【方法指导】复数常用的几种处理方法(苏教版选修1-2)
苏教版选修1-2高中数学3.2.1《复数加、减法与乘法的运算法则》ppt课件
【训练 1】 设 z1＝x＋2i，z2＝3－yi (x，y∈R)， 且 z1＋z2＝5－6i，求 z1－z2. 解 z1＋z2＝(x＋2i)＋(3－yi) ＝(x＋3)＋(2－y)i 又 z1＋z2＝5－6i ∴x2＋－3y＝＝5－，6， 解得xy＝＝28，， ∴z1－z2＝(2＋2i)－(3－8i)＝－1＋10i
③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语，如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等等，这些 用语往往体现了老师的思路。来自：学习方法网
④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、语 文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
答案 －2
题型三 复数运算的综合应用 【例3】 (14分)已知f(z)＝2z＋－3i，f(＋i)＝6－3i，求
f(－z)． 本题综合考查了复数的加、减、乘的运算，
及实数函数f(x)的性质，同时有共轭复数与复数的代 数形式及复数的相等等知识应用．
【解题流程】 由fz表示出f z ＋i → 设z的代数形式
3．复数乘法的运算律
(1)z1z2＝ z2z1 ； (2)(z1z2)z3＝z1(z2z3)； (3)z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3. 试一试：z1、z2为复数，若z2－z1>0，则z2>z1成立吗？ 提 数 ＝6示．＋但i，不z1z与成1＝z立2－可，1以＋z2都－i. 是z1>虚0，数即，z此2－时z1z是2>z一1不个成大立于．0的如实z2
解复数方程的常见方法与技巧
解复数方程的常见方法与技巧复数方程是指含有复数变量的方程。
解复数方程是求出满足方程的所有复数解的过程。
在数学中，解复数方程的常见方法和技巧有以下几种。
一、图像法图像法是解复数方程的一种直观方法。
我们可以将复数方程转化为在复平面上的几何问题。
利用复数的模和幅角的性质，我们可以通过观察复平面上的图像来找到解。
例如，对于方程z^2=1，我们可以将其转化为在复平面上求两个点的问题，即找到模为1，幅角为0或π的点作为解。
通过画出复平面上的点和线，我们可以直观地找到方程的解。
二、代数方法代数方法是解复数方程的一种常用方法。
我们可以通过代数运算和方程变形来求解方程。
例如，对于方程z^2+2z+2=0，我们可以利用配方法将其转化为完全平方的形式。
然后，通过求解完全平方后的方程来找到解。
代数方法通常适用于形式更为复杂的复数方程。
三、方程组法方程组法是解复数方程组的一种有效方法。
当复数方程中存在多个未知量时，我们可以将其转化为一个方程组，然后通过求解方程组来找到解。
例如，对于方程组z^2+w=5和2z+w=3，我们可以联立这两个方程，消去变量w，然后求解剩余的未知量z。
通过方程组法，我们可以将复数方程中的多个未知量转化为一个或几个方程，从而求解复数方程。
四、三角形式法三角形式法是解复数方程的一种常用技巧。
利用复数的三角形式，我们可以将复数方程转化为三角方程，然后求解得到解。
例如，对于方程z^2=2，我们可以将复数z表示为模和幅角的形式，然后将方程转化为一个三角方程。
通过求解三角方程，我们可以找到复数方程的解。
总结起来，解复数方程的常见方法和技巧包括图像法、代数方法、方程组法和三角形式法。
不同的方法适用于不同类型的复数方程。
在实际应用中，我们可以根据具体问题选择合适的方法来解决复数方程。
通过灵活运用这些方法和技巧，我们可以高效地求解复数方程，进而提升数学解题的能力和水平。
这些是解复数方程的常见方法与技巧，希望对你有所帮助。
苏教版高中数学选修1-2《复数的四则运算(第1课时)》参考学案
3.2 复数的四则运算(1)【要点梳理】1. 设di c z bi a z +=++=21,是任意两个复数(1)复数的加法法则： (2)复数的减法法则:： (3) 两个复数相加(减)就是2. 复数bi a z +=（R b a ∈,）的共轭复数记作 z ,=z3. 复数z 是实数的充要条件为 =z =±21z z4．复数的代数形式的乘法运算法则5．乘法运算律：对任何C z z z ∈321,,，*∈N n m ,有=21z z =321)(z z z =+)(321z z z =n m z z =n m z )( =n z z )(216．几个特殊结论：（1）=+14n i =+24n i =+34n i =n i 4(2)如果i 2321+-=ω,则ω= =2ω =3ω =++21ωω =ωω =2ω(3)=+2)1(i =-2)1(i【典型例题】例1． 计算：50325032i i i i ++++例2．已知复数i m m m z )(1221+++=与i m z )31(22-+= )(R m ∈是共轭复数，求实数m 的值．例3．已知,36)(,32)(i i z f i z z z f -=+-+=求)(z f -的值．例4．求i 3016+-的平方根．★ 基础训练★1．已知：,21iz -=则150100++z z 的值是 （ ）A ．1B ．1-C ．iD ．i -2．=---+-6)2321)(2321)(2321(i i i （ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．以上全不对3． 已知复数i t z i z +=+=21,43，且21z z ⋅是实数，则实数t 等于（ ）A ．43B ．34C ．34-D ．43- 4．当复数+-=+=2,3121z i z i 时，=+21z z +i 8，+-=-312z z i ． 5．,1)(,5,3221z z f i z i z -=-=+=则=-)(21z z f ．6．已知集合}{C z z z w w P ∈+==,，{}C z z z w w Q ∈-==,，则=⋂Q P 7．(12)(23)(34)(20062007)i i i i ---+----= 8．32121232++--+++n n n n i i i i = ．9．已知复数,230i z +=复数z 满足,300z z z z +=⋅则复数=z ．10．复数),0(,,1321R b a ai b z bi a z z ∈>+=+==，且321,,z z z 成等比数列，则=2z11．164-x 分解成一次式的乘积为 ．12．已知,,R y x ∈复数xi y x 5)23(++与复数18)2(+-i y 相等，求y x ,．13．设,R m ∈复数,)3(2,)15(2221i m m z i m m m m z -+-=-+++=若21z z +是虚数， 求m 的取值范围．。
苏教版高中数学选修1-2《复数的四则运算(第1课时)》参考教案1
2.复数的减法运算法则：
3.复数的乘法运算法则：
探究三、共轭复数：
探究四、知识应用：.
例1、（1）计算
（2）计算
例2.(1)计算
（2）计算
（3）计算
变式练习：
1.已知复数 ，且 是实数，则实数 等于
2.当复数 时， + ， ．
3.若 ，则当 时，
思考释疑：
（1）在复数范围内解方程
教学
重点
1.复数的加法运算法则
2.复数的减法运算法则
3.复数的乘法运算法则
教学
难点
1.复数的加、减法运算法则
2.复数的乘法运算法则
学法
指导
在学习中，要把概念和运算融为一体，切实掌握好。复数的加、减法运算法则类似于多项式中的合并同类项。复数的乘法与多项式的乘法完全类似，只是在运算过程中要把 换成 ，然后把实部与虚部分别合并。
教学过程
师生互动
反思
模块一预习导学
复习回顾：
1.已知复数 ，其中纯虚数的是
2.复数 的实部是，虚部是
3.若复数 是虚数，则实数 的取值范围是
4.若复数 ，则实数a=
5．若 ，则实数x=，y=
模块二合作探究
探究一、复习回顾：实数运算法则
1、交换律： 或
2、结合律： 或
3、分配律:
探究二、复数的加、减、乘法运算法则：
（2）设 ，在复数集C内，你 ，求Z的值
模块三达标提升
1.(A级) 的值为
2.(A级)i表示虚数单位，则 =
3.(A级)计算： =
4.(B级)已知复数Z满足 ，求Z
导学：可采用待定系数法
5.(B级)若 则
高中数学 第三章 复数问题的五种求解方法素材4 苏教版选修12
复数问题的五种求解方法复数是初等数学与高等数学的一个重要衔接点，是高考考查的重点内容．为帮助同学们掌握这部分内容，本文介绍几种简求复数题的常用方法，供参考．一、特殊值法对于含有参数范围的客观题，可选定参数范围内一特殊值代入，进行估算，排除干扰支，确定应选支．例1 当213m <<时，复数(32)(1)z m m i =-+-在复平面上对应的点位于（ ） （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 解析：由于213m <<，取34m =，则1144z i =-，对应的点在第四象限，故选（D ）．二、运用特殊等式牢记一些常用的特殊等式，如2(1)2i i ±=±，313122i ⎛⎫-±= ⎪ ⎪⎝⎭等，有助于复数运算题的快速解决． 例2 计算97613(1)22i i ⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭g ．解析： 原式96231313[(1)]2222i i i ⎛⎫⎛⎫=--+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭g g33231313(2)2222i i i ⨯⎛⎫⎛⎫=--+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭g g13843422i i i ⎛⎫=-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭g ．三、运用共轭复数的性质 共轭复数的性质很多，如z 为实数z z ⇔=，z 为纯虚数z z ⇒=-，2z z z =g 等，若能灵活运用，可简化解题．例3 设复数z 满足2z =，求24z z -+的最大值和最小值．解析：由2z =，得24z z z ==g ，则224(1)21z z z z z z z z z z z -+=-+=-+=-+g ，若设(2222)z a bi a b =+--≤≤，≤≤，则2421221z z a bi a bi a -+=+-+-=-． 所以当12a =时，2min 40z z -+=；当2a =-时，2max 410z z -+=．四、运用模的性质如果一个复数等式中，一边能够表示成实部和虚部，采用两边取模后，可将虚数问题转化为实数问题．例4 设复数z 满足关系式2z z i +=+，那么z 等于（ ）（A ）34i -+ （B ）34i - （C ）34i -- （D ）34i + 解析：原关系式可化为2z z i =-+，又|z|=||且为实数，两边取模得2(2)1z z =-+，解得54z =，则53244z i i =-+=+，故选（D ）． 五、运用方程一般设未知复数为()z x yi x y =+∈R ，，经运算后再根据复数相等的定义，即用实部与实部相等、虚部与虚部相等求解．例5 若复数z 同时满足2z z i -=，z iz =，则z =_______．解析：设()z x yi x y =+∈R ，，把z iz =代入2z z i -=得(1)2i z i -=，从而()()2x y x y i i ++-+=，根据复数相等条件，得0121x y x x y y +==-⎧⎧⇒⎨⎨-+==⎩⎩，，，，∴1z i =-+．。
3.复数的四则运算-苏教版选修1-2教案
3. 复数的四则运算-苏教版选修1-2教案引言复数是一个常见的数学对象，它在物理学、工程学等领域都有广泛的应用。
本教案主要讲解复数的四则运算，包括加、减、乘、除。
在苏教版选修1-2中，涉及到复数的知识点比较多，但是只要理解了基本的四则运算，就可以举一反三，轻松应对相关的题目。
复数的定义复数是一种可以写成实数和虚数相加的数，它的基本形式为 a+bi，其中 a 和 b 都是实数，i 是一个虚数单位，满足 i²=-1。
复数的四则运算复数加法对于两个复数 a+bi 和 c+di，它们的和为 (a+c)+(b+d)i。
换句话说，就是实部相加，虚部相加。
复数减法对于两个复数 a+bi 和 c+di，它们的差为 (a-c)+(b-d)i。
换句话说，就是实部相减，虚部相减。
复数乘法对于两个复数 a+bi 和 c+di，它们的乘积为 (ac-bd)+(ad+bc)i。
复数乘法的运算规则可以用 FOIL 规则来表示：F(OIL)=(a+bi)(c+di)=(ac)+(bc)i+(ad)i+(bd)i²=(ac-bd)+(ad+bc)i。
复数除法对于两个复数 a+bi 和 c+di，它们的商为 (ac+bd)/(c²+d²)+((bc-ad)/(c²+d²))i。
复数除法有点复杂，它需要用到分数的乘法和有理化技巧。
具体地，我们将要除数和被除数同时乘以共轭数，即 (c-di)。
这样，被除数的分母就变成了实数，于是我们就可以进行分数的除法，最终得到商的形式。
总结本教案主要介绍了复数的四则运算，包括加、减、乘、除。
复数的定义比较简单，就是实数和虚数相加的形式，需要特别注意虚数单位 i 的运算规则。
复数的运算比较复杂，需要灵活运用分数的乘法和有理化技巧，掌握相关的运算规律后，就可以提高解题效率，并应用到其他相关的知识点中。
苏教版数学高二-数学苏教版选修1-2素材 课堂导学 3.2 复数的四则运算
课堂导学三点剖析各个击破一、复数代数形式的加减运算 【例1】 计算：(1-2i)-(2-3i)+(3-4i)-(4-5i)+…+(1 999-2 000i)-(2 000-2 001i). 解法一：原式=(1-2+3-4+…+1 999-2 000)+(-2+3-4+5-…-2 000+2 001)i=-1 000+1 000i. 解法二：(1-2i)-(2-3i)=-1+i,(3-4i)-(4-5i)=-1+i,……(1 999-2 000i)-(2 000-2 001i)=-1+i.将上述式子累加得原式=1 000(-1+i)=-1 000+1 000i.温馨提示复数的加减法，类似于多项式加减法中的合并同类项的过程.具体解题时，可适当地进行组合，简化运算.类题演练1设z 1=x+2i,z 2=3-yi(x 、y ∈R )，且z 1+z 2=5-6i,求x+yi.解:z 1+z 2=x +2i+3-y i=(x +3)+(2-y )i.∵z 1+z 2=5-6i,∴⎩⎨⎧-=-=+.62,53y x 解得⎩⎨⎧==.8,2y x ∴x +y i=2+8i.变式提升 1已知平行四边形中，三个顶点对应的复数分别是2+i,4+3i ，3+5i,求第四个顶点对应的复数.解:如右图，设点Z 1、Z 2、Z 3分别对应复数2+i,4+3i,3+5i.(1)若Z 1Z 3为对角线，则3241Z Z Z Z =,即z 4-z 1=z 3-z 2,∴z 4=z 3-z 2+z 1=(3+5i)-(4+3i)+(2+i)=1+3i.(2)若Z 1Z 2为对角线，则2341Z Z Z Z =，即z 4-z 1=z 2-z 3,∴z 4=z 2-z 3+z 1=(4+3i)-(3+5i)+(2+i)=3-i.(3)若Z 2Z 3为对角线，则3142Z Z Z Z =，即z 4-z 2=z 3-z 1,∴z 4=z 3-z 1+z 2=(3+5i)-(2+i)+(4+3i)=5+7i.二、复数代数形式的乘除运算【例2】已知x 、y ∈R ,且i315i 21y i 1x +=+++，求x 、y 的值. 解：i 315i 21y i 1x +=+++可写成103i)-(1552i)-y(12i)-x(1=+, 5x(1-i)+2y(1-2i)=5-15i,(5x+2y)-(5x+4y)i=5-15i.∴⎩⎨⎧=+=+,15y 4x 5,5y 2x 5 ⎩⎨⎧=-=.5y ,1x 温馨提示 在进行复数除法运算时，通常把(a+bi)÷(c+di)写成di c bi a ++的形式，再把分子与分母都乘复数（c-di ），并进行化简整理.类题演练2已知 z =i 1i a --(a>0)，且复数ω=z (z +i)的虚部减去它的实部所得的差等于23，求复数ω. 解：ω=i a a a ai a i i a a i a i i a i i i a i i a 2212)1)(1(2))(1(111)1(12+++=++=--+=-+⋅--=+----， ∴232122=+-+a a a , 即a 2-1=3.∵a>0,∴a=2,ω=23+3i. 变式提升 2计算:i 21i 2i)(1i)3(-162++--++. 解:5)21)(2(])1[()31(212)1()31(32363i i i i i i i i -+--++-=++--++- =5242)2()31(33+++--+-i i i i =ii i i i i 888)3()3)(1(33)1(3)1(3223-=--+-⋅+-⋅+--i=i-i=0.三、共轭复数问题【例3】 已知复数z 满足z ·z --i （z 3）=1-（i 3），求z .思路分析：(1)将方程两边化成a+bi 的形式，根据复数相等的充要条件来解.(2)根据模的性质即|z |2=z z 和两个纯虚数的积为实数来解.解:方法一：设z =x+yi(x,y ∈R )，则x 2+y 2-i ［yi)(x 3+］=1-(i 3), 即x 2+y 2-3y-3xi=1+3i, 由复数相等得⎩⎨⎧=-=-+.3x 3,1y 3y x 22解得⎩⎨⎧=-=,0y ,1x 或⎩⎨⎧=-=.3y ,1x∴z =-1或z =-1+3i.方法二：∵z z -i(z 3)=1-(i 3),∴z z -1=3i+3i z ,即|z |2-1=3i(z +1)∈R , ∴z +1是纯虚数或0， 可令z =-1+ai(a ∈R ),∴|-1-ai|2-1=3i(ai),即a 2=-3a ⇒a=0或a=-3, ∴z =-1或z =-1-3i,故z =-1或z =-1+3i.类题演练3设a 、b 为共轭复数，且(a+b)2-3abi=4-6i,求a 和b.解:设a=x +y i ，则b=x -y i ，（x ,y ∈R ）,由条件得：(x +y i+x -y i)2-3(x +y i)(x -y i)i=4-6i,即4x 2-3(x 2+y 2)i=4-6i,由复数相等的充要条件，得：⎪⎩⎪⎨⎧=+=.6)(3,44222y x x 解得：⎩⎨⎧±=±=.1,1y x∴⎩⎨⎧+=-=⎩⎨⎧-=+=.1,11,1i b i a i b i a 或 变式提升 3计算(-i 2321+)n +(-i 2321-)n (n ∈N ). 解:设ω=-i 2321+，分以下三种情况： ①当n=3k 时，原式=ω3k +k 3ω=1+1=2；②当n=3k+1时，原式=ω3k+1+13+k ω=ω+ω=-1； ③当n=3k+2时，原式=ω3k+2+23+k ω=ω2+2ω=-1. 综上，原式=⎩⎨⎧≠-=kn k n 3,13,2(k ∈Z).。
高中数学 第三章《复数复习课》教学案 苏教版选修1-2
复数的复习课知识要点：1.基础知识总结（1）的概念：形如),(R b a bi a ∈+的数叫做复数，a ，b 分别叫做它的实部和虚数。
（2）复数的分类：复数),(R b a bi a ∈+，当0=b 时，就是实数；当0≠b 时，叫做虚数；当0,0≠=b a 时叫做纯虚数。
（3）的相等：如果两个复数的实部与虚部分别相等，就说这两个复数相等。
（4）共轭复数：当两个复数实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数互为共轭复数。
（5）复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴去除原点的部分叫做虚轴。
（6）两个实数可以比较大小，但两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小。
（7）相等的充要条件：d b c a di c bi a ==⇔+=+且（8）复数是实数的充要条件：①0=⇔∈+=b R bi a z ；②z z R z =⇔∈；③02≥⇔∈z R z（9）是纯虚数的充要条件：①bi a z +=是纯虚数),(00R b a b a ∈≠=⇔且；②z 是纯虚数)0(0≠=+⇔z z z ； ③z 是纯虚数02<⇔z2.基本方法总结：（1）本章主要的方法是复数问题实数化处理，主要是根据复数相等建立方程，通过解方程或方程组，达到目的。
（2）任何一个复数bi a z +=与复平面内一点),(b a Z 对应，而任一点),(b a Z 又可以与以原点为起点，点),(b a Z 为终点的向量OZ 对应，这些对应都是一一对应，由此得到复数的几何意义，特别注意||z ，||a z -的几何意义——距离。
（3）复数加减乘除运算的实质是实数的加减乘除，注意12-=i 。
（4）加减法几何意义的实质就是平行四边形法则和三角形法则。
典型例题：【例1】在复平面上，正方形ABCD 的两个顶点A ，B 对应的复数分别为i 21+，i 53-，求另外两个顶点D C ,对应的。
【例2】.已知ω,z 为，z i )31(+为实数，i z+=2ω，且25||=ω，求ω。
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复数常用的几种处理方法数的扩充，带来了复数的引入，从而解决了我们所遇到的一些新问题．下面举例来谈谈复数问题的处理策略．一、数形结合例1、若121==z z 且221=+z z ，求21z z -．分析：由已知条件不难联想到本题所隐含的“形”是12z z +和21z z -是以1OZ u u u u r 和2OZ u u u u r为两邻边的平行四边形的两条对角线的长．解：如图1所示，由121==z z ，221=+z z 知四边形为正方形．故另一条对角线长221=-z z ．点拨：这样巧妙地以形译数，数形结合不需要计算就解决了问题，充分显示了数形结合的思想方法在解题中的作用．例2、若复数53=-i z ，求2+z 的最大值和最小值． 分析：利用复数的几何意义求最值．解：如图2，满足53=-i z 的复数z 所对应的点是以()3,0C 为圆心，5为半径的圆．2+z 表示复数z 所对应的点Z 和点()0,2-A 的距离，由题设z 所对应的点在圆周上，而此圆周上的点到点A 距离的最大值与最小值是过A 的圆的直径被A 点所分成的两部分． ∴()()13300222=-+--=AC ，∴1352,1352min max -=++=+z z ．点拨：利用复数的几何意义解题，形象直观，提高数形结合的解题能力． 二、待定系数法例3、已知,x y 为共轭复数，且2()346x y xyi i +-=-，求,x y . 分析：解决此类问题的基本方法是设复数的代数形式，化虚为实.图1 图2解：设(x a bi a =+、)b R ∈，则y a bi =-，代入原式，得222(2)3()46a a b i i -+=-，根据复数相等得22244,3()6,a ab ⎧=⎪⎨-+=-⎪⎩解得1,1;a b =⎧⎨=⎩ 或1,1;a b =⎧⎨=-⎩ 或1,1;a b =-⎧⎨=⎩或1,1;a b =-⎧⎨=-⎩∴所求复数为1,1;x i y i =+⎧⎨=-⎩或1,1;x i y i =-⎧⎨=+⎩或1,1;x i y i =-+⎧⎨=--⎩ 或1,1.x i y i =--⎧⎨=-+⎩点拨：利用复数相等实现了复数问题向实数问题的转化，体现了转化思想. 例4、已知|2|2z -=，且4z R z+∈，求z . 解：设(z a bi a =+、)b R ∈，则|(2)|2a bi -+=.①依题意，得22222244()44()()()()a bi a ba bi a bi ab i a bi a b a b a b-++=++=++-++++. 4z R z +∈Q ,∴224(1)0b a b-=+.②由①、②，得0,2;b =⎧=或224, 2.a b ⎧+=⎪= 解得0,0a b =⎧⎨=⎩（舍）；4,0;a b =⎧⎨=⎩或1,a b =⎧⎪⎨=⎪⎩或1,a b =⎧⎪⎨=⎪⎩1234,11z z z ∴===.三、取模法例5、已知||2z z i +=+，求||z .解：由题设知2||z z i =-+,两边同时取模，得||z =平方，得22||44||||1z z z =-++.||||z z =Q ,4||5z ∴=,5||4z =,5||4z ∴=. 点拨：显然，上述两边取模的方法从整体的角度来处理，比利用复数相等的充要条件来处理要简捷得多.例6、已知z 、ω为复数，(13)i z +为纯虚数，2ziω=+，且||ω=ω. 分析：设(z a bi a =+、)b R ∈，利用复数为纯虚数的充要条件求得z ，再代入求ω. 解法1：设(z a bi a =+、)b R ∈，则(13)3(3)i z a b a b i +=-++.由题意，得30a b =≠.||2ziω==+Q||z ∴==将3a b =代入，解得15a =±,5b =±.故15(7)2ii iω+=±=±-+. 解法2：由题意，设(13),0i z ki k +=≠，且k R ∈，则(2)(13)kii i ω=++.||ω=Q 50k ∴=±.故(7)i ω=±-.四、方程思想例7、在复数范围内解方程23||()2iz z z i i-++=+（i 为虚数单位）. 解：原方程化简为2||()1z z z i i ++=-.设(z x yi x =+、)y R ∈，代入上述方程得 2221x y xi i ++=-,221,2 1.x y x ⎧+=∴⎨=-⎩解得1,22x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=±⎪⎩ ∴原方程的解是122z =-±. 点拨：本题主要考查复数方程等知识，一般是设出代数形式，利用复数相等的充要条件转化为代数方程.例8、已知2{(3)(1),8}M a b i =++-，集合2{3,(1)(2)}N i a b i =-++同时满足M N M ⋂Ø，M N ⋂≠∅，求整数,a b .解：依题意得：2(3)(1)3a b i i ++-=，① 或28(1)(2)a b i =-++，②由①得，3,2a b =-=±，经检验，3,2a b =-=-不合题意，舍去. 3,2a b ∴=-=.由②得，3,2a b =±=-，又3,2a b =-=-. 3,2a b ∴==-.综合①、②得3,2a b =-=或3,2a b ==-..点拨：此题中复数之间的等量关系并未直接给出，而是通过集合之间的关系间接给出，因此复习时应注意知识之间的相互联系，解题时应注意思维的广阔性和严谨性的训练.五、转化思想例9、当实数m 为何值时，226(56)3m m z m m i m --=++++. （1）为实数；（2）为虚数；（3）为纯虚数；（4）复数z 对应的点在复平面的第二象限内.分析：根据复数的有关概念的定义，把此复数的实部与虚部分离开，转化为实部与虚部分别满足定义的条件这一实数问题去求解.解：（1）若z 为实数，则2560,30,m m m ⎧++=⎨+≠⎩得2m =-.（2）若z 为虚数，则2560m m ++≠，且30m +≠，得2m ≠-，且3m ≠-且m R ∈.（3）若z 为纯虚数，则2260,3560m m m m m ⎧--=⎪+⎨⎪++≠⎩得3m =.（4）若复数z对应的点在第二象限，则2260,3560m m m m m ⎧--<⎪+⎨⎪++>⎩3,23,3, 2.m m m m <--<<⎧⇒⎨<->-⎩或或 3,23m m ∴<--<<或.点拨：本题考查复数集中各数集的分类及复数的几何意义，本题中给出的复数采用的是标准的代数形式，若不然，则应先化为代数形式再依据概念求解.例10、计算：（1；（2）81()22i +-. 分析：（1）将45i +化为(54)i i -，使分子、分母可以约分，简化了运算.（2）找到括号内两个复数之间的内在联系：1()22i i +=-是简化运算的关键. 解：（1）原式=34222)(54)))])(54)(1)(1)(1)2i i i i i i ii i i i i i +-++====----+；（2）设ω=，则31ω=i ω=.∴原式=888()(1)i i ωωω+=+=6242(2)16i ωωω⋅==2116()822i --=-+. 点拨：（1）复数a bi +与b ai -及b ai -+有如下关系：b ai -=()()a bi i +⋅-，b ai -+=()a bi i +⋅本例的两个小题都运用了上述关系，达到了简化运算的目的.（2）分子分母同乘以1i +，使分母实数化，也是常用的化简技巧. 六、分类讨论例11、已知286z i =+，求310016z z z--. 分析：如果由题设求86i +的平方根z ，再代入计算，则会很复杂，所以可以先对所求式子进行变换，需要什么，再由已知条件求什么.解：原式=42222216100(8)164(6)164200200200||z z z i z zz z z z z zz-----===-=-=-， 22|||||86|10z z i ==+=Q ，又由2286[(3)]z i i =+=±+，得(3)z i =±+，3z i ∴=-或3z i =-+当3z i =-时，原式=200(3)602010i i ⨯--=-+.当3z i =-+时，原式==200(3)602010i i ⨯-+-=-.综上，原式=6020i -+或6020i -.点拨：（1）求一个数的平方根有两个基本方法：①设出代数形式，然后根据复数相等的充要条件求解；②配方，如上例中的解法.（2）对于条件求值问题，何时使用条件，应根据问题而定，一般情况下，应先化简再求值.例12、已知复数z 满足|4||4|z z i -=-且141zz R z -+∈-，求z 的值. 分析：确定一个复数需且仅需两个实数a 、b ，而题目恰给出了两个独立条件，采用待定系数法可求出a 、b 确定z .判断一个复数是否为实数除用定义外，还可用z R z z ∈⇔=，可使运算简化. 解：设(z x yi x =+、y R ∈），141zz R z -+∈-Q ，141411z z z z z z --∴+=+--，即13()[1]0(1)(1)z z z z --=--，解得z z =或2|1|13z -=将z x yi =+代入|4||4|z z i -=-，可得x y =，z x xi ∴=+当z z =时，即z R ∈，则有0x =；当2|1|13z -=时，即有260x x --=，则有3x =或2x =-.综上所述，0z =或33z i =+或22z i =--.点拨：注意熟练运用共轭复数的性质，其性质有： ||||z z =，2z z a +=，2z z bi -=，22||||z z z z ⋅==，12z z ±12z z =±，12z z ⋅12z z =⋅， 11222(0)z zz z z ⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭.。