初一数学(北京版)角平分线-4课后练习
七年级数学上册专题提分精练三角板转动求角和角平分线结合(解析版)
专题23 三角板转动求角和角平分线结合1．直角三角形纸板COE的直角顶点O在直线AB上．（1）如图1，当∠AOE＝165°时，∠BOE＝°；（2）如图2，OF平分∠AOE，若∠COF＝20°，则∠BOE＝°；（3）将三角形纸板COE绕点O逆时针方向转动至如图3的位置，仍有OF平分∠AOE，若∠COF＝56°，求∠BOE的度数．【答案】（1）15；（2）40；（3）112°【分析】（1）根据平角的定义求解即可；（2）根据∠COF＝20°，先求解∠EOF＝70°，再根据OF平分∠AOE，求解∠AOE＝140°，最后根据平角的定义求解∠BOE即可；（3）根据∠COF＝56°，先求解∠EOF＝34°，由OF平分∠AOE，可得到∠AOE＝68°，最后根据平角的定义求解∠BOE即可．【详解】解：（1）∵∠AOE+∠BOE＝180°，∠AOE＝165°，∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝15°，故答案为：15；（2）∵∠COE＝90°，∠COF＝20°，∠COE＝∠COF+∠EOF，∴∠EOF＝90°﹣20°＝70°，∵OF平分∠AOE，∴∠AOE＝2∠EOF＝140°，∵∠AOE+∠BOE＝180°，∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝40°，故答案为：40；（3）∵∠COE＝90°，∠COE＝∠COF+∠EOF，∠COF＝56°，∴∠EOF＝90°﹣∠COF＝90°﹣56°＝34°，∵OF平分∠AOE，∴∠AOE＝2∠EOF＝68°，∵∠AOE+∠BOE＝180°，∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝112°．【点睛】本题考查了角的计算，平角的定义，角的平分线定义，直角的定义，熟练掌握补角的定义，角的平分线定义，角的和与差是解题的关键．2．如图1，某校七年级数学学习小组在课后综合实践活动中，把一个直角三角尺AOB 的直角顶点O 放在互相垂直的两条直线PQ 、MN 的垂足O 处，并使两条直角边落在直线PQ 、MN 上，将AOB 绕着点O 顺时针旋转()0180αα︒︒<<︒．(1)如图2，若26α=︒，则BOP ∠=_____________，AOM BOQ ∠+∠=_____________； (2)若射线OC 是BOM ∠的角平分线，且POC β∠=︒．①若AOB 旋转到图3的位置，BON ∠的度数为多少？（用含β的代数式表示） ②AOB 在旋转过程中，若∠AOC ＝2∠AOM ，求此时β的值． 【答案】(1)64°，180°； (2)①2β︒；②60°或36°【分析】（1）根据∠BOP =180°-∠AOB -∠AOQ ，可分别计算出结果； （2）①先求∠BOP 与∠PON ，再利用∠BON =∠BOP +∠PON 得出结论；②分两种情况讨论：当OB 旋转到OP 左侧时；当OB 旋转到OP 右侧时解答即可． (1)解：MN ⊥PQ ，∴∠MOQ =90°，∠AOB =90°， ∵∠AOQ =β︒，∴∠BOP =180°-∠AOB -∠AOQ =180°-90°-26°=64°，∠AOM =∠MOQ -∠AOQ =90°-β︒， ∵∠BOQ =∠AOB +∠AOQ =90°+β︒， ∴∠AOM +BOQ =90°-β︒+90°+β︒=180°； (2)①∵∠MOP =90°，∠POC =β︒， ∴∠MOC =90°-β︒，∵OC 是BOM ∠的角平分线，∴∠BOM =2∠MOC =2(90°-β︒)=180°-2β︒，∴∠BOP=90°-∠BOM=2β︒-90°，∵∠PON=90°，∴∠BON=∠BOP+∠PON=2β︒-90°+90°=2β︒；②当OB旋转到OP左侧时，如图：∠的角平分线，∵OC是BOM∴∠BOC=∠MOC，∵∠AOC＝2∠AOM，∴∠AOM＝∠MOC，∴∠BOC=∠MOC=∠AOM，∵∠BOC+∠MOC+∠AOM=90°，∴∠BOC=∠MOC=∠AOM=30°，∠=︒=90°-∠MOC=60°；∴POCβ当OB旋转到OP右侧时，如图：设∠AOM=x，∵∠AOC＝2∠AOM=2x，∴∠MOC=3∠AOM=3x，∵∠BOC+∠MOC+∠AOM=90°，∴∠BOC=∠MOC=∠AOM=30°，∠的角平分线，∵OC是BOM∴∠BOC=∠MOC=3x，∴∠AOB=∠AOC+∠BOC=5x=90°，∴x=18°，∴∠MOC=3x=54°，∠=︒=90°-∠MOC=36°；∴POCβ综上β的值为：60°或36°．【点睛】本题考查了旋转的性质，角平分线的性质，分情况讨论是解题关键．3．如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝50°．现将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OD与射线OB重合，如图2．（1）∠EOC＝；（2）如图3，将三角板DOE绕点O逆时针旋转一定角度，此时OC是∠EOB的角平分线，求∠BOD的度数；（3）将三角板DOE绕点O逆时针旋转，在OE与OA重合前，是否有某个时刻满足∠DOC＝13∠AOE，求此时∠BOD的度数．【答案】（1）40°；（2）10°；（3）30°或60°）解：OC是∠BOC=∠=DOC ∠=BOD ∠+∠350α∴+︒-20α∴=︒②若OD 在设∠DOC 50BOD ∠=BOD ∠+∠350α∴+︒10α∴=︒（1）如图，若28MOC ∠=︒，求BON ∠的度数； （2）若MOC m ∠=︒，则BON ∠的度数为 ；（3）由（1）和（2），我们发现MOC ∠和BON ∠之间有什么样的数量关系？（4）若将三角形MON 绕点O 旋转到如图所示的位置，试问MOC ∠和BON ∠之间的数量关系是否发生变化？请说明理由．【答案】（1）56BON ∠=︒；（2）2m ︒；（3）2BON MOC ∠=∠；（4）不变.理由见解析. 【分析】（1）根据90MOC NOC ∠+∠=︒，28MOC ∠=︒，即可求出62NOC ∠=︒，根据角平分线的性质得到2124AON NOC ∠=∠=︒，即可求出BON ∠的度数． （2）根据（1）中的步骤进行求解即可． （3）根据（1），（2）的结果直接进行计算即可．（4）根据90MOC NOC ∠+∠=︒，得到90NOC MOC ∠=︒-∠,根据角平分线的性质得到2AON NOC ∠=∠，根据180180218029018018022BON AON NOC MOC MOC MOC ∠=︒-∠=︒-∠=︒-︒-∠=︒-︒+∠=∠（），即可求解．【详解】解：（1）90MON ∠=︒， 90MOC NOC ∴∠+∠=︒．又28MOC ∠=︒， 62NOC ∴∠=︒．OC 平分AON ∠，2124AON NOC ∴∠=∠=︒． 180BON AON ∠+∠=︒， 56BON ∴∠=︒．（2）90MON ∠=︒， 90MOC NOC ∴∠+∠=︒．又MOC m ∠=︒，90NOC m ∴∠=︒-︒． OC 平分AON ∠，21802AON NOC m ∴∠=∠=︒-︒．180BON AON ∠+∠=︒，2BON m ∴∠=︒．故答案为：2m ︒．（3）2BON MOC ∠=∠． （4）不变，理由如下： 90MON ∠=︒， 90MOC NOC ∴∠+∠=︒， 90NOC MOC ∴∠=︒-∠，OC 平分AON ∠，2AON NOC ∴∠=∠， 180BON AON ∠+∠=︒，180BON AON ∴∠=︒-∠1802NOC =︒-∠180290MOC （）=︒-︒-∠2MOC =∠， 即2BON MOC ∠=∠．【点睛】本题考查了直角三角形、角平分线的性质及邻补角等知识，熟练掌握直角三角形与角平分线的性质进行计算是解题的关键．5．如图1，点A 、O 、B 在同一直线上，∠AOC=60°，在直线AB 另一侧，直角三角形DOE 绕直角顶点O 逆时针旋转（当OD 与OC 重合时停止），设∠BOE=α： （1）如图1，当DO 的延长线OF 平分∠BOC ，∠α=______度；（2）如图2，若（1）中直角三角形DOE 继续逆时针旋转，当OD 位于∠AOC 的内部，且∠AOD=13∠AOC ，∠α=__度；（3）在上述直角三角形DOE 的旋转过程中，（∠COD+∠α）的度数是否改变？若不改变，请求出其度数；若改变，请说明理由．【答案】（1）30 ；（2） 110；（3）（∠COD+∠α）的度数不变，见解析.60角的三角板的上方，其中A 60∠=，另一块含45角的三角板POQ 的一边OQ 在直线MN 上，另一边OP 在直线MN 的下方．()1现将图1中的三角板POQ 绕点O 按顺时针方向旋转，当直线MN 恰好为POQ ∠的平分线时，如图2所示，则AOP ∠的度数______度；()2继续将图2中的三角板绕点O 按顺时针方向旋转至图3的位置，使得边OA 落在QOB∠的内部，且AO 恰好为POQ ∠的平分线时，求BOP ∠的度数；()3在上述直角三角板从图1按顺时针方向旋转至图位置为止，这个过程中，若三角板POQ绕点O 以每秒15的速度匀速旋转，当三角板POQ 的OP 边或OQ 边所在直线平分AOB ∠，则求此时三角板POQ 绕点O 旋转的时间t 的值(请直接写出答案)．15；（3）当)1直线MN 90， 45，又AOB 60∠=且MOB ∠POA 180POM AOB 180456075∠∠∠=--=--=，故AOP ∠的度数为75； 故答案为75)2AO 恰好为POQ ∠的平分线，1AOP 452∠=，AOB 30∠=，BOP AOP BOP 15∠∠∴=-=；()3根据题意可知，分两种情况，①当OP AOB 时，136090AOB2∠--或1902∠-AOB 30∠=，∴时间()t 36090151517(=--÷=秒)9015155(-÷=秒②当OQ 边所在直线平分AOB ∠时，三角板PQO 绕点O 旋转的度数为13602∠-1180AOB 2∠-，AOB 30∠=，∴时间)t 360151523(=-÷=秒)180151511(-÷=秒∠时旋转时间为5秒或17秒，当OQ边所在直线平综合①②得当OP边所在直线平分AOB∠时旋转时间为11秒或23秒．分AOB【点睛】此题考查了角平分线的定义，根据题意找到各个量之间的关系是解题的关键．7．将一三角板中的两块直角三角尺的直角顶点O按如图方式叠放在一起．（1）如图1，若∠BOD=35°，则∠AOC=______°；若∠AOC=135°，则∠BOD=_____°；（2）如图2，若∠AOC=140°，则∠BOD=_____°；（3）猜想∠AOC与∠BOD的大小关系，并结合图1说明理由；（4）三角尺AOB不动，将三角尺COD的OD边与OA边重合，然后绕点O按顺时针或逆时针方向任意转动一个角度，当∠AOD（0°＜∠AOD＜90°）等于多少度时，这两块三角尺各有一条边互相垂直，直接写出∠AOD角度所有可能的值，不用说明理由．【答案】（1）145°，45°；（2）40°；（3）∠AOC与∠BOD互补，理由详见解析；（4）∠AOD 角度所有可能的值为：30°、45°、60°、75°【分析】（1）由于是两直角三角形板重叠，根据∠AOC=∠AOB+∠COD-∠BOD可分别计算出∠AOC、∠BOD的度数；（2）根据∠BOD=360°-∠AOC-∠AOB-∠COD计算可得；（3）由∠AOD+∠BOD+∠BOD+∠BOC=180°且∠AOD+∠BOD+∠BOC=∠AOC可知两角互补；（4）分别利用OD⊥AB、CD⊥OB、CD⊥AB、OC⊥AB分别求出即可．【详解】解：解：（1）若∠BOD=35°，∵∠AOB=∠COD=90°，∴∠AOC=∠AOB+∠COD﹣∠BOD=90°+90°﹣35°=145°，若∠AOC=135°，则∠BOD=∠AOB+∠COD﹣∠AOC=90°+90°﹣135°=45°；（2）如图2，若∠AOC=140°，则∠BOD=360°﹣∠AOC﹣∠AOB﹣∠COD=40°；（3）∠AOC与∠BOD互补．∵∠AOD+∠BOD+∠BOD+∠BOC=180°．∵∠AOD+∠BOD+∠BOC=∠AOC，∴∠AOC+∠BOD=180°，即∠AOC与∠BOD互补．（4）OD⊥AB时，∠AOD=30°，CD⊥OB时，∠AOD=45°，CD⊥AB时，∠AOD=75°，OC⊥AB时，∠AOD=60°，即∠AOD角度所有可能的值为：30°、45°、60°、75°；故答案为（1）145°，45°；（2）40°．【点睛】本题题主要考查了互补、互余的定义等知识，解题的关键是理解重叠的部分实质是两个角的重叠．8．如图1，将三角板如图放置，∠AOC=60°．将另一把直角三角尺的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方，其中∠OMN=45°．(1)将图1中的三角尺MON绕点O逆时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，求∠CON的度数；(2)将图1中的三角尺MON绕点O按每秒10°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在第＿＿＿＿秒时，直线MN恰好与直线OC垂直；在第＿＿秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC．（直接写出结果）；(3)将图1中的三角尺MON绕点O顺时针旋转使ON在∠AOC的内部，请探究∠AOM与∠NOC之间的数量关系，并说明理由．(4)通过操作我们发现，将图1中三角形AOC绕点O顺时针旋转一定角度α（0<α<180°）时，三角形AOC会被直线AB或ON分成两个三角形，其中一个三角形有两个角相等，请直接写出所有符合条件的旋转角度α．【答案】(1)∠CON=150°(2)1.5或19.5；12或30(3)∠AOM与∠NOC之间的数量关系为：∠AOM﹣∠NOC＝30°．理由见解析(4)45︒或60︒或135︒或150︒如图，当OMN旋转到直线如图，当OMN在直线当OMN旋转到当OMN旋转到∵∠MON＝90°，∠AOC＝60°，∴∠AON＝90°﹣∠AOM，∠AON＝60°﹣∠NOC，∴90°﹣∠AOM＝60°﹣∠NOC，∴∠AOM﹣∠NOC＝30°，故∠AOM与∠NOC之间的数量关系为：∠AOM﹣∠NOC＝30°．(4)解：其中一个三角形是等腰三角形①OC在直线OB上方：当45AOH AHO∠=∠=︒时，α=︒-︒=︒∴904545的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．(2)在（1）的条件下，作线段NO的延长线OP（如图③所示），试说明射线OP是∠AOC的平分线；(3)将图①中的三角板OMN摆放成如图④所示的位置，请探究∠NOC与∠AOM之间的数量关系，并说明理由．【点睛】本题考查了角平分线，与三角板有关的计算，对顶角等知识．解题的关键在于找出角度的数量关系．10．已知直角三角板ABC和直角三角板DEF，∠ACB＝∠EDF＝90°，∠ABC＝60°，∠DEF ＝45°．(1)如图1．将顶点C和顶点D重合．保持三角板ABC不动，将三角板DEF绕点C旋转，当CF平分∠ACB时，则∠ACE= ；(2)在（1）的条件下，继续旋转三角板DEF，猜想∠ACE与∠BCF有怎样的数量关系？并利用图2所给的情形说明理由；(3)如图3，将顶点C和顶点E重合，保持三角板ABC不动，将三角板DEF绕点C旋转．写出∠ACD与∠BCF之间的数量关系并说明理由．【答案】(1)45°(2)∠ACE＝∠BCF(3)∠BCF-∠ACD =45°【分析】(1) 根据CF平分∠ACB，得到∠BCF=∠ACF=45°，结合∠EDF＝90°，计算即可．(2) 根据∠ACB＝∠EDF＝90°，得∠ACE=90°-∠ACF，∠BCF=90°-∠ACF，根据互余的性质证明即可．(3)根据∠ACF+∠ACD =45°，∠ACF=90°-∠BCF，代入等式消去∠ACF，整理可得证．(1)∵CF平分∠ACB，∠ACB＝∠EDF＝90°，∴∠BCF=∠ACF=45°，∴∠ACE=∠EDF-∠ACF=90°-45°=45°，故答案为：45°．(2)∠ACE=∠BCF．理由如下：∵∠ACB＝∠EDF＝90°，∴∠ACE=90°-∠ACF，∠BCF=90°-∠ACF，∴∠ACE =∠BCF ． (3)∠BCF -∠ACD =45°．理由如下： ∵∠ACB ＝∠EDF ＝90°，∠DEF ＝45°， ∴∠ACF +∠ACD =45°，∠ACF =90°-∠BCF ， ∴∠BCF -∠ACD =45°．【点睛】本题考查了互余的性质，两个角的和，角的平分线即从角的顶点出发的射线把这个角分成相等的两个角，熟练掌握两个角互余的性质是解题的关键．11．将两块直角三角板的顶点A 叠在一起，已知∠BAC ＝30°，∠DAE ＝90°，将三角板ADE 绕点A 旋转，在旋转过程中，保持∠BAC 始终在∠DAE 的内部．(1)如图①，若∠BAD ＝25°，求∠CAE 的度数．(2)如图①，∠BAE 与∠CAD 有什么数量关系，请说明理由．(3)如图②，若AM 平分∠BAD ，AN 平分∠CAE ，问在旋转过程中，∠MAN 的大小是否发生改变？若不变，请说明理由；若改变，请求出变化范围． CAE 12，∠BAC 130902即可．＝30°，∠DAE ＝90°，∠DAE -∠BAD -∠BAC =90°CAE 12， BAM ， CAE 12， BAD CAE 1302，BAC 130902，3030，60=︒．【点睛】本题考查三角板中角度计算，余角性质，角的和差，角平分线有关计算，掌握三角板中角度计算，角的和差，角平分线有关计算是解题关键．12．如图1，O 为直线AB 上一点，的直角顶点放在点O 处，一边ON 在射线OA 上，另一边OM 与OC 都在直线AB 的上方．(1)将图1中的三角板绕点O 以每秒3°的速度沿顺时针方向旋转一周，如图2，经过t 秒后，OM 恰好平分BOC ∠． ①t 的值是_________；②此时ON 是否平分AOC ∠？说明理由；(2)在（1）的基础上，若三角板在转动的同时，射线OC 也绕O 点以每秒6°的速度沿顺时针方向旋转一周，如图3，那么经过多长时间OC 平分MON ∠？请说明理由； (3)在（2）的基础上，经过多长时间，10BOC ∠=︒？请画图并说明理由． 【答案】(1)①5；②是，理由见解析则有30°+6t+10°=180°，或30°+6t-10°=180°，∠COD＝60°．(1)求图1中∠BOD的度数．(2)如图2，三角板COD固定不动，将三角板AOB绕点O按顺时针方向旋转一个角度α（即∠AOE＝α），在转动过程中两个三角板一直处于直线EF的上方．①当OB平分OA、OC、OD其中的两边组成的角时，求满足要求的所有旋转角度α的值；②在转动过程中是否存在∠BOC＝2∠AOD？若存在，求此时α的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)75(2)①旋转角α的值为30°，90°，105°；②当α=105°或125°时，存在∠BOC=2∠AOD．【分析】（1）根据平平角的定义即可得到结论；（2）①根据已知条件和角平分线的定义即可得到结论；②当OA在OD的左侧时，当OA在OD的右侧时，列方程即可得到结论．＝30°）的直角顶点放在点O处，另一边OM与OC都在直线AB的上方，将图1中的三角板绕点O以每秒3°的速度沿顺时针方向旋转一周．（1）几秒后ON与OC重合？（2）如图2，经过秒后，MN∥AB；（3）若三角板在转动的同时，射线OC也绕O点以每秒6°的速度沿顺时针方向旋转一周，那么经过多长时间OC与OM重合？请并说明理由．（4）在（3）的条件下，求经过多长时间OC平分∠MOB？请说明理由．顶点放在点O处．（1）如图1，将三角板MON的一边ON与射线OB重合时，求∠MOC的度数；（2）如图2，将三角板MON绕点O逆时针旋转一定角度，此时OC是∠MOB的平分线，求∠BON和∠CON的度数；（3）将三角板MON绕点O逆时针旋转至图3时，∠NOC＝14∠AOM，求∠NOB的度数．的量．16．如图1，已知50ABC ∠=︒，有一个三角板BDE 与ABC ∠共用一个顶点B ，其中45EBD ∠=︒．（1）若BD 平分ABC ∠，求EBC ∠的度数；（2）如图2，将三角板绕着点B 顺时针旋转α度（090α︒<<︒），当AB BD ⊥时，求EBC ∠的度数． ）BD 平分12DBC ABC =∠ABC ∠=︒1502ABD DBC ∴∠==⨯EBC EBD DBC ∴∠=+∠（2）当AB ABD ∠=ABC ∴∠+EBC ∴∠=【点睛】本题考查角平分线的性质、与三角板有关的角的和差计算等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．17．直角三角板ABC的直角顶点C在直线DE上，CF平分∠BCD．（1）在图1中，若∠BCE＝40°，∠ACF＝；（2）在图1中，若∠BCE＝α，∠ACF＝（用含α的式子表示）；（3）将图1中的三角板ABC绕顶点C旋转至图2的位置，若∠BCE＝150°，试求∠ACF 与∠ACE的度数．∵∠ACB＝90°，∠BCE＝40°，∵点C在DE上，【点睛】考查了角的计算和角平分线的定义，主要考查学生的计算能力，求解过程类似． 18．如图，以直线AB 上一点O 为端点作射线OC ，使80BOC ∠=︒，将一个直角三角形的直角顶点放在点O 处(注：90DOE ∠=︒)()1如图①，若直角三角板DOE 的一边OD 放在射线OB 上，则COE ∠= ．()2如图②，将直角三角板DOE 绕点O 逆时针方向转动到某个位置，若OC 恰好平分∠BOE ，求COD ∠的度数；()3如图③，将直角三角板DOE 绕点O 转动，如果OD 始终在BOC ∠的内部，试猜想BOD ∠与COE ∠有怎样的数量关系？并说明理由．【答案】（1）10°；（2）10°；（3）∠COE －∠BOD ＝10°，理由见解析．（3）猜想：∠COE－∠BOD＝10°理由：∵∠COE＝∠DOE－∠COD＝90°－∠COD∠COD＝∠BOC－∠BOD＝80°－∠B OD∴∠COE＝90°－（80°－∠B OD）＝10°＋∠B OD即∠COE－∠BOD＝10°【点睛】本题考查了角的度数问题，掌握角平分线的性质、余角的性质是解题的关键．。
八年级数学北师大版下册课时练第1章《4 角平分线》(含答案解析)(1)
答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。
亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。
相信你是最棒的！课时练第1章三角形的证明角平分线一、单选题1．下列命题是真命题的是（）A ．同旁内角互补B ．任意一个等腰三角形一定是钝角三角形C ．两边及一角对应相等的两个三角形全等D ．角平分线上的点到角两边的距离相等2．如图，已知AOB Ð，求作射线OC ，使OC 平分AOB Ð，那么作法的合理顺序是（）①作射线OC ；②在射线OA 和OB 上分别截取OD 、OE ，使OD OE =；③分别以D 、E 为圆心，大于12DE 的长为半径在AOB Ð内作弧，两弧交于点C ．A ．①②③B ．②①③C ．②③①D ．③①②3．如图，ABC 的三边AB ，BC ，CA 长分别是20，30，40，其三条角平分线将ABC 分为三个三角形，则ABO S：BCO S △：CAO S △等于（）A ．1：1：1B ．1：2：3C ．2：3：4D ．3：4：54．如图，△ABC 的三边AB ，BC ，CA 长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC 分为三个三角形，则S △ABO ：S △BCO ：S △CAO 等于（）A ．1：1：1B ．1：2：3C ．2：3：4D ．3：4：55．△ABC 的两条角平分线AD ，BE 相交于点F ，下列结论一定正确的是（）A ．BD =DCB ．BE ⊥AC C ．F A =FBD ．点F 到三角形三边的距离都相等6．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，以顶点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交边AC 、AB 于点M 、N ，再分别以点M 、N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线AP 交边BC 于点D ，若CD ＝4，AB ＝15，则△ABD 的面积是（）A ．15B ．30C ．45D ．607．如图，在△ABC 中，BC =10，CD 是∠ACB 的平分线．若P ，Q 分别是CD 和AC 上的动点，且△ABC 的面积为24，则P A +PQ 的最小值是（）A ．125B ．4C ．245D ．58．如图，∠BAC ＝30°，AD 平分∠BAC ，DF ⊥AB 交AB 于F ，DE ⊥DF 交AC 于E ，若AE ＝8，则DF 等于（）A ．5B ．4C ．3D ．29．如图，AB CD ∥，BP 和CP 分别平分∠ABC 和∠BCD ，AD 过点P ，且与AB 垂直．若8AD =，10BC =，则BCP 的面积为（）A ．16B ．20C ．40D ．8010．如图，钝角三角形△ABC 的面积是20，最长边BC =10，CD 平分∠ACB ，点P ，Q 分别是CD ，AC 上的动点，则AP +PQ 的最小值为（）A ．2B ．3C ．4D ．511．如图，在ABC 中，90C Ð=°，30B Ð=°，以点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB ，AC 于点M 和N ，再分别以点M 和N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线AP 交BC 于点.D 则下列结论：①AD 是ABC 的角平分线；②点D 在线段AB 的垂直平分线上；③60ADC Ð=°；④ADC S △：1ABC S =△：3；⑤AB =，其中正确结论的个数是（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个12．如图，在△ABC 中，∠C =90°，∠B =30°，以A 为圆心，任意长为半径画弧分别交AB 、AC 于点M 和N ，再分别以M 、N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，连结AP 并延长交B 于点D ，则下列说法中正确的个数是（）①AD 是BAC Ð的平分线；②60ADC Ð=°；③点D 在AB 的中垂线上；④DAC S：1ABC S =△：3．A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题13．如图，已知ABC 的周长是22，PB 、PC 分别平分ABC Ð和ACB Ð，PD BC ^于D ，且3PD =，ABC 的面积是________．14．如图，在ABC 中，90C Ð=°，AD 平分CAB Ð，2BD CD =，点D 到AB 的距离为5.6，则BC =___cm ．15．如图，在ABC 中，BD 是边AC 上的高，CE 平分ACB Ð，交BD 于点E ，且EF ^BC ，垂足为点F ，4DE =，则EF 的值为___________．16．如图，在△ABC 中，CD 是边AB 上的高，BE 平分∠ABC ，交CD 于点E ，BC ＝5，若△BCE 的面积为5，则ED 的长为_____．17．如图所示，在ABC 中，∠C ＝90°，BD 平分∠ABC ，作DE ⊥AB 于点E ．若CD ＝3，那么DE 的长为___．18．如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点G ，过点G 作EF //BC 交AB 于E ，交AC 于F ，过点G 作GD AC ^于D ，下列五个结论：①EF BE CF =+；②BE CF =；③1902BGC A Ð=°+Ð；④点G 到△ABC 各边的距离相等；⑤设GD m =，AE AF n +=，则AEF S mn =△．其中正确的结论是______（请填写序号）．19．如图，ABC 2，B Ð的平分线BP 与AP 垂直，垂足为点P ，:2:5AB BC =，那么APC △的面积为______2cm ．20．如图，CD 是△ABC 的角平分线，△ABC 的面积为12，BC 长为6，点E ，F 分别是CD ，AC 上的动点，则AE +EF 的最小值是_____．三、解答题21．已知：如图，90,30,C B AD Ð=°Ð=°是ABC 的角平分线．求证：2BD CD =．22．如图，在△ABC 中，AD 是它的角平分线，P 是AD 上的一点，PE //AB ，交BC 于点E ，PF //AC ，交BC 于点F ．求证：点D 到PE 和PF 的距离相等．23．如图，在ABC 中，90C Ð=°．(1)过点B 作ABC Ð的平分线交AC 于点D （尺规作图，保留作图痕迹，标注有关字母，不用写作法和证明）；(2)若3CD =，16AB BC +=，求ABC 的面积．24．如图所示，已知BD 为∠ABC 的平分线，AB ＝BC ，PM ⊥AD 于点M ，PN ⊥CD 于点N ．求证：PM PN =25．如图，在梯形ABCD 中，∠A =∠B =90°，点E 为AB 的中点，DE 平分∠ADC ．(1)求证：CE 平分∠BCD ；(2)求证：AD +BC =CD ．26．在ABC 中，AB AC =，90BAC Ð=°，AD BC ^于D ，过C 点引射线CF 交BA 延长线于F 点．过B 点作BE CF ^于E 点、分别交AD 、AC 于点G ，H ．(1)求证：ABH ACF △≌△；(2)若=AH AG ；①判断BE 是否是CBF 的角平分线，并说明理由；②说明2BH CE =．27．如图，在△ABC 中，∠B ＝∠C ，过BC 的中点D 作DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为点E 、F ．(1)求证：DE ＝DF ；(2)若AB ＝5，BC ＝8，求DE 的长．参考答案1．D 2．C 3．C 4．C 5．D 6．B 7．C 8．B 9．B 10．C11．D12．D13．3314．16.815．416．217．318．①③④1920．421．证明：如图，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，∵AD 平分BAC Ð，DE ⊥AB ，90C Ð=°，∴DE =DC ，∵在直角三角形BED 中，30B Ð=°，∴2BD DE =，∴2BD CD =．22．证明：∵PE ∥AB ，PF ∥AC ，∴∠EPD =∠BAD ，∠DPF =∠CAD ，∵△ABC 中，AD 是它的角平分线，∴∠BAD =∠CAD ，∴∠EPD =∠DPF ，即PD 平分∠EPF ，∴D 到PE 的距离与D 到PF 的距离相等．23．(1)∠ABC 的平分线如图所示．(2)作DH ⊥AB 于H ．∵BD 平分∠ABC ，DC ⊥BC ，DH ⊥AB ，∴CD =DH =3，∴△ABC 的面积=S △BCD +S △ABD =12BC •CD +12AB •DH =12×3BC +12×3AB =12×3（BC +AB ）=12×3×16=24．24．解：∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD =∠CBD ，在△ABD 和△CBD 中，=AB CB ABD CBD BD BD =ìïÐÐíï=î，∴△ABD ≌△CBD （SAS ），∴∠ADB =∠CDB ，∴BD 平分∠ADC ，∵PM ⊥AD ，PN ⊥CD ，∴PM =PN ．25．(1)证明：如图，作EM ⊥CD 垂足为M，∵ED 平分∠ADM ，EA ⊥AD ，EM ⊥CD ，∴AE ＝EM ，∵AE ＝EB ，∴EM ＝EB ，∵EB ⊥BC ，EM ⊥CD ，∴EC 平分∠BCD ．(2)证明：由（1）可知：AE ＝EM ＝EB ，在Rt △DEA 和Rt △DEM 中，DE DE AE EM=ìí=î，∴Rt △DEA ≌Rt △DEM （HL ），∴DA ＝DM ，同理可证：Rt △BEC ≌Rt △BMC （HL ），∴CB ＝CM ，∴CD ＝DM +MC ＝AD +BC ．26．(1)证明：∵BE ⊥CF 于E 点，∴∠BEC =90°，∴∠BAC =90°=∠BEC∵∠ABH +∠BHA =90°，∠ACF +∠CHE =90°，∠BHA =∠CHE ，∴∠ABH =∠ACF在△ABH 和△ACF 中∵90ABH ACF BAH CAF AB AC Ð=ÐìïÐ=Ð=°íï=î∴△ABH ≌△ACF （AAS ）．(2)解：①BE 是CBF 是角平分线．理由如下：∵AG =AH ，∴∠AGH =∠AHG ，∵∠AGH =∠BGD ，∴∠AHG =∠BGD∵AD ⊥BC 于D 点，∴∠GBD +∠BGD =90°，∵∠BAC =90°，∴∠ABH +∠AHB =90°，∴∠GBD =∠ABH ，∴BE 是△CBF 是角平分线．②证明：∵△ABH ≌△ACF ，∴BH =CF ，∵BE 是△CBF 是角平分线，∴EBC EBF Ð=Ð，在△BCE 和△BFE 中∵90EBC EBF BEC BEF BE BEÐ=ÐìïÐ=Ð=°íï=î∴△BCE ≌△BFE ()AAS ，∴EF =CE =12CF ，∴BH =2CE ．27．(1)证明：如图，连接AD，∵∠B ＝∠C ，∴AB ＝AC ，∵D 是BC 的中点，∴AD 平分∠BAC ，∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴DE ＝DF ；(2)解：∵AB ＝AC ，∵D 是BC 的中点，∴AD ⊥BC ，BD ＝CD ＝12BC ＝4，∴AD＝3，∴S△ABD＝12´AB•DE＝12´BD•AD，∴5DE＝4×3，∴DE＝12 5．。
2021-2022学年北师大版八年级数学下册《1-4角平分线》同步练习题(附答案)
2021-2022学年北师大版八年级数学下册《1-4角平分线》同步练习题（附答案）1．如图，已知△ABC的周长是16，MB和MC分别平分∠ABC和∠ACB，过点M作BC的垂线交BC于点D，且MD＝4，则△ABC的面积是（）A．64B．48C．32D．422．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，若AC＝3，BC＝4，则S△ABD：S△ACD为（）A．5：4B．5：3C．4：3D．3：43．如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝75°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E，若DE＝2，则AB的长为（）A．6B．+4C．+2D．2+24．点P在∠AOB的角平分线上，点P到OA边的距离等于10，点Q是OB边上的任意一点，下列选项正确的是（）A．PQ＜10B．PQ＞10C．PQ≥10D．PQ≤105．如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝45°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E．若DE＝1，则BC的长为（）A．3B．+C．+2D．2+6．如图，点P是∠AOB的角平分线OC上一点，PN⊥OB于点N，点M是线段ON上一点．已知OM＝3，ON＝5，点D为OA上一点若满足PD＝PM，则OD的长度为（）A．3B．5C．5或7D．3或77．如图，△ABC的∠B的外角的平分线BD与∠C的外角的平分线CE相交于点P，若点P 到直线AC的距离为4，则点P到直线AB的距离为（）A．4B．3C．2D．18．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，连接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C．若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为（）A．1B．6C．3D．129．如图，△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的角平分线交BC于点D，DE⊥AB于点E．若CD＝2，AB＝7，则△ABD的面积为（）A．3.5B．7C．14D．2810．如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．若S△ABC ＝28，DE＝4，AB＝8，则AC长是（）A．8B．7C．6D．511．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，用尺规作图法作出射线AE，AE交BC于点D，CD＝2，P为AB上一动点，则PD的最小值为（）A．2B．3C．4D．无法确定12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，CD＝3，DB＝5，点E在边AB上运动，连接DE，则线段DE长度的最小值为．13．如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点E、F分别是边AC、BC上的动点，且EF∥AB，点C关于EF的对称点D恰好落在△ABC的内角平分线上，则CD 长为．14．如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，点E是BC边的中点，DA平分对角线BD与CD边延长线的夹角，若BD＝5，CD＝7，则AE＝．15．如图，在△ABC中∠ABC和∠ACB平分线交于点O，过点O作OD⊥BC于点D，△ABC 的周长为21，OD＝4，则△ABC的面积是．16．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的角平分线AE与AC的中线BD交于点F，P 为CE中点，连接PF，若CP＝2，S△BFP＝15，则AB的长度为．17．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N．再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点D，若CD＝5，AB＝18，则△ABD的面积是．18．已知△ABC中，∠ACB＝90°．点I为△ABC各内角平分线的交点，过I点作AB的垂线，垂足为H．若BC＝6，AC＝8，AB＝10，则IH＝．19．如图，△ABC中，AB＝8，BC＝10，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，若DE ＝4，则三角形ABC的面积为．20．如图，D是∠EAF平分线上的一点，若∠ACD+∠ABD＝180°，请说明CD＝DB的理由．21．如图，在四边形ABCD中，∠A+∠C＝180°，BE平分∠ABC，DF平分∠CDA，BE∥DF．求证：DC⊥BC．22．在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，（1）若∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，求∠BOC的度数；（2）若∠ABC＝60°，OB＝4，且△ABC的周长为16，求△ABC的面积．参考答案1．解：连接AM，过M作ME⊥AB于E，MF⊥AC于F，∵MB和MC分别平分∠ABC和∠ACB，MD⊥BC，MD＝4，∴ME＝MD＝4，MF＝MD＝4，∵△ABC的周长是16，∴AB+BC+AC＝16，∴△ABC的面积S＝S△AMC+S△BCM+S△ABM＝＝×AC×4++＝2（AC+BC+AB）＝2×16＝32，故选：C．2．解：过D作DF⊥AB于F，∵AD平分∠CAB，∠C＝90°（即AC⊥BC），∴DF＝CD，设DF＝CD＝R，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，由勾股定理得：AB＝＝5，∴S△ABD＝＝＝R，S△ACD＝＝＝R，∴S△ABD：S△ACD＝（R）：（R）＝5：3，故选：B．3．解：∵在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝75°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝60°，过D作DF⊥AB于F，∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，DE＝2，∴DF＝DE＝2，∠AFD＝∠BFD＝90°，∠BAD＝∠CAD＝BAC＝30°，∴AD＝2DF＝4，∵∠B＝45°，∴∠FDB＝∠B＝45°，∴BF＝DF＝2，在Rt△AFD中，由勾股定理得：AF＝＝＝2，∴AB＝AF+BF＝2+2，故选：D．4．解：过P作PD⊥OB于D，∵PC⊥OA，PD⊥OB，OP平分∠AOB，∴PC＝PD，∵点P到OA边的距离等于10，∴PD＝PC＝10，∴PQ≥10（当Q与点D重合时，PQ＝10），故选：C．5．解：如图．过点D作DF⊥AC于F．∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF＝1，在Rt△BED中，∵∠BED＝90°，∠B＝30°，∴BD＝2DE＝2，在Rt△DFC中，∵∠DFC＝90°，∠C＝45°，∴CD＝DF＝，∴BC＝BD+CD＝2+，故选：D．6．解：如图：过点P作PE⊥OA于点E∵OC平分∠AOB，PE⊥OA，PN⊥OB∴PE＝PN∵PE＝PN，OP＝OP∴△OPE≌△OPN（HL）∴OE＝ON＝5∵OM＝3，ON＝5∴MN＝2若点D在线段OE上，∵PM＝PD，PE＝PN∴△PMN≌△PDE（HL）∴DE＝MN＝2∴OD＝OE﹣DE＝3若点D在射线EA上，∵PM＝PD，PE＝PN∴△PMN≌△PDE（HL）∴DE＝MN＝2∴OD＝OE+DE＝7故选：D．7．解：如图，过点P作PF⊥AC于F，作PG⊥BC于G，PH⊥AB于H，∵BD、CE是△ABC的外角平分线，∴PF＝PG，PG＝PH，∴PF＝PG＝PH，∵点P到AC的距离为4，∴PH＝4，即点P到AB的距离为4．8．解：过点D作DH⊥BC交BC于点H，如图所示：∵BD⊥CD，∴∠BDC＝90°，又∵∠C+∠BDC+∠DBC＝180°，∠ADB+∠A+∠ABD＝180°∠ADB＝∠C，∠A＝90°，∴∠ABD＝∠CBD，∴BD是∠ABC的角平分线，又∵AD⊥AB，DH⊥BC，∴AD＝DH，又∵AD＝3，∴DH＝3，又∴点D是直线BC外一点，∴当点P在BC上运动时，点P运动到与点H重合时DP最短，其长度为DH长等于3，即DP长的最小值为3．故选：C．9．解：∵△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的角平分线交BC于点D，DE⊥AB于点E，CD ＝2，∴DE＝CD＝2，∵AB＝7，∴△ABD的面积是：＝＝7，10．解：∵AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC于点F，∴DF＝DE＝4．又∵S△ABC＝S△ABD+S△ACD，AB＝8，∴28＝×8×4+×AC×4，∴AC＝6．故选：C．11．解：当DP⊥AB时，根据垂线段最短可知，此时DP的值最小．由作图可知：AE平分∠BAC，∵DC⊥AC，DP⊥AB，∴DP＝CD＝2，∴PD的最小值为2，故选：A．12．解：当DE⊥AB时，线段DE的长度最小（根据垂线段最短），∵AD平分∠CAB，∠C＝90°，DE⊥AB，∴DE＝CD，∵CD＝3，∴DE＝3，即线段DE的长度的最小值是3，故答案为：3．13．解：过点C作CH⊥AB于H，如图，∵EF∥AB，∴CH⊥EF，∵点D与点C关于EF对称，∴点D在CH上，在Rt△ABC中，AB＝＝10，∵CH•AB＝AC•BC，∴CH＝＝，当点D为∠BAC的平分线AM与CH的交点时，如图1，过点M作MN⊥AB于N，∴MC＝MN，∴AN＝AC＝6，∴BN＝4，设MC＝MN＝x，则BM＝8﹣x，在Rt△BMN中，x2+42＝（8﹣x）2，解得x＝3，∴CD＝3；当点D为∠ABC的平分线BG与CH的交点时，如图2，BH＝AB﹣AH＝，过点G作GQ⊥AB于Q，则GQ＝GC，∴BQ＝BC＝8，∴AQ＝2，设GQ＝GC＝t，则AG＝6﹣t，在Rt△AGQ中，22+t2＝（6﹣t）2，解得t＝，∴CD＝，综上所述，CD的长为3或．故答案为3或．14．解：方法一，如图，取BD中点H，连AH、EH，∵AB⊥AD，∴∠HDA＝∠HAD，∵DA平分∠FDB，∴∠FDA＝∠HDA，∴∠FDA＝∠HAD，∴AH∥DF，∵点E是BC边的中点，点H是BD的中点，∴EH∥CD，EH＝CD＝3.5，∴A、H、E三点共线，∴AE＝AH+EH＝2.5+3.5＝6．方法二，如图，延长BA和CD交于一点G，证明三角形BDA和三角形GDA全等，得A是BG中点，则AE是中位线，AE等于CG的一半故答案为：6．15．解：作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，∵OB是∠ABC的平分线，OD⊥BC，OE⊥AB，∴OE＝OD＝4，同理OF＝OD＝4，△ABC的面积＝×AB×4+×AC×4+×BC×4＝42．故答案为：42．16．解：过E作EG⊥AB于G，连接CF，∵P为CE中点，∵S△EFP＝S△CFP，设S△EFP＝S△CFP＝y，∵BD是AC边上的中线，∴设S△CDF＝S△AFD＝z，∵S△BFP＝15，∴S△BCD＝15+y+z，∴S△ABC＝2S△BCD＝30+2y+2z，∵S△ACE＝S△ACF+S△CEF＝2y+2z，∴S△ABE＝S△ABC﹣S△ACE＝30+2y+2z﹣（2y+2z）＝30，∵AE是∠CAB的角平分线，∴EG＝CE＝2CP＝4，∴S△ABE＝AB•EG＝30，∴AB＝15，故答案为：15．17．解：作DE⊥AB于E，由基本尺规作图可知，AD是△ABC的角平分线，∵∠C＝90°，DE⊥AB，∴DE＝DC＝5，∴△ABD的面积＝×AB×DE＝×5×18＝45，故答案为45．18．解：作IE⊥AC于E，IF⊥BC于F，连接IA、IB、IC，∵I为△ABC各内角平分线的交点，IE⊥AC，IF⊥BC，IH⊥AB，∴IE＝IF＝IH，则×AB×IH+×AC×IE+×BC×IF＝×BC×AC，解得，IH＝2，故答案为：219．解：过D作DF⊥BC，∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DE＝4，∴DF＝4，∴△ABC的面积＝△ABD的面积+△DBC的面积＝，故答案为：3620．解：过点D分别作AE，AF的垂线，交AE于M，交AF于N则∠CMD＝∠BND＝90°，∵AD是∠EAF的平分线，∴DM＝DN，∵∠ACD+∠ABD＝180°，∠ACD+∠MCD＝180°，∴∠MCD＝∠NBD，在△CDM和△BDN中，∠CMD＝∠BND＝90°，∠MCD＝∠NBD，DM＝DN，∴△CDM≌△BDN，∴CD＝DB．21．证明：∵在四边形ABCD中，∠A+∠C＝180°，∴∠ABC+∠ADC＝180°，∵BE平分∠ABC，DF平分∠CDA，∴∠EBC＝∠ABC，∠FDC＝∠ADC，∴∠EBC+∠FDC＝90°，∵DF∥BE，∴∠DFC＝∠EBC，∴∠DFC+∠FDC＝90°，∴∠C＝90°，∴DC⊥BC．22．解：（1）∵BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，∵∠ABC＝60°，∠ACB＝40°∴∠OBC＝30°，∠OCB＝20°，∴∠COB＝180°﹣（30°+20°）＝130°；（2）过O作OD⊥AB于D点，OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，连接AO，如图，∵∠ABC＝60°，OB＝4∴∠OBD＝30°，∴OD＝OB＝2，∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∴OE＝OF＝OD＝2，∵S△ABC＝S△AOB+S△AOC+S△BOC＝×2×AB+×2×AC+×2×BC＝AB+BC+AC，又∵△ABC的周长为16，∴S△ABC＝16．。
2021-2022学年北师大版八年级数学下册《1-4角平分线》同步课后作业题(附答案)
2021-2022学年北师大版八年级数学下册《1-4角平分线》同步课后作业题（附答案）1．如图，已知△ABC的周长是16，MB和MC分别平分∠ABC和∠ACB，过点M作BC的垂线交BC于点D，且MD＝4，则△ABC的面积是（）A．64B．48C．32D．422．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，若AC＝3，BC＝4，则S△ABD：S△ACD为（）A．5：4B．5：3C．4：3D．3：43．如图，射线OC是∠AOB的角平分线，D是射线OC上一点，DP⊥OA于点P，DP＝4，若点Q是射线OB上一点，OQ＝3，则△ODQ的面积是（）A．3B．4C．5D．64．如图，在Rt△ABC中∠C＝90°，BD是∠ABC的平分线，若CD＝4，AB＝14，则S△ABD ＝（）A．56B．28C．14D．125．如图，点O在△ABC内，且到三边的距离相等．若∠A＝40°，则∠BOC等于（）A．110°B．115°C．125°D．130°6．如图，已知△ABC，∠C＝90°，BD是△ABC的角平分线，若AD＝3，CD＝2，则点D 到AB边的距离为．7．如图，点P是∠AOC的角平分线上一点，PD⊥OA，垂足为点D，且PD＝3，点M是射线OC上一动点，则PM的最小值为．8．如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，若△ABC 的面积为21cm2，AB＝8cm，AC＝6cm，则DE的长为cm．9．如图，点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为D，若PD＝2，则点P到边OA的距离是．10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝8，CD＝3，则△ABD的面积是．11．如图，已知△ABC的周长是20，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD＝2，△ABC的面积是．12．在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，点P，Q，M，N是四个格点，则这四个格点中到∠AOB两边距离相等的点是点．13．如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为30，40，15，点P是△ABC三个内角平分线的交点，则S△P AB：S△PBC：S△PCA＝．14．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于D，DE⊥AB于点E，△ABC的面积是42cm2，AB＝10cm，BC＝14cm，则DE＝cm．15．已知：在△ABC中，∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，（1）如图1，求∠BDC的度数；（2）如图2，连接AD，作DE⊥AB，DE＝2，AC＝4，求△ADC的面积．16．在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，（1）若∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，求∠BOC的度数；（2）若∠ABC＝60°，OB＝4，且△ABC的周长为16，求△ABC的面积．17．如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝70°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E．（1）求∠EDA的度数；（2）若AB＝10，AC＝8，DE＝，求S△ABC．18．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD ＝DF．（1）求证：CF＝EB．（2）若AB＝12，AF＝8，求CF的长．19．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD，BE＝CF求证：AD平分∠BAC．20．如图，D是∠EAF平分线上的一点，若∠ACD+∠ABD＝180°，请说明CD＝DB的理由．参考答案1．解：连接AM，过M作ME⊥AB于E，MF⊥AC于F，∵MB和MC分别平分∠ABC和∠ACB，MD⊥BC，MD＝4，∴ME＝MD＝4，MF＝MD＝4，∵△ABC的周长是16，∴AB+BC+AC＝16，∴△ABC的面积S＝S△AMC+S△BCM+S△ABM＝＝×AC×4++＝2（AC+BC+AB）＝2×16＝32，故选：C．2．解：过D作DF⊥AB于F，∵AD平分∠CAB，∠C＝90°（即AC⊥BC），∴DF＝CD，设DF＝CD＝R，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，由勾股定理得：AB＝＝5，∴S△ABD＝＝＝R，S△ACD＝＝＝R，∴S△ABD：S△ACD＝（R）：（R）＝5：3，故选：B．3．解：作DE⊥OB于E，如图，∵OC是∠AOB的角平分线，DP⊥OA，DE⊥OB，∴DE＝DP＝4，∴S△ODQ＝×3×4＝6．故选：D．4．解：如图，过点D作DE⊥AB于E，∵BD是∠ABC的平分线，∠C＝90°，∴DE＝CD＝4，∴△ABD的面积＝AB•DE＝×14×4＝28．故选：B．5．解：∵O到三角形三边距离相等，∴O是△ABC的内心，即三条角平分线交点，∴AO，BO，CO都是角平分线，∴∠CBO＝∠ABO＝∠ABC，∠BCO＝∠ACO＝∠ACB，∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣40°＝140°，∴∠OBC+∠OCB＝70°，∴∠BOC＝180°﹣70°＝110°，故选：A．6．解：如图，过点D作DE⊥AB于E，∵∠C＝90°，BD是三角形的角平分线，∴DE＝CD＝2，即点D到AB边的距离是2．故答案为：2．7．解：根据垂线段最短可知：当PM⊥OC时，PM最小，当PM⊥OC时，又∵OP平分∠AOC，PD⊥OA，PD＝3，∴PM＝PD＝3，故答案为：3．8．解：∵AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，∵S△ABD+S△ACD＝S△ABC，∴×AB×DE+×DF×AC＝21，即×8×DE+×DE×6＝21，∴DE＝3（cm）．故答案为3．9．解：过P作PE⊥OA于点E，∵点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，∴PE＝PD，∵PD＝2，∴PE＝2，∴点P到边OA的距离是2．故答案为2．10．解：作DE⊥AB于E，如图，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE＝DC＝3，∴S△ABD＝×8×3＝12．故答案为12．11．解：如图，连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，∵OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，∴OE＝OF＝OD＝2，∵△ABC的周长是20，OD⊥BC于D，且OD＝2，∴S△ABC＝×AB×OE+×BC×OD+×AC×OF＝×（AB+BC+AC）×2＝×20×2＝20，故答案为：20．12．解：由图形可知，点M在∠AOB的角平分线上，∴点M到∠AOB两边距离相等，故答案为：M．13．解：∵点P是△ABC三个内角平分线的交点，∴P点到三边的距离相等，设这个距离为m，∴S△P AB：S△PBC：S△PCA＝×AB×m：×BC×m：×AC×m ＝AB：BC：AC＝30：40：15＝6：8：3．故答案为6：8：3．14．解：作DF⊥BC于F，如图，∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC，∴DE＝DF，∵S△ADB+S△BCD＝S△ABC，∴×10×DE+×14×DF＝42，∴5DE+7DE＝42，∴DE＝（cm）．故答案为．15．解：（1）∵BD平分∠ABC，∴∠DBC＝∠ABC＝×60°＝30°，∵CD平分∠ACB，∴∠DCB＝∠ACB＝×40°＝20°，∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠DCB＝180°﹣30°﹣20°＝130°；（2）作DF⊥AC于F，DH⊥BC于H，如图2，∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DH⊥BC，∴DH＝DE＝2，∵CD平分∠ACB，DF⊥AC，DH⊥BC，∴DF＝DH＝2，∴△ADC的面积＝DF•AC＝×2×4＝4．16．解：（1）∵BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，∵∠ABC＝60°，∠ACB＝40°∴∠OBC＝30°，∠OCB＝20°，∴∠COB＝180°﹣（30°+20°）＝130°；（2）过O作OD⊥AB于D点，OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，连接AO，如图，∵∠ABC＝60°，OB＝4∴∠OBD＝30°，∴OD＝OB＝2，∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∴OE＝OF＝OD＝2，∵S△ABC＝S△AOB+S△AOC+S△BOC＝×2×AB+×2×AC+×2×BC＝AB+BC+AC，又∵△ABC的周长为16，∴S△ABC＝16．17．解：（1）∵∠B＝50°，∠C＝70°，∴∠BAC＝60°∵AD是△ABC的角平分线，∴∠BAD＝∵DE⊥AB，∴∠DEA＝90°∴∠EDA＝90°﹣∠BAD＝60°（2）过点D作DF⊥AC于点F．∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∴DF＝DE＝，又AB＝10，AC＝8，∴18．（1）证明：∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于E，∴DE＝DC．在Rt△CDF与Rt△EDB中，，∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL），∴CF＝EB．（2）解：设CF＝x，则AE＝12﹣x，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∴CD＝DE．在Rt△ACD与Rt△AED中，，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AC＝AE，即8+x＝12﹣x，解得x＝2，即CF＝2．19．证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠E＝∠DFC＝90°，在Rt△BDE和Rt△CDF中，，∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），∴DE＝DF，∵AD＝AD，Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），∴∠DAE＝∠DAF，∴AD平分∠BAC．20．解：过点D分别作AE，AF的垂线，交AE于M，交AF于N 则∠CMD＝∠BND＝90°，∵AD是∠EAF的平分线，∴DM＝DN，∵∠ACD+∠ABD＝180°，∠ACD+∠MCD＝180°，∴∠MCD＝∠NBD，在△CDM和△BDN中，∠CMD＝∠BND＝90°，∠MCD＝∠NBD，DM＝DN，∴△CDM≌△BDN，∴CD＝DB．。
八年级数学北师大版下册课时练第1章《4 角平分线》(含答案解析)(2)
答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。
亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。
相信你是最棒的！课时练第1章三角形的证明角平分线一、单选题1．如图AD 是∠BAC 的平分线，EF ∥AC 交AB 于点E ，交AD 于点F ，∠1＝30°，∠BAD 的度数（）A ．20°B ．30°C ．60°D ．120°2．如图，∠BAC ＝30°，AD 平分∠BAC ，DF ⊥AB 交AB 于F ，DE ⊥DF 交AC 于E ，若AE ＝8，则DF 等于（）A ．5B ．4C ．3D ．23．如图，//AB CD ，直线MN 分别交AB 、CD 于点E 、F ，EG 平分AEF Ð，EG FG ^于点G ，若55BEM °Ð=，则CFG Ð的度数为（）A ．27.5°B ．65°C ．62.5°D ．112.5°4．如图所示，在等腰直角△ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠CAB ，DE ⊥AB 于E ．若AB ＝8，则△DEB 的周长为（）A ．6B ．8C ．10D ．125．如图，在ABC 中，CD 是ABC 的角平分线，DE BC ^于E ，F ，G 分别是边AC ，BC 上的点，连接DF ，DG ，若DF DG =，CDF 和DEG △的面积分别为50和15，则CDG 的面积为（）A ．30B ．25C ．20D ．156．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，使点P 到AB 、BC 的距离相等，则符合要求的作图痕迹（）A ．B ．C ．D ．7．如图，在△ABC 中，∠C =90°，∠B =30°，以A 为圆心，任意长为半径画弧分别交AB 、AC 于点M 和N ，再分别以M 、N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，连结AP 并延长交B 于点D ，则下列说法中正确的个数是（）①AD 是BAC Ð的平分线；②60ADC Ð=°；③点D 在AB 的中垂线上；④DAC S：1ABC S =△：3．A ．1B ．2C ．3D ．48．如图，90B C Ð=Ð=°，M 是BC 的中点，DM 平分ADC Ð，且120ADC =а，20cm BC =，则AM 的长度为（）A ．20cmB ．10cmC ．5cmD ．15cm 9．如图O 是ABC 内的一点，且O 到三边AB 、BC 、CA 的距离==OF OD OE ．若70A Ð=°，则BOC Ð（）．A ．125°B ．135°C ．105°D ．100°10．如图，为了促进当地旅游发展，某地在三条公路附近修建一个度假村，要使这个度假村到三条公路距离相等，则可以选择的地址有（）处．A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题11．在ABC 中，,AB AC B =Ð的角平分线与AC 边所夹的锐角为60°，则A Ð的度数等于__________．12．如图，在ABC 中，BD 平分ABC Ð，如果8AB =，12BC =，ABD 的面积为16，则CBD 的面积为______．13．如图，在四边形ABCD 中，AD ＝CD ，AB ＝CB ．下列结论：①BD 垂直平分AC ；②BD 平分∠ADC ；③AB ∥CD ；④ABD ≌CBD ．其中所有正确结论的序号是_______．14．如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于点E ，S △ABC ＝15，DE ＝3，AB ＝6，则AC 长是___．15．如图，已知ABC D 和ADE D 都是等腰三角形，90BAC DAE == ∠∠，BE 、CD 交于点O ，连接OA ．下列结论：①BE CD =；②BE ⊥CD ；③OA 平分CAE Ð；④45AOB Ð= ．其中正确结论的是__________．三、解答题16．如图，直线AB CD ∥，点E 在AB 上，EF 交CD 于点F ，EG 平分∠BEF ，交CD 于点G ．若46AEF Ð=°，求EGF Ð的度数．17．如图，AB ＝AC ，BD ＝DC ，DF ⊥AB ，DE ⊥AC ，垂足分别是F ，E ．求证：DE ＝DF ．18．如图，在△ABC 中，∠C =90°，∠CAD =∠BAD ，DE ⊥AB 于E ，点F 在边AC 上．（1）求证：DC =DE ；（2）若AC =4，AB =5，且△ABC 的面积等于6，求DE 的长．19．在ABC 中，AB AC =，90BAC Ð=°，AD BC ^于D ，过C 点引射线CF 交BA 延长线于F 点．过B 点作BE CF ^于E 点、分别交AD 、AC 于点G ，H ．(1)求证：ABH ACF △≌△；(2)若=AH AG ；①判断BE 是否是CBF 的角平分线，并说明理由；②说明2BH CE =．20．已知：任意一个三角形的三条角平分线都交于一点．如图，在ABC 中，BD 、CD 分别平分ABC Ð、ACB Ð，过点D 作直线分别交AB 、AC 于点E 、F ，若AE AF =，解答下列问题：（1）证明：DE DF =；（2）若60A Ð=°，8AB =，7BC =，5AC =，求EF 的长．答案1．B2．B3．C4．B5．C6．C7．D8．A9．A10．D11．20°或100°12．2413．①②④14．415．①②④16.解：180AEF BEF Ð+Ð=° ，180********BEF AEF \Ð=°-Ð=°-°=°．EG 平分BEF Ð，111346722BEG FEG BEF \Ð=Ð=а=´=°．AB CD ∥，67EGF BEG \Ð=Ð=°．17.证明：在ABD △和ACD △中，AB AC BD CD AD AD =ìï=íï=î，()ABD ACD SSS \@，BAD CAD \Ð=Ð，即AD 是BAC Ð的角平分线，,DF AB DE AC ^^ ，DE DF \=．18.解：（1）∵∠C =90°，∴DC AC ^，又∵∠CAD =∠BAD ，DE ⊥AB∴DC =DE ；（2）∵DC =DE ，∴ABC ACD ABD S S S =+△△△，∴1122ABC S AC CD AB DE =´´+´´△，∴1164522DE DE =´´+´´，解得：43DE =．19.(1)证明：∵BE ⊥CF 于E 点，∴∠BEC =90°，∴∠BAC =90°=∠BEC∵∠ABH +∠BHA =90°，∠ACF +∠CHE =90°，∠BHA =∠CHE ，∴∠ABH =∠ACF在△ABH 和△ACF 中∵90ABH ACF BAH CAF AB AC Ð=ÐìïÐ=Ð=°íï=î∴△ABH ≌△ACF （AAS ）．(2)解：①BE 是CBF 是角平分线．理由如下：∵AG =AH ，∴∠AGH =∠AHG ，∵∠AGH =∠BGD ，∴∠AHG =∠BGD∵AD ⊥BC 于D 点，∴∠GBD +∠BGD =90°，∵∠BAC =90°，∴∠ABH +∠AHB =90°，∴∠GBD =∠ABH ，∴BE 是△CBF 是角平分线．②证明：∵△ABH ≌△ACF ，∴BH =CF ，∵BE 是△CBF 是角平分线，∴EBC EBF Ð=Ð，在△BCE 和△BFE 中∵90EBC EBF BEC BEF BE BE Ð=ÐìïÐ=Ð=°íï=î∴△BCE ≌△BFE ()AAS ，∴EF =CE =12CF ，∴BH =2CE ．20.（1）证明：连接AD ，AE AF =，\AEF 是等腰三角形，BD 、CD 分别平分ABC Ð、ACB Ð，\AD 平分BAC Ð，\DE DF =；（2）解：在BC 上取点M N 、，使得BE BM CF CN ==，，设2EF x =，则DE DF x ==， 60A AE AF Ð=°=，，\AEF 为等边三角形，\2AE AF EF x ===，60AEF Ð=°，在BED 和BMD 中，BE BM EBD MBD BD BD =ìïÐ=Ðíï=î，\BED ≌BMD （SAS ），\DM DE =，82BM BE x ==-，BED BMD Ð=Ð，60DMN AEF \Ð=Ð=°，在CND △和CFD △中，CN CFBM NCD FCD CD CD =ìïÐ=Ðíï=î，\NCD ≌FCD （SAS ），\,52DN DF CN CF x ===-，又 DE DF =，\DM DN DE x ===，又 60DMN Ð=°，\DMN 为等边三角形，\MN DM x ==，\(82)(52)7BC BM MN NC x x x =++=-++-=，即2x =，\24EF x ==．。
北京市八年级数学下册 垂直平分线与角平分线课后练习
垂直平分线与角平分线课后练习如图，AB是∠DAC的平分线，且AD=AC．求证：BD=BC．给出以下两个定理：①线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；②到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．应用上述定理进行如下推理，如图，直线l是线段MN的垂直平分线．∵点A在直线l上，∴AM=AN（）∵BM=BN，∴点B在直线l上（）∵CM≠CN，∴点C不在直线l上．这是因为若是点C在直线l上，那么CM=CN（）这与条件CM≠CN矛盾．以上推理中各括号内应注明的理由依次是（）A．②①①B．②①②C．①②②D．①②①如下图，D是∠AOB平分线上的一点，DE⊥OA，DF⊥OB，垂足别离是E，F．以下结论不必然成立的是（）A．DE=DF B．OE=OF C．∠ODE=∠ODF D．OD=DE+DF如图，P是∠AOB平分线上一点，CD⊥OP于P，并别离交OA、OB于C，D，那么点P到∠AOB两边距离之和（）A．小于CD B．大于CD C．等于CD D．不能确信如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC的垂直平分线MN与AB交于D点，∠BCD=10°，那么∠A的度数是．如图，AB=AC=10，∠A=40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D．求：（1）∠ABD的度数；（2）假设△BCD的周长是m，求BC的长．已知：如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，CD平分∠ACB交边AB于点D，DE⊥BC垂足为E，BD = 2AD．求证：BE =CE ．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB 于D ，AE 平分∠BAC ，交CD 于K ，交BC 于E ，F 是BE 上一点，且BF =CE ．求证：FK ∥AB ．如图，AD 是△ABC 的角平分线，AD 的中垂线别离交AB 、BC 的延长线于点F 、E求证：（1）∠EAD =∠EDA ；（2）DF ∥AC ；（3）∠EAC =∠B ．如图，△ABC 的边BC 的中垂线DF 交△BAC 的外角平分线AD 于D ，F 为垂足，DE ⊥AB 于E ，且AB ＞AC ，求证：BE AC =AE ．如图，已知△ABC 中，∠BAC ：∠ABC ：∠ACB =4：2：1，AD 是∠BAC 的平分线．求证：AD =AC AB ．如图，△ABC 中，∠C =90°，∠BAC 的平分线交BC 于D ，且CD =15，AC =30，那么AB 的长为 ． 一个风筝如下图，两翼AB =AC ，横骨BF ⊥AC ，CE ⊥AB ，问其中骨AD 能平分∠BAC 吗？什么缘故？ 已知AC 平分∠DAB ，CE ⊥AB 于E ，AB =AD +2BE ，那么以下结论：①1()2AE AB AD =+； ②∠DAB +∠DCB =180°；③CD =CB ；④S △ACE S △BCE =S △ADC ．其中正确结论的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个垂直平分线与角平分线课后练习参考答案见详解．详解：∵AB 是∠DAC 的平分线，∴∠DAB =∠CAB ，在△ABD和△ABC中，AD ACDAB CAB AB AB=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD≌△ABC（SAS）．∴BD=BCD．详解：依照题意，第一个空，由垂直平分线取得线段相等，应用了性质，填①；第二个空，由线段相等得点在直线上，应用了判定，填②；第三个空，应用了垂直平分线的性质，填①．因此填①②①，应选D．D．详解：∵D是∠AOB平分线上的一点，DE⊥OA，DF⊥OB，∴DE=DF，故A选项成立，在Rt△ODE和Rt△ODF中，OD ODDE DF=⎧⎨=⎩，∴Rt△ODE≌Rt△ODF（HL），∴OE=OF，∠ODE=∠ODF，故B、C选项成立，OD=DE+DF无法证明，不必然成立．应选D．A．详解：如图，过点P作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，则PE、PF别离为点P到∠AOB两边的距离，∵PE＜PC，PF＜PD，∴PE+PF＜PC +PD，∴PE+PF＜CD，即点P到∠AOB两边距离之和小于CD．应选A．40°．详解：∵MN是AC的垂直平分线，∴AD=CD，∴∠ACD=∠A，∵在Rt△ABC中，∠B=90°，∴∠A+∠ACB=90°，∵∠BCD=10°，∴∠A+∠ACD+∠BCD=90°，即2∠A+10°=90°，解得：∠A=40°．故答案为：40°．（1）40°；（2）m10．详解：（1）∵AB的垂直平分线MN交AC于点D，∴AD=BD，∵∠A=40°，∴∠ABD=∠A=40°；（2）∵AB的垂直平分线交AC于D，∴AD=BD，∵△BCD的周长为m，∴BD+DC+BC=m，即AD+DC+BC=m，AC+BC=m，∵AC=10，BC=m，∴BC=m10．见详解详解：∵∠A=90°，DE⊥BC，CD平分∠ACB，∴AD=DE，∵BD = 2AD，∴BD =2DE．在Rt△BDE中，∵BD =2DE，∴∠B=30°．在Rt△ABC中，∵∠A=90°，∠B=30°，∴∠ACB=60°．∵CD平分∠ACB，∴∠BCD=30°．∴∠BCD=∠B，∴BD=CD．∵DE⊥BC，∴BE=CE．见详解．详解：证明：过点K作MK∥BC，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠CAE，又∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠BAE+∠DKA=∠CAE+∠CEA=90°，∴∠DKA=∠CEA，又∵∠DKA=∠CKE，∴∠CEA=∠CKE，∴CE=CK，又CE=BF，∴CK=BF，而MK∥BC，∴∠B=∠AMK，∴∠BCD+∠B=∠DCA+∠BCD=90°，∴∠AMK=∠DCA，在△AMK和△ACK中，∴∠AMK=∠ACK，AK=AK，∠MAK=∠CAK，∴△AMK≌△ACK，∴CK=MK，∴MK=BF，MK∥BF，四边形BFKM是平行四边形，∴FK∥AB．见详解详解：（1）∵EF是AD的中垂线，∴DE=AE．∴∠EAD=∠EDA．（2）∵EF为中垂线，∴FD=FA．∴∠FDA=∠FAD．∵AD平分∠BAC，∴∠FAD=∠DAC，因此∠FDA=∠DAC．∴DF∥AC．（3）∵∠EAD=∠EDA，∠EAD=∠DAC+∠CAE，∠EDA=∠B+∠BAD，∴∠DAC +∠CAE =∠B +∠BAD ，∵∠FAD =∠DAC ，∴∠EAC =∠B ．见详解详解：作DG ⊥AC ，连接BD 、CD ，∵AD 是外角∠BAG 的平分线，DE ⊥AB ，∴∠DAE =∠DAG ，那么在△ADE 与△ADG 中，DEA DGA EAD GAD AD AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADE ≌△ADG （AAS ），∴AE =AG ，∵DF 是BC 的中垂线，∴BD =CD ，∴在Rt △BED 和Rt △CGD 中，DE DG BD CD =⎧⎨=⎩，∴Rt △BED ≌Rt △CGD （HL ）， ∴BE =CG =AC +AG ，AG =AE ，∴BE AC =AE ．见详解详解：在AC 上截取AE =AB ，连DE ，如图， 设∠C =x ，∵∠BAC ：∠ABC ：∠ACB =4：2：1，∴∠BAC =4x ，∠B =2x ，∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠3=∠4=2x ，∵在△ABD 和△AED 中，34AB AE AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△AED （SAS ），∴∠B =∠1=2x ，∴∠1=∠4，∴DA =DE ，∵∠1=∠2+∠C ，∠C =x ，∴∠2=2x x =x ，即∠2=∠C ，∴ED =EC ，∴DA =EC ，∴AC =AE +EC =AB +AD ，即AD =AC AB ．50．详解：如图，作DE ⊥AB ，∴∠BED =90°，∴∠BED =∠C =90°，∵∠EBD =∠ABC ，∴△ABC ∽△DBE ，∴AC DE BC BE=，设BD =x ，BE =y ，那么301515x y =+，30y =152+15x ，x =2y 15，在Rt △DBE 中，BD 2=DE 2+BE 2，即（2y 15）2=y 2+152，y （y 20）=0，∴y =20，AB =AE +BE =30+20=50．故答案为：50．能平分∠BAC ．详解：中骨AD 能平分∠BAC ．理由如下：∵BF ⊥AC ，CE ⊥AB ，∴∠AFB =∠AEC =90°，又∵AB =AC ，∠BAF =∠CAE ，∴△BAF ≌△CAE ，∴AF =AE ．在Rt △AED 和Rt △AFD 中，AD =AD ，AE =AF ，∴Rt △AED ≌Rt △AFD ，∴∠EAD =∠FAD ，答：中骨AD 能平分∠BAC ．D ．详解：①在AE 取点F ，使EF =BE ．∵AB =AD +2BE =AF +EF +BE ，EF =BE ，∴AB =AD +2BE =AF +2BE ，∴AD =AF ，∴AB +AD =AF +EF +BE +AD =2AF +2EF =2（AF +EF ）=2AE ， ∴1()2AE AB AD =+，故①正确； ②在AB 上取点F ，使BE =EF ，连接CF ．在△ACD 与△ACF 中，∵AD =AF ，∠DAC =∠FAC ，AC =AC ，∴△ACD ≌△ACF ，∴∠ADC =∠AFC ．∵CE 垂直平分BF ，∴CF =CB ，∴∠CFB =∠B ．又∵∠AFC +∠CFB =180°，∴∠ADC +∠B =180°，∴∠DAB +∠DCB =360（∠ADC +∠B ）=180°，故②正确；③由②知，△ACD ≌△ACF ，∴CD =CF ，又∵CF =CB ，∴CD =CB ，故③正确；④易证△CEF ≌△CEB ，∴S △ACES △BCE =S △ACE S △FCE =S △ACF ，又∵△ACD ≌△ACF ， ∴S △ACF =S △A DC ，∴S △ACE S △BCE =S △ADC ，故④正确．应选D ．。
2022-2023学年人教版七年级数学上册《4-3-2角的比较与运算》知识点分类练习题(附答案)
2022-2023学年人教版七年级数学上册《4.3.2角的比较与运算》知识点分类练习题（附答案）一．角平分线1．如图，下列结论中，不能说明射线OC平分∠AOB的是（）A．∠AOC＝∠BOC B．∠AOB＝2∠BOCC．∠AOB＝2∠AOC D．∠AOC+∠BOC＝∠BOA2．如图所示，∠AOB＝156°，OD是∠AOC的平分线，OE是∠BOC的平分线，那么∠DOE 等于（）A．78°B．80°C．88°D．90°3．一个钝角的平分线和这个角的一边形成的角一定是（）A．锐角B．钝角C．直角D．平角4．如图，∠AOB是直角，OE平分∠AOC，OD平分∠BOC．求∠EOD的度数．5．如图，已知∠AOB＝90°，∠EOF＝60°，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC，求∠COB 和∠AOC的度数．6．如图，点O为直线AB上的一点，∠BOC＝42°，∠COE＝90°，且OD平分∠AOC，求∠AOE和∠DOE的度数．7．如图，OC是∠AOB的平分线，∠BOD＝∠COD，∠BOD＝15°，则∠AOD＝（）A．45°B．55°C．65°D．75°8．如图，∠AOB是平角，∠AOC＝30°，∠BOD＝60°，OM，ON分别是∠AOC，∠BOD 的平分线，∠MON等于度．9．如图，OC平分∠AOB，若∠BOC＝23°，则∠AOB＝度．10．点M，O，N顺次在同一直线上，射线OC，OD在直线MN同侧，且∠MOC＝64°，∠DON＝46°，则∠MOC的平分线与∠DON的平分线夹角的度数是（）A．85°B．105°C．125°D．145°11．如图，∠AOC与∠BOC的度数比为5：2，OD平分∠AOB，若∠COD＝15°，求∠AOB 的度数．12．已知在平面内，∠AOB＝60°，OD是∠AOB的角平分线，∠BOC＝20°，则∠COD 的度数是．二．角的计算13．不能用一副三角板拼出的角是（）A．150°B．105°C．15°D．110°14．如图，是一副三角板重叠而成的图形，则∠AOD+∠BOC＝°．15．如图，已知∠AOB＝90°，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC．（1）若∠DOB＝15°，求∠DOE的度数；（2）若∠DOB＝x，此时∠DOE＝．（1）解：∵∠AOB＝90°，∠DOB＝15°，∴∠1＝．又∵OD平分∠AOC，∴．请继续完成求∠DOE度数的推理过程：16．如图，∠DOC＝∠BOD，OB平分∠AOC．（1）若∠DOC＝20°，求∠BOD和∠AOC的度数；（2）若∠DOC＝α，则∠AOD＝°．17．如图，已知O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠AOD．（1）如图1，若∠COE＝35°，求∠DOB的度数；（2）若将图1中的∠COD放置到图2所示的位置，其他条件不变，若∠COE＝β，求∠DOB的度数．（根据图形中角的关系进行推理和计算，并用含β的代数式表示出∠DOB）18．如图，将两块三角尺AOB与COD的直角顶点O重合在一起，若∠AOD＝4∠BOC，OE为∠BOC的平分线，则∠DOE的度数为（）A．36°B．45°C．60°D．72°19．平面内有公共端点的三条射线OA，OB，OC，构成的角∠AOB＝30°，∠BOC＝70°，OM和ON分别是∠AOB和∠BOC的角平分线，则∠MON的度数是．20．已知∠AOB＝70°，以O为端点作射线OC，使∠AOC＝42°，则∠BOC的度数为．21．如图：已知直线AB、CD相交于点O，∠COE＝90°．（1）若∠AOC＝32°，求∠BOE的度数；（2）若∠BOD：∠BOC＝2：7，求∠BOD的度数．22．如图，点O为直线AC上任意一点，∠AOB＝78°，OD平分∠AOB，OE在∠BOC内，∠BOE＝∠EOC．求∠EOC及∠DOC的度数．23．已知：如图，∠AOB＝∠AOC，∠COD＝∠AOD＝120°，求：∠COB的度数．24．如图，OE为∠AOD的平分线，∠EOC，∠COD＝18°，求：∠AOD的大小．三．比较角的大小25．将钝角，直角，平角，锐角由小到大依次排列，顺序是．26．比较大小：52°52′52.52°．（填“＞”、“＜”或“＝”）27．如图，正方形网格中每个小正方形的边长都为1，则∠α与∠β的大小关系为（）A．∠α＜∠βB．∠α＝∠βC．∠α＞∠βD．无法估测28．把一副三角尺如图所示拼在一起．（1）写出图中∠A、∠B、∠BCD、∠D、∠AED的度数；（2）用小于号“＜”将上述各角连接起来．29．如图，数一数以O为顶点且小于180°的角一共有多少个？你能得到解这类问题的一般方法吗？参考答案一．角平分线1．解：A、∵∠AOC＝∠BOC，∴OC平分∠AOB，故A正确；B、∵∠AOB＝2∠BOC，∠AOB＝∠AOC+∠BO，C∴∠AOC＝∠BOC，故B正确；C、∵∠AOB＝2∠BOC，∠AOB＝∠AOC+∠BOC，∴∠AOC＝∠BOC，故C正确；D、∵∠AOC+∠BOC＝∠AOB，∠AOC不一定等于∠BOC，故D错误；故选：D．2．解：∵OD是∠AOC的平分线，∴∠COD＝∠AOC，同理，∠COE＝∠BOC，又∵∠AOB＝∠AOC+∠BOC，∴∠DOE＝∠COD+∠COE＝∠AOB＝×156°＝78°．故选：A．3．解：设这个角的度数是α°，则90＜α＜180，两边都除以2得：45＜α＜90，即是锐角．故选：A．4．解：∵OD平分∠BOC，∴∠DOC＝∠BOC，∵OE平分∠AOC，∴∠COE＝∠COA，∴∠EOD＝∠DOC+∠COE＝（∠BOC+∠COA）＝∠AOB，∵∠AOB是直角，∴∠EOD＝45°．5．解：∵∠AOB＝90°，OE平分∠AOB∴∠BOE＝45°又∵∠EOF＝60°∴∠FOB＝60°﹣45°＝15°∵OF平分∠BOC∴∠COB＝2×15°＝30°∴∠AOC＝∠BOC+∠AOB＝30°+90°＝120°6．解：∵点O为直线AB上的一点，∠BOC＝42°，∴∠AOC＝180°﹣42°＝138°，∵OD平分∠AOC，∴∠COD＝∠AOD＝∠AOC＝69°，∵∠COE＝90°，∴∠DOE＝90°﹣69°＝21°，∴∠AOE＝∠AOD﹣∠DOE＝48°．7．解：∵∠BOD＝∠COD，∠BOD＝15°，∴∠COD＝3∠BOD＝45°，∴∠BOC＝45°﹣15°＝30°，∵OC是∠AOB的角平分线，∴∠BOC＝∠AOC＝30°，∴∠AOD＝75°．故选：D．8．解：∵∠AOB是平角，∠AOC＝30°，∠BOD＝60°，∴∠COD＝90°（互为补角）∵OM，ON分别是∠AOC，∠BOD的平分线，∴∠MOC+∠NOD＝（30°+60°）＝45°（角平分线定义）∴∠MON＝90°+45°＝135°．故答案为135．9．解：∵OC平分∠AOB，且∠BOC＝23°，∴∠AOB＝2∠BOC＝46°．∴∠AOB＝46°．故答案为46．10．解：如图，设∠MOC的平分线为OE，∠DON的平分线为OF，∵∠MOC＝64°，∠DON＝46°，∴∠MOE＝∠MOC＝×64°＝32°，∠NOF＝∠DON＝×46°＝23°，∴∠EOF＝180°﹣∠MOE﹣∠NOF＝180°﹣32°﹣23°＝125°．故选：C．11．解：设∠AOC＝5x，则∠BOC＝2x，∠AOB＝7x，∵OD平分∠AOB，∴∠BOD＝∠AOB＝x，∵∠COD＝∠BOD﹣∠BOC∴15°＝x﹣2x，解得x＝10°，∴∠AOB＝7×10°＝70°．12．解：①OC在∠AOB外，如图1，OD是∠AOB的平分线，∠AOB＝60°，∠B0D＝∠AOB＝30°，∠COD＝∠B0D+∠BOC＝30°+20°＝50°；②OC在∠AOB内，如图2，OD是∠AOB的平分线，∠AOB＝60°，∠B0D＝∠AOB＝30°，∠COD＝∠B0D﹣∠BOC＝30°﹣20°＝10°．故答案为：50°或10°．二．角的计算13．解：A、150°可以用90°与60°角拼出；B、105°可以用60°与45°角拼出；C、15°可以用30°与45°角拼出；D、110°不能拼出．故选：D．14．解：∵∠AOD+∠BOC＝∠AOB+∠COB+∠DOC+∠COB+∠COD，∵∠AOC＝∠BOD＝90°，∴∠AOD+∠BOC＝180°．故答案为180．15．解：（1）∵∠AOB＝90°，∠DOB＝15°，∴∠1＝90°﹣∠DOB＝90°﹣15°＝75°．又∵OD平分∠AOC，∴∠1＝∠COD＝∠AOC，∴∠AOC＝2∠1＝150°，∵∠AOB＝90°，∴∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝150°﹣90°＝60°，∵OE平分∠BOC，∴∠3＝∠BOC＝30°，∴∠DOE＝∠DOB+∠3＝15°+30°＝45°；故答案为：90°﹣∠DOB＝90°﹣15°＝75°；∠1＝∠COD＝∠AOC，（2）∵∠AOB＝90°，∠DOB＝x，∴∠1＝90°﹣∠DOB＝90°﹣x．又∵OD平分∠AOC，∴∠1＝∠COD＝∠AOC，∴∠AOC＝2∠1＝180°﹣2x，∵∠AOB＝90°，∴∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝180°﹣2x﹣90°＝90°﹣2x，∵OE平分∠BOC，∴∠3＝∠BOC＝45°﹣x，∴∠DOE＝∠DOB+∠3＝x+45°﹣x＝45°．故答案为：45°．16．解：（1）∵∠DOC＝∠BOD，∠DOC＝20°，∴∠BOD＝3∠DOC＝60°，∴∠BOC＝∠BOD﹣∠DOC＝60°﹣20°＝40°，∵OB平分∠AOC，∴∠AOC＝2∠BOC＝80°，答：∠BOD和∠AOC的度数分别为60°，80°；（2）∵∠DOC＝∠BOD，∴∠BOD＝3∠DOC＝3α°，∴∠BOC＝∠BOD﹣∠DOC＝3α°﹣α°＝2α°，∵OB平分∠AOC，∴∠AOC＝2∠BOC＝4α°，∴∠AOD＝∠DOC+∠AOC＝5α°，故答案为：5α．17．解：（1）∵∠COE＝35°，∠COD是直角，∴∠DOE＝∠COD﹣∠COE＝55°，∵OE平分∠AOD，∴∠AOD＝2∠DOE＝110°，∴∠DOB＝180°﹣∠AOD＝70°；（2）∵∠COD是直角，∠COE＝β，∴∠DOE＝∠COE﹣∠COD＝β﹣90°，∵OE平分∠AOD，∴∠AOD＝2∠DOE＝2β﹣180°，∴∠DOB＝180°﹣∠AOD＝360°﹣2β．18．解：∵∠AOB＝90°，∠COD＝90°，∴∠AOB+∠COD＝180°，∵∠AOB＝∠AOC+∠BOC，∠COD＝∠BOC+∠BOD，∴∠AOC+∠BOC+∠BOC+∠BOD＝180°，∴∠AOD+∠BOC＝180°，∵∠AOD＝4∠BOC，∴4∠BOC+∠BOC＝180°，∴∠BOC＝36°，∵OE为∠BOC的平分线，∴∠COE＝∠BOC＝18°，∴∠DOE＝∠COD﹣∠COE＝90°﹣18°＝72°，故选：D．19．解：有两种情况，（1）射线OA在∠BOC的内部，∵∠AOB＝30°，∠BOC＝70°，OM、ON分别是∠AOB和∠BOC的平分线，∴∠BON＝∠BOC＝×70°＝35°，∠BOM＝∠AOB＝×30°＝15°，∴∠MON＝∠BON﹣∠BOM＝35°﹣15°＝20°．（2）射线OA在∠BOC的外部．∵∠AOB＝30°，∠BOC＝70°，OM、ON分别是∠AOB和∠BOC的平分线，∴∠BON＝∠BOC＝×70°＝35°，∠BOM＝∠AOB＝×30°＝15°，∴∠MON＝∠BON+∠BOM＝35°+15°＝50°．故答案为：20°或50°．20．解：如图，当点C与点C1重合时，∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝70°﹣42°＝28°；当点C与点C2重合时，∠BOC＝∠AOB+∠AOC＝70°+42°＝112°．故答案为：28°或112°．21．解：（1）∵∠COE＝90°，∠AOC＝32°，∴∠BOE＝180°﹣∠AOC﹣∠COE＝180°﹣32°﹣90°＝58°；（2）∵∠BOD：∠BOC＝2：7，∠BOD+∠BOC＝180°，∴∠BOD＝40°．22．解：∵∠AOB＝78°，OD平分∠AOB∴，∴∠DOC＝180°﹣∠AOD＝180°﹣39°＝141°；∵，∴∠EOC＝＝＝＝68°．23．解：∵∠COD＝∠AOD＝120°，∴∠AOC＝120°，∵∠AOB＝∠AOC，∴∠AOB＝40°，∴∠COB＝80°．24．解：∵∠COD＝∠EOC，∠COD＝18°，∴∠EOC＝72°；∵OE平分∠AOD，∴∠DOE＝∠AOE，∵∠EOC＝72°，∠COD＝18°，∴∠DOE＝54°，则∠AOD＝2∠DOE＝108°．三．比较角的大小25．解：将钝角，直角，平角，锐角由小到大依次排列，顺序是锐角＜直角＜钝角＜平角，故答案为：锐角＜直角＜钝角＜平角．26．解：∵0.52×60＝31.2，0.2×60＝12，∴52.52°＝52°31′12″，52°52′＞52°31′12″，故答案为：＞．27．解：将∠α平移，使∠α与∠β两个角的顶点重合，∠α下边的一条边与∠β下边的一条边重合，可得：∠α上面的一条边在∠β的内部，所以∠α＜∠β，故选：A．28．解：（1）∠A＝30°，∠B＝90°，∠BCD＝150°，∠D＝45°，∠AED＝135°；（2）∠A＜∠D＜∠B＜∠AED＜∠BCD．29．解：7+6+5+4+3+2+1＝＝28，一般地如果MOG小于180，且图中一共有几条射线，则一共有：（n﹣1）+（n﹣2）+…+2+1＝．。
2021-2022学年北师大版八年级数学下册《1-4角平分线》同步练习(附答案)
2021-2022学年北师大版八年级数学下册《1-4角平分线》同步练习（附答案）1．如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的面积等于（）A．10B．7C．5D．42．如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD ＝8，则点P到BC的距离是（）A．8B．6C．4D．23．如图，△ABC的三边AB，BC，CA长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（）A．1：1：1B．1：2：3C．2：3：4D．3：4：54．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝4，AB＝15，则△ABD的面积是（）A．15B．30C．45D．605．如图，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线P A、PB交于点P，下列结论：①PC平分∠ACF；②∠ABC+∠APC＝180°；③若点M、N分别为点P在BE、BF上的正投影，则AM+CN＝AC；④∠BAC＝2∠BPC．其中正确的是（）A．只有①②③B．只有①③④C．只有②③④D．只有①③6．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，连接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C．若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为（）A．1B．6C．3D．127．如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝6，BC＝9，CD ＝4，则四边形ABCD的面积是（）A．24B．30C．36D．428．在Rt△ABC中，如图所示，∠C＝90°，∠CAB＝60°，AD平分∠CAB，点D到AB的距离DE＝3.8cm，则BC等于（）A．3.8cm B．7.6cm C．11.4cm D．11.2cm9．如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．若S△ABC＝28，DE＝4，AB＝8，则AC长是（）A．8B．7C．6D．510．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是（）①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC＝60°；③点D在AB的中垂线上；④S△DAC：S△ABC＝1：3．A．1B．2C．3D．411．如图，OP平分∠AOB，P A⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B．下列结论中不一定成立的是（）A．P A＝PB B．PO平分∠APBC．OA＝OB D．AB垂直平分OP12．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，AD＝3，BC＝10，则△BDC的面积是．13．如图，已知∠AOB＝30°，P是∠AOB平分线上一点，CP∥OB，交OA于点C，PD⊥OB，垂足为点D，且PC＝4，则PD等于．14．如图，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝5，CD＝2，则△ABD的面积是．15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝8，CD＝3，则△ABD的面积是．16．如图，已知：BD是∠ABC的平分线，DE⊥BC于E，S△ABC＝36cm2；，AB＝12cm，BC ＝18cm，则DE的长为cm．17．小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”小明的做法，其理论依据是．18．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．（1）说明BE＝CF的理由；（2）如果AB＝5，AC＝3，求AE、BE的长．19．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD ＝DF．（1）求证：CF＝EB．（2）若AB＝12，AF＝8，求CF的长．20．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BE ＝FC．求证：BD＝DF．21．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，BE＝CF．求证：AD是△ABC的角平分线．参考答案1．解：作EF⊥BC于F，∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，EF⊥BC，∴EF＝DE＝2，∴S△BCE＝BC•EF＝×5×2＝5，故选：C．2．解：过点P作PE⊥BC于E，∵AB∥CD，P A⊥AB，∴PD⊥CD，∵BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，∴P A＝PE，PD＝PE，∴PE＝P A＝PD，∵P A+PD＝AD＝8，∴P A＝PD＝4，∴PE＝4．故选：C．3．解：过点O作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，∵点O是内心，∴OE＝OF＝OD，∴S△ABO：S△BCO：S△CAO＝•AB•OE：•BC•OF：•AC•OD＝AB：BC：AC＝2：3：4，故选：C．4．解：由题意得AP是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB于E，又∵∠C＝90°，∴DE＝CD，∴△ABD的面积＝AB•DE＝×15×4＝30．故选：B．5．解：如图，过点P作PM⊥AB，PN⊥BC，PD⊥AC，垂足分别为M、N、D，①∵PB平分∠ABC，P A平分∠EAC，∴PM＝PN，PM＝PD，∴PM＝PN＝PD，∴点P在∠ACF的角平分线上（到角的两边距离相等的点在角的平分线上），故本小题正确；②∵PM⊥AB，PN⊥BC，∴∠ABC+90°+∠MPN+90°＝360°，∴∠ABC+∠MPN＝180°，很明显∠MPN≠∠APC，∴∠ABC+∠APC＝180°错误，故本小题错误；③在Rt△APM与Rt△APD中，，∴Rt△APM≌Rt△APD（HL），∴AD＝AM，同理可得Rt△CPD≌Rt△CPN，∴CD＝CN，∴AM+CN＝AD+CD＝AC，故本小题正确；④∵PB平分∠ABC，PC平分∠ACF，∴∠ACF＝∠ABC+∠BAC，∠PCN＝∠ACF＝∠BPC+∠ABC，∴∠BAC＝2∠BPC，故本小题正确．综上所述，①③④正确．故选：B．6．解：过点D作DH⊥BC交BC于点H，如图所示：∵BD⊥CD，∴∠BDC＝90°，又∵∠C+∠BDC+∠DBC＝180°，∠ADB+∠A+∠ABD＝180°∠ADB＝∠C，∠A＝90°，∴∠ABD＝∠CBD，∴BD是∠ABC的角平分线，又∵AD⊥AB，DH⊥BC，∴AD＝DH，又∵AD＝3，∴DH＝3，又∴点D是直线BC外一点，∴当点P在BC上运动时，点P运动到与点H重合时DP最短，其长度为DH长等于3，即DP长的最小值为3．故选：C．7．解：过D作DH⊥AB交BA的延长线于H，∵BD平分∠ABC，∠BCD＝90°，∴DH＝CD＝4，∴四边形ABCD的面积＝S△ABD+S△BCD＝AB•DH+BC•CD＝×6×4+×9×4＝30，故选：B．8．解：∵∠C＝90°，∠CAB＝60°，∴∠B＝30°，在Rt△BDE中，BD＝2DE＝7.6，又∵AD平分∠CAB，∴DC＝DE＝3.8，∴BC＝BD+DC＝7.6+3.8＝11.4．故选：C．9．解：∵AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC于点F，∴DF＝DE＝4．又∵S△ABC＝S△ABD+S△ACD，AB＝8，∴28＝×8×4+×AC×4，∴AC＝6．故选：C．10．解：①根据作图的过程可知，AD是∠BAC的平分线．故①正确；②如图，∵在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，∴∠CAB＝60°．又∵AD是∠BAC的平分线，∴∠1＝∠2＝∠CAB＝30°，∴∠3＝90°﹣∠2＝60°，即∠ADC＝60°．故②正确；③∵∠1＝∠B＝30°，∴AD＝BD，∴点D在AB的中垂线上．故③正确；④∵如图，在直角△ACD中，∠2＝30°，∴CD＝AD，∴BC＝CD+BD＝AD+AD＝AD，S△DAC＝AC•CD＝AC•AD．∴S△ABC＝AC•BC＝AC•AD＝AC•AD，∴S△DAC：S△ABC＝AC•AD：AC•AD＝1：3．故④正确．综上所述，正确的结论是：①②③④，共有4个．故选：D．11．解：∵OP平分∠AOB，P A⊥OA，PB⊥OB∴∠P AO＝∠PBO＝90°，∠POA＝∠POB，OP＝OP∴△OP A≌△OPB（AAS），∴∠APO＝∠BPO，OA＝OB∴A、B、C项正确设PO与AB相交于E∵OA＝OB，∠AOP＝∠BOP，OE＝OE∴△AOE≌△BOE∴∠AEO＝∠BEO＝90°∴OP垂直AB而不能得到AB平分OP故D不成立故选：D．12．解：过D作DE⊥BC于E，∵∠A＝90°，∴DA⊥AB，∵BD平分∠ABC，∴AD＝DE＝3，∴△BDC的面积是×DE×BC＝×10×3＝15，故答案为：15．13．解：作PE⊥OA于E，∵CP∥OB，∴∠OPC＝∠POD，∵P是∠AOB平分线上一点，∴∠POA＝∠POD＝15°，∴∠ACP＝∠OPC+∠POA＝30°，∴PE＝PC＝2，∵P是∠AOB平分线上一点，PD⊥OB，PE⊥OA，∴PD＝PE＝2，故答案为：2．14．解：∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，∴点D到AB的距离＝CD＝2，∴△ABD的面积是5×2÷2＝5．故答案为：5．15．解：作DE⊥AB于E，如图，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE＝DC＝3，∴S△ABD＝×8×3＝12．故答案为12．16．解：如图，过点D作DF⊥AB于F，∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥BC，∴DE＝DF，S△ABC＝S△ABD+S△BCD，＝AB•DF+BC•DE，＝×12•DE+×18•DE，＝15DE，∵△ABC＝36cm2，∴15DE＝36，解得DE＝2.4cm．故答案为：2.4．17．解：如图所示：过两把直尺的交点P作PE⊥AO，PF⊥BO，∵两把完全相同的长方形直尺，∴PE＝PF，∴OP平分∠AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上），故答案为：在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上．18．（1）证明：连接BD，CD，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°，∵DG⊥BC且平分BC，∴BD＝CD，在Rt△BED与Rt△CFD中，，∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），∴BE＝CF；（2）解：在△AED和△AFD中，，∴△AED≌△AFD（AAS），∴AE＝AF，设BE＝x，则CF＝x，∵AB＝5，AC＝3，AE＝AB﹣BE，AF＝AC+CF，∴5﹣x＝3+x，解得：x＝1，∴BE＝1，AE＝AB﹣BE＝5﹣1＝4．19．（1）证明：∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于E，∴DE＝DC．在Rt△CDF与Rt△EDB中，，∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL），∴CF＝EB．（2）解：设CF＝x，则AE＝12﹣x，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∴CD＝DE．在Rt△ACD与Rt△AED中，，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AC＝AE，即8+x＝12﹣x，解得x＝2，即CF＝2．20．证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90°，∴DC＝DE，在△DCF和△DEB中，，∴△DCF≌△DEB，（SAS），∴BD＝DF．21．证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴Rt△BDE和Rt△CDF是直角三角形．，∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），∴DE＝DF，∵DE⊥AB，DF⊥AC，AD＝AD，∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），∴∠ADE＝∠ADF，∴AD是角平分线．。