三角函数综合应用
12,三角函数的综合应用
实用文档 §4.8三角函数的综合应用 【复习目标】 1． 理解三角函数中自变量的两面性——角与实数，将三角函数问题与几何、代数联系起来； 2． 三角恒等变型与三角函数的图象与性质是综合应用的两个方面。
【课前预习】1. ⊿ABC 的内角满足tan sin 0A A -<，cos sin 0A A +>，则A 的范围是 。
2. 若111cos sin θθ-=，则sin 2θ= 。
3. 由函数52sin 3()66y x x ππ=≤≤与函数2y =的图象围成一个封闭图形，这个封闭图形的面积是 。
4. 已知()f x 是定义在（0，3）上的函数，图象如图所示，那么不等式()cos 0f x x <的解集是（ ）A ．()()0,12,3⋃B ．(1,)(,3)22ππ⋃ C ．()0,1,32π⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭ D ．()()0,11,3⋃ 5. 函数|sin |,[,]y x x x ππ=+∈-的大致图象是（ ）【典型例题】实用文档例1 已知函数2()sin sin f x x x a =-++.（1） 当()0f x =有实数解时，求a 的取值范围；（2） 若x R ∈，有171()4f x ≤≤，求a 的取值范围。
例2 （2003上海卷·22）已知集合M 是满足下列性质的函数()f x 的全体：存在非零常数T ，对任意x ∈R ，有()f x T +=T ·()f x 成立.（1）函数()f x = x 是否属于集合M ？说明理由；（2）设函数()f x =a x （a >0,且a ≠1）的图象与y=x 的图象有公共点，证明：()f x =a x ∈M ；（3）若函数()f x =sin kx ∈M ,求实数k 的取值范围.实用文档【本课小结】【课后作业】1． （2004北京春·16）在∆ABC 中，a ，b ，c 分别是∠∠∠A B C ，，的对边长，已知a ，b ，c 成等比数列，且a c ac bc 22-=-，求∠A 的大小及b Bc sin 的值。
三角函数平面解析几何与空间几何的综合应用
三角函数平面解析几何与空间几何的综合应用在数学中，三角函数是一组基本的数学函数，它们在平面解析几何和空间几何中有着广泛的应用。
本文将通过一些具体的例子，探讨三角函数在这两个领域中的综合应用。
一、平面解析几何中的三角函数应用1. 直角三角形在平面解析几何中，直角三角形是研究三角函数最常见的情况之一。
三角函数中的正弦函数、余弦函数和正切函数，都可以用于求解直角三角形中的各种问题。
以一个直角三角形ABC为例，其中∠C为90度。
根据三角函数的定义，我们可以得到以下关系：正弦函数sin(A) = 边BC/斜边AC余弦函数cos(A) = 边AB/斜边AC正切函数tan(A) = 边BC/边AB这些关系可以用于求解各种直角三角形中的未知量，例如已知两个角和一个边，可以求解出其他两个边的长度。
2. 三角函数的周期性三角函数具有周期性，这个性质在平面解析几何中也有一些应用。
例如，在计算圆的周长和面积时，我们可以用到正弦函数和余弦函数的周期性。
对于一个半径为r的圆，其周长C等于2πr，而面积S等于πr^2。
我们可以通过应用三角函数的周期性，用正弦函数或余弦函数的性质，将圆的周长和面积表示为三角函数的形式。
二、空间几何中的三角函数应用1. 三维坐标系中的角度计算在空间几何中，我们常常需要计算三维坐标系中的角度。
三角函数可以帮助我们计算空间中两条直线或两个平面之间的夹角。
例如，对于两条直线l1和l2，我们可以将它们的方向向量表示为三维坐标系中的向量，然后通过计算这两个向量的点积和模的乘积，得到它们夹角的余弦值。
进一步，可以利用反余弦函数来求解夹角的度数。
2. 空间中的向量运算在空间几何中，三角函数可以用于向量的运算。
例如，两个向量的夹角可以通过计算它们的点积和模的乘积得到。
另外，可以利用正弦函数和余弦函数来表示向量的投影和分解。
对于给定的两个向量a和b，它们的夹角θ可以通过以下公式表示：cos(θ) = (a·b) / (|a|·|b|)其中，a·b表示两个向量的点积，|a|和|b|分别表示向量的模。
三角函数的最值与综合应用.
a a 2 b2
,sin φ
知识清单
考点一
三角函数的最值
1.当x=2kπ- (k∈Z)时,y=sin x取最小值-1;当x=2kπ+ (k∈Z)时,y= 2 2 sin x取最大值① 1 ;正弦函数y=sin x(x∈R)的值域为[-1,1]. 2.当x=2kπ+π(k∈Z)时,y=cos x取最小值-1;当x=2kπ(k∈Z)时,y=cos x取最
k φ k φ ;函数y=Acos(ωx+φ)的图象的对称轴为x= - ,对称中心为 ,0 ω ω ω ω k φ ;函数y=Atan(ωx+φ)的图象的对称中心为 k φ .上 ,0 ,0 ω ω 2 ω 2 ω ω
2 2
y=Asin 2x+Bcos 2x+C=
B A B sin(2x+φ)+C.其中tan φ= A ,再利用有界性处理. a sin x c a cos x c (3)y= 或y= 可转化为只有分母含有sin x或cos x的函数 b sin x d b cos x d
bt c (其中a,b,c为常数,且abc≠0),令t=sin x,则转化为y=at+ b sin x
cห้องสมุดไป่ตู้ (t∈[-1,0)∪(0,1])的最值,一般利用函数的单调性或函数图象求之.
t 2 1 (3)y=a(sin x±cos x)+bsin x· cos x,可令t=sin x±cos x,则sin x· cos x=± ,把 2
2 2
1 5 = cos x - , 4 2 5 1 当cos x= ,即x=2kπ± ,k∈Z时,f(x)取得最小值- .故选D. 3 4 2
初中数学解题技巧应对三角函数的综合应用与证明题目
初中数学解题技巧应对三角函数的综合应用与证明题目三角函数是初中数学中的一个重要知识点，它在解题过程中的综合应用和证明问题中扮演着重要的角色。
本文将介绍一些初中数学解题技巧，以及如何应对三角函数的综合应用和证明题目。
一、三角函数的综合应用题解题技巧1. 熟悉基本概念：在解决三角函数的综合应用题目时，首先要熟悉基本概念，如正弦函数、余弦函数和正切函数的定义，并了解它们的性质和图像特征。
2. 建立几何模型：对于三角函数的综合应用题目，可以通过建立几何模型来帮助理解和解决问题。
例如，可以画出相关角的位置和关系图，明确各边、角的含义和相互之间的关系。
3. 利用已知条件：在解题过程中，要充分利用已知条件，特别是已知角度、边长、比率等信息，利用三角函数的定义和性质进行推导和计算。
4. 探索思路灵活转换：对于一些复杂的综合应用题目，可以通过转换思路来简化问题，例如利用三角函数的周期性质，将角度限制在特定范围内，或者将问题转化为三角形面积的计算等。
二、三角函数证明题解题技巧1. 联想与应用：在解决三角函数证明题时，可以通过联想和应用已学过的数学知识来解题。
例如，可以利用三角函数的定义、性质和公式，以及三角恒等式和特殊角的性质进行推导和证明。
2. 寻找等价关系：在解题过程中，可以寻找等价关系，简化证明的过程。
例如，利用三角函数的周期性质或对称性质，将一个角度转化为另一个等价的角度，进而进行推导和证明。
3. 运用恒等式和公式：三角函数的恒等式和公式是解决证明题的有力工具。
在解题过程中，可以灵活运用三角函数的和差、倍角、半角等公式，以及正弦定理、余弦定理等恒等式，对所要证明的式子进行变形和推导。
4. 利用图像特征：对于一些几何形状的证明题，可以利用三角函数的图像特征进行推导。
例如，通过观察正弦函数和余弦函数的图像，可以推导出它们的性质和相互之间的关系，从而得到证明的结论。
综上所述，对于初中数学中的三角函数的综合应用和证明题目，我们可以通过熟悉基本概念、建立几何模型、利用已知条件、灵活转换思路等解题技巧来解决问题。
正、余弦定理及三角函数的综合应用
(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角；
(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而求得其他边、角；
(3)已知三边，求三个角；
(4)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．
在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下：
考点一：利用正、余弦定理解三角形
8．(2010?宝鸡质检一)如右图，为了计算渭河岸边两景点B与C的距离，由于地形的限制，需要在岸上选取A和D两个测量点，现测得AD⊥CD，AD＝100 m，AB＝140 m，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，求两景点B与C之间的距离(假设A，B，C，D在同一平面内，测量结果保留整数；参数数据：2＝1.414，3＝1.732，5＝2.236)．
针对性练习：
已知△ABC中，sinC＝sinA＋sinBcosA＋cosB，试判断△ABC的形状．考点三：三角形面积公式的应用
典型例题
已知△ABC中，cosA＝63，a，b，c分别是角A、B、C的对边．
(1)求tan2A； (2)若sin(π2＋B)＝223，c＝22，求△ABC的面积．知识概括、方法总结与易错点分析
(1)正弦定理和余弦定理并不是孤立的，解题时要根据具体题目合理运用，有时还需要交替使用．
(2)条件中出现平方关系多考虑余弦定理，出现一次式，一般要考虑正弦定理．
针对性练习：
1、在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cosA2＝255，AB→?AC→＝3.
(1)求△ABC的面积； (2)若b＋c＝6，求a的值．
(2)若sinB＋sinC＝1，试判断△BC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos2C＝－14.
三角函数的综合应用
解答题规范练三角函数的综合应用(推荐时间：70分钟)1． 设函数f (x )＝a ·b ，其中向量a ＝(2cos x,1)，b ＝(cos x ，3sin 2x )，x ∈R .(1)若函数f (x )＝1－3，且x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π3，求x 的值； (2)求函数y ＝f (x )的单调增区间，并在给出的坐标系中画出y ＝f (x )在区间[0，π]上的图象．解 (1)依题设得f (x )＝2cos 2x ＋3sin 2x ＝1＋cos 2x ＋3sin 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋1. 由2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋1＝1－3，得sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＝－32. ∵－π3≤x ≤π3，∴－π2≤2x ＋π6≤5π6，∴2x ＋π6＝－π3，即x ＝－π4.(2)当－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π(k ∈Z )，即－π3＋k π≤x ≤π6＋k π(k ∈Z )时，函数y ＝f (x )单调递增，即函数y ＝f (x )的单调增区间为⎣⎡⎦⎤－π3＋k π，π6＋k π(k ∈Z )，x 0 π6 π3 π2 2π3 5π6 π y232－122． 已知向量a ＝(cos x ＋3sin x ，3sin x )，b ＝(cos x －3sin x ，2cos x )，函数f (x )＝a ·b －cos 2x .(1)求函数f (x )的值域；(2)若f (θ)＝15，θ∈⎣⎡⎦⎤π6，π3，求sin 2θ的值． 解 (1)f (x )＝a ·b －cos 2x＝(cos x ＋3sin x )(cos x －3sin x )＋3sin x ·2cos x －cos 2x ＝cos 2x －3sin 2x ＋23sin x cos x －cos 2x ＝cos 2x －sin 2x －2sin 2x ＋23sin x cos x －cos 2x ＝cos 2x ＋3sin 2x －1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1， f (x )的值域为[－3,1]．(2)由(1)知f (θ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π6－1， 由题设2sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π6－1＝15，即sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π6＝35， ∵θ∈⎣⎡⎦⎤π6，π3，∴2θ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π2，5π6， ∴cos ⎝⎛⎭⎫2θ＋π6＝－45， ∴sin 2θ＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2θ＋π6－π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π6cos π6－cos ⎝⎛⎭⎫2θ＋π6sin π6 ＝35×32－⎝⎛⎭⎫－45×12＝33＋410.3． 已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫sin A ，12与n ＝(3，sin A ＋3cos A )共线，其中A 是△ABC 的内角． (1)求角A 的大小；(2)若BC ＝2，求△ABC 面积S 的最大值．解 (1)∵m ∥n ，∴sin A ·(sin A ＋3cos A )－32＝0.∴1－cos 2A 2＋32sin 2A －32＝0，即32sin 2A －12cos 2A ＝1， 即sin ⎝⎛⎭⎫2A －π6＝1. ∵A ∈(0，π)，∴2A －π6∈⎝⎛⎭⎫－π6，11π6. 故2A －π6＝π2，A ＝π3.(2)∵BC ＝2，由余弦定理得b 2＋c 2－bc ＝4，又b 2＋c 2≥2bc ，∴bc ≤4(当且仅当b ＝c 时等号成立)， 从而S △ABC ＝12bc sin A ＝34bc ≤34×4＝ 3.即△ABC 面积S 的最大值为 3.4． 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A －3cos C cos B ＝3c －ab.(1)求sin Csin A的值； (2)若B 为钝角，b ＝10，求a 的取值范围． 解 (1)由正弦定理，设a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝k ， 则3c －a b ＝3k sin C －k sin A k sin B ＝3sin C －sin A sin B ，所以cos A －3cos C cos B ＝3sin C －sin A sin B，即(cos A －3cos C )sin B ＝(3sin C －sin A )cos B ， 化简可得sin(A ＋B )＝3sin(B ＋C )． 又A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝3sin A ， 因此sin Csin A ＝3.(2)由sin Csin A＝3得c ＝3a .由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c >ba 2＋c 2<b 2，又b ＝10，所以52<a <10.5． 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫其中x ∈R ，A >0，ω>0，－π2<φ<π2的部分图象如图所示．(1)求函数f (x )的解析式；(2)已知函数f (x )的图象上的三点M ，N ，P 的横坐标分别为－1,1,5，求sin ∠MNP 的值． 解 (1)由图可知，A ＝1，最小正周期T ＝4×2＝8. 由T ＝2πω＝8，得ω＝π4.又f (1)＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋φ＝1，且－π2<φ<π2， 所以π4＋φ＝π2，解得φ＝π4.所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π4. (2)因为f (－1)＝0，f (1)＝1， f (5)＝sin ⎝⎛⎭⎫5π4＋π4＝－1，所以M (－1,0)，N (1,1)，P (5，－1)． 所以|MN |＝5，|PN |＝20，|MP |＝37. 由余弦定理得cos ∠MNP ＝5＋20－3725×20＝－35.因为∠MNP ∈(0，π)， 所以sin ∠MNP ＝45.6． 已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos x ，sin x )，c ＝(sin x ＋2sin α，cos x ＋2cos α)，其中0<α<x <π.(1)若α＝π4，求函数f (x )＝b ·c 的最小值及相应x 的值；(2)若a 与b 的夹角为π3，且a ⊥c ，求tan 2α的值．解 (1)∵b ＝(cos x ，sin x )，c ＝(sin x ＋2sin α，cos x ＋2cos α)，α＝π4，∴f (x )＝b ·c ＝cos x sin x ＋2cos x sin α＋sin x cos x ＋2sin x cos α＝2sin x cos x ＋2(sin x ＋cos x )．令t ＝sin x ＋cos x ⎝⎛⎭⎫π4<x <π，则2sin x cos x ＝t 2－1，且－1<t < 2. 则y ＝t 2＋2t －1＝⎝⎛⎭⎫t ＋222－32，－1<t <2， ∴t ＝－22时，y min ＝－32，此时sin x ＋cos x ＝－22， 即2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝－22， ∵π4<x <π，∴π2<x ＋π4<54π， ∴x ＋π4＝76π，∴x ＝11π12.∴函数f (x )的最小值为－32，相应x 的值为11π12.(2)∵a 与b 的夹角为π3，∴cos π3＝a ·b |a |·|b |＝cos αcos x ＋sin αsin x ＝cos(x －α)．∵0<α<x <π，∴0<x －α<π，∴x －α＝π3.∵a ⊥c ，∴cos α(sin x ＋2sin α)＋sin α(cos x ＋2cos α)＝0， ∴sin(x ＋α)＋2sin 2α＝0，即sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＋2sin 2α＝0. ∴52sin 2α＋32cos 2α＝0， ∴tan 2α＝－35.。
三角函数的综合应用
三角函数的综合应用()()[]ϕωϕω+=x A y cos +x Asin =y 1.或的图象和性质要熟记。
正弦型函数 （）振幅，周期12||||A T =πω ()若，则为对称轴。
f x A x x 00=±=()()若，则，为对称点，反之也对。
f x x 0000=）。
，，依次作出点（与，求出，，，，依次为）五点作图：令（y x 223202y x x ππππϕω+ （x ，y ）作图象。
（）根据图象求解析式。
（求、、值）3A ωϕ如图列出ωϕωϕπ()()x x 1202+=+=⎧⎨⎪⎩⎪；解条件组求、值ωϕ (4)求单调区间：()∆正切型函数，y A x T =+=tan ||ωϕπω 2. 熟练掌握同角三角函数关系和诱导公式了吗？4tancos sin 122παα=+=如：===sin cos π20……称为的代换。
1 “·”化为的三角函数——“奇变，偶不变，符号看象限”，k παα2± “奇”、“偶”指k 取奇、偶数。
3. 熟练掌握两角和、差、倍、降幂公式及其逆向应用了吗？理解公式之间的联系：()sin sin cos cos sin sin sin cos αβαβαβαβααα±=±=−→−−−=令22()cos cos cos sin sin cos cos sin αβαβαβαβααα±==−→−−−=- 令222()tan tan tan tan tan αβαβαβ±=±1 · =-=-⇒211222cos sin αα tan tan tan2212ααα=- cos cos sin cos 22122122αααα=+=-二合一公式：()a b a b b asin cos sin tan αααϕϕ+=++=22， sin cos sin αααπ+=+⎛⎝ ⎫⎭⎪24 sin cos sin αααπ+=+⎛⎝ ⎫⎭⎪323 应用以上公式对三角函数式化简。
三角函数的综合应用+课件-2025届高三数学一轮复习
(2)由题意，得 f(A)＝2sin 2A－π3－ 3＝0，即 sin 2A－π3＝ 23，
∵A∈0，π2， 则 2A－π3∈－π3，23π， ∴2A－π3＝π3，∴A＝π3.
在△ABC 中， 由 a2＝b2＋c2－2bc cos A＝42＋32－2×4×3×12＝13， 可得 a＝ 13， 又∵12bc sin A＝12AD×a，即12×4×3× 23＝21AD× 13， ∴AD＝61339，故 BC 边上的高 AD 的长为61339.
(2)根据正弦定理得sina A＝sinc C＝sinb
B＝
4 ＝8 3
3
3，
2
所以
a＝8
3
3 sin
A，c＝8
3
3 sin
C.
所以
a＋c＝8
3
3 (sin
A＋sin
C).
因为 A＋B＋C＝π，B＝π3，所以 A＋C＝23π，
所以 a＋c＝8
3
3 sin
A＋sin
23π－A＝8
3
33 2sin
A＋
23cos
A
＝8sin A＋π6.
因为 0＜A＜23π，
所以 A＋π6∈π6，56π，所以 sin A＋π6∈12，1，则 a＋c∈(4，8].
所以 a＋c 的取值范围是(4，8].
【反思感悟】已知三角形一边及其对角，求取值范围的问题 的解法
(1)(不妨设已知 a 与 sin A 的值)根据 2R＝sina A求出三角形外接
∴a2＋c2 b2＝sin2Asi＋n2Csin2B＝cos22sCin＋2Ccos2C ＝(1－2sin2Cs)in2＋2C(1－sin2C)＝2＋4sins4iCn2－C 5sin2C
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
三角函数综合应用
一、求值问题
1、已知且是第一象限角．
(1)求的值；(2)求的值．
2、已知．
(1)求的值；(2)求的值．
3、已知，则的值等于( )
A. B. C. D.
4、已知，则的值等于__________．
5、设且，则的值为__________．
6、已知，，，，求
．
7、已知，．
(1)求的值；(2)求的值
8、__________．
9、__________．
二、函数的图像与性质问题
1、函数是( )
A.周期为的偶函数
B.周期为的偶函数
C.周期为的奇函数
D.周期为的偶函数
2、设函数，则下列结论正确的是( )
A.的图象关于直线对称
B.的图象关于点对称
C.把的图象向左平移个单位，得到一个偶函数的图象
D.的最小正周期为，且在上为增函数
3、若的图象关于直线对称，则的值为( )
A. B. C. D.
4、设函数，的图象的一条对称轴是
直线．
(1)求；(2)求函数的单调增区间；
(3)画出函数在区间上的图象．
5、已知函数，其中角的终边经过点，且
．（1）求的值；（2）求在上的单调减区间．
三、看图求函数的解析式
1、如图是的图象的
一段，它的一个解析式为( )
A. B.
C. D.
8、下列函数中，图象的一部分如图所示的是( )
A. B. C.
D.
三、函数图像变换
1、将函数的图象向右平移个单位长度后再作关于轴对称的曲线，得到函数的图象，则的解析式为( )
A. B. C. D.
2、已知函数图象上每个点的纵坐标保持不变，将横坐标伸长到原来的倍，然后再将整个图象沿轴向左平移个单位，得到的图象与的
图象相同，则的函数表达式为( )
A. B.
C. D.
3、为了得到函数的图象，可以将函数的图象( )
A.向右平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向左平移个单位长度
4、已知函数，且函数图象的相邻两对称轴间的距离为．(1)求的值；
(2)将函数的图象向右平移个单位长度后，再将得到的函数图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求
的单调递减区间．
四、化简解析式
1、已知的定义域为．
(1)求的值域；
(2)在区间上，，求的值．
2、已知：．(1)求的最小正周期；(2)求的单调增区间；(3)当时，求的值域．
3、已知函数．
(1)求函数的最小正周期和值域；
(2)若函数的图象过点，，求的值．。