(通用版)202x高考数学一轮复习 1.1 集合讲义 文

第一节 集合

一、基础知识批注——理解深一点

1．集合的有关概念

(1)集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性．

元素互异性，即集合中不能出现相同的元素，此性质常用于求解含参数的集合问题中． (2)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法． (3)元素与集合的两种关系：属于，记为∈；不属于，记为?. (4)五个特定的集合及其关系图：

N *

或N ＋表示正整数集，N 表示自然数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集．

2．集合间的基本关系

(1)子集：一般地，对于两个集合A ，B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，则称A 是B 的子集，记作A ?B (或B ?A )．

(2)真子集：如果集合A 是集合B 的子集，但集合B 中至少有一个元素不属于A ，则称A 是B 的真子集，记作A B 或B A .

A

B ??

??

??

A ?

B ，A ≠B .既要说明A 中任何一个元素都属于B ，也要说明B 中存在一个元素不

属于A .

(3)集合相等：如果A ?B ，并且B ?A ，则A ＝B .

两集合相等：A ＝B ??

??

??

A ?

B ，A ?B .A 中任意一个元素都符合B 中元素的特性，B 中任意一

个元素也符合A 中元素的特性．

(4)空集：不含任何元素的集合．空集是任何集合A 的子集，是任何非空集合B 的真子集．记作?.

0，{0}，?，{?}之间的关系：?≠{?}，

?∈{?}，??{?}，0??，0?{?},0∈{0}，??{0}．

3．集合间的基本运算

(1)交集：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B，即A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．

(2)并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为A与B的并集，记作A∪B，即A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．

(3)补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作?U A，即?U A＝{x|x∈U，且x?A}．求集合A的补集的前提是“A是全集U的子集”，集合A其实是给定的条件.从全集U 中取出集合A的全部元素，剩下的元素构成的集合即为?U A.

二、常用结论汇总——规律多一点

(1)子集的性质：A?A，??A，A∩B?A，A∩B?B.

(2)交集的性质：A∩A＝A，A∩?＝?，A∩B＝B∩A.

(3)并集的性质：A∪B＝B∪A，A∪B?A，A∪B?B，A∪A＝A，A∪?＝?∪A＝A.

(4)补集的性质：A∪?U A＝U，A∩?U A＝?，?U(?U A)＝A，?A A＝?，?A?＝A.

(5)含有n个元素的集合共有2n个子集，其中有2n－1个真子集，2n－1个非空子集．

(6)等价关系：A∩B＝A?A?B；A∪B＝A?A?B.

三、基础小题强化——功底牢一点

一判一判对的打“√”，错的打“×”

(1)若{x2,1}＝{0,1}，则x＝0,1.( )

(2){x|x≤1}＝{t|t≤1}．( )

(3){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．( )

(4)任何一个集合都至少有两个子集．( )

(5)若A B，则A?B且A≠B.( )

(6)对于任意两个集合A，B，关系(A∩B)?(A∪B)恒成立．( )

(7)若A∩B＝A∩C，则B＝C.( )

答案：(1)×(2)√(3)×(4)×(5)√(6)√(7)×

(二)选一选

1．已知集合A＝{x∈R|0<3－x≤2}，B＝{x∈R|0≤x≤2}，则A∪B＝( )

A．[0,3] B．[1,2]

C．[0,3) D．[1,3]

解析：选C 因为A＝{x∈R|0<3－x≤2}＝{x∈R|1≤x<3}，所以A∪B＝{x∈R|0≤x<3}.

2．若集合A＝{x∈N|x≤10}，a＝22，则下面结论中正确的是( )

A．{a}?A B．a?A

C．{a}∈A D．a?A

解析：选D 因为22不是自然数，所以a?A.

3．(2018·全国卷Ⅱ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为( )

A．9 B．8

C．5 D．4

解析：选A 法一：将满足x2＋y2≤3的整数x，y全部列举出来，

即(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－

1)，(1,0)，(1,1)，共有9个．故选A.

法二：根据集合A的元素特征及圆的方程在坐标系中作出图形，如

图，易知在圆x2＋y2＝3中有9个整点，即为集合A的元素个数，故选

A.

(三)填一填

4．若集合A＝{x|－23}，则A∩B＝________.

解析：由集合交集的定义可得A∩B＝{x|－2

答案：{x|－2

5．已知集合U＝{－1,0,1}，A＝{x|x＝m2，m∈U}，则?U A＝________.

解析：∵A＝{x|x＝m2，m∈U}＝{0,1}，∴?U A＝{－1}．

答案：{－1}

考点一 集合的基本概念

[典例] (1)(2017·全国卷Ⅲ)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2

＋y 2

＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则A ∩B 中元素的个数为( )

A ．3

B ．2

C ．1

D ．0

(2)已知a ，b ∈R ，若?

???

??a ，b a

，1＝{a 2，a ＋b,0}，则a 2 019＋b 2 019

的值为( )

A ．1

B ．0

C ．－1

D ．±1

[解析] (1)因为A 表示圆x 2

＋y 2

＝1上的点的集合，B 表示直线y ＝x 上的点的集合，直线y ＝x 与圆x 2

＋y 2

＝1有两个交点，所以A ∩B 中元素的个数为2.

(2)由已知得a ≠0，则b a

＝0，所以b ＝0，于是a 2

＝1，即a ＝1或a ＝－1.又根据集合中元素的互异性可知a ＝1应舍去，因此a ＝－1，故a

2 019

＋b

2 019

＝(－1)

2 019

＋0

2 019

＝－1.

[答案] (1)B (2)C

[解题技法] 与集合中的元素有关的解题策略

(1)确定集合中的代表元素是什么，即集合是数集还是点集． (2)看这些元素满足什么限制条件．

(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性．

[提醒] 集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意． [题组训练]

1．设集合A ＝{0,1,2,3}，B ＝{x |－x ∈A,1－x ?A }，则集合B 中元素的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3

D ．4

解析：选A 若x ∈B ，则－x ∈A ，故x 只可能是0，－1，－2，－3，当0∈B 时，1－0＝1∈A ；当－1∈B 时，1－(－1)＝2∈A ；当－2∈B 时，1－(－2)＝3∈A ；当－3∈B 时，1－(－3)＝4

?A ，所以B ＝{－3}，故集合B 中元素的个数为1.

2．若集合A ＝{x ∈R|ax 2

－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a 等于( ) A.92 B.98

C ．0

D ．0或9

8

解析：选D 若集合A 中只有一个元素，则方程ax 2

－3x ＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根．

当a ＝0时，x ＝2

3

，符合题意．

当a ≠0时，由Δ＝(－3)2

－8a ＝0，得a ＝98，

所以a 的值为0或9

8

.

3.（2018·厦门模拟）已知P ={x |2

解析：因为P 中恰有3个元素，所以P =｛3，4，5｝，故k 的取值范围为5

考点二 集合间的基本关系

[典例] (1)已知集合A ＝{x |x 2

－3x ＋2＝0，x ∈R}，B ＝{x |0

D ．B A

(2)(2019·湖北八校联考)已知集合A ＝{x ∈N *

|x 2

－3x <0}，则满足条件B ?A 的集合B 的个数为( )

A ．2

B ．3

C ．4

D ．8

(3)已知集合A ＝{x |－1

－3x ＋2＝0得x ＝1或x ＝2，∴A ＝{1,2}．由题意知B ＝{1,2,3,4}，比较A ，B 中的元素可知A B ，故选C.

(2)∵A ＝{x ∈N *

|x 2

－3x <0}＝{x ∈N *

|0

B 的个数为22＝4，故选C.

(3)当m ≤0时，B ＝?，显然B ?A .

当m >0时，因为A ＝{x |－1

所以????

?

－m ≥－1，m ≤3，

－m

所以0

综上所述，m 的取值范围为(－∞，1]． [答案] (1)C (2)C (3)(－∞，1] [变透练清]

1.(变条件)若本例(2)中A 不变，C ＝{x |0

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

解析：选D 因为A ＝{1,2}，由题意知C ＝{1,2,3,4}，所以满足条件的B 可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．

2.(变条件)若本例(3)中，把条件“B ?A ”变为“A ?B ”，其他条件不变，则m 的取值范围为________．

解析：若A ?B ，由?

??

??

－m ≤－1，m ≥3得m ≥3，

∴m 的取值范围为[3，＋∞)． 答案：[3，＋∞)

3．已知集合A ＝{1,2}，B ＝{x |x 2

＋mx ＋1＝0，x ∈R}，若B ?A ，则实数m 的取值范围为________．

解析：①若B ＝?，则Δ＝m 2

－4<0，解得－2

＋m ＋1＝0，

解得m ＝－2，此时B ＝{1}，符合题意； ③若2∈B ，则22＋2m ＋1＝0，

解得m ＝－5

2，此时B ＝

?

?????2，12，不合题意． 综上所述，实数m 的取值范围为[－2,2)． 答案：[－2,2) [解题技法]

判定集合间基本关系的两种方法和一个关键

两种方法①化简集合，从表达式中寻找两集合的关系；

②用列举法(或图示法等)表示各个集合，从元素(或图形)中寻找关系

一个关键关键是看它们是否具有包含关系，若有包含关系就是子集关系，包括相等和真子集两种关系

考法(一) 集合的运算

[典例] (1)(2018·天津高考)设集合A＝{1,2,3,4}，B＝{－1,0,2,3}，C＝{x∈R|－1≤x＜2}，则(A∪B)∩C＝( )

A．{－1,1} B．{0,1}

C．{－1,0,1} D．{2,3,4}

(2)已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－3x－4>0}，B＝{x|－2≤x≤2}，则如图所示阴影部分所表示的集合为( )

A．{x|－2≤x<4}

B．{x|x≤2或x≥4}

C．{x|－2≤x≤－1}

D．{x|－1≤x≤2}

[解析] (1)∵A＝{1,2,3,4}，B＝{－1,0,2,3}，

∴A∪B＝{－1,0,1,2,3,4}．

又C＝{x∈R|－1≤x＜2}，

∴(A∪B)∩C＝{－1,0,1}．

(2)依题意得A＝{x|x<－1或x>4}，

因此?R A＝{x|－1≤x≤4}，题中的阴影部分所表示的集合为(?R A)∩B＝{x|－1≤x≤2}．[答案] (1)C (2)D

[解题技法] 集合基本运算的方法技巧

(1)当集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元素进行运算，也可借助Venn图运算．

(2)当集合是用不等式表示时，可运用数轴求解．对于端点处的取舍，可以单独检验．

(3)集合的交、并、补运算口诀如下：

交集元素仔细找，属于A且属于B；

并集元素勿遗漏，切记重复仅取一；

全集U是大范围，去掉U中a元素，剩余元素成补集．

考法(二) 根据集合运算结果求参数

[典例] (1)已知集合A＝{x|x2－x－12>0}，B＝{x|x≥m}．若A∩B＝{x|x>4}，则实数m的取值范围是( )

A．(－4,3) B．[－3,4]

C．(－3,4) D．(－∞，4]

(2)(2019·河南名校联盟联考)已知A＝{1,2,3,4}，B＝{a＋1,2a}，若A∩B＝{4}，则a＝( )

A．3 B．2

C．2或3 D．3或1

[解析] (1)集合A＝{x|x<－3或x>4}，∵A∩B＝{x|x>4}，∴－3≤m≤4，故选B.

(2)∵A∩B＝{4}，∴a＋1＝4或2a＝4.若a＋1＝4，则a＝3，此时B＝{4,6}，符合题意；若2a＝4，则a＝2，此时B＝{3,4}，不符合题意．综上，a＝3，故选A.

[答案] (1)B (2)A

[解题技法]

根据集合的运算结果求参数值或范围的方法

(1)将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系．若集合中的元素能一一列举，则用观察法得到不同集合中元素之间的关系；若集合是与不等式有关的集合，则一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到．

(2)将集合之间的关系转化为解方程(组)或不等式(组)问题求解．

(3)根据求解结果来确定参数的值或取值范围．

[题组训练]

1．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|(x＋1)(x－2)<0，x∈Z}，则A∪B＝( )

A．{1} B．{1,2}

C．{0,1,2,3} D．{－1,0,1,2,3}

解析：选C 因为集合B ＝{x |－1

2．(2019·重庆六校联考)已知集合A ＝{x |2x 2

＋x －1≤0}，B ＝{x |lg x <2}，则(?R A )∩B ＝( )

A.? ????12，100

B.? ??

??12，2

C.????

??12，100 D ．?

解析：选A 由题意得A ＝??????－1，12，B ＝(0,100)，则?R A ＝(－∞，－1)∪? ??

??12，＋∞，所以(?R A )∩B ＝? ??

??12，100.

3．(2019·合肥质量检测)已知集合A ＝[1，＋∞)，B ＝?

?????

???

?x ∈R ???

1

2a ≤x ≤2a －1

，若A ∩B ≠?，则实数a 的取值范围是( )

A ．[1，＋∞)

B.????

??12，1

C.????

??23，＋∞ D ．(1，＋∞)

解析：选A 因为A ∩B ≠?，

所以?

??

2a －1≥1，2a －1≥12a ，

解得a ≥1.

[课时跟踪检测]

1．(2019·福州质量检测)已知集合A ＝{x |x ＝2k ＋1，k ∈Z}，B ＝{x |－1

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

解析：选B 依题意，集合A 是由所有的奇数组成的集合，故A ∩B ＝{1,3}，所以集合

A ∩

B 中元素的个数为2.

2．设集合U ＝{1,2,3,4,5,6}，A ＝{1,3,5}，B ＝{3,4,5}，则?U (A ∪B )＝( ) A ．{2,6} B ．{3,6} C ．{1,3,4,5}

D ．{1,2,4,6}

解析：选 A 因为A ＝{1,3,5}，B ＝{3,4,5}，所以A ∪B ＝{1,3,4,5}．又U ＝{1,2,3,4,5,6}，所以

?U (A ∪B )＝{2,6}．

3．(2018·天津高考)设全集为R ，集合A ＝{x |0＜x ＜2}，B ＝{x |x ≥1}，则A ∩(?R B )＝( )

A ．{x |0＜x ≤1}

B ．{x |0＜x ＜1}

C ．{x |1≤x ＜2}

D ．{x |0＜x ＜2}

解析：选B ∵全集为R ，B ＝{x |x ≥1}， ∴?R B ＝{x |x ＜1}． ∵集合A ＝{x |0＜x ＜2}， ∴A ∩(?R B )＝{x |0＜x ＜1}．

4．(2018·南宁毕业班摸底)设集合M ＝{x |x <4}，集合N ＝{x |x 2

－2x <0}，则下列关系中正确的是( )

A ．M ∩N ＝M

B ．M ∪(?R N )＝M

C ．N ∪(?R M )＝R

D ．M ∪N ＝M

解析：选D 由题意可得，N ＝(0,2)，M ＝(－∞，4)，所以M ∪N ＝M .

5．设集合A ＝??????

???

?x ???

12

≤2x

<2

，B ＝{x |ln x ≤0}，则A ∩B 为( ) A.? ????0，12

B ．[－1,0) C.????

??12，1 D ．[－1,1]

解析：选A ∵12≤2x <2，即2－1≤2x <21

2

，∴－1≤x <12，∴A ＝??????

???

?x ???

－1≤x <

12.∵ln x ≤0，即ln x ≤ln 1，∴0

?????

???

?x ???

0

1

2. 6．(2019·郑州质量测试)设集合A ＝{x |1

A ．(－∞，2]

B ．(－∞，1]

C ．[1，＋∞)

D ．[2，＋∞)

解析：选D 由A ∩B ＝A ，可得A ?B ，又因为A ＝{x |1

7．已知全集U ＝A ∪B 中有m 个元素，()?U A ∪()?U B 中有n 个元素．若A ∩B 非空，则A ∩B

的元素个数为( )

A ．mn

B ．m ＋n

C ．n －m

D ．m －n

解析：选D 因为()?U A ∪()?U B 中有n 个元素，如图中阴影部分所示，又U ＝A ∪B 中有m 个元素，故A ∩B 中有m －n 个元素．

8

．定义集合的商集运算为A B ＝??????

???

?x ???

x ＝m n ，m ∈A ，n ∈B ，已知集合A ＝{2,4,6}，B ＝??????

????x ?

??

x ＝k

2－1，k ∈A

，则集合B

A ∪

B 中的元素个数为( )

A ．6

B ．7

C ．8

D ．9

解析：选B 由题意知，B ＝{0,1,2}，B A ＝??????0，12，14，16，1，13，则B

A

∪B ＝

?

?????

0，12，14，16，1，13，2，共有7个元素．

9．设集合A ＝{x |x 2

－x －2≤0}，B ＝{x |x <1，且x ∈Z}，则A ∩B ＝________.

解析：依题意得A ＝{x |(x ＋1)(x －2)≤0}＝{x |－1≤x ≤2}，因此A ∩B ＝{x |－1≤x <1，

x ∈Z}＝{－1,0}．

答案：{－1,0}

10．已知集合U ＝R ，集合A ＝[－5,2]，B ＝(1,4)，则下图中阴影部分所表示的集合为 ________．

解析：∵A ＝[－5,2]，B ＝(1,4)，∴?U B ＝{x |x ≤1或x ≥4}，则题图中阴影部分所表示的集合为(?U B )∩A ＝{x |－5≤x ≤1}．

答案：{x |－5≤x ≤1}

11．若集合A ＝{(x ，y )|y ＝3x 2

－3x ＋1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则集合A ∩B 中的元素个数为________．

解析：法一：由集合的意义可知，A ∩B 表示曲线y ＝3x 2

－3x ＋1与直线y ＝x 的交点构成的集合．

联立得方程组???

??

y ＝3x 2

－3x ＋1，y ＝x ，

解得????

?

x ＝13

，

y ＝1

3

或???

?

?

x ＝1，y ＝1，

故A ∩B ＝????

??? ??

??

13，13，

1，1，所以A ∩B 中含有2个元素．

法二：由集合的意义可知，A ∩B 表示曲线y ＝3x 2

－3x ＋1与直线y ＝x 的交点构成的集合．因为3x 2

－3x ＋1＝x 即3x 2

－4x ＋1＝0的判别式Δ>0，所以该方程有两个不相等的实根，所以A ∩B 中含有2个元素．

答案：2

12．已知集合A ＝{x |log 2x ≤2}，B ＝{x |x ＜a }，若A ?B ，则实数a 的取值范围是__________．

解析：由log 2x ≤2，得0＜x ≤4， 即A ＝{x |0＜x ≤4}，而B ＝{x |x ＜a }，

由于A ?B ，在数轴上标出集合A ，B ，如图所示，则a ＞4. 答案：(4，＋∞)

13．设全集U ＝R ，A ＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |2

(2)若B ∪C ＝B ，求实数a 的取值范围．

解：(1)由题意知，A ∩B ＝{x |1≤x ≤3}∩{x |2

(2)由B ∪C ＝B ，可知C ?B ，画出数轴(图略)， 易知2

如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！

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