分类讨论思想整理学生版

数学思想总结（一）分类讨论思想2013届上海高三数学思想总结（一）分类讨论思想题型1：集合中分类讨论问题例1．已知集合A ＝{1.3.}，B ＝{1，m} ,A B ＝A, 则m=（ ）A 0B 0或3C 1D 1或3例2．已知集合{1,2,3,4,5}A =,{(,),,}B x y x A y A x y A =∈∈-∈；则B 中所含元素的个数为（ ）()A 3 ()B 6 ()C 8 ()D 10题型2：函数、方程中分类讨论问题例3．函数1(0,1)xy a a a a=->≠的图象可能是（ ）例4.对 , a b R ∈,记,max{,},a a ba b b a b ≥⎧=⎨⎩＜，函数() max{|1|,|-2|}(f x x x x R=+ 的最小值是( ) A ．0 B. 12 C. 32D. 3 例5.对定义域分别是f g D D 、的函数()()y f x y g x ==、，规定函数()()()()()f gf g f gf xg x x D x Dh x f x x D x D g x x D x D ⎧⋅∈∈⎪=∈∉⎨⎪∉∈⎩且且且.⑴ 若函数=-1()1f x x ，=2()g x x ，写出函数()h x 的解析式； ⑵ 求问题⑴中函数()h x 的值域；⑶ 若=+()()g x f x a ，其中a 是常数，且π∈[0,]a ，请设计一个定义域为R 的函数()f x 及一个a 值，使得=()cos4h x x ，并予以证明.数学思想总结（一）分类讨论思想例6、设函数)0(1)(≥++=x x a x x f 的最小值是22，求实数a 的值；例7. 设函数a x x x f -⋅=)()(R a ∈(1)判断函数)(x f 奇偶性，并说明理由，(2)当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,21x 时，不等式2)(≤x f 恒成立，试求实数a 的取值范围。

(3)当[]2,1∈x 时，不等式2)(≤x f 有解，试求实数a 的取值范围。

例8、已知函数y = （1）求函数()f x 的定义域和值域； （2）设()()()242a F x f x f x ⎡⎤=⋅-+⎣⎦（a 为实数），求()F x 的最大值()g a ； （3）若()222m pm g a -++≤对所有的实数a 及[]2,2p ∈-恒成立，求实数m 的取值范围。

题型3：解析几何中的分类讨论问题例9：在x oy 平面上给定曲线y 2＝2x ，设点A(a,0)，a ∈R ，曲线上的点到点A 的距离的最小值为f(a)，求f(a)的函数表达式。

例10.已知平面上的线段l 及点P ，在l 上任取一点Q ，线段PQ 长度的最小值称为点P 到线段l 的距离，记作(,)d P l 。

⑴ 求点(1,1)P 到线段:30(35)l x y x --=≤≤的距离(,)d P l ； ⑵ 设l 是长为2的线段，求点集{|(,)1}D P d P l =≤所表示图形的面积；⑶ 写出到两条线段12,l l 距离相等的点的集合12{|(,)(,)}P d P l d P l Ω==，其中12,l AB l CD ==，,,,A B C D 是下列三组点中的一组。

对于下列三组点只需选做一种，满分分别是①2分，②6分，③8分；若选择了多于一种的情形，则按照序号较小的解答计分。

① (1,3),(1,0),(1,3),(1,0)A B C D --。

② (1,3),(1,0),(1,3),(1,2)A B C D ---。

③ (0,1),(0,0),(0,0),A B C D 。

例11．已知直角坐标平面上点Q （2，0）和圆C ：x 2+y 2=1，动点M 到圆C 的切线长与|MQ|的比等于常数λ（λ＞0）。

求动点M 的轨迹方程，说明它表示什么曲线。

例12（1）设椭圆1C ：12222=+by a x 与双曲线2C ：189922=-y x 有相同的焦点21F F 、，M 是椭圆1C 与双曲线2C 的公共点，且21F MF ∆的周长为6，求椭圆1C 的方程；我们把具有公共焦点、公共对称轴的两段圆锥曲线弧合成的封闭曲线称为“盾圆”. （2）如图，已知“盾圆D ”的方程为⎩⎨⎧≤<--≤≤=)43()4(12)30(42x x x xy .设“盾圆D ”上的任意一点M 到()1,0F 的距离为1d ，M 到直线3:=x l 的距离为2d ，求证：21d d +为定值；（3）由抛物线弧1E ：x y 42=（203x ≤≤）与第（1）小题椭圆弧2E ：12222=+by a x （a x ≤≤32）所合成的封闭曲线为“盾圆E ”.设“盾圆E ”上的两点B A 、关于x 轴对称，O 为坐标原点，试求OAB ∆面积的最大值.题型4：不等式中分类讨论问题 1. 已知<1log 13x，则x 的取值范围是___________.2.若函数⎧⎛⎫-≤⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎪>⎪⎩121102()0x x f x xx ，则使>()1f a 的a 的取值范围是___________. 3、解关于x 的不等式：1)11(log >-xa 。

题型5：数列中分类讨论问题 1. 无穷等比数列{}n a 的首项为1a ，公比>0q ，且⎛⎫+= ⎪+⎝⎭→11lim 12n n a q q ∞，求首项1a 的取值范围.2.已知>0a ，则++-=+→113lim 3n nn n n a a ∞___________. 3． 已知函数⎧=⎨-⎩为奇数为偶数22()n n f n nn ，且=++()(1)n a f n f n ，则+++=…12100a a a( ).A. 0B. 100C. -100D. 102004.各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足2*2(1)()n n n S a a n N +=+∈。

（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足*112,2()n n b b b n N +==∈，数列{}n c 满足*,21(),2n n n a n k c k N b n k=-⎧=∈⎨=⎩，数列{}n c 的前n 项和为n T ，当n 为偶数时，求n T ；5.已知点),(111b a P ，),(222b a P ，…，),(n n n b a P （n 为正整数）都在函数)1,0(≠>=a a a y x的图像上，其中}{n a 是以1为首项，2为公差的等差数列。

（1）求数列}{n a 的通项公式，并证明数列}{n b 是等比数列； （2）设数列}{n b 的前n 项的和n S ，求1lim +∞→n nn S S ；（3）设)0,(n n a Q ，当32=a 时，问n n Q OP ∆的面积是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由；6．已知数列{a n }满足a 1＝0，a 2＝2，且对任意m 、n ∈N *都有a 2m －1＋a 2n －1＝2a m ＋n －1＋2(m －n )2（Ⅰ）求a 3，a 5；（Ⅱ）设b n ＝a 2n ＋1－a 2n －1(n ∈N *)，证明：{b n }是等差数列；（Ⅲ）设c n ＝(a n+1－a n )q n －1(q ≠0，n ∈N *)，求数列{c n }的前n 项和S n 。

6.已知以1a 为首项的数列{}n a 满足：⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=+.3,,3,1n n n n n a d a a c a a（1）当11=a ，1=c ，3=d 时，求数列{}n a 的通项公式；（2）当101<<a ，1=c ，3=d 时，试用1a 表示数列{}n a 前100项的和100S ；题型6：三角与复数的讨论例1．∆ABC A B C 中，已知，，求sin cos cos ==125132、已知函数11()(sin cos )sin cos 22f x x x x x =+--,则()f x 的值域是（ ） (A)[]1,1-(B) 2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦(C) 1,2⎡-⎢⎣⎦(D)1,2⎡--⎢⎣⎦3.某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施．该设施的下部ABCD 是矩形，其中AB =2米，BC =1米；上部CDG 是等边三角形，固定点E 为AB 的中点．△EMN 是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），MN 是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB 平行的伸缩横杆．（1）设MN 与AB 之间的距离为x 米，试将△EMN 的面积S （平方米）表示成关于x 的函数；（2）求△EMN 的面积S （平方米）的最大值．4.已知关于t 的方程()R a a t t ∈=+-022有两个根1t 、2t ，且满足3221=-t t ． （1）求方程的两个根以及实数a 的值；（2）当0a >时，若对于任意R x ∈，不等式()k mk k a x a 22log 22-+-≥+对于任意的12,2k ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦恒成立，求实数m 的取值范围．EC【专题训练】一、填空题1．不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对于x ∈R 恒成立，那么a 的取值范围是____________．2．过双曲线2x 2－y 2＝2的右焦点作直线l 交双曲线于A 、B 两点，若AB ＝4，则这样的直线有________条． 3．设集合A ＝{x |x 2＋x －12＝0}，集合B ＝{x |kx ＋1＝0}，如果A ∪B ＝A ，则由实数k 组成的集合中所有元素的和与积分别为____________．4．在△ABC 中，已知A ＝30°，a ＝8，b ＝83，则S △ABC ＝__________.5．设一双曲线的两条渐近线方程为2x －y ＝0,2x ＋y ＝0，则双曲线的离心率是________． 6．正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，则它的体积为____________． 7．设常数a >0，椭圆x 2－a 2＋a 2y 2＝0的长轴长是短轴长的2倍，则a ＝________.8．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＝32，S 3＝92，则a 1的值为__________．9．若函数y ＝mx 2＋x ＋5在[－2，＋∞)上是增函数，则m 的取值范围是__________． 10．函数f (x )＝mx 2＋mx ＋1的定义域为一切实数，则实数m 的取值范围是________．11．若函数f (x )＝a |x －b |＋2在[0，＋∞)上为增函数，则实数a 、b 的取值范围为________________． 12．若x ∈(1,2)时，不等式(x －1)2<log a x 恒成立，则实数a 的取值范围为________． 二、解答题13．如果函数y ＝a 2x ＋2a x －1 (a >0，a ≠1)在区间[－1,1]上的最大值是14，求a 的值．14.已知函数f (x )＝2a sin 2x －2 3a sin x cos x ＋a ＋b (a ≠0)的定义域是⎣⎡⎦⎤0，π2，值域是 [－5,1]，求常数a ，b 的值．15．已知函数f (x )＝－2x 2－x ，求m 、n 的值，使f (x )在区间[m ，n ]上值域为[2m,2n ] (m <n )．。