2019届高考数学理科二轮总复习苏教版课件：专题七 解析几何 第4讲
2019版高考数学二轮复习第1篇专题7解析几何课件
• 【l2分典别例交】C于已A，知B抛两物点线，C交：Cy2的＝准2x线的于焦P点，为QF两，点平．行于x轴的两条直线l1， • (1)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ； • (2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．
[解题示范] 由题设 F12，0． 设 l1：y＝a，l2：y＝b，则 ab≠0❶， 且 Aa22，a，Bb22，b，P－12，a，Q－12，b，R－12，a＋2 b． 记过 A，B 两点的直线为 l，
优等生经验谈：听课时应注意学习老师解决问题的思考方法。同学们如果理解了老师的思路和过程，那么后面的结论自然就出现了，学习起来才能够举 一反三，事半功倍。
2019/7/8
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谢谢欣赏！
2019/7/8
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程画出图形，研究几何性质．
看
观
谢
谢
编后语
听课对同学们的学习有着非常重要的作用。课听得好好，直接关系到大家最终的学习成绩。如何听好课，同学们可以参考如下建议：
一、听要点。
一般来说，一节课的要点就是老师们在备课中准备的讲课大纲。许多老师在讲课正式开始之前会告诉大家，同学们对此要格外注意。例如在学习物
T21·椭圆的标准方程，几何 性质，直线与椭圆的位置关 系
全国 卷Ⅲ T12·椭圆的几何性质
T20·直线与抛物线的位置关 系，直线的斜率，轨迹方程 的求法
02 解题通法·短平快
解析几何问题重在“设”——设点、设线
• 解析几何部分知识点多，运算量大，能力要求高，综合性强，在高考 试题中大都是在压轴题的位置出现，是考生“未考先怕”的题型之一， 不是怕解题无思路，而是怕解题过程中繁杂的运算．因此，在遵循 “设——列——解”程序化运算的基础上，应突出解析几何“设”的重要 性，以克服平时重思路方法、轻运算技巧的顽疾，突破如何避繁就简 这一瓶颈．
2019届高考数学(文)二轮复习课件：第2部分 专题7 解析几何 7.3.1
������0 = 3������, ������0 = 2������. ∵点 A(x0,y0)为圆 C1 上的动点,
-3-
解题策略一
解题策略二
解题策略三
(1)解 设点 C 坐标为(x,y),则圆心坐标为 所以点 B 坐标为 因此������������ ·������������ =
������ ,0 2
������ 2+������ , 2 2
,
. ·
������ ,������ 2 ������2 =0,故有一 4 +2y=0,即 x2=8y.
1 ������������ + 2 3 1 3 2
������������,设动点 N 的轨迹为曲线 C.
(1)求曲线C的方程; (2)若动直线l2:y=kx+m与曲线C有且仅有一个公共点,过F1(-1,0), F2(1,0)两点分别作F1P⊥l2,F2Q⊥l2,垂足分别为P,Q,且记d1为点F1 到直线l2的距离,d2为点F2到直线l2的距离,d3为点P到点Q的距离,试 探索(d1+d2)· d3是否存在最值?若存在,请求出最值.
7.3.1
直线与圆及圆锥曲线
-2-
解题策略一
解题策略二
解题策略三
求轨迹方程 解题策略一 直接法 例1已知过点A(0,2)的动圆恒与x轴相切,设切点为B,AC是该圆的 直径. (1)求点C轨迹E的方程; (2)当AC不在坐标轴上时,设直线AC与曲线E交于另一点P,该曲线 在P处的切线与直线BC交于点Q,求证:△PQC恒为直角三角形. 难点突破 (1)利用AC是直径,所以BA⊥BC,或C,B均在坐标原点,由 此求点C轨迹E的方程; ������ = ������������ + 2, (2)设直线AC的方程为y=kx+2,由 2 得x2-8kx-16=0,利 ������ = 8������, 用根与系数的关系及导数的几何意义,证明QC⊥PQ,即可证明结论.
江苏省2019高考数学二轮复习考前回扣6解析几何课件
6.解析几何
内容索引
回归教材 易错提醒 回扣训练
回归教材
1.直线的倾斜角与斜率
(1)倾斜角的范围为[0，π).
(2)直线的斜率
①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜
率k，即k＝tan α(α≠90°)；倾斜角为90°的直线没有斜率；②斜率公式： 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线的斜率为k＝xy11－－xy22 (x1≠x2)；③直线 的方向向量a＝(1，k)；④应用：证明三点共线：kAB＝kBC.
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解析 答案
7.圆锥曲线的定义和性质
ax22＋by22
ax22－by22
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焦点
(±c,0)
轴 长轴长 2a，短轴长 2b 实轴长 2a，虚轴长 2b
离心率
准线 通径 渐近线
e＝ac＝ 1－ab22(0<e<1) e＝ac＝ 1＋ab22(e>1)
x＝±ac2
，半
[问题5] 若方程a2x2＋(a＋2)y2＋2ax＋a＝0表示圆，则a＝___－__1___.
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答案
6.直线与圆的位置关系的判断 (1)几何法：根据圆心到直线的距离d与圆半径r的大小关系来判定. (2)代数法：将直线方程代入圆的方程消元得一元二次方程，根据Δ的符 号来判断. [问题6] 已知圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的圆心为抛物线y2＝4x的焦点， 直线3x＋4y＋2＝0与圆C相切，则该圆的方程为_(x_－__1_)_2＋__y_2_＝__1_.
(1)点 P(x0，y0)到直线 Ax＋By＋C＝0 的距离为 d＝|Ax0＋A2B＋y0B＋2 C|.
江苏省2019高考数学二轮复习考前回扣6解析几何课件
∴m2－4m＋4＝0，∴m＝2.
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解析
答案
8.(1)在用圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程中要注意二次 项的系数是否为零，利用解的情况可判断位置关系：有两解时相交；无 解时相离；有惟一解时，在椭圆中相切，在双曲线中需注意直线与渐近 线的关系，在抛物线中需注意直线与对称轴的关系，而后判断是否相切. (2)直线与圆锥曲线相交时的弦长问题 斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长
解析 ①当椭圆的焦点在x轴上时，
x y 由方程 ＋ ＝1，得 a2＝4，即 a＝2. 4 m
c 3 又 e＝ ＝ ，所以 c＝ 3，m＝b2＝a2－c2＝22－( 3)2＝1. a 2 y 2 x2 ②当椭圆的焦点在 y 轴上时，椭圆的方程为 ＋ ＝1. m 4
由方程，得b2＝4，即b＝2.
2 2 a － b c 3 3 b 1 又 e＝ ＝ ，故 ＝ ，解得 ＝ ，即 a＝2b， a 2 a 2 a 2 所以a＝4，故m＝a2＝16.
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解析
答案
7.圆锥曲线的定义和性质 名称 椭圆 PF1＋PF2＝ 双曲线 |PF1－PF2|＝ 抛物线 PF＝PM，点F不在直线
定义
2a(2a>F1F2)
2a(2a<F1F2)
l上，PM⊥l于M
标准 x2 y2 2＋ 2＝1(a>b>0) 方程 a b
x y ＝1(a>0，b>0) 2－ 2 a b
15 13 26 [问题4] 两平行直线3x＋2y－5＝0与6x＋4y＋5＝0间的距离为________.
高考数学(理)苏教版二轮复习课件3-4
7π 12 3π 2
5π 6 2π 0
0 －3
描点，连线，得图象如图所示：
利用函数的周期性，可以把上述简图向左、右扩展，就得到 y＝ 3sin
π 2x＋ ，x∈R 3
的简图．
π 2x＋ 的图象， 是用下面方法得到的． 3
从图象可以看出， y＝3sin
π π x→x＋ →2x＋ 3 3
π 的图象；再把 y＝sin(x＋ )的图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍 6 x π (纵坐标不变)得到 y＝sin( ＋ )的图象；最后把 y＝sin 2 6 上各点的纵坐标伸长到原来的 2 倍， 即得函数 y＝2sin
x π ＋ 的图象 2 6 x π ＋ 的图象． 2 6
【点评】
在用变换法作函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象时，A、ω
决定“形变”，φ 决定“位变”，A 影响值域，ω 影响周期，A、ω、 φ 影响单调性．
1．作出函数
π y＝3sin 2x＋3 ，x∈R
的简图，并说明它与 y＝sin
x 的图象之间的关系． π π 3π 解析：按“五点法”，令 2x＋ 分别取 0， ，π， ，2π 时，x 3 2 2
4．确定 y＝Asin (ωx＋φ)的解析式的步骤 (1)首先确定振幅和周期，从而得到 A 与 ω；
φ (2)确定 φ 值时， 往往以寻找“五点法”中的第一零点－ω，0作
为突破口．要注意从图象的升降情况找准第一个零点的位置，同时 要利用好最值点．具体如下： “第一点”(即图象上升时与 x 轴的交点)为 ωx＋φ＝0；“第二 π 点”(即图象的“峰点”)为 ωx＋φ＝ ；“第三点”(即图象下降时与 2 x 轴的交点)为 ωx＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)为 ωx＋φ 3π ＝ ；“第五点”为 ωx＋φ＝2π. 2
2019届高考数学(理)二轮复习提优导学案(江苏专用)：第1部分 二轮课时专题5 解析几何 2 圆锥曲线
第2讲圆锥曲线【课前热身】第2讲圆锥曲线(本讲对应学生用书第45~47页)1.(选修2-1 P32练习3改编)已知椭圆的焦点分别为F1(-2，0)，F2(2，0)，且经过点P53-22⎛⎫⎪⎝⎭，，则椭圆的标准方程为.【答案】210x+26y=1【解析】设椭圆方程为22xa+22yb=1，由题意得2222259144-4a ba b⎧+=⎪⎨⎪=⎩，，解得a2=10，b2=6，所以所求方程为210x+26y=1.2.(选修2-1 P47练习2改编)若双曲线的虚轴长为12，离心率为54，则双曲线的标准方程为.【答案】264x-236y=1或264y-236x=1【解析】由b=6，ca=54，结合a2+b2=c2，解得a=8，c=10，由于对称轴不确定，所以双曲线标准方程为264x-236y=1或264y-236x=1.3.(选修2-1 P47练习3改编)已知双曲线x 2-22y m=1(m>0)的一条渐近线方程为x+0，则实数m= .【答案】3【解析】双曲线x 2-22y m=1(m>0)的渐近线方程为y=±mx ，又因为该双曲线的一条渐近线方程为x+0，所以m=3.4.(选修2-1 P53练习2改编)设抛物线y 2=mx 的准线与直线x=1的距离为3，则抛物线的标准方程为 .【答案】y 2=8x 或y 2=-16x【解析】当m>0时，准线方程为x=-4m=-2，所以m=8，此时抛物线方程为y 2=8x ；当m<0时，准线方程为x=-4m=4，所以m=-16，此时抛物线方程为y 2=-16x. 所以所求抛物线方程为y 2=8x 或y 2=-16x.5.(选修2-1 P37练习6改编)若一个椭圆长轴的长、短轴的长和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是 .【答案】35【解析】由题意知2b=a+c ，又b 2=a 2-c 2， 所以4(a 2-c 2)=a 2+c 2+2ac.所以3a 2-2ac-5c 2=0，所以5c 2+2ac-3a 2=0.所以5e 2+2e-3=0，解得e=35或e=-1(舍去).【课堂导学】求圆锥曲线的标准方程例1(2019·扬州中学)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：22xa+22yb=1(a>b>0)的离心率为32，以原点为圆心、椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x-y+2=0相切.(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知点P(0，1)，Q(0，2)，设M，N是椭圆C上关于y轴对称的不同两点，直线PM与QN相交于点T，求证：点T在椭圆C上.【分析】(1)利用直线与圆相切求出b的值，然后利用离心率可求出a的值，从而求出椭圆方程.(2)解出两直线的交点，验证满足椭圆方程即可.【解答】(1)由题意知椭圆C的短半轴长为圆心到切线的距离，即22因为离心率e=ca=32，所以ba21-ca⎛⎫⎪⎝⎭12，所以a=2所以椭圆C的标准方程为28x+22y=1.(2)由题意可设M，N两点的坐标分别为(x0，y0)，(-x0，y0)，则直线PM的方程为y=-1yxx+1，①直线QN的方程为y=-2-yxx+2. ②设点T的坐标为(x，y).联立①②解得x0=2-3xy，y=3-42-3yy.因为28x+22y=1，所以2182-3xy⎛⎫⎪⎝⎭+213-422-3yy⎛⎫⎪⎝⎭=1，整理得28x+2(3-4)2y=(2y-3)2，所以28x+292y-12y+8=4y2-12y+9，即28x+22y=1，所以点T的坐标满足椭圆C的方程，即点T在椭圆C上.【点评】求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a，b的方程组.如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可把椭圆方程设为mx2+ny2=1(m>0，n>0，m≠n)的形式.变式已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(2，3)，且点F(2，0)为其右焦点.(1)求椭圆C的方程；(2)已知动点P到定点Q(20)的距离与点P到定直线l：x=2222，求动点P的轨迹C'的方程.【分析】本题主要考查椭圆的定义和椭圆的标准方程等基础知识，以及利用直接法和待定系数法求椭圆方程的基本方法.【解答】(1)依题意，可设椭圆C的方程为22xa+22yb=1(a>b>0)，且可知左焦点为F'(-2，0)，从而有22'358ca AF AF=⎧⎨=+=+=⎩，，解得24.ca=⎧⎨=⎩，又a2=b2+c2，所以b2=12，故椭圆C的方程为216x+212y=1.(2)设点P(x，y)，依题意，得22(-2)|-22|x yx+=22，整理，得24x+22y=1，所以动点P的轨迹C'的方程为24x+22y=1.【点评】本题第一问已知焦点即知道了c，再利用椭圆定义先求得2a的值，再利用椭圆中a，b，c的关系，求得b的值，从而得椭圆方程.本题还可以利用待定系数法设椭圆方程为22xa+22-4ya=1，代入已知点求解，显然没有利用定义来得简单.求离心率的值或范围例2(1)(2019·徐州三校调研)如图(1)，在平面直角坐标系xOy中，A1，A2，B1，B2分别为椭圆22xa+22yb=1(a>b>0)的四个顶点，F为其右焦点，直线A1B2与直线B1F相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为.(例2(1))(2)(2019·临川一中质检)如图(2)，已知点A，F分别是2 2 xa-22yb=1(a>0，b>0)的左顶点与右焦点，过A，F作与x轴垂直的直线分别与两条渐近线交于P，Q，R，S，若S△ROS=2S△POQ，则双曲线的离心率为.(例2(2))(3)(2019·金陵中学)已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为F1，F2，这两条曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形.若PF1=10，椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则e1·e2的取值范围是.【点拨】依题设得出关于a，b，c的等式或不等式，再消去b.【答案】75(2)2(3)13∞⎛⎫+⎪⎝⎭，【解析】(1)由题意知直线A1B2的方程为-xa+yb=1，直线B1F的方程为xc+-yb=1.联立方程组解得T2()--ac b a ca c a c+⎛⎫⎪⎝⎭，.又M()-2(-)ac b a ca c a c⎛⎫+⎪⎝⎭，在椭圆22xa+22yb=1(a>b>0)上，故22(-)ca c+22()4(-)a ca c+=1，即e2+10e-3=0，解得e=275.(2)由题意，得A(-a，0)，F(c，0)，直线PQ，RS的方程分别为x=-a，x=c，与渐近线y=±ba x 联立，可求得P(-a，b)，Q(-a，-b)，R-bcca⎛⎫⎪⎝⎭，，Sbcca⎛⎫⎪⎝⎭，，则S△ROS=12·2bca·c=2bca，S△POQ =12a·2b=ab，于是由S△ROS=2S△POQ，得2bca=2ab，即22ca=2，所以e=2.(3)设椭圆的长轴长为2a，双曲线的实轴长为2m，则2c=PF2=2a-10，2m=10-2c，a=c+5，m=5-c，所以e1e2=5cc+·5-cc=2225-cc=2125-1c.又由三角形性质知2c+2c>10，又由已知得2c<10，c<5，所以52<c<5，1<225c<4，0<225c-1<3，所以e1e2=2125-1c>13.变式1(2019·苏北四市期末)已知椭圆22xa+22yb=1(a>b>0)，点A，B1，B2，F依次为其左顶点、下顶点、上顶点和右焦点，若直线AB2与直线B1F的交点恰好在椭圆的右准线上，则该椭圆的离心率为.(变式1)【答案】12【解析】如图，A(-a，0)，B1(0，-b)，B2(0，b)，F(c，0)，设点M2Mayc⎛⎫⎪⎝⎭，.由2ABk=k AM，得ba=2Myaac+，所以y M=b1ac⎛⎫+⎪⎝⎭.由1FBk=k FM，得bc=2-Myacc，所以y M =2-b a c c c ⎛⎫⎪⎝⎭. 从而b 1a c⎛⎫+ ⎪⎝⎭=2-b a c c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 整理得2e 2+e-1=0，解得e=12.变式2 (2019·泰州期末)若双曲线22x a -22y b=1的右焦点到渐近线的距离是其到左顶点距离的一半，则双曲线的离心率e= .【答案】53【解析】由双曲线的性质“焦点到渐近线的距离等于b ”，得b=2a c+，所以a 2+22a c +⎛⎫ ⎪⎝⎭=c 2，整理得3c 2-2ac-5a 2=0，所以3e 2-2e-5=0，解得e=53.变式3 (2019·泰州中学)如图，椭圆22x a +22y b=1(a>b>0)的右焦点为F ，其右准线l 与x 轴的交点为A ，在椭圆上存在点P 满足线段AP 的垂直平分线过点F ，则椭圆离心率的取值范围是 .(变式3)【答案】112⎡⎫⎪⎢⎣⎭， 【解析】方法一：由题意知椭圆上存在点P ，使得线段AP 的垂直平分线过点F ，所以PF=FA ，而FA=2a c -c ，PF ≤a+c ，所以2a c -c ≤a+c ，即a 2≤ac+2c 2.又e=ca，所以2e 2+e ≥1，所以2e 2+e-1≥0，即(2e-1)(e+1)≥0.又0<e<1，所以12≤e<1.方法二：设点P(x，y).由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，所以PF=FA.由椭圆第二定义，2-PFaxc=e，所以PF=2ac e-ex=a-ex，而FA=2ac-c，所以a-ex=2ac-c，解得x=21-aa ce c⎛⎫+⎪⎝⎭.由于-a≤x≤a，所以-a≤21-aa ce c⎛⎫+⎪⎝⎭≤a.又e=ca，所以2e2+e-1≥0，即(2e-1)(e+1)≥0.又0<e<1，所以12≤e<1.直线与圆锥曲线问题例3(2019·南通一调)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆22xa+22yb=1(a>b>0)过点A(2，1)，离心率为3 2.(1)求椭圆的方程；(2)若直线l：y=kx+m(k≠0)与椭圆相交于B，C两点(异于点A)，线段BC被y轴平分，且AB⊥AC，求直线l的方程.(例3)【点拨】联立方程化归为一元二次方程的根与系数问题.【解答】(1)由条件知椭圆22x a +22y b=1(a>b>0)的离心率为e=c a =32，所以b 2=a 2-c 2=14a 2.又点A (2，1)在椭圆上，所以24a +21b =1，解得2282.a b ⎧=⎨=⎩，所以所求椭圆的方程为28x +22y =1.(2)将y=kx+m (k ≠0)代入椭圆方程，得(1+4k 2)x 2+8mkx+4m 2-8=0， ①由线段BC 被y 轴平分，得x B +x C =-2814mkk +=0，因为k ≠0，所以m=0.因为当m=0时，B ，C 关于原点对称，设B (x ，kx )，C (-x ，-kx )，由方程①，得x 2=2814k +，又因为AB ⊥AC ，A (2，1)，所以AB uuu r ·A C uuu r =(x-2)(-x-2)+(kx-1)(-kx-1)=5-(1+k 2)x 2=5-228(1)14k k ++=0，所以k=±12，由于k=12时，直线y=12x 过点A (2，1)，故k=12不符合题设. 所以直线l 的方程为y=-12x.【点评】解析几何包含两个主要问题，即已知曲线求方程和已知方程研究曲线的性质.对解析几何的复习，要在牢固掌握与解析几何有关的基本概念基础上，把上述两个问题作为复习和研究的重点，把握坐标法思想的精髓.变式 (2019·南通、扬州、泰州、淮安三模)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22x a +22y b =1(a>b>0)的离心率为22，长轴长为4，过椭圆的左顶点A 作直线l ，分别交椭圆和圆x 2+y 2=a 2于相异两点P ，Q.(1)若直线l的斜率为12，求APAQ的值；(2)若PQu u u r=λAPuuu r，求实数λ的取值范围.(变式)【解答】(1)由条件知2222422acaa b c=⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，，解得22.ab=⎧⎪⎨⎪⎩，所以椭圆的方程为24x+22y=1，圆的方程为x2+y2=4.由题知直线l的方程为y=12(x+2)，即x=2y-2，联立方程组222-224x yx y=⎧⎨+=⎩，，消去x，得3y2-4y=0，所以y P=4 3.由222-24x yx y=⎧⎨+=⎩，，消去x，得5y2-8y=0，所以y Q=85.所以APAQ=PQyy=43×58=56.(2)因为PQu u u r=λAPuuu r，且APuuu r，PQu u u r同向，则λ=PQAP=-AQ APAP=AQAP-1，设直线l：y=k(x+2)，联立方程组224(2)x yy k x⎧+=⎨=+⎩，，消去x，得(k2+1)y2-4ky=0，所以y Q =241k k +，同理y P =2421k k +，λ=AQ AP -1=QP y y -1=2241421k k k k ++-1=1-211k +.因为k 2>0，所以0<λ<1.即实数λ的取值范围是(0，1).【课堂评价】1.(2019·泰州期末)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22x -y 2=1的实轴长为 .【答案】22【解析】根据双曲线的方程知a=22a=22.(2019·镇江期末)以抛物线y 2=4x 的焦点为焦点，以直线y=±x 为渐近线的双曲线的标准方程为 .【答案】212x -212y =1【解析】由题意设双曲线的标准方程为22x a -22y b=1，y 2=4x 的焦点为(1，0)，即c=1，则双曲线的焦点为(1，0).因为y=±x 为双曲线的渐近线，则b a =1，又a 2+b 2=c 2，所以a 2=12，b 2=12，故双曲线的标准方程为212x-212y=1.3.(2019·南京、盐城一模)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上，若曲线C经过点P(1，3)，则其焦点到准线的距离为.【答案】92【解析】由题意可设抛物线C的方程为y2=2px(p>0)，因为曲线C过点P(1，3)，所以9=2p，解得p=92，从而其焦点到准线的距离为p=92.4.(2019·苏中三校联考)设椭圆C：22xa+22yb=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作x轴的垂线与椭圆C相交于A，B两点，F1B与y轴相交于点D，若AD⊥F1B，则椭圆C的离心率为.(第4题)【答案】33【解析】如图，连接AF1，因为OD∥AB，O为F1F2的中点，所以D为BF1的中点.又AD⊥BF1，所以AF1=AB.所以AF1=2AF2.设AF2=n，则AF1=2n，F1F2=3所以e=ca=1212F FAF AF=33nn=33.温馨提示：趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》第23~24页.【检测与评估】第2讲圆锥曲线一、填空题1.(2019·苏锡常镇调研)若双曲线x2+my2=1过点(2)，则该双曲线的虚轴长为.2.(2019·苏州调查)已知双曲线2xm-25y=1的右焦点与抛物线y2=12x的焦点相同，则此双曲线的渐近线方程为.3.(2019·徐州、连云港、宿迁三检)已知点F是抛物线y2=4x的焦点，该抛物线上位于第一象限的点A到其准线的距离为5，则直线AF的斜率为.4.(2019·普陀区调研)离为1，则该椭圆的离心率为.5.(2019·西安模拟)已知椭圆24x+22yb=1(0<b<2)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若BF2+AF2的最大值为5，则b的值是.6.(2019·盐城中学)设椭圆22xm+..=1(m>0，n>0)的右焦点与抛物线y2=8x的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的短轴长为 .7.(2019·丹阳中学)设A ，B 分别是椭圆22x a +22y b =1(a>b>0)的左、右顶点，点P 是椭圆C 上异于A ，B 的一点，若直线AP 与BP 的斜率之积为-13，则椭圆C 的离心率为 .8.(2019·淮阴四校调研)已知椭圆C ：22x a +22y b =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，若椭圆C 上恰好有6个不同的点P ，使得△F 1F 2P 为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是 .二、 解答题9.(2019·扬州期末)如图，已知椭圆22x a +22y b =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是椭圆上一点，M 在PF 1上，且满足1F M u u u u r =λMP u u u r(λ∈R )，PO ⊥F 2M ，O 为坐标原点.(1)若椭圆方程为28x +24y =1，且P (2，2)，求点M 的横坐标；(2)若λ=2，求椭圆离心率e 的取值范围.(第9题)10.(2019·赣榆中学)如图，椭圆长轴端点为A ，B ，O 为椭圆中心，F 为椭圆的右焦点，且AF u u u r ·FB u u u r=1，|OF u u u r |=1.(1)求椭圆的标准方程.(2)记椭圆的上顶点为M ，直线l 交椭圆于P ，Q 两点，问：是否存在直线l ，使得点F 恰为△PQM的垂心?若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.(第10题)11.如图，椭圆C：2 2 xa+22yb=1(a>b>0)的一个焦点为F(1，0)，且过点622⎛⎫⎪⎪⎭，.(1)求椭圆C的方程；(2)已知A，B为椭圆上的点，且直线AB垂直于x轴，直线l：x=4与x轴交于点N，直线AF与BN交于点M，求证：点M恒在椭圆C上.(第11题)【检测与评估答案】第2讲圆锥曲线一、填空题1. 4【解析】将点(22)代入可得2+4m=1，即m=-14，故双曲线的标准方程为21x-24y=1，即虚轴长为4.2.y=±2x3，所以m=4.而双曲线的渐近线方程为x ，即y=±2x.3. 43 【解析】抛物线y 2=4x 的准线方程为x=-1，焦点F (1，0)，设点A (x 0，y 0)(x 0>0，y 0>0)，由题意得x 0+1=5，所以x 0=4，所以20y=4x 0=16，y 0=4，从而点A (4，4)，直线AF 的斜率k=4-04-1=43.4.2 【解析】不妨设椭圆方程为22x a +22y b =1(a>b>0)，则有222-1b a a c c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即2221b a b c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ②则①÷②得e=2.5.【解析】由题意知a=2，所以BF 2+AF 2+AB=4a=8，因为BF 2+AF 2的最大值为5，所以AB 的最小值为3，当且仅当AB ⊥x 轴时，取得最小值，此时A 3-2c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，B3--2c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，代入椭圆方程得24c +294b =1.又c 2=a 2-b 2=4-b 2，所以24-4b +294b =1，即1-24b +294b =1，所以24b =294b ，解得b 2=3，所以6.4【解析】由题意可知抛物线y 2=8x 的焦点为(2，0)，所以c=2.因为离心率为12，所以a=4，所以47.【解析】由题意知A (-a ，0)，B (a ，0)，取P (0，b )，则k AP ·k BP =b a×-b a ⎛⎫ ⎪⎝⎭=-13，故a 2=3b 2，所以e 2=222-a b a =23，即e=3.8. 1132⎛⎫ ⎪⎝⎭，∪112⎛⎫⎪⎝⎭，【解析】6个不同的点有两个为短轴的两个端点，另外4个分别在第一、二、三、四象限，且上下对称、左右对称.不妨设P 在第一象限，PF 1>PF 2，当PF 1=F 1F 2=2c 时，PF 2=2a-PF 1=2a-2c ，即2c>2a-2c ，解得e=c a >12.又因为e<1，所以12<e<1.当PF 2=F 1F 2=2c 时，PF 1=2a-PF 2=2a-2c ，即2a-2c>2c ，且2c>a-c ，解得13<e<12.综上可得13<e<12或12<e<1.二、 解答题9. (1) 因为28x +24y =1，所以F 1(-2，0)，F 2(2，0)，所以k OP=22F Mk1F M k=4，所以直线F 2M 的方程为x-2)，直线F 1M 的方程为y=4(x+2).联立-2)(2)4y x y x ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，，解得x=65，所以点M 的横坐标为65.(2) 设P (x 0，y 0)，M (x M ，y M ).因为1FM u u u u r=2MPuuu r ，所以1FM u u u u r =23(x 0+c ，y 0)=(x M +c ，y M )，所以M 00212-333x c y ⎛⎫⎪⎝⎭，，2F M u u u u r =00242-333x c y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为PO ⊥F 2M ，O P uuu r=(x 0，y 0)，所以2023x -43cx 0+223y =0，即20x +20y =2cx 0.联立方程2200022002221x y cx x y a b ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，，消去y 0，得c 220x -2a 2cx 0+a 2(a 2-c 2)=0，解得x 0=()a a c c +或x 0=(-)a a c c .因为-a<x 0<a ，所以x 0=(-)a a c c ∈(0，a )， 所以0<a 2-ac<ac ，解得e>12.综上，椭圆离心率e 的取值范围为112⎛⎫ ⎪⎝⎭，.10. (1) 设椭圆方程为22x a +22y b=1(a>b>0)，则c=1.因为AF uuu r ·F B uuu r=1，即(a+c )(a-c )=1=a 2-c 2，所以a 2=2，故椭圆方程为22x +y 2=1.(2) 假设存在直线l 交椭圆于P ，Q 两点，且F 恰为△PQM 的垂心，则设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，因为M (0，1)，F (1，0)，故k PQ =1，于是可设直线l 的方程为y=x+m.联立2222y x m x y =+⎧⎨+=⎩，，得3x 2+4mx+2m 2-2=0，则x 1+x 2=-43m ，x 1x 2=22-23m .因为MP uuu r·FQ u u u r=0=x 1(x 2-1)+y 2(y 1-1)，又y i =x i +m (i=1，2)，得x 1(x 2-1)+(x 2+m )(x 1+m-1)=0，即2x 1x 2+(x 1+x 2)(m-1)+m 2-m=0，所以2·22-23m -43m(m-1)+m 2-m=0，解得m=-43或m=1(舍去). 经检验m=-43符合条件， 所以直线l 的方程为y=x-43.11. (1) 由题意得2222212312-c a b a b c =⎧⎪⎪+=⎨⎪=⎪⎩，，，解得a 2=4，b 2=3，故椭圆C 的方程为24x +23y =1.(2) 因为F (1，0)，N (4，0).设A (m ，n )，M (x 0，y 0)，则B (m ，-n )，n ≠0，则直线AF 的方程为y=-1nm (x-1)， 直线BN 的方程为y=4-nm (x-4)， 解得点M 的坐标为5-832-52-5m n m m ⎛⎫⎪⎝⎭，. 代入椭圆方程中，得204x +203y =25-82-54m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭+232-53n m ⎛⎫⎪⎝⎭=222(5-8)124(2-5)m n m +.由24m+23n=1，得n2=321-4m⎛⎫⎪⎝⎭，代入上式得24x+23y=1.所以点M恒在椭圆C上.。
高三数学专题复 习-解析几何苏教版
高三数学专题复习-解析几何苏教版【本讲教育信息】一. 教学内容： 专题复习-解析几何【高考要求】二、基本内容：（二）圆的方程（1）圆的定义：平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆（2）圆的标准方程 ：222)()(r b y a x =-+- 圆心为),(b a C ，半径为r ， （3）圆的一般方程：只有当0422>-+F E D 时，022=++++F Ey Dx y x ①表示的曲线才是圆，把形如①的方程称为圆的一般方程（1）当0422>-+F E D 时，①表示以（-2D ，-2E ）为圆心,F E D 42122-+为半径的圆；（2）当0422=-+F E D 时，方程①只有实数解2D x -=，2Ey -=，即只表示一个点（-2D ，-2E ）; （3）当0422<-+F E D 时，方程①没有实数解，因而它不表示任何图形。
【典型例题】例1、过点P （2，1）的直线分别与x 轴和y 轴的正半轴交于A 、B 两点．求OA OB ⋅取得最小值时直线的方程．解：设直线的方程为1,(0,0),x y a b a b +=>>211a b+=. ∴28ab b a ab =+≥≥, ∴8OA OB ab ∙=≥，即OA OB ⋅的最小值为8 当且仅当a=2b ，即a =4，b =2时取得等号。
故所求直线的方程为：x +2y -4=0． 变式：过点P （2，1）的直线分别与x 轴和y 轴的正半轴交于A 、B 两点．求PA PB ⋅取得最小值时直线的方程．解：显然直线的斜率存在，设其方程为：y -1=k （x -2）,则A 1(2,0),(0,12)B k k--由1201200k k k->-><及得，∴PA PB ⋅4=当且仅当2211k k k ==-即时取等号，∴PA PB ⋅的最小值为4时直线的方程为x+y -3=0．例2、已知甲、乙、丙三种食物的维生素A 、B 含量及成本如下表，若用甲、乙、丙三种食物各x 千克，y 千克，z 千克配成100千克混合食物，并使混合食物内至少含有56000单位维生素A 和（Ⅰ）用x ，y 表示混合食物成本c 元；（Ⅱ）确定x ，y ，z 的值，使混合物的成本最低．解：（Ⅰ）由题，1194c x y z =++，又100x y z ++=，所以40075c x y =++．（Ⅱ）由60070040056000, 10080040050063000x y z z x y x y z ++≥⎧=--⎨++≥⎩及得，46320 3130x y x y +≥⎧⎨-≥⎩，所以75450.x y +≥所以当且仅当⎩⎨⎧=-=+130y x 3320y 6x 4，即⎩⎨⎧==20y 50x 时等号成立．所以，当x =50千克，y =20千克，z =30千克时，混合物成本最低，为850元．点评：本题为线性规划问题，用解析几何的观点看，问题的解实际上是由四条直线所围成的区域00463203130xy x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨+≥⎪⎪-≥⎩上使得40075c x y =++最大的点．不难发现，应在点M （50，20）处取得．例3、如图，一列载着危重病人的火车从O 地出发，沿射线OA 的方向行驶，其中sin α=.在距离O 地a 5（a 为正常数）千米、北偏东β角的N 处住有一位医学专家，其中3sin 5β=.现120指挥中心紧急调离O 地正东p 千米B 处的救护车，先到N 处载上医学专家，再全速赶往载有危重病人的火车，并在C 处相遇。
2019年高考数学总复习专项：解析几何讲义(完整版)
一、直线与方程基础：1、直线的倾斜角α： [0,)απ∈2、直线的斜率k ： 2121tan y y k x x α-==-； 注意：倾斜角为90°的直线的斜率不存在。
3、直线方程的五种形式：①点斜式：00()y y k x x -=-；②斜截式：y kx b =+；③一般式：0Ax By C ++=；④截距式：1x y a b +=； ⑤两点式：121121y y y y x x x x --=-- 注意：各种形式的直线方程所能表示和不能表示的直线。
4、两直线平行与垂直的充要条件：1111:0l A x B y C ++=，2222:0l A x B y C ++=，1l ∥2l 12211221A B A B C B C B =⎧⇔⎨≠⎩； 1212120l l A A B B ⊥⇔+= .5、相关公式：①两点距离公式：11(,)M x y ，22(,)N x y ，MN =②中点坐标公式：11(,)M x y ，22(,)N x y ，则线段MN 的中点1212(,)22x x y y P ++； ③点到直线距离公式： 00(,)P x y ，:0l Ax By C ++=，则点P 到直线l的距离d =；④两平行直线间的距离公式：11:0l Ax By C ++=，22:0l Ax By C ++=， 则平行直线1l 与2l之间的距离d =；⑤到角公式：（补充）直线1111:0l A x B y C ++=到直线2222:0l A x B y C ++=的角为θ，(0,)(,)22ππθπ∈，则2112tan 1k k k k θ-=+⋅ .（两倾斜角差的正切） 二、直线与圆，圆与圆基础：1、圆的标准方程：222()()x a y b r -+-=；确定圆的两个要素：圆心(,)C a b ，半径r ；2、圆的一般方程：220x y Dx Ey F ++++=，（2240D E F +->）；3、点00(,)P x y 与圆222:()()C x a y b r -+-=的位置关系：点00(,)P x y 在圆内⇔ 22200()()x a y b r -+-<；点00(,)P x y 在圆上⇔ 22200()()x a y b r -+-=；点00(,)P x y 在圆外⇔ 22200()()x a y b r -+->；4、直线:0l Ax By C ++=与圆222:()()C x a y b r -+-=的位置关系：从几何角度看：令圆心(,)C a b 到直线:0l Ax By C ++=的距离为d ，相离⇔d r >；相切⇔=d r ；相交⇔0d r ≤<；若直线:0l Ax By C ++=与圆222:()()C x a y b r -+-=相交于两点M ，N ，则弦长MN =从代数角度看：联立:0l Ax By C ++=与圆222:()()C x a y b r -+-=，消去y （或x ）得一元二次方程，24b ac ∆=-，相离⇔0∆<；相切⇔0∆=；相交⇔0∆>；相交时的弦长1212MN x x y y =-=- . 5、圆与圆的位置关系： 相离，外切，相交，内切，内含 .圆2221111:()()O x x y y r -+-=；圆2222222:()()O x x y y r -+-=， 根据这三个量之间的大小关系来确定：12r r -，12O O ，12r r +；相离⇔1212O O r r >+；外切⇔1212O O r r =+；相交⇔121212r r OO r r -<<+；内切⇔1212O O r r =-；内含⇔12120O O r r ≤<-；6、两圆2221111:()()O x x y y r -+-=①；圆2222222:()()O x x y y r -+-=②若相交，则相交弦所在的直线方程的求法：交轨法： ①式-②式，整理化简即可得到相交弦所在直线方程 .三、椭圆：1、（第一）定义：12122PF PF a F F +=>；2、椭圆标准方程及离心率： 焦点在x 轴上的椭圆标准方程为：22221(0)x y a b a b+=>>； :a 长半轴；b ：短半轴；:c 半焦距 .椭圆中a ，b ，c 的关系：222a b c =+；椭圆的离心率(0,1)c e a=∈ . 3、弦长公式： 直线:l y kx b =+与椭圆2222:1()x y C m n m n+=≠交于两点11(,)M x y ，22(,)N x y ， 则相交时的弦长1212MN x x y y =-=- a==弦长公式是由两点距离公式与两点斜率公式推导出来，故适用性比较广。
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热点三 最值、范围问题
例3 (2017·苏北四市调研)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： ax22＋by22＝1(a＞b＞0)的离心率为 22， 且右焦点 F 到左准线的距离为 6 2.
(1)求椭圆C的标准方程；
解 则
b＝由2题2意，，得acc＋＝ac222＝，6
2，
解得ac＝＝24，2，
垂线l2.
(1)求椭圆E的标准方程；
12
解答
(2)若直线l1，l2的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标.
12
解答
考情考向分析 江苏高考圆锥曲线综合题包括：探索性问题、定点与定值 问题、范围与最值问题等，一般试题难度较大.这类问题以直线和圆锥曲 线的位置关系为载体，以参数处理为核心，需要综合运用函数与方程、 不等式等诸多知识以及数形结合、分类讨论等多种数学思想方法进行求 解，对考生的代数恒等变形能力、计算能力等有较高的要求.
思维升华 解答
跟踪演练 2 已知椭圆ax22＋by22＝1(a＞b＞0)的右焦点为 F2(1,0)，点 P1，32在 椭圆上.
(1)求椭圆方程；
解 ∵右焦点为F2(1,0)，∴c＝1， 左焦点为F1(－1,0)，点P 1，32在椭圆上. 2a＝PF1＋PF2
＝
1＋12＋322＋
(1)求k1k2的值；
解答
(2)记直线PQ，BC的斜率分别为kPQ，kBC，是否存在常数λ，使得kPQ＝λkBC？ 若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由；
解答
(3)求证：直线AC必过点Q.
证明
热点二 定值问题 例2 已知椭圆E的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，且过点P(2,1)和 A(5,0)，过点P且垂直于直线OP的直线l与圆C：x2＋y2＝25交于R(x1，y1)， S(x2，y2)两点(其中y1＞0，y2＜0)，T为圆C上异于R，S的任意一点，射线 RT，ST分别交直线OP于M，N两点. (1)求椭圆E的方程；
解答
(2)若T点的坐标为(3,4)，求点N的坐标；
解 易知直线l的方程为y＝－2x＋5，
联立yx＝2＋－y22＝x＋255，， 解得xy＝＝05， 或xy＝＝－4，3，
即R(0,5)，S(4，－3)，
则直线ST的方程为y＝－7x＋25，
y＝－7x＋25， 联立y＝12x，
1－12＋322＝4.
∴a＝2，b＝ a2－c2＝ 3，
∴椭圆方程为x42＋y32＝1.
解答
(2)点M(x0，y0)在圆x2＋y2＝b2上，M在第一象限，过M作圆x2＋y2＝b2的切 线交椭圆于P，Q两点，问F2P＋F2Q＋PQ是否为定值？若是，求出定值， 若不是，请说明理由.
又 c＋ac2＝3，得 c＝1，a＝ 2.从而 b＝1. 所以椭圆的方程为x22＋y2＝1.
方法二 同方法一.
方法三 同方法一.
12
解答
(2)过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l 和AB于点P，C，若PC＝2AB，求直线AB的方程.
12
解答
2的.(左20、17右·江焦苏点)如分图别，为在F1平，面F2直，角离坐心标率系为x12O，两y中准，线椭之圆间E的：ax距22＋离by为22 8＝.点1(Pa在＞椭b＞圆0) E上，且位于第一象限，过点F1作直线PF1的垂线l1，过点F2作直线PF2的
专题七 解析几何
第4讲 圆锥曲线的综合运用
高考真题体验 热点分类突破 高考押题精练
Ⅰ 高考真题体验
1.(2015·江苏)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 ax22＋by22 ＝1(a＞b ＞0)的离心率为 22，且右焦点F到左准线l的距离为3. (1)求椭圆的标准方程； 解 方法一 由椭圆的离心率 e＝ac＝ 22， 得 a∶b∶c＝ 2∶1∶1.
Ⅱ 热点分类突破
热点一 定点问题 例1 如图，已知椭圆C：ax22＋y2＝1(a＞1)的上顶点为A，右焦点为F，直线 AF与圆M：x2＋y2－6x－2y＋7＝0相切.
(1)求椭圆C的方程；
解答
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(2)若不过点A的动直线l与椭圆C相交于P，Q两 点，且 A→P·A→Q＝0，求证：直线l过定点，并求出 该定点N的坐标.
所以椭圆 C 的标准方程为1x62 ＋y82＝1.
解答
(2)设A为椭圆C的左顶点，P为椭圆C上位于x轴上方的点，直线PA交y轴于 点M，过点F作MF的垂线，交y轴于点N. ①当直线PA的斜率为 1 时，求△FMN的外接圆的方程；
2
解答
②设直线AN交椭圆C于另一点Q，求△APQ 的面积的最大值. 思维升华 处理求最值的式子常用两种方式 (1)转化为函数图象的最值. (2)转化为能利用基本不等式求最值的形式.若得到的函数式是分式形式， 函数式的分子次数不低于分母时，可利用分离法求最值；若分子次数低 于分母，则可分子、分母同除分子，利用基本不等式求最值(注意出现复 杂的式子时可用换元法).
思维升华 如果要解决的问题是一个定点问题，而题设条件又没有给出 这个定点，那么，我们可以这样思考：由于这个定点对符合要求的一些 特殊情况必然成立，那么我们根据特殊情况先找到这个定点，明确解决 问题的目标，然后进行推理探究，这种先根据特殊情况确定定点，再进 行一般性证明的方法就是由特殊到一般的方法.
思维升华 解答
解得 xy＝＝15330，，
即 N130，53.
解答
(3)设M，N的横坐标分别为s，t，试探究s·t是否为定值？若为定值，求出 这个值；若不为定值，请说明理由. 思维升华 定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定值”是多少， 或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定值问题同证明问题类似，在求定值之前已知该值的结果，因此求解时应 设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定值显现.
跟踪演练1 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2＋y2＝4，椭圆
Ω：x2＋y2＝1，A为椭圆右顶点，过原点O且异于坐标轴的直线与椭圆Ω交 于B，4 C两点，直线AB与圆O的另一交点为P，直线PD与圆O的另一交点为
Q，其中D－65，0.设直线AB，AC的斜率分别为k1，k2.