浅谈伯努利方程的几种解法及应用

本科毕业论文题目：浅谈伯努利方程的几种解法与应用学院：数学与计算机科学学院班级：数学与应用数学2011级专升本班姓名：张丽传指导教师：王通职称：副教授完成日期： 2013 年 5 月25 日浅谈伯努利方程的几种解法与应用摘要: 本文在研究已经公认的多种伯努利方程解法的前提下,把这些方法进行整合.首先,将各种解法进行分析归类,并总结出几种常见的求解伯努利方程的方法;其次,比较各种解法的优缺点;再次,利用一题多解来巩固文中所介绍的各种解法;最后,略谈伯努利方程在求解里卡蒂方程中的重要应用.关键词: 伯努利方程;变量代换法;常数变易法;积分因子法目 录引言 ....................................................................................................................................... 1 1 伯努利方程的解法 ........................................................................................................... 1 1.1 代换法 ....................................................................................................................... 1 1.1.1 变量代换法、常数变易法的混合运用 ........................................................... 1 1.1.2 函数代换法 ....................................................................................................... 2 1.1.3 求导法 ............................................................................................................... 3 1.1.4 恰当导数法 ....................................................................................................... 3 1.2 直接常数变易法 . (4)1.2.1 对0)(=+y x P dx dy的通解中c 的常数进行常数变易 .................................... 4 1.2.2 对n y x Q dx dy)(=通解中的常数c 进行常数变易 ............................................ 4 1.3 积分因子法 ............................................................................................................... 5 1.4 各种方法的比较 ....................................................................................................... 6 1.5 解法举例 ................................................................................................................... 6 2 伯努利方程在里卡蒂方程中的应用 ............................................................................. 10 3 总结 ................................................................................................................................. 11 参考文献 .. (12)引言在高等数学数学分析科学体系中,微分方程是其中非常重要的一个组成部分,而伯努利方程又是一类很重要的一阶非线性常微分方程,在很多学科中都有广泛的应用, 尤其是在物理和化工方面应用非常广.伯努利方程的表达式:n y x Q y x P y )()(=+',这里)(x P 、)(x Q 是关于n 的连续函数,n 为不等于0和1的任意常数.一般地,该方程可以通过一些特殊的方法转化为线性微分方程,进而用解线性微分方程的方法来求解.许多学者在探求伯努利方程解法这方面做出了卓著的贡献,本文在充分分析这些贡献的基础上,根据各种解法的特点,将它们进行了归类总结,有利于我们对各种解法进行深刻的理解和认识.在数学学习过程中,一题多解不仅能帮助学生很好地掌握所学知识,而且还能扩散学生的思维,进而培养学生的创新精神、提高创新能力,这正符合新课标对学生的要求.为了更进一步地掌握各种解法,在本文中我采用了一题多解,上下对比,一目了然.同时,探讨了伯努利方程在求解里卡蒂方程中的应用.本文主要有两大板块构成,具体如下:首先,是伯努利方程的解法及举例,主要浅谈了伯努利方程的变量代换法、常数变易法、积分因子法三种方法;其次,是伯努利方程的应用,主要浅谈了伯努利方程在里卡蒂方程求解中的应用. 1 伯努利方程的解法 1.1 代换法1.1.1 变量代换法、常数变易法的混合运用伯努利方程()()ndyP x y Q x y dx+=（n ≠0，1）. (1.0) 求解步骤如下(1) (1.0)式两端同除以n y 得 )()(1x Q y x P dxdyy n n=+--. (*) (2) 变量代换令n y z -=1即可将上式化为一阶线性非齐次微分方程)()1()()1(x Q n z x P n dx dz-=-+ . (1.1) (3) 常数变易首先,通过对(1.1)式所对应的齐次方程通解中的常数1c 进行常数变易变为1()c x ;然后,经过一系列的求解过程求得方程(1.1)式的通解．① 先求z x P n dx dz)()1(-=的通解.经变量分离后对方程两边一起积分求得一阶线性齐次微分方程的通解(1)()1n P x dxz c e -⎰=⋅. (a)② 再对(a)式中的1c 进行常数变易变为1()c x ,得(1.1)式的通解,将此通解代入 (1.1)式得(1)()12()(1)()n P x dxc x n Q x edx c -⎰=-+⎰,从而得(1.1)式通解(1)()(1)()2[(1)()]n P x dxn P x dxz en Q x edx c --⎰⎰=-+⎰.(4) 变量代换令21cc n=-,接下来将n y z -=1代到上式得(1.0)式的通解])([)1()()1()()1(1⎰+⎰⎰-=---c dx e x Q e n y dxx P n dx x P n n （c 为任意常数）． 当0>n 时,方程还有解0=y . 1.1.2 函数代换法定理 若)()(x g x f y =是(1.0)式的通解且⎰=-dx x P e x g )()(,则(1.0)式的通解为])([)1()()1()()1(1⎰+⎰⎰-=---c dx ex Q en y dxx P n dxx P n n .证明 对)()(x g x f y =两边求导得)()()()(x g x f x g x f y '+'=',将上式代入(1.0)式得)()()()()()()()()()(x g x f x Q x g x f x P x g x f x g x f n n =+'+',整理得)()()()]()()()[()()(x g x f x Q x g x P x g x f x g x f n n =+'+' . (1.2)因为⎰=-dxx P e x g )()(, 所以0)()()(=+'x g x P x g . 将上式代入(1.2)式得)()()()()(x g x f x Q x g x f n n =', 整理得⎰='--dxx P n nex Q x f x f )()1()()()( ,两边积分得⎰+⎰-=--])()[1()()()1(1c dx e x Q n x f dxx P n n,则(1.0)式的通解为 ])([)1()()1()()1(1⎰+⎰⎰-=---c dx ex Q e n y dxx P n dx x P n n （c 为任意常数）．当0>n 时,方程还有解0=y . 1.1.3 求导法令)()(1x N y x M z n +=-,则)()(1x M x N z yn-=-.对上式两边求导得)()()1()(1x N y y x M n y x M z n n '+'-+'='--,即有11[()()].(1)()n n y y z N x M x y n M x --''''=---,代入(*)式得0)()()1()()]()()()1[(1=--'-'--+'-x M x Q n x N y x M x P x M n z n ．令0)()()()1(='--x M x P x M n ,0)()()1()(=-+'x M x Q n x N . 则上式变为0='z ,解得1z c =． 解得⎰=-dxx P n ex M )()1()( , ⎰⎰-=-dx ex Q n x N dxx P n )()1()()1()(．从而(1)()(1)()11[(1)()]n P x dxn P x dxn y en Q x edx c ---⎰⎰=-+⎰,令11c c n=-则(1.0)式的通解为 ])([)1()()1()()1(1⎰+⎰⎰-=---c dx e x Q e n y dxx P n dx x P n n （c 为任意常数）． 当0>n 时,方程还有解0=y .1.1.4 恰当导数法令⎰=-dx x P e x v )()(,有⎰-='-dxx P e x P x v )()()(,即)()()(x v x v x P '-=,则(1.0)式变形为)()()()()(11x v y x v x Q y x v x v y n n n --='-', 11])()[()()()(--='-'n n x v y x v x Q x v x v y y , ()()11])()[()()(ln ln --='-'n n x v y x v x Q x v y ,11])()[()()(ln --='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n n x v y x v x Q x v y ,设z x v y )(=得11)()()(ln --='n n z x v x Q z ,)()(1x v x Q zz n n -=', 两边积分解之得])()()[1(11⎰+-=--c dx x v x Q n z n n ,则(1.0)式的通解为])([)1()()1()()1(1⎰+⎰⎰-=---c dx ex Q en ydxx P n dxx P n n（c 为任意常数）． 当0>n 时,方程还有解0=y .1.2 直接常数变易法1.2.1 对0)(=+y x P dx dy的通解中的常数进行常数变易 ()0dyP x y dx+=的通解为 ()1P x dxy c e -⎰=,经常数变易得()1()P x dx y c x e -⎰=.令上式为(1.0)式的通解,将其代入(1.0)式得 ()()11()()()P x dx n P x dxn c x e c x e Q x --⎰⎰'=⋅,即得(1)()11()()()n P x dx n c x e Q x c x -'⎰=⋅, 两边同时积分得(1)()11()(1)()n P x dx n c x n Q x e dx c --⎡⎤⎰=-+⎢⎥⎣⎦⎰, 则(1.0)式的通解为])([)1()()1()()1(1⎰+⎰⎰-=---c dx ex Q en y dxx P n dxx P n n （c 为任意常数）． 当0>n 时,方程还有解0=y .1.2.2 对n y x Q dxdy)(=通解中的常数c 进行常数变易 该方法的独特之处是先解方程n y x Q dx dy)(= , (1.3)再经常数变易求(1.0)式的通解. 基本步骤为(1)利用变量分离法解式(1.3)得11(1)[()]n y n Q x dx c -=-+⎰.(2)经常数变易后(1.0)式的通解为11(1)[()()]n y n Q x dx c x -=-+⎰ . (1.4)(3)同时对 (1.4) 式两边进行求微分得1()()n dc x dyy Q x dx dx -=+ . (1.5)(4)将 (1.4)、(1.5)代入(*)式得11()(1)()()()dc x n P x Q x dx c x dx ⎡⎤=-+⎣⎦⎰. (5)仔细观察后发现上式为关于1()c x 的一阶线性非齐次方程,则(1)()(1)()1()[(1)()()]n P x dxn P x dxc x en P x Q x dx edx c --⎰⎰=⋅-⋅⋅+⎰⎰. (1.6)(6)将(1.6)式代到 (1.4) 式得 ⎰⎰⎰+⎰⋅-⎰-+-=---])()()1([)1()()1()()1()()1()1(c dx e dx x Q x P n e n dx x Q n y dxx P n dx x P n n .(7)由数学分析中常用的分部积分公式⎰⎰-=vdu uv udv ,令⎰=dx x Q u )(, ⎰=-dxx P n e v )()1(,则(1.0)式的通解为])([)1()()1()()1(1⎰+⎰⎰-=---c dx ex Q en y dxx P n dxx P n n(c 为任意常数).当0>n 时,方程还有解0=y . 1.3 积分因子法对(1.0)式两端同乘以n y -,经过一系列的整理得0))()((1=+---dy y dx x Q y x P n n , (1.7)从而有)()(),(1x Q y x P y x M n -=- ,n y y x N -=),(．则)()1(),(),(),(1x P n x y x N y y x M y x N -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-∂∂⋅. 则由课本所学知(1.7)式的积分因子为⎰=-dxx P n ex u )()1()(,将⎰=-dxx P n ex u )()1()(乘以(1.7)式得dx ex P y dy eydx e x Q dxx P n n dxx P n ndxx P n ])([][])([)()1(1)()1()()1(⎰+⎰=⎰-----, (1.8)对(1.8)式右边进行凑微分得][])()1[()()1(1)()1(⎰⋅=⎰⋅⋅----dxx P n n dxx P n ey d dx ex Q n ,两边同时积分得⎰⋅=+⎰⋅⋅----⎰dxx P n n dxx P n ey c dx ex Q n )()1(11)()1()()1(,整理得⎰+⎰-⋅⎰=---])()1[(1)()1()()1(1c dx ex Q n ey dxx P n dxx P n n .令)1(1n c c -=,则(1.0)式的通解为 ])([)1()()1()()1(1⎰+⎰⋅⎰⋅-=---c dx ex Q e n y dxx P n dxx P n n （c 为任意常数）． 当0>n 时,方程还有解0=y . 1.4 各种方法的比较由上述讲解可以看出:总的来说讲解了三种方法.1.1.1所介绍的解法的解题思路是:首先,将伯努利方程（一阶非线性微分方程）化为我们比较熟悉的一阶线性非齐次方程;其次,通过一阶线性非齐次方程的求解步骤求其通解,然后再将变量回代,求伯努利方程的通解.1.2.1介绍的解法解题思路是把伯努利方程所对应的齐次方程的通解中的常数c 变成)(x c ,将其代到(1.0)式,经过一系列的计算求出)(x c ,再把)(x c 带回去求出伯努利方程的通解;1.2.2介绍的解法关键是利用分部积分法将通解简化.1.3介绍的解法关键就是找到积分因子,将伯努利方程进行凑微分,然后再求解.在前面七种解法中,最容易先想到的就是1.1.1和1.2.1所介绍的解法,1.1.1介绍的方法计算过程稍微有点复杂,1.2.1介绍的方法则相对简单一些;1.2.2介绍的这种方法虽然简单,但一般由于思维定势我们不容易想到这种方法;而 1.1.4所介绍的方法计算过程复杂且不易想到.1.1.2、1.1.3所介绍的这两种方法虽然计算过程稍微简单些但技巧性比较强.1.3所介绍的方法使用比较巧妙,它的巧妙之处在于将(1.0)式化为(1.7)式,其计算过程简洁,方法简单.本人推荐大家使用积分因子法和第一种常数变易法,或者第一种方法.1.5 解法举例例1 利用上面所介绍的不同方法求2y y x y ='-的通解解 现将方程2y y x y ='-变为标准型的伯努利方程, 即xy x y dx dy 2-=- , ① 则有x x P 1)(-= , xx Q 1)(-=. 解法一（变量代换法、常数变易法的混合运用） 在①两边同除以2y 得x xydx dy y 1112-=-. 令yz 1=,则 x x z dx dz 1=+.将0=+x z dx dz 通解中的常数变易后得xx z dx dz 1=+的通解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⎰=⎰-c dx e x e z dx x dx x 111,即)(1c x xz +=, 故原方程的通解cx xy +=（c 为任意常数）. 解法二（函数代换法） 令)()(x g x f y =为①式的通解, 由上述讲解知x ex g dxx =⎰=1)(,⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎰--=⎰-1111)(c dx e x x fdx x .令1c c -=,则c x x f+=-)(1,故原方程的通解cx xy +=（c 为任意常数）. 解法三（求导法）令)()(1x N y x M z +=-, 由上述讲解知xex M dxx =⎰=1)(,x dx e xx N dxx -=⎰-=⎰11)(. 从而xcx x M x N c y +=-=)()]([1. 故原方程的通解cx xy +=（c 为任意常数）. 解法四（恰当导数法） 令 1()()dxP x dxx v x e ex -⎰⎰===,由上述讲解知11[()()]z Q x v x dx x c -==-⎰.令1c c -=,则c x z+=-1.从而111()x cy z v x x---+==. 故原方程的通解cx xy +=（c 为任意常数）. 解法五（直接常数变易法）（一）、对①式所对应的齐次方程的通解中的常数进行常数变易得①式的通解由于0=-x ydx dy 的通解为cx ce y dxx P =⎰=-)(. 经常数变易后则x x c y )(=为①式的通解 从而)()(2x c x c -='.整理得1)()(2=-'x c x c ,即c x x c +=)(1, 从而cx x c +=1)( . 故原方程的通解cx xy +=（c 为任意常数）. (二)、先解方程xy dx dy 2-=,然后经常数变易求①式的通解 由上述讲解知cx xy +=（c 为任意常数）. 解法六（积分因子法） 整理得方程01)11(2=--dy ydx x xy . ②x xy y x M 11),(-= , 21),(y y x N -=.21),(xy y y x M -=∂∂ , 0),(=∂∂yy x N .21),(),(xy x y x N y y x M -=∂∂-∂∂.x y x N xy x N y y x M 1),(),(),(=∂∂-∂∂. ②式的积分因子为x ex u dxx =⎰=1)(.②式乘以积分因子得0)11(2=--dy yxdx y .经凑微分得c x yx=-.所以cx xy +=（c 为任意常数）. 注 由以上例题的各种解法的解题过程可以清晰的看出解法二、三、四的解题步骤均很少,但它们的技巧性比较强,一般我们不容易想到;解法一、五(一)、六我们在学习其它微分方程时有涉略,我们很容易接受;解法五(二)虽然也是常数变易法,但是由于我们之前都是对一阶线性齐次微分方程的通解中的常数进行常数变易,所以不太容易想到这个办法.总之,最好用的是解法五(一)、六,实在想不到就直接用解法一.2 伯努利方程在里卡蒂方程中的应用里卡蒂方程 )()()(2x R y x Q y x P dx dy++= , (2.0)其中)(x P ,)(x Q ,()R x 都是连续函数.当0)(=x R 时, (2.0)式是伯努利方程,由前面几种方法均可求得其通解.当0)(≠x R 时,若(2.0)式的一个特解为1()y y x =,作变量替换1()()()y x z x y x =+,则1dy dy dz dx dx dx =+, 代入原方程得)())(())((1211x R y z x Q y z x P dxdy dx dz ++++=+ [])()()()()(2)(12112x R y x Q y x P z x Q y x P z x P +++++=. 所以1()y y x =是原方程的特解.)()()(1211x R y x Q y x P dx dy ++=. []21)()()(2z x P z x Q y x P dx dz++=． 上式是一个关于z 的伯努利方程且2n =,则上式的通解为()()⎰+⎰⎰-=---])([)1()(11)(1111c dx e x Q e n z dxx P n dx x P n n , 这里[]11()2()()P x P x y Q x =-+,1()()Q x P x =. 可求得[][]⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰-=⎰++--c dx e x P e z dx x Q y x P dx x Q y x P )()(2)()(2111)(, 即[][]⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰-=-⎰++-c dx e x P e x y x y dx x Q y x P dx x Q y x P )()(2)()(2111)()()(1. 从而原方程的通解为[][]1)()(2)()(2111)()()(-++⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰-=⎰c dx e x P e x y x y dx x Q y x P dx x Q y x P （c 为任意常数）. 例2 2)(22=+'y y x ． 解 整理得 222xy dx dy +-= ③由③式1)(-=x P ,0)(=x Q ,22)(x x R =.原方程的一个特解为xy 11-=,作变量代换xx z y 1)(-=, 则有21)(xdx x dz dx dy +=, 将上式代入③得222121)()(x x x x z dx x dz -+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=. 整理得)()(2)(2x z x z xdx x dz -=为伯努利方程,由伯努利通解公式得⎪⎭⎫⎝⎛+--=-1321311)(c x x x z , 即13233)(c x x x z -=.令13c c -=,从而cx x x z +=323)(.又由xx z y 1)(-=得原方程的通解为 xc x x y 1332-+= （其中c 是任意常数）.3 总结文中所阐述的解法对一般伯努利方程都适用.在使用变量代换法时,可根据实际采用合适的变量替换.由于变量代换法、常数变易法的混合运用法我们在课本中学习伯努利方程时就已经讲过如何使用常数变易法解一阶线性非齐次方程,从而用变量代换法、常数变易法的混合运用法解伯努利方程也就比较容易.对于积分因子法,它对伯努利方程来说是一种独特的方法,具有较好的实际应用价值.总之,在求解方程时,可采用简单的解法或你熟练掌握的解法.关于应用方面,本文只是给出了在求解一阶非线性微分方程——里卡蒂方程中的应用,但在实际生活中,伯努利方程在物理和化工方面都有很广泛的应用,这些都有待于我们进一步去探讨,从而进一步了解伯努利方程在常微分方程这门学科中的重要地位,只有很好地掌握了伯努利方程的各种解法才能很好地解决一些用到伯努利方程的实际问题.参考文献[1] 艾英.伯努利(Bernoulli)方程的几种解法[J].焦作大学学报(综合版),1997,34(3):57-58．[2] 李信明.Bernoulli方程通解的一种简捷求法[J].昌潍师专学报,2000,19(2):87．[3] 常季芳,李高.关于伯努利方程的几种新解法[J].雁北师范学院学报,2007,23(2):89-91．[4] 王高雄,周之铭,等.常微分方程(第三版)[M].北京:高等教育出版社,2006:45-48.[5] 王克,潘家齐.常微分方程[M].北京:高等教育出版社,2005:27.[6] 胡劲松,郑克龙.用“积分因子法”求解Bernoulli方程[J].四川理工学院学报,2005,12(3):86-87．[7] 张玉平.用变量替换求解几类常见的一阶线性微分方程[J].企业家天地(理论版),2010,129(4):199．[8] 王玮.一阶线性微分方程与贝努利方程的解法[J].焦作大学学报(综合版),1994,21(2):39-41.[9] A garwal R P, Bohner M, Oregand, etc. Dynamic equations on time scales: A survey[J]. 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