新课标版数学(理)高三总复习：题组层级快练10
广东新高考数学理科一轮总复习课时练习10.3数学归纳法(含答案详析)
第3讲 数学归纳法1．用数学归纳法证明：(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ×1×3×…×(2n ＋1)(n ∈N *)，从“n ＝k ”到“n ＝k ＋1”左端需乘的代数式是( )A ．2k ＋1B ．2(2k ＋1)C.2k ＋1k ＋1D.2k ＋3k ＋12．用数学归纳法证明：12＋22＋…＋n 2＋…＋22＋12＝n (2n 2＋1)3，第二步证明由“k 到k ＋1”时，左边应加( )A ．k 2B ．(k ＋1)2C ．k 2＋(k ＋1)2＋k 2D ．(k ＋1)2＋k 23．对一切正整数n ，n 2与2n 的大小关系为 ( )A ．对一切n ∈N *，恒有n 2<2nB ．对一切n ∈N *，恒有n 2≤2nC ．当n ＝1或n ≥5时，n 2<2n ，n ＝2,3,4时，n 2≥2nD ．以上都不对4．f (n )和g (n )都是定义在正整数集上的函数，满足：①f (1)＝g (1)；②对n ∈N *，f (n )－f (n －1)＝g (n )－g (n －1)．那么猜想对n ∈N *时，有( )A ．f (n )>g (n )B ．f (n )<g (n )C ．f (n )＝g (n )D ．f (n )与g (n )大小关系不能确定5．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋25n －1是31的整数倍时，当n ＝1时，上式等于( )A ．1＋2B ．1＋2＋22C ．1＋2＋22＋23D ．1＋2＋22＋23＋246．已知S k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k (k ＝1,2,3，…)，则S k ＋1＝( ) A ．S k ＋12k ＋1 B ．S k ＋12k ＋2－1k ＋1C ．S k ＋12k ＋1－12k ＋2D ．S k ＋12k ＋1＋12k ＋27．若不等式1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n >m 2013对于一切n ∈N *成立，则正整数m 的最大值为__________．8．已知f (n )＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n 2，则下列说法有误的是________． ①f (n )中共有n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13； ②f (n )中共有n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14； ③f (n )中共有n 2－n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13； ④f (n )中共有n 2－n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14.9．(2014年广东深圳一模)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足4(n ＋1)(S n ＋1)＝(n ＋2)2a n (n ∈N *)．(1)求a 1，a 2的值；(2)求a n ；(3)设b n ＝n ＋1a n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：T n <34.10．已知数列{a n }满足a 1＝25，且对任意n ∈N *，都有a n a n ＋1＝4a n ＋2a n ＋1＋2. (1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 为等差数列； (2)试问数列{a n }中a k ·a k ＋1(k ∈N *)是否仍是{a n }中的项？如果是，请指出是数列的第几项；如果不是，请说明理由；(3)令b n ＝23⎝⎛⎭⎫1a n ＋5，证明：对任意n ∈N *，都有不等式2n b >b 2n 成立．第3讲 数学归纳法1．B 2.D 3.C 4.C5．D 解析：原等式共有5n 项，当n ＝1时，25－1＝24，选D.6．C 解析：S k ＋1＝1k ＋1＋1＋1k ＋1＋2＋…＋12k ＋1＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋2＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1 ＝S k ＋12k ＋1－12k ＋2. 7．1006 解析：记f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n ， 则f (n ＋1)－f (n )＝12n ＋1＋12n ＋2－1n ＋1＝12n ＋1－12n ＋2>0，数列{f (n )}是递增数列，则f (n )min ＝f (1)＝12，∴m ≤1006. 8．①②③9．(1)解：当n ＝1时，有4×(1＋1)(a 1＋1)＝(1＋2)2a 1，解得a 1＝8.当n ＝2时，有4×(2＋1)(a 1＋a 2＋1)＝(2＋2)2a 2，解得a 2＝27.(2)解：方法一：当n ≥2时，有4(S n ＋1)＝(n ＋2)2a n n ＋1， ① 4(S n －1＋1)＝(n ＋1)2a n －1n. ② ①－②，得4a n ＝(n ＋2)2a n n ＋1－(n ＋1)2a n －1n ， 即a n a n －1＝(n ＋1)3n 3. ∴a n (n ＋1)3＝a n －1n 3＝a n －2(n －1)3＝…＝a 233＝1. ∴a n ＝(n ＋1)3(n ≥2)．方法二：根据a 1＝8，a 2＝27，猜想：a n ＝(n ＋1)3.①当n ＝1时，有a 1＝8＝(1＋1)3，猜想成立．②假设当n ＝k 时，猜想也成立，即a k ＝(k ＋1)3.那么当n ＝k ＋1时，有4(k ＋1＋1)(S k ＋1＋1)＝(k ＋1＋2)2a k ＋1，即4(S k ＋1＋1)＝(k ＋1＋2)2a k ＋1k ＋1＋1， ① 又 4(S k ＋1)＝(k ＋2)2a k k ＋1， ② ①－②，得4a k ＋1＝(k ＋3)2a k ＋1k ＋2－(k ＋2)2a k k ＋1＝(k ＋3)2a k ＋1k ＋2－(k ＋2)2(k ＋1)3k ＋1， 解得a k ＋1＝(k ＋2)3＝(k ＋1＋1)3 .∴当n ＝k ＋1时，猜想也成立．因此，由数学归纳法证得a n ＝(n ＋1)3成立．(3)证明：∵b n ＝n ＋1a n ＝1(n ＋1)2<1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，∴T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n －1＋b n ＝122＋132＋142＋…＋1n 2＋1(n ＋1)2<122＋12×3＋13×4＋…＋1(n －1)n ＋1n (n ＋1)＝14＋⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1＝14＋12－1n ＋1<34.10．(1)解：a n a n ＋1＋2a n ＝4a n a n ＋1＋2a n ＋1，即2a n －2a n ＋1＝3a n a n ＋1，所以1a n ＋1－1a n ＝32. 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以52为首项，公差为32的等差数列． (2)解：由(1)可得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的通项公式为1a n ＝3n ＋22， 所以a n ＝23n ＋2. a k ·a k ＋1＝23k ＋2·23(k ＋1)＋2＝49k 2＋21k ＋10＝23·3k 2＋7k ＋22＋2. 因为3k 2＋7k ＋22＝k 2＋3k ＋1＋k (k ＋1)2， 当k ∈N *时，k (k ＋1)2一定是正整数，所以3k 2＋7k ＋22是正整数． (也可以从k 的奇偶性来分析)所以a k ·a k ＋1是数列{a n }中的项，是第3k 2＋7k ＋22项． (3)证明：由(2)知：a n ＝23n ＋2， b n ＝23⎝⎛⎭⎫1a n ＋5＝23⎝⎛⎭⎫3n ＋22＋5＝n ＋4. 下面用数学归纳法证明：2n +4>(n ＋4)2对任意n ∈N *都成立．(1)当n ＝1时，显然25>52，不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时，有2k +4>(k ＋4)2，当n ＝k ＋1时，2(k +1)+4＝2·2k +4>2(k ＋4)2＝2k 2＋16k ＋32＝(k ＋5)2＋k 2＋6k ＋7>(k ＋5)2， 即有：12n b +>b 2n ＋1也成立． 综合(1)(2)知：对任意n ∈N *，都有不等式2n b >b 2n 成立．。
高三新课标版·数学(理)总复习题组层级快练56 Word版含解析
题组层级快练(五十六)(第一次作业)1．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是AB 的中点，则sin 〈DB 1→，CM →〉的值等于( ) A.12B.21015 C.23D.1115答案 B解析 分别以DA ，DC ，DD1为x ，y ，z 轴建系，令AD ＝1， ∴DB 1→＝(1，1，1)，CM →＝(1，－12，0)．∴cos 〈DB 1→，CM →〉＝1－123·52＝1515.∴sin 〈DB 1→，CM →〉＝21015.2．已知直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为正方形，AA 1＝2AB ，E 为AA 1的中点，则异面直线BE 与CD 1所成角的余弦值为( ) A.1010B.15C.31010D.35答案 C解析 如图，以D 为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系． 设AA 1＝2AB ＝2，则B(1，1，0)，E(1，0，1)，C(0，1，0)， D 1(0，0，2)．∴BE →＝(0，－1，1)，CD 1→＝(0，－1，2)． ∴cos 〈BE →，CD 1→〉＝1＋22·5＝31010.3．若正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都相等，D 是A 1C 1的中点，则直线AD 与平面B 1DC 所成角的正弦值为( )A.35B.45C.34D.55 答案 B解析 间接法：由正三棱柱的所有棱长都相等，依据题设条件，可知B 1D ⊥平面ACD ，∴B 1D ⊥DC ，故△B 1DC 为直角三角形． 设棱长为1，则有AD ＝52，B 1D ＝32，DC ＝52，∴S △B 1DC ＝12×32×52＝158. 设A 到平面B 1DC 的距离为h ，则有V A －B 1DC ＝VB 1－ADC ，∴13×h ×S △B 1DC ＝13×B 1D ×S △ADC .∴13×h ×158＝13×32×12，∴h ＝25. 设直线AD 与平面B 1DC 所成的角为θ，则sin θ＝h AD ＝45.向量法：如图，取AC 的中点为坐标原点，建立空间直角坐标系．设各棱长为2，则有A(0，－1，0)，D(0，0，2)，C(0，1，0)，B 1(3，0，2)． 设n ＝(x ，y ，z)为平面B 1CD 的法向量，则有⎩⎪⎨⎪⎧n ·CD →＝0，n ·CB 1→＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧－y ＋2z ＝0，3x －y ＋2z ＝0⇒n ＝(0，2，1)．∴sin 〈AD →，n 〉＝AD →·n |AD →|·|n |＝45.4．(2017·山西临汾一模)如图所示，点P 在正方形ABCD 所在平面外，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AB ，则PB 与AC 所成的角是( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30° 答案 B解析 将其还原成正方体ABCD －PQRS ，显然PB ∥SC ，△ACS 为正三角形，∴∠ACS ＝60°.5．(2017·皖南八校联考)四棱锥V －ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，其他四个侧面是腰长为3的等腰三角形，则二面角V －AB －C 的余弦值的大小为( )A.23B.24 C.73D.223答案 B解析 如图所示，取AB 中点E ，过V 作底面的垂线，垂足为O ，连接OE ，根据题意可知，∠VEO 是二面角V －AB －C 的平面角．因为OE ＝1，VE ＝32－12＝22，所以cos ∠VEO＝OE VE ＝122＝24，故选B.6．已知点E ，F 分别在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱BB 1，CC 1上，且B 1E ＝2EB ，CF ＝2FC 1，则面AEF 与面ABC 所成的锐二面角的正切值为________． 答案23解析 如图，建立空间直角坐标系D －xyz ，设DA ＝1，由已知条件得A(1，0，0)，E(1，1，13)，F(0，1，23)，AE →＝(0，1，13)，AF →＝(－1，1，23)，设平面AEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z)，面AEF 与面ABC 所成的锐二面角为θ，由图知θ为锐角， 由⎩⎪⎨⎪⎧n ·AE →＝0，n ·AF →＝0，得⎩⎨⎧y ＋13z ＝0，－x ＋y ＋23z ＝0.令y ＝1，z ＝－3，x ＝－1，则n ＝(－1，1，－3)， 平面ABC 的法向量为m ＝(0，0，－1)， cos θ＝|cos n ，m |＝31111，tan θ＝23. 7．(2014·福建，理)在平面四边形ABCD 中．AB ＝BD ＝CD ＝1，AB ⊥BD ，CD ⊥BD.将△ABD 沿BD 折起，使得平面ABD ⊥平面BCD ，如图所示．(1)求证：AB ⊥CD ；(2)若M 为AD 中点，求直线AD 与平面MBC 所成角的正弦值． 答案 (1)略 (2)63解析 (1)∵平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，AB ⊂平面ABD ，AB ⊥BD ， ∴AB ⊥平面BCD.又CD ⊂平面BCD ，∴AB ⊥CD.(2)过点B 在平面BCD 内作BE ⊥BD ，如图所示．由(1)知AB ⊥平面BCD ，BE ⊂平面BCD ，BD ⊂平面BCD ， ∴AB ⊥BE ，AB ⊥BD.以B 为坐标原点，分别以BE →，BD →，BA →的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系．依题意，得B(0，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，A(0，0，1)，M ⎝⎛⎭⎫0，12，12，则BC →＝(1，1，0)，BM →＝⎝⎛⎭⎫0，12，12，AD →＝(0，1，－1)． 设平面MBC 的法向量n ＝(x 0，y 0，z 0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BC →＝0，n ·BM →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋y 0＝0，12y 0＋12z 0＝0，取z 0＝1， 得平面MBC 的一个法向量n ＝(1，－1，1)． 设直线AD 与平面MBC 所成角为θ， 则sin θ＝|cos 〈n ，AD →〉|＝|n ·AD →||n |·|AD →|＝63，即直线AD 与平面MBC 所成角的正弦值为63. 8.已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F 分别是棱B 1C 1，C 1D 1的中点．试求：(1)AD 1与EF 所成角的大小； (2)AF 与平面BEB 1所成角的余弦值； (3)二面角C 1－DB －B 1的正切值．答案 (1)60° (2)223 (3)22思路解析 建立如图所示的空间直角坐标系，则B 1(0，0，0)，A(1，0，1)，B(0，0，1)，D 1(1，1，0)，E(0，12，0)，F(12，1，0)，D(1，1，1)．(1)因为AD 1→＝(0，1，－1)，EF →＝(12，12，0)，所以cos AD 1→，EF →＝（0，1，－1）·（12，12，0）2×22＝12，即AD 1与EF 所成的角为60°.(2)FA →＝(12，－1，1)，由图可得，BA →＝(1，0，0)为平面BEB 1的一个法向量，设AF 与平面BEB 1所成的角为θ， 则sin θ＝cos BA →，FA→＝（1，0，0）·（12，－1，1）1×（12）2＋（－1）2＋12＝13，所以cos θ＝223.(3)设平面DBB 1的法向量为n 1＝(x ，y ，z)，DB →＝(－1，－1，0)，B 1B →＝(0，0，1)， 由⎩⎪⎨⎪⎧n 1⊥DB →，n 1⊥B 1B →，得⎩⎪⎨⎪⎧n 1·DB →＝－x －y ＝0，n 1·B 1B →＝z ＝0，令y ＝1，则n 1＝(－1，1，0)．同理，可得平面C 1DB 的一个法向量为n 2＝(－1，1，1)．则cos n 1，n 2＝（－1，1，0）·（－1，1，1）2×3＝63.所以tan n 1，n 2＝22. 9.如图所示，在三棱锥P －ABC 中，PA ⊥底面ABC ，PA ＝AB ，∠ABC ＝60°，∠BCA ＝90°，点D ，E 分别在棱PB ，PC 上，且DE ∥BC. (1)求证：BC ⊥平面PAC ；(2)当D 为PB 的中点时，求AD 与平面PAC 所成的角的余弦值； (3)是否存在点E 使得二面角A －DE －P 为直二面角？并说明理由． 答案 (1)略 (2)144(3)存在点E 解析 方法一：(1)∵PA ⊥底面ABC ，∴PA ⊥BC.又∠BCA ＝90°， ∴AC ⊥BC ，∴BC ⊥平面PAC.(2)∵D 为PB 的中点，DE ∥BC ，∴DE ＝12BC.又由(1)知，BC ⊥平面PAC ， ∴DE ⊥平面PAC ，垂足为点E.∴∠DAE 是AD 与平面PAC 所成的角． ∵PA ⊥底面ABC ，∴PA ⊥AB.又PA ＝AB ，∴△ABP 为等腰直角三角形．∴AD ＝12AB. 在Rt △ABC 中，∠ABC ＝60°.∴BC ＝12AB.∴Rt △ADE 中，sin ∠DAE ＝DE AD ＝BC 2AD ＝24. ∴cos ∠DAE ＝144. (3)∵DE ∥BC ，又由(1)知，BC ⊥平面PAC ，∴DE ⊥平面PAC. 又∵AE ⊂平面PAC ，PE ⊂平面PAC ，∴DE ⊥AE ，DE ⊥PE. ∴∠AEP 为二面角A －DE －P 的平面角． ∵PA ⊥底面ABC ，∴PA ⊥AC ，∴∠PAC ＝90°.∴在棱PC 上存在一点E ，使得AE ⊥PC. 这时，∠AEP ＝90°.故存在点E 使得二面角A －DE －P 是直二面角．方法二：如图所示，以A 为原点建立空间直角坐标系A －xyz.设PA ＝a ，由已知可得A(0，0，0)，B(－12a ，32a ，0)，C(0，32a ，0)，P(0，0，a)．(1)∵AP →＝(0，0，a)，BC →＝(12a ，0，0)，∴BC →·AP →＝0，∴BC ⊥AP.又∵∠BCA ＝90°，∴BC ⊥AC.又AP ∩AC ＝A ，∴BC ⊥平面PAC. (2)∵D 为PB 的中点，DE ∥BC ，∴E 为PC 的中点． ∴D(－14a ，34a ，12a)，E(0，34a ，12a)．又由(1)知，BC ⊥平面PAC ，∴DE ⊥平面PAC ，垂足为点E. ∴∠DAE 是AD 与平面PAC 所成的角． ∵AD →＝(－14a ，34a ，12a)，AE →＝(0，34a ，12a)，∴cos ∠DAE ＝AD →·AE →|AD →|·|AE →|＝144.(3)同方法一．10. (2016·浙江，理)如图，在三棱台ABC －DEF 中，平面BCFE ⊥平面ABC ，∠ACB ＝ 90°，BE ＝EF ＝FC ＝1，BC ＝2，AC ＝3.(1)求证：BF ⊥平面ACFD ；(2)求二面角B －AD －F 的平面角的余弦值． 答案 (1)略 (2)34解析 (1)延长AD ，BE ，CF 相交于一点K ，如图所示．因为平面BCFE ⊥平面ABC ，平面BCFE ∩平面ABC ＝BC ，且AC ⊥BC ，所以AC ⊥平面BCK ，因此，BF ⊥AC.又EF ∥BC ，BE ＝EF ＝FC ＝1，BC ＝2，所以△BCK 为等边三角形，且F 为CK 的中点，则BF ⊥CK ，又AC ∩CK ＝C ，所以BF ⊥平面ACFD.(2)方法1：过点F 作FQ ⊥AK 于Q ，连接BQ.因为BF ⊥平面ACK ，所以BF ⊥AK ，则AK ⊥平面BQF ，所以BQ ⊥AK.所以∠BQF 是二面角B －AD －F 的平面角．在Rt △ACK 中，AC ＝3，CK ＝2，得AK ＝13，FQ ＝31313.在Rt △BQF 中，FQ ＝31313，BF ＝3，得cos ∠BQF ＝34. 所以二面角B －AD －F 的平面角的余弦值为34. 方法2：如图，延长AD ，BE ，CF 相交于一点K ，则△BCK 为等边三角形．取BC 的中点O ，连接KO ，则KO ⊥BC ，又平面BCFE ⊥平面ABC ，所以KO ⊥平面ABC. 以点O 为原点，分别以射线OB ，OK 的方向为x 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O －xyz.由题意得B(1，0，0)，C(－1，0，0)，K(0，0，3)，A(－1，－3，0)，E(12，032)，F(－12，0，32)． 因此AC →＝(0，3，0)，AK →＝(1，3，3)，AB →＝(2，3，0)．设平面ACK 的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，平面ABK 的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧AC →·m ＝0，AK →·m ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧3y 1＝0，x 1＋3y 1＋3z 1＝0，取m ＝(3，0，－1)；由⎩⎪⎨⎪⎧AB →·n ＝0，AK →·n ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＋3y 2＝0，x 2＋3y 2＋3z 2＝0，取n ＝(3，－2，3)． 于是cos m ，n ＝m ·n |m |·|n |＝34.所以二面角B －AD －F 的平面角的余弦值为34. 11.如图所示，四边形ABCD 是边长为1的正方形，MD ⊥平面ABCD ，NB ⊥平面ABCD ，且MD ＝NB ＝1，E 为BC 的中点．(1)求异面直线NE 与AM 所成角的余弦值；(2)在线段AN 上是否存在点S ，使得ES ⊥平面AMN ？若存在，求线段AS 的长；若不存在，请说明理由． 答案 (1)1010 (2)存在，|AS|＝22 思路 (1)建立空间直角坐标系→求出NE →和AM →→求出NE →和AM →的夹角的余弦值的绝对值→得出异面直线NE 与AM 所成角的余弦值(2)假设存在→得出关于变量λ的方程→求出λ的值→验证得出结论解析 (1)如图，以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系D －xyz.依题意得D(0，0，0)，A(1，0，0)，M(0，0，1)，C(0，1，0)，B(1，1，0)， N(1，1，1)，E(12，1，0)，所以NE →＝(－12，0，－1)，AM →＝(－1，0，1)，因为|cos NE →，AM →|＝|NE →·AM →||NE →|·|AM →|＝1252×2＝1010.所以异面直线NE 与AM 所成角的余弦值为1010. (2)假设在线段AN 上存在点S ，使得ES ⊥平面AMN.连接AE ，如图所示． 因为AN →＝(0，1，1)，可设AS →＝λAN →＝(0，λ，λ)，又EA →＝(12，－1，0)，所以ES →＝EA →＋AS →＝(12，λ－1，λ)．由ES ⊥平面AMN ，得⎩⎪⎨⎪⎧ES →·AM →＝0，ES →·AN →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－12＋λ＝0，（λ－1）＋λ＝0，解得λ＝12，此时AS →＝(0，12，12)，|AS →|＝22.经检验，当|AS|＝22时，ES ⊥平面AMN. 故线段AN 上存在点S ，使得ES ⊥平面AMN ，此时|AS|＝22. (第二次作业)1．(2017·沧州七校联考)把边长为2的正方形ABCD 沿对角线BD 折起，使得平面ABD ⊥平面CBD ，则异面直线AD ，BC 所成的角为( ) A ．120°B ．30° C ．90°D ．60° 答案 D解析 建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2，0，0)， B(0，2，0)，C(0，0，2)，D(0，－2，0)， ∴AD →＝(－2，－2，0)， BC →＝(0，－2，2)． ∴|AD →|＝2，|BC →|＝2，AD →·BC →＝2. ∴cos 〈AD →，BC →〉＝AD →·BC →|AD →|·|BC →|＝22×2＝12.∴异面直线AD ，BC 所成的角为60°.2．如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，若E ，F 分别是BC ，DD 1的中点，则B 1到平面ABF 的距离为( )A.33B.55 C.53D.255答案 D解析 方法一：由VB 1－ABF ＝VF －ABB 1可得解． 方法二：建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1，0，1)，B 1(1，1，0)．设F(0，0，12)，E(12，1，1)，B(1，1，1)，AB →＝(0，1，0)．∴B 1E →＝(－12，0，1)，AF →＝(－1，0，－12)．∵AF →·B 1E →＝(－1，0，－12)·(－12，0，1)＝0，∴AF →⊥B 1E →.又AB →⊥B 1E →，∴B 1E ⊥平面ABF. 平面ABF 的法向量为B 1E →＝(－12，0，1)，AB 1→＝(0，1，－1)．B 1到平面ABF 的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪AB 1→·B 1E →|B 1E →|＝255. 3．(2017·湖南长沙一模)正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F 分别为BB 1，CD 的中点，则点F 到平面A 1D 1E 的距离为________． 答案3510解析 以A 为坐标原点，AB ，AD ，AA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示．则A 1(0，0，1)，E(1，0，12)，F(12，1，0)，D 1(0，1，1)．∴A 1E →＝(1，0，－12)，A 1D 1→＝(0，1，0)．设平面A 1D 1E 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·A 1E →＝0，n ·A 1D 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －12z ＝0，y ＝0.令z ＝2，则x ＝1.∴n ＝(1，0，2)．又A 1F →＝(12，1，－1)，∴点F 到平面A 1D 1E 的距离为d ＝|A 1F →·n ||n |＝|12－2|5＝3510.4．(2014·陕西，理)四面体ABCD 及其三视图如图所示，过棱AB 的中点E 作平行于AD ，BC 的平面分别交四面体的棱BD ，DC ，CA 于点F ，G ，H.(1)证明：四边形EFGH 是矩形；(2)求直线AB 与平面EFGH 夹角θ的正弦值． 答案 (1)略 (2)105解析 (1)由该四面体的三视图可知，BD ⊥DC ，BD ⊥AD ，AD ⊥DC ，BD ＝DC ＝2，AD ＝1. 由题设，BC ∥平面EFGH ，平面EFGH ∩平面BDC ＝FG ， 平面EFGH ∩平面ABC ＝EH ，∴BC ∥FG ，BC ∥EH ，∴FG ∥EH. 同理EF ∥AD ，HG ∥AD ，∴EF ∥HG . ∴四边形EFGH 是平行四边形．又∵AD ⊥DC ，AD ⊥BD ，∴AD ⊥平面BDC. ∴AD ⊥BC ，∴EF ⊥FG .∴四边形EFGH 是矩形．(2)方法一：如图，以D 为坐标原点建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A(0，0，1)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，DA →＝(0，0，1)，BC →＝(－2，2，0)，BA →＝(－2，0，1)．设平面EFGH 的法向量n ＝(x ，y ，z)，∵EF ∥AD ，FG ∥BC ，∴n ·DA →＝0，n ·BC →＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧z ＝0，－2x ＋2y ＝0，取n ＝(1，1，0)． ∴sin θ＝|cos 〈BA →，n 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪BA →·n |BA →||n |＝25×2＝105. 方法二：如图，以D 为坐标原点建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A(0，0，1)，B(2，0，0)，C(0，2，0)． ∵E 是AB 的中点，∴F ，G 分别为BD ，DC 的中点，得 E ⎝⎛⎭⎫1，0，12，F(1，0，0)，G(0，1，0)． ∴FE →＝⎝⎛⎭⎫0，0，12，FG →＝(－1，1，0).BA →＝(－2，0，1)． 设平面EFGH 的法向量n ＝(x ，y ，z)，则n ·FE →＝0，n ·FG →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧12z ＝0，－x ＋y ＝0，取n ＝(1，1，0)，∴sin θ＝|cos 〈BA →，n 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪BA →·n |BA →||n |＝25×2＝105. 5．(2017·河北开滦二中月考)如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是正方形，PD ＝AB ＝2，E 为PC 中点．(1)求证：DE ⊥平面PCB ； (2)求点C 到平面DEB 的距离； (3)求二面角E －BD －P 的余弦值．答案 (1)略 (2)233 (3)63解析 (1)证明：∵PD ⊥平面ABCD ，∴PD ⊥BC.又正方形ABCD 中，CD ⊥BC ，PD ∩CD ＝D ，∴BC ⊥平面PCD. ∵DE ⊂平面PCD ，∴BC ⊥DE.∵PD ＝CD ，E 是PC 的中点，∴DE ⊥PC. 又∵PC ∩BC ＝C ，∴DE ⊥平面PCB.(2)如图①所示，过点C 作CM ⊥BE 于点M ，由(1)知平面DEB ⊥平面PCB ，∵平面DEB ∩平面PCB ＝BE ，∴CM ⊥平面DEB. ∴线段CM 的长度就是点C 到平面DEB 的距离． ∵PD ＝AB ＝CD ＝2，∠PDC ＝90°， ∴PC ＝22，EC ＝2，BC ＝2.∴BE ＝ 6. ∴CM ＝CE·BC BE ＝233.(3)以点D 为坐标原点，分别以直线DA ，DC ，DP 为x 轴，y 轴，z 轴建立如图②所示的空间直角坐标系，则D(0，0，0)，P(0，0，2)，B(2，2，0)，E(0，1，1)，DB →＝(2，2，0)，DE →＝(0，1，1)．设平面BDE 的法向量为n 1＝(x ，y ，z)，则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·DB →＝0，n 1·DE →＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2y ＝0，y ＋z ＝0.令z ＝1，得y ＝－1，x ＝1.∴平面BDE 的一个法向量为n 1＝(1，－1，1)．又∵C(0，2，0)，A(2，0，0)，AC →＝(－2，2，0)，且AC ⊥平面PDB ， ∴平面PDB 的一个法向量为n 2＝(1，－1，0)．设二面角E －BD －P 的平面角为α，则cos α＝|n 1·n 2||n 1||n 2|＝23·2＝63.∴二面角E －BD －P 的余弦值为63. 6．(2017·郑州质检)四棱锥A —BCDE 的正视图和俯视图如下，其中俯视图是直角梯形．(1)若正视图是等边三角形，F 为AC 的中点，当点M 在棱AD 上移动时，是否总有BF ⊥CM ，请说明理由；(2)若平面ABC 与平面ADE 所成的锐二面角为45°.求直线AD 与平面ABE 所成角的正弦值．答案 (1)总有BF ⊥CM (2)64解析 (1)由俯视图可知平面ABC ⊥平面EBCD. BC ＝2，O 为BC 中点，BE ＝1，CD ＝2. ∵△ABC 为等边三角形，F 为AC 中点，∴BF ⊥AC. 又平面ABC ⊥平面EBCD ，且DC ⊥BC ， ∴DC ⊥平面ABC ，∴DC ⊥BF.又AC ∩CD ＝C ，∴BF ⊥平面ACD.∴BF ⊥CM. (2)以O 为原点，OC →为x 轴，OA →为z 轴建系．B(－1，0，0)，C(1，0，0)，E(－1，1，0)，D(1，2，0)． 设A(0，0，a)，由题意可知平面ABC 的法向量为(0，1，0)． 设平面ADE 法向量n ＝(x ，y ，z)．ED →＝(2，1，0)，EA →＝(1，－1，a)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝0，x －y ＋az ＝0，令x ＝1，y ＝－2，z ＝－3a.∴n ＝(1，－2，－3a )．∴22＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪21＋4＋9a 2，解得a ＝ 3.∴AD →＝(1，2，－3)，BE →＝(0，1，0)，EA →＝(1，－1，3)． 设平面ABE 的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧BE →·m ＝y 1＝0，EA →·m ＝x 1－y 1＋3z 1＝0. 令z 1＝1，∴m ＝(－3，0，1)．设AD 与平面ABE 所成角为θ，则有sin θ＝|cos 〈AD →，m 〉|＝||－3－322·2＝64.∴直线AD 与平面ABE 所成角的正弦值为64. 7.如图，几何体EF －ABCD 中，CDEF 是边长为2的正方形，ABCD 为直角梯形， AB ∥CD ，AD ⊥DC ，AD ＝2，AB ＝4，∠ADF ＝90°.(1)求证：AC ⊥FB ；(2)求二面角E －FB －C 的大小． 答案 (1)略 (2)π3解析 (1)证明：由题意得，AD ⊥DC ，AD ⊥DF ，且DC ∩DF ＝D ，∴AD ⊥平面CDEF ，∴AD ⊥FC ，∵四边形CDEF 为正方形，∴DC ⊥FC. ∵DC ∩AD ＝D ，∴FC ⊥平面ABCD ，∴FC ⊥AC.又∵四边形ABCD 为直角梯形，AB ∥CD ，AD ⊥DC ，AD ＝2，AB ＝4，∴AC ＝22，BC ＝22， 则有AC 2＋BC 2＝AB 2，∴AC ⊥BC ，又BC ∩FC ＝C ，∴AC ⊥平面FCB ，∴AC ⊥FB.(2)由(1)知AD ，DC ，DE 所在直线相互垂直，故以D 为原点，DA ，DC ，DE 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，可得D(0，0，0)，F(0，2，2)，B(2，4，0)，E(0，0，2)，C(0，2，0)，A(2，0，0)， ∴EF →＝(0，2，0)，FB →＝(2，2，－2)，设平面EFB 的法向量为n ＝(x ，y ，z)， 则有⎩⎪⎨⎪⎧n ·EF →＝0，n ·FB →＝0，⎩⎪⎨⎪⎧2y ＝0，2x ＋2y －2z ＝0.⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，x ＋y －z ＝0，令z ＝1，则n ＝(1，0，1)，由(1)知平面FCB 的一个法向量为AC →＝(－2，2，0)， 设二面角E －FB －C 的大小为θ，由图知θ∈(0，π2)，∴cos θ＝|cos n ，AC →|＝12，∴θ＝π3.8．(2015·天津，理)如图，在四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，侧棱A 1A ⊥底面ABCD ，AB ⊥AC ，AB ＝1，AC ＝AA 1＝2，AD ＝CD ＝5，且点M 和N 分别为B 1C 和D 1D 的中点．(1)求证：MN ∥平面ABCD ； (2)求二面角D 1－AC －B 1的正弦值；(3)设E 为棱A 1B 1上的点，若直线NE 和平面ABCD 所成角的正弦值为13，求线段A 1E 的长．答案 (1)略 (2)31010(3)7－2解析 如图，以A 为原点建立空间直角坐标系，依题意可得A(0，0，0)，B(0，1，0)，C(2，0，0)，D(1，－2，0)，A 1(0，0，2)，B 1(0，1，2)，C 1(2，0，2)，D 1(1，－2，2)．又因为M ，N 分别为B 1C 和D 1D 的中点，得M(1，12，1)，N(1，－2，1)．(1)证明：依题意，可得n ＝(0，0，1)为平面ABCD 的一个法向量.MN →＝(0，－52，0)．由此可得MN →·n ＝0，又因为直线MN ⊄平面ABCD ，所以MN ∥平面ABCD. (2)AD 1→＝(1，－2，2)，AC →＝(2，0，0)． 设n 1＝(x 1，y 1，z 1)为平面ACD 1的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AD 1→＝0，n 1·AC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1－2y 1＋2z 1＝0，2x 1＝0.不妨设z 1＝1，可得n 1＝(0，1，1)．设n 2＝(x 2，y 2，z 2)为平面ACB 1的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·AB 1→＝0，n 2·AC →＝0，又AB 1→＝(0，1，2)，得⎩⎪⎨⎪⎧y 2＋2z 2＝0，2x 2＝0.不妨设z 2＝1，可得n 2＝(0，－2，1)．因此有cos<n 1，n 2>＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝－1010.于是sin<n 1，n 2>＝31010.所以二面角D 1－AC －B 1的正弦值为31010.(3)依题意，可设A 1E →＝λA 1B 1→，其中λ∈[0，1]，则E(0，λ，2)，从而NE →＝(－1，λ＋2，1)．又n ＝(0，0，1)为平面ABCD 的一个法向量，由已知，得cos 〈NE →，n 〉＝NE →·n |NE →|·|n |＝1（－1）2＋（λ＋2）2＋12＝13，整理得λ2＋4λ－3＝0，又因为λ∈[0，1]，解得λ＝7－2. 所以线段A 1E 的长为7－2.9.如图，在五面体ABCDEP 中，PD ⊥平面ABCD ，∠ADC ＝∠BAD ＝90°，F 为棱PA 的中点，PD ＝BC ＝2，AB ＝AD ＝1，且四边形CDPE 为平行四边形．(1)判断AC 与平面DEF 的位置关系，并给予证明；(2)在线段EF 上是否存在一点Q ，使得BQ 与平面BCP 所成角的正弦值为36？若存在，请求出QE 的长；若不存在，请说明理由． 答案 (1)平行 (2)不存在解析 (1)AC ∥平面DEF.理由如下：设线段PC 交DE 于点N ，连接FN ，如图所示，因为四边形PDCE 为平行四边形，所以点N 为PC 的中点，又点F 为PA 的中点，所以FN ∥AC ，因为FN ⊂平面DEF ，AC ⊄平面DEF ，所以AC ∥平面DEF.(2)以D 为原点，分别以DA ，DC ，DP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz.因为PD ＝BC ＝2，AB ＝AD ＝1，所以CD ＝2，所以P(0，0，2)，B(1，1，0)，C(0，2，0)，F(12，0，22)，E(0，2，2)．所以PB →＝(1，1，－2)，BC →＝(－1，1，0)． 设平面PBC 的法向量为m ＝(x ，y ，z)， 则⎩⎪⎨⎪⎧m ·PB →＝（x ，y ，z ）·（1，1，－2）＝0，m ·BC →＝（x ，y ，z ）·（－1，1，0）＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2z ＝0，－x ＋y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y ，z ＝2y ，令y ＝1，则m ＝(1，1，2)． 设存在点Q 满足条件，且FQ →＝λFE →(0≤λ≤1)，∴BQ →＝BF →＋FQ →＝BF →＋λFE →＝(－12，－1，22)＋λ(－12，2，－22)＝(－1＋λ2，2λ－1，2（1－λ）2)．∵BQ 与平面BCP 所成角的正弦值为36， ∴|cos 〈BQ →，m 〉|＝|－1＋λ2＋2λ－1＋1－λ|2·（－1＋λ2）2＋（2λ－1）2＋（2－2λ2）2＝36. ∴4λ2－3λ＋1＝0.∵Δ<0，∴此方程无解．∴点Q 不存在．1．(2014·北京，理)如图所示，正方形AMDE 的边长为2，B ，C 分别为AM ，MD 的中点．在五棱锥P －ABCDE 中，F 为棱PE 的中点，平面ABF 与棱PD ，PC 分别交于点G ，H.(1)求证：AB ∥FG ；(2)若PA ⊥底面ABCDE ，且PA ＝AE ，求直线BC 与平面ABF 所成角的大小，并求线段PH 的长．答案 (1)略 (2)π6，2解析 (1)证明：在正方形AMDE 中，因为B 是AM 的中点，所以AB ∥DE. 又因为AB ⊄平面PDE ， 所以AB ∥平面PDE.因为AB ⊂平面ABF ，且平面ABF ∩平面PDE ＝FG ， 所以AB ∥FG.(2)因为PA ⊥底面ABCDE ，所以PA ⊥AB ，PA ⊥AE.如图建立空间直角坐标系A －xyz ，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(2，1，0)，P(0，0，2)，F(0，1，1)，BC →＝(1，1，0)．设平面ABF 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·AF →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＋z ＝0.令z ＝1，则y ＝－1，所以n ＝(0，－1，1)．设直线BC 与平面ABF 所成角为α，则sin α＝|cos 〈n ，BC →〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n ·BC →|n ||BC →|＝12.因此直线BC 与平面ABF 所成角的大小为π6.设点H 的坐标为(u ，v ，w)．因为点H 在棱PC 上，所以可设PH →＝λPC →(0<λ<1)，即(u ，v ，w －2)＝λ(2，1，－2)，所以u ＝2λ，v ＝λ，w ＝2－2λ.因为n 是平面ABF 的一个法向量，所以n ·AH →＝0，即(0，－1，1)·(2λ，λ，2－2λ)＝0，解得λ＝23.所以点H 的坐标为⎝⎛⎭⎫43，23，23. 所以PH ＝⎝⎛⎭⎫432＋⎝⎛⎭⎫232＋⎝⎛⎭⎫－432＝2.2. (2015·安徽，理)如图所示，在多面体A 1B 1D 1DCBA 中，四边形AA 1B 1B ，ADD 1A 1，ABCD 均为正方形，E 为B 1D 1的中点，过A 1，D ，E 的平面交CD 1于F.(1)证明：EF ∥B 1C ；(2)求二面角E －A 1D －B 1的余弦值． 答案 (1)略 (2)63解析 (1)证明：由正方形的性质可知A 1B 1∥AB ∥DC ，且A 1B 1＝AB ＝DC ，所以四边形A 1B 1CD 为平行四边形，从而B 1C ∥A 1D.又A 1D ⊂平面A 1DE ，B 1C ⊄平面A 1DE ，于是B 1C ∥平面A 1DE.又B 1C ⊂平面B 1CD 1，平面A 1DE ∩平面B 1CD 1＝EF ，所以EF ∥B 1C.(2)因为四边形AA 1B 1B ，ADD 1A 1，ABCD 均为正方形，所以AA 1⊥AB ，AA 1⊥AD ，AB ⊥AD 且AA 1＝AB ＝AD ，以A 为原点，分别以AB →，AD →，AA 1→为x 轴，y 轴和z 轴单位正向量建立如图所示的空间直角坐标系，可得点的坐标A(0，0，0)，B(1，0，0)，D(0，1，0)，A 1(0，0，1)，B 1(1，0，1)，D 1(0，1，1)，而E 点为B 1D 1的中点，所以E 点的坐标为(0.5，0.5，1)．设平面A 1DE 的法向量n 1＝(r 1，s 1，t 1)，而该面上向量A 1E →＝(0.5，0.5，0)，A 1D →＝(0，1，－1)，由n 1⊥A 1E →，n 1⊥A 1D →得⎩⎪⎨⎪⎧0.5r 1＋0.5s 1＝0，s 1－t 1＝0，(－1，1，1)为其一组解，所以可取n 1＝(－1，1，1)．设平面A 1B 1CD 的法向量n 2＝(r 2，s 2，t 2)，而该面上向量A 1B 1→＝(1，0，0)， A 1D →＝(0，1，－1)，由此同理可得n 2＝(0，1，1)．所以结合图形知二面角E －A 1D －B 1的余弦值为|n 1·n 2||n 1|·|n 2|＝23×2＝63.3．(2017·河南洛阳模拟)如图(1)所示，在△ABC 中，BC ＝3，AC ＝6，∠C ＝90°，且DE ∥BC ，将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1D ⊥CD ，如图(2)所示．(1)求证：BC ⊥平面A 1DC ；(2)若CD ＝2，求BE 与平面A 1BC 所成角的正弦值． 答案 (1)略 (2)45解析 (1)证明：∵DE ⊥AD ，DE ∥BC ，∴BC ⊥AD ，∴BC ⊥A 1D. 又∵BC ⊥CD ，A 1D ∩CD ＝D ，∴BC ⊥平面A 1DC.(2)以D 为原点，分别以DE →，DA 1→，CD →为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系D －xyz. 在直角梯形CDEB 中，过E 作EF ⊥BC ，垂足为F ， 则EF ＝2，BF ＝1，BC ＝3.∴B(3，0，－2)，E(2，0，0)，C(0，0，－2)，A 1(0，4，0)． ∴BE →＝(－1，0，2)，CA 1→＝(0，4，2)，BA 1→＝(－3，4，2)． 设平面A 1BC 的法向量为m ＝(x ，y ，z)， 则⎩⎪⎨⎪⎧CA 1→·m ＝0，BA 1→·m ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧4y ＋2z ＝0，－3x ＋4y ＋2z ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧z ＝－2y ，x ＝0.令y ＝1，则m ＝(0，1，－2)．设BE 与平面A 1BC 所成角为θ，则sin θ＝|BE →·m ||BE →||m |＝45·5＝45.4. (2013·湖南)如图所示，在直棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ∥BC ，∠BAD ＝90°，AC ⊥BD ，BC ＝1，AD ＝AA 1＝3.(1)证明：AC ⊥B 1D ；(2)求直线B 1C 1与平面ACD 1所成角的正弦值． 答案 (1)略 (2)217解析 (1)易知，AB ，AD ，AA 1两两垂直．如图所示，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．设AB ＝t ，则相关各点的坐标为A(0，0，0)，B(t ，0，0)，B 1(t ，0，3)，C(t ，1，0)，C 1(t ，1，3)，D(0，3，0)，D 1(0，3，3)．从而B 1D →＝(－t ，3，－3)，AC →＝(t ，1，0)，BD →＝(－t ，3，0)．因为AC ⊥BD ，所以AC →·BD →＝－t 2＋3＋0＝0，解得t ＝3或t ＝－3(舍去)． 于是B 1D →＝(－3，3，－3)，AC →＝(3，1，0)．因为AC →·B 1D →＝－3＋3＋0＝0，所以AC →⊥B 1D →，即AC ⊥B 1D.(2)由(1)知，AD 1→＝(0，3，3)，AC →＝(3，1，0)，B 1C 1→＝(0，1，0)． 设n ＝(x ，y ，z)是平面ACD 1的一个法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AC →＝0，n ·AD 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＝0，3y ＋3z ＝0.令x ＝1，则n ＝(1，－3，3)．设直线B 1C 1与平面ACD 1所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，B 1C 1→〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪n ·B 1C 1→|n |·|B 1C 1→|＝37＝217. 即直线B 1C 1与平面ACD 1所成角的正弦值为217. 5. (2016·山东，理)在如图所示的圆台中，AC 是下底面圆O 的直径，EF 是上底面圆 O ′的直径，FB 是圆台的一条母线．(1)已知G ，H 分别为EC ，FB 的中点，求证：GH ∥平面ABC ；(2)已知EF ＝FB ＝12AC ＝23，AB ＝BC ，求二面角F －BC －A 的余弦值．解析 (1)设FC 的中点为I ，连接GI ，HI ，在△CEF 中，因为点G是CE 的中点，所以GI ∥EF. 又EF ∥OB ，所以GI ∥OB.在△CFB 中，因为H 是FB 的中点， 所以HI ∥BC.又HI ∩GI ＝I ，OB ∩BC ＝B ，所以平面GHI ∥平面ABC. 因为GH ⊂平面GHI ，所以GH ∥平面ABC. (2)方法一：连接OO ′，则OO ′⊥平面ABC.又AB ＝BC ，且AC 是圆O 的直径，所以BO ⊥AC. 以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz. 由题意得B(0，23，0)，C(－23，0，0)． 过点F 作FM 垂直OB 于点M ，所以FM ＝FB 2－BM 2＝3，可得F(0，3，3)．故BC →＝(－23，－23，0)，BF →＝(0，－3，3)． 设m ＝(x ，y ，z)是平面BCF 的法向量，由⎩⎪⎨⎪⎧m ·BC →＝0，m ·BF →＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧－23x －23y ＝0，－3y ＋3z ＝0.可得平面BCF 的一个法向量m ＝(－1，1，33)．因为平面ABC 的一个法向量n ＝(0，0，1)，所以cos m ，n ＝m ·n |m |·|n |＝77.所以二面角F －BC －A 的余弦值为77.方法二：连接OO ′.过点F 作FM 垂直OB 于点M ，则有FM ∥OO ′. 又OO ′⊥平面ABC ，所以FM ⊥平面ABC. 可得FM ＝FB 2－BM 2＝3.过点M 作MN 垂直BC 于点N ，连接FN.可得FN ⊥BC ，从而∠FNM 为二面角F －BC －A 的平面角． 又AB ＝BC ，AC 是圆O 的直径，所以MN ＝BMsin45°＝62， 从而FN ＝422，可得cos ∠FNM ＝77.所以二面角F －BC －A 的余弦值为77. 6.如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面是直角梯形， ∠ABC ＝90°，且PA ＝AB ＝BC ＝12AD ＝1.(1)求PB 与CD 所成的角；(2)求直线PD 与平面PAC 所成的角的余弦值． 解析 (1)建立如图所示的空间直角坐标系．因为PA ＝AB ＝BC ＝12AD ＝1，所以A(0，0，0)，P(0，0，1)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，2，0)， 所以PB →＝(1，0，－1)，CD →＝(－1，1，0)．设PB 与CD 所成的角为θ，所以cos θ＝|cos PB →，CD →|＝|－1＋0＋0|2×2＝12，所以PB 与CD 所成的角为60°.(2)PD →＝(0，2，－1)，AP →＝(0，0，1)，AC →＝(1，1，0)．设m ＝(x ，y ，z)是平面PAC 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·AP →＝0，m ·AC →＝0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧z ＝0，x ＋y ＝0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧z ＝0，x ＝－y.取x ＝1，则m ＝(1，－1，0)．设直线PD 与平面PAC 所成的角为α，所以sin α＝|cos PD →，m|＝|PD →·m ||PD →|·|m |＝25×2＝105，因为α∈[0，π2]，所以cos α＝155.7．(2016·天津，理)如图，正方形ABCD 的中心为O ，四边形OBEF 为矩形，平面OBEF ⊥平面ABCD ，点G 为AB 的中点，AB ＝BE ＝2.(1)求证：EG ∥平面ADF ； (2)求二面角O －EF －C 的正弦值；(3)设H 为线段AF 上的点，且AH ＝23HF ，求直线BH 和平面CEF 所成角的正弦值．解析 依题意，OF ⊥平面ABCD ，如图，以O 为原点，分别以AD →，BA →，OF →的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，依题意可得O(0，0，0)，A(－1，1，0)，B(－1，－1，0)，C(1，－1，0)，D(1，1，0)，E(－1，－1，2)，F(0，0，2)，G(－1，0，0)．(1)依题意，AD →＝(2，0，0)，AF →＝(1，－1，2)．设n 1＝(x ，y ，z)为平面ADF 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AD →＝0，n 1·AF →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝0，x －y ＋2z ＝0.不妨设z ＝1，可得n 1＝(0，2，1)，又EG →＝(0，1，－2)，可得EG →·n 1＝0，又直线EG ⊄平面ADF ，所以EG ∥平面ADF.(2)易证，OA →＝(－1，1，0)为平面OEF 的一个法向量．依题意，EF →＝(1，1，0)，CF →＝(－1，1，2)．设n 2＝(x ′，y ′，z ′)为平面CEF 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·EF →＝0，n 2·CF →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ′＋y ′＝0，－x ′＋y ′＋2z ′＝0.不妨设x ′＝1，可得n 2＝(1，－1，1)．因此有cos 〈OA →，n 2〉＝OA →·n 2|OA →|·|n 2|＝－63，于是sin 〈OA →，n 2〉＝33.所以二面角O －EF －C 的正弦值为33. (3)由AH ＝23HF ，得AH ＝25AF.因为AF →＝(1，－1，2)，所以AH →＝25AF →＝(25，－25，45)，进而有H(－35，35，45)，从而BH →＝(25，85，45)，因此cos 〈BH →，n 2〉＝BH →·n 2|BH →|·|n 2|＝－721.所以直线BH 和平面CEF 所成角的正弦值为721.。
高三新课标版·数学(理)总复习题组层级快练44 Word版含解析
题组层级快练(四十四)1．已知a ，b ∈(0，1)且a ≠b ，下列各式中最大的是( ) A ．a 2＋b 2B ．2ab C ．2ab D ．a ＋b 答案 D解析 只需比较a 2＋b 2与a ＋b.由于a ，b ∈(0，1)，∴a 2<a ，b 2<b ，∴a 2＋b 2<a ＋b. 2．下列函数中，最小值为4的是( ) A ．y ＝x ＋4x B ．y ＝sinx ＋4sinx (0<x<π)C ．y ＝4e x ＋e －x D ．y ＝log 3x ＋log x 3(0<x<1)答案 C解析 注意基本不等式等号成立的条件是“a ＝b ”，同时考虑函数的定义域，A 中x 的定义域为{x|x ∈R ，且x ≠0}，函数没有最小值；B 中若sinx ＝4sinx 取到最小值4，则sin 2x ＝4，显然不成立．D 中没有最小值．故选C. 3．设0<a<b ，则下列不等式中正确的是 ( ) A. a<b<ab<a ＋b 2B ．a<ab<a ＋b2<bC ．a<ab<b<a ＋b 2 D. ab<a<a ＋b2<b答案 B解析 方法一(特值法)：代入a ＝1，b ＝2，则有0<a ＝1<ab ＝2<a ＋b2＝1.5<b ＝2.方法二(直接法)：我们知道算术平均数a ＋b2与几何平均数ab 的大小关系，其余各式作差(作商)比较即可，答案为B.4．已知函数g(x)＝2x ，且有g(a)g(b)＝2，若a>0且b>0，则ab 的最大值为( ) A.12B.14 C ．2 D ．4 答案 B 解析 ∵2a 2b＝2a ＋b＝2，∴a ＋b ＝1，ab ≤(a ＋b 2)2＝14，故选B.5．(2015·湖南，文)若实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值为( )A.2B ．2 C ．22D ．4 答案 C解析 方法一：由已知得1a ＋2b ＝b ＋2aab ＝ab ，且a>0，b>0，∴ab ab ＝b ＋2a ≥22ab ，∴ab≥2 2.方法二：由题设易知a>0，b>0，∴ab ＝1a ＋2b≥22ab，即ab ≥22，选C. 6．若x<0，则函数y ＝x 2＋1x 2－x －1x 的最小值是( )A ．－94B ．0C ．2D ．4 答案 D解析 y ＝x 2＋1x 2－x －1x≥2x 2·1x2＋2（－x ）（－1x）＝4，当且仅当x ＝－1时取等号．7．已知a>0，且b>0，若2a ＋b ＝4，则1ab 的最小值为( )A.14B ．4 C.12D ．2 答案 C解析 由题中条件知，1ab ＝44ab ＝2a ＋b 4ab ＝12b ＋14a ≥212b ·14a，当且仅当a ＝1，b ＝2时，等号成立，故1a 2b2≥4·12b ·14a ，即1ab ≥12. 8．若x ，y 是正数，则(x ＋12y )2＋(y ＋12x)2的最小值是( ) A ．3 B.72C ．4 D.92答案 C解析 原式＝x 2＋x y ＋14y 2＋y 2＋y x ＋14x 2≥4.当且仅当x ＝y ＝12时取“＝”号．9．(2017·金山模拟)函数y ＝x 2＋2x －1(x>1)的最小值是( )A ．23＋2B ．23－2C ．23D ．2 答案 A解析 ∵x>1，∴x －1>0.∴y ＝x 2＋2x －1＝x 2－2x ＋2x ＋2x －1＝x 2－2x ＋1＋2（x －1）＋3x －1＝（x －1）2＋2（x －1）＋3x －1＝x －1＋3x －1＋2≥2（x －1）（3x －1）＋2＝23＋2.当且仅当x －1＝3x －1，即x ＝1＋3时，取等号．10．已知不等式(x ＋y)(1x ＋ay )≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( )A ．2B ．4C ．6D ．8 答案 B解析 (x ＋y)(1x ＋a y )＝1＋a·x y ＋yx ＋a ≥1＋a ＋2a ＝(a ＋1)2，当且仅当a·x y ＝yx ，即ax 2＝y 2时“＝”成立．∴(x ＋y)(1x ＋ay)的最小值为(a ＋1)2≥9.∴a ≥4.11．设实数x ，y ，m ，n 满足x 2＋y 2＝1，m 2＋n 2＝3，那么mx ＋ny 的最大值是( ) A.3B ．2 C.5D.102答案 A解析 方法一：设x ＝sin α，y ＝cos α，m ＝3sin β，n ＝3cos β，其中α，β∈R . ∴mx ＋ny ＝3sin βsin α＋3cos βcos α＝3cos (α－β)．故选A.方法二：由已知(x 2＋y 2)·(m 2＋n 2)＝3，即m 2x 2＋n 2y 2＋n 2x 2＋m 2y 2＝3，∴m 2x 2＋n 2y 2＋2(nx)·(my)≤3，即(mx ＋ny)2≤3，∴mx ＋ny ≤ 3.12．已知x ，y ，z ∈(0，＋∞)，且满足x －2y ＋3z ＝0，则y 2xz 的最小值为( )A ．3B ．6C ．9D ．12 答案 A13．(2017·四川成都外国语学校)若正数a ，b 满足：1a ＋1b ＝1，则1a －1＋9b －1的最小值为( )A ．16B ．9C ．6D ．1 答案 C解析 方法一：因为1a ＋1b ＝1，所以a ＋b ＝ab ，即(a －1)·(b －1)＝1，所以1a －1＋9b －1≥21a －1×9b －1＝2×3＝6. 方法二：因为1a ＋1b ＝1，所以a ＋b ＝ab ，1a －1＋9b －1＝b －1＋9a －9ab －a －b ＋1＝b ＋9a －10＝(b ＋9a)(1a ＋1b)－10≥16－10＝6. 方法三：因为1a ＋1b ＝1，所以a －1＝1b －1，所以1a －1＋9b －1＝(b －1)＋9b －1≥29＝2×3＝6.14．(1)当x>1时，x ＋4x －1的最小值为________；(2)当x ≥4时，x ＋4x －1的最小值为________．答案 (1)5 (2)163解析 (1)∵x>1，∴x －1>0.∴x ＋4x －1＝x －1＋4x －1＋1≥24＋1＝5.(当且仅当x －1＝4x －1.即x ＝3时“＝”号成立)∴x ＋4x －1的最小值为5.(2)∵x ≥4，∴x －1≥3.∵函数y ＝x ＋4x 在[3，＋∞)上为增函数，∴当x －1＝3时，y ＝(x －1)＋4x －1＋1有最小值163.15．若a>0，b>0，a ＋b ＝1，则ab ＋1ab 的最小值为________．答案174解析 ab ≤(a ＋b 2)2＝14，当且仅当a ＝b ＝12时取等号．y ＝x ＋1x 在x ∈(0，14]上为减函数．∴ab ＋1ab 的最小值为14＋4＝174.16．已知a>b>0，求a 2＋16b （a －b ）的最小值．答案 16思路 由b(a －b)求出最大值，从而去掉b ，再由a 2＋64a 2，求出最小值． 解析 ∵a>b>0，∴a －b>0.∴b(a －b)≤[b ＋（a －b ）2]2＝a 24.∴a 2＋16b （a －b ）≥a 2＋64a 2≥2a 2·64a2＝16. 当a 2＝64a 2且b ＝a －b ，即a ＝22，b ＝2时等号成立．∴a 2＋16b （a －b ）的最小值为16.17．(2017·江西重点中学盟校联考)设x ，y 均为正实数，且12＋x ＋12＋y ＝13，求xy 的最小值．答案 16解析 由12＋x ＋12＋y ＝13，化为3(2＋y)＋3(2＋x)＝(2＋y)·(2＋x)，整理为xy ＝x ＋y ＋8.∵x ，y 均为正实数，∴xy ＝x ＋y ＋8≥2xy ＋8，∴(xy)2－2xy －8≥0，解得xy ≥4，即xy ≥16，当且仅当x ＝y ＝4时取等号，∴xy 的最小值为16.18.如图，在半径为30 cm 的半圆形(O 为圆心)铝皮上截取一块矩形材料ABCD ，其中点A ，B 在直径上，点C ，D 在圆周上．(1)怎样截取才能使截得的矩形ABCD 的面积最大？并求最大面积；(2)若将所截得的矩形铝皮ABCD 卷成一个以AD 为母线的圆柱形罐子的侧面(不计剪裁和拼接铝耗)，应怎样截取，才能使做出的圆柱形罐子体积最大？并求最大体积． 答案 (1)取BC 为15 2 cm 时，矩形ABCD 的面积最大，最大值为900 cm 2. (2)取BC 为10 3 cm 时，做出的圆柱形罐子体积最大，最大值为6 0003π cm 3.解析 (1)连接OC.设BC ＝x ，矩形ABCD 的面积为S. 则AB ＝2900－x 2，其中0<x<30. 所以S ＝2x900－x 2＝2x 2（900－x 2）≤x 2＋(900－x 2)＝900.当且仅当x 2＝900－x 2，即x＝152时，S 取最大值900 cm 2.答：取BC 为15 2 cm 时，矩形ABCD 的面积最大，最大值为900 cm 2. (2)设圆柱底面的半径为r ，高为x ，体积为V.由AB ＝2900－x 2＝2πr ，得r ＝900－x 2π. 所以V ＝πr 2x ＝1π(900x －x 3)，其中0<x<30.由V ′＝1π(900－3x 2)＝0，得x ＝10 3.因此V ＝1π(900x －x 3)在(0，103)上是增函数，在(103，30)上是减函数．所以当x ＝103时，V 取最大值为6 0003πcm 3.答：取BC 为10 3 cm 时，做出的圆柱形罐子体积最大，最大值为6 0003πcm 3.1．下列命题中正确的是( ) A ．函数y ＝x ＋1x的最小值为2B ．函数y ＝x 2＋3x 2＋2的最小值为2 C ．函数y ＝2－3x －4x (x>0)的最小值为2－4 3D ．函数y ＝2－3x －4x (x>0)的最大值为2－4 3答案 D解析 y ＝x ＋1x 的定义域为{x|x ≠0}，当x>0时，有最小值2，当x<0时，有最大值－2，故A 项不正确；y ＝x 2＋3x 2＋2＝x 2＋2＋1x 2＋2≥2， ∵x 2＋2≥2，∴取不到“＝”，故B 项不正确；∵x>0时，3x ＋4x≥2·3x·4x ＝43，当且仅当3x ＝4x ，即x ＝233时取“＝”， ∴y ＝2－(3x ＋4x )有最大值2－43，故C 项不正确，D 项正确．2．(2013·福建，文)若2x ＋2y ＝1，则x ＋y 的取值范围是( ) A ．[0，2] B ．[－2，0] C ．[－2，＋∞) D ．(－∞，－2] 答案 D解析 ∵2x ＋2y ≥22x ·2y ＝22x ＋y (当且仅当2x ＝2y 时等号成立)，∴2x ＋y ≤12，∴2x ＋y ≤14，得x ＋y ≤－2，故选D.3．(2014·重庆)若log 4(3a ＋4b)＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是( ) A ．6＋23B ．7＋2 3 C ．6＋43D ．7＋4 3 答案 D解析 因为log 4(3a ＋4b)＝log 2ab ，所以log 4(3a ＋4b)＝log 4(ab)，即3a ＋4b ＝ab ，且⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋4b>0，ab>0，即a>0，b>0，所以4a ＋3b ＝1(a>0，b>0)，a ＋b ＝(a ＋b)(4a ＋3b )＝7＋4b a ＋3ab≥7＋24b a ·3a b ＝7＋43，当且仅当4b a ＝3ab时取等号，选择D 项．4．(2016·人大附中月考)设a ，b ，c 均大于0，则“abc ＝1”是“1a ＋1b ＋1c≤a ＋b ＋c ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A 解析1a ＋1b ＋1c ＝bc ＋ca ＋ab abc， 当abc ＝1时，bc ＋ca ＋ab abc≤12[(b ＋c)＋(c ＋a)＋(a ＋b)]＝a ＋b ＋c. 故abc ＝1⇒1a ＋1b ＋1c≤a ＋b ＋c. 反过来，若a ＝b ＝1，c ＝4，有1a ＋1b ＋1c≤a ＋b ＋c ，但abc ≠1， ∴“abc ＝1”是“1a ＋1b ＋1c≤a ＋b ＋c ”的充分不必要条件． 5．(2017·山东师大附中月考)已知a ，b ，c ∈R ＋，且ab ＋bc ＋ca ＝1，那么下列不等式中正确的是( )A ．a 2＋b 2＋c 2≥2B ．(a ＋b ＋c)2≥3 C.1a ＋1b ＋1c ≥23D ．abc(a ＋b ＋c)≤13 答案 B解析 ∵a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ac ，三式相加可知2(a 2＋b 2＋c 2)≥2(bc ＋ab ＋ac)，∴a 2＋b 2＋c 2≥1.∴a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ≥1＋2.∴(a ＋b ＋c)2≥3.6．已知a>0，b>0，a ，b 的等比中项是1，且m ＝b ＋1a ，n ＝a ＋1b，则m ＋n 的最小值是( )A ．3B ．4C ．5D ．6 答案 B解析 由题意知ab ＝1，则m ＝b ＋1a ＝2b ，n ＝a ＋1b ＝2a ，∴m ＋n ＝2(a ＋b)≥4ab ＝4(当且仅当a ＝b ＝1时，等号成立)．7．已知函数y ＝x －4＋9x ＋1(x>－1)，当x ＝a 时，y 取得最小值b ，则a ＋b ＝( )A ．－3B ．2C ．3D ．8 答案 C解析 y ＝x －4＋9x ＋1＝x ＋1＋9x ＋1－5，因为x>－1，得x ＋1>0，9x ＋1>0，所以由均值不等式得y ＝x ＋1＋9x ＋1－5≥2（x ＋1）×9x ＋1－5＝1，当且仅当x ＋1＝9x ＋1，即x ＝2时，等号成立，所以a ＝2，b ＝1，a ＋b ＝3.8．已知x ，y 为正实数，3x ＋2y ＝10，则W ＝3x ＋2y 的最大值为________． 答案 2 5解析 方法一：由a ＋b2≤a 2＋b 22可得3x ＋2y ≤2（3x ）2＋（2y ）2＝23x ＋2y ＝25，当且仅当3x ＝2y ，即x ＝53，y ＝52时等号成立．方法二：易知W>0，W 2＝3x ＋2y ＋23x ·2y ＝10＋23x ·2y ≤10＋(3x)2＋(2y)2＝10＋(3x ＋2y)＝20，∴W ≤25，当且仅当3x ＝2y ，即x ＝53，y ＝52时等号成立．9．已知三个正数a ，b ，c 成等比数列，则a ＋c b ＋ba ＋c 的最小值为________．答案 52解析 由条件可知a ，b ，c>0且b 2＝ac ，即b ＝ac ，故a ＋c b ≥2acb＝2，当且仅当a ＝b ＝c时取等号，令a ＋c b ＝t ，则y ＝t ＋1t 在[2，＋∞)上单调递增，故其最小值为2＋12＝52，即a ＋c b ＋ba ＋c的最小值为52.10.如图所示，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽2 m 的无盖长方体的沉淀箱，污水从A 孔流入，经沉淀后从B 孔流出，设箱体的长度为a m ，高度为b m ，已知流出的水中该杂质的质量分数与a ，b 的乘积ab 成反比．现有制箱材料60 m 2，问a ，b 各为多少m 时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A ，B 孔面积忽略不计)．答案a＝6 m，b＝3 m解析设y为流出的水中杂质的质量分数，根据题意可知：y＝kab，其中k是比例系数且k>0.依题意要使y最小，只需求ab的最大值．由题设，得4b＋2ab＋2a＝60(a>0，b>0)，即a＋2b＋ab＝30(a>0，b>0)．∵a＋2b≥22ab，∴22·ab＋ab≤30.当且仅当a＝2b时取“＝”号，ab有最大值．∴当a＝2b时有22·ab＋ab＝30，即b2＋2b－15＝0.解之得b1＝3，b2＝－5(舍去)，∴a＝2b＝6.故当a＝6 m，b＝3 m时经沉淀后流出的水中杂质的质量分数最小．。
高考调研数学目录
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第九章 解析几何
第1课时 直线方程 题组层级快练（五十九）（word） 第2课时 两直线的位置关系 题组层级快练（六十）（word） 第3课时 圆的方程 题组层级快练（六十一）（word） 第4课时 直线与圆、圆与圆的位置关系 题组层级快练（六十二）（word） 第5课时 椭圆(一) 题组层级快练（六十三）（word） 第6课时 椭圆(二) 题组层级快练（六十四）（word） 第7课时 双曲线(一) 题组层级快练（六十五）（word）
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第5课时 三角函数的图像 题组层级快练（二十四）（word） 第6课时 三角函数的性质 题组层级快练（二十五）（word） 专题研究 三角函数的值域与最值 专题层级快练（二十六）（word） 第7课时 正、余弦定理 题组层级快练（二十七）（word） 专题研究 正、余弦定理应用举例 专题层级快练（二十八）（word）
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第五章 平面向量与复数
第1课时 向量的概念及线性运算 题组层级快练（二十九）（word） 第2课时 平面向量基本定理及坐标运算 题组层级快练（三十）（word） 第3课时 平面向量的数量积 题组层级快练（三十一）（word） 专题研究 平面向量的综合应用 专题层级快练（三十二）（word） 第4课时 复数 题组层级快练（三十三）（word）
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第八章 立体几何
第1课时 空间几何体的结构、三视图、直观图 题组层级快练（四十八）（word） 第2课时 空间几何体的表面积、体积 题组层级快练（四十九）（word） 专题研究 球与几何体的切接问题 专题层级快练（五十）（word） 第3课时 空间点、线、面间位置关系 题组层级快练（五十一）（word） 第4课时 直线、平面平行的判定及性质 题组层级快练（五十二）（word） 第5课时 直线、平面垂直的判定及性质 题组层级快练（五十三）（word）
高三新课标版·数学(理)总复习题组层级快练33 Word版含解析
题组层级快练(三十三)1．若(x ＋i)2是纯虚数(其中i 为虚数单位)，则x ＝( ) A ．±1B ．2 C ．－1 D ．1 答案 A解析 (x ＋i)2＝x 2－1＋2xi ，因为(x ＋i)2是纯虚数，所以x ＝±1.2．(2017·河北辛集中学月考)若复数2－bi 1＋2i(b ∈R )的实部与虚部互为相反数，则b 等于( )A.2B.23C ．－23D ．2答案 C解析 2－bi 1＋2i ＝（2－bi ）（1－2i ）（1＋2i ）（1－2i ）＝2－2b －（4＋b ）i 5，由题意得2－2b 5－4＋b 5＝0，得b ＝－23.3．(2016·北京)复数1＋2i2－i ＝( )A ．iB ．1＋iC ．－iD ．1－i 答案 A解析 1＋2i 2－i ＝（1＋2i ）（2＋i ）（2－i ）（2＋i ）＝5i 5＝i.4．(2015·湖南)已知（1－i ）2z ＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数z ＝( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i 答案 D解析 由题意得z ＝（1－i ）21＋i ＝－2i1＋i＝－i(1－i)＝－1－i ，故选D.5．(2017·郑州质检)复数z ＝1＋2i 1－i 的共轭复数z －表示的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案 C解析 z ＝1＋2i 1－i ＝（1＋2i ）（1＋i ）（1＋i ）（1－i ）＝－1＋3i 2，z －＝－12－32i ，所表示的点在第三象限．6. (2017·湖北黄冈期末)复数z1，z 2在复平面内分别对应点A ，B ，z 1＝3＋4i ，将点A 绕原点O 逆时针旋转90°得到点B ，则z －2＝( ) A ．3－4i B ．－4－3i C ．－4＋3i D ．－3－4i 答案 B解析 由题意知A(3，4)，B(－4，3)，即z 2＝－4＋3i ，z －2＝－4－3i. 7．(2017·沧州七校联考)已知z 是纯虚数，z ＋21－i 是实数，那么z 等于( )A ．2iB ．iC ．－iD ．－2i 答案 D解析 设纯虚数z ＝bi(b ≠0)，代入z ＋21－i＝bi ＋21－i＝（bi ＋2）（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝（2－b ）＋（b ＋2）i2，由于其为实数，∴b ＝－2.8．(2014·江西，理)z －是z 的共轭复数，若z ＋z －＝2，(z －z －)i ＝2(i 为虚数单位)，则z ＝( ) A ．1＋i B ．－1－i C ．－1＋i D ．1－i 答案 D9．设a 是实数，且a1＋i＋1＋i 2是实数，则a ＝( )A ．1 B.12C.15D ．－15 答案 A解析 a1＋i ＋1＋i 2＝a （1－i ）（1＋i ）（1－i ）＋1＋i 2＝（a ＋1）＋（－a ＋1）i 2，由于该复数为实数，故－a ＋1＝0，即a ＝1.10．(2017·郑州质量预测)在复平面内与复数z ＝5i1＋2i 所对应的点关于虚轴对称的点为A ，则A 对应的复数为( ) A ．1＋2iB ．1－2iC ．－2＋iD ．2＋i 答案 C解析 依题意得，复数z ＝5i （1－2i ）（1＋2i ）（1－2i ）＝i(1－2i)＝2＋i ，其对应的点的坐标是(2，1)，因此点A(－2，1)对应的复数为－2＋i ，选C.11．(2017·宜昌调研)设复数z 满足1－z1＋z ＝i(i 是虚数单位)，则|1＋z|＝( )A ．0B ．1 C.2D ．2 答案 C解析 ∵1－z 1＋z ＝i ，∴z ＝1－i1＋i ＝－i ，∴|z ＋1|＝|－i ＋1|＝ 2.12．下面是关于复数z ＝2－1＋i 的四个命题：p 1：|z|＝2, p 2：z 2＝2i ，p 3：z 的共轭复数为1＋i, p 4：z 的虚部为－1. 其中的真命题为( ) A ．p 2，p 3B ．p 1，p 2 C ．p 2，p 4D ．p 3，p 4 答案 C解析 ∵z ＝2－1＋i ＝－1－i ，∴|z|＝2，z 2＝(－1－i)2＝(1＋i)2＝2i ，z 的共轭复数为－1＋i ，z 的虚部为－1，综上可知p 2，p 4是真命题．13．(2016·课标全国Ⅰ)设(1＋i)x ＝1＋yi ，其中x ，y 是实数，则|x ＋yi|＝( ) A ．1 B. 2 C.3D ．2 答案 B解析 因为(1＋i)x ＝x ＋xi ＝1＋yi ，所以x ＝y ＝1，|x ＋yi|＝|1＋i|＝12＋12＝ 2.故选B.14．对任意复数z ＝x ＋yi(x ，y ∈R )，i 为虚数单位，则下列结论正确的是( ) A ．|z －z|＝2y B ．z 2＝x 2＋y 2 C ．|z －z|≥2x D ．|z|≤|x|＋|y| 答案 D 解析 |z|＝x 2＋y 2≤x 2＋2|xy|＋y 2＝（|x|＋|y|）2＝|x|＋|y|，D 正确，易知A ，B ，C 错误．15．已知函数f(x)＝x 2，i 是虚数单位，则在复平面中复数f （1－i ）2＋i对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案 C 解析f （1－i ）2＋i＝（1－i ）2（2－i ）（2＋i ）（2－i ）＝－2i （2－i ）（2＋i ）（2－i ）＝－2－4i5，在复平面内对应的点(－25，－45)位于第三象限，故选C. 16．(2016·北京，理)设a ∈R ，若复数(1＋i)(a ＋i)在复平面内对应的点位于实轴上，则a ＝________． 答案 －1解析 (1＋i)(a ＋i)＝(a －1)＋(a ＋1)i ，由已知得a ＋1＝0，解得a ＝－1. 17．(2017·河南许昌高中联考)给出下列四个命题： ①满足：z ＝1z的复数有±1，±i ；②若a ，b ∈R 且a ＝b ，则(a －b)＋(a ＋b)i 是纯虚数； ③复数z ∈R 的充要条件是z ＝z －；④在复平面内，实轴上的点都表示实数，虚轴上的点都表示虚数． 其中正确的命题是________． 答案 ③解析 因为i 2＝－1，所以命题①不正确；对于命题②，当a ＝b ＝0时，不成立，命题②不正确；由共轭复数的定义知，命题③正确；虚轴上的点除原点外都表示纯虚数，命题④不正确．18．i ＋i 2＋i 3＋…＋i 2 015的值是________． 答案 －1解析 原式＝i （1－i 2 015）1－i ＝i （1－i 3）1－i ＝i （1＋i ）1－i ＝i·i ＝－1.19．计算：(1)（1＋2i ）2＋3（1－i ）2＋i；(2)1－i（1＋i ）2＋1＋i（1－i ）2；(3)1－3i（3＋i ）2. 答案 (1)15＋25i (2)－1 (3)－14－34i解析 (1)（1＋2i ）2＋3（1－i ）2＋i ＝－3＋4i ＋3－3i 2＋i ＝i2＋i ＝i （2－i ）5＝15＋25i.(2)1－i（1＋i ）2＋1＋i（1－i ）2＝1－i 2i ＋1＋i －2i ＝1＋i －2＋－1＋i2＝－1.(3)1－3i （3＋i ）2＝（3＋i ）（－i ）（3＋i ）2＝－i 3＋i＝（－i ）（3－i ）4＝－14－34i.20．已知复数z 1满足(z 1－2)(1＋i)＝1－i(i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2，且z 1z 2是实数，求z 2.答案 z 2＝4＋2i解析 (z 1－2)(1＋i)＝1－i ⇒z 1＝2－i ，设z 2＝a ＋2i ，a ∈R ， 则z 1z 2＝(2－i)(a ＋2i)＝(2a ＋2)＋(4－a)i. ∵z 1z 2∈R ，∴a ＝4，∴z 2＝4＋2i.1．(2017·湖北八校联考)设x ∈R ，则“x ＝1”是“复数z ＝(x 2－1)＋(x ＋1)i 为纯虚数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 C解析 由纯虚数的定义，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1＝0，x ＋1≠0，所以x ＝1.故选C.2．复数i1＋2i (i 是虚数单位)的实部是( )A.25B ．－25 C.15D ．－15 答案 A解析 i1＋2i＝2＋i 5，实部为25.3．(2015·四川，理)设i 是虚数单位，则复数i 3－2i ＝( )A ．－iB ．－3iC ．iD ．3i 答案 C解析 i 3－2i ＝－i －2ii2＝－i ＋2i ＝i ，选C.4．(2015·湖南)已知（1－i ）2z ＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数z ＝( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i 答案 D解析 由题意得z ＝（1－i ）21＋i ＝－2i1＋i＝－i(1－i)＝－1－i ，故选D.5．(2017·江苏阜宁中学调研)若复数z ＝i ＋i 2 016，则z ＋10z 的模等于________．答案 6 2解析 z ＝i ＋i 2 016＝i ＋1，z ＋10z ＝1－i ＋101＋i ＝6－6i ，其模为6 2.6．(2014·课标全国Ⅰ，理)（1＋i ）3（1－i ）2＝( ) A ．1＋i B ．1－i C ．－1＋i D ．－1－i 答案 D解析 先把分子、分母分别计算，再求解，或利用结论1＋i1－i ＝i.方法一：（1＋i ）3（1－i ）2＝（1＋i ）（1＋i ）2－2i ＝（1＋i ）（1＋i 2＋2i ）－2i ＝（1＋i ）2i－2i＝－1－i.故选D.方法二：（1＋i ）3（1－i ）2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2(1＋i)＝i 2(1＋i)＝－(1＋i)． 7．(2014·安徽，理)设i 是虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数．若z ＝1＋i ，则z i ＋i ·z ＝( )A ．－2B ．－2iC ．2D ．2i 答案 C解析 先根据z 求出z 及zi，结合复数的运算法则求解．∵z ＝1＋i ，∴z ＝1－i ，z i ＝1＋i i ＝i 2＋ii2＝1－i.∴zi＋i ·z ＝1－i ＋i(1－i)＝(1－i)＋(1＋i)＝2.故选C. 8．(2015·湖北，理)i 为虚数单位，i 607的共轭复数为( ) A ．i B ．－i C ．1 D ．－1 答案 A 解析 i 607＝i 4×151·i 3＝－i ，又－i 的共轭复数为i ，选A.。
2023年高考数学一轮复习 新课标版 理科 作业 题组层级快练1-10
题组层级快练(一)1．下列各组集合中表示同一集合的是( ) A ．M ＝{(3，2)}，N ＝{(2，3)} B ．M ＝{2，3}，N ＝{3，2}C ．M ＝{(x ，y )|x ＋y ＝1}，N ＝{y |x ＋y ＝1}D ．M ＝{2，3}，N ＝{(2，3)} 答案 B2．集合M ＝{x ∈N |x (x ＋2)≤0}的子集个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案 B解析 ∵M ＝{x ∈N |x (x ＋2)≤0}＝{x ∈N |－2≤x ≤0}＝{0}，∴M 的子集个数为21＝2.故选B.3．(2021·全国高考Ⅱ卷)设集合U ＝{1，2，3，4，5，6}，A ＝{1，3，6}，B ＝{2，3，4}，则A ∩(∁U B )＝( ) A ．{3} B ．{1，6} C ．{5，6} D ．{1，3}答案 B解析 由题设可得∁U B ＝{1，5，6}，故A ∩(∁U B )＝{1，6}，故选B.4．(2022·江苏海安市摸底)若A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x 2∈Z ，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ＋12∈Z ，则A ∪B 等于( ) A ．B B ．A C ．∅ D ．Z答案 D解析 A ＝{x |x ＝2n ，n ∈Z }为偶数集，B ＝{y |y ＝2n －1，n ∈Z }为奇数集，∴A ∪B ＝Z . 5．已知集合A ＝{1，3，m }，B ＝{1，m }，A ∪B ＝A ，则m ＝( ) A ．0或 3 B ．0或3 C ．1或 3 D ．1或3答案 B解析 ∵A ＝{1，3，m }，B ＝{1，m }，A ∪B ＝A ， ∴m ＝3或m ＝m . ∴m ＝3或m ＝0或m ＝1.当m＝1时，与集合中元素的互异性矛盾，故选B.6．(2022·石家庄二中模拟)设集合M＝{x|x2＝x}，N＝{x|lg x≤0}，则M∪N＝() A．[0，1] B．(0，1]C．[0，1) D．(－∞，1]答案 A解析集合M＝{0，1}，集合N＝{x|0<x≤1}，所以M∪N＝{x|0≤x≤1}＝[0，1]．7．(2022·湖北八校联考)已知集合A＝{x||x|≤2，x∈R}，B＝{x|x≤4，x∈Z}，则A∩B＝() A．(0，2) B．[0，2]C．{0，2} D．{0，1，2}答案 D解析由已知得A＝{x|－2≤x≤2}，B＝{0，1，…，16}，所以A∩B＝{0，1，2}．8．(2022·广东中山一中模拟)已知i为虚数单位，集合P＝{－1，1}，Q＝{i，i2}，若P∩Q ＝{z i}，则复数z等于()A．1 B．－1C．i D．－i答案 C解析因为Q＝{i，i2}＝{i，－1}，P＝{－1，1}，所以P∩Q＝{－1}，所以z i＝－1，所以z＝i，故选C.9．集合A＝{0，2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0，1，2，4，16}，则a的值为() A．0 B．1C．2 D．4答案 D10．设集合M＝{y|y＝2sin x，x∈[－5，5]}，N＝{x|y＝log2(x－1)}，则M∩N＝() A．{x|1<x≤5} B．{x|－1<x≤0}C．{x|－2≤x≤0} D．{x|1<x≤2}答案 D解析∵M＝{y|y＝2sin x，x∈[－5，5]}＝{y|－2≤y≤2}，N＝{x|y＝log2(x－1)}＝{x|x>1}，∴M∩N＝{y|－2≤y≤2}∩{x|x>1}＝{x|1<x≤2}．11．(2022·清华附中诊断性测试)已知集合A＝{x|log2(x－2)>0}，B＝{y|y＝x2－4x＋5，x∈A}，则A∪B＝()A．[3，＋∞) B．[2，＋∞)C．(2，＋∞) D．(3，＋∞)答案 C解析 ∵log 2(x －2)>0，∴x －2>1，即x >3，∴A ＝(3，＋∞)，此时y ＝x 2－4x ＋5＝(x －2)2＋1>2， ∴B ＝(2，＋∞)，∴A ∪B ＝(2，＋∞)．故选C.12．(2022·山东聊城模拟)已知集合M ，N ，P 为全集U 的子集，且满足M ⊆P ⊆N ，则下列结论中不正确的是( ) A ．∁U N ⊆∁U P B ．∁U P ⊆∁U M C ．(∁U P )∩M ＝∅ D ．(∁U M )∩N ＝∅答案 D解析 根据已知条件画出Venn 图结合各选项知，只有D 不正确．13．(2022·西安市经开一中模拟)集合A ＝{x |x <－1或x ≥3}，B ＝{x |ax ＋1≤0}，若B ⊆A ，则实数a 的取值范围是( ) A.⎣⎡⎭⎫－13，1 B.⎣⎡⎦⎤－13，1 C ．(－∞，－1)∪[0，＋∞) D.⎣⎡⎭⎫－13，0∪(0，1) 答案 A 解析 ∵B ⊆A ，∴①当B ＝∅时，即ax ＋1≤0无解，此时a ＝0，满足题意． ②当B ≠∅时，即ax ＋1≤0有解，当a >0时，可得x ≤－1a ，要使B ⊆A ，则需要⎩⎪⎨⎪⎧a >0，－1a <－1，解得0<a <1.当a <0时，可得x ≥－1a，要使B ⊆A ，则需要⎩⎪⎨⎪⎧a <0，－1a ≥3，解得－13≤a <0，综上，实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－13，1.故选A. 14．集合A ＝{0，|x |}，B ＝{1，0，－1}，若A ⊆B ，则A ∩B ＝________，A ∪B ＝________，∁B A ＝________．答案 {0，1} {1，0，－1} {－1}解析 因为A ⊆B ，所以|x |∈B ，又|x |≥0，结合集合中元素的互异性，知|x |＝1，因此A ＝{0，1}，则A ∩B ＝{0，1}，A ∪B ＝{1，0，－1}，∁B A ＝{－1}．15．设全集U ＝A ∪B ＝{x ∈N *|lg x <1}，若A ∩(∁U B )＝{m |m ＝2n ＋1，n ＝0，1，2，3，4}，则集合B ＝________．答案{2，4，6，8}解析U＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，A∩(∁U B)＝{1，3，5，7，9}，∴B＝{2，4，6，8}．16．(2022·安徽省示范高中测试)已知集合A＝{x|x－a≤0}，B＝{1，2，3}，若A∩B≠∅，求实数a的取值范围．答案[1，＋∞)解析集合A＝{x|x≤a}，集合B＝{1，2，3}，若A∩B≠∅，则1，2，3这三个元素至少有一个在集合A中，若2或3在集合A中，则1一定在集合A中，因此只要保证1∈A即可，所以a≥1.17．已知集合A＝{x|1<x<k}，集合B＝{y|y＝2x－5，x∈A}，若A∩B＝{x|1<x<2}，则实数k 的值为()A．5 B．4.5C．2 D．3.5答案 D解析B＝(－3，2k－5)，由A∩B＝{x|1<x<2}，知k＝2或2k－5＝2，因为k＝2时，2k－5＝－1，A∩B＝∅，不合题意，所以k＝3.5.故选D.18．已知M，N为R的两个不等的非空子集，若M∩(∁R N)＝∅，则下列结论不正确的是() A．∃x0∈N，使得x0∈M B．∃x0∈N，使得x0∉MC．∀x∈M，都有x∈N D．∀x∈N，都有x∈M答案 D解析对于D，∵M∩(∁R N)＝∅，∴M是N的真子集或M，N相等，又M，N不相等且非空，∴M是N的非空真子集．∴不能保证∀x∈N，都有x∈M.【】题组层级快练(二)1．已知命题p：“正数a的平方不等于0”，命题q：“若a不是正数，则它的平方等于0”，则q是p的( )A．逆命题B．否命题C．逆否命题D．否定答案 B解析 命题p ：“正数a 的平方不等于0”可写成“若a 是正数，则它的平方不等于0”，从而q 是p 的否命题． 2．有下列四个命题：①“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题； ②“若a ＞b ，则a 2＞b 2”的逆否命题； ③“若x ≤－3，则x 2＋x －6＞0”的否命题； ④“若a b 是无理数，则ab 是无理数”的逆命题． 其中真命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3答案 B3．(2022·河南杞县中学月考)命题“若x 2＋3x －4＝0，则x ＝4”的逆否命题及其真假性为( )A ．“若x ＝4，则x 2＋3x －4＝0”为真命题B ．“若x ≠4，则x 2＋3x －4≠0”为真命题C ．“若x ≠4，则x 2＋3x －4≠0”为假命题D ．“若x ＝4，则x 2＋3x －4＝0”为假命题 答案 C解析 根据逆否命题的定义可以排除A 、D 两项，因为x 2＋3x －4＝0，所以x ＝－4或1，故原命题为假命题，即逆否命题为假命题．4．命题“若m >－1，则m >－4”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案 B解析 原命题为真命题，从而其逆否命题也为真命题；逆命题“若m >－4，则m >－1”为假命题，故否命题也为假命题．故选B. 5．下列命题中为真命题的是( ) A ．命题“若x >y ，则x >|y |”的逆命题 B ．命题“若x 2≤1，则x ≤1”的否命题 C ．命题“若x ＝1，则x 2－x ＝0”的否命题 D ．命题“若a >b ，则1a <1b ”的逆否命题答案 A解析 A 中原命题的逆命题是“若x >|y |，则x >y ”，由x >|y |≥y 可知其是真命题；B 中原命题的否命题是“若x 2>1，则x >1”，是假命题，因为x 2>1⇔x >1或x <－1；C 中原命题的否命题是“若x ≠1，则x 2－x ≠0”，是假命题；D 中原命题的逆否命题是“若1a ≥1b ，则a ≤b ”是假命题，举例：a ＝1，b ＝－1.故选A.6．(2020·天津)设a ∈R ，则“a >1”是“a 2>a ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 求解二次不等式a 2>a 可得a >1或a <0， 据此可知“a >1”是“a 2>a ”的充分不必要条件．故选A. 7．(2022·苏锡常镇一模)“0<x <π4”是“0<sin x <π4”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A8．“(m －1)(a －1)>0”是“log a m >0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 (m －1)(a －1)>0等价于⎩⎪⎨⎪⎧m >1，a >1或⎩⎪⎨⎪⎧m <1，a <1，而log a m >0等价于⎩⎪⎨⎪⎧m >1，a >1或⎩⎪⎨⎪⎧0<m <1，0<a <1，所以条件具有必要性，但不具有充分性，比如m ＝0，a ＝0时，不能得出log a m >0.故选B. 9．王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传诵至今，“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关．黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，由此推断，其中最后一句“攻破楼兰”是“返回家乡”的( ) A ．必要条件 B ．充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 设p ：攻破楼兰，q ：返回家乡，由已知綈p ⇒綈q ，得q ⇒p ，故p 是q 的必要条件．10．(2022·衡水中学调研卷)如果x ，y 是实数，那么“x ≠y ”是“cos x ≠cos y ”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 “x ≠y ”不能推出“cos x ≠cos y ”，但“cos x ≠cos y ”一定有“x ≠y ”． 11．设a ，b ∈R ，则“a ＞b ”是“a |a |＞b |b |”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 方法一：当a >b >0时，a >b ⇔a |a |>b |b |；当a >0>b 时，a >b ⇔a |a |>b |b |；当b <a <0时，a >b ⇔a |a |>b |b |，∴选C.方法二：构造函数f (x )＝x |x |，则f (x )在定义域R 上为奇函数．因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－x 2，x ＜0，所以函数f (x )在R 上单调递增，所以a ＞b ⇔f (a )＞f (b )⇔a |a |＞b |b |.选C.12．(2021·全国甲卷)等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n .设甲：q >0，乙：{S n }是递增数列，则( )A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 答案 B解析 当a 1<0，q >1时，a n ＝a 1q n －1<0，此时数列{S n }递减，所以甲不是乙的充分条件．当数列{S n }递增时，有S n ＋1－S n ＝a n ＋1＝a 1q n >0，若a 1>0，则q n >0(n ∈N *)，即q >0；若a 1<0，则q n <0(n ∈N *)，不存在．所以甲是乙的必要条件．13．(2022·西安一模)设命题p ：“x 2 ＋x －6＜0”，命题q ：“|x |＜1”，那么p 是q 成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 p ：－3＜x ＜2；q ：－1＜x ＜1，易知选B. 14．(1)“x >y >0”是“1x <1y ”的________条件．(2)“tan θ≠1”是“θ≠π4”的________条件．(3)在△ABC 中，“A ＝B ”是“tan A ＝tan B ”的________条件． 答案 (1)充分不必要 (2)充分不必要 (3)充要 解析 (1)1x <1y⇒xy ·(y －x )<0，即x >y >0或y <x <0或x <0<y ，则“x ＞y ＞0”是“1x ＜1y”的充分不必要条件．(2)题目即判断θ＝π4是tan θ＝1的什么条件，显然是充分不必要条件．(3)△ABC 中，若A ＝B ，则A ，B 只能为锐角，∴tan A ＝tan B ，则充分性成立；若tan A ＝tan B ，则只能tan A ＝tan B ＞0，∴A ，B 为锐角，∴A ＝B ，必要性成立．15．(1)(2022·菏泽模拟)命题“所有无理数的平方都是有理数”的否定是________． (2)若“x >1”是“不等式2x >a －x 成立”的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________． 答案 (1)存在一个无理数，它的平方不是有理数 (2)(3，＋∞)解析 (1)全称命题的否定为特称命题，可得命题“所有无理数的平方都是有理数”的否定是：存在一个无理数，它的平方不是有理数．(2)2x >a －x ，即2x ＋x >a .设f (x )＝2x ＋x ，则函数f (x )为增函数．由题意知“2x ＋x >a 成立，即f (x )>a 成立”能得到“x >1”，反之不成立．∵当x >1时，f (x )>3，∴a >3.16．(2021·贵阳模拟)下列不等式： ①x <1；②0<x <1；③－1<x <0；④－1<x <1.其中可以作为“x 2<1”的一个充分条件的所有序号为________． 答案 ②③④17．(2022·潍坊一中月考)若a ，b 都是实数，试从①ab ＝0；②a ＋b ＝0；③a (a 2＋b 2)＝0；④ab ＞0中选出适合的条件，用序号填空． (1)“a ，b 都为0”的必要条件是________； (2)“a ，b 都不为0”的充分条件是________； (3)“a ，b 至少有一个为0”的充要条件是________． 答案 (1)①②③ (2)④ (3)①解析 ①ab ＝0⇔a ＝0或b ＝0，即a ，b 至少有一个为0；②a ＋b ＝0⇔a ，b 互为相反数，则a ，b 可能均为0，也可能为一正一负； ③a (a 2＋b 2)＝0⇔a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝0； ④ab >0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a >0，b >0或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，b <0，则a ，b 都不为0.18．设命题p ：2x －1x －1<0，命题q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．答案 ⎣⎡⎦⎤0，12 解析2x －1x －1<0⇒(2x －1)(x －1)<0⇒12<x <1，x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0⇒a ≤x ≤a ＋1， 由题意得⎝⎛⎭⎫12，1[a ，a ＋1]，故⎩⎪⎨⎪⎧a ≤12，a ＋1≥1，且等号不能同时取到，解得0≤a ≤12.【】题组层级快练(三)1．(2022·湖北宜昌一中月考)下列命题中是假命题的是( ) A ．∃x 0∈R ，log 2x 0＝0 B ．∃x 0∈R ，cos x 0＝1 C ．∀x ∈R ，x 2>0 D ．∀x ∈R ，2x >0答案 C解析 因为log 21＝0，cos 0＝1，所以A 、B 项均为真命题，因为02＝0，所以C 项为假命题，因为2x >0，所以D 项为真命题．2．命题“所有奇数的立方都是奇数”的否定是( ) A ．所有奇数的立方都不是奇数 B ．不存在一个奇数，它的立方是偶数 C ．存在一个奇数，它的立方不是奇数 D ．不存在一个奇数，它的立方是奇数 答案 C解析 全称命题的否定是特称命题，即“存在一个奇数，它的立方不是奇数”． 3．命题“∀x ∈R ，⎝⎛⎭⎫13x>0”的否定是( ) A ．∃x 0∈R ，⎝⎛⎭⎫13x 0<0 B ．∀x ∈R ，⎝⎛⎭⎫13x≤0 C ．∀x ∈R ，⎝⎛⎭⎫13x <0 D ．∃x 0∈R ，⎝⎛⎭⎫13x 0≤0答案 D解析 全称命题“∀x ∈R ，⎝⎛⎭⎫13x>0”的否定是把量词“∀”改为“∃”，并把结论进行否定，即把“>”改为“≤”．故选D.4．命题“∃x0∈∁R Q，x03∈Q”的否定是()A．∃x0∉∁R Q，x03∈Q B．∃x0∈∁R Q，x03∉QC．∀x∉∁R Q，x3∈Q D．∀x∈∁R Q，x3∉Q答案 D解析该特称命题的否定为“∀x∈∁R Q，x3∉Q”．5．已知命题p：若x>y，则－x<－y；命题q：若x>y，则x2>y2.在命题①p∧q；②p∨q；③p∧(綈q)；④(綈p)∨q中，真命题是()A．①③B．①④C．②③D．②④答案 C解析若x>y，则－x<－y成立，即命题p为真命题，若x>y，则x2>y2不一定成立，即命题q为假命题，则綈p是假命题，綈q为真命题，故p∨q与p∧(綈q)是真命题，故选C. 6．(2022·河北保定模拟)命题“∀x∈R，f(x)·g(x)≠0”的否定是()A．∀x∈R，f(x)＝0且g(x)＝0 B．∀x∈R，f(x)＝0或g(x)＝0C．∃x0∈R，f(x0)＝0且g(x0)＝0 D．∃x0∈R，f(x0)＝0或g(x0)＝0答案 D解析根据全称命题与特称命题互为否定的关系可得命题“∀x∈R，f(x)·g(x)≠0”的否定是“∃x0∈R，f(x0)＝0或g(x0)＝0”．故选D.7．若命题p：x∈A∩B，则綈p：()A．x∈A且x∉B B．x∉A或x∉BC．x∉A且x∉B D．x∈A∪B答案 B8．(2022·潍坊一模)已知命题p，q，“綈p为真”是“p∧q为假”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析因为綈p为真，所以p为假，那么p∧q为假，所以“綈p为真”是“p∧q为假”的充分条件；反过来，若“p∧q为假”，则“p真q假”或“p假q真”或“p假q假”，所以由“p∧q为假”不能推出“綈p为真”．综上可知，“綈p为真”是“p∧q为假”的充分不必要条件．9．(2022·江南十校联考)已知命题p：复数z满足(1－i)z＝1＋i，则|z|＝1，命题q：复数z＝1－2i 在复平面内对应的点位于第二象限．则下列命题为真命题的是( ) A ．p ∧q B ．p ∨q C ．綈p D ．q答案 B解析 由(1－i)z ＝1＋i ，得z ＝i ，从而|z |＝1，故命题p 为真命题；复数z ＝1－2i 在复平面内对应的点位于第四象限，故命题q 为假命题．故p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，綈p 为假命题．故选B.10．(2022·湖南邵阳高三大联考)若命题“∃x 0∈R ，x 02＋2mx 0＋m ＋2<0”为假命题，则m 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1)∪[2，＋∞) B ．(－∞，－1)∪(2，＋∞) C ．[－1，2] D ．(－1，2)答案 C解析 命题的否定是“∀x ∈R ，x 2＋2mx ＋m ＋2≥0”，该命题为真命题，所以Δ＝4m 2－4(m ＋2)≤0，解得－1≤m ≤2.故选C.11．(2022·山东聊城期末)下列命题是真命题的是( ) A ．∀φ∈R ，函数f (x )＝sin(2x ＋φ)都不是偶函数 B ．∃α0，β0∈R ，使cos(α0＋β0)＝cos α0＋cos β0C ．向量a ＝(2，1)，b ＝(－1，0)，则a 在b 的方向上的投影为2D ．“|x |≤1”是“x ≤1”的既不充分又不必要条件 答案 B解析 当φ＝π2时，f (x )＝cos 2x ，为偶函数，故A 为假命题；令α0＝π4，β0＝－π2，则cos(α0＋β0)＝cos ⎝⎛⎭⎫－π4＝22，cos α0＋cos β0＝22＋0＝22，cos(α0＋β0)＝cos α0＋cos β0成立，故B 为真命题；a 在b 的方向上的投影为a ·b |b |＝－2＋01＝－2，故C 为假命题；由|x |≤1，可得－1≤x ≤1，故充分性成立，若x ≤1，|x |≤1不一定成立，故“|x |≤1”是“x ≤1”的充分不必要条件，D 为假命题．12．(2019·课标全国Ⅲ，文)记不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥6，2x －y ≥0表示的平面区域为D .命题p ：∃(x ，y )∈D ，2x ＋y ≥9；命题q ：∀(x ，y )∈D ，2x ＋y ≤12.下面给出了四个命题： ①p ∨q ②綈p ∨q ③p ∧綈q ④綈p ∧綈q 这四个命题中，所有真命题的编号是( ) A ．①③B ．①②C．②③D．③④答案 A解析方法一：作出不等式组表示的平面区域D，如图中阴影部分所示，直线2x＋y＝9和直线2x＋y＝12均穿过了平面区域D，不等式2x＋y≥9表示的区域为直线2x＋y＝9及其右上方的区域，所以命题p为真命题；不等式2x＋y≤12表示的区域为直线2x＋y＝12及其左下方的区域，所以命题q为假命题．所以命题p∨q和p∧綈q为真命题．故选A.方法二：在不等式组表示的平面区域D内取点(7，0)，点(7，0)的坐标满足不等式2x＋y≥9，所以命题p为真命题；点(7，0)的坐标不满足不等式2x＋y≤12，所以命题q为假命题．所以命题p∨q和p∧綈q为真命题．故选A.13．已知命题p：∃x0∈R，mx02＋1≤0；命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0.若p∨q为假命题，则实数m的取值范围为()A．{m|m≥2} B．{m|m≤－2}C．{m|m≤－2或m≥2} D．{m|－2≤m≤2}答案 A解析由p：∃x0∈R，mx02＋1≤0，可得m<0；由q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0，可得Δ＝m2－4<0，解得－2<m<2.因为p∨q为假命题，所以p与q都是假命题，若p是假命题，则有m≥0；若q是假命题，则有m≤－2或m≥2，故实数m的取值范围为{m|m≥2}．故选A.14．已知命题p：1x2－x－2>0，则綈p对应的x的集合为________．答案{x|－1≤x≤2}解析p：1x2－x－2>0⇔x>2或x<－1，∴綈p：－1≤x≤2.15．(1)已知命题“∀x∈R，sin x－a≥0”是真命题，则a的取值范围是________．答案(－∞，－1]解析由题意，对∀x∈R，a≤sin x成立．由于对∀x∈R，－1≤sin x≤1，所以a≤－1. (2)若命题“∃x0∈R，x02＋(a－1)x0＋1≤0”为假命题，则实数a的取值范围为________．答案(－1，3)解析由“∃x0∈R，x02＋(a－1)x0＋1≤0”为假命题，得“∀x∈R，x2＋(a－1)x＋1>0”为真命题，所以Δ＝(a－1)2－4<0，解得－1<a<3，所以a的取值范围为(－1，3)．16．(2014·课标全国Ⅰ)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －2y ≤4的解集记为D ，有下面四个命题：p 1：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥－2； p 2：∃(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥2； p 3：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤3； p 4：∃(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤－1. 其中的真命题是( ) A ．p 2，p 3 B ．p 1，p 4 C ．p 1，p 2 D ．p 1，p 3答案 C解析 画出可行域如图中阴影部分所示，由图可知，当目标函数z ＝x ＋2y 经过可行域内的点A (2，－1)时，z 取得最小值0，故x ＋2y ≥0，因此p 1，p 2是真命题，选C.17．若f (x )＝x 2－2x ，g (x )＝ax ＋2(a >0)，∀x 1∈[－1，2]，∃x 0∈[－1，2]，使g (x 1)＝f (x 0)，则实数a 的取值范围是________． 答案 ⎝⎛⎦⎤0，12 解析 由于函数g (x )在定义域[－1，2]内是任意取值的，且必存在x 0∈[－1，2]，使得g (x 1)＝f (x 0)，因此问题等价于函数g (x )的值域是函数f (x )值域的子集．在[－1，2]上，函数f (x )的值域是[－1，3]，函数g (x )的值域是[2－a ，2＋2a ]，则有2－a ≥－1且2＋2a ≤3，即a ≤12.又a >0，故a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，12. 【】题组层级快练(四)1．设集合P ＝{x |0≤x ≤2}，Q ＝{y |0≤y ≤2}，则图中能表示P 到Q 的函数的是( )答案 D解析 A 、B 中都有一个x 对应2个y 的情形，C 中1<x ≤2时，没有y 与之对应． 2．下列各组函数中，表示同一函数的是( ) A ．f (x )＝x ＋2，x ∈R 与g (x )＝x ＋2，x ∈Z B ．f (x )＝x －1与g (x )＝x 2－1x ＋1C ．f (u )＝1＋u1－u与f (v )＝1＋v1－vD ．y ＝f (x )与y ＝f (x ＋1) 答案 C3．函数y ＝|x |（x －1） 的定义域为( ) A ．{x |x ≥1} B ．{x |x ≥1或x ＝0} C ．{x |x ≥0} D ．{x |x ＝0}答案 B解析 由题意得|x |(x －1)≥0，∴x －1≥0或|x |＝0. ∴x ≥1或x ＝0.4．已知f (x 5)＝lg x ，则f (2)等于( ) A ．lg 2 B ．lg 32 C ．lg132D.15lg 2 答案 D 解析 令x 5＝t ，则x ＝t 15(t >0)，∴f (t )＝lg t 15＝15lg t ．∴f (2)＝15lg 2.故选D.5．(2021·皖南八校联考)下列函数中，与函数y ＝13x定义域相同的函数为( )A ．y ＝1sin xB ．y ＝ln xxC ．y ＝x e xD ．y ＝sin xx答案 D解析 y ＝13x的定义域为{x |x ≠0}，而y ＝1sin x 的定义域为{x |x ≠k π，k ∈Z }，y ＝ln xx 的定义域为{x |x >0}，y ＝x e x 的定义域为R ，y ＝sin xx的定义域为{x |x ≠0}，故选D.6．(2022·德州一中模拟)已知函数f (x )＝x [x ]，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[－1.2]＝－2，[－3]＝－3，[2.1]＝2，则f (－2)的值为( ) A ．－2 2 B ．2 2 C ．－ 2 D. 2答案 B解析 ∵[－2]＝－2，∴f (－2)＝－2×(－2)＝2 2.故选B.7．已知函数f (x )对任意实数x 满足f (2x －1)＝2x 2，若f (m )＝2，则m ＝( ) A ．1 B ．0 C ．1或－3 D ．3或－1 答案 C解析 本题考查函数的概念与解析式的求解．令2x －1＝t ，t ∈R ，可得x ＝12(t ＋1)，故f (t )＝2×14×(t ＋1)2＝12(t ＋1)2，故f (m )＝12(m ＋1)2＝2，故m ＝1或m ＝－3.8．(2022·福州模拟)已知函数f (x )的定义域为(－1，1)，则函数g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x 2＋f (x －1)的定义域为( ) A ．(－2，0) B ．(－2，2) C ．(0，2) D.⎝⎛⎭⎫－12，0 答案 C9．设x ∈R ，定义符号函数sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，则函数f (x )＝|x |sgn x 的大致图象是( )答案 C解析 函数f (x )＝|x |sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x >0，0，x ＝0，x ，x <0，故函数f (x )＝|x |sgn x 的图象为直线y ＝x .故选C.10．(2022·江南十校模拟)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x －3，x ≤2，log 2（x －1），x >2，则不等式f (x )>2的解集是( )A ．(－∞，－1)B ．(－∞，－1)∪(5，＋∞)C ．(5，＋∞)D ．(－∞，1)∪(3，＋∞)答案 B解析 当x ≤2时，f (x )＝x 2－4x －3>2，即x 2－4x －5>0，解得x <－1或x >5，故x <－1； 当x >2时，f (x )＝log 2(x －1)>2，即log 2(x －1)>log 24，解得x >5，故x >5. 综上所述，不等式f (x )>2的解集是(－∞，－1)∪(5，＋∞)．11．(2022·烟台调研)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －3，x <1，ln x ，x ≥1，则关于函数f (x )的说法不正确的是( )A ．定义域为RB ．值域为(－3，＋∞)C ．在R 上为增函数D ．只有一个零点答案 B解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －3，x <1，ln x ，x ≥1，∴f (x )的定义域为R ，值域为(－3，e －3)∪[0，＋∞)，且e －3<0，∴f (x )在R 上为增函数，且f (1)＝0，∴f (x )只有一个零点．故A 、C 、D 正确，B 不正确．12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋b ，x <1，2x －1，x ≥1，若f (f (－1))＝3，则b ＝________．答案 3解析 ∵f (－1)＝b －1，∴f (b －1)＝3，当b －1≥1即b ≥2时，2b －1－1＝3，解得b ＝3，当b －1<1即b <2时，b －1＋b ＝3，解得b ＝2(舍)，综上有b ＝3. 13．已知f ⎝⎛⎭⎫x －1x ＝x 2＋1x 2，则f (3)＝________． 答案 11解析 ∵f ⎝⎛⎭⎫x －1x ＝⎝⎛⎭⎫x －1x 2＋2， ∴f (x )＝x 2＋2(x ∈R )，∴f (3)＝32＋2＝11. 14．已知函数f (x )，g (x )分别由下表给出：则f (g (1))的值为________；满足f (g (x ))＞g (f (x ))的x 的值是________．答案 1 215．已知f (2x ＋1)＝x 2－2x ，则f (3)＝________，f (x )＝________． 答案 －1 14x 2－32x ＋54解析 令2x ＋1＝3，则x ＝1，∴f (3)＝12－2×1＝－1.令t ＝2x ＋1，∴x ＝t －12，∴f (t )＝⎝⎛⎭⎫t －122－2·t －12＝14(t 2－2t ＋1)－t ＋1＝14t 2－32t ＋54，∴f (x )＝14x 2－32x ＋54. 16．根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f (x )＝⎩⎨⎧cx ，x <A ，cA ，x ≥A(A ，c 为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，求c 和A 的值．答案 c ＝60，A ＝16解析 因为组装第A 件产品用时15分钟，所以c A ＝15①，所以必有4<A ，且c 4＝c2＝30②，联立①②解得c ＝60，A ＝16.17．(名师原创)将正整数12分解成两个正整数的乘积有1×12，2×6，3×4三种，其中3×4是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称3×4为12的最佳分解．当p ×q (p ≤q 且p ，q ∈N *)是正整数n 的最佳分解时，我们规定函数f (n )＝p q ，例如：f (12)＝34.关于函数f (n )有下列叙述：①f (7)＝17；②f (24)＝38；③f (28)＝47；④f (144)＝916，其中正确的为________．(填序号) 答案 ①③解析 对于①，∵7＝1×7，∴f (7)＝17，①正确；对于②，∵24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6，∴f (24)＝46＝23，②不正确；对于③，∵28＝1×28＝2×14＝4×7，∴f (28)＝47，③正确；对于④，∵144＝1×144＝2×72＝3×48＝4×36＝6×24＝8×18＝9×16＝12×12，∴f (144)＝1212＝1，④不正确．18.如图，在矩形ABCD 中，BA ＝3，CB ＝4，点P 在线段AD 上移动，CQ ⊥BP ，Q 为垂足．设BP ＝x ，CQ ＝y ，试求y 关于x 的函数表达式，并画出函数的图象．答案 y ＝12x (3≤x ≤5)，图象见解析解析 由题意，得△CQB ∽△BAP ，所以CQ BA ＝CB BP ，即y 3＝4x .所以y ＝12x .连接BD ，因为BA ≤BP ≤BD ，而BA ＝3，CB ＝AD ＝4，所以BD ＝32＋42＝5，所以3≤x ≤5.故所求的函数表达式为y ＝12x(3≤x ≤5)．如图所示，曲线MN 就是所求的函数图象．【】专题层级快练(五)1．(2022·上海市杨浦区高三期末)下列函数中，值域为(0，＋∞)的是( ) A ．y ＝x 2 B ．y ＝2xC ．y ＝2xD ．y ＝|log 2x |答案 C解析 函数y ＝x 2的值域为[0，＋∞)，故排除A ； 函数y ＝2x 的值域为{y |y ≠0}，故排除B ；函数y ＝2x 的值域为(0，＋∞)，故C 满足条件； 函数y ＝|log 2x |的值域为[0，＋∞)，故排除D.故选C. 2．函数y ＝1－|x |1＋|x |的值域为( )A ．(－1，1)B ．[－1，1)C ．(－1，1]D ．[－1，1]答案 C解析 方法一(分离常数法)： y ＝1－|x |1＋|x |＝－1＋21＋|x |， ∵|x |≥0，∴|x |＋1≥1，∴0<2|x |＋1≤2.∴－1<－1＋21＋|x |≤1.即函数值域为(－1，1]． 方法二(反解法)：由y ＝1－|x |1＋|x |，得|x |＝1－y 1＋y .∵|x |≥0，∴1－y1＋y≥0，∴－1<y ≤1， 即函数值域为(－1，1]．故选C.3．函数y ＝2－－x 2＋4x 的值域是( ) A ．[－2，2] B ．[1，2] C ．[0，2] D ．[－2，2]答案 C解析 要使函数有意义，则有－x 2＋4x ≥0， ∴x 2－4x ≤0，∴0≤x ≤4，即x ∈[0，4]． ∵－x 2＋4x ＝－(x －2)2＋4， ∴0≤－(x －2)2＋4≤4，即0≤－x 2＋4x ≤2，∴－2≤－－x 2＋4x ≤0， ∴0≤2－－x 2＋4x ≤2， ∴0≤y ≤2，即y ∈[0，2]．故选C. 4．函数y ＝1＋x －1－2x 的值域为( ) A.⎝⎛⎭⎫－∞，32 B.⎝⎛⎦⎤－∞，32 C.⎝⎛⎭⎫32，＋∞ D.⎣⎡⎭⎫32，＋∞ 答案 B解析 设1－2x ＝t ，则t ≥0，x ＝1－t 22，所以y ＝1＋1－t 22－t ＝12(－t 2－2t ＋3)＝－12(t ＋1)2＋2，因为t ≥0，所以y ≤32.所以函数y ＝1＋x －1－2x 的值域为⎝⎛⎦⎤－∞，32.故选B. 5．(2022·昆明第一中学摸底)函数y ＝ln x ＋1ln x 的值域为( )A ．(－∞，－2]B ．[2，＋∞)C ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)D ．[－2，2] 答案 C解析 当x >1时，y ＝ln x ＋1ln x≥2ln x ·1ln x＝2，当且仅当x ＝e 时等号成立；当0<x <1时，y ＝ln x ＋1ln x＝－⎣⎡⎦⎤（－ln x ）＋⎝⎛⎭⎫－1ln x ≤－2（－ln x ）·⎝⎛⎭⎫－1ln x ＝－2，当且仅当x ＝1e时等号成立， 所以函数的值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)．故选C.6．(2022·山东菏泽模拟)已知函数f (x )＝log 2x 的值域是[1，2]，则函数φ(x )＝f (2x )＋f (x 2)的定义域为( ) A ．[2，2] B ．[2，4] C ．[4，8] D ．[1，2]答案 A解析 ∵f (x )的值域为[1，2]，∴1≤log 2x ≤2， ∴2≤x ≤4，∴f (x )的定义域为[2，4]， ∴φ(x )＝f (2x )＋f (x 2)的自变量x 满足⎩⎪⎨⎪⎧2≤2x ≤4，2≤x 2≤4，解得2≤x ≤2.∴φ(x )的定义域为[2，2]．故选A.7．定义运算a *b ，a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a （a ≤b ），b （a >b ），例如1*2＝1，则函数y ＝1*2x 的值域为( )A ．(0，1)B ．(－∞，1)C ．[1，＋∞) D.(]0，1答案 D解析 当1≤2x ，即x ≥0时，函数y ＝1*2x ＝1，当1＞2x ，即x ＜0时，函数y ＝1*2x ＝2x ，由图知，函数y ＝1*2x 的值域为(0，1]．故选D. 8．下列函数中，值域为[2，＋∞)的是( ) A ．y ＝x 2－x ＋94B ．y ＝x ＋1x (x ≥2)C ．y ＝e sin xD ．y ＝(x ＋1)－23答案 A解析 ∵y ＝x 2－x ＋94＝⎝⎛⎭⎫x －122＋2≥2，∴A 满足题意．∵y ＝x ＋1x ，当x ≥2时为增函数，∴y ≥52，∴排除B.∵－1≤sin x ≤1，∴y ＝e sin x ∈⎣⎡⎦⎤1e ，e ，∴排除C. ∵y ＝(x ＋1)－23＝13（x ＋1）2，值域为(0，＋∞)，∴排除D.9．若对函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)作x ＝h (t )的代换，则不能改变函数f (x )的值域的代换是( ) A ．h (t )＝10t B ．h (t )＝t 2 C ．h (t )＝sin t D ．h (t )＝log 2t答案 D10．下列函数中，同一 同的是( ) A ．y ＝x ＋1＋1 B ．y ＝|ln x | C ．y ＝13x －1D ．y ＝x ＋1x －1答案 D解析 对于A ，定义域为[－1，＋∞)，值域为[1，＋∞)，不满足题意；对于B ，定义域为(0，＋∞)，值域为[0，＋∞)，不满足题意；对于C ，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域为(－∞，－1)∪(0，＋∞)，不满足题意；对于D ，y ＝x ＋1x －1＝1＋2x －1，定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，值域也是(－∞，1)∪(1，＋∞)． 11．(1)函数y ＝10x ＋10－x10x －10－x的值域为________．(2)(2022·广东梅州市检测)函数y ＝x 2＋41－2x 2的值域是________． 答案 (1)(－∞，－1)∪(1，＋∞) (2)⎣⎡⎦⎤12，4 解析 (1)由y ＝10x ＋10－x 10x －10－x ，得x ≠0，y ＋1y －1＝102x . ∵102x >0且不为1，∴y ＋1y －1>0且不为1.∴y <－1或y >1.即函数值域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)． (2)令t ＝1－2x 2，则x 2＝1－t 22， 由x 2≥0和二次根式的非负性，得0≤t ≤1， 则y ＝1－t 22＋4t ＝－12t 2＋4t ＋12，易得函数的值域为⎣⎡⎦⎤12，4.12．函数y ＝x 4＋x 2＋1的值域是________；y ＝x 4－x 2＋1的值域是________． 答案 [1，＋∞) ⎣⎡⎭⎫34，＋∞13．(2022·沧衡八校联盟)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ＋1，x <1，1x ，x >1的值域为________．答案 (0，＋∞) 解析 当x <1时，f (x )＝x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34≥34； 当x >1时，f (x )＝1x∈(0，1)，综上可得，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ＋1，x <1，1x ，x >1的值域为(0，＋∞)．14．函数y ＝x 2＋x ＋1x ＋1的值域为________．答案 (－∞，－3]∪[1，＋∞) 解析 方法一(判别式法)：由y ＝x 2＋x ＋1x ＋1，得x 2＋(1－y )x ＋1－y ＝0.∵x ∈(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，∴Δ＝(1－y )2－4(1－y )≥0.解得y ≤－3或y ≥1. 当y ＝－3时，x ＝－2；当y ＝1时，x ＝0， ∴函数的值域为(－∞，－3]∪[1，＋∞)． 方法二(分离常数法)：y ＝x 2＋x ＋1x ＋1＝（x ＋1）2－（x ＋1）＋1x ＋1＝(x ＋1)＋1x ＋1－1，当x >－1时，(x ＋1)＋1x ＋1≥2，当且仅当x ＝0时取等号；当x <－1时，(x ＋1)＋1x ＋1≤－2，当且仅当x ＝－2时取等号， ∴y ≥1或y ≤－3.∴函数的值域为(－∞，－3]∪[1，＋∞)．15．(2022·江西省顶级名校模拟)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x >2(a >0且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是________． 答案 (1，2]解析 当x ≤2时，f (x )＝6－x ≥4，当x >2时，f (x )＝3＋log a x ，当a >1时，3＋log a x >3＋log a 2≥4，解得1<a ≤2；当0<a <1时，3＋log a x <3＋log a 2<3，不合题意，故实数a 的取值范围是1<a ≤2. 16．已知函数f (x )＝lg[(a 2－1)x 2＋(a ＋1)x ＋1]． (1)若f (x )的定义域为R ，求实数a 的取值范围；(2)若f (x )的值域为R ，求实数a 的取值范围． 答案 (1)(－∞，－1]∪⎝⎛⎭⎫53，＋∞ (2)⎣⎡⎦⎤1，53 解析 (1)依题意(a 2－1)x 2＋(a ＋1)x ＋1>0对一切x ∈R 恒成立，当a 2－1≠0时，其充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1>0，Δ＝（a ＋1）2－4（a 2－1）<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >1或a <－1，a ＞53或a <－1. ∴a <－1或a >53.若a 2－1＝0，则a ＝±1，当a ＝－1时，f (x )＝0，满足题意；当a ＝1时，f (x )＝lg(2x ＋1)，不合题意． ∴a ≤－1或a >53.即a 的取值范围为(－∞，－1]∪⎝⎛⎭⎫53，＋∞. (2)当a 2－1＝0时，a ＝1或－1，检验得a ＝1满足题意． 当a 2－1≠0时，若f (x )的值域为R ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1>0，Δ＝（a ＋1）2－4（a 2－1）≥0，解得1<a ≤53. 综上得a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤1，53.17．(2022·山东枣庄市三中月考)已知函数f (x )＝32x －2·3x ＋2，定义域为M ，值域为[1，2]，则下列说法中不正确的是( ) A ．M ＝[0，log 32] B ．M ⊆(－∞，log 32] C ．log 32∈M D ．0∈M答案 A解析 令t ＝3x (t >0)，则原函数等价于g (t )＝t 2－2t ＋2＝(t －1)2＋1(t >0)， 由g (t )＝1，得t ＝1，即3x ＝1，得x ＝0； 由g (t )＝2，得t ＝0(舍)或2，即x ＝log 32.根据g (t )的图象特征，知0∈M ，log 32∈M ，M ⊆(－∞，log 32]．A 错误，故选A.18．(2022·沧州七校联考)设函数f (x )＝2x 1＋2x －12，[x ]表示不超过x 的最大整数，则函数y ＝[f (x )]的值域为( ) A ．{0} B ．{－1，0} C ．{－1，0，1}D ．{－2，0}解析 ∵f (x )＝1－12x ＋1－12＝12－12x ＋1，又2x >0，∴－12<f (x )<12.∴y ＝[f (x )]的值域为{－1，0}．【】题组层级快练(六)1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝(x －1)2 C ．y ＝2－x D ．y ＝log 0.5(x ＋1)答案 A解析 A 中，函数y ＝x ＋1在[－1，＋∞)上为增函数，所以函数在(0，＋∞)上为增函数，故正确；B 中，函数y ＝(x －1)2在(－∞，1)上为减函数，在[1，＋∞)上为增函数，故错误；C 中，函数y ＝2－x＝⎝⎛⎭⎫12x在R 上为减函数，故错误；D 中，函数y ＝log 0.5(x ＋1)在(－1，＋∞)上为减函数，故错误．2．若函数y ＝x 2＋bx ＋c (x ∈[0，＋∞))是单调函数，则实数b 的取值范围是( ) A ．b ≥0 B ．b ≤0 C ．b >0 D ．b <0答案 A3．函数f (x )＝x －2x －1( )A ．在(－1，＋∞)上单调递增B ．在(1，＋∞)上单调递增C ．在(－1，＋∞)上单调递减D ．在(1，＋∞)上单调递减 答案 B 解析 f (x )＝1－1x －1，∴f (x )的图象可由y ＝－1x 的图象沿x 轴向右平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度得到，如图所示． 4．函数f (x )＝x |x －2|的单调递减区间是( ) A ．[1，2] B ．[－1，0] C ．[0，2]D ．[2，＋∞)解析 f (x )＝x |x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥2，－x 2＋2x ，x <2，其图象如图，结合图象可知函数的单调递减区间是[1，2]．故选A.5．函数f (x )＝log 0.5(x ＋1)＋log 0.5(x －3)的单调递减区间是( ) A ．(3，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．(－∞，1) D ．(－∞，－1)答案 A解析 由已知易得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，x －3>0，即x >3，又0<0.5<1，∴f (x )在(3，＋∞)上单调递减．6．若函数f (x )＝x 2－2x ＋m 在[3，＋∞)上的最小值为1，则实数m 的值为( ) A ．－3 B ．－2 C ．－1 D ．1答案 B解析 ∵f (x )＝(x －1)2＋m －1在[3，＋∞)上为增函数，且f (x )在[3，＋∞)上的最小值为1，∴f (3)＝1，即3＋m ＝1，∴m ＝－2.故选B.7．已知f (x )为R 上的减函数，则满足f ⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪1x <f (1)的实数x 的取值范围是( ) A ．(－1，1) B ．(0，1)C ．(－1，0)∪(0，1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)答案 C解析 由已知得⎪⎪⎪⎪1x >1⇒－1<x <0或0<x <1.故选C.8．(2022·广东省佛山市佛山一中月考)已知函数f (x )是定义域为[0，＋∞)的减函数，且f (2)＝－1，则满足f (2x －4)>－1的实数x 的取值范围是( ) A ．(3，＋∞) B ．(－∞，3) C ．[2，3) D ．[0，3)答案 C解析 f (x )在定义域[0，＋∞)上是减函数，且f (2)＝－1，∴f (2x －4)>－1可化为f (2x －4)>f (2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －4≥0，2x －4<2，解得2≤x <3. 9．(2022·昆明诊断考试)已知函数f (x )＝e x ＋e －x ，则( ) A ．f (－2)<f (e)<f (5) B ．f (e)<f (－2)<f (5) C ．f (5)<f (e)<f (－2)D ．f (－2)<f (5)<f (e)解析 因为f (x )定义域为R ，且f (－x )＝e －x ＋e x ＝f (x )，所以函数f (x )为偶函数．又当x >0时，f ′(x )＝e x －1e x >0，所以函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增．因为2<5<e ，所以f (2)<f (5)<f (e)，又f (－2)＝f (2)，所以f (－2)<f (5)<f (e)．故选D.10．某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月二氧化碳的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为y ＝12x 2－200x ＋80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．以下判断正确的是( ) A ．该单位每月二氧化碳的处理量为200吨时，才能使每吨的平均处理成本最低 B ．该单位每月最低可获利20 000元 C ．该单位每月不获利，也不亏损D ．每月需要国家至少补贴40 000元才能使该单位不亏损 答案 D解析 显然x >0，所以每吨的平均处理成本y x ＝12x ＋80 000x －200≥212x ·80 000x－200＝2×200－200＝200，当且仅当12x ＝80 000x 即x ＝400时，取等号．所以A 错误．设该单位每月获利为S 元，则S ＝100x －y ＝100x －(12x 2－200x ＋80 000)＝－12(x －300)2－35 000，因为400≤x ≤600，所以当x ＝400时，S 有最大值－40 000.所以每月需要国家至少补贴40 000元才能使该单位不亏损．D 正确．B 、C 错误． 11．在给出的下列4个条件中，①⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，x ∈（－∞，0）； ②⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，x ∈（0，＋∞）； ③⎩⎪⎨⎪⎧a >1，x ∈（－∞，0）； ④⎩⎪⎨⎪⎧a >1，x ∈（0，＋∞）. 能使函数y ＝log a 1x 2为减函数的是________(把你认为正确的条件编号都填上)．答案 ①④解析 利用复合函数的性质知①④正确．12．函数y ＝x －x (x ≥0)的最大值为________． 答案 14解析 令t ＝x ，则t ≥0， 所以y ＝t －t 2＝－⎝⎛⎭⎫t －122＋14， 所以当t ＝12，即x ＝14时，y max ＝14.13．函数f (x )＝－ax ＋b (a >0)在⎣⎡⎦⎤12，2上的值域为⎣⎡⎦⎤12，2，则a ＝________，b ＝________． 答案 1 52解析 因为f (x )＝－ax＋b (a >0)在⎣⎡⎦⎤12，2上是增函数，所以f ⎝⎛⎭⎫12＝12，f (2)＝2. 即⎩⎨⎧－2a ＋b ＝12，－a2＋b ＝2，解得a ＝1，b ＝52.14．若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调递增区间是[3，＋∞)，则a ＝________． 答案 －6解析 画图知函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎭⎫－a 2，＋∞，故3＝－a2，解得a ＝－6. 15．(2022·西安五校联考)若函数f (x )＝e x －e －x ，则不等式f (2x ＋1)＋f (x －2)>0的解集为________． 答案 ⎝⎛⎭⎫13，＋∞ 解析 由f (x )定义域为R ，且f (－x )＝－f (x )，知f (x )＝e x －e －x 为奇函数，又易证在定义域R 上，f (x )是增函数，则不等式f (2x ＋1)＋f (x －2)>0等价于f (2x ＋1)>－f (x －2)＝f (－x ＋2)，则2x ＋1>－x ＋2，即x >13，故不等式的解集为⎝⎛⎭⎫13，＋∞.16．(2021·《高考调研》原创题)若log 5x ＋log 51y >e －x －e －y ，则( )A ．(x －1)2>(y －1)2B ．(x －1)2<(y －1)2C ．x 2<y 2D ．x 2>y 2答案 D解析 由log 5x ＋log 51y >e －x －e －y ，得log 5x －e －x >log 5y －e －y ，令f (t )＝log 5t －e －t ，∵y ＝log 5t为(0，＋∞)上的增函数，y ＝－e－t为R 上的增函数，∴f (t )为(0，＋∞)上的增函数，∴由f (x )>f (y )，得x >y >0，∴x 2>y 2.故选D.17．(2021·沧州七校联考)已知函数f (x )＝2ax 2＋4(a －3)x ＋5在区间(－∞，3)上是减函数，则a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，34 B.⎣⎡⎭⎫0，34 C.⎝⎛⎦⎤0，34 D.⎣⎡⎦⎤0，34 答案 D解析 当a ＝0时，f (x )＝－12x ＋5， 在(－∞，3)上是减函数； 当a ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧a >0，－4（a －3）4a ≥3，得0<a ≤34.综上，a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，34.【】题组层级快练(七)1．(2022·合肥质检)下列函数中，既是偶函数，又在(0，＋∞)上单调递减的函数是( ) A ．y ＝|x |＋1 B ．y ＝－x 2＋1 C ．y ＝ln x 2 D ．y ＝cos x x答案 B2．(2022·唐山市高三测试)设函数f (x )＝x (e x ＋e －x )，则f (x )( ) A ．是奇函数，且在(0，＋∞)上单调递增 B ．是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增 C ．是奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减 D ．是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减 答案 A解析 方法一：由条件可知，f (x )定义域为R ，且f (－x )＝－x (e －x ＋e x )＝－x (e x ＋e －x )＝－f (x )，故f (x )为奇函数．f ′(x )＝e x ＋e －x ＋x (e x －e －x )，当x >0时，e x >e －x ，所以x (e x －e －x )>0，又e x ＋e －x >0，所以f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增．故选A.方法二：根据题意知f (－1)＝－f (1)，所以排除B 、D.易知f (1)<f (2)，所以排除C.故选A.3．(2022·浙江宁波十校联考)已知函数f (x )＝x 3＋sin x ＋1(x ∈R )．若f (m )＝2，则f (－m )的值为( ) A ．3 B ．0 C ．－1 D ．－2答案 B解析 把f (x )＝x 3＋sin x ＋1变形为f (x )－1＝x 3＋sin x ．令g (x )＝f (x )－1＝x 3＋sin x ，x ∈R ，则g (x )为奇函数，有g (－m )＝－g (m )，所以f (－m )－1＝－[f (m )－1]，得到f (－m )＝－(2－1)＋1＝0.4．(2022·南昌市联考)函数f (x )＝9x ＋13x 的图象( )A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于坐标原点对称D ．关于直线y ＝x 对称答案 B解析 因为f (x )＝9x ＋13x ＝3x ＋3－x ，易知f (x )为偶函数，所以函数f (x )的图象关于y 轴对称．5．已知f (x )为奇函数，当x >0时，f (x )＝x (1＋x )，那么当x <0时，f (x )＝( ) A ．－x (1－x ) B ．x (1－x ) C ．－x (1＋x ) D ．x (1＋x )答案 B解析 当x <0时，则－x >0，∴f (－x )＝(－x )(1－x )．又f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝x (1－x )． 6．(2022·皖南八校联考)设f (x )是定义在R 上周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝x 2－x ，则f ⎝⎛⎭⎫－52＝( ) A ．－14B ．－12C.14D.12答案 C解析 因为f (x )是定义在R 上周期为2的奇函数，所以f ⎝⎛⎭⎫－52＝－f ⎝⎛⎭⎫52＝－f ⎝⎛⎭⎫12.又当0≤x ≤1时，f (x )＝x 2－x ，所以f ⎝⎛⎭⎫12＝⎝⎛⎭⎫122－12＝－14，则f ⎝⎛⎭⎫－52＝14. 7．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )，f (3－x )＝f (x )，则f (2 019)＝( ) A ．－3 B ．0 C ．1 D ．3答案 B解析 由题意得f (x )为奇函数，f (0)＝0，由f (3－x )＝f (x )，可得f (x ＋3)＝f (－x )＝－f (x )，。
高三新课标版·数学(理)总复习题组层级快练31 Word版含解析
题组层级快练(三十一)1．已知|a |＝6，|b |＝3，a ·b ＝－12，则向量a 在向量b 方向上的投影是( ) A ．－4 B ．4 C ．－2 D ．2 答案 A解析 ∵a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝18cos 〈a ，b 〉＝－12，∴cos 〈a ，b 〉＝－23.∴a 在b 方向上的投影是|a |cos 〈a ，b 〉＝－4.2．已知a ＝(1，2)，2a －b ＝(3，1)，则a ·b ＝( ) A ．2B ．3 C ．4 D ．5 答案 D解析 ∵a ＝(1，2)，2a －b ＝(3，1)，∴b ＝2a －(3，1)＝2(1，2)－(3，1)＝(－1，3)． ∴a ·b ＝(1，2)·(－1，3)＝－1＋2×3＝5.3．(2015·北京，文)设a ，b 是非零向量．“a ·b ＝|a ||b |”是“a ∥b ”的( ) A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 若a ·b ＝|a ||b |，则a 与b 的方向相同，所以a ∥b .若a ∥b ，则a ·b ＝|a ||b |，或a ·b ＝－|a ||b |，所以“a ·b ＝|a ||b |”是“a ∥b ”的充分而不必要条件，选A.4．(2016·课标全国Ⅱ)已知向量a ＝(1，m)，b ＝(3，－2)，且(a ＋b )⊥b ，则m ＝( ) A ．－8 B ．－6 C ．6 D ．8 答案 D解析 由向量的坐标运算得a ＋b ＝(4，m －2)，由(a ＋b )⊥b ，得(a ＋b )·b ＝12－2(m －2)＝0，解得m ＝8，故选D.5．设a ，b ，c 是单位向量，且a ＋b ＝c ，则a ·c 的值为( ) A ．2 B.12C ．3 D.13答案 B解析 由|a|＝|b|＝|c|＝1，b ＝c －a ，两边平方得b 2＝(c －a )2，∴1＝1＋1－2a ·c ，∴a ·c ＝12.6．已知平面向量a ，b ，|a |＝1，|b |＝3，且|2a ＋b |＝7，则向量a 与向量a ＋b 的夹角为( ) A.π2B.π3 C.π6D ．π 答案 B解析 由题意，得|2a ＋b |2＝4＋4a ·b ＋3＝7，所以a ·b ＝0，所以a ·(a ＋b )＝1，且|a ＋b |＝（a ＋b ）2＝2，故cos 〈a ，a ＋b 〉＝a ·（a ＋b ）|a |·|a ＋b |＝12，所以〈a ，a ＋b 〉＝π3，故选B.7．已知|a |＝1，|b |＝3，a ＋b ＝(3，1)，则a ＋b 与a －b 的夹角为( ) A.π6B.π3 C.2π3D.5π6 答案 C解析 由a ＋b ＝(3，1)得|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝4，又|a |＝1，|b |＝3，所以|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝1＋2a ·b ＋3＝4，解得2a ·b ＝0，所以|a －b |＝|a －b |2＝|a |2－2a ·b ＋|b |2＝2，设a ＋b 与a －b 的夹角为θ，则由夹角公式可得cos θ＝（a ＋b ）·（a －b ）|a ＋b ||a －b |＝|a |2－|b |22×2＝－12，且θ∈[0，π]，所以θ＝23π，即a ＋b 与a －b 的夹角为23π.8．(2017·人大附中模拟)已知a ，b 是非零向量，且向量a ，b 的夹角为π3，若向量p ＝a |a |＋b|b |，则|p |＝( ) A ．2＋3B.2＋ 3C ．3 D. 3 答案 D解析 ∵|p |2＝1＋1＋2cos π3，∴|p |＝ 3.9．如图所示，已知正六边形P 1P 2P 3P 4P 5P 6，则下列向量的数量积中最大的是( )A.P 1P 2→·P 1P 3→B.P 1P 2→·P 1P 4→C.P 1P 2→·P 1P 5→D.P 1P 2→·P 1P 6→ 答案 A解析 由于P 1P 2→⊥P 1P 5→，故其数量积是0，可排除C ；P 1P 2→与P 1P 6→的夹角为23π，故其数量积小于0，可排除D ；设正六边形的边长是a ，则P 1P 2→·P 1P 3→＝|P 1P 2→||P 1P 3→|cos30°＝32a 2，P 1P 2→·P 1P 4→＝|P 1P 2→||P 1P 4→|cos60°＝a 2.故选A.10．设非零向量a 、b 、c 满足|a |＝|b |＝|c |，a ＋b ＝c ，则〈a ，b 〉＝( ) A ．150°B ．120° C ．60°D ．30° 答案 B解析 设|a |＝m(m>0)，则由a ＋b ＝c 得(a ＋b )2＝c 2，2m 2＋2m 2cos 〈a ，b 〉＝m 2，cos 〈a ，b 〉＝－12.又0°≤〈a ，b 〉≤180°，因此〈a ，b 〉＝120°，选B.11．(2017·沧州七校联考)已知P 是边长为2的正三角形ABC 的边BC 上的动点，则AP →·(AB →＋AC →)( )A ．有最大值为8B ．是定值6C ．有最小值为2D ．与点的位置有关 答案 B解析 因为点P 在边BC 上，所以存在实数λ，使AP →＝λAB →＋(1－λ)AC →，所以AP →·(AB →＋AC →)＝[λAB →＋(1－λ)AC →]·(AB →＋AC →)＝4＋AB →·AC →＝6.故选B.12．(2016·北京，文)已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，1)，则a 与b 夹角的大小为________． 答案π6解析 a ·b ＝23，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝232×2＝32，又〈a ，b 〉∈[0，π]，∴〈a ，b 〉＝π6.13．设向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，a ·b ＝－12，则|a ＋2b |＝________．答案 3解析 |a ＋2b |2＝(a ＋2b )2＝|a |2＋4a ·b ＋4|b |2＝3，则|a ＋2b |＝3，故填 3.14．(2013·江西，理)设e 1，e 2为单位向量，且e 1，e 2的夹角为π3，若a ＝e 1＋3e 2，b ＝2e 1，则向量a 在b 方向上的投影为________． 答案 52解析 向量a 在b 方向上的投影为|a |·cos 〈a ，b 〉＝a·b|b|，又a·b ＝(e 1＋3e 2)·2e 1＝2e 12＋6e 1·e 2＝2＋6×12＝5，|b |＝|2e 1|＝2，∴|a |·cos 〈a ，b 〉＝52.15．(2017·衡水调研)若非零向量a ，b 满足|a |＝|b |，(2a ＋b )·b ＝0，则a 与b 的夹角为________． 答案 120°解析 ∵(2a ＋b )·b ＝0，∴2|a ||b |cos θ＋b 2＝0.由|a |＝|b |，可得cos θ＝－12.故填120°.16．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE →·CB →的值为________；DE →·DC →的最大值为________． 答案 1，1解析 以D 为坐标原点，建立平面直角坐标系如图所示．则D(0，0)，A(1，0)，B(1，1)，C(0，1)．设E(1，a)(0≤a ≤1)， 所以DE →·CB →＝(1，a)·(1，0)＝1，DE →·DC →＝(1，a)·(0，1)＝a ≤1.故DE →·DC →的最大值为1.17．设两个向量e 1，e 2满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1与e 2的夹角为π3，若向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围． 答案 (－7，－142)∪(－142，－12) 解析 由向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角为钝角，得（2t e 1＋7e 2）·（e 1＋t e 2）|2t e 1＋7e 2||e 1＋t e 2|<0，即(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)<0，化简即得2t 2＋15t ＋7<0，解得－7<t<－12.当夹角为π时，也有(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)<0， 但此时夹角不是钝角．设2t e 1＋7e 2＝λ(e 1＋t e 2)，λ<0，可求得⎩⎪⎨⎪⎧2t ＝λ，7＝λt ，λ<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－14，t ＝－142.∴所求实数t 的范围是(－7，－142)∪(－142，－12)．1．(2015·新课标全国Ⅱ，文)向量a ＝(1，－1)，b ＝(－1，2)，则(2a ＋b )·a ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2 答案 C解析 a ＝(1，－1)，b ＝(－1，2)，∴(2a ＋b )·a ＝(1，0)·(1，－1)＝1.2．(2017·保定模拟)若向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，(a ＋b )·b ＝32，则向量a ，b 的夹角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° 答案 C解析 ∵(a ＋b )·b ＝b 2＋a·b ＝1＋a·b ＝32，∴a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝12，cos 〈a ，b 〉＝12，〈a ，b 〉＝60°.故选C.3．已知向量a ＝(1，2)，a ·b ＝5，|a －b |＝25，则|b |等于( ) A.5B ．2 5 C ．5 D ．25 答案 C解析 由a ＝(1，2)，可得a 2＝|a |2＝12＋22＝5. ∵|a －b |＝25，∴a 2－2a ·b ＋b 2＝20.∴5－2×5＋b 2＝20.∴b 2＝25.∴|b |＝5，故选C.4．(2017·海淀区期末)设向量a ＝(1，0)，b ＝(12，12)，则下列结论中正确的是( )A ．|a |＝|b |B ．a ·b ＝22C ．a ∥bD ．a －b 与b 垂直 答案 D5．(2016·山东，文)已知向量a ＝(1，－1)，b ＝(6，－4)．若a ⊥(t a ＋b )，则实数t 的值为________． 答案 －5解析 根据已知，a 2＝2，a ·b ＝10.由a ⊥(t a ＋b )，得a ·(t a ＋b )＝t a 2＋a ·b ＝2t ＋10＝0，解得t ＝－5.6．(2015·浙江)已知e 1，e 2是平面单位向量，且e 1·e 2＝12.若平面向量b 满足b ·e 1＝b ·e 2＝1，则|b |＝________． 答案233解析 因为b ·e 1＝b ·e 2＝1，|e 1|＝|e 2|＝1，由数量积的几何意义，知b 在e 1，e 2方向上的投影相等，且都为1，所以b 与e 1，e 2所成的角相等．由e 1·e 2＝12，知e 1与e 2的夹角为60°，所以b 与e 1，e 2所成的角均为30°，即|b |cos30°＝1，所以|b |＝1cos30°＝233.7．(2017·辽宁抚顺一中月考)在△ABC 中，C ＝90°，且CA ＝CB ＝3，点M 满足BM →＝2MA →，则CM →·CB →＝( ) A ．2 B ．3 C ．－3 D ．6 答案 B解析 ∵BM →＝2MA →，∴BM →＝23BA →＝23(CA →－CB →)，∴CM →·CB →＝(CB →＋BM →)·CB →＝(13CB →＋23CA →)·CB →＝13CB →2＋23CB →·CA →＝3.故选B.8. (2017·山东师大附中模拟)如图，在圆O 中，若弦AB ＝3，弦AC ＝5，则AO →·BC →的值等于( )A ．－8B ．－1C ．1D ．8 答案 D解析 取BC →的中点D ，连接OD ，AD ，则OD →·BC →＝0且AO →＋OD →＝AD →，即AO →＝AD →－OD →.而AD →＝12(AB →＋AC →)，所以AO →·BC →＝AD →·BC →－OD →·BC →＝AD →·BC →＝12(AB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝12(AC →2－AB →2)＝12(52－32)＝8.故选D.9．若平面向量a ，b 满足|2a －b |≤3，则a ·b 的最小值是________． 答案 －98解析 由|2a －b |≤3可知，4a 2＋b 2－4a ·b ≤9，所以4a 2＋b 2≤9＋4a ·b .而4a 2＋b 2＝|2a |2＋|b |2≥2|2a |·|b |≥－4a ·b ，所以a ·b ≥－98，当且仅当2a ＝－b 时取等号．10．关于平面向量a ，b ，c ，有下列五个命题： ①若a·b ＝a·c ，则b ＝c ；②|a ·b |＝|a |·|b |⇔a ∥b ； ③a ⊥b ⇔|a ＋b |＝|a －b |；④|a |＝|b |⇔|a ·c |＝|b·c |；⑤若非零向量a 和b 满足|a |＝|b |＝|a －b |，则a 与a ＋b 的夹角为60°. 其中真命题的序号为______．(写出所有真命题的序号) 答案 ②③解析 ①由数量积定义a·b ＝|a |·|b |·cos θ，若a·b ＝a·c ，则|a |·|b |cos θ＝|a |·|c |cos φ.∴|b |·cos θ＝|c |cos φ，即只要b 和c 在a 上的投影相等， 则a·b ＝a·c .②中∵a·b ＝|a |·|b |cos θ，∴由|a·b |＝|a |·|b |及a ，b 为非零向量可得|cos θ|＝1，∴θ＝0或π，∴a ∥b 且以上各步均可逆，故命题②是真命题．③中当a ⊥b 时，将向量a ，b 的起点确定在同一点，则以向量a ，b 为邻边作平行四边形，则该平行四边形必为矩形，于是它的两对角线长相等．即有|a ＋b |＝|a －b |.反过来，若|a ＋b |＝|a －b |，则以a ，b 为邻边的四边形为矩形，所以有a ⊥b ，因此命题③是真命题． ④中当|a |＝|b |但a 与c 的夹角和b 与c 的夹角不等时，就有|a·c |≠|b·c |，反过来由|a·c |＝|b·c |也推不出|a |＝|b |.故命题④是假命题． ⑤如图所示，∵|a |＝|b |＝|a －b |，∴△OAB 为等边三角形．而a ＋b ＝OC →，∴a 与OC →夹角为30°.失分警示 解决向量问题常常要数形结合，a ·b 等于|a |乘以b 在a 方向上的投影，或等于|b |乘以a 在b 方向上的投影．11．已知向量a ＝(sin θ，3)，b ＝(1，cos θ)，θ∈(－π2，π2)．(1)若a ⊥b ，求θ； (2)求|a ＋b |的最大值． 答案 (1)－π3(2)3解析 (1)因为a ⊥b ，所以sin θ＋3cos θ＝0.得tan θ＝－ 3. 又θ∈(－π2，π2)，所以θ＝－π3.(2)因为|a ＋b |2＝(sin θ＋1)2＋(cos θ＋3)2＝5＋4sin (θ＋π3)，所以当θ＝π6时，|a ＋b |2的最大值为5＋4＝9.故|a ＋b |的最大值为3.12．已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61. (1)求a 与b 的夹角θ； (2)求|a ＋b |和|a －b |；(3)若AB →＝a ，AC →＝b ，作△ABC ，求△ABC 的面积． 答案 (1)120° (2)13，37 (3)3 3解析 (1)由(2a －3b )·(2a ＋b )＝61，得4|a |2－4a ·b －3|b |2＝61. ∵|a |＝4，|b |＝3，代入上式求得a ·b ＝－6. ∴cos θ＝a ·b |a |·|b |＝－64×3＝－12.又θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°. (2)可先平方转化为向量的数量积．|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝42＋2×(－6)＋32＝13，∴|a ＋b |＝13.同理，|a －b |＝a 2－2a ·b ＋b 2＝37.(3)先计算a ，b 夹角的正弦，再用面积公式求值． 由(1)知∠BAC ＝θ＝120°，|AB →|＝|a |＝4，|AC →|＝|b |＝3， ∴S △ABC ＝12|AC →|·|AB →|·sin ∠BAC ＝12×3×4×sin120°＝3 3.。
2022版高三新课标版·数学(理)总复习题组层级快练55 Word版含解析
题组层级快练(五十五)1．已知AB →＝(2，4，5)，CD →＝(3，x ，y)，若AB →∥CD →，则( ) A ．x ＝6，y ＝15 B ．x ＝3，y ＝152C ．x ＝3，y ＝15D ．x ＝6，y ＝152答案 D解析 ∵AB →∥CD →，∴32＝x 4＝y 5，∴x ＝6，y ＝152.2．已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，则平面ABC 的一个单位法向量是( ) A ．(33，33，－33) B ．(33，－33，33) C ．(－33，33，33) D ．(－33，－33，－33) 答案 D解析 AB →＝(－1，1，0)，AC →＝(－1，0，1)，设平面ABC 的一个法向量n ＝(x ，y ，z)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝0，－x ＋z ＝0. 令x ＝1，则y ＝1，z ＝1，∴n ＝(1，1，1)． 单位法向量为：±n |n |＝±(33，33，33)．3．若平面α的一个法向量为(1，2，0)，平面β的一个法向量为(2，－1，0)，则平面α和平面β的位置关系是( ) A ．平行 B ．相交但不垂直 C ．垂直 D ．重合答案 C解析 由(1，2，0)·(2，－1，0)＝1×2＋2×(－1)＋0×0＝0，知两平面的法向量相互垂直，所以两平面相互垂直．4．已知向量a ＝(2，－1，3)，b ＝(－1，4，－2)，c ＝(7，5，λ)．若a ，b ，c 三个向量共面，则实数λ等于( ) A.627 B.637 C.607D.657答案 D解析 由题意，得c ＝t a ＋μb ＝(2t －μ，－t ＋4μ，3t －2μ)，所以⎩⎪⎨⎪⎧7＝2t －μ，5＝－t ＋4μ，λ＝3t －2μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧t ＝337，μ＝177，λ＝657.故选D.5．已知AB →＝(1，5，－2)，BC →＝(3，1，z)，若AB →⊥BC →，BP →＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则实数x ，y ，z 分别为( ) A.337，－157，4 B.407，－157，4 C.407，－2，4 D ．4，407，－15答案 B解析 ∵AB →⊥BC →，∴AB →·BC →＝0，即3＋5－2z ＝0，得z ＝4，又BP ⊥平面ABC ，∴BP ⊥AB ，BP ⊥BC ，又∵BC →＝(3，1，4)，则⎩⎪⎨⎪⎧（x －1）＋5y ＋6＝0，3（x －1）＋y －12＝0，解得⎩⎨⎧x ＝407，y ＝－157.6．若平面α，β的法向量分别为n 1＝(2，4，5)，n 2＝(8，1，－4)，则( ) A ．α∥βB ．α⊥βC ．α，β相交但不垂直D ．以上均不正确答案 B7．设平面α与向量a ＝(－1，2，－4)垂直，平面β与向量b ＝(2，3，1)垂直，则平面α与β位置关系是________． 答案 垂直解析 由已知a ，b 分别是平面α，β的法向量． ∵a ·b ＝－2＋6－4＝0，∴a ⊥b ，∴α⊥β.8．下列命题中，全部正确命题的序号为________．①若n 1，n 2分别是平面α，β的法向量，则n 1∥n 2⇔α∥β； ②若n 1，n 2分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔n 1·n 2＝0； ③若n 是平面α的法向量，a ∥α，则n ·a ＝0；④若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面肯定不垂直． 答案 ①②③④9．(2021·东城区练习)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H ，M 分别是棱AD ，DD 1，D 1A 1，A 1A ，AB 的中点，点N 在四边形EFGH 的四边及其内部运动，则当N 只需满足条件________时，就有MN ⊥A 1C 1；当N 只需满足条件________时，就有MN ∥平面B 1D 1C. 答案 点N 在EG 上 点N 在EH 上解析 以D 点为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则M(1，12，0)，N(x ，0，z)，A 1C 1→＝(－1，1，0)，因此MN →·A 1C 1→＝(x －1，－12，z)·(－1，1，0)＝1－x －12＝0，即x ＝12，故点N 在EG 上，就有MN ⊥A 1C 1.设平面B 1D 1C 的一个法向量为n ＝(－1，1，1)，若MN ∥平面B 1D 1C ，则MN →·n ＝(x －1，－12，z)·(－1，1，1)＝1－x －12＋z ＝0，即x －z －12＝0，故点N 在EH上，应有MN ∥平面B 1D 1C.10.如右图所示，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的全部棱长都为2，D 为CC 1的中点．求证：AB 1⊥平面A 1BD. 答案 略证明 方法一：设平面A 1BD 内的任意一条直线m 的方向向量为m .由共面对量定理，则存在实数λ，μ，使m ＝λBA 1→＋μBD →.令BB 1→＝a ，BC →＝b ，BA →＝c ，明显它们不共面，并且|a |＝|b |＝|c |＝2，a ·b ＝a ·c ＝0，b ·c ＝2，以它们为空间的一组基底，则BA 1→＝a ＋c ，BD →＝12a ＋b ，AB 1→＝a －c ，m ＝λBA 1→＋μBD →＝(λ＋12μ)a ＋μb ＋λc ，AB 1→·m ＝(a －c )·[(λ＋12μ)a ＋μb ＋λc ]＝4(λ＋12μ)－2μ－4λ＝0.故AB 1→⊥m ，结论得证． 方法二：基向量的取法同上．∵AB 1→·BA 1→＝(a －c )·(a ＋c )＝|a |2－|c |2＝0，AB 1→·BD →＝(a －c )·(12a ＋b )＝12|a |2＋a ·b －12a ·c －b ·c ＝0，∴AB 1→⊥BA 1→，AB 1→⊥BD →，即AB 1⊥BA 1，AB 1⊥BD ，由直线和平面垂直的判定定理，知AB 1⊥平面A 1BD. 方法三：取BC 的中点O ，连接AO. ∵△ABC 为正三角形，∴AO ⊥BC.∵在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，平面ABC ⊥平面BCC 1B 1，∴AO ⊥平面BCC 1B 1.取B 1C 1的中点O 1，以O 为原点，OB →，OO 1→，OA →的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如下图所示，则B(1，0，0)，D(－1，1，0)，A 1(0，2，3)，A(0，0，3)，B 1(1，2，0)．设平面A 1BD 的法向量为n ＝(x ，y ，z)，BA 1→＝(－1，2，3)，BD →＝(－2，1，0)．则n ⊥BA 1→，n ⊥BD →，故⎩⎪⎨⎪⎧n ·BA 1→＝0，n ·BD →＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2y ＋3z ＝0，－2x ＋y ＝0，令x ＝1，则y ＝2，z ＝－ 3.故n ＝(1，2，－3)为平面A 1BD 的一个法向量，而AB 1→＝(1，2，－3)，∴AB 1→＝n ，即AB 1→∥n ，∴AB 1⊥平面A 1BD.11.如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是边长为a 的正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，且PA ＝PD ＝22AD ，设E ，F 分别为PC ，BD 的中点．(1)求证：EF ∥平面PAD ； (2)求证：平面PAB ⊥平面PDC. 答案 (1)略 (2)略 思路 建立空间直角坐标系(1)求平面法向量线线垂直线面平行(2)求平面法向量线面垂直面面垂直证明 如图，取AD 的中点O ，连接OP ，OF. 由于PA ＝PD ，所以PO ⊥AD.由于侧面PAD ⊥底面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ， 所以PO ⊥平面ABCD.又O ，F 分别为AD ，BD 的中点，所以OF ∥AB. 又ABCD 是正方形，所以OF ⊥AD. 由于PA ＝PD ＝22AD ，所以PA ⊥PD ，OP ＝OA ＝a 2. 以O 为原点，OA ，OF ，OP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则A(a 2，0，0)，F(0，a2，0)，D(－a 2，0，0)，P(0，0，a 2)，B(a 2，a ，0)，C(－a2，a ，0)．由于E 为PC 的中点，所以E(－a 4，a 2，a4)．(1)易知平面PAD 的一个法向量为OF →＝(0，a 2，0)，由于EF →＝(a 4，0，－a 4)，且OF →·EF →＝(0，a 2，0)·(a 4，0，－a 4)＝0，所以EF ∥平面PAD.(2)由于PA →＝(a 2，0，－a 2)，CD →＝(0，－a ，0)，所以PA →·CD →＝(a 2，0，－a 2)·(0，－a ，0)＝0，所以PA →⊥CD →，所以PA ⊥CD.又PA ⊥PD ，PD ∩CD ＝D ，所以PA ⊥平面PDC. 又PA ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PDC.12.如图所示，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面相互垂直，AB ＝2，AF ＝1，M 是线段EF 的中点．(1)求证：AM ∥平面BDE ； (2)求证：AM ⊥平面BDF. 答案 (1)略 (2)略证明 (1)建立如图所示的空间直角坐标系，设AC ∩BD ＝N ，连接NE. 则点N ，E 的坐标分别为(22，22，0)，(0，0，1)． ∴NE →＝(－22，－22，1)．又点A ，M 的坐标分别是(2，2，0)，(22，22，1)， ∴AM →＝(－22，－22，1)．∴NE →＝AM →且NE 与AM 不共线．∴NE ∥AM.又∵NE ⊂平面BDE ，AM ⊄平面BDE ，∴AM ∥平面BDE. (2)同(1)，AM →＝(－22，－22，1)，∵D(2，0，0)，F(2，2，1)，∴DF →＝(0，2，1)． ∴AM →·DF →＝0.∴AM →⊥DF →.同理AM →⊥BF →.又DF ∩BF ＝F ，∴AM ⊥平面BDF.13.已知在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，∠BAD ＝90°，2AB ＝2AD ＝CD ，侧面PAD 是正三角形且垂直于底面ABCD ，E 是PC 的中点．(1)求证：BE ⊥平面PCD ；(2)在PB 上是否存在一点F ，使AF ∥平面BDE? 答案 (1)略 (2)F 为PB 中点时，AF ∥平面BDE解析 (1)以AD 的中点O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．设AB ＝AD ＝2，则有B(1，2，0)，C(－1，4，0)， D(－1，0，0)，P(0，0，3)，E(－12，2，32)．∴BE →＝(－32，0，32)，PC →＝(－1，4，－3)，CD →＝(0，－4，0)．∴BE →·PC →＝(－32，0，32)·(－1，4，－3)＝0，BE →·CD →＝(－32，0，32)·(0，－4，0)＝0.即BE ⊥PC ，BE ⊥CD.又PC ∩CD ＝C ，∴BE ⊥平面PCD. (2)设平面BDE 的法向量为n ＝(x ，y ，z)，∵n ⊥BE →，n ⊥DE →，∴n ·BE →＝0，n ·DE →＝0.∴⎩⎨⎧－32x ＋32z ＝0，12x ＋2y ＋32z ＝0.令y ＝－1，则x ＝1，z ＝ 3.∴平面BDE 的一个法向量为n ＝(1，－1，3)． 取PB 中点F ，则有F(12，1，32)．又A(1，0，0)，∴AF →＝(－12，1，32)．∵AF →·n ＝(－12，1，32)·(1，－1，3)＝－12－1＋32＝0，∴AF →⊥n .又n 是平面BDE 的法向量，且AF ⊄平面BDE ， ∴AF ∥平面BDE.故存在PB 中点F 使AF ∥平面BDE.1.如右图所示，在底面是矩形的四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，E ，F 分别是PC ，PD 的中点，PA ＝AB ＝1，BC ＝2. (1)求证：EF ∥平面PAB ； (2)求证：平面PAD ⊥平面PDC. 答案 (1)略 (2)略思路 建立空间直角坐标系后，使用向量的共线定理证明EF →∥AB →即可证明第(1)问，第(2)问依据向量的垂直关系证明线线垂直，进而证明线面垂直，得出面面垂直．证明 以A 为原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系如下图所示，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，1)，所以E 为(12，1，12)，F 为(0，1，12)．EF →＝(－12，0，0)，PB →＝(1，0，－1)，PD →＝(0，2，－1)，AP →＝(0，0，1)，AD →＝(0，2，0)，DC →＝(1，0，0)，AB →＝(1，0，0)． (1)由于EF →＝－12AB →，所以EF →∥AB →，即EF ∥AB.又AB ⊂平面PAB ，EF ⊄平面PAB ，所以EF ∥平面PAB.(2)由于AP →·DC →＝(0，0，1)·(1，0，0)＝0，AD →·DC →＝(0，2，0)·(1，0，0)＝0，所以AP →⊥DC →，AD →⊥DC →，即AP ⊥DC ，AD ⊥DC.又AP ∩AD ＝A ，AP ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，所以DC ⊥平面PAD.由于DC ⊂平面PDC ，所以平面PAD ⊥平面PDC.2．(2021·衡水中学调研卷)如图所示，在四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，A 1D ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱A 1A ＝2.(1)证明：AC ⊥A 1B ；(2)是否在棱A 1A 上存在一点P ，使得AP →＝λPA 1→且面AB 1C 1⊥面PB 1C 1. 答案 (1)略 (2)点P 不存在解析 以DA ，DC ，DA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，A 1(0，0，3)，B(1，1，0)，D 1(－1，0，3)，B 1(0，1，3)，C 1(－1，1，3)． (1)AC →＝(－1，1，0)，A 1B →＝(1，1，－3)，∴AC →·A 1B →＝0，∴AC ⊥A 1B. (2)假设存在∵AP →＝λPA 1→，∴P(11＋λ，0，3λ1＋λ)．设平面AB 1C 1的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)， ∵AB 1→＝(－1，1，3)，AC 1→＝(－2，1，3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AB 1→＝－x 1＋y 1＋3z 1＝0，n 1·AC 1→＝－2x 1＋y 1＋3z 1＝0.令z 1＝3，则y 1＝－3，x 1＝0. ∴n 1＝(0，－3，3)．同理可求面PB 1C 1的一个法向量为n 2＝(0，3λ＋1，－1)，∴n 1·n 2＝0.∴－331＋λ－3＝0，即λ＝－4.∵P 在棱A 1A 上，∴λ>0冲突． ∴这样的点P 不存在．。