《概率论与数理统计》多维随机变量及其分布 函数的分布40页PPT
概率论与数理统计完整课件-第三章多维随机变量及其分布
密度函数的关系:在 f ( x, y) 的连续点处，有
2 F ( x, y) f ( x, y) xy
例: 设二维随机变量 ( X , Y ) 的概率密度
kx 0 x y 1 f ( x, y) . 0 其他
求:(1)常数 k;
解 (1)由
(2)
( (,) X YG ) P ( 证 P ( x x , yy ) ) i j
x x , y y i j
P ( xx , y y ) p i j i j
( x , y ) G i j ( x , y ) G i j
例：令随机变量 X 表示在 1,2,3,4 中等可能地取 一个值,令随机变量 Y 表示在 1~X 中等可能地取 一个值.求 （X， Y） 的联合分布律及 P( X 3, Y 2) .
1 2 2 x 1, y 1 f ( x, y) x y , 0 其它
求 ( X , Y ) 的联合分布函数.
(x ,y ) f ( uvd , )u d v 解 由 F
x y
当 x 1 或 y 1 时, f (x, y) 0 则
F(x, y) 0
y x
当x>1,y>1时,
1 1 1 F ( x ,) y f ( u ,) v d u d v d u d v ( 1) ( 1 ) 2 2 u v x y 1 1
1 1 ( 1 ) ( 1 ) x 1 , y 1 y F (x ,y ) x 0 其 它
§2 二维连续性随机变量
§2.1二维随机变量的联合分布函数
定义: 设(X,Y) 为二维随机变量,对任意实数 x,y,二 元函数
随机变量函数的分布【概率论及数理统计PPT】
2
5
P 0.2 0.5 0.3
求 Y= 2X + 3 的概率分布。
分析：当X取值 1,2,5 时，Y对应取值 5,7,13 而且X取某值与Y取其对应值是两个同时发生
的事件，两者具有相同的概率。
解：Y的可能取值为5，7，13
P{Y=5}=P{X=1}=0.2 P{Y=7}=P{X=2}=0.5，P{Y=13}=P{X=5}=0.3 故Y的分布列为： Y 5 7 13
恒有
或恒有
，则Y=g(X)是一个
连续型随机变量，它的概率密度为：
其中， x=h(y)是y=g(x)的反函数 此定理的证明与前面的解题思路类似.
例7. 设随机变量X~ 求Y的概率密度。
解: y=ex 单调可导,
反函数为x=h(y)=lny,
, Y=Байду номын сангаасX,
且其值域为y >0, 所以, y >0时,
=
=
例3. 设 X ~
求 Y=2X+8 的概率密度.
解：设Y的分布函数为 FY(y)，
FY(y)=P{ Y y } = P (2X+8 y )
=P{ X
} = FX( )
于是Y 的密度函数为:
注意到 0 < x < 4 时， 即 8 < y < 16 时， 此时
故
Y=2X+8
例4.设X 具有概率密度 ,求Y=X2的概率密度。 解： 设Y和X的分布函数分别为 和 ， 注意到 Y=X2 0，故当 y 0时， 当 y>0 时,
这是求随机变量的函数的分布的一种常用方法.
例5 设随机变量X的概率密度为
求Y=sinX的概率密度.
概率论与数理统计完整ppt课件
在化学领域，概率论与数理统计被用于研究化学反应的速率和化 学物质的分布，如化学反应动力学、量子化学计算等。
生物
在生物学中，概率论与数理统计用于研究生物现象的变异和分布， 如遗传学、生态学、流行病学等。
在工程中的应用
通信工程
01
概率论与数理统计在通信工程中用于信道容量、误码率、调制
解调等方面的研究。
边缘分布
对于n维随机变量(X_1,...,X_n)，在概 率论中，分别定义了X_1的边缘分布 、...、X_n的边缘分布。
04
数理统计基础
样本与抽样分布
01
02
03
总体与样本
总体是包含所有可能数据 的数据集合，样本是总体 的一个随机子集。
抽样方法
包括简单随机抽样、分层 抽样、系统抽样等。
样本分布
描述样本数据的分布情况 ，如均值、中位数、标准 差等。
参数估计与置信区间
参数估计
利用样本数据估计总体的 未知参数，如均值、方差 等。
点估计
用样本统计量作为总体参 数的估计值。
置信区间
给出总体参数的一个估计 区间，表示对总体的参数 有一个可信的估计范围。
假设检验与方差分析
假设检验
通过样本数据对总体参数提出 假设，然后根据假设进行检验
01
定义
设E是一个随机试验，X，Y是定义在E上，取值分别为实数的随机变量
。称有序实数对(X，Y)为一个二维随机变量。
02
分布函数
设(X，Y)是一个二维随机变量，对于任意实数x,y，二元函数
F(x,y)=P({X<=x,Y<=y})称为二维随机变量(X,Y)的分布函数。
03
边缘分布
对于二维随机变量(X,Y)，在概率论中，分别定义了X的边缘分布和Y的
浙大概率论与数理统计课件第三章多维随机变量及其分布
y2
X,Y
x1
O
x2
x
y1
分布 F x ,函 y的 数 性 : 质
1 .F x ,y 是关 x 和 于 y的 变 不 ;量 减
y
对任意固y定R的
及x1,x2R,当x1 x2
时Fx1, yFx2, y;
x1,y y
x2,y
对任意固x定R的
x1 O
x2 x
及y1,y2R,当y1 y2 X,Y
第二节 边缘分布
边缘分布函数 离散型随机变量的边缘分布律 连续型随机变量的边缘概率密度 小结
二维联合分布全面地反映了二维随机变量 (X,Y)的取值及其概率规律. 而单个随机变量X,Y 也具有自己的概率分布. 那么要问:二者之间有 什么关系呢?
这一节里,我们就来探求这个问题 .
一、边缘分布函数
二维随机变量 (X,Y)作为一个整体, 具有分布函
fu,v0区域 u ,vu0,v0
v
v
y x, y
Ox u
x, y y
xO
u
v
x
O
u
x, y y
v
O xu
y
x, y
当 x0,y0时,
F x ,yy xfu ,vd u d v
y
x 2e(2uv)dudv2 yevdv
x e2udu
00
0
0
1 e 2x 1 e y
当 x0或y0时,
F x ,yy xfu ,vd u d v 0
故 F x ,y 1e 2x 1ey, x0 ,y0 ,
0 ,
其 它 .
(2) PYX
则称 X,Y 是连续型的二维随
三章节多维随机变量及其分布.ppt
0.0375 0.035 0.6444 0.1125
15
（三）条件分布
对 于 两 个 事 件 A , B ， 若 P ( A ) 0 , 可 以 考 虑 条 件 概 率 P ( B |A ) ，
对 于 二 维 离 散 型 随 机 变 量 (X ,Y )， 设 其 分 布 律 为 P (Xxi， Yyj)p ij i,j 1 ,2 ,
P (X x i) P (X x i， Y ) p ij= =p i•i 1 ,2 , j 1
11
注意：记号pi•表示是由pij关于j求和 后得到的；同样p•j是由pij关于 i求和后得到的.
X Y y1
x1
p 11
x2
p 21 …
…
xi
p i1
…
…
P Y yj p·1
y2 … yj … PX xi
第三章 多维随机变量及其分布 关键词：二维随机变量 联合分布 边缘分布 条件分布 随机变量的独立性 随机变量函数的分布
1
二维随机变量
问题的提出
例1：研究某一地区学龄儿童的发育情况。仅研 究身 高H的分布或仅研究体重W的分布是不够 的。需要同时考察每个儿童的身高和体重值， 研究身高和体重之间的关系，这就要引入定义 在同一样本空间的两个随机变量。
e S
x
§1 二维离散型随机变量
（一）联合概率分布
定义：若二维随机变量(X,Y)全部可能取到的 不同值是有限对或可列无限对，则称(X,Y)是 离散型随机变量。
离散型随机变量的联合概率分布律：
为二维离散型随机变量(X,Y) X Y y1
的联合概率分布律。可以用
x 1 p11
x 2 p21
概率论与数理统计Chapter+3多维随机变量及其分布.ppt
(X ,Y)关于X的边缘分布律为
p{X i} ji 1pij ji 11i1414, i1,2,3,4.
(X ,Y)关于Y的边缘分布律为
p1 j
p2
j
p3
j
p4
j
25 48
,
j 1
p2 j p3 j p4 j 1438, j2
类似一维情形,在 f (x,y)的连续点处
lim x0,y0
p{x
X
xx, y Y xy
yy}
2F(x, xy
y)
f
(x,
y).
从而当x,y很小时 p{x X xx,yY yy} f (x,y)xy.
即(x,y)落在小长方形(x,xx](y, yy]内的
概率 f (x,y)xy. 例2:设随机变量(X ,Y)具有概率密度
0,
else
例3：设二维随机变量(X,Y)具有概率密度
6, x2 y x. f (x, y)
0, else.
求边缘概率密度.
解：确定区域： x 2
y
x
0 y 1
0 x 1 y x y
fX (x)
f
(x,
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y)dy
x 6dy 6(x x2 ), 0 x 1
x2
这些随机变量之间有某种联系,需要作为一 个整体来考虑.
X (e)
e S
Y (e)
§1.二维随机变量
一. 二维随机变量的定义: 设为E随机实验,样本空间是 S {e},设
X X (e)和Y Y(e)是定义在S的随机变量， 由它们构成的一个向量( X ,Y )，叫做二维随 机向量或二维随机变量
概率论与数理统计课件：多维随机变量及其分布
多维随机变量及其分布
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在实际问题中, 试验结果有时需要同时用两个或两
个以上的随机变量来描述.
如， 炮弹的弹着点的位置, (X, Y)是一个二维随
机变量.
又如，研究天气变化状况，令X, Y, Z分别表示
温度、湿度、风速，则(X, Y, Z)是一个三维随机变量.
研究多维随机变量有必要将多个变量作为一个整
二元函数
F ( x , y ) P{( X x ) (Y y )} P ( X x , Y y )
称为随机变量(X,Y)的联合分布函数。
一维随机变量X的联合分布
函数F ( x ) P ( X x ).
多维随机变量及其分布
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F(x,y)=P(X≤x,Y≤y)
y
F ( , y ) 0,
o
F ( x , ) 0,
F ( , ) 0, F ( , ) 1;
4 F ( x , y )关于x和y分别右连续；
x1
F ( x1 , y ) F ( x2 , y )
5 对于任意x1 x2 , y1 y2 , 有矩形公式
…
…
…
…
X
性质： 1 pij 0, i , j 1, 2, ;
2
p
i 1 j 1
多维随机变量及其分布
ij
1.
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例1 从1,2,3,4中任取一个数记为X、再从1,2, ⋯ ,
中任取一个数记为Y,求 ( X, Y ) 的联合分布律及P
( X=2Y ).
解：
可以证明，f(x,y)满足联合密度的性质。
西北工业大学《概率论与数理统计》课件-第3章多维随机变量及其分布
第三章多维随机变量及其分布关键词：二维随机变量分布函数分布律概率密度边缘分布函数边缘分布律边缘概率密度条件分布函数条件分布律条件概率密度随机变量的独立性Z=X+Y的概率密度Z=Y/X及Z=XY的概率密度M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的概率密度例：研究某一地区学龄儿童的发育情况。
仅研究身高H 的分布或仅研究体重W 的分布是不够的。
需要同时考察每个儿童的身高和体重值，研究身高和体重之间的关系，这就要引入定义在同一样本空间（即某地区全部学龄前儿童）的两个随机变量。
问题的提出实际中，某些随机试验的结果需要同时用两个或两个以上的随机变量描述例：研究某种型号炮弹的弹着点分布。
每枚炮弹的弹着点位置需要由横坐标和纵坐标来确定，而它们是定义在同一样本空间的两个随机变量。
一、二维随机变量的定义设E是一个随机试验，样本空间S={e}；设X=X(e)和Y=Y(e)是定义在S上的随机变量，由它们构成的向量(X,Y)叫做二维随机向量或二维随机变量。
S ey()()(),X e Y ex(X,Y)的性质不仅与X及Y有关，还依赖于X,Y间的相互关系，需将(X,Y)作为整体研究二、二维随机变量的分布函数设(X ,Y )是二维随机变量，对于任意实数x , y ，二元函数称为二维随机变量(X ,Y )的分布函数，或称为随机变量X 和Y 的联合分布函数。
{}(,)()()(,)F x y P X x Y y P X x Y y =≤≤==≤≤ 记成1、定义：若将(X ,Y )看成平面上随机点的坐标，则F (x ,y )在(x ,y )处的函数值即为随机点落在(x ,y )左下方无穷域内的概率2、几何意义：(X ,Y )落在矩形区域[x 1<x ≤x 2, y 1<y ≤y 2]上的概率为x 1x 2yy 1y 20xy(x,y )1212(,)P x x x y y y <≤<≤()()()()22211211,,,,F x y F x y F x y F x y --+=3、性质：1212,(,)(,)y x x F x y F x y <⇒≤任意固定当x 1x 2(x 1,y )(x 2,y )yy 2xy 1(x ,y 1)(x ,y 2)1212,(,)(,)x y y F x y F x y <⇒≤任意固定0(,)1F x y ≤≤ (,)0 (,)0(,)0,(,)1y F y x F x F F -∞=-∞=-∞-∞=+∞+∞=对任意固定，对任意固定，(1) 不减性:F (x , y )关于x , y 单调不减，即(2) 有界性:且(3) 右连续性0(,)(,)lim F x y F x y εε+→+=0(,)(,)lim F x y F x y εε+→+=(),,F x y x y 关于右连续，即：()222112111212(,)(,)(,)(,),0F x y F x y F x y F x y P x X x y Y y --+=<≤<≤≥ 1x 2x 1y 2y 01212,,x x y y <<若则22211211(,)(,)(,)(,)0F x y F x y F x y F x y --+≥(4)三、二维离散型随机变量及其分布律1、定义：,,,,21m x x x X 的可能值为设,,,,21n y y y Y 的可能值为中心问题：(X ,Y )取这些可能值的概率分别为多少？若二维随机变量（X ,Y ）所有可能的取值是有限对或可列无限对，则称（X ,Y ）是二维离散型随机变量。