备战2017高考技巧大全之高中数学黄金解题模板

【高考地位】含参不等式的恒成立问题越来越受到高考命题者的青睐，由于新课标高考对导数应用的加强，这些不等式的恒成立问题往往与导数问题交织在一起，这在近年的高考试题中不难看出这个基本的命题趋势. 解决这类问题的关键是揭开量词隐含的神秘面纱还函数问题本来面目，在高考中各种题型多以选择题、填空题和解答题等出现，其试题难度属高档题.【方法点评】方法一 分离参数法使用情景：对于变量和参数可分离的不等式解题模板：第一步 首先对待含参的不等式问题在能够判断出参数的系数正负的情况下，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式；第二步 先求出含变量一边的式子的最值； 第三步 由此推出参数的取值范围即可得出结论.例1 已知函数()2ln f x kx x =-，若()0f x >在函数定义域内恒成立，则的取值范围是（ ）A ．1,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,2e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,2e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．1,2e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】考点：函数的恒成立问题．【方法点晴】本题主要考查了函数的恒成立问题，其中解答中涉及到利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的极值与最值、恒成立的分离参数构造新函数等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想，试题有一定的思维深度，属于中档试题，解答中根据函数的恒成立，利用分离参数法构造新函数，利用新函数的性质是解答的关键．含参不等式分离参数后的形式因题、因分法而异，因此解决含参不等式恒成立问题需把握住下述结论：（1）()()f x g a <恒成立⇔max ()()f x g a <；（2）()()f x g a ≤恒成立⇔max ()()f x g a ≤；（3）()()f x g a >恒成立⇔min ()()f x g a >。

（4）()()f x g a ≥恒成立⇔min ()()f x g a ≥.【变式演练1】已知函数()124x x f x a =++在(,1]-∞上有意义，则的取值范围是 . 【答案】3[,)4-+∞．【解析】函数()f x 在(,1]-∞上有意义，等价于1240xxa ++≥在(,1]-∞上恒成立，即11(),x (,1]42x x a ≥-+∈-∞恒成立，记11()(),x (,1]42xx g x =-+∈-∞，即等价于max (),x (,1]a g x ≥∈-∞.因为()g x 在(,1]-∞上是增函数，因此()g x 的最大值为(1)g . 所以max 3()(1)4a g x g ≥==-，于是的取值范围是34a ≥-，故应填3[,)4-+∞．【变式演练2】若关于的不等式243x a a x+≥-对任意实数0x >恒成立，则实数的取值范围为（ ）A ．[1,4]-B ．(,2][5,)-∞-⋃+∞ C. (,1][4,)-∞-⋃+∞ D ．[2,5]- 【答案】A 【解析】考点：基本不等式的应用；不等式的恒成立问题.方法二 函数性质法使用情景：对于不能分离参数或分离参数后求最值较困难的类型解题模板：第一步 首先可以把含参不等式整理成适当形式如(,)0f x a ≥、(,)0f x a <等；第二步 从研究函数的性质入手，转化为讨论函数的单调性和极值； 第三步 得出结论.例2 已知函数323()12f x ax x =-+ ()x R ∈，其中0a >. 若在区间11[,]22-上，()0f x >恒成立，求的取值范围. 【答案】05a <<.【点评】对于不能分离参数或分离参数后求最值或确界较困难的问题，我们可以把含参不等式整理成适当形式如(,)0f x a ≥、(,)0f x a <等，然后从研究函数的性质入手，转化为讨论函数的单调性和极值. 在解题过程中常常要用到如下结论：（1）如果(,)f x a 有最小值()g a ，则(,)0f x a >恒成立⇔()0g a >，(,)0f x a ≥恒成立⇔()0g a ≥；（2）如果(,)f x a 有最大值()g a ，则(,)0f x a <恒成立⇔()0g a <，(,)0f x a ≤恒成立⇔()0g a ≤. 【变式演练3】已知函数(),0xf x e ax a =->．（1）记()f x 的极小值为()g a ，求()g a 的最大值； （2）若对任意实数恒有()0f x ≥，求()f a 的取值范围．【答案】（1）；（2）(21,e e e ⎤-⎦． 【解析】试题分析：（1）借助题设条件运用导数的有关知识求解；（2）借助题设运用分类整合思想将不等式进行等价转化,再运用导数知识求解．（2）当0x ≤时，0,0xa e ax >-≥恒成立，当0x >时，()0f x ≥，即0xe ax -≥，即x e a x≤令()()()()221,0,,xx x x e x e e x e h x x h x x x x --'=∈+∞==， 当01x <<时，()0h x '<，当1x >时，()0h x '>，故()h x 的最小值为()1h e =， 所以a e ≤，故实数的取值范围是(]0,e()(]2,0,a f a e e a e =-∈，()2a f a e a '=-，由上面可知20a e a -≥恒成立，故()f a 在(]0,e 上单调递增，所以()()()201ef f a f e e e =<≤=-，即()f a 的取值范围是(21,e e e ⎤-⎦考点：极值的概念及导数的有关知识的综合运用．【变式演练4】设函数2()1xf x e x ax =---，若0x ≥时，()0f x ≥，求的取值范围。

【答案】12a ≤【点评】函数、不等式、导数既是研究的对象，又是解决问题的工具。

本题抓住(0)0f =这一重要的解题信息，将问题转化为()(0)f x f ≥在0x ≥时恒成立，通过研究函数()f x 在[0,)+∞上是不减函数应满足的条件，进而求出的范围。

隐含条件(0)0f =对解题思路的获得，起到了十分重要的导向作用. 【变式演练5】已知函数2()22a f x ax a x-=++-(0)a >． （1）当1a =时，求函数()f x 在点(2,(2))f 处的切线方程； （2）求函数()f x 的单调区间；（3）若()2ln f x x ≥在[1,)+∞上恒成立，求a 的取值范围． 【答案】（1） 5440x y --= （2） 详见解析（3） [1,)+∞ 【解析】试题分析：（1）由导数几何意义得(2)f '为切线斜率 ，再根据点斜式求切线方程（2） 求函数单调性，先求函数导数：2'222(2)()(0)a ax a f x a a x x -+-=-=> ，再根据导函数零点及符号变化规律，进行分类讨论：当02a <≤时，'()0f x ≥ ，因此()f x 在(,0)-∞和(0,)+∞上单调递增；当2a >时，导函数有两个零点1222,a a x x a a--==()f x 先增再减再增（3）本题不宜变量分离，故直接研究函数2()222ln a g x ax a x x-=++--，先求导数2'2222222(1)[(2)]()a ax x a x ax a g x a x x x x ---+-+-=--==，导函数有两个零点1221,a x x a-==-，再根据两个零点大小分类讨论：1a =时，'()0g x ≥，min ()=g x (1)0g =； 1a <时，min ()=g x 2()a g a--(1)0g <=；1(1)0a g ><=时，min ()=g x (1)0g = 试题解析：（1）当 1a =时，1()f x x x =-，21()1f x x'=+ 3(2),2f = 5(2)4f '=所以，函数()f x 在点(2,(2))f 处的切线方程为35(2)24y x -=- 即：5440x y --=（Ⅲ）因为()2ln f x x ≥在[1,)+∞上恒成立，有2222ln 0(0)a ax a x a x-++--≥> 在[1,)+∞上恒成立． 所以，令2()222ln a g x ax a x x-=++--， 则2'2222222(1)[(2)]()a ax x a x ax a g x a x x x x ---+-+-=--==． 令'()0,g x =则1221,a x x a -==-若21a a--=，即1a =时，'()0g x ≥，函数()g x 在[1,)+∞上单调递增，又(1)0g = 所以，()2ln f x x ≥在[1,)+∞上恒成立； 若21a a -->，即1a <时，当2(0,1),(,)a x a-∈-+∞时，'()0,()g x g x >单调递增；当2(1,)axa-∈-时，'()0g x<，()g x单调递减所以，()g x在[1,)+∞上的最小值为2()aga--，因为(1)0,g=所以2()0aga--<不合题意．21,aa--<即1a>时，当2(0,),(1,)axa-∈-+∞时，'()0,()g x g x>单调递增，当2(,1)axa-∈-时，'()0,()g x g x<单调递减，所以，()g x在[1,)+∞上的最小值为(1)g又因为(1)0g=，所以()2lnf x x≥恒成立综上知，的取值范围是[1,)+∞考点：导数几何意义，利用导数求函数单调区间，利用导数研究不等式恒成立问题.方法三判别式法使用情景：含参数的二次不等式解题模板：第一步首先将所求问题转化为二次不等式；第二步运用二次函数的判别式对其进行研究讨论；第三步得出结论.例3 设22)(2+-=mxxxf，当),1[+∞-∈x时，mxf≥)(恒成立，求实数m的取值范围. ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≤--≥-≥∆122)1(mF解得23-≤≤-m。

综上可得实数m的取值范围为)1,3[-.【点评】一般地，对于二次函数),0()(2Rxacbxaxxf∈≠++=,有1）0)(>xf对Rx∈恒成立⎩⎨⎧<∆>⇔00a ；2）0)(<x f 对R x ∈恒成立⎩⎨⎧<∆<⇔0a .例4、若()f x 为二次函数，-1和3是方程()04=--x x f 的两根，()10=f . （1）求()f x 的解析式；（2）若在区间[]1,1-上，不等式()2f x x m >+有解，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）()21f x x x =-+；（2）(),5m ∈-∞. 【解析】试题解析：（1）设二次函数()()0,2≠++=a c bx ax x f ，由()10=f 可得1=c ，故方程()04=--x x f 可化为()0312=--+x b ax ，∵-1和3是方程()04=--x x f 的两根， ∴由韦达定理可得aa b 331,131-=⨯---=+-， 解得1,1-==b a ，故()x f 的解析式为()12+-=x x x f ； （2）∵在区间[]1,1-上，不等式()2f x x m >+有解， ∴231m x x <-+在区间[]1,1-上有解，故只需m 小于函数()231g x x x =-+在区间[]1,1-上的最大值， 由二次函数可知当1x =-时，函数()g x 取最大值5,∴实数m 的取值范围为()5-∞，考点：1、求二次函数解析式；2、不等式能成立问题.【方法点睛】本题首先考查二次函数解析式，已知函数类型求解析式时，可以采用待定系数法，第二问考查一元二次不等式的解法，对于一元二次不等式在给定区间上有解问题，可以采用分离参数法，转化为()max m g x <来求参数m 的取值范围，另外，对于不等式恒成立、能成立问题，都要寻求等价的转化关系来解题.【变式演练6】已知函数])1(lg[22a x a x y +-+=的定义域为R ，求实数的取值范围。