完全平方公式因式分解
第2课时 用完全平方公式进行因式分解
解:原式=a(x2+2ax+a2) =a(x+a)2
解:原式=-3(x2-2xy+y2) =-3(x-y)2
能提公因式的，要先提公因式再用完全平方公式进行因式分解
【例4】 利用完全平方公式分解因式：(1)1002－2×100×99+99²；(2)342＋34×32＋162.
解：(1)原式=（100－99)²
(2)原式＝(34＋16)2
=1.
＝2500.
【例5】 已知x2－4x＋y2－10y＋29＝0，求x2y2＋2xy＋1的值．
第十四章 整式的乘法与因式分解14.3 因式分解14.3.2 公式法第2课时 运用完全平方公式因式分解
1.能够运用完全平方公式进行因式分解（重点）2.能综合运用各种方法进行因式分解（难点）
学习目标
你能把下面4个图形拼成一个正方形并求出你拼成的图形的面积吗？
1.完全平方式
问题四 这两个多项式有什么共同的特点？
(4m)2
16m2 +8mn+n2；
=(4m+n)2 .
+2•(4m)
+n2
a2 - 2 ab + b2
y2
解:原式=
【例2】分解因式：（1）16x2+24x+9；（2）-x2+4xy-4y2.
解:原式=(4x)2+2∙4x∙3+32 =(4x+3)2
解:原式=-(x2-4xy+4y2) =-[x2-2∙x∙2y+(2y)2] =-(x-2y)2.
因式分解学案用完全平方公式分解学案
因式分解学案：用完全平方公式进行因式分解学案导语因式分解是数学中的重要内容之一，它有助于我们研究多项式的性质和解决实际问题。
在因式分解中，完全平方公式是一项非常有用的工具。
本学案将重点介绍如何使用完全平方公式进行因式分解，并结合一些实际例子来帮助学生更好地理解和掌握。
一、什么是完全平方公式完全平方公式是一种用于因式分解的工具，它能够将一个二次多项式分解为两个完全平方的乘积。
完全平方公式的一般形式为：$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$其中，$a$和$b$为任意实数。
二、应用完全平方公式进行因式分解的步骤使用完全平方公式进行因式分解的步骤如下：1. 首先，观察多项式是否符合完全平方公式的形式。
即判断多项式中是否存在两个项的和的平方。
2. 如果存在两个项的和的平方，将多项式化简为完全平方形式。
3. 将多项式因式分解为两个完全平方的乘积。
下面通过具体的例子来详细说明应用完全平方公式进行因式分解的步骤。
例子1：将多项式$x^2+6x+9$进行因式分解。
解：观察多项式，我们发现其中的三项的和构成了一个完全平方。
$x^2+6x+9$可以化简为$(x+3)^2$。
因此，多项式$x^2+6x+9$的因式分解为$(x+3)(x+3)$。
例子2：将多项式$x^2-10x+25$进行因式分解。
解：观察多项式，我们发现其中的三项的和构成了一个完全平方。
$x^2-10x+25$可以化简为$(x-5)^2$。
因此，多项式$x^2-10x+25$的因式分解为$(x-5)(x-5)$。
通过以上两个例子，我们可以发现，完全平方公式能够帮助我们将一个二次多项式分解为两个完全平方的乘积，从而简化计算和分析的过程。
三、完全平方公式在实际问题中的应用完全平方公式不仅仅是一种数学工具，它也有着广泛的应用。
下面通过一个实际问题来展示完全平方公式的应用。
问题：一块长方形的草坪，长为$x+5$米，宽为$x$米。
假设整个草坪是用来修剪的，修剪时只修剪草坪周边的一段宽度为$x$米的土地。
因式分解中的完全平方公式
对于简单题型，首先要识别出多项式是否符合完 全平方公式的形式，然后确定$a$和$b$的值， 最后按照公式进行因式分解。
复杂题型解析及思路点拨
例题
$4x^2 + 12xy + 9y^2 - 25$
解析
思路点拨
观察该多项式，可以发现前三项 符合完全平方公式$a^2 + 2ab + b^2$的形式，其中$a = 2x, b = 3y$，而最后一项是常数项。因此， 可以将前三项因式分解为$(2x + 3y)^2$，然后与常数项组合进行 进一步的因式分解。
提取公因式法应用
01
在多项式中识别公因式，并将其 提取出来。这有助于简化多项式 ，并使其更容易识别出完全平方 项。
02
对提取公因式后的多项式进行观 察，判断是否可以通过完全平方 公式进行因式分解。
分组分解法应用
将多项式中的项进行分组，使 得每组内部能应用完全平方公 式。分组的方式可以根据多项 式的特点灵活选择。
对每个分组应用完全平方公式 进行因式分解，得到分组内的 因式。
将各分组的因式相乘，得到整 个多项式的因式分解结果。
04 典型例题解析与技巧指导
简单题型解析及思路点拨
1 2 3
例题
$x^2 + 2x + 1$
解析
观察该多项式，可以发现它符合完全平方公式 $a^2 + 2ab + b^2$的形式，其中$a = x, b = 1$。
教师点评和总结归纳
针对学生完成情况，教师给予及时的点评和反馈，指出学生在解题过程中的优点和 不足。
教师总结完全平方公式在因式分解中的应用及注意事项，强调公式运用的灵活性和 多样性。
教师可结合学生实际情况，对部分难题进行详细讲解和示范，帮助学生更好地理解 和掌握完全平方公式。
分解因式公式法---完全平方公式
12(a+b)+36 就是一个完全平方式。即
(a+b)2-12(a+b)+36=(a+b)2-2×(a+b)×6+62 m2 - 2 ×6 +62 解： (a+b)2-12(a+b)+36 ×m = (a+b)2-2×(a+b)×6+62 =(a+b-6)2
现在回头来看看我们上课时提出的问题，
快速口算
完全平方式 a2 2ab b2 (a b)2
左边：① 项数：共三项，即a、b两数的平方项
，a、b两数积的2倍。
② 次数：左边每一项的次数都是二次。
③ 符号：左边a、b两数的平方项必须同号。
右边：是a、b两数和（或差）的平方。
当a、b同号时，a2+2ab+b2=(a+b)2
当a、b异号时，a2-2ab+b2=(a-b)2
∴ 2a2+4b-3=2×(-1)2+4×2-3
=7
考考你
(2)已知a、b、c是△ABC的三边的长，且满 足 a2+2b2+c2-2b(a+c)=0，试判断△ABC的 形状。 温馨提示：将条件a2+2b2+c2-2b(a+c)=0变形 为a2+2b2+c2-2ab-2bc=0，左边与完全平方式 十分相似。可将其奏成两个完全平方式的和， 然后利用非负数性质就能解决问题了。
3、深刻理解
下列各式是不是完全平方式，为什么？ 是 （1） x2-4x+4______________ 不是，缺乘积项 （2） x2+16 _________________ 不是，缺乘积项的2倍 （3 ） 9m2+3mn+n2_____________________ 不是，平方项异号 （4）-y2-12xy+36x2 是 __________________ 不是，只有一个平方项 2 （5） -m +10mn-25n2______________ （6 ）
完全平方公式因式分解
完全平方公式因式分解
完全平方公式即(a+b)²=a²+2ab+b²、(a-b)²=a²-2ab+b²。
该公式是进行代数运算与变形的重要的知识基础，是因式分解中常用到的公式。
该知识点重点是对完全平方公式的熟记及应用，难点是对公式特征的理解(如对公式中积的一次项系数的理解等）。
完全平方公式：
两数和的平方，等于它们的平方和加上它们的的积的2倍。
（a+b）²=a²﹢2ab+b²
两数差的平方，等于它们的平方和减去它们的积的二倍。
﹙a－b﹚²=a²﹣2ab+b²
扩展：
掌握用完全平方公式因式分解的特征.
(1)完全平方式：形如的多项式称为完全平方式.
(2)完全平方公式：公式中的a，b不仅可以表示数字、_____, 也可以是_____.
(3)公式的特征：左边由三项组成，其中有两项分别是某两个数（或式）的平方，另一项是上述两数（或式）的_____，符号可正可负；右边是两项和（或差）的平方.
【解析】
完全平方公式：.公式中的a,b，不仅可以表示数字、单项式，也可以是多项式.
(公式的特征：左边由三项组成，其中有两项分别是某两个数（或式）的平方，另一项是上述两数（或式）的乘积的倍，符号可正可负；右边是两项和（或差）的平方. 【答案】
(2)单项式，多项式.(3)乘积的倍.。
用完全平方公式来因式分解的特点：
⽤完全平⽅公式来因式分解的特点：
⽤完全平⽅公式来因式分解的特点：
a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2
a2－2ab＋b2＝(a －b)2
1)多项式是三项式
2)有两项都为正且能够写成平⽅的形式
3)另⼀项是刚才写成平⽅项两底数乘积的2倍，但这⼀项可以是正，也可以是负
4)等号右边为两平⽅项底数和或差的平⽅。
判断下列各式是不是完全平⽅式，并说出理由。
练习：1、 判断下列各式是不是完全平⽅式，并说出理由。
（1）a2－4a＋4 (2 )x2＋4x＋4y2
(3 )4a2＋2ab＋ b2 (4 )a2－ab＋b2
(5 )x2－6x－9 (6 )a2＋a＋0.25
2、将下列各式分解因式：
1、x2＋6x＋9
2、4x2－20x＋25
3、25x4＋10x2＋1
4、－x2－4y2＋4xy
5、 3ax2＋6axy＋3ay2
⼩结：我学到了如何将完全平⽅式分解因式，遇到三项式中有两项符号相同且能化成平⽅的形式，另⼀项为这两个数的积的2⼩结：
倍的形式，如果能化成平⽅项是负的，⾸先将负号提取再分解。
第⼆项是正的就是两数的和的平⽅，第⼆项是负的就是两数差的平⽅。
要注意有公因式可提取的先提取公因式，然后再分解，同时根据第⼆项的符号来选⽤合适的公式。
运用完全平方公式因式分解
5 x2 1 x
4
原式
x
1 2
2
6 4a2 12ab 9b2 原式 2a 3b2
练习题：
1、下列各式中，能用完全平方公式
分解的是（ D ）
A、a2+b2+ab B、a2+2ab-b2
C、a2-ab+2b2 D、-2ab+a2+b2
2、下列各式中，不能用完全平方公
式分解的是（ C ）
A、x2+y2-2xy B、x2+4xy+4y2
A、a b 12 B、a b 12 C、a b 22 D、a b 22
10、计算1002 210099 992 的
结果是（ A ）
A、 1
B、-1
C、 2
D、-2
思考题:
1.3a x2 6axy 3a y2 2.ax2 2 a2 x a3
3.(x+y)2-2(x2-y2)+(x-y)2能用完全平方公 式分解吗?
4x2+12xy+9y2
2x2 22x3y 3y2 2x 3y2
首2 2首尾 尾2 =(首+尾)2
请运用完全平方公式把下列各式分 解因式：
1 x2 4x 4 原式 x 22
2 a2 6a 9 原式 x 32
3 4a2 4a 1 原式 2a 12
4 9m2 6mn n2 原式 3m n2
小结：
1、完全平方式的特征：
是一个二次三项式 首平方尾平方积的2倍在中央
2、利用完全平方式进行因式分 解应注意什么？
作业
P45 习题12.5 1、2、3
ab 2 a2 2abb2
现在我们把这个公式反过来
因式分解-完全平方公式
a2 + 2·a ·b +b2 解：(1)16x2 － 24x+9 = (4x)2－2·4x·3+32
=(4x － 3)2.
(1) x2＋14x＋49
解 ：
原式 x2 2 x 7 72
(x 7) 2
例、把下列多项式分解因式。
⑴、25－10x+x2 解：原式=52－2×5·x+x2
请补上一项，使下列多项
式成为完全平方式
1 x2 ___2_x_y__ y2 2 4a2 9b2 __1_2__a_b_ 3 x2 ___4_x_y_ 4 y2
4 a2 ___a_b___ 1 b2
4
5 x4 2x2 y2 ____y_4_
1.计算：（1） (x-1)2 x2 2x1
因式分解—完全平方公式
我们前面学习了利用平方差公式来分
解因式即：a2-b2=(a+b)(a-b)
例如： 4a2-9b2= (2a+3b)(2a-3b)
用平方差公式因式分解的多项式特征：
①有且只有两个平方项；
②两个平方项异号(一正一负)；
下面的多项式能分解因式吗？
(1) a2＋2ab＋b2 (2) a2－2ab＋b2
练一练 因式分解：
（1）25x2＋10x＋1 解:原式=（5x)2+2×5x×1+12
=(5x+1)2
（2）-a2-10a -25
解:原式=-（a2+2×a×5+52)
例题
(5) 4a2 12ab 9b2
解：原式 (2a) 2 2(2a) (3b) (3b)2
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例：分解因式 (1)4x2+12xy+9y2
2x2 22x3y 3y2 2x 3y2
首 22 首 尾 尾 2=(首±尾)2
例:分解因式： (2) –x2+4xy–4y2
2.分解因式： (1) x2+12x+36; (2) -2xy-x2-y2; (3) a2+2a+1; (4) 4x2-4x+1;
B
练习:
1.下列多项式是不是完全平方式？为什么？ (1) a2-4a+4; (2)1+4a2; (3) 4b2+4b-1 ; (4)a2+ab+b2.
分解因式
(1)3am 23an26am n
2a24b24ab
思考： 分 解 因式 1、16x4-8x2＋1 2、(a+b)2＋2(a+b)(a-b) ＋(a-b)2
D
5、把
1分解因式2得
x 3xy （
）
9y2
A、
4 B、
B
6、把
分解因式得
（
）
A、
1 4
B、
x
3
y
2
1 2
x
2
3
y
4 x2 y2 4 xy
9
3
A
2 3
x
y
2
4 3
x
y
2
7、如果100x2+kxy+y2可以分解为（10x-y)2,那么k的值是（
）
A、20 B、-20
C、10 D、-10
练习题：
1、下列各式中，能用完全平方公式分解的是（ A、a2+b2+ab B、a2+2ab-b2 C、a2-ab+2b2 D、-2ab+a2+b2 2、下列各式中，不能用完全平方公式分解的D是（ A、x2+y2-2xy B、x2+4xy+4y2 C、a2-ab+b2 D、-2ab+a2+b2
） ）
拓展
1
3.若10m=20,10n= , 求9m÷32n的值.
5
a5b4ab2b100 4.若A＝
那么Ａ的最小值是多少？
2
2
◆创新应用: 已知(a+2b)2-2a-4b+1=0,求(a+2b)2005的值.
◆综合拓展: 已知△ABC的三边分别为a,b,c,且a,b,c满足等式3(a2+b2+c2)=(a+b+c)2,请你说明△ABC是等边三角形.
8、如果x2+mxy+9y2是一个完全平方式，那么m的值为（
）
B
A、6 B、±6
C、3 D、±3
B
9、把 A、
B、a分解b因式2得（4a ） b4
C、
D、
C 10、计算
的结果是（
）
A、 1
B、-1
a b 1 C、 2
D、-2
2
a b 22
a b 12 a b22
1 0 0 2 2 1 0 0 9 9 9 9 2
首 22首 尾 尾 2
下列各式是不是完全平方式
1 a 2 b 2 2 a b 是
2 2 xy x 2 y 2 是 3 x 2 4 xy 4 y 2 是 4 a 2 6 a b b 2 否 5 x 2 x 1 是
4
否
6 a 2 2ab 4b2
请补上一项，使下列多项式成为完全平方式
2 x y （或-2xy）
1 x2 _______ y2
2 4 a 2 9 b 2 _ _ _1_2_a_b_ 4 x y （或-4xy）
3 x2 ______ 4 y2
a b 4 a 2 _ _ _ _ _ _ _ 1 b 2（或-ab） 4
5 x 4 2 x 2 y 2 _ _ _ _y_ 4_
完全平方式具有： 1、是一个二次三项式 2、有两个“项”平方,而且有这两“项”的积的两倍或负两倍
3、我们可以利用完全平方公式来进行因式分解
思考题:
1、多项式:(x+y)2-2(x2-y2)+(x-y)2能用完全平方公式分解吗?
2、在括号内补上一项，使多项式成为完全平方式：
X4+4x2+(
)
3.已知(a+2b)2-2a-4b+1=0,求(a+2b)2005的值.
（“□”表示漏抄的指数），则这个指数可能的结果共
有（ ）
A、2种
B、3种
C、4种 D、5种
x 4y2
请同学们再自己写出一个完全平方式,然后分解因式
随堂练习
阅读下列计算过程： 99×99+199=992+2×99+1=（99+1）2=100 2=10 4 （1）．计算： 999×999+1999=_____=_____=________=________； 9999×9999+19999=_______=______=______=______。 （2）．猜想9999999999×9999999999+19999999999等于 多少？写出计算过程。
完全平方公式因式分解
把下列各式分解因式 （1）、16x2－4y2 （2）、m2（x－y）＋n2（y－x） （3）、2－8（a－b）2 （4）、16（a－1）2－（a＋2）2 （5）、
3x2 1 3
1(a b)2 a2 2ab b2
2(a b)2 a2 2ab b2
首平方，尾平方， 首尾2 倍中间放， 符号与前一个样。
3、(a+1)2-2(a2-1) ＋(a-1)2
请同学们根据完全平方式的特点再写出几个完全平方式
1、分解因式的结果是－（2x－y）（2x＋y）的是（ ） A、4x2－y2 B、4x2＋y2 C、－4x2－y2 D、－4x2＋y2
2、小明在抄分解因式的题目时，不小心漏抄了x的指数， 他只知道该数为不大于10的正整数，并且能利用平方差 公式分解因式，他抄在作业本上的式子是 □ －
3 4 a 2 4 a 1 原式2a12
4 9 m 2 6 m n n 2 原式3mn2
5 x2 1 x4来自原式x1 22
6 4 a 2 1 2 a b 9 b 2 原式2a3b2
如果x2+mxy+9y2是一个完全平方式，那么m的值为（ ） A、6 B、±6 C、3 D、±3
A
练习：分解因式 1. 25x4＋10x2＋1 2.－x2－4y2＋4xy 3. 3ax2＋6axy＋3ay2 4.-2a3b3+4a2b3-2ab3 5. 9 - 12(a-b) + 4(a-b)2 6. (y2 + x2)2 - 4x2y2
1 x 2 4 x 4 原式x22
2a2 6a 9
现在我们把这个公式反过来
a22abb2 a b 2
a22abb2 a b 2
很显然，我们可以运用以上这个公式来分解因式了，我们把它称为“运用完全平方公式分解因式”
a22abb2
a22abb2
完全平方式
两个“项”的平方和加上（或减去）这两“项”的积的两倍
a22abb2 a22abb2
完全平方式的特点： 1、必须是三项式 2、有两个“项”的平方 3、有这两“项”的2倍或-2倍
解因式: 6axy+3ay2 2-12(a+b)+36
分析：（1）中有公因式3a，应先提出公因式，再进一步分解。 (2)将a+b看作一个整体，设a+b=m,则原式化为完全平方式m2-12m+36
3.分解因式： (1) ax2+2a2x+a3; (2) -3x2+6xy-3y2.
（3）-2a3b3+4a2b3-2ab3 （4） 9 - 12(a-b) + 4 (a-b)2
谢谢
C
3、下列各式中，能用完全平方公式分解的是（
A、x2+2xy-y2 B、x2-xy+y2
C、
D、
D 4、下列各式中，不能用完全平方公式分解的是（ A、x4+6x2y2+9y4 B、x2n-2xnyn+y2n C、x6-4x3y3+4y6 D、x4+x2y2+y4
） ）
1 x2 -2xy+y2 4
1 x 2 -xy+y2 4