15相似三角形判定定理的证明知识讲解基础

相似三角形判定定理的证明(基础)【学习目标】1.熟记三个判定定理的内容.2.三个判定定理的证明过程.3.学选会用适当的方法证明结论的成立性.【要点梳理】要点一、两角分别相等的两个三角形相似已知：如图,在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′，∠B=∠B′.求证：△ABC∽△A′B′C′.证明：在△ABC的边AB（或它的延长线）上截取AD=A′B′,过点D作BC的平行线，交AC于点E,则∠ADE=∠B，∠AED=∠C,ADAE?(平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例）.ABAC过点D作AC的平行线，交BC与点F,则ADCF?(平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例）. ABCBAECF?∴ACCB∵DE∥BC,DF∥AC,∴四边形DFCE是平行四边形.∴DE=CF.∴AE:AC=DE:CBADAEDE??. ∴ABACBC而∠ADE=∠B,∠DAE=∠BAC,∠AED=∠C,∴△ADE∽△ABC.∵∠A=∠A′,∠ADE=∠B=∠B′,AD=A′B′,∴△ADE∽△A′B′C′.∴△ABC∽△A′B′C′.要点诠释：证明这个定理的正确性，是把它转化为平行线分线段成比例来证明的，注意转化时辅助线的做法.【典型例题】类型一、两角分别相等的两个三角形相似，求证：△ADE∽△ABC．D，CE⊥AB，垂足为E1、在△ABC中，∠A=60°，BD⊥AC，垂足为断可判∠AEC=∠ADB=90°，利用∠EAC=∠DAB路点拨】由BD⊥AC，CE⊥AB得到【思，加上∠EAD=∠CAB，根据三角形相似的==，利用比例性质得△AEC∽△ADB，则判定方法即可得到结论．【答案与解析】证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠AEC=∠ADB=90°，而∠EAC=∠DAB，∴△AEC∽△ADB，∴，=∴，= ∵∠EAD=∠CAB，∴△ADE∽△ABC．有两组有两组角对应相等的两三角形相似；【总结升华】考查了相似三角形的判定与性质：对应边的比相等且夹角相等的两个三角形相似；相似三角形的对应边的比相等．举一反三°，ADE=60，且∠在BC、AC上，点是等边三角形D，E分别ABC【变式】如图，△CE.CD=AC?证求：BD?【答案】证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°，AB=AC，∵∠B+∠BAD=∠ADE+∠CDE，∠B=∠ADE=60°，∴∠BAD=∠CDE，，DCE△∽ABD△∴．ABBDCC BCD=ACBCD=AC2、已知，Rt△ABC中，∠ACB=90°，点H在AC上，且线段HD⊥AB于D，BC的延长线与DH的延长线交于点E，求证：△AHD∽△EBD．【思路点拨】首先利用三角形的内角和定理证明：∠A=∠E，再有垂直得到90°的角，∠ADH=∠ACB=90°，从而证明：△AHD∽△EBD．【答案与解析】证明：∵HD⊥AB于D，∴∠ADH=90°，∴∠A+∠AHD=90°，∵∠ACB=90°，∴∠E+∠AHD=90°，∴∠A=∠E，∵∠ADH=∠ACB=90°，∴△AHD∽△EBD．【总结升华】考查了垂直定义、三角形内角和定理以及相似三角形的判定方法：两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．要点二、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似ABAC . C′A′B′,A=′BC′中，∠∠A′∽△,求证：△ABC′和△在△已知，ABCA A'B'A'C'的平行线，BC作D过点,′B′AD=A（或它的延长线）上截取AB的边ABC证明：在△．E,则交AC于点AED,C=∠B=∠ADE,∠∠).ADE(两角分别相等的两个三角形相似∴△ABC∽△ACAB?∴. AEADACAB?, ′B′∵ ,AD=A'''ACA'BACAB?∴'A'CADACAC?∴'A'CAE′AE=A′C∴′∠A而∠A=. ′′CADE≌△A′B∴△.′′C∽△A′B∴△ABC要点诠释：利用了转化的数学思想，通过添设辅助线，将未知的判定方法转化为已知两组角对应相等推得相似或已知平行推得相似的.类型二、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似3、如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，，连接 G．EF并延长交BC的延长线于点 1）求证：△ABE∽△DEF；（的长．4，求BG（2）若正方形的边长为【思路点拨】（1）利用正方形的性质，可得∠A=∠D，根据已知可得，根据有两边对应成比例且夹角相等三角形相似，可得△ABE∽△DEF；BG的长．2）根据平行线分线段成比例定理，可得CG的长，即可求得（【答案与解析】为正方形，1）证明：∵ABCD（∴AD=AB=DC=BC，∠A=∠D=90°，∵AE=ED，，∴∵DF=DC，，∴．∴，∴△ABE∽△DEF；（2）解：∵ABCD为正方形，∴ED∥BG，∴，又∵DF=DC，正方形的边长为4，∴ED=2，CG=6，∴BG=BC+CG=10．【总结升华】考查了相似三角形的判定（有两边对应成比例且夹角相等三角形相似）、正方形的性质、平行线分线段成比例定理等知识的综合应用．解题的关键是数形结合思想的应用．举一反三【变式】（2015?随州）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中不能判断△ABC∽△AED的是（）=D．C ．= B A．∠AED=∠B ．∠ADE=∠C【答案】D；提示：∵∠DAE=∠CAB，∴当∠AED=∠B或∠ADE=∠C时，△ABC∽△AED；=时，△ABC∽△AED当．D ．故选4、（2014秋?揭西县校级期末）如图，F为平行四边形ABCD的边AD的延长线上的一点，BF 分别交于CD、AC于G、E，若EF=32，GE=8，求BE．，BE=x解：设【答案与解析】．∵EF=32，GE=8，∴FG=32﹣8=24，∵AD∥BC，∴△AFE∽△CBE，=，∴==+1①∴则∵DG∥AB，∴△DFG∽△CBG，= 代入①∴+1，=解得：x=±16（负数舍去），故BE=16．【总结升华】此题主要考查了相似三角形的判定、平行四边形的性质，得出△DFG∽△CBG 是解题关键．举一反三【变式】如图，在4×3的正方形方格中，△ABC和△DEC的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．（1）填空：∠ABC= °，BC= ；（2）判断△ABC与△DEC是否相似，并证明你的结论．BC=；）∠ABC=135°，【答案】解：（1 ）相似；（2=，；∵BC=EC=；∴，∴；又∠ABC=∠CED=135°，∴△ABC∽△DEC．要点三、三边成比例的两个三角形相似ABBCAC??. 和△A′B′C′中，已知：在△ABC A'B'B'C'A'C'. A′BC′′求证：△ABC∽△证明：在△ABC的边AB，AC（或它们的延长线）上截取AD=A′B′,AE=A′C′,连接DE. ABAC?, ′′C′B′∵,AE=A，AD=A A'B'A'C'ABAC?∴ADAE而∠BAC=∠DAE,∴△ABC∽△ADE(两边成比例且夹角相等的两个三角形相似).ABBC?∴DEADBCAB?, ′B′又，AD= A'C'B'A'BBCAB?∴'CB'ADBCBC ∴''CDEB∴DE=B′C′,∴△ADE≌△A′B′C′，∴△ABC∽△A′B′C′.类型三、三边成比例的两个三角形相似5、已知：正方形的边长为1（1）如图①，可以算出正方形的对角线为，求两个正方形并排拼成的矩形的对角线长，n个呢？）根据图②，求证△BCE∽△BED；2（．（3）由图③，在下列所给的三个结论中，通过合情推理选出一个正确的结论加以证明，1．∠BEC+∠BDE=45°；⒉∠BEC+∠BED=45°；⒊∠BEC+∠DFE=45°【思路点拨】（1）主要是根据勾股定理寻找规律，容易在数据中找到正确结论；（2）在每个三角形中，根据勾股定理易求出每条边的长度，可利用三组边对应成比例，两三角形相似来判定；（3）欲证∠BEC+∠DFE=45°，在本题中等于45°的角有两个，即∠AEB和∠BEF，所以在证明第三个结论时，需把这两个角想法转移到已知的一个角中去，利用等腰梯形的性质求解即可．【答案与解析】=，）由勾股定理知，在第一个图形中，对角线长 =1解：（，第二个图形中，对角线长== =，第三个图形中，对角线长个图形中，对角线长=；所以第n EC=BE=，，中，（2）在△BCEBC=1，，，BE=BD=2，ED=在△BED中，所以，∴△BCE∽△BED；（3）选取③，∵CD∥EF，且CE=DF，∴四边形CEFD为等腰梯形，∴∠DFE=∠CEF，∴∠BEC+∠DFE=∠BEC+∠CEF=45°．【总结升华】此题主要运用三边对应成比例的两个三角形相似的判定定理、勾股定理的运用、等腰梯形的性质来解决问题的.【巩固练习】一、选择题1. 如图，已知∠C=∠E，则不一定能使△ABC∽△ADE的条件是（）BCACABAC CD B A ∠BAD=∠CAE∠B=∠D AEADAEDE．2．在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=BC，一直角三角板的直角顶角O在AB边的中点上，这块三角板绕O点旋转，两条直角边始终与AC、BC边分别相交于E、F，连接EF，则在运动过程中，△OEF与△ABC的关系是（）A．一定相似 B．当E是AC中点时相似 C．不一定相似 D．无法判断FC=BC上，且．图中相似三角形CD的中点，点F在BC3．如图，在正方形ABCD中，E是共有（）A． 1对 B． 2对 C． 3对 D． 4对4. （2015?荆州）如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（）=． = ．．∠ABP=∠C A B．∠APB=∠ABC CD5．下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是（）DA C B）1有下列条件：（）与△A′B′C′中，；6．2；（在△ABC（3）∠A=∠A′；（4）∠C=∠C′．如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断）△ABC∽△A′B′C′的共有多少组（．A． 1 B． 2 C． 3 D． 4二、填空题7.（2015春?工业园区期中）如图，在△ABC中，P为AB上一点，则下列四个条件中2 4）AB?CP=AP?CB，）AC=AP?AB；（（（1）∠ACP=∠B；2）∠APC=∠ACB；（3 （填序号）．和△ACB 相似的条件有其中能满足△APC8．如图，△ABC中，AB＞AC，D，E两点分别在边AC，AB上，且DE与BC不平行．请填上一个你认为合适的条件：，使△ADE∽△ABC．（不再添加其他的字母和线段；只填一个条件，多填不给分！）9．如图，△ABC与△DEF的顶点均在方格纸中的小正方形方格（边长为一个单位长）的顶点处，则△ABC △DEF（在横线上方填写“一定相似”或“不一定相似”或“一定不相似”）．中，已知，又因为，在△OAOB和△DOC，与10．如图，ACBD相交于点 DOC．∽△可证明△AOB11．如图，△ABD与△AEC都是等边三角形，AB≠AC，下列结论中：①BE=DC；②∠BOD=60°；③△BOD∽△COE．正确的序号是．12．如图，D是△ABC的边BC上的一点，∠BAD=∠C，∠ABC的平分线分别与AC、AD相交于点E、F，则图形中共有对相似三角形．（不添加任何辅助线）三、解答题13.（2014秋?射阳县校级月考）如图，在△ABC中，已知∠BAC=90°，AD⊥BC于D，E是AB上一点，AF⊥CE于F，AD交CE于G点，2AC=CE?CF；（1）求证：的度数．（2）若∠B=38°，求∠CFD在同一条直线上．，EAC，点B，A．如图，14AB=3AC，BD=3AE，又BD∥ CAE；1）求证：△ABD ∽△（的长．BD=a，求BC2）如果AC=BD，，设AD=2BD（．交于点MBFCE=DFCD分别是边、DA上的点，且，AE与FEABCD15．已知：正方形中，、；ABF）求证：△≌△DAE1（．相似的所有三角形（不添加任何辅助线）ABM）找出图中与△2（．【答案与解析】一、选择题1．【答案】D；【解析】由题意得，∠C=∠E，A、若添加∠BAD=∠CAE，则可得∠BAC=∠DAE，利用两角法可判断△ABC∽△ADE，故本选项错误；B、若添加∠B=∠D，利用两角法可判断△ABC∽△ADE，故本选项错误；=，利用两边及其夹角法可判断△ABC∽△ADE，故本选项错误；C 、若添加，不能判定△ABC∽△ADE，故本选项正确；、若添加D=故选D．2.【答案】A.【解析】连结OC，，∵∠C=90°，AC=BC ∴∠B=45°，的中点，O为AB∵点∠BCO=45°，OC=OB，∠ACO=∴∠BOF=90°，∠COF+∵∠EOC+∠COF= ，∠BOF∴∠EOC= BOF中，在△COE和△），BOF（ASA∴△COE≌△，∴OE=OF 是等腰直角三角形，∴△OEF ∠B=45°，∠A=∴∠OEF=∠OFE= CAB．∴△OEF∽△△．故选A；【答案】C3. 3对．理由如下：【解析】图中相似三角形共有是正方形，∵四边形ABCD ，AD=DC=CB ∠C=90°，D=∴∠．FC=BC，∵DE=CE，∴DE：CF=AD：EC=2：1，∴△ADE∽△ECF，CEF∠，：EC，∠DAE=∴AE：EF=AD DE，AE：EF=AD：∴ EF，AD：AE=DE：即 DAE+∠AED=90°，∵∠ CEF+∠AED=90°，∴∠∴∠AEF=90°， AEF，∴∠D=∠ AEF，∴△ADE∽△ ECF，∽△ADE ∽△∴△AEF ECF．，△AEF∽△∽△ECF，△ADE∽△AEF即△ADE ．C故选D.【答案】4. 时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；【解析】A、当∠ABP=∠C 时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；B、当∠APB=∠ABC、当时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；C= 、无法得到△ABP∽△ACB，故此选项正确．D ．故选：D ；5.【答案】B =2【解析】根据勾股定理，，AB= BC=，=，AC==的三边之比为2所以△ABC：=1：2 ：：，，三角形的三边分别为，2A==3，三边之比为2、：： 3，故本选项错误；：3：=，4B，、三角形的三边分别为2，三边之比为2：4：2=1：2，：=2 故本选项正确；，故本32：：C、三角形的三边分别为2，3，=，三边之比为选项错误；：=三边之比为4=，，D、三角形的三边分别为：，，故本选项错误．4 C；6.【答案】，）4（）3（，）4（）2（，）2（）1（∽△A′B′C′的有：ABC【解析】能判断△．∴能判断△ABC∽△A′B′C′的共有3组．故选C．二、填空题7.【答案】（1）、（2）、（3）.【解析】∵∠PAC=∠CAB，∴当∠ACP=∠B时，△ACP∽△APC，所以（1）正确；当∠APC=∠ACB时，△ACP∽△APC，所以（2）正确；24）错误．3）正确，当（=，即AC=AP?AB时，△ACP∽△APC，所以（故答案为：（1），（2）（3）．或；∠1 【答案】∠C=∠2或∠B=8． 9．【答案】一定相似；【解析】根据图示知： AC=；AB=2，BC=1， DF=5，DE=2，，EF= ===∴，=∴△ABC∽△DEF．故答案是：一定相似．10．【答案】∠AOB=∠DOC;=，∠AOB=∠DOC，【解析】∵∴△AOB∽△DOC（两边对应成比例，夹角相等，两三角形相似）．故答案为：∠AOB=∠DOC．11．【答案】①②;【解析】∵△ABD、△AEC都是等边三角形，∴AD=AB，AE=AC，∠DAB=∠CAE=60°，∴∠DAC=∠BAC+60°，∠BAE=∠BAC+60°，∴∠DAC=∠BAE，∴△DAC≌△BAE，∴BE=DC．∴∠ADC=∠ABE，∵∠BOD+∠BDO+∠DBO=180°，∴∠BOD=180°﹣∠BDO﹣∠DBO=180°﹣（60°﹣∠ADC）﹣（60°+∠ABE）=60°，∵△DAC≌△BAE，∴∠ADC=∠ABE，∠AEB=∠ACD，∵∠DBO=∠ABD+∠ABE=60°+∠ABE，∠OCE=∠ACE+∠ACO=60°+∠ACD，∵∠ABE≠∠ACD，∴∠DBO≠∠OCE，∴两个三角形的最大角不相等，∴△BOD不相似于△COE；故答案为：①②．12．【答案】3【解析】在△ABC与△DBA中，∵∠ABD=∠ABD，∠BAD=∠C，∴△ABC∽△DBA，中，与△CBE 在△ABF ABC 平分∠，∵BF CBE ，∴∠ABF=∠ BCE ，又∠BAF=∠ CBE ．∴△ABF ∽△ DBF ，同理可证得：△ABE ∽△ 3对相似三角形．所以图形中共有 ．3故答案为： 三、解答题 ）∵AD ⊥BC ，【解析】解：（113. ∴∠CFA=90°， ∵∠BAC=90°，∴∠CFA=∠BAC ， ∵∠ACF=∠FCA ， ∴△CAF ∽△CEA ，=∴，2=CE?CF ；∴CA ）∵∠CAB=∠CDA ，∠ACD=∠BCA ，2（ ∴△CAD ∽△CBA ， ∴，=2 ∴CA=CB ×CD ，2 同理可得：CA=CF ×CE ， ∴CD?BC=CF?CE ，=，∴ ∵∠DCF=∠ECB ， ∴△CDF ∽△CEB ， ∴∠CFD=∠B ， ∵∠B=38°， ∴∠CFD=38°．【解析】14. ，AE 在同一条直线上，，，点∥）证明：∵（1BDACB DBA=∴∠∠CAE ，==3，又∵∴△ABD ∽△CAE ； （2）连接BC ， AD=2BD ，AB=3AC=3BD ， ∵222222∴AD+BD=8BD+BD=9BD=AB ，∴∠D=90°，由（1）得△ABD ∽△CAE ∴∠E=∠D=90°，AD=BD ，，AB=3BDEC=， ∵AE=BD 222∴在Rt △BCE 中，BC=（AB+AE ）+EC2222，）+BD （=12aBD ）==（BD3BD+ aBC=2∴．15.【解析】（1）证明：∵ABCD 是正方形， ∴AB=AD=CD ，∠BAD=∠ADC=90°． ∵CE=DF ，∴AD ﹣DF=CD ﹣CE ．∴AF=DE ．中，DAE 在△ABF与△∴△ABF≌△DAE（SAS）．（2）解：与△ABM相似的三角形有：△FAM；△FBA；△EAD，∵△ABF≌△DAE，∴∠FBA=∠EAD．∵∠FBA+∠AFM=90°，∠EAF+∠BAM=90°，∴∠BAM=∠AFM．∴△ABM∽△FAM．同理：△ABM∽△FBA；△ABM∽△EAD．。