浙江省杭州市富阳市场口中学2014-2015学年高一下学期期末数学模拟试卷

浙江省杭州市富阳市场口中学2014-2015学年高一下学期期末数学模拟试卷一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．（5分）设x=，则tan（π+x）等于（）A．﹣B．﹣C．D．2．（5分）设函数f（x）=，则f（f（﹣1））的值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．1D．23．（5分）函数f（x）=e x+2x﹣3的零点所在的一个区间是（）A．（）B．（）C．（）D．（）4．（5分）函数f（x）是定义域为R的奇函数，当x＞0时f（x）=﹣x+1，则当x＜0时，f （x）的表达式为（）A．f（x）=﹣x+1 B．f（x）=﹣x﹣1 C．f（x）=x+1 D．f（x）=x﹣1 5．（5分）设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则+=（）A．B．C．D．6．（5分）函数y=+lnx2的图象可能是（）A．B．C．D．7．（5分）为了得到函数y=sin（2x+）的图象，只需把函数y=sin2x图象上所有的点（）A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动个单位长度D．向右平行移动个单位长度8．（5分）已知函数f（x）=sinx+λcosx的图象的一个对称中心是点（，0），则函数g（x）=λsinxcosx+sin2x的图象的一条对称轴是直线（）A．x=B．x=C．x=D．x=﹣9．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间B． C．D．（0，2]10．（5分）已知函数f（x）=lgx，若对任意的正数x，不等式f（x）+f（t）≤f（x2+t）恒成立，则实数t的取值范围是（）A．（0，4）B．（1，4]C．（0，4]D．表示不超过x的最大整数，例如=2，=2；=﹣3，那么+++…+的值为．三、解答题：（本大题共4小题，共42分，要写出详细的解答过程或证明过程）18．（10分）已知，为平面向量，且||=，||=2，，的夹角为30°．（Ⅰ）求|+|及|﹣|；（Ⅱ）若向量+与﹣λ垂直，求实数λ的值．19．（10分）已知集合M={x|x2﹣3x≤10}，N={x|a+1≤x≤2a+1}．（1）若a=2，求M∩（C R N）；（2）若M∪N=M，求实数a的取值范围．20．（10分）设函数f（x）=sinx（sinx+cosx）．（Ⅰ）求f（）的值；（Ⅱ）若函数f（x）在上的值域为，求实数a的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）=ax2+2bx+c（x∈R，a≠0）（Ⅰ）若a=﹣1，c=0，且y=f（x）在上的最大值为g（b），求g（b）；（Ⅱ）若a＞0，函数f（x）在上不单调，且它的图象与x轴相切，求的最小值．浙江省杭州市富阳市场口中学2014-2015学年高一下学期期末数学模拟试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．（5分）设x=，则tan（π+x）等于（）A．﹣B．﹣C．D．考点：运用诱导公式化简求值．专题：三角函数的求值．分析：由条件利用诱导公式求得所给式子的值．解答：解：由于x=，故tan（π+x）=﹣tanx=﹣tan=﹣，故选：A．点评：本题主要考查利用诱导公式进行化简求值，属于基础题．2．（5分）设函数f（x）=，则f（f（﹣1））的值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．1D．2考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：根据分段函数f（x）的解析式，求出f（f（﹣1））的值即可．解答：解：∵函数f（x）=，∴f（﹣1）=﹣（﹣1）=1，∴f（f（﹣1））=f（1）=12+1=2．故选：D．点评：本题考查了根据分段函数的解析式，求函数值的问题，是基础题目．3．（5分）函数f（x）=e x+2x﹣3的零点所在的一个区间是（）A．（）B．（）C．（）D．（）考点：函数零点的判定定理．专题：计算题．分析：将选项中各区间两端点值代入f（x），满足f（a）•f（b）＜0（a，b为区间两端点）的为答案．解答：解：因为f（）=＜0，f（1）=e﹣1＞0，所以零点在区间（）上，故选C．点评：本题考查了函数零点的概念与零点定理的应用，属于容易题．函数零点附近函数值的符号相反，这类选择题通常采用代入排除的方法求解．4．（5分）函数f（x）是定义域为R的奇函数，当x＞0时f（x）=﹣x+1，则当x＜0时，f （x）的表达式为（）A．f（x）=﹣x+1 B．f（x）=﹣x﹣1 C．f（x）=x+1 D．f（x）=x﹣1考点：函数奇偶性的性质．专题：转化思想．分析：根据函数f（x）是定义域为R的奇函数，当x＞0时f（x）=﹣x+1，要求x＜0时，f（x）的表达式，转化到x＞0时求解．解答：解：当x＜0时，则﹣x＞0∵x＞0时f（x）=﹣x+1，∴f（﹣x）=﹣（﹣x）+1=x+1，∵函数f（x）是定义域为R的奇函数，∴f（x）=﹣f（﹣x）=﹣x﹣1故选B．点评：考查利用函数的奇偶性求函数的解析式问题，一般方法是把要求区间上的问题转化为已知区间上来解决，体现了转化的数学思想，属基础题．5．（5分）设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则+=（）A．B．C．D．考点：向量在几何中的应用．专题：平面向量及应用．分析：利用向量加法的三角形法则，将，分解为+和+的形式，进而根据D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，结合数乘向量及向量加法的平行四边形法则得到答案．解答：解：∵D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，∴+=（+）+（+）=+=（+）=，故选：A点评：本题考查的知识点是向量在几何中的应用，熟练掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则是解答的关键．6．（5分）函数y=+lnx2的图象可能是（）A．B．C．D．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：由x2≠0，可知x≠0，满足定义域关于原点对称，再利用函数的奇偶性，最后利用函数的单调性即可得到答案．解答：解：∵x2≠0，∴x≠0，∴函数y=lnx2的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），又f（﹣x）=﹣+ln（﹣x）2，∴函数y=为非奇非偶函数，当x＞0时，函数y=1+2lnx，函数为增函数，当x＜0时，函数y=﹣1+2ln（﹣x）函数为减函数，故选：B点评：本题考查函数的图象，着重考查函数的奇偶性和单调性，属于中档题．7．（5分）为了得到函数y=sin（2x+）的图象，只需把函数y=sin2x图象上所有的点（）A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动个单位长度D．向右平行移动个单位长度考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：函数y=sin（2x+）=sin，故只需故把函数y=sin2x的图象向左平移各单位得到．解答：解：函数y=sin（2x+）=sin，故把函数y=sin2x的图象向左平移各单位，即可得到函数y=sin（2x+）的图象，故选：A．点评：本题考查函数y=Asin（ωx+∅）图象的平移变换规律，把已知函数的解析式化为y=sin是解题的关键．8．（5分）已知函数f（x）=sinx+λcosx的图象的一个对称中心是点（，0），则函数g（x）=λsinxcosx+sin2x的图象的一条对称轴是直线（）A．x=B．x=C．x=D．x=﹣考点：两角和与差的正弦函数；正弦函数的对称性．专题：三角函数的求值．分析：由对称中心可得λ=﹣，代入g（x）由三角函数公式化简可得g（x）=﹣sin （2x+），令2x+=kπ+解x可得对称轴，对照选项可得．解答：解：∵f（x）=sinx+λcosx的图象的一个对称中心是点（，0），∴f（）=sin+λcos=+λ=0，解得λ=﹣，∴g（x）=﹣sinxcosx+sin2x=sin2x+=﹣sin（2x+），令2x+=kπ+可得x=+，k∈Z，∴函数的对称轴为x=+，k∈Z，结合四个选项可知，当k=﹣1时x=﹣符合题意，故选：D点评：本题考查两角和与差的三角函数，涉及三角函数对称性，属中档题．9．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间B． C．D．（0，2]考点：奇偶性与单调性的综合．专题：函数的性质及应用．分析：根据偶函数的定义将所给的式子化为：f（|log2a|）≤f（1），再利用偶函数的单调性列出关于a的不等式求解．解答：解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，∴，∴可变为f（log2a）≤f（1），即f（|log2a|）≤f（1），又∵在区间C．（0，4]D．分析：若不等式f（x）+f（t）≤f（x2+t）恒成立，则x2﹣tx+t≥0对任意的正数恒成立，进而根据对数的真数大于0，可得t＞0且，解得答案．解答：解：∵函数f（x）=lgx，若不等式f（x）+f（t）≤f（x2+t）恒成立，则x2﹣tx+t≥0对任意的正数恒成立，则t＞0且，解得：t∈（0，4]，故选：C．点评：本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，恒成立问题，难度中档．二、填空题：（本大题共7小题，每小题4分，共28分）11．（4分）求值：sin52°cos83°+cos52°cos7°=．考点：两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的求值．分析：由诱导公式以及两角和与差的三角函数公式化简可得．解答：解：sin52°cos83°+cos52°cos7°=sin52°cos（90°﹣7°）+cos52°cos7°=sin52°sin7°+cos52°cos7°=cos（52°﹣7°）=cos45°=故答案为：点评：本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及诱导公式的应用，属基础题．12．（4分）=．考点：根式与分数指数幂的互化及其化简运算．专题：函数的性质及应用．分析：根据指数幂的运算性质化简计算即可．解答：解：=﹣1﹣=﹣1﹣=．故答案为：．点评：本题考查了函数的饿指数幂的运算性质，属于基础题．13．（4分）圆心角为，半径为3的扇形的弧长等于2π．考点：弧长公式．专题：三角函数的求值．分析：利用弧长公式即可得出．解答：解：l=αr=．故答案为：2π．点评：本题考查了弧长公式，属于基础题．14．（4分）函数的递减区间为（5，+∞）．考点：复合函数的单调性．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：求出函数的定义域，确定内外函数的单调性，即可得到结论．解答：解：由x2﹣4x﹣5＞0，可得x＜﹣1或x＞5令t=x2﹣4x﹣5=（x﹣2）2﹣9，则函数在（5，+∞）上单调递增∵在定义域内为单调递减∴函数的递减区间为（5，+∞）故答案为：（5，+∞）点评：本题考查复合函数的单调性，考查学生的计算能力，确定内外函数的单调性是关键．15．（4分）已知﹣，cos（a﹣β）=，sinβ=，tanα=﹣．考点：同角三角函数基本关系的运用．专题：三角函数的求值．分析：根据已知条件，利用同角三角函数间的基本关系求出cosβ与sin（α﹣β）的值，利用两角和与差的正弦、余弦函数公式求出sinα与cosα的值，即可求出tanα的值．解答：解：∵﹣＜α＜0＜β＜，cos（a﹣β）=，sinβ=，∴sin（α﹣β）=﹣=﹣，cosβ==，∴cosα=cos=cos（α﹣β）cosβ﹣sin（α﹣β）sinβ=×+×=，sinα=sin=sin（α﹣β）cosβ+cos（α﹣β）sinβ=﹣×+×=﹣，则tanα=﹣，故答案为：﹣点评：此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．16．（4分）如图，正方形ABCD的边长为2，点P是线段BC上的动点，则（+）•的最小值为．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：建立平面直角坐标系A﹣xy，设P（2，x），则=（0，﹣x），x∈，=（﹣2，2﹣x），=（0，2﹣x），利用x 表示（+）•的函数求最值．解答：解：建立平面直角坐标系A﹣xy，设P（2，x），则=（0，﹣x），x∈，=（﹣2，2﹣x），=（0，2﹣x），所以（+）•=2x2﹣6x+4=2（x﹣1.5）2+4﹣4.5，因为x∈，所以x=1.5时，（+）•的最小值为﹣0.5即；故答案为：．点评：本题考查了向量的数量积以及二次函数闭区间的最值，关键是建立坐标系，将问题转化为二次函数的最值求法．17．（4分）对于任意实数x，符号表示不超过x的最大整数，例如=2，=2；=﹣3，那么+++…+的值为857．考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：利用取整函数的性质和对数的运算法则求解．解答：解：由题意可知：设=blog3a=b+x，a，b为整数a=3b+x，0≤x＜1，因为y=3x为单调增函数当a在时因为30=1，31=3则0＜b+x＜1所以b=0时，+=0当a在时同理1＜b+x＜2b=1时，++…+=1b=2时，++…+=2．b=3时，++…+=3．b=4时，++…+=4．b=5时，=5．∴++++…+=1×6+2×18+3×54+4×162+5=857．故答案为：857．点评：本题考查函数值的求法，解题时要认真审题，注意取整函数的性质和对数的运算法则的合理运用．三、解答题：（本大题共4小题，共42分，要写出详细的解答过程或证明过程）18．（10分）已知，为平面向量，且||=，||=2，，的夹角为30°．（Ⅰ）求|+|及|﹣|；（Ⅱ）若向量+与﹣λ垂直，求实数λ的值．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：（I）利用数量积定义和运算性质即可得出；（II）由向量+与﹣λ垂直，可得（+）•（﹣λ）==0，代入解出即可．解答：解：（I）∵||=，||=2，，的夹角为30°，∴===3，∴|+|===；|﹣|===1．（II）∵向量+与﹣λ垂直，∴（+）•（﹣λ）==0，∴3﹣4λ+3（1﹣λ）=0，解得．点评：本题考查了数量积定义和运算性质、向量垂直于数量积的关系，属于基础题．19．（10分）已知集合M={x|x2﹣3x≤10}，N={x|a+1≤x≤2a+1}．（1）若a=2，求M∩（C R N）；（2）若M∪N=M，求实数a的取值范围．考点：并集及其运算；交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：（Ⅰ）a=2时，M={x|﹣2≤x≤5}，N={3≤x≤5}，由此能求出M∩（C R N）．（Ⅱ）由M∪N=M，得N⊂M，由此能求出实数a的取值范围．解答：（本小题满分8分）解：（Ⅰ）a=2时，M={x|﹣2≤x≤5}，N={3≤x≤5}，C R N={x|x＜3或x＞5}，所以M∩（C R N）={x|﹣2≤x＜3}．（Ⅱ）∵M∪N=M，∴N⊂M，①a+1＞2a+1，解得a＜0；②，解得0≤a≤2．所以a≤2．点评：本题考查交集、实集的应用，考查实数的取值范围的求法，是基础题．20．（10分）设函数f（x）=sinx（sinx+cosx）．（Ⅰ）求f（）的值；（Ⅱ）若函数f（x）在上的值域为，求实数a的取值范围．考点：三角函数中的恒等变换应用．专题：三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）将x=代入f（x）=sinx（sinx+cosx），整理计算即可求得f（）的值；（Ⅱ）利用三角恒等变换可得f（x）=+sin（2x﹣），结合函数的图象，利用正弦函数的单调性与最值即可求得实数a的取值范围．解答：解：（Ⅰ）f（）=sin（sin+cos）=sin sin=sin cos= (4)分（Ⅱ）f（x）=sin2x+sinxcosx=+sin2x=+sin（2x﹣）…6分当x=时，f（x）的最大值为，f（0）=f（）=0，所以，当a∈时，函数f（x）在上的值域为…8分点评：本题考查三角恒等变换的应用，着重考查正弦函数的单调性与最值，考查分析、作图与运算求解能力，属于中档题．21．（12分）已知函数f（x）=ax2+2bx+c（x∈R，a≠0）（Ⅰ）若a=﹣1，c=0，且y=f（x）在上的最大值为g（b），求g（b）；（Ⅱ）若a＞0，函数f（x）在上不单调，且它的图象与x轴相切，求的最小值．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；二次函数的性质．专题：分类讨论；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）求出a=﹣1，c=0时的f（x）解析式，配方求出对称轴，讨论区间与对称轴的关系，运用单调性即可得到最大值g（b）；（Ⅱ）由图象与x轴相切，可得判别式为0，由f（x）在上不单调，可得对称轴介于﹣8和﹣2之间，再对所求式子整理变形，令t=∈，结合基本不等式，即可得到最小值4．解答：解：（Ⅰ）a=﹣1，c=0时，f（x）=﹣x2+2bx=﹣（x﹣b）2+b2，∴对称轴是直线x=b，①b＜﹣1时，为减区间，即有f（x）max=f（﹣1）=﹣1﹣2b；②当﹣1≤b≤3时，即有；③当b＞3时，为增区间，即有f（x）max=f（3）=﹣9+6b．综上所述，；（Ⅱ）∵函数f（x）的图象和x轴相切，∴，∵f（x）在上不单调，∴对称轴，∴，即有，设，∴=≥=3+．∴的最小值为3+，此时当且仅当t﹣2=2∈（0，6）⇒t=2．点评：本题考查二次函数的最值求法，主要考查函数的单调性的运用，注意分类讨论的思想方法的运用和基本不等式的运用，同时考查化简整理的运算能力，属于中档题和易错题．。