工程问题和行程问题

一元一次方程的应用：行程和工程问题
一、教学目标：
【知识与技能】
使学生理解用一元一次方程解行程问题、工程问题的本质规律.
【过程与方法】
通过对“行程问题、工程问题”的分析进一步培养学生用代数方法解决实际问题的能力.
【情感态度】
使学生在自主探索与合作交流的过程中理解和掌握基本的数学知识、技能、数学思想，获得广泛的数学活动经验，提高解决问题的能力.
【教学重点】
用一元一次方程解决行程问题、工程问题.
【教学难点】
如何找行程问题中的等量关系.
二、教学过程：
一、情境导入，初步认识
1.行程问题中路程、速度、时间三者间有什么关系？相遇问题中含有怎样的相等关系？追及问题中含有怎样的相等关系呢？
2.工作量、工作效率、工作时间之间有怎样的关系?
【教学说明】通过对这两种常见的问题中公式的复习，为找等量关系打好基础.
二、思考探究，获取新知
问题1：小张和父亲计划搭乘家门口的公共汽车赶往火车站，去家乡看望爷爷.在行驶了三分之一路程后，估计继续乘公共汽车将会在火车开车后半小时到达火车站.随即下车改乘出租车，车速提高了一倍，结果赶在火车开车前15分钟到达火车站.已知公共汽车的平均速度是40千米/时，问小张家到火车站有多远？
吴小红同学给出了一种解法：
设小张家到火车站的路程是x千米，由实际时间比原计划乘公共汽车提前了45分钟，可列出方程：
解这个方程：
x/40-x/120-x/120=3/4
3x―x―x＝90
x＝90
经检验，它符合题意.
答：小张到火车站的路程是90千米.
张勇同学又提出另一种解法：
设实际上乘公共汽车行驶了x千米，则从小张家到火车站的路程是3x千米，乘出租车行使了2x千米.注意到提前的3/4小时是由于乘出租车而少用的，可列出方程：
2x/40-2x/80＝3/4
解这个方程得：
x＝30.
3x＝90.
所得的答案与解法一相同.
讨论：试比较以上两种解法，它们各是如何设未知数的？哪一种比较方便？是不是还有其它设未知数的方法？试试看.
【教学说明】两种解题方法，让学生亲身体验设不同的未知数，可列出不同的方程，难易度也不一样.从而得出为了解题方便应选择设适当的未知数的结论.
【归纳结论】1.行程问题中基本数量关系是：路程＝速度×时间;变形可得到：速度＝路程÷时间，时间＝路程÷速度.
2.常见题型是相遇问题、追及问题，不管哪个题型都有以下的相等关系：
相遇：相遇时间×速度和＝路程和;
追及：追及时间×速度差＝被追及距离.
问题2：课外活动时李老师来教室布置作业,有一道题只写了“学校校办厂需制作一块广告牌，请来两名工人.已知师傅单独完成需4天，徒弟单独完成需6天”，就停住了.片刻后，同学们带着疑问的目光，窃窃私语：“这个题目没有完呀？要求什么呢？”
李老师开口了：“同学们的疑问是有道理的，今天我们就是要请同学们自己来提问.”
调皮的小刘说：“让我试一试.”上去添了“两人合作需几天完成？”.
有同学反对：“这太简单了！”,但也引起了大家的兴趣，于是各自试了起来：有添上一人先做几天再让另一人做的，有两人先后合作再一人离开的，有考虑两人合作完成后的报酬问题的……
李老师选了两位同学的问题，合起来在黑板上写出：现由徒弟先做1天，再两人合作，完成后共得到报酬450元.如果按各人完成的工作量计算报酬，那么该如何分配？
试解答这一问题，并与同学一起交流各自的做法.
分析：我们可以将工作总量看作“单位1”，根据“工作效率=工作总量/工作时间”可以知道，师傅的工作效率是1/4，徒弟的工作效率是1/6，整项工程分了两个部分：第一部分是徒弟先做的一天，第二部分是师徒两人合作完成的，而合作的时间我们不知道，所以应设合作的时间为x，根据工作总量可列出方程.从而求出他们各自工作的量，这样就可以求出他们得到的报酬.
解：设两人合作的时间是x天，根据题意可列出方程：
1/6+（1/6+1/4）x=1
解得：x=2
经检验，它符合题意.
所以，徒弟工作时间为3天，完成工作总量的1/6×3=1/2；师傅工作时间为2天，完成工作总量的1/4×2=1/2.
因为他们完成的工作量一样，所以报酬也应该一样多，都是270元.
你还能提出其它的问题吗？试一试，并解答这些问题.
【教学说明】给学生充足的时间，发挥他们的想象力，锻炼他们的创新能力和思维能力.
【归纳结论】工程问题中的三个量，根据工作量＝工作效率×工作时间，已知其中两个量，就可以表示第三个量.两人合作的工作效率＝每个人的工作效率的和.
三、运用新知，深化理解
1.有一火车以每分钟600米的速度要过完第一、第二两座铁桥，过第二座铁桥比过第一座铁桥需多5秒，又知第二座铁桥的长度比第一座铁桥长度的2倍短50米，试求各铁桥的长.
2.一艘船由A地开往B地，顺水航行需5小时，逆水航行要比顺水航行多用50分钟.已知船在静水中每小时走12千米，求水流速度.
3.一条环形跑道长400米，甲、乙两人练习跑步，甲每秒钟跑6米，乙每秒钟跑4米.(1)两人同时、同地、背向出发，经过多少时间，两人首次相遇?(2) 两人同时、同地、同向出发，经过多少时间，两人首次相遇?
4.甲、乙两队合挖一条水渠，5天可以完成.如果甲队独挖8天可以完成，那么乙队独挖几天可以完成？
5.将一批工业最新动态信息输入管理储存网络，甲独做需6小时，乙独做需4小时，甲先做30分钟，然后甲、乙一起做，则甲、乙一起做还需多少小时才能完成工作？
【教学说明】通过练习，使学生掌握应用一元一次方程解决实际问题的步骤和方法.
【答案】1.解：设第一座铁桥的长为x米，那么第二座铁桥的长为（2x-50）米，过完第一座铁桥所需的时间为x/600分.
过完第二座铁桥所需的时间为(2x-50)/600分.
依题意，可列出方程
x/600+5/60=(2x-50)/600
解方程x+50=2x-50
得x=100
∴2x-50=2×100-50=150
答：第一座铁桥长100米，第二座铁桥长150米.
2.分析：在水流问题中：
船的顺水速度＝船的静水速度＋水流速度，
船的逆水速度＝船的静水速度-水流速度.
等量关系：
船顺水航行的路程＝船逆水航行的路程.
解：设水流速度为x千米/时.根据题意，得顺水航行的速度为(12+x)千米/时，逆水航行的速度为(12-x)千米/时，
5(12+x)=(5+50/60)(12-x)
60+5x=35/6×12-35/6x
65/6x=10
x=12/13.
答：水流速度为12/13千米/时.
3.分析：(1)同时、同地、背向，甲、乙二人第一次相遇时，甲和乙共跑了一圈(即400米)，等价于相遇问题，相等关系：甲走的路程＋乙走的路程＝400米.
(2) 同时、同地、同向，甲、乙二人第一次相遇时，甲比乙多跑了一圈(即400米)，等价于追及问题，等量关系：甲走的路程-乙走的路程＝400米.
解：(1)设两人同时、同地、背向出发，经过x秒后两人首次相遇，根据题意，得6x＋4x＝400,解方程，得x＝40.
答：两人同时、同地、背向出发，经过40秒后两人首次相遇.
(2) 设两人同时、同地、同向出发，经过x秒后两人首次相遇，根据题意，得6x-4x＝400，
解方程，得x＝200.
答：两人同时、同地、背向出发，经过200秒后两人首次相遇.
4.分析：这一工程问题求的是工作时间.只要先求出乙的工作效率，根据：工作量＝工作效率×工作时间，就能列出求乙的工作时间的方程.
解：设乙队单独挖需x天完成，由于两队合做每天完成的工作量等于各队每天完成的工作量的和，也就是说两队合做的工作效率等于各队单独的工作效率的和，所以乙队的工作效率为：1/5-1/8.
根据题意，得(1/5-1/8)x=1
解这个方程，得3/40x=1,x=40/3.
答：乙队独挖40/3天可以完成.
5.解：设甲、乙一起做还需x小时才能完成工作.
根据题意，得1/6×1/2+（1/6+1/4）x=1.
解这个方程，得x=11/5.
11/5小时=2小时12分.
答：甲、乙一起做还需2小时12分才能完成工作.
四、师生互动，课堂小结
本节课你学习了哪些知识，掌握了哪些方法？请相互交流.
作业布置：
1.布置作业:教材第20页“习题6.3.2”中第3 、4 题.
2.完成练习册中本课时练习.
教学反思：
本节课的教学难点是行程问题，而行程问题又分几种类型，如：相遇、追及、同向、逆向、水流、环行问题等.环行问题的基本特征是路径呈环状或为环线的一部分.事实上，这类问题也有“相遇”与“追及”之分：
(1)若同地出发，反向而行，则每次相遇，两者的行程之和等于环形的周长.
(2)若同地出发，同向而行，则每次追及，两者的行程之差等于环行道的周长，或表示为快者的行程＝慢者的行程＋环形周长.
此外，若是同时出发，则相遇(或追及)时，两者行走的时间相等.
在水流问题中：
船的顺水速度＝船的静水速度＋水流速度，
船的逆水速度＝船的静水速度-水流速度.。