13、逻辑函数的最小项
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知识点3.卡诺图化简法
相邻项相加能消去一个因子，合并为一项，如:
。
卡诺图化简就是建立在相邻项的基础上的，消去多余的因子，使函
数得到简化。
逻辑函数的化简——卡诺图化简法
利用卡诺图化简时，首先要把函数表示成最小项之 和的形式，称为标准与或式(或最小项表达式），求函 数标准与或式有两种方法:
①从真值表中求标准与或式 ②从一般表达式利用展开法求标准与或式
逻辑函数的化简——卡诺图化简法
【例1】化简逻辑函数
化简得：
最小项合并结果有时不是唯一的，但合并后的项数和每一 项的因子数是相同的！
逻辑函数的化简——卡诺图化简法
【例2】 用卡诺图法化简逻辑函数Z（A，B，C，D）
=∑m(0，1，2，3，4，5，6，7，10，11)。
化简得：
逻辑函数的化简——卡诺图化简法
逻辑函数的化简——卡诺图化简法
利用前面介绍的公式法化简逻辑函数，要熟练掌 握逻辑代数的基本公式、常用公式和一些定律，并 且需要有一定的技巧，这对许多人来说有困难。借 助卡诺图化简逻辑函数比较方便，容易掌握。卡诺 图是美国工程师karnaugh在20世纪50年代提出的， 它建立在最小项的基础上，所以首先要了解有关最 小项的内容。
b.四个小方格组成一个大方格、或组成一行（列）、或 处于相邻两行（列）的两端、或处于四角时，所代表的最小 项可以合并，合并后可消去两个变量。
逻辑函数的化简——卡诺图化简法
c.八个小方格组成一个大方格、或组成相邻的两行 （列）、或处于两个边行（列）时，所代表的最小项可以合 并，合并后可消去三个变量。
逻辑函数的化简——卡诺图化简法
仔细分析上表，可以总结出最小项的性质： ①对任何一个最小项，只有一组变量的取值组合，使 它的值为1。反之，对于输入变量任何一组取值，有且 只有一个最小项的值为1。 ②任意两个最小项的乘积恒等于0 。 ③所有最小项之和为1。 ④具有相邻性的两个最小项之和能合并成一项且消去 一个因子。
逻辑函数的卡诺图化简法
[例]已知:真值表如下,写出 已知:真值表如下, 该逻辑函数和其反函数的标 准与或式 解:由题可知: 由题可知:
F = XY Z + XY Z + XY Z + XYZ
= m0 + m2 + m5 + m7
= ∑ ( 0 ,2 ,5 ,7 ) m
∴ F =
QF + F = 1
∑ m (1, 3 , 4 , 6 )
例如 CD AB 00 01 11 10 00 1 1 1 1 01 1 1 11 1 1 10 1 1 1 1 8 个相邻项合并消去 3 个变量 A ABCD+ABCD=ABD ABCD+ABCD=ABD ABCD+ABCD +ABCD+ABCD =ACD +ACD =AD
2 个相邻项合并消去 4 个变量， 个相邻项合并消去 个变量， 1 个变量，化简结果 2 个变量， 化简结果为相同变量相与。 化简结果为相同变量相与。 为相同变量相与。 为相同变量相与。
3. 已知一般表达式画函数卡诺图 的卡诺图。 [例] 已知 Y = AD + AB ( C + BD ) ，试画出 Y 的卡诺图。 解：(1) 将逻辑式转化为与或式 ) (2) 作变量卡诺图 ) Y = AD + AB + (C + BD ) (3) 根据与或式填图 ) = AD + AB + CBD CD 00 01 11 10 AB 1 1 00 01 11 10 1 1 1 1 1 1
[例 ]
Y = ABC + ABC + ABC + ABC
合并最小项 三个圈最小项分别为： 三个圈最小项分别为：
最小项和标准与或式
例2.5.12 试将下列函数利 用真值表转化成两种标准 形式
Y ( A, B, C) AB AC BC
解：其真值表如表2.5.16 所示
表2.5.16 例2.5.12的逻辑函数真值表
AB C
Y
00 0
1
001
1
01 0
0
011
1
100
1
101
0
110
1
111
1
则逻辑函数的标准与或型为
F ( A, B,C) m(0,1,3,4,6,7)
ABC ABC ABC ABC ABC ABC
逻辑函数的标准或与型为
F ( A, B, C) M (2,5)
( A B C)( A B C)
表2.5.16 例2.5.12的逻辑函数真值表
AB C
Y
000
1
001
1
01 0
0
011
1
100
1
101
0
110
1
111
1
2.利用公式A＋A＝1及A·A＝0将逻辑函数变换为 与或式和或与式
Y ((AC BC')')' ((AC)'(BC')')'
Y ((AC BC')')' ((AC)'(BC')')'
如果本身有反变量输入，则用二级与非门就可实 现该函数，其逻辑电路如图2.5.10所示。
A
＆
C
B
＆
C
＆
Y
图 2.5.10 输 入 有 反 变 量 输 入
A
＆
C
＆
数字电路ch3补充：最大项、最小项、无关项
2 无关项在化简逻辑函数中的应用
【例3】 化简具有约束的逻辑函数
Y ABCD ABCD ABCD
给定约束条件为
ABC D ABCD ABCD ABCD ABC D ABCD ABCD 0
解：采用公式化简法
Y ( ABCD ABC D) ( AB C D ABCD) ( ABCD ABCD) ( AB CD AB CD )
解: Y1 A BCD BCD A
Y2 A B CD A B CD B CD Y3 Y4
ABC A B C AB C AB C C BD C C BD C C
B D D B
i
【例1】将逻辑函数展开为最小项之和的形式。
Y ABCD ACD AC
解： Y A BC D A( B B )CD A( B B)C
ABC D ABCD ABCD ABC ABC ABC D ABCD ABCD ABC( D D) ABC ( D D) ABC D ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD ABC D
强化： 逻辑函数的公式化简法
1 逻辑函数的最简形式
乘积项最少；每个乘积项里的因子也最少 一. 最简与-或式 二. 最简与非-与非式等
_ _
F AB A B
F AB A B
__________ ______ ____ __ __
三.最简与或非表达式
F AB AB
__________ ___ __ __
变量的各组取值 对应的最大项及其编号 最大项 编 号 A B C
0 0 0 0 1 1 1 1
数字逻辑 第三讲 逻辑函数的标准形式
逻辑函数的标准形式
一个逻辑函数具有唯一的真值表，但它的逻辑表达式不 一个逻辑函数具有唯一的真值表， 是唯一的。逻辑函数存在一个唯一的表达式形式即标准形式。 是唯一的。逻辑函数存在一个唯一的表达式形式即标准形式。 一、最小项与最大项 1. 最小项 设一逻辑函数为 F ( A, B, C ) = AB + AC 对函数进行扩展变换得： 利用互补律 A+ A =1对函数进行扩展变换得： 对函数进行扩展变换得 F ( A, B, C ) = AB (C + C ) + AC ( B + B )
最小项具有下列性质： 最小项具有下列性质： 个变量构成的任何一个最小项m ①n个变量构成的任何一个最小项mi，有且仅有一种变量取值 组合使其值为1 该种变量取值组合即序号i对应的二进制数。 组合使其值为 1 ， 该种变量取值组合即序号 i 对应的二进制数 。 换言之，在输入变量的任何取值组合下必有一个最小项， 并 换言之， 在输入变量的任何取值组合下必有一个最小项 ， 且只有一个最小项的值为1 且只有一个最小项的值为1。 任意两个不同最小项相与为0 ≠j） ②任意两个不同最小项相与为0，即 mi·mj=0 （i≠j）。 m
3. 反演规则 的反函数F 例. 求F = A[B+(CD+EG)]的反函数 的反函数 方法一：反演规则 方法一： F = A[B+(CD+EG)] = A+B+(CD+EG) = A+B·CD+EG = A+B·CD·EG = A+B·(C+D)(E+G) F = A+B(C+D)(E+G) 方法二：直接对 求反 方法二：直接对F求反
= A B C ⋅ ABC ⋅ AB C ⋅ ABC = ( A + B + C )( A + B + C )( A + B + C )( A + B + C ) 最大项：或项中包含了全部的输入逻辑变量， 最大项：或项中包含了全部的输入逻辑变量，每个输 中包含了全部的输入逻辑变量 入逻辑变量在或项中可以以原变量的形式出现， 入逻辑变量在或项中可以以原变量的形式出现，也可 以以反变量的形式出现，且只出现一次。 以以反变量的形式出现，且只出现一次。这种包含所 有输入逻辑变量的或项称为最大项（或标准或项）。 有输入逻辑变量的或项称为最大项（或标准或项）。
逻辑代数基础
所得到的图形叫n变量的卡诺图。
逻辑相邻的最小项：如果两个最小项只有一个变量互为反变 量，那么，就称这两个最小项在逻辑上相邻。 如最小项 m6=ABC、与
m7 =ABC 在逻辑上相邻 m7
m6
两变量卡诺图 AB 0 1 m0 m1 0 AB AB 1 mB AB A 2 m3 三变量卡诺图 B
四变量卡诺图 CD AB 00 01 11 10 00 m0 m1 m3 m2 01 m4 m5 m7 m6 A 11 m12 m13 m15 m14
b.去括号
ABC ABC AB
ABC ABC AB(C C )
ABC ABC ABC ABC
m3 m5 m7 m6 m(3,5,6,7)
三、 用卡诺图表示逻辑函数
1、卡诺图的引出 卡诺图：将n变量的全部最小项都填入小方格内，并使具有 逻辑相邻的最小项在几何位置上也相邻地排列起来，这样,
L CD 00 01 AB 00 1 1 01 11 10 1 0 1 0 0 0 11 10 1 0 1 1 1 0 1 1
例2 画出下式的卡诺图
L ( A, B, C , D) ( A B C D)( A B C D)( A B C D)
解
( A B C D)( A B C D) 1. 将逻辑函数化为最小项表达式
结合律：A + B + C = (A + B) + C
A · · = (A · · B C B) C
A 分配律： ( B + C ) = AB + AC
A + BC = ( A + B )( A + C )
逻辑函数的运算
逻辑代数基础
1.1
基本定律和规则
逻辑函数的运算
3.逻辑函数运算规则
１） 代入规则 对于任何一个含有变量A 的等式， 如果所有出现A 的地方都以另一个逻辑 式代替，则等式仍然成立。 ２） 反演规则 对于逻辑函数F ， 将表达式中的所有“ · ” 换成“ ＋ ” ， “ ＋ ” 换成 “ . ” ， 常量０换成１ ， 常量１ 换成０ ， 所有原变量换成反变量， 所 有反变量换成原变量， 即得反函数 。 ３） 对偶规则 在介绍对偶规则前先定义对偶式。设F 为逻辑表达式， 如果将F 中所有的 “ ＋ ” 换成“ · ” ， “ · ” 换成“ ＋ ” ， １ 换成０ ， ０ 换成１ ， 而变量保持不变， 则所得新的逻辑式就称为F 的对偶式， 记为F′ 。
逻辑代数基础
1.2
逻辑函数的表示方法
1.真值表
将输入变量所有取值情况及其相 应的输出结果， 全部列表表示， 即为真值表。
逻辑函数的运算
逻辑代数基础
1.2
逻辑函数的表示方法
逻辑函数的运算
2.逻辑表达式
将输入输出关系写成与或非等逻辑运算的组合式， 称为逻辑 表达式， 简称逻辑式。 如图所示判决电路， 当A 闭合， B 和C 中至少一个闭合， 则 可表示为A BC ＋A B C ＋ A BC ， 故其逻辑表达式为
逻辑代数基础
1.4
逻辑函数卡诺图化简
5项的函数时， 由于无关项 的取值对函数不产生影响， 加入的无关 项应与函数尽可能多的最小项具有相邻 性。在画矩形时， 无关项的取值以矩形 组合最大， 矩形数目最少为原则。
逻辑代数基础
1.2
逻辑函数的表示方法
逻辑函数的运算
5.逻辑表达式的标准表达式
逻辑函数最小项
逻辑函数最小项
逻辑函数中的最小项是指逻辑变量全部取反（即所有变量的值都为相反值）的特例。
例如，对于一个包含n个变量的逻辑函数，其最小项有2^n个。
例如，对于一个包含三个变量A、B和C的逻辑函数，其最小项可以是：
- A'B'C'（A和B为假，C为真）
- A'B'C（A和B为假，C为假）
- A'B'C'（A和B为真，C为假）
- A'B'C（A和B为真，C为真）
- A'B'C'（A和B为真，C为真）
- A'BC'（A为假，B和C为真）
- A'BC（A为假，B和C为假）
- A'BC'（A为真，B和C为真）
- A'BC（A为真，B和C为假）
- A'BC'（A为真，B和C为真）
- AB'C'（A为真，B为假，C为真）
- AB'C（A为真，B为假，C为假）- AB'C'（A为真，B为真，C为真）- AB'C（A为真，B为真，C为假）- AB'C（A为真，B为假，C为假）- ABC'（A、B和C都为假）
- ABC（A、B和C都为真）
这些就是该逻辑函数的所有最小项。
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利用卡诺图可以直观而方便地化简逻辑函数。它 克服了公式化简法对最终化简结果难以确定等缺点。
卡诺图是按一定规则画出来的方框图，是逻辑函 数的图解化简法，同时它也是表示逻辑函数的一种方 法。
卡诺图的基本组成单元是最小项，所以先讨论一 下最小项及最小项表达式。
2020/10/16
4
一.最小项及最小项表达式
ABC ABC ABC 或：Y ( A, B,C ) m3 m6 m7
m(3,6,7)2020/ Nhomakorabea0/16
9
2.6 逻辑函数的卡诺图化简法
2.6.1 逻辑函数的最小项
课程引入 教学目标 重点难点
思考练习： 1.写出函数Y=AC+AB的标准与或式 2. 课后习题第六题的单数题
教学内容
教学目标： 1.知道最小项及最小项表达式的定义 2. 掌握最小项的性质 3. 能对最小项进行编号
思考练习
2
2.6 逻辑函数的卡诺图化简法
2.6.1 逻辑函数的最小项
课程引入 教学目标 重点难点
重点难点： 1.最小项的性质 2.最小项的编号
教学内容
思考练习
3
2.6.1 逻辑函数的最小项
公式化简法评价： 优点：变量个数不受限制。 缺点：目前尚无一套完整的方法，结果是否最简 有时不易判断。
2.6 逻辑函数的卡诺图化简法
2.6.1 逻辑函数的最小项
课程引入 教学目标 重点难点 教学内容
课程引入：
1.公式化简法的优缺点
2. 用公式法化简
Y A A B C ACD (C D)E
思考练习
1
2.6 逻辑函数的卡诺图化简法
2.6.1 逻辑函数的最小项
课程引入 教学目标 重点难点 教学内容
表2-11 三变量最小项真值表
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二、最小项的性质
1、对于任意一个最小项，只有一组变量取值使 它的值为1，而变量取其余各组值时，该最小项均为0；
2、任意两个不同的最小项之积恒为0； 3、变量全部最小项之和恒为1。
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三、最小项的编号 最小项也可用“mi” 表示，下标“i”即最小项 的编号。编号方法：把最小项取值为1所对应的那 一组变量取值组合当成二进制数，与其相应的十进 制数，就是该最小项的编号。
AB是三推变广量 ：函 一数 个的 变最量小仅项有吗原？变量和反变量两种形式，
A因B此BC是N个三变变量量共函有数2的N个最最小小项项吗。？
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最小项的定义:对于N个变量，如果P是一个含有N 个因子的乘积项，而且每一个变量都以原变量或者反 变量的形式，作为一个因子在P中出现且仅出现一次， 那么就称P是这N个变量的一个最小项。
表2-12 三变量最小项的编号表
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四、最小项表达式 任何一个逻辑函数都可以表示为最小项之和的 形式——标准与或表达式。而且这种形式是惟一的， 就是说一个逻辑函数只有一种最小项表达式。
例2-8 将Y=AB+BC展开成最小项表达式。
解：Y AB BC AB(C C) ( A A)BC
1、最小项
设A、B、C是三个逻辑变量，若由这三个逻辑变 量按以下规则构成乘积项：
（1）每个乘积项都只含三个因子，且每个变量 都是它的一个因子；
（2)每个变量都以反变量(A、B、C)或以原变量 (A、B、C)的形式出现一次，且仅出现一次。
具备以上条件的乘积项共八个，我们称这八个乘 积项为三变量A、B、C的最小项。
思考练习
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