直线与圆(06-09全国高考数学真题分类汇编)

普通高等学校招生全国统一考试数学分类汇编

第七章《直线与圆》

一、选择题（共17题）

1．（安徽卷）如果实数x y 、满足条件??

?

??≤++≥+≥+-01,01,01y x y y x 那么2x y -的最大值为

A ．2

B ．1

C ．2-

D ．3-

解：当直线2x y t -

=过点(0， -1)时， t 最大， 故选B 。

2．（安徽卷）直线1x y +=与圆2220(0)x y ay a +-=>没有公共点， 则a 的取值范围是

A

．1) B

．1) C

．(1) D

．1)

解：由圆

2220(0)x y ay a +-=>的圆心(0,)a 到直线1x y +=大于a ， 且0a >， 选A 。

3．（福建卷）已知两条直线

2y ax =-和(2)1y a x =++互相垂直， 则a 等于

（A ）2 （B ）1 （C ）0 （D ）1- 解析：两条直线

2y ax =-和(2)1y a x =++互相垂直， 则(2)1a a +=-， ∴ a =－1， 选D.

4．（广东卷）在约束条件0024

x y y x s y x ≥??≥?

?+≤??+≤?下， 当35x ≤≤时， 目标函数32z x y =+的最大值的

变化范围是 A.[6,15] B.

[7,15] C. [6,8] D. [7,8]

解析：

由

??

?-=-=????=+=+4

2442s y s

x x y s y x 交

点

为

)4,0(),,0(),42,4(),2,0(C s C s s B A '--，

（1）当

43<≤s 时可行域是四边形OABC ， 此时， 87≤≤z （2）当54≤≤s 时可行域是△OA C '此时， 8max =z ， 故选D.

5．（湖北卷）已知平面区域D 由以(1,3),(5,2),(3,1)A B C 为顶点的三角形内部＆边界组成。若在区域D 上有无穷多个点(,)x y 可使目标函数z ＝x

＋my 取得最小值， 则m

=

A ．－2

B ．－1

C ．1

D ．4 解：依题意， 令z ＝0， 可得直线x ＋my ＝0的斜率为－

1

m

， 结合可行域可知当直线x ＋my ＝0与直线AC 平行时， 线段AC 上的任意一点都可使目标函数z ＝x ＋my 取得最小值， 而直线AC 的斜率为－1， 所以m ＝1， 选C 6．（湖南卷）若圆2244100x y x y +---=上至少有三个不同点到直线l :0ax by +=

的距离为则直线l 的倾斜角的取值范围是

( ) A.[

,

124

ππ

] B.[

5,

1212ππ

] C.[

,]63

ππ

D.[0,]2π

解析：圆0104422

=---+y x y x

整理为222(2)(2)x y -+-=， ∴圆心坐标为(2， 2)， 半径为32，

要求圆上

x +y

至少有三个不同的点到直线0:=+by ax l

的距离为22， 则圆心到直线的距离应小于等于2

， ∴

， ∴

2()4()1a a b b ++≤0， ∴

2()2a b --+≤ ()a

k b

=-， ∴

22k ≤ 直线l 的倾斜角的取值范围是]12

512[ππ，， 选B.

7．（湖南卷）圆0104422

=---+y x y x

上的点到直线014=-+y x 的最大距离与最小距离的差是

A ．36

B . 18 C. 2

6 D . 25

解析：圆0104422

=---+y x y x

的圆心为(2， 2)， 半径为

3

2， 圆心到直线014=-+y x

=2， 圆上的

点到直线的最大距离与最小距离的差是2R =6

2， 选C.

8．（江苏卷）圆1)3()1(22=++-y x

的切线方程中有一个是

（A ）x －y ＝0 （B ）x ＋y ＝0 （C ）x ＝0 （D ）y ＝0

【正确解答】直线

ax+by=02

2(1)

(1x y -++=与相切，

1=， 由排除法，

选C,本题也可数形结合， 画出他们的图象自然会选C,用图象法解最省事。

【解后反思】直线与圆相切可以有两种方式转化(1)几何条件:圆心到直线的距离等于半径(2)代数条件:直线与圆的方程组成方程组有唯一解,从而转化成判别式等于零来解.

9．（全国卷I ）从圆

222210x x y y -+-+=外一点()3,2P 向这个圆作两条切线， 则两切线夹角的余弦值为

A ．

12 B ．3

5

C

．

2 D ．

解析：圆2

22210x

x y y -+-+=的圆心为M(1， 1)， 半径为1， 从外一点(3,2)P 向这个圆作两条切线， 则点P 到圆心M 的距离等于5，

每条切线与PM 的夹角的正切值等于21， 所以两切线夹角的正切值为1

242tan 1314

θ?

=

=-， 该角的余弦值等于35， 选B.

10．（山东卷）某公司招收男职员x 名， 女职员y 名， x 和y

??

?

??≤≥+-≥-.112,

932,22115x y x y x 则z =10x +10y 的最大值是 (A)80 (B) 85 (C) 90 (D)95 解：画出可行域：

易得A （5.5， 4.5）且当直线z ＝10x ＋10y 过A 点时， z 取得最大值， 此时z ＝90， 选C

11．（山东卷）已知x 和y 是正整数， 且满足约束条件??

?

??≥≤-≤÷.72,2,10x y x y x 则x －2x ÷3y 的最小值是

(A)24 (B)14 (C)13 (D)11.5

解：画出可域：如图所示易得B 点坐标为（6， 4）且当直线z ＝2x ＋3y

过点B 时z 取最大值， 此时z ＝24， 点C 的坐标为（3.5， 1.5）， 过点C 时取得最小值， 但x ， y 都是整数， 最接近的整数解为（4， 2）， 故所求的最小值为14， 选B 12．(陕西卷)设直线过点(0,a),其斜率为1, 且与圆x 2+y 2=2相切,则a 的值为( ) A.± 2 B.±2 B.±2 2 D.±4

解析：设直线过点(0， a )， 其斜率为1， 且与圆x 2+y 2=2相切， 设直线方程为

y x a =+， 圆心(0， 0)道直线的距离等于半径2， ∴

=， ∴ a 的值±2， 选B ． 13．（四川卷）某厂生产甲产品每千克需用原料A 和原料B 分别为1a 、1b 千克， 生产乙产品每千克需用原料A 和原料B 分别为2a 、2b 千克。甲、乙产品每千克可获利润分别为1d 、2d 元。月初一次性购进本月用原料A 、B 各1c 、2c 千克。要计划本月生产甲产品和乙产品各多少千克才能使月利润总额达到最大。在这个问题中， 设全月生产甲、乙两种产品分别为x 千克、y 千克， 月利润总额为z 元， 那么， 用于求使总利润12z d x d y =+最大

的数学模型中， 约束条件为

（A ）12112200a x a y c b x b y c x y +≥??+≥??≥??≥?（B ）11122200a x b y c a x b y c x y +≤??+≤??≥??≥?（C ）12112200a x a y c b x b y c x y +≤??+≤??≥??≥?（D ）121

122

00a x a y c b x b y c x y +=??+=??≥??≥?

解析：设全月生产甲、乙两种产品分别为

x 千克， y 千克， 月利润总额为z 元， 那么， 用于求使总利润12z d x d y =+最大的数学模型中， 约

束条件为121

1

2200a x a y c b x b y c

x y +≤??+≤??

≥??≥?

， 选C. 14．（天津卷）设变量

x

、

y 满足约束条件??

?

??-≥≥+≤632x y y x x

y ， 则目标函数

y x z +=2的最小值

为（ ）

A ．2

B ．

3 C ．

4 D ．9

解析：设变量x 、y 满足约束条件2,36y x x y y x ≤??

+≥??≥-?

在坐标系中画出可行域△ABC ，

A(2， 0)， B(1， 1)，

C(3， 3)， 则目标函数

2z x y =+的最小值为3， 选B.

15．（浙江卷）在平面直角坐标系中， 不等式组??

?

??≤≥+-≥-+2,02,02x y x y x 表示的平面区域的面积是

(A)24

(B)4 (C) 22 (D)2

【考点分析】本题考查简单的线性规划的可行域、三角形的面积。

解析：由题知可行域为

ABC ?， 42

204=?-=

?ABC S ， 故选择B 。

16．(重庆卷)过坐标原点且与x 2

+y 2 +

4x +2y +

2

5

=0相切的直线的方程为 （A ）y =-3x 或y =31x (B) y =-3x 或y =-31x （C ）y =-3x 或y =-31x (B) y =3x 或y =3

1

x

解析：过坐标原点的直线为

y kx =， 与圆225

4202

x y x y +-++

=相切， 则圆心(2， －1)

到直线方程的距离等于半径

，

则

2

=

， 解得1或33k k ==-， ∴ 切线方程为x y x y 313=-=或， 选A.

17．(重庆卷)以点（2， －1）为圆心且与直线3450x y -+=相切的圆的方程为

（A ）2

2(2)(1)3x y -++= （B ）22(2)(1)3x y ++-= （C ）2

2(2)

(1)9x y -++= （D ）22(2)(1)3x y ++-=

解：r

3， 故选C

二、填空题（共18题）

18．（北京卷）已知点(,)P x y 的坐标满足条件4

1x y y x x +≤??

≥??≥?

， 点O 为坐标原点， 那么||PO 的最小值等于_______,最大值等于____________.

解：画出可行域， 如图所示： 易得A （2， 2）， OA

＝

（1， 3）， OB

， C （1， 1）， OC

故|OP|

.

19．（福建卷）已知实数x 、y 满足1,1,y y x ≤???≥-??

则2x y +的最大值是＿＿＿＿。

解析：已知实数x 、y 满足1,

1,y y x ≤???≥-??

在坐标系中画出可行域， 三个顶点分别是A(0，

1)， B(1， 0)， C(2， 1)，

∴

2x y +的最大值是4.

20．（湖北卷）已知直线5120x y a

-+=与圆2220x x y -+=相切， 则a 的值为 。

解：圆的方程可化为2

2(1)

1x y -+=， 所以圆心坐标为（1， 0）， 半径为1， 由已知可得

|5|

1|5|1313

a a +=?+=， 所以a 的值为－18或8。

21．（湖北卷）若直线y ＝kx ＋2与圆(x －2)2＋(y －3)2＝1有两个不同的交点， 则k 的取值范围是 .

解：由直线y ＝kx ＋2与圆(x －2)2＋(y －3)2＝1有两个不同的交点可得直线与圆的位置关系是相交， 故圆心到直线的距离小于圆的半径， 即

2

1k +<1， 解得k ∈(0，

3

4

) 22．（湖南卷）已知1,10,220x x y x y ≥??-+≤??--≤?

则22

x y +的最小值是 .

解析：由??

???≤--≤+-≥022011y x y x x ， 画出可行域， 得交点A(1， 2)， B(3， 4)， 则2

2y x +的最小值

是5.

23．（江苏卷）设变量x 、y 满足约束条件??

?

??≥+-≥-≤-1122y x y x y x ， 则y x z 32+=的最大值为

【正确解答】 画出可行域， 得在直线2x-y=2与直线x-y=-1的交点 A(3,4)处， 目标函数z 最大值为18

24．（江西卷）已知圆M ：（x ＋cos θ）2＋（y －sin θ）2＝1， 直线l ：y ＝kx ， 下面四个命题： （A ） 对任意实数k 与θ， 直线l 和圆M 相切； （B ） 对任意实数k 与θ， 直线l 和圆M 有公共点；

（C ）

对任意实数θ， 必存在实数k ， 使得直线l 与和圆M 相切

（D ）对任意实数k ， 必存在实数θ， 使得直线l 与和圆M 相切 其中真命题的代号是______________（写出所有真命题的代号）

解：选（B ）（D ）圆心坐标为（－cos θ， sin θ）， d ＝

22

2

1k |sin |

1k

1k

|sin |1

θ?θ?≤－－＋（＋）＝

＋＋＝（＋）

1

1

C B

A O

y

x

C

B

A

O

y

x

y

x

O

C

B

A

25．（全国卷I ）设2z y x =-， 式中变量x y 、满足下列条件??

?

??≥≤+-≥-1232312y y x y x ， 则z 的最大值为_____________。

解析：在坐标系中画出图象， 三条线的交点分别是A(0， 1)， B(7， 1)， C(3， 7)， 在△ABC 中满足2z y x =-的最大值是点C ， 代入得

最大值等于11.

26．（全国II ）过点（1， 2）的直线l 将圆(x －2)2＋y 2＝4分成两段弧， 当劣弧所对的圆心角最小时， 直线l 的斜率k ＝ ． 解析(数形结合)由图形可知点

A 在圆22(2)4x y -+=的内部, 圆心为

O(2,0)要使得劣弧所对的圆心角最小,只能是直线

l OA ⊥,

所以

1l OA k k =-

==

27．(上海卷)已知圆

2x －4x －4＋2y ＝0的圆心是点P ， 则点P 到直线x －y －1＝0的距离是 ．

解：由已知得圆心为：

(2,0)P ，

由点到直线距离公式得：d ；

28．(上海卷)已知两条直线12:330,:4610.l ax y l x y +-=+-=若12//l l ， 则a =____.

解：两条直线1

2:330,:4610.l ax y l x y +-=+-=若12//l l ， 2

33

a -

=-， 则a =2. 29．(上海卷)已知实数,x y 满足30

25000

x y x y x y +-≥??+-≤?

?≥??≥?， 则2y x -的最大值是_________.

解析：实数,x y 满足30

25000

x y x y x y +-≥??+-≤?

?≥??≥?， 在坐标系中画出可行域， 得三个交点为A(3， 0)、B(5， 0)、

C(1， 2)， 则

2y x -的最大值是0.

30．（四川卷）设,x y 满足约束条件：1

12210x y x x y ≥???

≥??+≤??， 则2z x y =-的最小值为 ;

解析：设,x y 满足约束条件：112210

x y x x y ≥???

≥??

+≤??， 在直角坐标系中画出可行域△ABC ，

其中A(1， 21)，

B(1， 8)， C(4， 2)， 所以

2z x y =-的最小值为－6。

31．（天津卷）设直线30ax y -+=与圆22(1)(2)4x y -+-=相交于A 、B 两点， 且弦AB 的长为23， 则a =____________．

解析：设直线30ax y -

+=与圆22(1)(2)4x y -+-=相交于A 、B 两点， 且弦AB 的长为23， 则圆心(1， 2)到直线的距离等于1，

2

11

a =+， a =0．

32．（天津卷）若半径为1的圆分别与

y 轴的正半轴和射线3

(0)y x x =

≥相切， 则这个圆的方程为 ．

解析：若半径为1的圆分别与

y 轴的正半轴和射线3

(0)3

y x x =

≥相切， 则圆心在直线y=3x 上， 且圆心的横坐标为1， 所以纵坐标为3， 这个圆的方程为2

2(1)

(3)1x y -+-=。

33．(重庆卷)已知变量x ,y 满足约束条件1≤x+y ≤4,-2≤x-y ≤2.若目标函数z =ax +y (其中a ＞0)仅在点(3,1)处取得最大值， 则a 的取值范围为___________. 解析：变量

,x y 满足约束条件14,2 2.x y x y ≤+≤-≤-≤ 在坐标系

中画出可行域， 如图为

四边形ABCD ， 其中A(3， 1)，

1,1AD AB k k ==-， 目标函数

z ax y

=+（其中

0a >）中的z 表示斜率为－a 的直线系中的截距的大小， 若仅在点()3,1处

取得最大值， 则斜率应

小于1AB

k =-， 即1a -<-， 所以a 的取值范围为(1， +∞)。

34．(重庆卷)已知变量x ，

y 满足约束条件23033010x y x y y +-≤??

+-≥??-≤?

。若目标函数

z ax y

=+（其中

0a >）仅在点(3,0)处取得最大值， 则a 的取值范围为 。

解：画出可行域如图所示， 其中B （3， 0）， 故有

C （1， 1），

D （0， 1）， 若目标函数z ax y =+取得最大值， 必在B ， C ， D 三点处取得，

3a >a ＋1且3a >1， 解得a >

1

2

35．（上海春）已知圆)0()5(:2

22>=++r r y x C 和直线053:=++y x l . 若圆C l 没有公共点，

则

r

的取值范围

是 .

解：由题意知， 圆心(-5,0) 到直线 l:3x+y+5=0 的距离 d 必须小于圆的半径 r ．因为 ， 所以 ．从

而应填 ．

2007年高考数学试题分类详解

直线与圆

D C

B

A

-2

-1

4

3

2

1

43

21O y x

x

y

x ＋2y －3＝0

x ＋3y －3＝0

y －1＝0D

B

C

O

一、选择题 1、．与直线

20x y +-=和曲线221212540x y x y +--+=都相切的半径最小的圆的标准方程是 ． 【答案】:.

22(2)(2)2x y -+-=

【分析】：曲线化为

22(6)(6)18x y -+-=， 其圆心到直线20x y +-=的距离为

662

5 2.2

d +-=

=所求的最小圆的圆心在直线y x =上， 其到直线的距离为2， 圆心

坐标为(2,2).标准方程为2

2(2)

(2)2x y -+-=。

2、(安徽文5)若圆

04222=--+y x y x 的圆心到直线0=+-a y x 的距离为

2

2

,则a 的值为

(A)-2或2

(B)

2

321或 (C)2或0 (D)-2或0

解析：若圆

04222=--+y x y x 的圆心(1， 2)到直线0=+-a y x 的距离为

2

2

， ∴

2

22

=， ∴ a =2或0， 选C 。

3、（上海文2019）圆01222=--+x y x 关于直线032=+-y x 对称的圆的方程是（

）

Ａ．2

1

)2()3(22=

-++y x

Ｂ．2

1)2()3(22=

++-y x Ｃ．2)2()3(22=-++y x

Ｄ．2)2()3(22=++-y x

【答案】C 【解析】圆

2222210(1)2x y x x y +--=?-+=， 圆心（1， 0）， 半径2， 关于直线032=+-y x 对称的圆

半径不变， 排除A 、B ， 两圆圆心连线段的中点在直线032=+-y x 上， C 中圆2)2()3(22=-++y x 的圆心为（－3， 2）

， 验证适合， 故选C 。

4、（湖北理10）已知直线

1x y

a b

+=（a b ，是非零常数）与圆22100x y +=有公共点， 且公共点的横坐标和纵坐标均为整数， 那么这样的直线共有（ ） A ．60条

B ．66条

C ．72条

D ．78条

答案：选A 解析：可知直线的横、纵截距都不为零， 即与坐标轴不垂直， 不过坐标原点， 而圆

22100x y +=上的整数点共有12个， 分别为()()()6,8,6,8,8,6±-±±， ()()()8,6,10,0,0,10-±±±， 前8个点中， 过

任意一点的圆的切线满足， 有8条；12个点中过任意两点， 构成2

12

66C =条直线， 其中有4条直线垂直x 轴， 有4条直线垂直y 轴， 还有6

条过原点（圆上点的对称性）， 故满足题设的直线有52条。综上可知满足题设的直线共有52860+=条， 选A 5、（湖北文8）由直线y=x +1上的一点向圆(x -3)2+y 2=1引切线， 则切线长的最小值为 A.1

B.2

2

C.

7 D.3

X

答案：选C 解析：切线长的最小值是当直线y=x +1上的点与圆心距离最小时取得， 圆心（3， 0）到直线的距离为d=

222

|

103|=+-， 圆的半

径为1， 故切线长的最小值为

71822=-=-r d ， 选C

6、（浙江理3）直线

210x y -+=关于直线1x =对称的直线方程是（

）

Ａ．

210x y +-=

Ｂ．210x y +

-=

Ｃ．230x y +

-=

Ｄ．

230x y +-=

【答案】：D 【分析】：解法一(利用相关点法)设所求直线上任一点(x,y),则它关于

1x =对称点为(2-x,y)在直线210

x y -+=上,0122=+--∴y x 化简得230x y +-=故选答案D.

解法二：根据直线

210x y -+=关于直线1x =对称的直线斜率是互为相反数得答案A 或D,再根据两直线交点在直线1x =选答案D.

7、（浙江理4文5）要在边长为16米的正方形草坪上安装喷水龙头， 使整个草坪

都能喷洒到水．假设每个喷水龙头的喷洒范围都是半径为6米 的圆面， 则需安装这种喷水龙头的个数最少是（ ）

Ａ．3

Ｂ．

4

Ｃ．5

Ｄ．

6

【答案】B

【分析】：因为龙头的喷洒面积为36π113≈，

正方形面积为256,故至少三个龙头。由于216R <， 故三个龙头肯定不能保证整个草坪能喷洒到水。

当用四个龙头时， 可将正方形均分四个小正方形， 同时将四个龙头分别放在它们的中心， 由于

212R => 故可以保证整个草坪能喷洒到水。

8、(浙江理4)直线x －2y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是

(A)x ＋2y －1＝0 (B)2 x ＋y －1＝0 （C ）2 x ＋y －3＝0 (D) x ＋2y －3＝0

【答案】：D 【分析】：解法一(利用相关点法)设所求直线上任一点(x,y),则它关于

1x =对称点为(2-x,y)在直线

210x y -+=上,0122=+--∴y x 化简得230x y +-=故选答案D.

解法二根据直线

210x y -+=关于直线1x =对称的直线斜率是互为相反数得答案A 或D,再根据两直线交点在直线1x =选答案D.

9、（重庆文3）垂直于同一平面的两条直线

（A ）平行

（B ）垂直

（C ）相交

（D ）异面

【答案】：

A 【分析】：垂直于同一平面的两条直线平行. 10、

（重庆文8）若直线

1+=kx y 与圆122=

+y x 相交于P 、Q 两点，

且∠POQ ＝120°（其中

O 为原点）， 则k 的值为 （A

）

（B

（C ） （D

【答案】：A 【分析】：如图， 直线过定点（0， 1）， 30,1120,260, 3.OPQ k ∠=?∠=∠=∴=±o o o Q

11、（四川理11文2019）如图， 1l 、2l 、3l 是同一平面内的三条平行直线， 1l 与2l 间的距离是1， 2l 与3l 间的距离是2， 正三角形ABC 的三

顶点分别在1l 、2l 、3l 上， 则⊿

ABC 的边长是（

）

（A ）23 （B ）

3

6

4

（C ）

3174

（D ）

221

3

解析：选D ．过点Ｃ作2l 的垂线4l ， 以2l 、4l 为x 轴、

y 轴建立平面直角坐标系．设(,1)A a 、(,0)B b 、

(0,2)C -， 由AB BC AC ==知2222()149a b b a -+=+=+=边长， 检验A ：

222()14912a b b a -+=+=+=， 无解；检验B ：22232

()1493

a b b a -+=+=+=

， 无解；检验D ：2

2228

()1493

a b b a -+=+=+=

， 正确 二、填空题

1、（广东理2019）（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中， 直线l 的参数方程为33x t y t

=+??

=-?（参数t ∈R ）， 圆C 的参数方程为

cos 2sin 2x y θ

θ=??

=+?

（参数[0,2]θπ∈）， 则圆C 的圆心坐标为_______， 圆心到直线l 的距离为______. 答案：（0， 2）；2

2.

解析：直线的方程为x+y-6=0， d=

222

=;

2、（广东理15）[几何证明选讲选做题］如图所示， 圆Ｏ的直径为６， Ｃ为圆周上一点。ＢＣ＝３， 过Ｃ作圆的切线ｌ， 过Ａ作ｌ的垂线ＡＤ， 垂足为Ｄ， 则∠ＤＡＣ＝______；线段AE 的长为_______。

答案：

6

π；3。

解析：根据弦切角等于夹弧所对的圆周角及直角三角形两锐角互余， 很容易得到答案； AE=EC=BC=3； 3、（天津文理2019）已知两圆2

210x y +=和22(1)(3)20x y -+-=相交于,A B 两点， 则

直线

AB 的方程是__________.

【答案】30x

y +=【分析】两圆方程作差得30x y +=

4、（山东理15）与直线

20x y +-=和曲线221212540x y x y +--+=都相切的半径最小的圆的标准方程是_________.

【答案】:.

22(2)(2)2x y -+-=【分析】：曲线化为22(6)(6)18x y -+-=， 其圆心到直线20x y +-=的距离为

l

O

D

C

B

A

A B

l

C

662

5 2.2

d +-=

=所求的最小圆的圆心在直线y x

=上， 其到直线的距离为

2

， 圆心坐标为

(2,2).

标准方程为

22(2)(2)2x y -+-=。

1412

10

8

6

4

2

-2

-10-5510

5、（上海理2）已知1:210l x my ++=与2:31l y x =-， 若两直线平行， 则m 的值为 _____

【答案】3

2

-

【解析】 2123113m m =≠?=---

6、（上海理2019）已知圆的方程

()2

211x y +-=， P 为圆上任意一点（不包括原点）

。直线OP 的倾斜角为θ弧度， OP d =， 则()d f θ=的图象大致为_____

【答案】

【解析】

2cos()2sin ,(0,)2

OP π

θθθπ=-=∈ 7、（上海文3）直线014=-+y x

的倾斜角=θ ．

【答案】4arctan π-【解析】tan

4,(,)2

π

θθπθ=-∴∈?=4arctan π-.。

8、（上海文2019）如图，

A B ，是直线l 上的两点， 且2=AB ．两个半径相等的动圆分别与l 相切于

A B ，点， C 是这两个圆的公共点， 则圆弧AC ， CB 与

线段

AB 围成图形面积S 的取值范围是 ．

【答案】π022?

?- ??

?，【解析】如图， 当12O O e e 与外切于点C 时， S 最大， 此时， 两圆半径为1，

S 等于矩形ABO 2O 1的面积减去两扇形面积， 2max

1212(1)242

S π

π∴=?-???=-

， 随着圆半

径的变化， C 可以向直线l 靠近， 当C 到直线l

的距离0,0,(0,2]2

d S S π

→→∴∈-时。

C l

O1

O2

A

9、（湖南文理2019）圆心为(11)，且与直线

4x y +=相切的圆的方程是 ．

【答案】2

2(1)

(1)2x y -+-=【解析】半径R=

22

|

411|=-+， 所以圆的方程为22(1)(1)2x y -+-=

10、（江西理16）设有一组圆224*:(1)(3)2()k

C x k y k k k -++-=∈N ．下列四个命题：

Ａ．存在一条定直线与所有的圆均相切 Ｂ．存在一条定直线与所有的圆均相交 Ｃ．存在一条定直线与所有的圆均不．相交 Ｄ．所有的圆均不．经过原点 其中真命题的代号是

．（写出所有真命题的代号）

解析：圆心为（k-1， 3k ）半径为

22k ， 圆心在直线y=3（x+1）上， 所以直线y=3（x+1）必与所有的圆相交， B 正确；由C 1、C 2、C 3的图像可知

A 、C 不正确；若存在圆过原点（0， 0）， 则有424222121029)1(k k k k k k

=+-?=++-（*)N k ∈因为左边为奇数， 右边

为偶数， 故不存在k 使上式成立， 即所有圆不过原点。填B 、D 11、（四川文理15）已知O e 的方程是2220x y +-=， 'O e 的方程是228100x y x +-+=， 由动点P 向O e 和'O e 所引的切

线长相等， 则动点P 的轨迹方程是__________________

解析：O e

：圆心(0,0)O ，

半径r ='O e ：圆心'(4,0)O ，

半径'r =(,)P x y ， 由切线长相等得

222x y +-=22810x y x +-+， 3

2

x =

．

2008年高考数学试题分类汇编

直线与圆

一．选择题：

1， （上海卷15）如图， 在平面直角坐标系中，

Ω是一个与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴分别相切于点C 、D 的定圆所围成的区域（含边界）

， A 、B 、C 、D 是该圆的四等分点．若点()P x y ，、点()P x y '''，满足

x x '≤且y y '≥， 则称P 优于P '．如果Ω中的点Q 满足：不存在Ω中的

其它点优于Q ， 那么所有这样的点Q 组成的集合是劣弧（ D ） Ａ．弧AB B ．弧BC C ．弧CD D ．弧DA

2.（全国一10）若直线1x y

a b

+=通过点(cos sin )M αα，， 则（ D ） A ．221a b +≤ B ．22

1a b +≥ C ．22111a b +≤ D ．22

111a b +≥ 3.（全国二5）设变量x y ，满足约束条件：222y x x y x ??

+??-?

，，

．≥≤≥， 则y x z 3-=的最小值（ D ） A ．

2-

B ．

4- C ．6- D ．8-

4.（全国二2019）等腰三角形两腰所在直线的方程分别为20x y +-=与740x y --=， 原点在等腰三角形的底边上， 则底边所在直线的斜

率为（ A ）

A ．3

B ．2

C ．13-

D ．12- 5.（北京卷5）若实数x y ，满足1000x y x y x ?-+?

+???

，，，≥≥≤则23x y z +=的最小值是（ B ）

A ．0

B ．1

C

D ．9

6.（北京卷7）过直线y x =上的一点作圆22(5)(1)2x y -+-=的两条切线12l l ，， 当直线12l l ，关于y x =对称时， 它们之间的夹角为

（ C ） A ．30o

B ．45o

C ．60o

D ．90o

7.（四川卷４）直线

3y x =绕原点逆时针旋转090， 再向右平移１个单位， 所得到的直线为( A )

（Ａ）

1133y x =-+

（Ｂ）

1

13

y x =-+

（Ｃ）

33y x =-

（Ｄ）

1

13

y x =

+ 8.（天津卷2）设变量y x ,满足约束条件??

?

??≥+≤+≥-1210y x y x y x ， 则目标函数y x z +=5的最大值为D

（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5 9.（安徽卷8）．若过点

(4,0)A 的直线l 与曲线22(2)1x y -+=有公共点， 则直线l 的斜率的取值范围为（ C ）

A

．[ B

．(

C

．[33

-

D

．( 10.（山东卷2019）已知圆的方程为

08622=--+y x y x .设该圆过点（3， 5）的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ， 则四边形ABCD 的面积为B

（A ）10

6 （B ）206 （C ）306 （D ）406

11.（山东卷2019）设二元一次不等式组??

?

??≤-+≥+-≥-+0142,080192y x y x y x ，所表示的平面区域为M ， 使函数y ＝a x

(a ＞0， a ≠1)的图象过区域M 的a 的取值范围是C

（A ）[1,3] (B)[2,

10

] (C)[2,9] (D)[

10

,9]

12.（湖北卷9）过点

(11,2)A 作圆22241640x y x y ++--=的弦， 其中弦长为整数的共有C

A.16条

B. 17条

C. 32条

D. 34条

13.（湖南卷3）已知变量x 、y 满足条件1,0,290,x x y x y ≥??

-≤??+-≤?

则x y +的最大值是( C )

A.2

B.5

C.6

D.8

14.（陕西卷5

0y m -+=与圆22220x y x +--=相切， 则实数m 等于（ C ）

A

B

．

C

．-

D

．-

15.（陕西卷10）已知实数x y ，满足121y y x x y m ??

-??+?

≥，

≤，

≤．如果目标函数z x y =-的最小值为1-， 则实数m 等于（ B ） A ．7

B ．5

C ．4

D ．3

16.（重庆卷3)圆O 1:

0222=-x y x ＋和圆O 2

: 0422=-y y x ＋的位置关系是B

(A)相离 (B)相交 (C)外切 (D)内切

17.（辽宁卷3）圆

221x y +=与直线2y kx =+没有．．

公共点的充要条件是（ C ） A

．(k ∈ B

．()k

∈-+U ∞，∞

C

．(k ∈ D

．()k ∈-+U ∞，∞

二．填空题：

1.（天津卷15）已知圆C 的圆心与点(2,1)P -关于直线

1y x =+对称．直线34110x y +-=与圆C 相交于B A ,两点， 且6=AB ， 则

圆C 的方程为__________________．

22(1)18x y ++=

2.（全国一2019）若x y ，满足约束条件03003x y x y x ?+?

-+???

，

，

，≥≥≤≤则2z x y =-的最大值为 ．9 3.（四川卷2019）已知直线:40l

x y -+=与圆()()22

:112C x y -+-=， 则C 上各点到l 的距离的最小值为_______。2

4.（安徽卷15）若

A 为不等式组00

2x y y x ≤??≥?

?-≤?

表示的平面区域， 则当a 从－2连续变化到1时， 动直线x y a +

= 扫过A 中的那部分区域的面积为

74

5.（江苏卷9）在平面直角坐标系中， 设三角形ABC 的顶点分别为A(0,a),B(b,0),C (c,0) ， 点P （0， p ）在线段AO 上（异于端点）， 设a,b,c, p 均

为非零实数， 直线BP,CP 分别交AC , AB 于点E ,F ， 一同学已正确算的OE 的方程：11110x y c b p a ??

??-+-= ?

?????

，

请你求OF 的方程： 。110x y p a ??+-= ???

.11

b c -

6.（重庆卷15）直线l 与圆

04222=+a y x y x －＋＋ (a<3)相交于两点A ， B ， 弦AB 的中点为（0， 1）， 则直线l 的方程为 . x-y+1=0

7.（福建卷14)若直线3x+4y+m=0与圆 ??

?+-=+=θ

θ

sin 2cos 1y x （θ为参数）没有公共点， 则实数m 的取值范围是 . (,0)(10,)

-∞?+∞

8.（广东卷2019）经过圆2

220x x y ++=的圆心C ， 且与直线0x y +=垂直的直线方程是 ．10x y -+=

9.（浙江卷17）若0,0≥≥b a ， 且当??

?

??≤+≥≥1,0,0y x y x 时， 恒有1≤+by ax ， 则以a ,b 为坐标点P （a ， b ）所形成的平面区域的面积等于

____________1 三．解答题：

1．（北京卷19）（本小题共14分） 已知菱形

ABCD 的顶点A C ，在椭圆2234x y +=上， 对角线BD 所在直线的斜率为1．

（Ⅰ）当直线

BD 过点(01)，

时， 求直线AC 的方程；（Ⅱ）当60ABC ∠=o

时， 求菱形ABCD 面积的最大值． 解：（Ⅰ）由题意得直线

BD 的方程为1y x =+．

因为四边形

ABCD 为菱形， 所以AC BD ⊥．于是可设直线AC 的方程为y x n =-+．

由2234x y y x n

?+=?=-+?，得22

46340x nx n -+-=． 因为

A C ，在椭圆上， 所以212640n ?=-+>，

解得n <<．

设A C ，两点坐标分别为1122()()x y x y ，，

，， 则1232

n

x x +=， 212344n x x -=， 11y x n =-+， 22y x n =-+． 所以

122

n

y y +=

．所以

AC 的中点坐标为344n n ?? ???，．由四边形ABCD 为菱形可知， 点344n n ??

???

，在直线1y x =+上， 所以

3144

n n

=+， 解得2n =-．所以直线AC 的方程为2y x =--， 即20x y ++=． （Ⅱ）因为四边形

ABCD 为菱形， 且60ABC ∠=o ，

所以

AB BC CA ==．

所以菱形

ABCD

的面积2

S =

． 由（Ⅰ）可得

22

2

2

1212316

()()2

n AC x x y y -+=-+-=，

所以2(316)433S n n ??

=

-+-<< ? ??

?．

所以当

0n =时， 菱形ABCD 的面积取得最大值43．

3.（湖北卷19）（本小题满分13分）

如图， 在以点

O 为圆心， ||4AB =为直径的半圆ADB 中， OD AB ⊥， P 是半圆弧上一点，

30POB ∠=?， 曲线C 是满足||||||MA MB -为定值的动点M 的轨迹， 且曲线C 过点P .

（Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系， 求曲线C 的方程； （Ⅱ）设过点

D 的直线l 与曲线C 相交于不同的两点

E 、

F .

若△OEF 的面积不小于．．．2

2， 求直线l 斜率的取值范围.

本小题主要考查直线、圆和双曲线等平面解析几何的基础知识， 考查轨迹方程的求法、不等式的解法以及综

合解题能力.（满分13分）

（Ⅰ）解法1：以O 为原点， AB 、OD 所在直线分别为x 轴、y 轴， 建立平面直角坐标系， 则A （-2， 0）， B （2， 0）， D (0,2),P （1,3）， 依

题意得

｜MA ｜-｜MB ｜=｜PA ｜-｜PB ｜＝221321)32(22

22＝）（+--++

＜｜AB ｜＝4.

∴曲线C 是以原点为中心， A 、B 为焦点的双曲线. 设实平轴长为a ， 虚半轴长为b ， 半焦距为c ，

则c ＝2， 2a ＝2

2， ∴a 2

=2,b 2

=c 2

-a 2

=2.

∴曲线C 的方程为12

22

2=-y x . 解法2：同解法1建立平面直角坐标系， 则依题意可得｜MA ｜-｜MB ｜=｜PA ｜-｜PB ｜＜ ｜AB ｜＝4.

∴曲线C 是以原点为中心， A 、B 为焦点的双曲线.

设双曲线的方程为a b

y a x (122

22=-＞0， b ＞0）. 则由??

???=+=-41132222

22

b a b a ）（解得a 2

=b 2

=2, ∴曲线C 的方程为.12

22

2=-y x

(Ⅱ)解法1：依题意， 可设直线l 的方程为y ＝kx +2， 代入双曲线C 的方程并整理得（1-K 2

）x 2

-4kx-6=0. ∵直线l 与双曲线C 相交于不同的两点E 、F ，

∴ ?????-?+-=?≠-0

)1(64)4(012

22

φk k k ????-±≠331ππk k

∴k ∈（-

3,-1）∪（-1， 1）∪（1， 3）.

设E （x ， y ）， F (x 2,y 2)， 则由①式得x 1+x 2=

k x x k k --=-16

,142

12

,于是

｜EF ｜＝

2

212221221))(1()()(x x k x y x x -+=++-

＝

.132214)(12

2

2

212212k

k k x x x x k --?

+=-+?+

而原点O 到直线l 的距离d ＝2

12k

+，

∴S △DEF

=.1322132211221212222

22k

k k k k k EF d --=--?+?+?=? 若△OEF 面积不小于2

2,即S △OEF

22≥， 则有

　解得.22,022********

2

≤≤-≤--?≥--k k k k k ③

综合②、③知， 直线l 的斜率的取值范围为[-

2， -1]∪(1-,1) ∪(1, 2).

解法2：依题意， 可设直线l 的方程为y ＝kx +2， 代入双曲线C 的方程并整理， 得（1-K 2

）x 2

-4kx -6=0.

∵直线l 与双曲线C 相交于不同的两点E 、F ，

∴ ?????-?+-=?≠-0

)1(64)4(012

22

φk k k ????-±≠331ππk k

∴k ∈（-

3， -1）∪（-1， 1）∪（1， 3）.

设E (x 1,y 1),F (x 2,y 2),则由①式得

｜x 1-x 2｜=

.132214)(2

2

2

212

21k

k k

x x x x --=

-?=

-+ ③

当E 、F 在同一去上时（如图1所示），

S △OEF ＝

;2

1

212121x x OD x x OD S S ODE ODF -?=-?=

-?? 当E 、F 在不同支上时（如图2所示）.

+=??ODF OEF S S S

△ODE

=

.2

1

)(212121x x OD x x OD -?=+? 综上得S △OEF ＝

,2

1

21x x OD -?于是 由｜OD ｜＝2及③式， 得S △OEF =

.13222

2

k k --

若△OEF 面积不小于2

则有即,22,2≥?OEF S

.22,022*******

2

≤≤-≤-?≥--k k k k

k 解得

④

综合②、④知， 直线l 的斜率的取值范围为[-

2， -1]∪（-1， 1）∪（1， 2）.

2.（江苏卷18）设平面直角坐标系xoy 中， 设二次函数()()22f x x x b x R =++∈的图象与两坐标轴有三个交点， 经过这三个交点的圆记

为C ．求：

（Ⅰ）求实数b 的取值范围； （Ⅱ）求圆C 的方程；

（Ⅲ）问圆C 是否经过某定点（其坐标与b 无关）？请证明你的结论． 【解析】本小题主要考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法． （Ⅰ）令x ＝0， 得抛物线与y 轴交点是（0， b ）

； 令

()220f x x x b =++=， 由题意b ≠0 且Δ＞0， 解得b ＜1 且b ≠0．

（Ⅱ）设所求圆的一般方程为

2x 20y Dx Ey F ++++=

令

y ＝0 得20x Dx F ++=这与22x x b ++＝0 是同一个方程， 故D ＝2， F ＝b ．

令

x ＝0 得2y Ey +＝0， 此方程有一个根为b ， 代入得出E ＝―b ―1．

所以圆C 的方程为

222(1)0 x y x b y b

++-++=.

（Ⅲ）圆C 必过定点（0， 1）和（－2， 1）．

证明如下：将（0， 1）代入圆C 的方程，得左边＝02

＋1

2

＋2×0－（b＋1）＋b＝0，右边＝0，

所以圆C 必过定点（0， 1）．

同理可证圆C 必过定点（－2， 1）．