线性代数讲义复习题

线性代数复习题 第一章 矩阵一、 填空题1.矩阵A 与B 的乘积AB 有意义，则必须满足的条件是 。

2.设(),(),ij m s ij s n A a B b ⨯⨯==又()ij m n AB c ⨯=，问ij c = 。

3.设A 与B 都是n 级方阵，计算2()A B += , 2()A B -= ,()()A B A B +-= 。

4.设矩阵1234A ⎛⎫=⎪⎝⎭,试将A 表示为对称矩阵与反对称矩阵的和 。

（注意：任意n 阶矩阵都可表示为对称矩阵与反对称矩阵的和）5.设(1,2,1)X =,(2,1,3)TY =-,201013122A -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭,计算XAY = 。

（特别地，若,X Y 为字母向量时也应该会表达）6.设矩阵AB 与BA 都有意义，问A 与B 的关系为 ；又若AB 与BA 为同级方阵，问A 与B 的关系为 。

7.设α是一个列向量，k 是一个数，分析k α与k α的意义 ，两者是否相等？答： 。

8.设向量()1,2,3,(1,1,1)T αβ==，则αβ= ，βα= 。

9.设矩阵2003A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则100A = 。

10.设矩阵200012035A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则1A -= 。

11.设准对角矩阵1200A A A ⎛⎫=⎪⎝⎭,()f x 是多项式，则()f A = 。

12.设矩阵123456789A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则()R A = 。

13. 设*A 是矩阵A 的伴随矩阵，则**___.AA A A ==14.设*A 是n 阶方阵A 的伴随矩阵, d A =,则=*A A 。

15.矩阵123235471A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭的秩为__________，A 的伴随矩阵*A = 。

16.设A 是3阶可逆方阵，B 是34⨯矩阵且()2R B =，则()R AB = 。

17.设102040203A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，B 是34⨯矩阵且()2R B =，则()R AB = 。

18.试写出n 阶方阵A 可逆的几个充分必要条件（越多越好） 。

19.设矩阵123235471A ⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭，试写出行列式A 中(2,1)-元的代数余子式 ，A 中第三行元素的代数余子式之和= 。

20.设B 是34⨯矩阵且()2R B =，则B 的等价标准形为 。

21.设()m n R A n ⨯=，则A 的等价标准形为 。

22.设1211A ⎛⎫=⎪⎝⎭，2()2f x x =+，则()f A = 。

23.设120120135225A -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则A 的等价标准形为 。

24.设1200340000340057A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则1A -= 。

25. 000000000000a b c d = 。

26.已知矩阵A 满足2230A A E +-=，则1A -= 。

27.设n 阶矩阵A 可逆，则*A = 。

28.试写出矩阵秩的定义 。

29.试写出n 阶行列式按第一列展开的定义 。

30.已知行列式D 中第三列元素依次为-1,2,0,1，其代数余子式分别为5,-3,-7,-4，则D =__ _。

31.已知C B A ,,为同阶方阵,且C 可逆,若B AC C =-1,则=-C A C m 1 (m 是整数)。

32.设D C B A ,,,均为n 阶方阵，且E ABCD =，则________________)()(=T T DA BC 。

33.设C B A ,,均为n 阶方阵，且E ABC =，则______________)(=T T CA B 。

34.若A ，B 都是n 阶方阵，1=A ，3-=B ，则_____________31*=-B A 。

35.设123200749A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭, 则 A -=1______。

36.设A 是n 阶方阵，()2R A n =-，则*A = 。

37.设A 是n 阶可逆方阵，则(R *)A = 。

38.设A 是n 阶方阵，()1R A n =-，则(R *)A = .39.试写出两个分块矩阵乘法有意义的条件 。

40.设分块矩阵1234A A A A A ⎛⎫=⎪⎝⎭，则TA = 。

41.已知行列式D 中第三列元素依次为-1,2,0,1，其余子式分别为5,-3,-7,-4，则D =__ _。

二、判别说理题（错误的请举例说明，正确的请证明）1.设矩阵,A B 满足0AB =，则0A =或0B =。

2.矩阵乘法适合交换律。

3.设,A B 是n 级方阵，则22222()2,()()A B A AB B A B A B A B +=++-=+-。

4.设,,A B C 是同级非零方阵，若AB AC =，则B C =。

5.设12,αα是方程组AX β=的解，则12αα+是AX β=的解，12αα-是0AX =的解。

6.设12,αα是线性方程组0AX =的解，则12αα+是0AX =的解。

7.设12,αα是线性方程组AX β=的解，则12(1)k k αα+-是AX β=的解，k 是任意常数。

8.矩阵010100001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭可逆，且其逆为其本身。

类似有100030001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，102010001⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭同样问题。

9.设非零矩阵,,A B C 满足AB AC =，则B C =。

10.若一行列式为零，则该行列式中必有两行或两列称比例。

（或必有一行或一列为零） 11.若方阵A 可逆，则其伴随矩阵*A 也可逆。

12.n 阶方阵A 满足220A A E --=，则E A -可逆。

13.若20A=，则必有0A =。

14.设A 是n 阶方阵， 且0A a =≠， 则 *11A A a==。

15.设A A=2，则E A =或0=A 。

16.设A ,B 都是n 阶方阵,若A ,B 都可逆,则B A +可逆。

17.若矩阵A 的秩为r ，则A 中必有某一个1r -阶子式不等于零。

18.若n 阶方阵A 的秩()1R A n <-，则其伴随阵*0A =。

19.设A 是n 阶矩阵，则kA k A =。

20. 设矩阵,,A B C 满足AB AC =，且A 可逆，则B C =。

三、解答题1.求325110311120324A =---，1213011423412130--，0111123023411241-，2111121111211112。

2. 已知矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=311412A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=131210131B ，计算AB ,TAB AB -。

3. 设3阶方阵A 的伴随矩阵为*A ，且21=A ，求*--A A 2)4(1。

4. 求ab a b D b a b a a bab +=++。

5.已知1010212000101111A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求1A -。

6.设232131231214212112832A ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦，求A 。

7.设11101111101111,00200010002001A B --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--⎪⎪== ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭。

试用矩阵分块方法求,T B AB 。

8.用两种方法求下列矩阵的逆012211234,001479100A B ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.9.利用初等变换与初等矩阵的关系计算下列矩阵的乘积111213212223313233100100111001020010010001001a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭10.写出下列矩阵的等价标准形21111121,46223743--⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭13213110111110213120⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭，111111112k k k ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭（对k 讨论）11.设矩阵1112312536A λμ-⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭的秩为2，求λ，μ。

12.求解线性方程组（1）12312312323231249x x x x x x x x x +-=-⎧⎪+-=-⎨⎪--=-⎩；（2）1234123412341234222225234237517x x x x x x x x x x x x x x x x -++=-⎧⎪+--=⎪⎨-++=-⎪⎪+-+=⎩。

13.设2321312331214231112832A ⎡⎤⎡⎤--⎡⎤⎢⎥⎢⎥+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦， 求A 。

14.设100111A ⎛⎫=⎪-⎝⎭，124142B -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，求TB A 。

15.设A 是n 阶方阵,且2=A ,求*--A A 231,其中*A 是A 的伴随矩阵。

16. 教材中的例题和不带*的习题。

第二章 线性方程组一、 填空题1.试写出线性方程组有解的一个充分必要条件 。

2.设A 是n 阶方阵，且秩()A r n =<，则齐次线性方程组0Ax =的基础解系中含 个解向量。

3.方程组12341234233207230x x x x x x x x -+-=⎧⎨-++=⎩的基础解系中含 个解向量。

4.设12,αα是(3)n n ≥元齐次线性方程组0Ax =的基础解系，则秩(A )= 。

5.矩阵n m A ⨯的秩为r ，则0=AX 的基础解系一定由________个线性无关的解向量构成。

6.若方程组1231001110020x x x λλ-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥--=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦有非零解，则 0 λλ==或。

7.设A 是n 阶方阵,若线性方程组0=AX 有非零解,则必有=A 。

8.设A 是n 阶方阵,()2-=n A R ,则线性方程组0=AX 的基础解系所含向量的个数是 。

9.1(1,3,5)α=, 2(1,1,3)α=, 3(1,,6)a α=线性相关 ,则a 的值为__________。

10.若向量 (2,3,1,0,1)-与 (4,6,2,,2)a ---线性相关，则a 的取值为 。

11.设向量组1(1,2,3)α=，2(2,1,3)α=，3(1,1,0)α=-,则向量组123,,ααα的秩是 。

12.设向量组I ：αα1,,Λr 的秩为p ， 向量组II ：ββ1,,Λs 秩为q ， 且向量组I 能由向量组II 线性表出，则p 与q 的大小关系是_________________。

13.设向量组 I:αα1,,Λs 线性无关，而ββ12, 都能由I 线性表出，则秩(ααββ112,,,,Λs )= 。

14.已知一个向量组含有两个或两个以上的最大线性无关组,则各个最大线性无关组所含向量的个数必定 。