模报酬递增是指当投入要素数量增加一倍时，产出增加多于一倍。
D项，当要素均增加一倍时，产量Q1 为：Q1 ＝5（2K）2/5 （2L）4/5 ＝26/5 ×5K2/5 L4/5 ＝26/5 Q＞2Q，说明，投入要素增加一倍，产量增加超过一倍，因此，生产函数为规模报酬递增。
A、B、 C三项为规模报酬不变的生产函数。
4.当边际成本大于平均成本时，平均成本（）。
（分数：3.00）A.增加√B.减少C.不变D.达到最低点解析：边际成本与平均成本存在如下关系：当边际成本低于平均成本时，平均成本曲线下降；当边际成本高于平均成本时，平均成本曲线上升；当平均成本最小时，边际成本与平均成本相等。
暨南大学601高等数学2010--2014,2017,2019--2020年考研真题试卷
3．若 y5 2 y x 3x7 0 ，则 dy |x0 __________________________.
4．
lim(
n
n
1 2
1
2 n2 2
...
n ______.
5．以函数 y C2 作为通解的微分方程是_______________________. x C1
____________
(A) 充要条件 (B) 充分不必要条件 (C) 必要不充分条件 (D) 既不充分也不必要
4. 若级数 (an bn ) 收敛，那么说法正确的是___________
n1
(A) an 和 bn 中至少有一个收敛 (B) an 和 bn 有相同的敛散性
n1
n1
n1
n1
(C) an 和 bn 都收敛
D
6．求 4 ln(1 tan x)dx . 0
dx
7. 判断积分 0
(1 x)(1 x2 ) 的收敛，如果收敛，求其值.
8. 求一阶线性微分方程 dy 5y x 的通解. 并求满足初始条件 y(0) 0 的特解. dx
9．求在平面 x y z 1与柱面 x2 y2 1的交线上到 XOY 面的距离最远的点. 345
考试科目：高等数学B
共 4 页，第 3 页
4、证明题 （本题共2小题，每小题5分，共10分）
1. 设函数 f (x) 在 (,) 上可导,证明:若 f ' (x) f (x) 没有实数解，那么曲线
y f (x) 与 x 轴最多只能有一个交点.
df
1 ( dx
x)
|x3
___________
(A) 1 3
(B) 3
(C) 1
暨南大学834光学2015-2020年考研专业课真题试卷
考试科目： 光 学
共 2 页，第 1
页
8、 将波长为 λ 的单色平行光垂直透射于一个宽度为 a 的狭缝，若对应于夫琅禾费单缝衍射
的 第二级暗斑最小值位置的衍射角 θ 为 π/6, 则缝宽 a 的大小为：
A. λ/2 B. λ C. 2λ D. 4λ
9、 在牛顿环实验装置中，曲率半径为 R 的平凸透镜与平玻璃板在中心恰好接触，它们之间
5. 单色光垂直入射到两块平板玻璃形成的空气劈尖上，当劈尖角度逐渐减小时，干涉条纹如
何变化：
A. 干涉条纹朝向劈尖方向移动，不同条纹的移动速度不同
么这条光路的光程的改变量是多少?
A. 2nd B. 2(n-1)d C. nd D. (n-1)d
二、计算简答题（请给出解答或分析过程，本大题共 100 分，第 1 题 25 分，第 2 题 15 分， 第 3 题 20 分，第 4 题 20 分，第 5 题 20 分）
1. （1）真空中，波长为 600 nm 的光波所对应的频率是多少？（2）此波长附近，一个波 长带宽为 0.1 nm 的信号所对应的的频率带宽是多少？（3）用此光源用于杨氏双缝干涉 实验，狭缝间距为 5 mm， 双缝到屏幕的距离 L=2 m，试计算条纹间距? （4）折射率 为 1.6，厚度 t 为 3 μm 的透光片覆盖在其中一个狭缝上，那么此干涉条纹将移动多少个 条纹间距 （真空中，C=3x108 m/s）
A. 反射光的 s 分量为零
B. 反射光的 p 分量为零
C. 透射光为线偏振光
D. 反射光与入射光夹角为 90 度
2. 一对偏振片前后放置，其起偏方向呈 45 度角，当光强为 I 的自然光通过这对偏振片后，光
强可能变为：
A. I/12 B. I/8 C. I/4 D. I/2
暨南大学810高等代数2010--2020年考研专业课真题
招生专业与代码：070101基础数学、070102计算数学、070103概率论与数理统计、070104应用数学、070105运筹学与控制论
考试科目名称及代码：810高等代数（A卷）
考生注意：所有答案必须写在答题纸（卷）上，写在本试题上一律不给分。
一、（10分）设 为给定正整数， 为给定常数，计算对角线上元素均为 、其它位置元素均为1的 阶矩阵 的行列式 .
2证明 在某基下的矩阵是
六（15分）1设 ，证明秩 =秩 =秩 。
2设 是实对称矩阵， ，证明 。
七（15分）已知矩阵 是数域 上的一个 级方阵，如果存在 上的一个 级可逆方阵 ，使得 为对角矩阵，那么称 在 上可对角化。分别判断 能否在实数域上和复数域上可对角化，并给出理由。
八（16分）用 表示实数域 上次数小于4的一元多项式组成的集合，它是一个欧几里得空间，内积为 。设 是由零次多项式及零多项式组成的子空间，求 以及它上的一个基。
研究方向：各专业研究方向
考试科目名称：810高等代数
考生注意：所有答案必须写在答题纸（卷）上，写在本试题上一律不给分
一、判断下列命题的正误（只需回答“正确”或“错误”并将你的答案写在答题纸上，不需说明理由，每题2分，共20分）：
1唯一解，并求其解；
2无穷多解，给出解的表达式；
3无解。
四（15分）设
1求 的全部特征值；
2对 的每个特征值 ，求 的属于特征值 的特征子空间的维数和一组基；
3求正交矩阵 ，使 是对角矩阵，并给出此对角矩阵。
五（15分）设 是数域 上的一个n维线性空间 ，若有线性变换 与向量 使得 ，但 。
1证明 线性无关；
2020年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题
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考试科目名称及代码：810高等代数（A卷）
考生注意：所有答案必须写在答题纸（卷）上，写在本试题上一律不给分。
一、（10分）设 为给定正整数， 为给定常数，计算对角线上元素均为 、其它位置元素均为1的 阶矩阵 的行列式 .
2证明 在某基下的矩阵是
六（15分）1设 ，证明秩 =秩 =秩 。
2设 是实对称矩阵， ，证明 。
七（15分）已知矩阵 是数域 上的一个 级方阵，如果存在 上的一个 级可逆方阵 ，使得 为对角矩阵，那么称 在 上可对角化。分别判断 能否在实数域上和复数域上可对角化，并给出理由。
八（16分）用 表示实数域 上次数小于4的一元多项式组成的集合，它是一个欧几里得空间，内积为 。设 是由零次多项式及零多项式组成的子空间，求 以及它上的一个基。
研究方向：各专业研究方向
考试科目名称：810高等代数
考生注意：所有答案必须写在答题纸（卷）上，写在本试题上一律不给分
一、判断下列命题的正误（只需回答“正确”或“错误”并将你的答案写在答题纸上，不需说明理由，每题2分，共20分）：
1唯一解，并求其解；
2无穷多解，给出解的表达式；
3无解。
四（15分）设
1求 的全部特征值；
2对 的每个特征值 ，求 的属于特征值 的特征子空间的维数和一组基；
3求正交矩阵 ，使 是对角矩阵，并给出此对角矩阵。
五（15分）设 是数域 上的一个n维线性空间 ，若有线性变换 与向量 使得 ，但 。
1证明 线性无关；
2020年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题
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暨南大学数学考研真题
2016年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题
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招生专业与代码：基础数学070101；计算数学070102；概率论与数理统计070103；应用数学070104；运筹学与控制论070105
4、给出线性空间 的两组基 和 ：
，
则基 到 的过渡矩阵为。若线性变换 在基 下的矩阵为 ，则 在基 下的矩阵为。
5、已知3级方阵 ，则 的初等因子为， 的Jordan标准形为。
考试科目：高等代数共3页，第1页
6、正交矩阵的实特征值只可能是。
7、对欧几里得空间 中的向量 ，有 ，而且等号成立当且仅当。
七、（15分）用 表示数域 上所有 级矩阵组成的集合，它对于矩阵的加法和数量乘法成为 上的线性空间。数域 上形如
的 级矩阵称为循环矩阵，它的行向量的每个元素都是前一个行向量各元素依次右移一个位置得到的结果。用 表示数域 上所有 级循环矩阵组成的集合。证明 是 的一个子空间，并求 的一个基和维数。
八、（20分）你认为高等代数课程中最重要的概念、最重要的结论是什么，你最感兴趣的内容是什么？高等代数有哪些重要的应用？谈谈你对高等代数的体会和感想。
考试科目名称及代码：高等代数810
考生注意：所有答案必须写在答题纸（卷）上，写在本试题上一律不给分。
一、填空题（共40分，每空4分）
1、设 ， ，则 除 的商式和余式分别是_______和_________。
2、行列式 的值是________。
3、如果把实 级对称矩阵按照合同分类，即两个实 级对称矩阵属于同一类当且仅当它们合同，则共有________类。
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招生专业与代码：基础数学070101；计算数学070102；概率论与数理统计070103；应用数学070104；运筹学与控制论070105
4、给出线性空间 的两组基 和 ：
，
则基 到 的过渡矩阵为。若线性变换 在基 下的矩阵为 ，则 在基 下的矩阵为。
5、已知3级方阵 ，则 的初等因子为， 的Jordan标准形为。
考试科目：高等代数共3页，第1页
6、正交矩阵的实特征值只可能是。
7、对欧几里得空间 中的向量 ，有 ，而且等号成立当且仅当。
七、（15分）用 表示数域 上所有 级矩阵组成的集合，它对于矩阵的加法和数量乘法成为 上的线性空间。数域 上形如
的 级矩阵称为循环矩阵，它的行向量的每个元素都是前一个行向量各元素依次右移一个位置得到的结果。用 表示数域 上所有 级循环矩阵组成的集合。证明 是 的一个子空间，并求 的一个基和维数。
八、（20分）你认为高等代数课程中最重要的概念、最重要的结论是什么，你最感兴趣的内容是什么？高等代数有哪些重要的应用？谈谈你对高等代数的体会和感想。
考试科目名称及代码：高等代数810
考生注意：所有答案必须写在答题纸（卷）上，写在本试题上一律不给分。
一、填空题（共40分，每空4分）
1、设 ， ，则 除 的商式和余式分别是_______和_________。
2、行列式 的值是________。
3、如果把实 级对称矩阵按照合同分类，即两个实 级对称矩阵属于同一类当且仅当它们合同，则共有________类。
数学分析考研真题答案
数学分析考研真题答案【篇一：2015年暨南大学数学分析2015年考研专业课真题_研究生入学考试试题】>***************************************************************************** *************** 学科、专业名称：统计学、基础数学、计算数学、概率论与数理统计、应用数学、运筹学与控制论研究方向：各方向考试科目名称：709数学分析考试科目：709数学分析共 2 页，第 1 页【篇二：2014中山大学数学分析考研真题与答案】学分析考研复习精编》《复习精编》是博学中大精品考研专业课系列辅导材料中的核心产品。
本书严格依据学校官方最新指定参考书目，并结合考研的精华笔记、题库和内部考研资讯进行编写，是博学中大老师的倾力之作。
通过本书，考生可以更好地把握复习的深度广度，核心考点的联系区分，知识体系的重点难点，解题技巧的要点运用，从而高效复习、夺取高分。
考试分析——解析考题难度、考试题型、章节考点分布以及最新试题，做出考试展望等；复习之初即可对专业课有深度把握和宏观了解。
复习提示——揭示各章节复习要点、总结各章节常见考查题型、提示各章节复习重难点与方法。
知识框架图——构建章节主要考点框架、梳理全章主体内容与结构，可达到高屋建瓴和提纲挈领的作用。
核心考点解析——去繁取精、高度浓缩初试参考书目各章节核心考点要点并进行详细展开解析、以星级多寡标注知识点重次要程度便于高效复习。
历年真题与答案解析——反复研究近年真题，洞悉考试出题难度和题型；了解常考章节与重次要章节，有效指明复习方向。
《复习精编》具有以下特点：（1）立足教材，夯实基础。
以指定教材为依据，全面梳理知识，注意知识结构的重组与概括。
让考生对基本概念、基本定理等学科基础知识有全面、扎实、系统的理解、把握。
（2）注重联系，强化记忆。
复习指南分析各章节在考试中的地位和作用，并将各章节的知识体系框架化、网络化，帮助考生构建学科知识网络，串联零散的知识点，更好地实现对知识的存储,提取和应用。
2015年暨南大学高等数学考试内容,考研真题,复试流程,考研心态,真题解析
向量的线性运算
向量的数量积、向量积和混合积
2
两向量垂直、平行的条件
两向量
2 / 11 【育明教育】中国考研考博专业课辅导第一品牌 官方网站： 开设课程： 【网络函授班】 【精品小班】 【高端一对一】 【状元集训营】 【定向保录】
的夹角 向量的坐标表达式及其运算 单位向量 方向数与方向余弦 曲面方程和空间曲线方程的概念 平面方程、直线方程 平面与平面、平面与直线、直线与直线的夹角以及平行、垂直的条件 点到平面和 点到直线的距离 球面 母线平行于坐标轴的柱面 旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程 常用的二次曲面 方程及其图形 空间曲线的参数方程和一般方程 空间曲线在坐标面上的投影曲线方程 考试要求 1. 熟悉空间直角坐标系，理解向量及其模的概念；掌握向量的运算(线性运算、数量积、向量积)， 掌 握两向量垂直、平行的条件。 2. 理解向量在轴上的投影， 了解投影定理及投影的运算。 理解方向数与方向余弦、 向量的坐标表达式， 会用坐标表达式进行向量的运算。 3. 熟悉平面方程和空间直线方程的各种形式，熟练掌握平面方程和空间直线方程的求法。 4. 会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，并会利用平面、直线的相互关系（平行、 垂直、相交等）解决有关问题。 5. 会求空间两点间的距离、点到直线的距离以及点到平面的距离。 6. 了解空间曲线方程和曲面方程的概念。 7. 了解空间曲线的参数方程和一般方程。了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求其方程。 8. 了解常用二次曲面的方程、图形及其截痕，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴 的柱面方程。 （五）多元函数微分学 考试内容 多元函数的概念 二元函数的几何意义 二元函数的极限和连续 有界闭区域上多元连续函数的性质 多元函数偏导数和全微分的概念及求法 多元复合函数、隐函数的求导法 高阶偏导数的求法 空间曲线 的切线和法平面 曲面的切平面和法线 方向导数和梯度 多元函数的极值和条件极值 拉格朗日乘数法 多元函数的最大值、最小值及其简单应用 考试要求 1. 理解二元函数的极限与连续性的概念及基本运算性质，了解二元函数累次极限和极限的关系 会判 断二元函数在已知点处极限的存在性和连续性 了解有界闭区域上连续函数的性质。 2. 理解多元函数偏导数和全微分的概念 了解二元函数可微、偏导数存在及连续的关系，会求偏导数 和全微分，了解二元函数两个混合偏导数相等的条件 了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分 形式的不变性。 3. 熟练掌握多元复合函数偏导数的求法。 4. 熟练掌握隐函数的求导法则。 5. 理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。 6. 理解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程。 7.理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在 的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值、最小 值，并会解决一些简单的应用问题。 （六）多元函数积分学 考试内容
暨南大学《810高等代数》历年考研真题专业课考试试题
目 录
2010年暨南大学810高等代数考研真题 2011年暨南大学810高等代数考研真题 2012年暨南大学810高等代数考研真题 2013年暨南大学810高等代数考研真题 2014年暨南大学810高等代数考研真题 2015年暨南大学810高等代数考研真题 2016年暨南大学810高等代数考研真题 2017年暨南大学810高等代数考研真题 2018年暨南大学810高等代数考研真题 2019年暨南大学810高等代数考研真题
2010年暨南大学810高等代数考研 真题
2011年暨南大学810高等代数考研 真题
2012年暨南大学810高等代数考研 真题
24年暨南大学810高等代数考研 真题
2015年暨南大学810高等代数考研 真题
2016年暨南大学810高等代数考研 真题
2017年暨南大学810高等代数考研 真题
2018年暨南大学810高等代数考研 真题
2019年暨南大学810高等代数考研 真题
2010年暨南大学810高等代数考研真题 2011年暨南大学810高等代数考研真题 2012年暨南大学810高等代数考研真题 2013年暨南大学810高等代数考研真题 2014年暨南大学810高等代数考研真题 2015年暨南大学810高等代数考研真题 2016年暨南大学810高等代数考研真题 2017年暨南大学810高等代数考研真题 2018年暨南大学810高等代数考研真题 2019年暨南大学810高等代数考研真题
2010年暨南大学810高等代数考研 真题
2011年暨南大学810高等代数考研 真题
2012年暨南大学810高等代数考研 真题
24年暨南大学810高等代数考研 真题
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2019年暨南大学810高等代数考研 真题
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2020 年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题（B 卷）
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招生专业：基础数学、计算数学、概率论与数理统计、应用数学、运筹学与控制论、统计学 研究方向：各方向 考试科目名称及代码：709 数学分析
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考试科目： 709 数学分析
共 2 页，第 2 页
2019cçÂôÖa¬Æ ïÄ)\Æ•ÁÁK£Aò¤
*************************************************************************************** Ɖ! ;’¶¡µÄ:êÆ! OŽêÆ! VÇ؆ênÚO! A^êÆ! $ÊƆ››Ø! ÚOÆ ïÄ••µˆ•• •Á‰8¶¡µ709êÆ©Û
n1 n
2.
（10 分）证明：第二型曲线积分
L
xdx ydy ( x2 y2 )3/2
在区域
D
:
x
0
上与路径无关.
3. （11 分）设函数 f (x) 在 [0, 3] 上连续，在 (0, 3) 内可导，且满足 f (0) f (1) f (2) 3 ，
f (0) 1， f (3) 1 ，证明：存在 (0,3) ，使得 f ( ) 0 .
•)5¿µ¤k‰Y7L 3‰K’£ò¤þ§ 3 ÁKþ˜Æ؉©" ˜!OŽK£ 3 K§z K8©§ 24©¤
1. ¦4•lim
arcsin 2x tan x2
√
.
x→0 (e3x − 1)( 1 + x2 − 1)
2.
¦4• lim x→0
ex
− ln(1 + sin2 x
x)
.
ˆ
3. ¦È© x arctan xdx.
4. （12 分）证明：对 x 0, 函数 f ( x) x (t t2 ) sin2n tdt 有一个上界为
1
.
0
(2n 3)(2n 2)
5. （12 分）非极值点的稳定点称为鞍点. 证明：二元函数 f ( x, y) x y sin x 的全体鞍点组 成的集合与整数集 A 可建立一一映射.
(b > a > 0).
0
x
ä¦
7:´Ä4
n!?Ø©ÛK£ 4 K§ 36©¤
1. £8©¤?ؼêf (x) = |x3|3x = 0?ˆ ê •35§¿¦dy|x=−1, d2y|x=1"
2. £8©¤
∞
ä?ê
(−1)n ln(n + 1) ´ýéÂñ!^‡Âñ„´uÑ
"
n+1
n=0
•Á‰8µ709êÆ©Û£Aò¤
考生注意：所有答案必须写在答题纸（卷）上，写在本试题上一律不给分。
一、计算题（共 5 小题，每小题 9 分，共 45 分）
1
1.
求极限
lim
n
n3
12 22 n2
.
2. 求极限 lim 2020 x2020 x2019 2020 x2020 x2019 . x
3. 求极限 lim
1 arctan( tan x)
3. 用含参量积分计算 2 0
2 tan x
dx .
三、讨论分析题（共 2 小题，每小题 10 分，共 20 分）
考试科目： 709 数学分析
共 2 页，第 1 页
1. 设 k A ，试问 k 为何值时，方程 arctan x kx 0 无正实根.
2.
已知函数
D
4.
ˆ ¦È©
1
1 + sin x + x ln(2 + x4) dx.
−1
(1 + x2)2
Âñ5"
5. ¦d•§x2 + 2xy + 2y2 = 1¤(½ Û¼êy = f (x) 7:§¿
Š:§e•4Š:§`²´4Œ„´4 Š:§¿¦éA4Š"
6.
ˆ OŽÈ©
+∞
e−ax2
− e−bx2 dx
f
(
x,
y)
2 x2
xm
y y2
,
(
x,
y)
(0,
0)
，其中
m
为正整数，
a
为实数.
设
f (x, y) 在
a, (x, y) (0,0)
(0, 0) 点处的方向导数的个数为 n ，试讨论 n 与 m 和 a 的关系.
四、证明题（共 5 小题，共 55 续.
!OŽK£ 6 K§z K9©§ 54©¤
∞
1. ¦˜?ê n(n + 1)xn Âñ•9Ú¼ê"
n=1
2. rf (x) = −1, x ∈ [−π, 0] Ðm¤Fp“?꧿?ØT?ê
1,
x ∈ (0, π)
¨
3. ¦
e
x−y x+y
dxdy§Ù¥D´dx
=
0,
y
= 0,
x+y
= 1¤Œ«•"
2 •§1 1 •
3.
ˆ £8©¤?؇~È©Φ(α) =
+∞
xα−1 dx
Âñ5"
0 1+x
4. £12©¤?ؼê
xy2
,
f (x, y) = x2 + y2
0,
x2 + y2 = 0, x2 + y2 = 0
3:(0, 0) \g4•!ëY5! ê9Œ‡5"
o!y²K£ 4 K§z K9©§ 36©¤
1.
a1
= 0,
an+1
=
1 4
+ a2n,
n = 1, 2, · · ·"y²ê
{an}
4••3§¿¦ÙŠ"
2. y²¼ê‘?ê ∞ 2n sin x 3«m(0, +∞)þؘ—Âñ§ S4˜—Âñ" 3n
n=1
3. yLˆª(3x2 − yz)dx + (3y2 − xz)dy + (3z2 − xy)dz• ‡©§¿¦Ù ¼ê"
的和函数.
n2 n(n 1)
2.
已知一元函数
f (h) 在 h0 点可导，设 g( x, y)
f (h0 x) f (h0 y) 为定义在 D A 2 上的 x y
二元函数，其中 D 为 A 2 的第一象限. 试用 定义求 g 在 D 上当 ( x, y) (0, 0) 时的极限.
x 0
(1
1)t t
e
dt
.
x
ln x
4. 求积分 arctan x dx .
x (1 x)
5.
用三重积分求椭球体V
(x, y, z) A
3
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1,
a,b, c
0 的体积.
二、计算题（共 3 小题，每小题 10 分，共 30 分）
1. 求幂级数 x
xn
********************************************************************************************
招生专业：基础数学、计算数学、概率论与数理统计、应用数学、运筹学与控制论、统计学 研究方向：各方向 考试科目名称及代码：709 数学分析
********************************************************************************* 题目结束
考试科目： 709 数学分析
共 2 页，第 2 页
2019cçÂôÖa¬Æ ïÄ)\Æ•ÁÁK£Aò¤
*************************************************************************************** Ɖ! ;’¶¡µÄ:êÆ! OŽêÆ! VÇ؆ênÚO! A^êÆ! $ÊƆ››Ø! ÚOÆ ïÄ••µˆ•• •Á‰8¶¡µ709êÆ©Û
n1 n
2.
（10 分）证明：第二型曲线积分
L
xdx ydy ( x2 y2 )3/2
在区域
D
:
x
0
上与路径无关.
3. （11 分）设函数 f (x) 在 [0, 3] 上连续，在 (0, 3) 内可导，且满足 f (0) f (1) f (2) 3 ，
f (0) 1， f (3) 1 ，证明：存在 (0,3) ，使得 f ( ) 0 .
•)5¿µ¤k‰Y7L 3‰K’£ò¤þ§ 3 ÁKþ˜Æ؉©" ˜!OŽK£ 3 K§z K8©§ 24©¤
1. ¦4•lim
arcsin 2x tan x2
√
.
x→0 (e3x − 1)( 1 + x2 − 1)
2.
¦4• lim x→0
ex
− ln(1 + sin2 x
x)
.
ˆ
3. ¦È© x arctan xdx.
4. （12 分）证明：对 x 0, 函数 f ( x) x (t t2 ) sin2n tdt 有一个上界为
1
.
0
(2n 3)(2n 2)
5. （12 分）非极值点的稳定点称为鞍点. 证明：二元函数 f ( x, y) x y sin x 的全体鞍点组 成的集合与整数集 A 可建立一一映射.
(b > a > 0).
0
x
ä¦
7:´Ä4
n!?Ø©ÛK£ 4 K§ 36©¤
1. £8©¤?ؼêf (x) = |x3|3x = 0?ˆ ê •35§¿¦dy|x=−1, d2y|x=1"
2. £8©¤
∞
ä?ê
(−1)n ln(n + 1) ´ýéÂñ!^‡Âñ„´uÑ
"
n+1
n=0
•Á‰8µ709êÆ©Û£Aò¤
考生注意：所有答案必须写在答题纸（卷）上，写在本试题上一律不给分。
一、计算题（共 5 小题，每小题 9 分，共 45 分）
1
1.
求极限
lim
n
n3
12 22 n2
.
2. 求极限 lim 2020 x2020 x2019 2020 x2020 x2019 . x
3. 求极限 lim
1 arctan( tan x)
3. 用含参量积分计算 2 0
2 tan x
dx .
三、讨论分析题（共 2 小题，每小题 10 分，共 20 分）
考试科目： 709 数学分析
共 2 页，第 1 页
1. 设 k A ，试问 k 为何值时，方程 arctan x kx 0 无正实根.
2.
已知函数
D
4.
ˆ ¦È©
1
1 + sin x + x ln(2 + x4) dx.
−1
(1 + x2)2
Âñ5"
5. ¦d•§x2 + 2xy + 2y2 = 1¤(½ Û¼êy = f (x) 7:§¿
Š:§e•4Š:§`²´4Œ„´4 Š:§¿¦éA4Š"
6.
ˆ OŽÈ©
+∞
e−ax2
− e−bx2 dx
f
(
x,
y)
2 x2
xm
y y2
,
(
x,
y)
(0,
0)
，其中
m
为正整数，
a
为实数.
设
f (x, y) 在
a, (x, y) (0,0)
(0, 0) 点处的方向导数的个数为 n ，试讨论 n 与 m 和 a 的关系.
四、证明题（共 5 小题，共 55 续.
!OŽK£ 6 K§z K9©§ 54©¤
∞
1. ¦˜?ê n(n + 1)xn Âñ•9Ú¼ê"
n=1
2. rf (x) = −1, x ∈ [−π, 0] Ðm¤Fp“?꧿?ØT?ê
1,
x ∈ (0, π)
¨
3. ¦
e
x−y x+y
dxdy§Ù¥D´dx
=
0,
y
= 0,
x+y
= 1¤Œ«•"
2 •§1 1 •
3.
ˆ £8©¤?؇~È©Φ(α) =
+∞
xα−1 dx
Âñ5"
0 1+x
4. £12©¤?ؼê
xy2
,
f (x, y) = x2 + y2
0,
x2 + y2 = 0, x2 + y2 = 0
3:(0, 0) \g4•!ëY5! ê9Œ‡5"
o!y²K£ 4 K§z K9©§ 36©¤
1.
a1
= 0,
an+1
=
1 4
+ a2n,
n = 1, 2, · · ·"y²ê
{an}
4••3§¿¦ÙŠ"
2. y²¼ê‘?ê ∞ 2n sin x 3«m(0, +∞)þؘ—Âñ§ S4˜—Âñ" 3n
n=1
3. yLˆª(3x2 − yz)dx + (3y2 − xz)dy + (3z2 − xy)dz• ‡©§¿¦Ù ¼ê"
的和函数.
n2 n(n 1)
2.
已知一元函数
f (h) 在 h0 点可导，设 g( x, y)
f (h0 x) f (h0 y) 为定义在 D A 2 上的 x y
二元函数，其中 D 为 A 2 的第一象限. 试用 定义求 g 在 D 上当 ( x, y) (0, 0) 时的极限.
x 0
(1
1)t t
e
dt
.
x
ln x
4. 求积分 arctan x dx .
x (1 x)
5.
用三重积分求椭球体V
(x, y, z) A
3
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1,
a,b, c
0 的体积.
二、计算题（共 3 小题，每小题 10 分，共 30 分）
1. 求幂级数 x
xn