初中七年级数学中的角度计算题(1)
2022七年级数学上册第四章几何图形初步专题训练(十三)数学思想方法在角度计算中的应用作业课件新版新
【变式】如图，OB，OC是∠AOD内部的两条射线，OM平分∠AOB，ON平分 ∠COD，∠MON＝80°.若∠BOC＝40°，求∠AOD的度数.
解：因为∠MON－∠BOC＝∠BOM＋∠CON，∠BOC＝40°，∠MON＝80°， 所以∠BOM＋∠CON＝80°－40°＝40°，因为 OM 平分∠AOB，ON 平分∠COD， 所以∠AOM＝∠BOM，∠DON＝∠CON，所以∠AOM＋∠DON＝40°，所以∠AOD ＝∠MON＋∠AOM＋∠DON＝80°＋40°＝120°
专题训练(十三) 数学思想方法在角度计算中的应用
类型一 单角平分线直接计算(转化思想) 1．如图，∠AOB＝28°14′，∠BOC＝4∠AOB，OM平分∠AOC，求∠BOM的 度数．
解：因为∠AOB＝28°14′，∠BOC＝4∠AOB，所以∠AOC＝5∠AOB＝141° 10′，因为 OM 平分∠AOC，所以∠AOM＝1 ∠AOC＝70°35′，所以∠BOM＝
2 ∠AOM－∠AOB＝42°21′
2．如图，∠AOB＝∠COD＝90°，OC平分∠AOB，∠BOD＝3∠DOE.试求 ∠COE的度数．
解：因为∠AOB＝90°，OC 平分∠AOB，所以∠COB＝12 ∠AOB＝45°，因 为∠COD＝90°，所以∠BOD＝45°，因为∠BOD＝3∠DOE，所以∠DOE＝15°， 所以∠BOE＝30°，所以∠COE＝∠COB＋∠BOE＝45°＋30°＝75°
解：(1)因为∠COD 是直角，∠AOC＝30°，所以∠BOD＝180°－90°－30°
＝60°，所以∠BOC＝90°＋60°＝150°，因为 OE 平分∠BOC，
所以∠BOE
＝1 2
∠BOC＝75°，所以∠DOE＝∠BOE－∠BOD＝75°－60°＝
初中数学冀教版七年级上册第二章 几何图形的初步认识2.5 角以及角的度量-章节测试习题(3)
章节测试题1.【题文】上午9点半时，时针与分针的夹角是多少度？【答案】105°【分析】时针与分针的夹角为3个大格，且加上时针多走的30分钟的角度即可求得结论.【解答】解：.方法总结：本题考查了钟面角：钟面被分成12大格，每大格为30°；分针每分钟转6°，时针每分钟转0.5°．2.【题文】下列图形中有哪些角？请用适当的方法把图中的角表示出来．【答案】∠1，∠2，∠3，∠α，∠BAD．【分析】先找到图中角的顶点，再找到角的两边，从而找到角，以各顶点为切入点，把角表示出来即可．【解答】图中所有的角为∠1，∠2，∠3，∠α，∠BAD.方法总结：此题考查了角的定义，也考查了角的表示，除用三个大写字母表示外，也可用数字或希腊字母来表示，但需在靠近顶点处加上弧线．3.【题文】（1）用10倍放大镜看30°的角，你观察到的角是_______．（2）用10倍放大镜看50°的角，60°的角，你观察到的角是______，______．由（1），（2），你能得到什么结论？请把你的结论让同学们进行验证，看是否正确．【答案】（1）30°（2）50° 60°角度不变．【分析】（1）根据角的大小与两边张开的程度有关，而与角的两边的长短无关，即可得出答案．（2）根据角的大小与两边张开的程度有关，而与角的两边的长短无关，即可得出答案．（3）根据角的大小与两边张开的程度有关，而与角的两边的长短无关，即可得出答案．【解答】解：（1）用10倍放大镜看30°的角，你观察到的角是 30°，故答案为：30°．（2）用10倍放大镜看50°的角，60°的角，你观察到的角是50°，60°，故答案为：50°，60°．（3）由（1），（2），得到的结论是在放大镜下角度不变，放大镜只有把图形放大，但不能把角度放大.4.【题文】某人晚上六点多钟离家外出，时针与分针的夹角是110°，回家时发现时间还未到七点，且时针与分针的夹角为110°，请你推算此人外出了多长时间？【答案】此人外出40分钟【分析】根据时针每分钟走0.5°，分针每分钟走6°，设6点x分外出，时针从6点整开始走过的角度为0.5x度，分针走过的角度为6x度，进而得出180+0.5x-6x=110，求出x；设6点y分返回，因为返回时发现时针和分针的夹角又是110°，所以有 6y-（180+0.5y）=110，求出y，y-x即为外出了多长时间.【解答】解：设6点x分外出，因为手表上的时针和分针的夹角是110°，所以180+0.5x-6x=110，解得x=，所以此人6点分外出；再设6点y分返回，因为返回时发现时针和分针的夹角又是110°，所以6y-（180+0.5y）=110，解得y=，所以此人6点分返回，-==40（分钟），答：即此人外出共用了40分钟．5.【题文】如图，一辆汽车在马路上行驶，∠AOB=40°，∠CO′D=140°，若这辆汽车向右拐，则需拐多大角度的弯？若这辆汽车向左拐，则需拐多少角度的弯？【答案】向右拐需要140°弯，向左拐需要40°弯【分析】以汽车正在行驶即图中箭头方向为正前方，则汽车向右拐时，拐过的角为∠AFE，汽车向左拐时，拐过的角为∠CFE.【解答】解：如图，汽车向右拐时，拐过的角为∠AFE=140°，即向右拐需要140°弯；汽车向左拐时，拐过的角为∠CFE=40°，即向左拐需要40°弯.6.【题文】计算下列各题：（1）77°42′+34°45′（2）108°54′－79°32′（3）175°16′39″－47°30′÷6+4°12′50″×3（4）33°15′16″×5－（90°3′－57°11′44″）【答案】（1）112°27′（2）29°22′（3）180°9′（4）133°25′4″【分析】当进行减法计算时，按先秒再分最后度的运算顺序，当不够时向前一位借1；当进行加法和乘法时，度、分、秒分别计算即可；当进行除法时，按先度再分最后秒，每级有余数时，余数移到下一级. 运算最后都要化简，使分和秒小于60.【解答】解：（1）77°42′+34°45′=111°87′=112°27′；（2）108°54′－79°32′=29°22′；（3）175°16′39″－47°30′÷6+4°12′50″×3=175°16′39″－7°55′+12°38′30″=187°55′9″－7°55′=180°9″；（4）33°15′16″×5－（90°3′－57°11′44″）=165°75′80″-32°51′16″=133°24′64″=133°25′4″.7.【题文】如图，以B为顶点的角有几个？把它们表示出来．以D为顶点且小于平角的角有几个？把它们表示出来．【答案】图中以B为顶点的角有∠ABD，∠ABC，∠DBC共3个；以D为顶点且小于平角的角有∠ADE，∠ADB，∠BDC，∠EDC共4个．【分析】考查角的定义，有公共端点的两条射线组成的图形，则以点B为顶点的角有3个，分别为∠ABD，∠ABC，∠DBC；以D为顶点且小于平角的角有∠ADE，∠ADB，∠BDC，∠EDC共4个.【解答】图中以B为顶点的角有∠ABD，∠ABC，∠DBC，共3个；以D为顶点且小于平角的角有∠ADE，∠ADB，∠BDC，∠EDC，共4个．8.【题文】平面测量时，通常以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向，这种表示方向的角，在测绘、航海中经常用到．如图，OA表示北偏东20°方向的一条射线．仿照这条射线画出表示下列方向的射线：(1)北偏西50°；(2)南偏东10°；(3)西南方向(即南偏西45°)．【答案】见解析【分析】根据方位角的定义和画法画出图形即可．【解答】解：如图所示．9.【题文】如图，OA是表示北偏东30°方向的一条射线，仿照这条射线画出表示下列方向的射线，(1) 南偏东25°；(2) 北偏西60°.【答案】见解析【分析】本题考查了方位角，根据方向角的表示方法画出图形即可．【解答】解：如图所示，OB表示南偏东25°，OC表示北偏西60°，10.【题文】如图，用字母A、B、C表示∠α、∠β.【答案】∠CAB或∠BAC表示∠α;∠CBA或∠ABC表示∠β.【分析】图中角的表示有多种，一个大写英文字母；三个大写英文字母；一个阿拉伯数字；一个希腊字母，择其适合者解答．【解答】解：∠CAB或∠BAC或∠A表示∠α；∠CBA或∠ABC表示∠β．11.【题文】小亮利用星期天搞社会调查活动，早晨8：00出发，中午12：30到家，问小亮出发时和到家时时针和分针的夹角各为多少度.【答案】出发时的时针和分针的夹角为120°，回到家时时针与分针的夹角为165°.【分析】钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12等份，每一份是30°．8点整时，时针指到8上，分针指到12上，8：00时针和分针夹角是4份．找出中午12：30时针和分针之间相差的大格数，用大格数乘30°即可．【解答】解：早晨8：00，时针和分针夹角是4份，每份30°，故4×30°=120°．∵时针在钟面上每分钟转0.5°，分针每分钟转6°，∴钟表上12时30分钟时，时针与分针的夹角可以看成时针转过12时0.5°×30=15°，分针在数字6上．∵钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°，∴12时30分钟时分针与时针的夹角6×30°-15°=165°．故出发时的时针和分针的夹角为120°，回到家时时针与分针的夹角为165°．方法总结：在钟表问题中，常利用时针与分针转动的度数关系：分针每转动1°时针转动（）°，并且利用起点时间时针和分针的位置关系建立角的图形．12.【题文】请将图中的角用不同方法表示出来，并填写下表：【答案】∠α∠ABC ∠ACB ∠ACF【分析】图中角的表示有多种，一个大写英文字母；三个大写英文字母；一个阿拉伯数字；一个希腊字母，择其适合者填表．【解答】解：由图可知，∠ABE=∠α，∠1=∠ABC，∠2=∠ACB，∠3=∠ACF．13.【题文】观察图形，回答下列问题．（1）写出以B点为顶点的角；（2）写出以ED为边的角．【答案】(1)∠ABD，∠ABC，∠DBC ；(2)∠AED，∠ADE，∠BED，∠CED，∠BDE，∠CDE【分析】（1）观察可得：以点B为顶点角共有3个；（2）观察可得：以DE为边的角共有6个；【解答】解：(1) 以点B为顶点角有：∠ABD，∠ABC，∠DBC(2) 以DE为边的角有：∠AED，∠ADE，∠BED，∠CED，∠BDE，∠CDE 14.【题文】在8点与9点之间，分针与时针重合的时刻是几点几分？【答案】8点分.【分析】这个问题可以看作是环形跑道问题，把一圈看作是60个单位长度，分针与时针相距20个单位长度，时针在前，分针在后，时针每分钟走个单位长，分针每分钟走一个单位长，两针同向而行，何时时针追上分针．【解答】解：时针每小时转动360÷12=30°，每分钟转动30÷60=0.5°，分针每分钟转动360÷60=6°；设经过x分钟分针与时针重合，则有：6x﹣0.5x=240，解得：x=分钟；即8点与9点之间，分针与时针重合的时刻是8点分．15.【题文】若时钟由2点30分走到2点55分，问时针、分针各转过多大的角度？【答案】分针，时针各转过150°、12.5°.【分析】（1）若时针由2点30分走到2点55分，共经过25分钟，时针一小时即60分钟转30°，一分钟转动0.5°，分针一小时转360°，一分钟转6°，据此作答．【解答】解：分针转过的角度：（360°÷60）×（55﹣30）=150°时针转过的角度：（360°÷60÷12）×（55﹣30）=12.5°，∴分针，时针各转过150°、12.5°．方法总结：时针一小时即60分钟转30°，一分钟转动0.5°，分针一小时转360°，一分钟转6°．记住这一结论，并结合钟表的图形解决这类问题就不会出错．16.【题文】如图所示，五条射线OA、OB、OC、OD、OE组成的图形中共有几个角?如果从O点引出n条射线，能有多少个角?你能找出规律吗?【答案】从一点引出n条射线，则共有个角．【分析】分别找出以OA为始边的角的个数，以OB为始边的角的个数，以OC为始边的角的个数，以OD为始边的角的个数，然后进行求和得出答案；根据前面找角的规律我们可以发现：引出n条射线，则角的个数为：1+2+3+4+…+(n-1)=个．【解答】解：引出5条射线时，以OA为始边的角有4个，以OB为始边的角有3个，以OC为始边的角有2个，以OD为始边的角有1个，故当有5条射线时共有角：4+3+2+1=10个；如果引出n条射线，有个角；17.【题文】将下列各角用度、分、秒表示出来．(1)32.41°；(2)75.5°；(3)（）°．【答案】（1）32°24′36″（2）75°30′（3）5′【分析】根据角的度、分、秒是60进制的，所以用度、分、秒表示时，先将度的小数部分乘以60转化为分，若分有小数，继续将分的小数部分乘以60转化为秒.【解答】解：（1）∵0.41×60=24.6，0.6×60=36，∴32.41°=32°24′36″；（2）∵0.5×60=30，∴75.5°=75°30′；（3）∵×60=5，∴（）°=5′.18.【题文】上午9点半时，时针与分针的夹角是多少度？【答案】105°【分析】时针与分针的夹角为3个大格，且加上时针多走的30分钟的角度即可求得结论.【解答】解：.19.【题文】下列图形中有哪些角？请用适当的方法把图中的角表示出来．【答案】∠1，∠2，∠3，∠α，∠BAD．【分析】先找到图中角的顶点，再找到角的两边，从而找到角，以各顶点为切入点，把角表示出来即可．【解答】解：图中所有的角为∠1，∠2，∠3，∠α，∠BAD.20.【题文】如图，甲、乙两船同时从小岛A出发，甲船沿北偏西20°的方向以40海里/时的速度航行；乙船沿南偏西80°的方向以30海里/时的速度航行．半小时后，两船分别到达B，C两处．(1)以1cm表示10海里，在图中画出B，C的位置；(2)求A处看B，C两处的张角∠BAC的度数；(3)测出B，C两处的图距，并换算成实际距离(精确到1海里)．【答案】（1）详见解析；（2）80°；（3）实际距离约23海里．【分析】（1）格局题意画出图形即可；（2）根据题目中所给的方位角的度数，结合图形即可求得∠BAC的度数；（3）量出BC的图距，即可求得实际距离.【解答】解：(1)．(2)∠BAC＝90°－80°＋90°－20°＝80°.(3)约2.3cm，即实际距离约23海里．。
新人教版初中数学七年级上学期《角》知识点讲解及例题解析
《角》知识讲解及例题解析【学习目标】1．掌握角的概念及角的表示方法，并能进行角度的互换；2. 借助三角尺画一些特殊角，掌握角大小的比较方法；3．会利用角平分线的意义进行有关表示或计算；4. 掌握角的和、差、倍、分关系，并会进行有关计算.【要点梳理】要点一、角的概念1．角的定义：（1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB．图1 图2（2）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边．要点诠释：（1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关．（2）平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角．2.角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种：要点诠释：用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母．3.角的画法（1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角．（2）用量角器可以画出任意给定度数的角．（3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角．要点二、角度制及其换算角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的160为1分，记作“1′”，1′的160为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制．1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″．要点诠释：在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于60时要向高一位进位．要点三、角的比较与运算1.角的比较角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种．方法1：度量比较法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小．方法2：叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较．如比较∠AOB和∠A′O′B′的大小：如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图(2)可得∠AOB ＝∠A′O′B′；由图(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′．2.角的和、差运算如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2．要点诠释：(1)用量角器量角和画角的一般步骤：①对中(角的顶点与量角器的中心对齐)；②重合(一边与刻度尺上的零度线重合)；③读数(读出另一边所在线的度数)．(2) 利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角．3.角平分线从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC =12∠AOB．要点诠释：由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样．要点四、方位角在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线OA的方向是北偏东60°；射线OB的方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角．要点诠释：（1）正东，正西，正南，正北4个方向不需要用角度来表示．（2）方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东60°”一般不说成“东偏北30°”．（3）在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，确定其观察点的正东、正西、正南、正北的方向．（4）图中的点O是观测点，所有方向线(射线)都必须以O为端点．要点五、钟表上有关夹角问题钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30°的角，分针1分钟转6°，时针每小时转30°，时针1分钟转0.5°，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题．【典型例题】类型一、角的概念1. 利用一副三角板上的角，能画出多少个小于180°的角，试一一画出来．【思路点拨】首先发现一副三角板上有30°，45°，60°，90°这样4个不相等的角，利用这些角进行一次和差，可得小于180°的所有角．【答案与解析】解：除了可以画30°，45°，60°，90°外，还可画15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的七个度数的角，画法如图所示．【总结升华】利用一副三角板共可以画出11个度数的角，分别是：30°，45°，60°，90°，15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°．举一反三：【变式】下列说法中，正确的是（）A．两条射线组成的图形叫做角B．有公共端点的两条线段组成的图形叫做角C．角可以看做是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形D．角可以看做是由一条线段绕着它的端点旋转而形成的图形【答案】C．类型二、角度制的换算2. 计算下列各题：(1)152°49′12″+20.18°； (2)82°-36°42′15″；(3)35°36′47″×9； (4)41°37′÷3．【答案与解析】解：(1)解法一：∵ 20.18°＝20°10′48″即：152°49′12″+20.18°＝173°．解法二：∵ 152°49′12″＝152.82°，∴ 152.82°+20.18°＝173°．即：152°49′12″+20.18°＝173°．(2)将82°化为81°59′60″，则∴ 82°-36°42′15″＝45°17′45″．423″＝7′3″， 324′+7′＝5°31′，∴ 35°36′47″×9＝320°31′3″．∴ 41°37′÷3=13°52′20″．【总结升华】在角度的和、差运算中应先统一单位，都化成度或分、秒表示，然后进行计算；在进行乘法运算时，往往先把度、分、秒分别乘以倍数，将结果满60″进1′，满60′进1°；对于除法运算则是从度开始除，将余数化为分和以前的分数相加再除，将余数再化成秒和以前的秒数相加再除，若除不尽往往四舍五入．举一反三：【变式】计算：(1)23°45′36″+66°14′24″；(2)180°-98°24′30″；(3)15°50′42″×3； (4)88°14′48″÷4．【答案】(1)23°45′36″+66°14′24″＝90°；(2)180°-98°24′30″＝81°35′30″；(3)15°50′42″×3＝47°32′6″；(4)88°14′48″÷4＝22°3′42″．类型三、角的比较与运算3. 如图所示表示两块三角板．(1)用叠合法比较∠1，∠α，∠2的大小；(2)量出图中各角的度数，并把图中的6个角从小到大排列，然后用“＜”或“＝”连接．【答案与解析】解：(1)如图所示，把两块三角板叠在一起，可得∠1＞∠α，用同样的方法，可得∠α＜∠2．所以∠2＝∠1＞∠α．(2)用量角器量出图中各个角的度数，分别是∠1＝∠2＝45°，∠3＝90°，∠α＝30°，∠β＝60°，∠γ＝90°，把它们从小到大排列，有∠α＜∠1＝∠2＜∠β＜∠3＝∠γ．【总结升华】比较角的大小有叠合法和度量法两种：①先将两个角的顶点与顶点重合，一条边与一条边重合再比较．②先量出每个角的度数，然后按它们的度数来比较．举一反三：【变式】如图，∠AOB的平分线OM,ON为∠MOA内的一条射线，OG为∠AOB外的一条射线.某同学经过认真分析，得到一个关系式是∠MON＝12（∠BON－∠AON），你认为这个同学得到的关系式正确吗？若正确，请把得到这个结论的过程写出来.【答案】解：正确，理由如下：∵∠AOB的平分线OM，∴∠AOM＝∠MOB又∵∠MON＝∠AOM－∠AON=∠MOB－∠AON=(∠BON－∠MON) －∠AON 即有∠MON＝∠BON－∠MON －∠AON∴ 2∠MON＝∠BON－∠AON∴∠MON＝12（∠BON－∠AON）4. 如图，∠AOB=90°，∠AOC=30°，且OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，（1）求∠MON的度数；（2）若∠AOB=α其他条件不变，求∠MON的度数；（3）若∠AOC=β（β为锐角）其他条件不变，求∠MON的度数；（4）从上面结果中看出有什么规律？【思路点拨】（1）要求∠MON，即求∠COM﹣∠CON，再根据角平分线的概念分别进行计算即可求得；（2）和（3）均根据（1）的计算方法进行推导即可．（4）根据（2）和（3）中的结论进行总结．【答案与解析】解：（1）∵∠AOB=90°，∠AOC=30°，∴∠BOC=120°∵OM平分∠BOC，ON平分∠AOC∴∠COM=60°，∠CON=15°∴∠MON=∠COM﹣∠CON=45°．（2）∵∠AOB=α，∠AOC=30°，∴∠BOC=α+30°∵OM平分∠BOC，ON平分∠AOC∴∠COM=+15°，∠CON=15°∴∠MON=∠COM﹣∠CON=．（3）∵∠AOB=90°，∠AOC=β，∴∠BOC=90°+β∵OM平分∠BOC，ON平分∠AOC∴∠COM=45°+，∠CON=．∴∠MON=∠COM ﹣∠CON=45°． （4）从上面的结果中，发现：∠MON 的大小只和∠AOB 得大小有关，与∠A0C 的大小无关．【总结升华】能够结合图形表示角之间的和差关系，根据角平分线的概念运用几何式子表示角之间的倍分关系．举一反三：【变式】如图，已知O 是直线AC 上一点，OD 平分∠AOB ，OE 在∠BOC 内，且∠BOE ＝12∠EOC ，∠DOE ＝70°，求∠EOC 的度数.【答案】解：设∠EOC=x °，则∠BOE ＝12∠EOC ＝12x °，根据题意可得：1180127022x xx --+= ，解得： 80x = .∠EOC ＝2∠BOE ＝80°. 类型四、方位角5.已知小岛A 位于基地O 的东南方向，货船B 位于基地O 的北偏东50°方向，那么∠AOB 的度数等于 ． 【答案】85°． 【解析】解：如图：∵∠2=50°，∴∠3=40°， ∵∠1=45°，∴∠AOB=∠1+∠3=45°+40°=85°， 故答案为：85°．【总结升华】本题主要考查了方位角的概念，根据方位角的概念，画图正确表示出A ，B 的方位，注意东南方向是45度是解答此题的关键． 类型五、钟表上有关夹角问题6. 在7时到7时10分之间的什么时刻，时针与分针成一条直线? 【答案与解析】解：设7时x 分钟，时针与分针成一条直线，由题意得：16302x x -=，5511x =． 答：7时5511分钟时针与分针成一条直线．【总结升华】时钟上的分针与时针绕着中心顺时针均匀转动，在不同时刻，两针之间形成一定的角度．如果把单位时间分针和时针转过的度数当作它们的速度则： ① 分针的速度为36060＝6°/分；②时针的速度为3060°分＝0.5°/分． 故分针速度是时针速度的12倍． 举一反三：【变式】某人下午6点多外出购物，表上的时针和分针的夹角恰为110°，下午7点前回家时，发现表上的时针和分针的夹角又是110°，试算出此人外出用了多长时间? 【答案】解：设此人外出用了x 分钟，则分针转了6x 度，时针转了0.5x 度．根据题意得：6x-0.5x ＝110×2，解之得x ＝40． 答：此人外出购物用了40分钟的时间．。
初中数学鲁教版(五四制)七年级上册第四章 实数5 用计算器开方-章节测试习题(1)
章节测试题1.【答题】计算：≈______(精确到百分位).【答案】2.92【分析】利用计算器按照以上步骤按键即可得出结果．【解答】解：故答案为：2.【答题】使用课本介绍的学生计算器，计算，结果是______（精确到0.01）．【答案】8.62【分析】先用计算器算出的结果，再加上π的值即可，注意精确的位数．【解答】解：原式=+π≈5.477+3.141≈8.62故答案为8.623.【答题】利用计算器计算：=______．【答案】－8.406【分析】先用计算器得到π≈3.142，≈2.236，然后代入原式进行加减运算即可．【解答】解：原式≈0.5﹣3.142+2.236﹣8=﹣8.4064.【答题】利用计算器计算：≈______．（精确到0.01）．【答案】2.13【分析】首先熟练应用计算器，然后对计算器给出的结果，根据有效数字的概念用四舍五入法取近似数即可解决问题．【解答】解：根据题意用计算器解：≈2×1.710﹣1.286≈2.135.【答题】用计算器计算：=______（结果保留4个有效数字）．【答案】2.646【分析】首先熟练应用计算器，然后对计算器给出的结果，根据有效数字的概念用四舍五入法取近似数即可求解．【解答】解：根据题意在计算器计算：=2.6457，∵结果保留4个有效数字，∴=2.6466.【答题】已知，（n≥3），请用计算器计算当n≥3时，A、B的若干个值，并由此归纳出当n≥3时，A、B间的大小关系为______．【答案】A＜B【分析】从n=3开始，分别计算出n=3、4、5、6时的A、B的值，然后根据变化规律即可作出判断．【解答】解：n=3时，A=﹣≈0.3178，B=1﹣0=1，∴A＜B，n=4时，A=﹣≈0.2679，B=﹣1≈0.4142，∴A＜B，n=5时，A=﹣≈0.2361，B=﹣≈0.3178，∴A＜B，n=6时，A=﹣≈0.2134，B=﹣≈0.2679，A＜B，以此类推，随着n的增多，A在不断变小，而B的变化比A慢两个数，∴当n≥3时，A、B间的大小关系为：A＜B．故答案为：A＜B．7.【答题】（Ⅰ）若x与3﹣2x互为相反数，则=______．（Ⅱ）用计算器计算：=______．（保留三个有效数字）．【答案】-1,12.6【分析】（1）由于x与3﹣2x互为相反数，由此得到x=3﹣2x=0，解方程求出x 代入即可求解；（2）用计算器计算即可求出近似值．【解答】解：（1）由题意知，x=3﹣2x=0，∴=﹣1∴=﹣=1；（2）=12.68.【答题】选做题（从下面两题中只选做一题，如果做了两题的，只按第（Ⅰ）题评分）（Ⅰ）分解因式：2x2﹣2y2=______（Ⅱ）用计算器计算：=______（保留三位有效数字）．【答案】2（x+y）（x﹣y）,10.2【分析】（Ⅰ）先提取公因式2，再根据平方差公式进行二次分解即可求得答案．（Ⅱ）首先利用二次根式的乘法求得答案，再利用计算机求解即可求得答案．【解答】解：（Ⅰ）2x2﹣2y2=2（x2﹣y2）=2（x+y）（x﹣y）；（Ⅱ）=≈10.247≈10.2故答案为：（Ⅰ）2（x+y）（x﹣y），（Ⅱ）10.29.【答题】用计算器比较：5，4，3的大小（用小于符号连接）______．【答案】3＜4＜5【分析】先用计算器对无理数进行估算，再进行比较即可．【解答】解：∵5≈5×1.414=7.07，4≈4×1.732=6.88，3≈3×2.236=6.708，6.708＜6.88＜7.07，∴3＜4＜5．10.【答题】用计算器求的值，结果保留五个有效数字，得______．【答案】44.788【分析】本题要求同学们能熟练应用计算器，会用科学记算器进行计算．【解答】解：∵≈44.7883914，∴保留五个有效数字为44.77811.【答题】已知A=n﹣，B=3﹣2（n为正整数）．当n≤5时，有A＜B；请用计算器计算当n≥6时，A、B的若干个值，并由此归纳出当以n≥6时，A、B间的大小关系为A______B．【答案】＞【分析】本题要求同学们能熟练应用计算器，会用科学记算器进行计算．并根据结果归纳规律．【解答】解：根据题意，计算可得：当n=6时，A=5.5，B≈5.35；当n=7时，A=6.5，B≈5.94；当n=8时，A=7.5，B≈6.49．由此可得：n≥6时，A、B问的大小关系为A＞B．故答案为A＞B．12.【答题】用计算器计算：≈______．（结果精确到0.1）【答案】44.8【分析】首先熟悉计算器的求算术平方根的键，然后即可利用计算器求出结果，根据有效数字的概念用四舍五入法取近似数即可．【解答】解：根据题意用计算器运算得≈44.8（结果精确到0.1）．13.【答题】用计算器计算：（结果保留4个有效数字）______，＝______，＝______．【答案】177.2,±0.7861,0.08159【分析】首先熟悉计算器的求算术平方根的键，然后即可利用计算器求出结果，根据有效数字的概念用四舍五入法取近似数即可．【解答】解：故答案为：方法总结：有效数字：从左边第一个不是零的数字算起，到末尾数字为止都是有效数字.14.【答题】用计算器计算：（1）≈______；（2）≈______.（结果精确到0.0001）.【答案】44.8776,－12.6285【分析】首先熟悉计算器的求算术平方根、立方根的键，然后即可利用计算器求出结果，根据有效数字的概念用四舍五入法取近似数即可．【解答】直接利用计算器的“”和“”键进行开方计算，即可得到=44.8776，=-12.6285.故答案为：44.8776；-12.628515.【答题】用科学记算器计算，按键顺序的结果是______．【答案】－3【分析】了解计算器的使用，很容易得出结果【解答】原题是计算的值，根据按键顺序的结果是﹣3故答案为：-3.16.【题文】用计算器求下列各式的值（精确到0.001）：(1) ； (2) ； (3) .【答案】(1)28.284； (2)0.762； (3)49.000.【分析】先利用计算器求值，然后按要求取近似值即可．【解答】解：（1）≈28.284；（2）≈0.762；（3）≈49.000．方法总结：本题考查了用计算器进行数的开方，解题的关键是按要求取近似值．17.【题文】请同学们做完上面考题后，再认真检查一遍，估计一下你的得分情况．如果你全卷得分低于65分，则本题的5个小题得分将计入全卷总分，但计入后全卷总分不超过65分；如果你全卷得分已经达到或超过65分，则本题可不做，得分不计入全卷总分．（1）计算：（﹣2）+（﹣3）= ，（﹣2）×5= ，（﹣3）2= ；（2）用计算器计算：= ，= ，≈；（保留三位小数）（3）合并同类项：3a+2b+5a﹣8b= ；（4）如图，直线AB、CD相交于点O，OP平分∠BOD，若∠AOC=60°，则∠AOD= °，∠DOP= 度．（5）解方程：3x﹣7=x+1（写出过程）．【答案】见解答【分析】（1）根据有理数的混合运算法则即可求解；（2）利用计算器求解；（3）根据合并同类项的法则即可求解；（4）首先利用对顶角的性质，然后利用角平分线的性质即可求解；（5）利用解一元一次方程的一般步骤即可求解．【解答】解：（1）①（﹣2）+（﹣3）=﹣5，②（﹣2）×5=﹣10，③（﹣3）2=9；（2）要根据要求保留三位小数，=1.1，=3，≈1.414；（3）3a+2b+5a﹣8b=（3a+5b）+（2b﹣8b）=8a﹣6b；（4）∠AOD=（180°﹣∠AOC）=（180°﹣60°）=120°，∵∠AOC与∠DOB互为对顶角，OP平分∠BOD，∴∠DOP=∠BOD=30°；（5）解：移项，得3x﹣x=1+7合并，得2x=8∴x=4．18.【题文】求一个正数的算术平方根，有些数可以直接求得，如，有些数则不能直接求得，如，但可以通过计算器求得．还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，请同学们观察下表：n 16 0.16 0.0016 1600 160000 …4 0.4 0.04 40 400 …（1）表中所给的信息中，你能发现什么规律？（请将规律用文字表达出来）（2）运用你发现的规律，探究下列问题：已知≈1.435，求下列各数的算术平方根：①0.0206；②206；③20600．【答案】见解答【分析】（1）从被开方数和算术平方根的小数点的移动位数考虑解答；（2）根据（1）中的规律解答即可．【解答】解：（1）被开方数扩大或缩小102n倍，非负数的算术平方根就相应的扩大或缩小10n倍；或者说成被开方数的小数点向左或向右移动2n位，算术平方根的小数点就向左或向右移动n位；（2）=0.1435；=14.35；=143.5．19.【题文】用计算器计算：2+（结果精确到0.001）.【答案】3.312【分析】首先熟悉计算器的求算术平方根和立方根的键，然后利用计算器求出结果，根据有效数字的概念用四舍五入取近似数即可.【解答】解：2+≈2+4.5826-3.2711≈3.31220.【题文】计算：（结果精确到1）．【答案】9【分析】首先根据用计算器求一个数的立方根的方法，求出的值是多少；然后应用四舍五入法，将结果精确到1即可．【解答】解：≈9。
2024初中必刷题数学七年级上
2024初中必刷题数学七年级上全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：2024初中必刷题数学七年级上一、整数整数是学习数学中的基础知识，也是后续学习的重要基础。
在七年级上，学生需要掌握整数的概念、加减法、乘除法、整数的比较等基本知识点。
以下是一些整数的练习题示例：1. 计算：(-5) + 3 - (-7) = ?4. 比较大小：-15 ? -105. 如果一个数是-8，它的相反数是？它的绝对值是？通过这些练习题，学生可以巩固整数的基础概念和运算方法，提高解题能力。
二、分数3. 计算：2/3 × 4/5 = ?5. 把1/4化成8/分之几？三、代数1. 化简代数表达式：2x + 3y + 4x - 2y = ?3. 求解一元一次方程：2x + 5 = 135. 若a + b = 6，且a - b = 2，求a和b的值。
四、几何几何是数学中另一个重要的知识点，也是学生在初中阶段需要掌握的内容之一。
在七年级上，学生需要掌握基本几何图形的性质、几何图形的变换、计算几何图形的面积和周长等知识点。
以下是一些几何的练习题示例：1. 计算长方形的周长和面积。
3. 画一个三角形，分析其外角和内角的关系。
4. 判断一个四边形是否为平行四边形。
数学作为学生学习中的重要学科之一，需要学生在初中阶段打下坚实的基础。
通过不断练习和巩固基础知识点，学生将能够更好地提升数学能力，为以后更深入的学习奠定基础。
希望学生能够认真对待数学学习，勤奋学习，努力提高自己的数学水平。
【注：以上仅为示例题目，具体练习题目可根据教材和学习进度进行调整】。
第二篇示例：2024初中必刷题数学七年级上2024年初中数学七年级上册是初中数学学习中的重要一环，是学习数学的基础。
为了帮助同学们更好地掌握数学知识，掌握数学解题技巧，我们特别整理了一份必刷题目，在这些题目中同学们不仅可以复习巩固知识，还可以通过解题过程中掌握解题方法，提高解题能力。
一、知识点复习1. 整数的加减乘除2. 分数的加减乘除3. 百分数及其运用4. 有理数的比大小5. 一元一次方程6. 一元一次不等式7. 几何图形的认识8. 几何图形的周长和面积计算9. 一次函数及其图像二、题目练习1.计算下列各题。
人教版七年级数学上册4.3.2角的比较与运算一等奖优秀教学设计
人教版义务教育课程标准实验教科书七年级上册4.3.2角的比较与运算教学设计一、教材分析1、地位作用：角的比较，角的和与差，角平分线是本章重要的基础知识，也是后续学习图形与几何必备的知识基础。
在本节课中，除了让学生重点掌握以上的基础知识外，还应通过大量的识图和作图训练，来培养学生的图形感，同时，还应在解决问题的过程中注意学生推理语言和能力的培养，这也是教学的难点。
2、目标和目标解析：（1）、目标：1．理解两个角的和、差、倍、分的意义；2．掌握角平分线的概念；3．会比较角的大小，会用量角器画一个角等于已知角.（2）、目标解析：①、能从图形和数量关系两个角度认识角的大小，会用度量法和叠合法比较两个角的大小；能从几何图形和数量关系两方面认识角的和与差及角平分线，知道两个角的和、差仍然是一个角，知道角的和、差或等分的度数的计算；能结合角的大小、和与差、角平分线的直观图形，用文字语言和符号语言描述它们，反之，能将它们用符号语言或文字语言所表述的图形及关系，用图形直观表示出来。
②、在学习过程中，能在回忆线段的大小、和与差、中点内容的同时，想象本节课所要学习的内容，能对学习进程心中有数；能将对线段的大小、和与差、中点的研究方法和基本套路迁移到角的相关问题研究中，不断地提出问题、分析问题、解决问题。
3、教学重、难点教学重点：角的大小、角的和与差、角平分线的意义及数量关系；感受类比的思想。
教学难点：用图形语言、文字语言、符号语言综合描述角的大小、角的和与差关系及角平分线。
突破难点的方法：通过相关旧知的复习，按照猜想、推理的思维过程进行突破。
二、教学准备：多媒体课件、导学案、三角板或直尺、量角器、剪刀，透明或半透明纸。
三、教学过程教学内容与教师活动 学生活动 设计意图一、创设情景 引入课题 问题：这两把折扇中，哪一把形成的角度大？与折扇的大小有关系吗？（板书）课题学生观察图片，获得感性认识. 让学生知道，角的概念是从实物中抽象出来的，通过学生熟悉的事物，激发学生的学习兴趣。
初中数学角度经典练习题
初中数学角度经典练习题
以下是一些初中数学角度方面的经典练题，供学生们进行练和巩固知识。
1. 问题：已知一个角的补角是100度，求这个角的度数。
解析：两个角的和为180度，所以这个角的度数为80度。
2. 问题：已知一个角的补角是60度，求这个角的度数。
解析：同样，两个角的和为180度，所以这个角的度数为120度。
3. 问题：已知两个角的度数分别是30度和65度，求它们的补角。
解析：两个角的和为180度，所以第一个角的补角是150度，第二个角的补角是115度。
4. 问题：已知直角三角形的一个角是30度，求另外两个角的度数。
解析：直角三角形的两个角相加为90度，所以另外两个角的度数分别是60度和90度。
5. 问题：已知平行线与一条横截线相交，求对应的内错角的度数。
解析：内错角的度数等于对应的同位角的度数，所以对应的内错角的度数相等。
这些经典练习题可以帮助学生们巩固和运用角度相关的知识。
通过反复练习和解题，学生们可以更好地理解数学中的角度概念和运算方法，提高数学解题能力。
与角度有关的计算问题(35题提分练)(原卷版)—七年级数学上册(北师大版2024)
与角度有关的计算问题（解答题35题）（基础题＆提升题＆压轴题）题型一基础题1．（2023秋•同安区期末）如图，点O在直线AB上，∠BOC＝20°，∠COD＝90°，OE是∠BOD的角平分线，求∠COE的度数．2．（2023秋•吉安期末）如图，已知∠1：∠3：∠4＝1：2：4，∠2＝80°，求∠1、∠3、∠4的度数．3．（2023秋•西峡县期末）如图，∠AOB＝∠COD＝90°，OC平分∠AOB，∠BOD＝3∠DOE．试求∠COE 的度数．4．（2023秋•天心区期末）如图，O为直线AB上一点，OC平分∠AOD，∠AOC＝60°，∠BOD＝3∠DOE，求∠DOE的度数．5．（2023秋•泉港区期末）如图，∠COD＝45°，∠BOD=13∠COD，OC是∠AOB的平分线，求∠AOD的度数．6．（2023秋•泸县校级期末）如图，OE是∠COA的平分线，∠AOB＝∠COD．（1）若∠AOE＝50°，∠COD＝18°，求∠BOC的度数；（2）比较∠AOC和∠BOD7．（2023秋•南沙区期末）如图，将一副三角尺叠放在一起．三角尺ABC的三个角是45°，45°，90°，三角尺ADE的三个角是30°，60°，90°．（1）若∠CAE＝58°，求∠BAE的度数；（2）若∠CAE＝2∠BAD，求∠CAD的度数．8．（2023秋•大荔县期末）将一副直角三角板ABC和BDE的一个顶点B重合在一起，按如图所示方式摆放，其中∠ACB＝∠DBE＝90°，∠ABC＝30°，三角板ABC在∠DBE内可任意转动．（1）以点B为顶点的所有锐角有 个．（2）求以点B9．（2023秋•九龙坡区校级期末）如图，∠AOB：∠BOC＝1：4，OM平分∠AOB，∠BON：∠NOC＝3：1，若∠MON＝91°．（1）∠AOB ∠NOC（填“＞”或“＜”或“＝”）（2）求∠AOC的度数．10．（2023秋•娄底期末）如图，点O在直线AB上，∠COD＝60°，∠AOE＝2∠DOE．（1）若∠BOD＝60°，求∠COE的度数；（2）试猜想∠BOD和∠COE的数量关系，并说明理由．11．（2023秋•瑶海区校级期末）已知点O为直线AB上一点，∠MON＝90°，在∠MON内部作射线OC，且OC恰好平分∠MOB．（1）若∠CON＝20°，求∠AOM的度数；（2）若∠BON＝2∠NOC，求∠AOM的度数．12．（2023秋•高安市期末）如图，已知∠AOB＝80°，OC是∠AOB的平分线，OD是∠BOC的平分线．（1）求∠AOD的度数；（2）若∠COE=14∠COB，求∠的度数．题型二提升题13．（2023秋•福田区校级期末）如图，点A，O，B在同一条直线上，OD，OE分别平分∠AOC和∠BOC．（1）求∠DOE的度数；（2）如果∠COD＝65°，求∠AOE的度数；（3）如果∠COD：∠COE＝3：2，求∠AOE的度数．14．（2023秋•慈溪市期末）如图，直角三角板DOE的直角顶点O在直线AB上，OD平分∠AOF．（1）比较∠EOF和∠EOB的大小，并说明理由；（2）若OF平分∠AOE，求∠的度数．15．（2023秋•武昌区期末）已知∠AOB＝50°，∠COD＝20°．（1）如图1，若∠AOD＝80°，∠COD在OB的左侧，则∠BOC＝ ；（2）如图2，OP平分∠AOD，OQ平分∠BOC，求∠POQ．16．（2023秋•无为市期末）利用折纸可以作出角平分线，如图1折叠，则OC为∠AOB的平分线，如图2、图3，折叠长方形纸片，OC，OD均是折痕，折叠后，点A落在点A'，点B落在点B'，连接OA′．（1）如图2，若点B'恰好落在OA′上，且∠AOC＝32°，则∠BOD＝ ；（2）如图3，当点B'在∠COA'的内部时，连接OB′，若∠AOC＝44°，∠BOD＝61°，求∠A'OB'的度数．17．（2023秋•彭水县期末）已知∠AOB内部有三条射线OD，OC，OE且在同一个平面内，∠AOC＝2∠BOC，射线OD始终在射线OE的上方，∠AOB＝108°，∠DOE＝36°．（1）如图1，当OE平分∠BOC时，求∠AOD的度数；（2）如图2，若∠AOD＝5∠COE时，求∠BOE的度数．18．（2023秋•沙坪坝区校级期末）如图1，已知∠AOC＝160°，OB是∠AOC内的射线，且∠AOB=3 5∠BOC，射线OD、OE将∠AOC分割，使得∠AOD：∠BOD：∠COE＝1：2：3．（1）求∠DOE．（2）如图2，作∠BOD，∠EOC的平分线OM，ON．求∠MON的值．19．（2023秋•渝北区期末）OC ，OD ，OE 在∠AOB 内，∠AOC ＝2∠BOC ，∠AOB ＝108°，∠DOE ＝66°．（1）如图1，当OE 为∠BOC 的角平分线时，求∠AOD 的度数；（2）如图2，当∠AOD =53∠COE ，求∠BOE 的度数．20．（2023秋•汉中期末）如图，已知∠AOB ＝120°，从∠AOB 的顶点O 引出一条射线OC ，射线OC 在∠AOB 的内部，将射线OC 绕点O 逆时针旋转到OD ，且∠COD ＝60°．（1）如图①，若∠AOD ＝90°，试判断∠AOC 与∠BOD 之间的大小关系并说明理由；（2）如图②，作射线OE ，射线OE 为∠AOD 的平分线，设∠AOC ＝α，当0°＜α＜60°时，若射线OC 恰好平分∠AOE ，求∠BOD 的度数．21．（2023秋•宿豫区期末）已知，将一副三角板的直角顶点O按如图所式叠放在一起．（1）若∠BOD＝55°，则∠BOC＝ ，∠BOC ∠AOD（填＞、＜、＝）；（2）①若∠BOD＝50°，则∠AOC＝ ；若∠AOC＝120°，则∠BOD＝ ；②猜想∠BOD与∠AOC之间的数量关系，并说明理由．22．（2023秋•庄河市期末）如图，点O为直线上AB一点，∠COD＝90°，∠BOD＝18°，若OE是∠BOC 的平分线，（1）求∠BOE的度数；（2）若点F是平面内一点，连接射线OF，且∠AOF=13∠AOC，求∠COF的度数．23．（2023秋•黄陂区校级期末）将三角板COD的直角顶点O放置在直线AB上．（1）如图，且∠AOC＝40°射线OE平分∠BOC，则∠BOE的大小为 ；（2）在（1）的条件下，射线OE平分∠BOC，射线OF平分∠BOD，求∠EOF的度数；（3）若将三角板COD绕点O旋转，射线OE平分∠BOC，射线OF平分∠BOD．请写出∠COD与∠EOF 度数的等量关系： ．题型二压轴题24．（2023秋•斗门区期末）如图①，OC是∠AOE内部的一条射线，OB、OD分别平分∠AOC，∠EOC．（1）若∠AOE＝140°，∠COD＝30°，求∠BOC＝ ；（2）∠AOE与∠BOD的大小有什么关系，写出你的结论并说明理由．（3）如图②，如果OC是∠AOE外部的一条射线，OB、OD分别平分∠AOC，∠EOC．那么（2）中∠AOE与∠BOD的大小关系还成立吗？请说明理由．25．（2023秋•海陵区校级期末）已知∠AOB＝2∠COD＝140°，OE平分∠AOD．（1）如图①，若∠COE＝10°，求∠AOC的度数；（2）将∠COD绕顶点O按逆时针方向旋转至如图②的位置，∠BOD和∠COE有怎样的数量关系？请说明理由；（3）将∠COD绕顶点O按逆时针方向旋转至如图③的位置，（2）中的关系是否成立？请说明理由．26．（2023秋•思明区校级期末）如图，点M，O，N在同一条直线上，将一直角三角板的60°锐角顶点放在点O处，一边OA在射线OM上，另一边OB在直线MN的上方．OC平分∠BON，OD平分∠CON．（1）求∠BOD的度数；（2）把三角板绕点O沿逆时针方向旋转，当OB转到射线OM上时停止，若在旋转过程中，∠AOM＝（x﹣120）°，同时在∠BOC内部有一条射线OE，使得∠BOE=(34x―90)°，试探究在旋转过程中，射线OE始终是哪个角的平分线？27．（2023秋•宝安区期末）将一副三角板如图1放置（∠AOB＝90°，∠A＝45°，∠OCD＝90°，∠COD ＝30°），在∠BOD、∠AOC（∠BOD≤180°、∠AOC≤180°）内作射线OM、ON，且∠MOB＝2∠DOM，∠NOA＝2∠NOC，将三角板OCD绕着点O顺时针旋转．（1）如图1，当点O、A、C在一条直线上时，∠MON＝ ；（2）如图2，若旋转角为α（0°＜α＜90°），∠MON的度数是否会发生改变？若不变，求其值；若变化，说明理由．（3）如图3，当三角板OCD旋转到∠AOB内部时，求∠MON的值．28．（2024•两江新区校级开学）将一副三角板的两个锐角顶点重合，∠AOB＝45°，∠COD＝30°，OM，ON分别是∠AOC，∠BOD（1）如图①所示，当OB与OC重合时，则∠MON的大小为 ；（2）当∠COD绕着点O旋转至如图②所示，当∠BOC＝14°，则∠MON的大小为多少？（3）当∠COD绕着点O旋转至如图③所示，当∠BOC＝α时，求∠MON的大小．29．（2023秋•于洪区期末）【提出问题】已知点O是直线AB上一点，∠COD＝90°，射线OE是∠AOD的平分线．（1）如图1，若∠BOD＝110°，求∠COE的度数．请补充完成下列解答过程：解：∵∠AOB＝180°，∠BOD＝110°，∴∠AOD＝ °．∵∠COD＝90°，∴∠AOC＝∠COD﹣∠AOD＝ °．∵OE是∠AOD的平分线，∴∠AOE＝ ∠AOD＝ °．∴∠COE＝∠AOC+ ＝ °．【类比分析】（2）如图2，设∠COE＝α，求∠BOD的度数（用含α的代数式表示）．【变式探索】（3）如图3，若3∠COE﹣2∠BOD＝78°，求∠COE的度数．30．（2023秋•渑池县期末）如图．已知∠MON＝140°，∠AOC与∠BOC互余，OC平分∠MOB．（1）在图①中．若∠AOC＝40°，则∠BOC＝ °．∠NOB＝ °；（2）在图①中，设∠AOC＝α，∠NOB＝β，请探究α与β之间的数量关系（必须写出推理的主要过程，但每一步后面不必写出理由）；（3）在图①中，当∠AOB绕着点O顺时针转动到如图②的位置时，（2）中α与β之间的数量关系是否还成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出此时α与β之间的数量关系．31．（2023秋•青岛期末）如图，OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线．（1）如图1，当∠AOB是直角，∠BOC＝60°时，求∠MON的度数是多少？（2）如图2，当∠AOB＝α，∠BOC＝60°时，尝试发现∠MON与α的数量关系．（3）如图3，当∠AOB＝α，∠BOC＝β时，猜想：∠MON与α、β有数量关系吗？直接写出结论即可．32．（2024春•高青县期末）【实践活动】如图1，将一副三角板的直角顶点重合摆放．（1）∠ACE与∠BCD的大小关系是∠ACE ∠BCD．（填“＞”“＝”或“＜”）（2）∠ACB与∠DCE之间的数量关系是 ．【拓展探究】（3）如图2，若∠ACD≠∠BCE，且∠ACD+∠BCE＝180°，探索∠ACB与∠DCE之间的数量关系，并说明理由．33．（2023秋•和平区校级期末）已知∠AOB＝120°，从∠AOB的顶点O引出一条射线OC，射线OC在∠AOB的内部，将射线OC绕点O逆时针旋转60°形成∠COD．（1）如图1，若∠AOD＝90°，比较∠AOC和∠BOD的大小，并说明理由；（2）作射线OE，射线OE为∠AOD的平分线，设∠AOC＝α．①如图2，当0°＜α＜60°，若射线OC恰好平分∠AOE，求∠BOD的度数；②当α≠60°时，请探究∠EOC与∠BOD之间的数量关系．34．（2023秋•山西期末）综合与探究特例感知：（1）如图1．线段AB＝16cm，C为线段AB上的一个动点，点D，E分别是AC，BC的中点．①若AC＝4cm，则线段DE的长为 cm．②设AC＝a cm，则线段DE的长为 cm．知识迁移：（2）我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，若∠AOB＝120°，OC是∠AOB内部的一条射线，射线OM平分∠AOC，射线ON平分∠BOC，求∠MON的度数．拓展探究：（3）已知∠COD在∠AOB内的位置如图3所示，∠AOB＝α，∠COD＝30°，且∠DOM＝2∠AOM，∠CON＝2∠BON，求∠MON的度数．（用含α的代数式表示）35．（2023秋•青羊区校级期末）如图所示，O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．（1）如图1，若∠AOC＝30°，求∠DOE的度数．（2）在图1中，若∠AOC＝α，直接写出∠DOE的度数： （用含α的代数式表示）．（3）将图1中的∠COD绕顶点O顺时针开始旋转．①当∠COD旋转至如图2的位置时，请探究∠AOD与∠BOE的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由；②过点O的一条射线OF，使得OC恰好平分∠BOF，在图1和图2中分别探究∠AOF与∠DOE的度数之间的关系，请直接写出结论．。
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七年级数学--角有关的计算问题
1、如图所示，AB 为一条直线，OC 是∠AOD 的平分线，OE 在∠BOD 内，∠DOE=3
1
∠
BOD ，∠COE=72°，求∠EOB 的度数。
2、如图，已知∠AOB 是∠AOC 的余角，∠AOD 是∠AOC 的补角，且BOD BOC ∠=∠2
1
求∠BOD 、∠AOC 的度数
3、一条射线OA ，若从点O 再引两条射线OB 、OC ，使∠AOB=60°，∠BOC=20°，求∠AOC 的度数。
4、已知∠AOB=100°，∠BOC=20°，若OM 平分∠AOB ，ON 平分∠BOC ，求∠MON 的度数。
5、已知，如图∠BOC 为∠AOC 内的一个锐角，射线OM 、ON 分别平分∠AOC 、∠BOC 。
（1）若∠AOB=90°，∠BOC=30°，求∠MON 的度数； （2）若∠AOB=α，∠BOC=30°，求∠MON 的度数；
（3）若∠AOB=90°，∠BOC=β，还能否求出∠MON 的度数？若能，求出其值，若不能，说
明理由。
（4）从前三问的结果你发现了什么规律？
6（2014▪漳州）如图是一副学生用的三角形板摆放的位置，A 、O 、C 三点在同一直线上，则∠AOB 的度数是 度．
B （第 13 题）
A
C
O
D O C B A
7、点O 是直线AB 上一点，∠COD 是直角，OE 平分∠BOC 。
（1）如图1，若∠AOC=40°，求∠DOE 的度数；
（2）在如1中，若∠AOC=α，直接写出∠DOE 的度数（用含α的代数式表示）
8如图，已知AB= 40，点C 是线段AB 的中点，点D 为线段CB 上的一点，点E 为线段DB 的中点，EB=6，求线段CD 的长。
A
B
C
D
E
9、如图，已知∠BOC =2∠AOC ，OD 平分∠AOB ，且∠COD =29°，求∠AOB 的度数。
10、如图，OB 平分∠AOC ，且∠2 : ∠3 : ∠4 = 1:3:4，求∠1、∠2、∠3、∠4。
11(如图，将一幅三角尺叠放在一起，使直角顶点重合于点O ，绕点O 任意转动其中一个三角尺，则与∠AOD 始终相等的角是 ．
C
B
A
D
O
3
D
C
B
A
2
1
4
O。