【真卷】2017年北京市海淀区高考数学查漏补缺试卷

2017年北京市海淀区高考数学查漏补缺试卷一、选择题1．（3分）设集合A={x|x（x+1）≤0}，集合B={x|2x＞1}，则集合A∪B等于（）A．{x|x≥0}B．{x|x≥﹣1}C．{x|x＞0}D．{x|x＞﹣1}2．（3分）设全集U=Z，集合A={x∈Z|x（x﹣2）≥3}，则∁U A=（）A．{0，1，2，3}B．{﹣1，0，1，2} C．{﹣1，0，1，2，3}D．{0，1，2} 3．（3分）在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”成立的（）A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件4．（3分）已知，则“∀x∈R，f（x+π）=f（x）”是“ω=2”的（）A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件5．（3分）已知实数a，直线l1：ax+y+1=0，l2：2x+（a+1）y+3=0，则“a=1”是“l1∥l2”的（）A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件6．（3分）设a，b∈（0，+∞），则“a＞b”是“log a b＜1”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【二项式定理与排列组合（理科）】7．（3分）（1﹣2x）5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a3=．【复数】8．（3分）若=ni，则实数m=，实数n=．【极坐标系与参数方程（理科）】9．（3分）在极坐标系中，射线θ=被圆ρ=4sinθ截得的弦长为．10．（3分）在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为，若以极点为原点，极轴所在直线为x轴建立直角坐标系，则C的直角坐标方程为．11．（3分）若曲线C的参数方程为（参数），则曲线C（）A．表示直线B．表示线段C．表示圆D．表示半个圆【数列】12．（3分）记函数y=e x在x=n（n=1，2，3，…）处的切线为l n．若切线l n与l n+1的交点坐标为（A n，B n），那么（）A．数列{A n}是等差数列，数列{B n}是等比数列B．数列{A n}与{B n}都是等差数列C．数列{A n}是等比数列，数列{B n}是等差数列D．数列{A n}与{B n}都是等比数列13．（3分）已知数列{a n}满足：点（n，a n）在直线2x﹣y+1=0上，若使a1、a4、a m构成等比数列，则m=．14．（3分）已知数列a1，a2﹣a1，a3﹣a2，…，a n﹣a n﹣1，…是首项为1，公差为1的等差数列，则数列{a n}的通项公式a n=．15．（3分）已知数列{a n}，a2=2，a n+a n+1=3n，n∈N*，则a2+a4+a6+a8+a10+a12=．16．（3分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a1=10，S5≥S6，下列四个命题中，假命题是（）A．公差d的最大值为﹣2B．S7＜0C．记S n的最大值为K，K的最大值为30D．a2016＞a201717．（3分）已知数列{a n}的通项为a n=，若{a n}的最小值为，则实数a的取值范围是．18．（3分）已知{a n}是等差数列，满足a1=2，a4=14，数列{b n}满足b1=1，b4=6，且{a n﹣b n}是等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）若∀n∈N*，都有b n≤b k成立，求正整数k的值．【三角函数部分】19．（3分）在△ABC中，若a=1，∠A=，则=．20．（3分）在△ABC中，角B为钝角，则sinB sin（A+B）．（填“＞”或“＜”或“=”）21．（3分）设偶函数f（x）=sin（ωx+ϕ），ω＞0，若f（x）在区间[0，π]至少存在一个零点，则ω的最小值为．22．（3分）已知sin43°=a，则a（填“＞”或“＜”）；sin73°=（用a表示）23．（3分）在坐标平面xOy内，O为原点，点，射线OP逆时针旋转，则旋转后的点P坐标为．24．（3分）已知，设a=sinx，b=cosx，c=tanx，则（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．b＜c＜a25．（3分）已知当时，函数（ω＞0）有且仅有5个零点，则ω的取值范围是．26．（3分）已知函数f（x）=|sinx|+cosx，现有如下几个命题：①该函数为偶函数；②该函数最小正周期为；③该函数值域为；④若定义区间（a，b）的长度为b﹣a，则该函数单调递增区间长度的最大值为．其中正确命题为．27．（3分）已知函数f（x）=|cosx|•sinx，给出下列四个说法：①；②函数f（x）的周期为π；③f（x）在区间上单调递增；④f（x）的图象关于点中心对称其中正确说法的序号是（）A．②③B．①③C．①④D．①③④28．（3分）已知函数f（x）=sin（ωx﹣φ），的图象经过点，且相邻两条对称轴的距离为．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式及其在[0，π]上的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边，若，求∠A 的大小．29．（3分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且a+c=2b，则角B 的取值范围为．30．（3分）已知函数f（x）=4sin（ω＞0）．（Ⅰ）若ω=3，求f（x）在区间上的最小值；（Ⅱ）若函数f（x）的图象如图所示，求ω的值．31．（3分）已知函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期、零点；（Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值和最小值．【立体几何部分】32．四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠DAB=，AC∩BD=O，且PO⊥平面ABCD，PO=，点F，G分别是线段PB，PD上的中点，E在PA上，且PA=3PE．（Ⅰ）求证：BD∥平面EFG；（Ⅱ）求直线AB与平面EFG的成角的正弦值；（Ⅲ）请画出平面EFG与四棱锥的表面的交线，并写出作图的步骤．33．如图，AC=2ED，AC∥平面EDB，AC⊥平面BCD，平面ACDE⊥平面ABC．（Ⅰ）求证：AC∥ED；（Ⅱ）求证：DC⊥BC；（Ⅲ）当BC=CD=DE=1时，求二面角A﹣BE﹣D的余弦值；（Ⅳ）在棱AB上是否存在点P满足EP∥平面BDC；（Ⅴ）设=k，是否存在k满足平面ABE⊥平面CBE？若存在求出k值，若不存在说明理由．【概率】34．由于研究性学习的需要，中学生李华持续收集了手机“微信运动”团队中特定20名成员每天行走的步数，其中某一天的数据记录如下：5860 6520 7326 6798 73258430 8215 7453 7446 67547638 6834 6460 6830 98608753 9450 9860 7290 7850对这20个数据按组距1000进行分组，并统计整理，绘制了如下尚不完整的统计图表：步数分组统计表（设步数为x）（Ⅰ）写出m，n的值，并回答这20名“微信运动”团队成员一天行走步数的中位数落在哪个组别；（Ⅱ）记C组步数数据的平均数与方差分别为v1，，E组步数数据的平均数与方差分别为v2，，试分别比较v1与v2，与的大小；（只需写出结论）（Ⅲ）从上述A，E两个组别的数据中任取2个数据，记这2个数据步数差的绝对值为ξ，求ξ的分布列和数学期望．35．由于研究性学习的需要，中学生李华持续收集了手机“微信运动”团队中特定20名成员每天行走的步数，其中某一天的数据记录如下：5860 6520 7326 6798 73258430 8215 7453 7446 67547638 6834 6460 6830 98608753 9450 9860 7290 7850对这20个数据按组距1000进行分组，并统计整理，绘制了如下尚不完整的统计图表：步数分组统计表（设步数为x）（Ⅰ）写出m，n的值，若该“微信运动”团队共有120人，请估计该团队中一天行走步数不少于7500步的人数；（Ⅱ）记C组步数数据的平均数与方差分别为v1，，E组步数数据的平均数与方差分别为v2，，试分别比较v1与v2，与的大小；（只需写出结论）（Ⅲ）从上述A，E两个组别的步数数据中任取2个数据，求这2个数据步数差的绝对值大于3000步的概率．36．已知一个由11人组成的评审委员会以投票方式从符合要求的甲，乙两名候选人中选出一人参加一次活动．投票要求委员会每人只能选一人且不能弃选，每位委员投票不受他人影响．投票结果由一人唱票，一人统计投票结果．（Ⅰ）设：在唱到第k张票时，甲，乙两人的得票数分别为x k，y k，N（k）=x k ﹣y k，k=1，2，…，11．若下图为根据一次唱票过程绘制的N（k）图，则根据所给图表，在这次选举中获胜方是谁？y7的值为多少？图中点P提供了什么投票信息？（Ⅱ）设事件A为“候选人甲比乙恰多3票胜出”，假定每人选甲或乙的概率皆为，则事件A发生的概率为多少？（Ⅲ）若在不了解唱票过程的情况下已知候选人甲比乙3票胜出．则在唱票过程中出现甲乙两人得票数相同情况的概率是多少？【解析几何】37．已知实数x，y满足若z=x+my的最小值是﹣5，则实数m取值集合是（）A．{﹣4，6}B．C．D．38．已知x，y满足则x2﹣y的最大值为．39．已知圆C过点（1，0），（0，），（﹣3，0），则圆C的方程为．40．已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线相互垂直，那么双曲线的离心率为．41．若双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的斜率为2，则离心率e=．42．已知椭圆C：=1（a＞b＞0），椭圆C的右焦点F的坐标为，短轴长为2．（I）求椭圆C的方程；（II）若点P为直线x=4上的一个动点，A，B为椭圆的左、右顶点，直线AP，BP分别与椭圆C的另一个交点分别为M，N，求证：直线MN恒过点E（1，0）．43．如图，已知F1、F2是椭圆G：的左、右焦点，直线l：y=k（x+1）经过左焦点F1，且与椭圆G交于A、B两点，△ABF2的周长为．（Ⅰ）求椭圆G的标准方程；（Ⅱ）是否存在直线l，使得△ABF2为等腰直角三角形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．【函数与导数】44．（3分）已知函数f（x）=为奇函数．（1）则a=（2）函数g（x）=f（x）﹣的值域为．45．（3分）下列函数图象不是轴对称图形的是（）A．B．y=cosx，x∈[0，2π]C．D．y=lg|x|46．（3分）如图，点P在平面上从点A出发，依次按照点B、C、D、E、F、A 的顺序运动，其轨迹为两段半径为1的圆弧和四条长度为1，且与坐标轴平行的线段．设从运动开始射线OA旋转到射线OP时的旋转角为α．若点P的纵坐标y 关于α的函数为f（α），则函数f（α）的图象（）A．关于直线成轴对称，关于坐标原点成中心对称B．关于直线成轴对称，没有对称中心C．没有对称轴，关于点（π，0）成中心对称D．既没有对称轴，也没有对称中心．47．（3分）已知曲线C1：y=e x与曲线C2：y=（x+a）2．若两个曲线在交点处有相同的切线，则实数a的值为．48．（3分）已知函数f（x）=（4﹣x）e x﹣2，试判断是否存在m使得y=f（x）与直线3x﹣2y+m=0（m为确定的常数）相切？49．（3分）已知函数f（x）=e x（x2+ax+a）（a∈R）（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若a=﹣1，判断f（x）是否存在最小值，并说明理由．【创新试题】50．某人第一天8：00从A地开车出发，6小时后到达B地，第二天8：00从B 地出发，沿原路6小时后返回A地．则在此过程中，以下说法中①一定存在某个位置E，两天经过此地的时刻相同②一定存在某个时刻，两天中在此刻的速度相同③一定存在某一段路程EF（不含A、B），两天在此段内的平均速度相同．（以上速度不考虑方向）正确说法的序号是．2017年北京市海淀区高考数学查漏补缺试卷参考答案与试题解析一、选择题1．（3分）设集合A={x|x（x+1）≤0}，集合B={x|2x＞1}，则集合A∪B等于（）A．{x|x≥0}B．{x|x≥﹣1}C．{x|x＞0}D．{x|x＞﹣1}【解答】解：A={x|x（x+1）≤0}=[﹣1，0]，B={x|2x＞1}=（0，+∞），∴A∪B=[﹣1，+∞）故选：B．2．（3分）设全集U=Z，集合A={x∈Z|x（x﹣2）≥3}，则∁U A=（）A．{0，1，2，3}B．{﹣1，0，1，2} C．{﹣1，0，1，2，3}D．{0，1，2}【解答】解：由x（x﹣2）≥3，即x2﹣2x﹣3≥0，解得x≤﹣1或x≥3，∴A={x∈Z|x≤﹣1或x≥3}，∴∁U A={x∈Z|﹣1＜x＜3}={0，1，2}，故选：D3．（3分）在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”成立的（）A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【解答】解：1°由题意，在△ABC中，“A＞B”，由于A+B＜π，必有B＜π﹣A若A，B都是锐角，显然有“sinA＞sinB”成立，若A，B之一为锐角，必是B为锐角，此时有π﹣A不是钝角，由于A+B＜π，必有B＜π﹣A≤，此时有sin（π﹣A）=sinA＞sinB综上，△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”成立的充分条件2°研究sinA＞sinB，若A不是锐角，显然可得出A＞B，若A是锐角，亦可得出A ＞B，综上在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”成立的必要条件综合1°，2°知，在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”成立的充要条件，故选A4．（3分）已知，则“∀x∈R，f（x+π）=f（x）”是“ω=2”的（）A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【解答】解：由ω=2，可得f（x）=2sin，∴f（x+π）=f（x）．反之不成立，例如ω=4也成立．∴“∀x∈R，f（x+π）=f（x）”是“ω=2”的必要不充分条件．故选：C．5．（3分）已知实数a，直线l1：ax+y+1=0，l2：2x+（a+1）y+3=0，则“a=1”是“l1∥l2”的（）A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【解答】解：直线l1：ax+y+1=0，l2：2x+（a+1）y+3=0，a=﹣1时，上述两条直线不平行，舍去．a≠﹣1时，两条直线方程分别化为：y=﹣ax﹣1，y=﹣x﹣．由l1∥l2⇔﹣a=，﹣1，解得：a=1或﹣2．∴“a=1”是“l1∥l2”的充分不必要条件，故选：B．6．（3分）设a，b∈（0，+∞），则“a＞b”是“log a b＜1”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：取a=，b=，则log a b=2＞1；反之，取a=，b=，满足log a b=，但是b＞a．因此“a＞b”是“log a b＜1”的既不充分也不必要条件．故选：D．【二项式定理与排列组合（理科）】7．（3分）（1﹣2x）5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a3=﹣80．=•（﹣2x）r，故x3的系数a3=•【解答】解：二项式展开式的通项公式为T r+1（﹣2）3=﹣80，故答案为：﹣80．【复数】8．（3分）若=ni，则实数m=﹣1，实数n=1．【解答】解：所以m=﹣1，n=1．故答案为：﹣1，1【极坐标系与参数方程（理科）】9．（3分）在极坐标系中，射线θ=被圆ρ=4sinθ截得的弦长为2．【解答】解：把θ=代入圆ρ=4sinθ，可得=2．因此截得的弦长为2．故答案为：．10．（3分）在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为，若以极点为原点，极轴所在直线为x轴建立直角坐标系，则C的直角坐标方程为x﹣y+2=0．【解答】解：∵曲线C的极坐标方程为，∴==，∴ρsinθ﹣ρcosθ=2，∴C的直角坐标方程为y﹣x=2，取x﹣y+2=0．故答案为：x﹣y+2=0．11．（3分）若曲线C的参数方程为（参数），则曲线C（）A．表示直线B．表示线段C．表示圆D．表示半个圆【解答】解：由，则，由，则0≤≤1，则0≤x≤2，﹣1≤（y﹣1）≤1，﹣1≤y ≤3，∴+（y﹣1）2=1，整理得：x2+（y﹣1）2=4，0＜x＜2，﹣1≤y≤3，∴曲线C表示半个圆，故选D．【数列】12．（3分）记函数y=e x在x=n（n=1，2，3，…）处的切线为l n．若切线l n与l n+1的交点坐标为（A n，B n），那么（）A．数列{A n}是等差数列，数列{B n}是等比数列B．数列{A n}与{B n}都是等差数列C．数列{A n}是等比数列，数列{B n}是等差数列D．数列{A n}与{B n}都是等比数列【解答】解：函数y=e x的导数为y′=e x，可得切线l n的方程为y﹣e n=e n（x﹣n），①l n+1的方程为y﹣e n+1=e n+1（x﹣n﹣1），②由①②解得A n=n+；B n=，即有数列{A n}是首项为，公差为1的等差数列，数列{B n}是首项为，公比为e的等比数列．故选：A．13．（3分）已知数列{a n}满足：点（n，a n）在直线2x﹣y+1=0上，若使a1、a4、a m构成等比数列，则m=13．【解答】解：点（n，a n）在直线2x﹣y+1=0上，∴a n=2n+1，∴a1=3，a4=9，a m=2m+1，∵a1、a4、a m构成等比数列，∴92=3（2m+1），解得m=13，故答案为：13．14．（3分）已知数列a1，a2﹣a1，a3﹣a2，…，a n﹣a n﹣1，…是首项为1，公差为1的等差数列，则数列{a n}的通项公式a n=n（n+1）．【解答】解：因为a1，a2﹣a1，a3﹣a2，…，a n﹣a n﹣1，…是首项为1、公差为1的等差数列，所以当n≥2时a n=a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+…+（a n﹣a n﹣1）=n+，又因为a1=1满足上式，所以，故答案为：n（n+1）．15．（3分）已知数列{a n}，a2=2，a n+a n+1=3n，n∈N*，则a2+a4+a6+a8+a10+a12=57．【解答】解法一：由题可知a3=4，a4=5，a5=7，a6=8，a7=10，a8=11，a9=13，a10=14，a11=16，a12=17，所以a2+a4+a6+a8+a10+a12=57；解法二：因为a n+a n+1=3n，所以a n+1+a n+2=3n+3，两式相减可得a n+2﹣a n=3，所以数列{a n}隔项成等差数列，所以a2，a4，a6，a8，a10，a12是以2为首项、以3为公差，共有6项的等差数列，所以a2+a4+a6+a8+a10+a12=．故答案为：57．16．（3分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a1=10，S5≥S6，下列四个命题中，假命题是（）A．公差d的最大值为﹣2B．S7＜0C．记S n的最大值为K，K的最大值为30D．a2016＞a2017【解答】解：设公差为d，由a1=10，S5≥S6，∴5×10+10d≥6×10+15d，解得d≤﹣2，∴S7=7×10+21d≤70﹣2×21=28，∵a n=a1+（n﹣1）d=10+（n﹣1）d≥0，解得n≤﹣+1，a n+1=a1+nd=10+nd≤0，解得n≥﹣，∴﹣≤n≤﹣+1，当d=﹣2时，∴5≤n≤6，当n=5时，有最大值，此时k=5×10+10×（﹣2）=30，当n=6时，有最大值，此时k=6×10+15×（﹣2）=30，∵该数列为递减数列，∴a2016＞a2017故选：B17．（3分）已知数列{a n}的通项为a n=，若{a n}的最小值为，则实数a的取值范围是[，+∞）．【解答】解：由题可知当n≤5时结合函数y=x+（x＞0），可知a n≥a4=4+=，又因为{a n}的最小值为，所以当n＞5时y=alnn﹣≥，即alnn≥8，又因为lnn＞ln5＞0，所以当n＞5时a≥恒成立，所以，故答案为：[，+∞）．18．（3分）已知{a n}是等差数列，满足a1=2，a4=14，数列{b n}满足b1=1，b4=6，且{a n﹣b n}是等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）若∀n∈N*，都有b n≤b k成立，求正整数k的值．【解答】解：（Ⅰ）设{a n}的公差为d，则，∴a n=2+（n﹣1）×4=4n﹣2，故{a n}的通项公式为a n=4n﹣2（n∈N*）．设c n=a n﹣b n，则{c n}为等比数列．c1=a1﹣b1=2﹣1=1，c4=a4﹣b4=14﹣6=8，设{c n}的公比为q，则，故q=2．则，即．∴（n∈N*）．故{b n}的通项公式为（n∈N*）．（Ⅱ）由题意，b k应为数列{b n}的最大项．由=4﹣2n﹣1（n∈N*）．当n＜3时，b n+1﹣b n＞0，b n＜b n+1，即b1＜b2＜b3；当n=3时，b n+1﹣b n=0，即b3=b4；当n＞3时，b n+1﹣b n＜0，b n＞b n+1，即b4＞b5＞b6＞…综上所述，数列{b n}中的最大项为b3和b4．故存在k=3或4，使∀n∈N*，都有b n≤b k成立．【三角函数部分】19．（3分）在△ABC中，若a=1，∠A=，则=．【解答】解：∵a=1，∠A=，∴由=，可得：b=sinB，∴====．故答案为：．20．（3分）在△ABC中，角B为钝角，则sinB＞sin（A+B）．（填“＞”或“＜”或“=”）【解答】解：∵sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，又∵B为钝角，A为锐角，∴0＜sinA＜1，cosB＜0，0＜cosA＜1，0＜sinB＜1，∴sinB﹣sin（A+B）=sinB（1﹣cosA）﹣sinAcosB＞0，即sinB＞sin（A+B），故答案为：＞．21．（3分）设偶函数f（x）=sin（ωx+ϕ），ω＞0，若f（x）在区间[0，π]至少存在一个零点，则ω的最小值为．【解答】解：偶函数f（x）=sin（ωx+φ），不妨令φ=，则f（x）=cosωx，其中ω＞0；若f（x）在区间[0，π]内至少存在一个零点，则≤π﹣0，即T≤4π，∴≤4π，解得ω≥，∴ω的最小值为．故答案为：．22．（3分）已知sin43°=a，则a＜（填“＞”或“＜”）；sin73°=（用a表示）【解答】解：①sin43°=a，且sin43°＜sin45°=，∴a＜；②又cos43°==，∴sin73°=sin（43°+30°）=sin43°cos30°+cos43°sin30°=a+=．故答案为：＜，．23．（3分）在坐标平面xOy内，O为原点，点，射线OP逆时针旋转，则旋转后的点P坐标为（﹣，）．【解答】解：如图所示，坐标平面xOy内，点，则P（cos，sin）；射线OP逆时针旋转，得P′（cos，sin），即P′（﹣，），∴旋转后的点P坐标为（﹣，）．故答案为：．24．（3分）已知，设a=sinx，b=cosx，c=tanx，则（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．b＜c＜a【解答】解：，不妨设x=，则sin=，cos=，tan=，∴cos＜sin＜tan，即cosα＜sinα＜tanα；又a=sinx，b=cosx，c=tanx，∴b＜a＜c．故选：B．25．（3分）已知当时，函数（ω＞0）有且仅有5个零点，则ω的取值范围是．【解答】解：可以将问题转化为研究函数函数（ω＞0）与直线有且仅有5个交点．如图，是满足条件的两个临界状态，由此得到，，计算可得临界态的，依据题意可得．故答案为：26．（3分）已知函数f（x）=|sinx|+cosx，现有如下几个命题：①该函数为偶函数；②该函数最小正周期为；③该函数值域为；④若定义区间（a，b）的长度为b﹣a，则该函数单调递增区间长度的最大值为．其中正确命题为①③④．【解答】解：当sinx≥0，即2kπ≤x≤2kπ+π，k∈Z，此时f（x）=sinx+cosx=sin （x+），当sinx＜0，即2kπ﹣π≤x≤2kπ，k∈Z，此时f（x）=﹣sinx+cosx=cos（x+），①f（﹣x）=|sin（﹣x）|+cosx=|sinx|+cosx=f（x），则函数f（x）是偶函数，故①正确，②f（x+）=|sin（x+）|+cos（x+）=|cosx|﹣sinx≠f（x），则函数最小正周期为错误，故②错误，当2kπ≤x≤2kπ+π时，2kπ+≤x+≤2kπ+，此时sin（x+）∈[﹣1，]，当2kπ﹣π≤x≤2kπ时，2kπ≤x+≤2kπ+，此时cos（x+）∈[﹣1，]，综上f（x））∈[﹣1，]，即函数的值域为[﹣1，]，故③正确，④作出函数f（x）的图象如图：函数单调递增的最大区间在函数f（x）=cos （x+），由2kπ﹣π≤x+≤2kπ，k∈Z得2kπ﹣≤x≤2kπ﹣，k∈Z∵2kπ﹣π≤x≤2kπ，∴此时2kπ﹣π≤x≤2kπ﹣，即此时函数的单调递增区间为[2kπ﹣π，2kπ﹣]，当k=0时，单调递增区间为[﹣π，﹣]，此时区间长度为﹣﹣（﹣π）=，故④正确，故答案为：①③④．27．（3分）已知函数f（x）=|cosx|•sinx，给出下列四个说法：①；②函数f（x）的周期为π；③f（x）在区间上单调递增；④f（x）的图象关于点中心对称其中正确说法的序号是（）A．②③B．①③C．①④D．①③④【解答】解：对于①，f（）=f（671π+）=﹣cos sin=﹣，正确；对于②，因为f（）=cos sin=，f（）=﹣cos sin=﹣，，所以②错误；对于③，当时，，f（x）在区间上单调递增，正确；对于④，f（﹣）=﹣cos sin=﹣，f（﹣）=﹣cos sin=﹣，则，所以f（x）的图象关于点中心对称，错误；综上，正确的命题序号是①③．故选：B．28．（3分）已知函数f（x）=sin（ωx﹣φ），的图象经过点，且相邻两条对称轴的距离为．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式及其在[0，π]上的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边，若，求∠A 的大小．【解答】解：（Ⅰ）由相邻两条对称轴的距离为，可得其周期为，∴ω=2．则f（x）=sin（2x﹣φ）∵图象过点，且，坐标带入：得：=sin（2×﹣φ），即cosφ=．∴φ=那么：函数f（x）的解析式为：f（x）=sin（2x﹣）由，k∈Z．可得：∴x在[0，π]上增区间为和．（Ⅱ）由，可得，则，得由于0＜A＜π，则，那么：∴．29．（3分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且a+c=2b，则角B的取值范围为．【解答】解：，当且仅当a=c=b，即△ABC为等边三角形时，．又∵0＜B＜π，∴．故答案为：．30．（3分）已知函数f（x）=4sin（ω＞0）．（Ⅰ）若ω=3，求f（x）在区间上的最小值；（Ⅱ）若函数f（x）的图象如图所示，求ω的值．【解答】解：函数f（x）=4sin（ω＞0）．化解可得：f（x）=4sin x（）=2sin xcos+2sin2═sinωx+（1﹣cosωx）=sinωx﹣cosωx=2sin（）（I）∵ω=3，∴．∵，∴．所以，当，即时，函数f（x）的最小值为﹣2．（II）图象过（，）即，故而．又由图象可知，，即，所以又因为ω＞0，所以ω=3．31．（3分）已知函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期、零点；（Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值和最小值．【解答】解：函数．化简可得：f（x）=4sinx（cosx+sinx）﹣=2sinxcosx+2sin2x﹣=sin2x+=sin2x﹣cos2x=2sin（2x﹣）（Ⅰ）∴函数f（x）的最小正周期T==π，令，即∴函数f（x）的零点是．（Ⅱ）∵，∴．∴当，即时，函数f（x）的最小值为；当，即时，函数f（x）的最大值为2．∴f（x）在区间上的最大值为2，最小值．【立体几何部分】32．四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠DAB=，AC∩BD=O，且PO⊥平面ABCD，PO=，点F，G分别是线段PB，PD上的中点，E在PA上，且PA=3PE．（Ⅰ）求证：BD∥平面EFG；（Ⅱ）求直线AB与平面EFG的成角的正弦值；（Ⅲ）请画出平面EFG与四棱锥的表面的交线，并写出作图的步骤．【解答】证明：（Ⅰ）在△PBD中，∵点F，G分别是线段PB，PD上的中点，∴FG∥BD，∵BD⊄平面EFG，FG⊂平面EFG，∴BD∥平面EFG．解：（Ⅱ）∵底面ABCD是边长为2的菱形，∴OA⊥OB，∵PO⊥平面ABCD，∴PO⊥OA，PO⊥OB，如图，以O为原点，OA、OB、OP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则，，，∴，，，设平面EFG的法向量为=（x，y，z），则，令，得=（﹣），∵cos＜，＞==，∴直线AB与平面EFG的成角的正弦值为．（Ⅲ）法1：延长EF，EG分别交AB，AD延长线于M，N，连接MN，发现刚好过点C，连接CG，CF，则四边形EFCG为平面EFG与四棱锥的表面的交线．法2：记平面EFG与直线PC的交点为H，设，则由=（﹣）•（﹣）=0，解得λ=1．所以H即为点C．所以连接CG，CF，则四边形EFCG为平面EFG与四棱锥的表面的交线．33．如图，AC=2ED，AC∥平面EDB，AC⊥平面BCD，平面ACDE⊥平面ABC．（Ⅰ）求证：AC∥ED；（Ⅱ）求证：DC⊥BC；（Ⅲ）当BC=CD=DE=1时，求二面角A﹣BE﹣D的余弦值；（Ⅳ）在棱AB上是否存在点P满足EP∥平面BDC；（Ⅴ）设=k，是否存在k满足平面ABE⊥平面CBE？若存在求出k值，若不存在说明理由．【解答】证明：（Ⅰ）因为AC∥平面EDB，平面ACDE∩平面EDB=ED，且AC⊄平面EDB，所以AC∥ED．（Ⅱ）证法1：因为AC⊥平面BCD，所以AC⊥CD，因为平面ACDE⊥平面ABC，且平面ACDE∩平面ABC=AC，CD⊂平面ACDE，所以CD⊥平面ABC，所以CD⊥CB．证法2：因为AC⊥平面BCD，所以AC⊥CD，AC⊥CB，因为平面ACDE∩平面ABC=AC，所以∠DCB为二面角D﹣AC﹣B的平面角，又因为平面ACDE⊥平面ABC，所以∠DCB=90°，即CD⊥CB．解：（Ⅲ）由（Ⅱ）证明可知AC⊥CD，AC⊥CB，CD⊥CB，所以如图，以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CD为z轴，建立空间直角坐标系，因为BC=CD=DE=1，所以A（2，0，0），B（0，1，0），D（0，0，1），E（1，0，1），所以，设平面BDE的法向量为=（x，y，z），则，取y=1，得=（0，1，1）．设平面ABE的法向量为=（a，b，c），则．所以cos＜＞==，所以，依据题意可得二面角A﹣BE﹣D的余弦值为．（Ⅳ）解法1：取AC中点F，连接EF，过点F作FP∥BC交AB于点P，所以P为AB中点．因为AC=2ED，AC∥ED，所以，所以EF∥CD．所以平面EFP∥平面BCD，所以EP∥平面BCD．解法2：设，则，由（Ⅱ）证明可知平面BCD的一个法向量为=（1，0，0），由=1﹣2λ=0=0，得，所以当P为AB中点时，AP与平面BCD成角为0°，所以当P为AB中点时，AP∥平面BCD．（Ⅴ）设AC=2a，则A（2a，0，0），E（a，0，ka），B（0，b，0），则，设平面CBE的法向量为=（x，y1，z1），=（a，0，ka），=（0，b，0），由，取x 1=k，得=（k，0，﹣1），设平面ABE的法向量=（x2，y2，z2），由，取z2=1，得=（k，，1），因为平面ABE⊥平面CBE，所以=k2﹣1=0，由k＞0，得k=1．所以当k=1时，平面ABE⊥平面CBE．【概率】34．由于研究性学习的需要，中学生李华持续收集了手机“微信运动”团队中特定20名成员每天行走的步数，其中某一天的数据记录如下：5860 6520 7326 6798 73258430 8215 7453 7446 67547638 6834 6460 6830 98608753 9450 9860 7290 7850对这20个数据按组距1000进行分组，并统计整理，绘制了如下尚不完整的统计图表：步数分组统计表（设步数为x）（Ⅰ）写出m，n的值，并回答这20名“微信运动”团队成员一天行走步数的中位数落在哪个组别；（Ⅱ）记C组步数数据的平均数与方差分别为v1，，E组步数数据的平均数与方差分别为v2，，试分别比较v1与v2，与的大小；（只需写出结论）（Ⅲ）从上述A，E两个组别的数据中任取2个数据，记这2个数据步数差的绝对值为ξ，求ξ的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）利用对这20个数据按组距1000进行分组，得到m=4，n=2，∵A组2人，B组10人，C组4人，D组2人，E组2人，∴这20名“微信运动”团队成员一天行走步数的中位数落在B组．（Ⅱ）v1＜v2，＞．（Ⅲ）ξ的可能取值为0，600，3400，4000，P（ξ=0）=，P（ξ=600）=，P（ξ=3400）=，P（ξ=4000）=，∴ξ的分布列为：Eξ==．35．由于研究性学习的需要，中学生李华持续收集了手机“微信运动”团队中特定20名成员每天行走的步数，其中某一天的数据记录如下：5860 6520 7326 6798 73258430 8215 7453 7446 67547638 6834 6460 6830 98608753 9450 9860 7290 7850对这20个数据按组距1000进行分组，并统计整理，绘制了如下尚不完整的统计图表：步数分组统计表（设步数为x）（Ⅰ）写出m，n的值，若该“微信运动”团队共有120人，请估计该团队中一天行走步数不少于7500步的人数；（Ⅱ）记C组步数数据的平均数与方差分别为v1，，E组步数数据的平均数与方差分别为v2，，试分别比较v1与v2，与的大小；（只需写出结论）（Ⅲ）从上述A，E两个组别的步数数据中任取2个数据，求这2个数据步数差的绝对值大于3000步的概率．【解答】解：（Ⅰ）利用对这20个数据按组距1000进行分组，得到m=4，n=2，估计该团队中一天行走步数不少于7500步的人数为：120×=48人．（Ⅱ）v1＜v2，＞．（Ⅲ）A组两个数据为5860，6460，E组两个数据为9860，9860任取两个数据，可能的组合为（5860，6460）、（5860，9860）、（5860，9860）、（6460，9860）、（6460，9860）、（9860，9860），共6种结果记步数差的绝对值大于3000为事件AA={（5860，9860）、（5860，9860）、（6460，9860）、（6460，9860）}共包括4种结果所以．36．已知一个由11人组成的评审委员会以投票方式从符合要求的甲，乙两名候选人中选出一人参加一次活动．投票要求委员会每人只能选一人且不能弃选，每位委员投票不受他人影响．投票结果由一人唱票，一人统计投票结果．（Ⅰ）设：在唱到第k张票时，甲，乙两人的得票数分别为x k，y k，N（k）=x k ﹣y k，k=1，2，…，11．若下图为根据一次唱票过程绘制的N（k）图，则根据所给图表，在这次选举中获胜方是谁？y7的值为多少？图中点P提供了什么投票信息？（Ⅱ）设事件A为“候选人甲比乙恰多3票胜出”，假定每人选甲或乙的概率皆为，则事件A发生的概率为多少？（Ⅲ）若在不了解唱票过程的情况下已知候选人甲比乙3票胜出．则在唱票过程中出现甲乙两人得票数相同情况的概率是多少？【解答】解：（Ⅰ）因纵轴表示每次唱票时甲的得票数减乙的得票数故从图表可看出，唱票顺序为甲，甲，乙，乙，乙，乙，甲，甲，甲，甲，乙故甲胜出（本结论可由第11个点的位置马上就可判断甲赢，如果最后一个点在横轴下，则乙赢），y7=4（从图上看第7个点在上升段，应是甲得一票，而之前的下降段，从第二点算起共4个点，故都是乙得票）图中点P从位置上看意味着x4﹣y4=0，即甲乙第4轮唱票后得票数相同．（答案为各得2票也正确）．（Ⅱ）若事件A“候选人甲比乙恰多3票胜出”发生，由甲乙得票共11张，故甲得7票，乙得4票，因每位委员投票不受他人影响，且每人投甲的概率为，故事件A发生的概率．（Ⅲ）设事件B为“在已知条件下，在唱票过程中出现甲乙两人得票数相同情况”，根据第一问的分析可知，如果只知道选举结果，则在生成这种结果的过程中存在两人选票一样的可能．由第一问提供的图表可看出，由于结果中甲的得票数为7高于乙的得票数4，故当第一张选票为乙时，散点图中一定存在点在横轴上，即出现两人得票相等的情况，这样的点图一共有种（即10位评委里再选3位投给乙）当第一张选票为甲时，散点图可能有点在横轴上，也可能无点在横轴上，如下图所示的两种投票可能：而图二的每一种情况对于第一张选票为乙时的情况一一对应，（最后一次票数相等前图形关于横轴对称，最后一次票数相等后图形重合）故当第一张选票为甲时出现两人得票相等情况的点图同样为种而所有与唱票情况对应的散点图共种故事件B的概率为．【解析几何】37．已知实数x，y满足若z=x+my的最小值是﹣5，则实数m取值集合是（）A．{﹣4，6}B．C．D．【解答】解：由z=x+my得y=﹣x+，作出不等式组对应的平面区域如图：∵z=x+my的最小值为﹣5，∴此时z=x+my=﹣5，此时目标函数过定点Q（﹣5，0），作出x+my=﹣5的图象，由图象知当m＞0时，直线z=x+my，经过B时，取得最小值﹣5．当m＜0时，由平移可知当直线y=﹣x+，经过点A时，目标函数取得最小值﹣5，此时满足条件，由，解得A（2，4），同时，A也在直线x+my=﹣5上，代入得2+4m=﹣5，解得m=﹣，由解得B（1，﹣1）同时，B也在直线x+my=﹣5上，代入得1﹣m=﹣5，解得m=6，则实数m取值集合是：{﹣，6}．故选：B．38．已知x，y满足则x2﹣y的最大值为16．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：设z=x2﹣y得y=x2﹣z，作出二次函数y=x2﹣z，由图象知当y=x2﹣z经过点（4，0）时，抛物线的顶点最低，此时﹣z最小，z最大，此时z=42=16，故答案为：16．39．已知圆C过点（1，0），（0，），（﹣3，0），则圆C的方程为x2+y2+2x ﹣3=0．【解答】解：根据题意，设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0又由圆C过点（1，0），（0，），（﹣3，0），则有，解可得D=2，E=0，F=﹣3；即圆的方程为：x2+y2+2x﹣3=0；故答案为：x2+y2+2x﹣3=0．40．已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线相互垂直，那么双曲线的离心率为．【解答】解：根据题意，双曲线的方程为：=1，则其渐近线方程为y=±x，又由该双曲线的两条渐近线相互垂直，则有（）×（﹣）=﹣1，解可得a=b，则有c==a，则其离心率e==，故答案为：．41．若双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的斜率为2，则离心率e=．【解答】解：双曲线的=1的渐近线方程：y=±x，则=2，双曲线的离心率e===，故答案为：．42．已知椭圆C：=1（a＞b＞0），椭圆C的右焦点F的坐标为，短轴长为2．（I）求椭圆C的方程；（II）若点P为直线x=4上的一个动点，A，B为椭圆的左、右顶点，直线AP，BP分别与椭圆C的另一个交点分别为M，N，求证：直线MN恒过点E（1，0）．【解答】解：（I）由题意可得c=，2b=2，b=1，a2=b2+c2=4，则a2=4，∴椭圆C的方程为．（II）由可得椭圆的左、右顶点为A（﹣2，0），B（2，0）．设P（4，m），M（x1，y1），N（x2，y2），则直线，直线由，整理得：，解得，由，整理得：m2（x+2）2=4﹣x2，解得，，，，k ME=k NE，M，N，E三点共线，即直线MN恒过点E（1，0）．另法：由可得，解得，由可得m2（x﹣2）2=4﹣x2，解得，所以。