2021届高三第五次模拟数学(理)试题
2021年陕西省高考第五次模拟考试数学(理)试卷-含答案与解析
2021年陕西省高考第五次模拟考试数学（理）试卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（3分）Z（M）表示集合M中整数元素的个数，设集合A＝{x|﹣1＜x＜8}，B＝{x|5＜2x ＜17}，则Z（A∩B）＝（）A．3 B．4 C．5 D．62．（3分）设z＝，是z的共轭复数，则z＝（）A．﹣1 B．i C．1 D．43．（3分）等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝12，S5＝90，则等差数列{a n}公差为（）A．2 B．C．3 D．44．（3分）位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥（如图所示）有“仙境之桥”之称，它的桥形可近似地看成抛物线，该桥的高度为5m，跨径为12m，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为（）A．m B．m C．m D．m（3分）如图，若在矩阵OABC中随机撒一粒豆子，则豆子落在图中阴影部分的概率为（）5．A．1﹣B．C．D．1﹣6．（3分）设a，b，c都是正数，且，那么（）A．B．C．D．7．（3分）函数f（x）＝+x2﹣2|x|的大致图象为（）A．B．C．D．8．（3分）《数术记遗》是《算经十书》中的一部，相传是汉末徐岳（约公元2世纪）所著，该书主要记述了：积算（即筹算）太乙、两仪、三才、五行、八卦、九宫、运筹、了知、成数、把头、龟算、珠算计数14种计算器械的使用方法某研究性学习小组3人分工搜集整理14种计算器械的相关资料，其中一人4种、另两人每人5种计算器械，则不同的分配方法有（）A．B．C．D．C C C9．（3分）在空间四边形ABCD中，若AB＝BC＝CD＝DA＝AC＝BD，且E，F分别是AB，CD的中点，则异面直线AC与EF所成角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°10．（3分）已知直线y＝kx与双曲线C：相交于不同的两点A，B，F为双曲线C的左焦点，且满足|AF|＝3|BF|，|OA|＝b（O为坐标原点），则双曲线C 的渐近线方程为（）A．B．C．D．11．（3分）函数的部分图象如图所示，给下列说法：①函数f（x）的最小正周期为π；②直线为函数f（x）的一条对称轴；③点为函数f（x）的一个对称中心；④函数f（x）的图象向右平移个单位后得到的图象．其中不正确说法的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．412．（3分）数列{a n}满足a1＝1，na n+1＝（n+1）a n+n（n+1），若，且数列{b n}的前n项和为S n，则S11＝（）A．64 B．80 C．﹣64 D．﹣80二、填空题13．（3分）某校高三科创班共48人，班主任为了解学生高考前的心理状况，将学生按1至48的学号用系统抽样方法抽取8人进行调查，若抽到的最大学号为48，则抽到的最小学号为．14．（3分）在平行四边形ABCD中，E为线段CD的中点，，，其中x，y ∈R，且均不为0．若，则＝．15．（3分）已知f（x）为奇函数，当x≤0时，f（x）＝x2﹣3x，则曲线y＝f（x）在点（1，﹣4）处的切线方程为16．（3分）已知矩形ABCD中，是CD边的中点．现以AE为折痕将△ADE 折起，当三棱锥D﹣ABE的体积最大时，该三棱锥外接球的表面积为．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题17．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知b（cos A﹣2cos C）＝（2c﹣a）cos B．（1）求的值；（2）若cos B＝，b＝2，求△ABC的面积S．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥PC，AD∥BC，AD⊥CD，且PC＝BC＝2AD＝2CD＝2，PA＝2．（1）证明：PA⊥平面ABCD；（2）在线段PD上，是否存在一点M，使得二面角M﹣AC﹣D的大小为60°？如果存在，求的值；如果不存在，请说明理由．19．为2020年全国实现全面脱贫，湖南贫团县保靖加大了特色农业建设，其中茶叶产业是重要组成部分，由于当地的地质环境非常适宜种植茶树，保靖的“黄金茶”享有“一两黄金一两茶”的美誉．保靖县某茶场的黄金茶场市开发机构为了进一步开拓市场，对黄金茶交易市场某个品种的黄金茶日销售情况进行调研，得到这种黄金茶的定价x（单位：百元/kg）和销售率y（销售率是销售量与供应量的比值）的统计数据如表：x10 20 30 40 50 60y0.9 0.65 0.45 0.3 0.2 0.175（1）设z＝lnx，根据所给参考数据判断，回归模型与哪个更合适？并根据你的判断结果求回归方程（，的结果保留一位小数）；（2）某茶场的黄金茶生产销售公司每天向茶叶交易市场提供该品种的黄金茶1200kg，根据（1）中的回归方程，估计定价x（单位：百元/kg）为多少时，这家公司该品种的黄金茶的日销售额W最大，并求W的最大值．参考数据：y与x的相关系数r1≈﹣0.96，y与z的相关系数r2≈0.99，，，，，，，，e3≈20.1，e3.4≈30.0，e3.5≈33.1，e4≈54.6．参考公式：，，．20．已知抛物线Γ：y2＝ax（a＞0）的焦点为F，若过点F且倾斜角为的直线交抛物线Γ于M，N两点，满足|MN|＝8．（1）求抛物线Γ的方程；（2）过点D（m，0）且斜率为1的直线被抛物线Γ截得的弦为AB，若点F在以AB为直径的圆内，求m的取值范围．21．已知函数f（x）＝e x﹣1﹣ax（a∈R）．（1）试讨论函数f（x）的零点个数；（2）若函数g（x）＝ln（e x﹣1）﹣lnx，且f[g（x）]＜f（x）在x∈（0，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．（二）选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（φ为参数）．（Ⅰ）以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）若射线θ＝α与曲线C有两个不同的交点A，B，求的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣2|﹣2|x|．（1）求不等式f（x）＞1的解集；（2）若正数a，b，c满足，求的最小值．参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（3分）Z（M）表示集合M中整数元素的个数，设集合A＝{x|﹣1＜x＜8}，B＝{x|5＜2x ＜17}，则Z（A∩B）＝（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】可求出集合B，然后进行交集的运算即可求出A∩B，从而得出Z（A∩B）．【解答】解：；∴；∴Z（A∩B）＝5．故选：C．【点评】考查描述法的定义，交集的运算，理解Z（M）的定义．2．（3分）设z＝，是z的共轭复数，则z＝（）A．﹣1 B．i C．1 D．4【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由求解．【解答】解：∵z＝＝，∴z＝|z|2＝1．故选：C．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3．（3分）等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝12，S5＝90，则等差数列{a n}公差为（）A．2 B．C．3 D．4【分析】利用等差数列的求和公式即可得出．【解答】解：∵a1＝12，S5＝90，∴5×12+d＝90，解得d＝3．故选：C．【点评】本题考查了等差数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4．（3分）位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥（如图所示）有“仙境之桥”之称，它的桥形可近似地看成抛物线，该桥的高度为5m，跨径为12m，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为（）A．m B．m C．m D．m【分析】根据题意，抛物线的顶点坐标是（0，0），并且过（6，﹣5），利用抛物线的顶点坐标式待定系数法求p即可．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为：x2＝﹣2py，p＞0，∵抛物线过（6，﹣5），则36＝10p，可得p＝，抛物线的焦点到准线的距离为：．故选：D．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，涉及了待定系数法求抛物线解析式的知识，注意建立数学模型，培养自己利用数学知识解决实际问题的能力，难度一般．（3分）如图，若在矩阵OABC中随机撒一粒豆子，则豆子落在图中阴影部分的概率为（）5．A．1﹣B．C．D．1﹣【分析】分别求出矩形和阴影部分的面积．即可求出豆子落在图中阴影部分的概率．【解答】解：S矩形＝π，sin xdx＝﹣＝﹣（cosπ﹣cos0）＝2，∴S阴影＝π﹣2，故豆子落在图中阴影部分的概率为＝1﹣，故选：A．【点评】本题简单的考查了几何概率的求解，属于容易题，难度不大，正确求面积是关键．6．（3分）设a，b，c都是正数，且，那么（）A．B．C．D．【分析】设＝k，利用对数表示出a、b和c的大小，再判断、和的关系．【解答】解：设＝k，k＞0，且k≠1；所以a＝k，b＝k，c＝k；所以＝＝log k，＝＝log k，＝＝log k，所以+＝log k+log k＝log k＝2log k＝．故选：D．【点评】本题考查了指数式与对数式的互换问题，也考查了推理与运算能力，是基础题．7．（3分）函数f（x）＝+x2﹣2|x|的大致图象为（）A．B．C．D．【分析】利用f（1）＜0，以及函数的极限思想进行排除即可．【解答】解：f（1）＝sin1+1﹣2＝sin1﹣1＜0，排除，B，C，当x→0时，→1，则f（x）→1+0＝1，排除A，故选：D．【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用排除法结合函数的极限思想是解决本题的关键．8．（3分）《数术记遗》是《算经十书》中的一部，相传是汉末徐岳（约公元2世纪）所著，该书主要记述了：积算（即筹算）太乙、两仪、三才、五行、八卦、九宫、运筹、了知、成数、把头、龟算、珠算计数14种计算器械的使用方法某研究性学习小组3人分工搜集整理14种计算器械的相关资料，其中一人4种、另两人每人5种计算器械，则不同的分配方法有（）A．B．C．D．C C C【分析】根据题意，分析有14种计算器械的相关资料分成满足题意的3组只有4，5，5，计算即可【解答】解：将14种计算器械的相关资料分成满足题意的3组只有4，5，5则不同的分配方法有，故选：A．【点评】本题考查分组分配的问题，先分组再分配时关键，属于中档题．9．（3分）在空间四边形ABCD中，若AB＝BC＝CD＝DA＝AC＝BD，且E，F分别是AB，CD的中点，则异面直线AC与EF所成角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【分析】设空间四边形ABCD的边长为2，作AD的中点，连结ME，MF，在△EMF中利用边角关系进行分析求解即可．【解答】解：因为在空间四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA＝AC＝BD，所以空间四边形ABCD是一个正四面体ABCD，在图1中，连结DE，EC，因为△DEC为等腰三角形，设空间四边形ABCD的边长为2，在△DEC中，，CF＝1，可得，在图2中，取AD的中点M，连结ME，MF，因为E，F分别是AB，CD的中点，所以MF＝1，EM＝1，∠EFM是异面直线AC与EF所成的角，在△EMF中，MF2+EM2＝EF2，故△EMF为等腰直角三角形，所以∠EFM＝45°，故异面直线AC与EF所成角的大小为45°．故选：B．【点评】本题考查了异面直线所成角的求解，解题的关键是寻找平行线将异面直线所成的角转化为相交直线所成的角，考查了逻辑推理能力与空间想象能力，属于中档题．10．（3分）已知直线y＝kx与双曲线C：相交于不同的两点A，B，F为双曲线C的左焦点，且满足|AF|＝3|BF|，|OA|＝b（O为坐标原点），则双曲线C 的渐近线方程为（）A．B．C．D．【分析】设|BF|＝m，则|AF|＝3|BF|＝3m，设A在第一象限，由双曲线的定义可得3m﹣m＝2a，再由平行四边形的对角线的平方和等于四边的平方和可得c2＝3a2，进一步得到渐近线方程．【解答】解：设|BF|＝m，则|AF|＝3|BF|＝3m，取双曲线的右焦点F′，连接AF′，BF′，所以四边形AF′BF为平行四边形，所以|AF′|＝|BF|＝m，设A在第一象限，得3m﹣m＝2a，即m＝a，由平行四边形的对角线的平方和等于四边的平方和，可得（2b）2+（2c）2＝2（a2+9a2），所以c2＝3a2，则b2＝c2﹣a2＝2a2，即＝，所以双曲线的渐近线的方程为y＝±x＝±x，故选：C．【点评】本题考查双曲线的定义，双曲线的性质，解题中需要理清思路，属于中档题．11．（3分）函数的部分图象如图所示，给下列说法：①函数f（x）的最小正周期为π；②直线为函数f（x）的一条对称轴；③点为函数f（x）的一个对称中心；④函数f（x）的图象向右平移个单位后得到的图象．其中不正确说法的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】先根据函数的图象求出函数的解析式，再根据正弦函数的图象与性质逐一判断每个选项即可．【解答】解：由图象可知，，最小正周期，所以，将点代入函数得，，所以，即，因为，所以取k＝1，，所以．因此①正确；②，所以②正确；③令，则，当k＝﹣1时，．所以点为函数f（x）的一个对称中心，即③正确；④函数f（x）的图象向右平移个单位得到，即④错误．所以不正确的为④，故选：A．【点评】本题考查根据图象求函数解析式、正弦函数的图象与性质，考查学生数形结合能力和运算能力，属于基础题．12．（3分）数列{a n}满足a1＝1，na n+1＝（n+1）a n+n（n+1），若，且数列{b n}的前n项和为S n，则S11＝（）A．64 B．80 C．﹣64 D．﹣80【分析】由题意可得＝+1，由等差数列的定义和通项公式，求得a n，再由特殊角的三角函数值，计算可得所求和．【解答】解：数列{a n}满足a1＝1，na n+1＝（n+1）a n+n（n+1），则＝+1，可得数列{}是首项为1、公差为1的等差数列，即有＝n，即为a n＝n2，则＝n2cos，则S11＝﹣（12+22+42+52+72+82+102+112）+（32+62+92）＝﹣（12+22﹣32﹣32+42+52﹣62﹣62﹣72+82﹣92﹣92+102+112）＝﹣×（5+23+41+59）＝﹣64．故选：C．【点评】本题考查等差数列的定义和通项公式，以及三角函数的求值和数列的求和，考查转化思想和运算能力，属于中档题．二、填空题13．（3分）某校高三科创班共48人，班主任为了解学生高考前的心理状况，将学生按1至48的学号用系统抽样方法抽取8人进行调查，若抽到的最大学号为48，则抽到的最小学号为 6 ．【分析】求出系统抽样的抽取间隔，即可得出结论．【解答】解：系统抽样的抽取间隔为＝6，则48﹣6×7＝6，则抽到的最小学号为6，故答案为：6．【点评】本题考查了系统抽样方法，熟练掌握系统抽样的特征是解答本题的关键．14．（3分）在平行四边形ABCD中，E为线段CD的中点，，，其中x，y ∈R，且均不为0．若，则＝ 2 ．【分析】根据平面向量的减法与加法求得、，根据∥列方程求出实数x、y 的关系，从而求出的值．【解答】解：如图所示，▱ABCD中，E为CD的中点，＝y，＝x，所以＝﹣＝x﹣y，＝+＝+＝﹣+，又∥，所以x•1﹣（﹣）•（﹣y）＝0，解得2x＝y，又x≠0且y≠0，所以＝2．故答案为：2．【点评】本题考查了平面向量的线性运算与共线定理应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．15．（3分）已知f（x）为奇函数，当x≤0时，f（x）＝x2﹣3x，则曲线y＝f（x）在点（1，﹣4）处的切线方程为5x+y﹣1＝0【分析】求出函数的解析式，然后求解函数的导数，求出切线的斜率，然后求解切线方程．【解答】解：设x＞0，则﹣x＜0，∴f（﹣x）＝（﹣x）2﹣3（﹣x）＝x2+3x．又f（x）为奇函数，∴﹣f（x）＝x2+3x，∴f（x）＝﹣x2﹣3x（x＞0），∴f'（x）＝﹣2x﹣3，∴f'（1）＝﹣2﹣3＝﹣5，f（1）＝﹣4，∴y+4＝﹣5（x﹣1）＝﹣5x+5，∴5x+y﹣1＝0．故答案为：5x+y﹣1＝0【点评】本题考查切线方程的求法，函数的解析式的求法，考查转化思想以及计算能力．16．（3分）已知矩形ABCD中，是CD边的中点．现以AE为折痕将△ADE 折起，当三棱锥D﹣ABE的体积最大时，该三棱锥外接球的表面积为．【分析】由E是CD边的中点，可得△S ABE为定值，当△ADE⊥平面ABE时，高最大值，此时体积最大．三棱锥D﹣ABE换成三棱锥B﹣ADE，求解底面ADE外接圆半径r，根据球心与圆心构造勾股定理求解球半径R，即可球的表面积．【解答】解：由题意，当平面ADE⊥平面ABE时，三棱锥D﹣ABE的高最大值，此时体积最大．∵△ADE是直角三角形，∴三棱锥D﹣ABE换成B﹣ADE∴底面△ADE外接圆半径r＝AE＝1，垂直面△ABE是边长为2等边三角形，可得AE边上的高h＝；设球心与圆心距离为d，球半径为R，R2＝r2+d2……①……②由①②解得R＝；三棱锥外接球的表面积S＝4πR2＝；故答案为：．【点评】本题考查球的表面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题17．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知b（cos A﹣2cos C）＝（2c﹣a）cos B．（1）求的值；（2）若cos B＝，b＝2，求△ABC的面积S．【分析】（1）由正弦定理得：sin B（cos A﹣2cos C）＝（2sin C﹣sin A）cos B，从而sin C ＝2sin A，由此能求出的值．（2）推导出c＝2a，由余弦定理得a＝1，c＝2，由此能求出△ABC的面积．【解答】解：（1）∵在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，b（cos A﹣2cos C）＝（2c﹣a）cos B．∴由正弦定理得：sin B（cos A﹣2cos C）＝（2sin C﹣sin A）cos B，化简，得：sin（A+B）＝2sin（B+C），∴sin C＝2sin A，∴＝．（2）∵＝，∴c＝2a，由余弦定理得：b2＝a2+c2﹣2ac cos B，∵cos B＝，b＝2，∴4＝a2+4a2﹣a2．解得a＝1，c＝2，∵cos B＝，0＜B＜π，∴sin B＝＝，∴△ABC的面积S＝＝＝．【点评】本题考查三角形中两角正弦值的比值的求法，考查三角形面积的求法，考查三角形面积、正弦定理、余弦定理、诱导公式、同角三角函数关系式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥PC，AD∥BC，AD⊥CD，且PC＝BC＝2AD＝2CD＝2，PA＝2．（1）证明：PA⊥平面ABCD；（2）在线段PD上，是否存在一点M，使得二面角M﹣AC﹣D的大小为60°？如果存在，求的值；如果不存在，请说明理由．【分析】（1）推导出AB⊥AC，AP⊥AC，AB⊥PC，从而AB⊥平面PAC，进而PA⊥AB，由此能证明PA⊥平面ABCD．（2）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出在线段PD上，存在一点M，使得二面角M﹣AC﹣D的大小为60°，＝4﹣2．【解答】证明：（1）∵在四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥PC，AD∥BC，AD⊥CD，且PC＝BC＝2AD＝2CD＝2，PA＝2．∴AB＝AC＝＝2，∴AB2+AC2＝BC2，PA2+AC2＝PC2，∴AB⊥AC，AP⊥AC，∵AB⊥PC，∴AB⊥平面PAC，∴PA⊥AB，∵AB∩AC＝A，∴PA⊥平面ABCD．解：（2）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，设在线段PD上，存在一点M（a，b，c），使得二面角M﹣AC﹣D的大小为60°，且＝λ，（0≤λ≤1），A（0，0，0），C（0，2，0），P（0，0，2），D（﹣1，1，0），＝（a，b，c﹣2），＝（﹣1，1，﹣2），∴，∴M（﹣λ，λ，2﹣2λ），∴＝（0，2，0），＝（﹣λ，λ，2﹣2λ），设平面ACM的法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，0，），平面ACD的法向量＝（0，0，1），∵二面角M﹣AC﹣D的大小为60°，∴cos60°＝＝，解得．∴在线段PD上，存在一点M，使得二面角M﹣AC﹣D的大小为60°，＝4﹣2．【点评】本题考查线面垂直的证明，考查满足二面角的点是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．19．为2020年全国实现全面脱贫，湖南贫团县保靖加大了特色农业建设，其中茶叶产业是重要组成部分，由于当地的地质环境非常适宜种植茶树，保靖的“黄金茶”享有“一两黄金一两茶”的美誉．保靖县某茶场的黄金茶场市开发机构为了进一步开拓市场，对黄金茶交易市场某个品种的黄金茶日销售情况进行调研，得到这种黄金茶的定价x（单位：百元/kg）和销售率y（销售率是销售量与供应量的比值）的统计数据如表：x10 20 30 40 50 60y0.9 0.65 0.45 0.3 0.2 0.175（1）设z＝lnx，根据所给参考数据判断，回归模型与哪个更合适？并根据你的判断结果求回归方程（，的结果保留一位小数）；（2）某茶场的黄金茶生产销售公司每天向茶叶交易市场提供该品种的黄金茶1200kg，根据（1）中的回归方程，估计定价x（单位：百元/kg）为多少时，这家公司该品种的黄金茶的日销售额W最大，并求W的最大值．参考数据：y与x的相关系数r1≈﹣0.96，y与z的相关系数r2≈0.99，，，，，，，，e3≈20.1，e3.4≈30.0，e3.5≈33.1，e4≈54.6．参考公式：，，．【分析】（1）通过两个回归模型的相关系数的比较，即可确定模型更合适，由题中的参考数据求出，即可得到回归方程；（2）求出W，然后利用导数求解最值即可．【解答】解：（1）因为回归模型的相关系数|r1|≈0.96，回归模型的相关系数|r2|≈0.99，因为0.96＜0.99＜1，由线性相关系数的意义可知，回归模型更合适，＝，＝0.45﹣（﹣0.45）×3.40≈2.0，所以回归方程为；（2）由题意可知，W＝1200×（﹣0.5lnx+2.0）x，所以W'＝1200×（1.5﹣0.5lnx），令W'＝0，解得lnx＝3，即x＝e3≈20.1，当0＜x＜e3时，W'＞0，W单调递增，当x＞e3时，W'＜0，W单调递减，所以当售价约为20.1百元/kg时，日销售额W最大，最大值为1200×（﹣0.5×lne3+2.0）×e3≈1200×（﹣0.5×3+2.0）×20.1＝12060百元，所以最大日销售额为120.6万元．【点评】本题考查了相关系数的应用以及线性回归方程的求解，要掌握线性回归方程必过样本中心这一知识点，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于中档题．20．已知抛物线Γ：y2＝ax（a＞0）的焦点为F，若过点F且倾斜角为的直线交抛物线Γ于M，N两点，满足|MN|＝8．（1）求抛物线Γ的方程；（2）过点D（m，0）且斜率为1的直线被抛物线Γ截得的弦为AB，若点F在以AB为直径的圆内，求m的取值范围．【分析】（1）根据题意可得抛物线Γ焦点为F（，0），写出过点F的倾斜角为的直线方程，设M（x1，y1），N（x2，y2），并联立抛物线的方程，结合韦达定理得x1+x2＝，由抛物线的定义可得|MN|＝x1+x2+＝2a＝8，解得a，即可得出答案．（2）设直线AB的方程为y＝x﹣m，联立抛物线的方程，由△＞0，得m＞﹣1，设A（x3，y3），B（x4，y4），结合韦达定理可得y3+y4，y3y4，写出，坐标，由点F在以AB为直径的圆内，得•＜0，由数量积公式计算，即可得出答案．【解答】解：（1）抛物线Γ：y2＝ax（a＞0）的焦点为F（，0），则过点F的倾斜角为的直线方程为y＝x﹣，联立y2＝ax，得x2﹣x+＝0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2＝，由抛物线的定义可得|MN|＝x1+x2+＝2a＝8，解得a＝4，所以抛物线Γ的方程为y2＝4x．（2）设直线AB的方程为y＝x﹣m，代入y2＝4x，得y2﹣4y﹣4m＝0，由△＝16+16m＞0，得m＞﹣1，设A（x3，y3），B（x4，y4），得y3+y4＝4，y3y4＝﹣4m，又F（1，0），所以＝（x3﹣1，y3），＝（x4﹣1，y4），因为点F在以AB为直径的圆内，所以∠AFB为钝角，即•＜0，得（x3﹣1）（x4﹣1）+y1y4＜0，得x3x4﹣（x3+x4）+1﹣4m＜0，所以﹣[（y3+y4）+2m]+1﹣4m＜0，得m2﹣6m﹣3＜0，解得3﹣2＜m＜3+2，又m＞﹣1，所以m的取值范围为（3﹣2，3+2）．【点评】本题考查直线与抛物线的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．21．已知函数f（x）＝e x﹣1﹣ax（a∈R）．（1）试讨论函数f（x）的零点个数；（2）若函数g（x）＝ln（e x﹣1）﹣lnx，且f[g（x）]＜f（x）在x∈（0，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．【分析】（1）通过求解函数的单调性，然后根据零点存在定理，通过讨论求解得出函数零点的个数；（2）根据（1）中结论，得到函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，将不等式转换为自变量的比较，最后得出结论．【解答】解：（1）根据题意，可得f'（x）＝e x﹣a，则有：①若a≤0，则f'（x）＝e x﹣a＞0，此时可得函数f（x）在R上单调递增，又因为f（0）＝0，所以函数只有一个零点；②若a＞0，令f'（x）＝0，则有x＝lna，所以f'（x）＞0⇒x＞lna，此时函数f（x）在（lna，+∞）上单调递增；f'（x）＜0⇒x＜lna，此时函数f（x）在（﹣∞，lna）上单调递减；即得f（x）min＝f （lna）＝a﹣1﹣alna，则有：（i）当lna＝0⇒a＝1时，则f（x）≥0，此时函数f（x）只有一个零点；（ii）当lna≠0时，即a≠1时，则f（lna）＜f（0）＝0，又因为x→﹣∞时，f（x）→+∞；x→+∞时，f（x）→+∞，根据零点存在定理可得，此时函数f（x）在R上有两个零点．综上可得，当a≤0或a＝1时，函数f（x）只有一个零点；当a∈（0，1）∪（1，+∞）时，函数f（x）有两个零点．（2）由（1）可知，当a≤0或a＝1时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，则有f[g（x）]＜f（x）⇔g（x）＜x⇔ln（e x﹣1）﹣lnx＜x⇔在（0，+∞）上恒成立，又因为x＞0时，，所以⇔⇔e x﹣1＜xe x⇔xe x﹣e x+1＞0令H（x）＝xe x﹣e x+1（x＞0）∵H'（x）＝xe x＞0在（0，+∞）上恒成立，即得函数H（x）在（0，+∞）上单调递增，故有H（x）＞H（0）＝0，即得f[g（x）]＜f（x）在x∈（0，+∞）上恒成立，符合题意；当0＜a＜1时，由（1）得，f（x）在（0，+∞）上单调递增，则由上结论可知，f[g（x）]＜f（x）在x∈（0，+∞）上恒成立，符合题意；当a＞1时，由（1）得，f（x）在（0，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增，此时当0＜x＜lna时，0＜g（x）＜x＜lna⇔f[g（x）]＞f（x），不合题意，综上可得，a≤1，即a∈（﹣∞，1]．【点评】本题考查函数导数在函数单调性的证明中的使用，以及恒成立条件的转化，以及函数单调性的使用，属于难题．（二）选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（φ为参数）．（Ⅰ）以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）若射线θ＝α与曲线C有两个不同的交点A，B，求的取值范围．【分析】（Ⅰ）将所给的参数方程消去参数φ即可确定曲线的直角坐标方程，然后将直角坐标方程转化为极坐标方程即可；（Ⅱ）联立（Ⅰ）中的极坐标方程和直线的极坐标方程，结合韦达定理和参数的几何意义即可确定+的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）曲线C的直角坐标方程为（x+1）2+（y﹣）2＝1，即x2+y2+2x﹣2+3＝0，又x2+y2＝ρ2，x＝ρcosθ，y＝ρsinθ．∴曲线C的极坐标方程为ρ2+2ρ（cosθ﹣）+3＝0．（Ⅱ）把θ＝α代入ρ＝0得ρ2+2（cosρ+3＝0．设A（ρ1，α），B（ρ2，α）则ρ1+ρ2＝2（，ρ1ρ2＝3．所以+＝+＝＝＝sin（α﹣），又射线θ＝α与曲线C有两个不同的交点A，B，∴，∴，∴）≤1，∴＜+，的取值范围为（，]．【点评】本题主要考查直角坐标与极坐标的互化，参数方程与普通方程的互化，参数方程的几何意义及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．属中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣2|﹣2|x|．（1）求不等式f（x）＞1的解集；（2）若正数a，b，c满足，求的最小值．【分析】（1）通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；（2）求出a+4b+9c＝3，根据柯西不等式的性质求出代数式的最小值即可．【解答】解：（1）f（x）＞1即|x﹣2|﹣2|x|＞1，若x≤0，则2﹣x﹣（﹣2x）＝x+2＞1，解得：﹣1＜x≤0，若0＜x＜2，则2﹣x﹣2x＝2﹣3x＞1，解得：0＜x＜，若x≥2，则x﹣2﹣2x＝﹣x﹣2＞1，解得：x＜﹣3，无解，综上：不等式的解集是{x|﹣1＜x＜}；（2）∵a+4b+9c＝f（）+2，∴a+4b+9c＝3，∴＝（a+4b+9c）（++），∵a，b，c均是正数，由柯西不等式得：＝（a+4b+9c）（++）＝[++][++]≥[（）•+（2）•2+（3）•3]2＝（1+4+9）2＝，当且仅当a＝b＝c＝时“＝”成立，∴的最小值是．【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查开心不等式的应用以及分类讨论思想，是中档题．。
2021年高三5月联考数学理试题 含答案
绝密★启用前2021年高三5月联考数学理试题含答案本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题，其它题为必考题。
考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2．选择题答案使用2B铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。
4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。
5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
第I卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.设集合M＝{－1,0,1}，N＝{x|x2≤x}，则M ∩N等于( )A．{0} B．{0,1} C．{－1,1} D．{－1,0,1}2.在复平面内，复数Z满足，则Z的共轭复数对应的点位于（）A.第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 等差数列的前项和为，那么值的是（）A．65B．70C．130D．2604．给出下列四个结论，其中正确的是( )A．若，则a<bB．“a=3"是“直线l1：与直线l2:垂直”的充要条件C．在区间上随机取一个数x，sin的值介于0到之间的概率是D．对于命题P：∈R使得<0，则：∈R均有>05.定义行列式运算：.若将函数的图象向左平移个单位后，所得图象对应的函数为奇函数，则的最小值是（）A．B．C．D．6．在△ABC中，若，则△ABC的形状为（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形7.设x,y满足约束条件，若目标函数的最大值为12，则=（）A.4B.C.D.8. 设是定义在上的恒不为零的函数，对任意实数，都有，若，则数列的前项和的取值范围是（）A. B. C. D.9．已知为如图所示的程序框图输出的结果，则二项式的展开式中常数项是（）A. -20B. 52 C. -192 D. -16010．已知三棱锥O—ABC，A、B、C三点均在球心为O的球表面上，∠ABC=120°，AB=BC=1，三棱锥O—ABC的体积为，则球O的表面积是（）A．64 B．16 C．D．54411．定义在R上的函数满足f（1）=1，且对任意x∈R都有，则不等式的解集为（）A．（1，2）B．（－∞，1）C．（1，+∞）D．（－1，1）232俯视图正视图12.过椭圆上一点作圆的两条切线,点为切点.过的直线与轴, 轴分别交于点两点, 则的面积的最小值为( )A .B .C . 1D . 二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
福建省长汀、连城一中等六校联考2025届高三下学期第五次调研考试数学试题含解析
福建省长汀、连城一中等六校联考2025届高三下学期第五次调研考试数学试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1． 若x,y 满足约束条件x 0x+y-30z 2x-2y 0x y ≥⎧⎪≥=+⎨⎪≤⎩，则的取值范围是A ．[0,6]B ．[0,4]C ．[6, +∞）D ．[4, +∞）2．已知函数()222,02,0x x x f x x x x ⎧-+≥⎪=⎨-<⎪⎩，若关于x 的不等式()()20f x af x +<⎡⎤⎣⎦恰有1个整数解，则实数a 的最大值为（ ） A ．2B ．3C ．5D ．83．已知函数()f x 的导函数为()f x '，记()()1f x f x '=，()()21f x f x '=，…，()()1n n f x f x +'=(n ∈N *). 若()sin f x x x =，则()()20192021f x f x += （ ）A ．2cos x -B ．2sin x -C ．2cos xD ．2sin x4．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三视图的长、宽、高分别为2，a ，b ，且()520,02a b a b +=>>，则此三棱锥外接球表面积的最小值为（ ）A ．174π B ．214π C ．4π D ．5π5．已知集合{}{}22(,)4,(,)2xA x y x yB x y y =+===，则AB 元素个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．46．棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -内有一个内切球O ，过正方体中两条异面直线AB ，11A D 的中点,P Q 作直线，则该直线被球面截在球内的线段的长为（ ） A ．22B ．21-C ．2D ．17．已知集合A ＝{0，1}，B ＝{0，1，2}，则满足A ∪C ＝B 的集合C 的个数为（ ） A ．4B ．3C ．2D ．18． “2a =”是“直线210ax y +-=与(1)20x a y +-+=互相平行”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ，12a =，且139,,a a a 成等比数列，则8S =（ ） A ．56B ．72C ．88D ．4010．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．48122+B ．60122+C ．72122+D ．8411．将函数()sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭图象上每一点的横坐标变为原来的2倍，再将图像向左平移3π个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则函数()y g x =图象的一个对称中心为（ ）A ．,012π⎛⎫⎪⎝⎭B ．,04π⎛⎫⎪⎝⎭C ．(),0πD ．4,03π⎛⎫⎪⎝⎭12．已知排球发球考试规则：每位考生最多可发球三次，若发球成功，则停止发球，否则一直发到3次结束为止．某考生一次发球成功的概率为()01p p <<，发球次数为X ，若X 的数学期望() 1.75E X >，则p 的取值范围为( ) A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．70,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．7,112⎛⎫ ⎪⎝⎭二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021届高考高三模拟考试数学试题
2021届高考高三模拟考试数学试题1、已知集合A={x|-2≤x<4}，B={x|-5<x≤3}，则A∩B=（）A、{x|-5<x<4}B、{x|-5<x≤-2}C、{x|-2≤x≤3}D、{x|3≤x<4}答案：C2、“a>1”是“(a-1)(a-2)<0”的（）A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件答案：B3、已知变量x，y之间的一组数据如下表：若y关于x的线性回归方程为ŷ=ax+b，则a=（）x。
y3.2.54.35.46.4.5A、0.1B、0.2C、0.35D、0.45答案：D4、已知a，b为不同直线，α,β为不同平面，则下列结论正确的是（）A、XXX⊥α，b⊥a，则b//αB、若a,b∥α，a//β,b//β，则α//βC、若a//α,b⊥β,a//b，则α⊥βD、若α∩β=b,XXXα,a⊥b，则α⊥β答案：C5、高一某班有5名同学报名参加学校组织的三个不同社区服务小组，每个小组至多可接收该班2名同学，每名同学只能报一个小组，则报名方案有（）A、15种B、90种C、120种D、180种答案：B6、已知α∈(π,π)，tanα=-3，则sin(α-π/4)等于（）A、-5/24πB、-3/5C、3/5D、5/24π答案：B7、随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域，并取得了显著经济效益。
假设某放射性同位素的衰变过程中，其含量N（单位：XXX）与时间t（单位：天）满足函数关系N(t)=P(t)P，其中P为t=0时该放射性同位素的含量。
已知t=15时，该放射性同位素的瞬时变化率为-10ln2，则该放射性同位素含量为4.5贝克时衰变所需时间为（）A、20天B、30天C、45天D、60天答案：C8、定义运算⊕：①对∀m∈R，m⊕m=m；②对∀m,n,p∈R，(m⊕n)⊕p=p⊕(mn)+m⊕p+n⊕p。
2021届高三高考数学模拟测试卷(五)【含答案】
2021届高三高考数学模拟测试卷（五）【含答案】第Ⅰ卷（选择题)一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合{0,1}M =，{|01}N x x =<≤，则M N ⋃=（ ） A ．[0,1] B ．(0,1] C ．[0,1) D ．(,1]-∞【答案】A 【解析】 【分析】利用并集的定义求解即可． 【详解】∵集合{0,1}M =，集合{|01}N x x =<≤，∴{|01}M N x x ⋃=≤≤，即M N ⋃=[0,1]. 故选：A 【点睛】本题考查了并集的定义与计算问题，属于基础题． 2．命题:p x ∀∈R ，220x x ->的否定为（ ）． A ．x ∀∈R ，220x x -≤ B ．x ∀∈R ，220x x -< C ．x ∃∈R ，220x x -> D ．x ∃∈R ，220x x -≤【答案】D 【解析】 命题p 的否定，将“x ∀∈R ”变成“x ∃∈R ”，将“220x x ->” 变成“220x x -≤”． 故选D ．点睛：(1)对全称(存在性)命题进行否定的两步操作：①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定；②对原命题的结论进行否定.(2)判定全称命题“,()x M p x ∀∈”是真命题，需要对集合M 中的每个元素x ，证明()p x 成立；要判定一个全称命题是假命题，只要举出集合M 中的一个特殊值0x ，使0()p x 不成立即可.要判断存在性命题是真命题，只要在限定集合内至少能找到一个0x x =，使0()p x 成立即可，否则就是假命题. 3．若复数34sin cos 55z i θθ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭是纯虚数，则tan()θ-π的值为( ) A ．34±B ．43C ．34-D ．43-【答案】C 【解析】 【分析】根据所给的虚数是一个纯虚数，得到虚数的实部等于0，而虚部不等于0，得到角的正弦和余弦值，根据同角三角函数之间的关系，得到结果. 【详解】若复数34sin (cos )55z i θθ=-+-是纯虚数， 则3sin 05θ-=且4cos 05θ-≠，所以3sin 5θ=，4cos 5θ=-，所以3tan 4θ=-，故tan()θ-π=3tan 4θ=-．故选C ． 【点睛】本题主要考查了复数的基本概念，属于基础题．纯虚数是一个易错概念，不能只关注实部为零的要求，而忽略了虚部不能为零的限制，属于易错题.4．已知变量x ，y 满足{2x −y ≤0x −2y +3≥0x ≥0 ，则z =log 4(2x +y +4)的最大值为（ ）A ．2B ．32C ．23D ．1【答案】B 【解析】试题分析：根据题中所给的约束条件，画出相应的可行域，可以求得2x +y +4在点(1,2)处取得最大值8，所以z 的最大值为log 48=32，故选B ． 考点：线性规划．5．设0a >，0b >，2lg 4a 与lg 2b 的等差中项，则21a b+的最小值为（ ） A ．22B ．3 C ．4D ．9【答案】D 【解析】∵2lg4a 与lg2b 的等差中项， ∴2lg 4lg 2a b =+， 即2lg 2lg 42lg 2aba b+=⋅=，∴21a b +=．所以212122()(2)55249b a a b a b a b a b+=++=++≥+= 当且仅当22b a a b =即13a b ==时取等号， ∴21a b+的最小值为9． 6．《中国好歌曲》的五位评委给一位歌手给出的评分分别是：118x =，219x =，320x =，421x =，522x =，现将这五个数据依次输入如图程序框进行计算，则输出的S 值及其统计意义分别是( )A ．2S =，即5个数据的方差为2B ．2S =，即5个数据的标准差为2C ．10S =，即5个数据的方差为10D ．10S =，即5个数据的标准差为10【答案】A 【解析】 【分析】算法的功能是求()()()22212202020i S x x x =-+-+⋯+-的值，根据条件确定跳出循环的i 值，计算输出S 的值． 【详解】由程序框图知：算法的功能是求()()()22212202020i S x x x =-+-+⋯+-的值， ∵跳出循环的i 值为5， ∴输出S =()()()2221[1820192020205⨯-+-+- ()()2221202220]+-+-= ()14101425⨯++++=.故选A. 【点睛】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是关键，属于基础题． 7．十九世纪末，法国学者贝特朗在研究几何概型时提出了“贝特朗悖论”，即“在一个圆内任意选一条弦，这条弦的弦长长于这个圆的内接等边三角形边长的概率是多少？”贝特朗用“随机半径”、“随机端点”、“随机中点”三个合理的求解方法，但结果都不相同．该悖论的矛头直击概率概念本身，强烈地刺激了概率论基础的严格化．已知“随机端点”的方法如下：设A 为圆O 上一个定点，在圆周上随机取一点B ，连接AB ，所得弦长AB 大于圆O 的内接等边三角形边长的概率．则由“随机端点”求法所求得的概率为（ ） A ．15B ．14C ．13D ．12【答案】C 【解析】 【分析】由题意画出图形，求出满足条件的B 的位置，再由测度比是弧长比得答案． 【详解】解：设“弦AB 的长超过圆内接正三角形边长”为事件M ， 以点A 为一顶点，在圆中作一圆内接正三角形ACD ，则要满足题意点B 只能落在劣弧CD 上，又圆内接正三角形ACD 恰好将圆周3等分， 故1()3P M =故选：C ． 【点睛】本题考查几何概型的意义，关键是要找出满足条件弦AB 的长度超过圆内接正三角形边长的图形测度，再代入几何概型计算公式求解，是基础题．8．椭圆221169x y +=的两个焦点为1F ，2F ，过2F 的直线交椭圆于A 、B 两点，若6AB =，则11AF BF +的值为( )A ．10B ．8C ．16D ．12【答案】A 【解析】 【分析】由椭圆的定义可得：12122AF AF BF BF a +=+=，即可得出． 【详解】由椭圆的定义可得：121228AF AF BF BF a +=+==，()()1122221616610AF BF a AF a BF AB ∴+=-+-=-=-=，故选A ． 【点睛】本题考查了椭圆的定义及其标准方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据（单位：cm ），可知此几何体的体积是（ ）A ．324cmB ．364cm 3C ．3(62522)cm +D ．3(248582)cm +【答案】B 【解析】由三视图可知，该几何体是如下图所示的四棱锥，故体积为16444433⨯⨯⨯=3cm .故选B.10．已知函数()sin f x x =，将()f x 的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标扩大为原来的3倍，再把图象上所有的点向上平移1个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则函数()g x 的周期可以为（ ） A ．2πB ．πC ．32π D ．2π【答案】B 【解析】 【分析】先利用三角函数图象变换规律得出函数()y g x =的解析式，然后由绝对值变换可得出函数()y g x =的最小正周期.【详解】()sin f x x =，将函数()y f x =的图象上的所有点的横坐示缩短到原来的12，可得到函数sin 2y x =的图象，再将所得函数图象上所有点的纵坐标扩大为原来的3倍，得到函数3sin 2y x=的图象，再把所得图象向上平移1个単位长度，得到()3sin 21g x x =+，由绝对值变换可知，函数()y g x =的最小正周期为22T ππ==，故选：B. 【点睛】本题考查三角函数变换，同时也考查三角函数周期的求解，解题的关键就是根据图象变换的每一步写出所得函数的解析式，考查推理能力，属于中等题.11．过曲线22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点1F 作曲线2222:C x y a +=的切线，设切点为,M 延长1F M 交曲线23:2(0)C y px p =>于点,N 其中13,C C 有一个共同的焦点，若10,MF MN +=则曲线1C 的离心率为（ ）． A 51+ B 5C 21+ D 2【答案】A 【解析】 【分析】设双曲线的右焦点的坐标为()2,0F c ，利用O 为12F F 的中点，M 为1F N 的中点，可得OM 为12NF F 的中位线，从而可求1NF ，再设()x,y N ，过点1F 作x 轴的垂线，由勾股定理得出关于,a c 的关系式，最后即可求得离心率． 【详解】设双曲线的右焦点为2F ，则2F 的坐标为(),0c ．因为曲线1C 与3C 有一个共同的焦点，所以曲线3C 的方程为24y cx =．因为10MF MN +=， 所以1MF MN NM =-=， 所以M 为1F N 的中点， 因为O 为12F F 的中点， 所以OM 为12NF F 的中位线，所以OM ∥2NF ．因为|OM |=a ，所以22NF a =．又21NF NF ⊥，122F F c =， 所以()()221222NF c a b =-=．设N (x ,y )，则由抛物线的定义可得2x c a +=， 所以2x a c =-．过点F 1作x 轴的垂线，点N 到该垂线的距离为2a ， 在1RtF PN 中，由勾股定理得22211||+||||F P PN F N =，即22244y a b +=，所以2224(2)44()c a c a c a -+=-， 整理得210e e --=，解得512e =． 故选A ． 【点睛】解答本题时注意以下几点：（1）求双曲线的离心率时，可根据题中给出的条件得到关于,,a b c 的关系式，再结合222a b c +=得到,a c 间的关系或关于离心率e 的方程（或不等式），由此可得离心率的取值（或范围）．（2）本题中涉及的知识较多，解题时注意将题中给出的关系进行转化，同时要注意圆锥曲线定义在解题中的应用．12．函数()f x 满足()()1,,2x e f x f x x x ⎡⎫=+∈+∞⎢⎣'⎪⎭， ()1f e =-，若存在[]2,1a ∈-，使得31232f a a e m ⎛⎫-≤--- ⎪⎝⎭成立，则m 的取值（ ）A ．2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．[)1,+∞ D ．12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A 【解析】 由题意设()()x f x g x e =，则()()1()xf x f xg x e x-'='=，所以()ln g x x c =+（c 为常数）．∵()1f e =-，∴(1)(1)1f g c e==-=，∴()()(1ln )x x f x g x e e x =⋅=-+， ∴1()(ln 1)xf x e x x =+-'．令1()ln 1h x x x =+-，则22111()x h x x x x-=-=，故当112x <<时，()0,()h x h x '<单调递减；当1x >时，()0,()h x h x '>单调递增．∴()(1)0h x h ≥=，从而当1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭时，()0f x '≥，∴()f x 在区间1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增．设[]3()32,2,1a a a e a ϕ=---∈-，则2()333(1)(1)a a a a ϕ'=-=+-，故()a ϕ在(2,1)--上单调递增，在(1,1)-上单调递减，所以max ()(1)a e ϕϕ=-=-． ∴不等式31232f a a e m ⎛⎫-≤--- ⎪⎝⎭等价于12(1)f e f m ⎛⎫-≤-= ⎪⎝⎭，∴1211122m m ⎧-≤⎪⎪⎨⎪-≥⎪⎩，解得213m ≤≤，故m 的取值范围为2[,1]3．选A ．点睛：本题考查用函数的单调性解不等式，在解答过程中首先要根据含有导函数的条件构造函数()()x f x g x e =，并进一步求得函数()f x 的解析式，从而得到函数()f x 在区间1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上的单调性．然后再根据条件中的能成立将原不等式转化为12(1)f f m ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭，最后根据函数的单调性将函数不等式化为一般不等式求解即可．第Ⅱ卷（非选择题)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
浙江省2021届理科数学复习试题选编32抛物线(学生版)
浙江省2021届理科数学复习试题选编32：抛物线〔学生版〕一、选择题1 ．〔浙江省永康市2021年高考适应性考试数学理试题 〕抛物线1C :y x 22=的焦点为F ,以F 为圆心的圆2C 交1C 于,A B ,交1C 的准线于,C D ,假设四边形ABCD 是矩形,那么圆2C 的方程为 〔 〕 A ．221()32x y +-= B ． 221()42x y +-= C ．22(1)12x y +-=D ．22(1)16x y +-=2 ．〔浙江省五校联盟2021届高三下学期第一次联考数学〔理〕试题〕P 为抛物线x y 42=上一个动点,Q 为圆1)4(22=-+y x 上一个动点,那么点P 到点Q 的距离与点P 到y 轴距离之和最小值是 〔 〕 A ．171+ B ．172- C ．25+ D ．171-3 ．〔浙江省宁波市金兰合作组织2021届高三上学期期中联考数学〔理〕试题〕过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点,点O 是原点,假设3AF =,那么AOB ∆的面积为〔 〕A ．22B ．2C ．322D ．224 ．〔浙江省诸暨中学2021届高三上学期期中考试数学〔理〕试题〕抛物线24y x =的焦点为F ,准线l 与x轴相交于点E ,过F 且倾斜角等于60°的直线与抛物线在x 轴上方的局部相交于点A ,AB l ⊥,垂足为B ,那么四边形ABEF 的面积等于 〔 〕 A ．33B ．43C ．63D ．835 ．〔浙江省湖州市2021年高三第二次教学质量检测数学(理)试题(word 版) 〕直线3440x y -+=与抛物线24x y =和圆()2211x y +-=从左到右的交点依次为A B C D ，，，,那么ABCD的值为 〔 〕A ．16 B ．116C ．4D ．14 6 ．〔浙江省杭州四中2021届高三第九次教学质检数学〔理〕试题〕抛物线y 2=2px(p>0)的焦点F 恰好是双曲线12222=-b y a x 的右焦点,且两条曲线的交点的连线过F,那么该双曲线的离心率为〔 〕A ．2B ．2C ．12+ D ．12-7 ．〔浙江省温州市2021届高三第二次模拟考试数学〔理〕试题〕抛物线y 2=2px(p>0)的准线交x 轴了点C,焦点为F. 〔 〕 A ．B是抛物线的两点.己知〔 〕 A ．B,C三点共线,且|AF|,|BF|成等差数列,直线AB的斜率为k,那么有 〔 〕A ．412=k B ．432=k C ．212=k D ．232=k 非选择题局部(共100分)8 ．〔浙江省温州八校2021届高三9月期初联考数学〔理〕试题〕设动圆M 与y 轴相切且与圆C :0222=-+x y x 相外切, 那么动圆圆心M 的轨迹方程为〔 〕 A ．24y x = B ．24y x =-C ．24y x =或0(0)y x =<D ．24y x=或0y =9 ．〔浙江省温岭中学2021届高三冲刺模拟考试数学〔理〕试题〕如图,点P 是双曲线C :)0,0(12222>>=-b a b y a x 左支上一点,F 1,F 2是双曲线的左、右两个焦点,且PF 1⊥PF 2,PF 2与两条渐近线相交于M ,N两点,点N 恰好平分线段PF 2,那么双曲线的离心率是 〔 〕A ．5B ．2C ．3D ．2二、填空题10．〔浙江省嘉兴市第一中学2021届高三一模数学〔理〕试题〕己知抛物线y 2=4x 的焦点为F,假设点A, B 是该抛物线上的点,2π=∠AFB ,线段AB 的中点M 在抛物线的准线上的射影为N,那么||||AB MN 的最大值为____. 11．〔浙江省温岭中学2021届高三高考提优冲刺考试〔三〕数学〔理〕试题 〕F 为抛物线)0(2>=a ay x 的焦点,O 为坐标原点.点M 为抛物线上的任一点,过点M 作抛物线的切线交x 轴于点N ,设21,k k 分别为直线MO 与直线NF 的斜率,那么=21k k ________.12．〔浙江省2021年高考模拟冲刺〔提优〕测试一数学〔理〕试题〕抛物线C :)0(22>=p px y 的焦点为F ,准线与x 轴交于M 点,过M 点斜率为k 的直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点,假设||45||AF AM =,那么k 的值_______.13．〔浙江省一级重点中学〔六校〕2021届高三第一次联考数学〔理〕试题〕直线()y k x m =-与抛物线22(0)y px p =>交于B A ,两点,且OA OB ⊥,又OD AB ⊥于D , 假设动点D 的坐标满足方程2240x y x +-=,那么m =_______.14．〔浙江省宁波市2021届高三第二次模拟考试数学〔理〕试题〕曲线12221,22:4:l x y C x y C 直线和-=+=与C 1、C 2分别相切于A 、B,直线2l ,(不同于1l )与C 1、C 2分别相切于点C 、D,那么AB 与CD 交点的横坐标是__________.15．〔浙江省黄岩中学2021年高三5月适应性考试数学(理)试卷 〕抛物线)0(2:2>=p px y M焦点为F ,直线2pmy x +=与抛物线M 交于B A ,两点,与y 轴交于点C ,且||||BF BC =,O 为坐标原点,那么BOC ∆与AOC ∆面积的比值为________.16．〔浙江省温州市2021届高三第三次适应性测试数学(理)试题〔word 版〕 〕点),(a a A ,)1,1(++a a B ,动点P 到点)0,1(M 的距离比到2-=x 的距离小1的轨迹为曲线C ,且线段AB 与曲线C 有且仅有一个焦点,那么a 的取值范围是______.17．〔浙江省温州十校联合体2021届高三期中考试数学〔理〕试题〕在平面直角坐标系xOy 中,焦点为F 的抛物线y 2=2x 上的点P 到坐标原点O 的距离为15,那么线段PF 的长为_____.18．〔浙江省温岭中学2021届高三冲刺模拟考试数学〔理〕试题〕P 为抛物线C :x y 42=上一点,假设P 点到抛物线C 准线的距离与到顶点距离相等,那么P 点到x 轴的距离为_____________.19．〔2021年普通高等学校招生统一考试浙江数学〔理〕试题〔纯WORD 版〕〕设F 为抛物线x y C 4:2=的焦点,过点)0,1(-P 的直线l 交抛物线C 于两点B A ,,点Q 为线段AB 的中点,假设2||=FQ ,那么直线的斜率等于________.20．〔浙江省六校联盟2021届高三回头联考理科数学试题〕过抛物线24y x =的焦点作一条倾斜角为a,长度不超过8的弦,弦所在的直线与圆2234x y +=有公共点,那么a 的取值范围是_______________ 21．〔浙江省海宁市2021届高三2月期初测试数学〔理〕试题〕抛物线26y x =,准线l 与x 轴交于点M ,过M作直线交抛物线于,A B 两点(A 在,M B 之间),点A 到l 的距离为2,那么||||AB MA =____. 三、解答题22．〔浙江省杭州二中2021届高三6月适应性考试数学〔理〕试题〕抛物线2:4C y x =,直线:l y x b =-+与抛物线交于,A B 两点.(Ⅰ)假设以AB 为直径的圆与x 轴相切,求该圆的方程; (Ⅱ)假设直线l 与y 轴负半轴相交,求AOB ∆面积的最大值.23．〔浙江省嘉兴市2021届高三第二次模拟考试理科数学试卷〕如图,抛物线py x C 2:21=的焦点在抛物线121:22+=x y C 上,点P 是抛物线1C 上的动点. (Ⅰ)求抛物线1C 的方程及其准线方程;(Ⅱ)过点P 作抛物线2C 的两条切线,M 、N 分别为两个切点,设点P 到直线MN 的距离为d ,求d 的最小值.24．〔温州市2021年高三第一次适应性测试理科数学试题〕点11(,)A x y ,22(,)B x y 是抛物线24y x =上相异两点,且满足122x x +=.(Ⅰ)假设AB 的中垂线经过点(0,2)P ,求直线AB 的方程;(Ⅱ)假设AB 的中垂线交x 轴于点M ,求AMB ∆的面积的最大值及此时直线AB 的方程.25．〔浙江省宁波市2021届高三第一学期期末考试理科数学试卷〕如图,设点2213(,):(1)4P m n C x y ++=是圆上的动点,过点P 作抛物线22:(0)C x ty t =>的两条切线,切点分别是A 、B.圆C 1的圆心M 在抛物线C 2的准线上. (I)求t 的值;(Ⅱ)求PA PB ⋅的最小值,以及取得最小值时点P 的坐标.OxyPMN 1C 2C 〔第21题〕26．〔浙江省建人高复2021届高三第五次月考数学〔理〕试题〕抛物线22212:,: 1.4y C y x C x =+=椭圆 (1)设12,l l 是C 1的任意两条互相垂直的切线,并设12l l M =,证明:点M 的纵坐标为定值;(2)在C 1上是否存在点P ,使得C 1在点P 处切线与C 2相交于两点A 、B ,且AB 的中垂线恰为C 1的切线?假设存在,求出点P 的坐标;假设不存在,说明理由.27．〔浙江省温州中学2021届高三第三次模拟考试数学〔理〕试题〕如图,抛物线C :2ax y =)0(>a 与射线1l :12-=x y )0(≥x 、2l :)0(12≤--=x x y 均只有一个公共点,过定点)1,0(-M 和)41,0(N 的动圆分别与1l 、2l 交于点A 、B ,直线AB 与x 轴交于点P . (Ⅰ)求实数a 及NP AB ⋅的值;(Ⅱ)试判断:||||MB MA +是否为定值?假设是,求出该定值;假设不是,说明理由.28．〔浙江省2021年高考模拟冲刺〔提优〕测试二数学〔理〕试题〕圆C 的圆心在y 轴上,且与两直线l 1:0105=+-+y x ;l 2:0105=--+y x 均相切. (I)求圆C 的方程;(II)过抛物线2ax y =上一点M ,作圆C 的一条切线ME,切点为E,且MC ME ⋅的最小值为4,求此抛物线准线的方程.29．〔浙江省乐清市普通高中2021届高三上学期期末教学质量检测数学〔理〕试题〕点F 是抛物线yx C 4:21=与椭圆)0(1:22222>>=+b a b x a y C 的公共焦点,且椭圆的离心率为21. (1)求椭圆C 的方程;(2)设P 是在x 轴上方的椭圆上任意一点,F 是上焦点,过P 的直线PQ 与圆222b y x =+相切于Q 点,问:||||PQ PF +是否为定值,假设是,求出该定值;假设不是,请说明理由.30．〔浙江省温岭中学2021届高三冲刺模拟考试数学〔理〕试题〕以抛物线my x 22=(0>m )的顶点O 为圆心的圆,截该抛物线的准线所得的弦长为m 3 (Ⅰ)求圆C 的方程;(Ⅱ)过圆C 上任一点M 作该圆的切线l ,它与椭圆1222=+y a x (R a ∈,且2>a )相交于A 、B 两点,当OB OA ⊥时,求m 的可能取值范围.31．〔浙江省绍兴一中2021届高三下学期回头考理科数学试卷〕抛物线)0(2:2>=p py xC 的焦点为F ,抛物线上一点A 的横坐标为1x )0(1>x ,过点A 作抛物线C 的切线1l 交x 轴于点D ,交y 轴于点Q ,交直线:2pl y =于点M ,当2||=FD 时, 60=∠AFD . (1)求证:AFQ ∆为等腰三角形,并求抛物线C 的方程;(2)假设B 位于y 轴左侧的抛物线C 上,过点B 作抛物线C 的切线2l 交直线1l 于点P ,交直线于点N ,求PMN ∆面积的最小值,并求取到最小值时的1x 值.32．〔浙江省温州十校联合体2021届高三期中考试数学〔理〕试题〕假设椭圆2212:1(02)4x y C b b +=<<的离心率等于32,抛物线22:2(0)C x py p =>的焦点在椭圆的顶点上. (1)求抛物线2C 的方程;(2)过(1,0)M -的直线l 与抛物线2C 交P , Q 两点,又过P , Q 作抛物线2C 的切线12,l l ,当12l l ⊥时,求直线l 的方程.33．〔浙江省嘉兴市2021届高三上学期根底测试数学〔理〕试题〕如图,11(,)A x y ,22(,)B x y 是抛物线2:2C x py =(p 为正常数,p>0)上的两个动点,直线AB 与x 轴交于点P,与y 轴交于点Q,且2124p y y = (Ⅰ)求证:直线AB 过抛物线C 的焦点; (Ⅱ)是否存在直线AB,使得113?PA PB PQ+=假设存在,求出直线AB 的方程;假设不存在,请说明理由.34．〔浙江省杭州市2021届高三第二次教学质检检测数学〔理〕试题〕直线y=2x-2与抛物线x 2=2py(p>0)交于M 1,M 2两点,直线y=2p与y 轴交于点F.且直线y =2p恰好平分∠M 1FM 2. (I)求P 的值; (Ⅱ)设A 是直线y=2p 上一点,直线AM 2交抛物线于另点M 3,直线M 1M 3交直线y=2p于点B,求OA ·OB 的值.35．〔浙江省宁波市金兰合作组织2021届高三上学期期中联考数学〔理〕试题〕在平面直角坐标系xOy 中,F是抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点,M 是抛物线C 上位于第一象限内的任意一点,过,,M F O 三点的圆的圆心为Q ,点Q 到抛物线C 的准线的距离为34. (Ⅰ)求抛物线C 的方程;(Ⅱ)是否存在点M ,使得直线MQ 与抛物线C 相切于点M ?假设存在,求出点M 的坐标;假设不存在,说明理由;(Ⅲ)假设点M 的横坐标为2,直线1:4l y kx =+与抛物线C 有两个不同的交点,A B ,l 与圆Q 有两个不同的交点,D E ,求当122k ≤≤时,22AB DE +的最小值. 36．〔浙江省金华十校2021届高三4月模拟考试数学〔理〕试题〕抛物线2:2(0),C y px p M =>点的坐标为(12,8),N 点在抛物线C 上,且满足3,4ON OM =O 为坐标原点.(II)以点M 为起点的任意两条射线12,l l 关于直线l :y=x —4,并且1l 与抛物线C 交于A 、B 两点,2l 与抛物线C 交于D 、E 两点,线段AB 、DE 的中点分别为G 、H 两点.求证:直线GH 过定点,并求出定点坐标.浙江省2021届理科数学复习试题选编32：抛物线〔学生版〕参考答案一、选择题 1. B 2. B 3. C 4. C 5. B 6. C 7. D 8. C9. A.⎪⎩⎪⎨⎧=+=-22222221c y x by a x 得,c b y P 2=,∴c b y N 22=,得c ab x N 2=,从而c c ab x P 2-=. ∵P 是双曲线上,∴1)(2242222=--c b b c a c ab ,化简得,b a =2,得5=e .二、填空题10.211. 21－解析:设),(200a x x M ,那么过点M 的抛物线的切线方程为:ax x x a x y 2000)(2+-=,令0=y 得:021x x N =,故)0,2(0x N ,)4,0(aF ,即:022x a k k NF -==,又axx a x k k MO 0021===,故2121-=k k12. 34±13. 414.12 15. 4116. [1,0][3,4]-⋃ 17.7218. 2;得P 点到焦点距离与到顶点距离相等,∴214==p x P ,得2||=P y . 19. 1±20.21. 2 三、解答题22.解:(Ⅰ)联立24y x b y x=-+⎧⎨=⎩,消x 并化简整理得2440y y b +-=. 依题意应有16160b ∆=+>,解得1b >-.设1122(,),(,)A x y B x y ,那么12124,4y y y y b +=-=-,设圆心00(,)Q x y ,那么应有121200,222x x y y x y ++===-. 因为以AB 为直径的圆与x 轴相切,得到圆半径为0||2r y ==, 又222121212||()()(11)()2(1616)AB x x y y y y b =-+-=+-=+ .所以||22(1616)4AB r b ==+=,解得12b =-. 所以121203222x x y b y b x +-+-+===,所以圆心为3(,2)2-.故所求圆的方程为223()(2)42x y -++=.(Ⅱ)因为直线l 与y 轴负半轴相交,所以0b <,又直线l 与抛物线交于两点,由(Ⅰ)知1b >-,所以10b -<<,点O 到直线l 的距离||2b d =, 所以211||||2(1616)2(1)222AOB b S AB d b b b ∆==+=+. 令223()(1)g b b b b b =+=+,10b -<<22'()323()3g b b b b b =+=+,()g b ∴在2(1,)3--增函数,在2(,0)3-是减函数()g b ∴的最大值为24()327g -=. 所以当23b =-时,AOB ∆的面积取得最大值43923.解:(Ⅰ)1C 的焦点为)2,0(pF , 所以102+=p,2=p 故1C 的方程为y x 42=,其准线方程为1-=y(Ⅱ)设),2(2t t P ,)121,(211+x x M ,)121,(222+x x N ,那么PM 的方程:)()121(1121x x x x y -=+-,所以12122112+-=x tx t ,即02242121=-+-t tx x . 同理,PN :121222+-=x x x y ,02242222=-+-t tx x MN 的方程:)()121(121)121(121222121x x x x x x x y --+-+=+-, 即))((21)121(12121x x x x x y -+=+-. 由⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=-+-0224022422222121t tx x t tx x ,得t x x 421=+,21211221t tx x -=- 所以直线MN 的方程为222t tx y -+=于是222222241)1(241|24|t t t t t t d ++=+-+-=. 令)1(412≥+=s t s ,那么366216921=+≥++=s s d (当3=s 时取等号). 所以,d 的最小值为324.方法一:解:(I)当AB 垂直于x 轴时,显然不符合题意,所以可设直线AB 的方程为y kx b =+,代入方程24y x =得: ∴122422kbx x k-+== 得:2b k k=- ∴直线AB 的方程为2(1)y k x k=-+∵AB 中点的横坐标为1,∴AB 中点的坐标为2(1,)k∴AB 的中垂线方程为1213(1)y x x k k k k=--+=-+∵AB 的中垂线经过点(0,2)P ,故32k =,得32k =∴直线AB 的方程为3126y x =-(Ⅱ)由(I)可知AB 的中垂线方程为13y x k k=-+,∴M 点的坐标为(3,0)因为直线AB 的方程为2220k x ky k -+-=∴M 到直线AB的距离d ==由222204k x ky k y x⎧-+-=⎨=⎩得222204k y ky k -+-=,∴214(1AMB S k ∆=+,t =,那么01t <<, 234(2)48S t t t t =-=-+,2'128S t =-+,由'0S =,得t =即k =时max S =此时直线AB的方程为30x -= (此题假设运用根本不等式解决,也同样给分) 法二:(1)根据题意设AB 的中点为(1,)Q t ,那么2121222121244AB y y y y k y y x x t--===--由P 、Q 两点得AB 中垂线的斜率为2k t =-,由2(2)1t t -⋅=-,得43t = ∴直线AB 的方程为3126y x =-(2)由(1)知直线AB 的方程为2(1)y t x t-=- AB 中垂线方程为(1)2ty t x -=--,中垂线交x 轴于点(3,0)M点M 到直线AB的距离为d ==由22(1)4y t x ty x⎧-=-⎪⎨⎪=⎩得:22248(2)0x x t -+-= 当243t =时,S,此时直线AB方程为310x ±-=25. 26.即27.解:(I)联立221y ax y x ⎧=⎨=-⎩得:2210ax x -+=设动圆()222235:88Q x t y t ⎛⎫⎛⎫-++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(5544t -<<,圆与1l ,2l 相切时取到等号)联立()2222135:88:21Q x t y t l y x ⎧⎛⎫⎛⎫-++=+⎪ ⎪ ⎪⎨⎝⎭⎝⎭⎪=-⎩得:214,525t t A ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 同理得:214,525t t B ⎛⎫--⎪⎝⎭4821:5552AB t t t l y x ⎛⎫⎛⎫∴-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,令0y =得2,05t P ⎛⎫ ⎪⎝⎭(Ⅱ)||||MB MA +=5544t t ⎫++-=⎪⎭是定值. (动圆()222235:88Q x t y t ⎛⎫⎛⎫-++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,5544t -<<,圆与1l ,2l 相切时取到等号)(或由A B y y =,及几何法得||||MB MA+=28.29. 解:(1)∵1=c ,21=a c ∴2=a ,即椭圆方程为13422=+x y(2)设),(y x P ,那么∴2||||=+PQ PF =定值30.解(Ⅰ):抛物线的准线方程是2my -=(0>m ),由于圆C 截抛物线的准线所得的弦长为m 3,所以圆C 的半径m m m r =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=22232,故所求圆的方程是222m y x =+ 31.解:(1)设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛p x x A 2,211,那么A 处的切线方程为p x x p x y l 2:2111-=,所以⎪⎭⎫ ⎝⎛0,21x D ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-p x Q 2,021 所以AF px p FQ =+=2221;即AFQ ∆为等腰三角形又D 为线段AQ 的中点,所以4=AF ,得:⎪⎩⎪⎨⎧=+=+1642222121p x p x p 所以2=p ,.4:2y x C =(2)设)0(),(222<x y x B ,那么B 处的切线方程为42222xx x y -=由)4,2(42422121222211x x x x P x x x y xx x y +⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=,由)1,22(14211211x x M y x x x y +⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-=,同理)1,22(22x x N +, 所以面积212211221221116)4)(()41)(2222(21x x x x x x x x x x x x S --=---+=① 设AB 的方程为b kx y +=,那么0>b 由044422=--⇒⎩⎨⎧=+=b kx x yx b kx y ,得⎩⎨⎧-==+b x x kx x 442121代入①得:bbk b b b b k S ++=++=2222)1(64)44(1616,要使面积最小,那么应0=k ,得到bbb S 2)1(+=② 令t b =,得t t t t t t S 12)1()(322++=+=,222)1)(13()(tt t t S +-=', 所以当)33,0(∈t 时)(t S 单调递减;当),33(+∞∈t )(t S 单调递增, 所以当33=t 时,S 取到最小值为9316,此时312==t b ,0=k , 所以311=y ,即3321=x32.解:(1)由椭圆方程得2a =,c e a ==所以c =1b == 由题意得:抛物线的焦点应为椭圆的上顶点,即(0,1) 所以2p = 抛物线方程为24x y =(2) 可判断直线l 的斜率存在,设直线l 的方程为(1)y k x =+ 设P Q 、坐标为1122(,),(,)x y x y 联立2(1)4y k x x y=+⎧⎨=⎩ 整理得 2440x kx k --=33. (Ⅰ)由题意知,直线AB 的斜率存在,且不为零.设直线AB 的方程为:b kx y += (0≠k ,0>b )由⎩⎨⎧=+=pyx b kx y 22,得0222=--pb pkx x . ∴⎪⎩⎪⎨⎧-==+>+=∆pb x x pk x x pb k p 22084212122, ∴2222121214)2(22b ppb p x p x y y =-=⋅=. ∵4221p y y =,∴422p b =,∵0>b ,∴2p b =.∴直线AB 的方程为:2pkx y +=.抛物线C 的焦点坐标为)2,0(p,∴直线AB 过抛物线C 的焦点 (Ⅱ)假设存在直线AB ,使得||3||1||1PQ PB PA =+, 即3||||||||=+PB PQ PA PQ . 作x AA ⊥/轴,x BB ⊥/轴,垂足为/A 、/B ,∴212121//222||||||||||||||||y y y y p y py p BB OQ AA OQ PB PQ PA PQ +⋅=+=+=+ ∵p pk p x x k y y +=++=+221212)(,4221p y y =∴||||||||PB PQ PA PQ +=42222pp pk p +⋅=242+k 由3242=+k ,得21±=k . 故存在直线AB ,使得||3||1||1PQ PB PA =+.直线AB 方程为221p x y +±= 34.(第21题)(Ⅰ) 由⎩⎨⎧=-=pyx x y 2222 ,整理得0442=+-p px x ,设MR 1R(11,y x ),MR 2R(22,y x ),那么⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=+>-=∆p x x p x x p p 440161621212 ,∵ 直线2py =平分21FM M ∠,∴ 021=+F M F M k k ,∴ 0)22(42121=⋅+⋅+-x x x x p ,∴ 4=p ,满足0>∆,∴4=p (Ⅱ) 由(1)知抛物线方程为y x 82=,且⎩⎨⎧==+16162121x x x x ,)8,(2111x x M ,)8,(2222x x M ,设)8,(2333xx M ,A )2,(t ,)2,(a B ,由A 、MR 2R 、MR 3R 三点共线得232AM M M k k =,∴ t x x x x --=+22232288,即:16)(22323222-=+-+x x x t x x x , 整理得:16)(3232-=+-x x t x x , ①由B 、MR 3R 、MR 1R 三点共线,同理可得 16)(3131-=+-x x a x x , ② ②式两边同乘2x 得:2322132116)(x x x x x a x x x -=+-, 即:232316)16(16x x x a x -=+-, ③由①得:16)(3232-+=x x t x x ,代入③得:23231616)(1616x a x x ta a x -=++--, 即:)()(163232x x at x x +=+,∴ 16=at . ∴ 204=+=⋅at OB OA35.225'()828f t t t =--,当554t ≤≤时,5'()'()64f t f ≥=,()f t 在5,54⎡⎤⎢⎥⎣⎦递增,故当54t =,即12k =时,有最小值13236.。
2021年高三5月模拟考试数学理试题 含答案
2021年高三5月模拟考试数学理试题含答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合，则（）．A．B． C． D．2. 若纯虚数满足（其中是虚数单位，是实数），则（）A．B．C．-4 D．43.设命题p:存在两个相交平面垂直于同一条直线;命题q：.则下列命题为真命题的是( )A.B .C . D.4.公差不为0的等差数列中, ,数列是等比数列，且,则（）A．4 B．8 C．16 D．365.如图，一个空间几何体的三视图如图所示，其中，主视图是边长为2的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体的体积为( )A．B．C．D．6．在边长为1的正三角形中，，，且，则的最大值为( )A． B． C． D．7. 已知，由如右程序框图输出的（）A. B. C. D.8．在ΔABC中，角A,B,C所对的对边长分别为a、b、c，sinA、sinB、sinC成等比数列，且c= 2a，则cosB的值为（）A. B. C.D.9.已知函数，直线与函数、的图象都相切，且与图象的切点为，则（）A． B. C. D.否输出结束?是输入M，N开始第7题图A B D10.己知关于的函数，若点是区域内任意一点，则函数在上有零点的概率为（）A. B. C.D.11.正方形的边长为，中心为，球与正方形所在平面相切于点，过点的球的直径的另一端点为，线段与球的球面的交点为，且恰为线段的中点，则球的体积为（）A. B. C. D.12．已知是双曲线上的不同三点，且连线经过坐标原点，若直线的斜率乘积，则该双曲线的离心率=（）A．B． C．D．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13.将5名同学分到甲、乙、丙3个小组，若甲组至少两人，乙、丙组至少各一人，则不同分配方案有__种.14.的展开式的常数项是_________.（用数字作答）15．若函数对任意实数都有，则的值等于_________.16．给出以下命题：①双曲线的渐近线方程为；②命题“，”是真命题；③已知线性回归方程为，当变量增加个单位，其预报值平均增加个单位；④设随机变量服从正态分布，若，则；⑤已知，，，，依照以上各式的规律，得到一般性的等式为，（）则正确命题的序号为（写出所有正确命题的序号）．三、解答题：共70分解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤17.（本小题满分12分）在数列中，，并且对于任意n∈N*，都有．(Ⅰ)求的通项公式；(Ⅱ)设数列的前n项和为，求使得的最小正整数.18．（本小题满分12分）现有长度分别为、、的钢管各根（每根钢管质地均匀．．．．．．．．、．粗细相同．．．．且．附有不同的编号．．．．．．．），从中随机抽取根（假设各钢管被抽取的可能性是均等的,），再将抽取的钢管相接焊成笔直的一根．（Ⅰ）当时,记事件{抽取的根钢管中恰有根长度相等}，求；（Ⅱ）当时,若用表示新焊成的钢管的长度（焊接误差不计）,①求的分布列；②令，，求实数的取值范围．19．（本小题满分12分）如图：四棱锥中,,．∥，．．（Ⅰ）证明: 平面；（Ⅱ）在线段上是否存在一点，使直线与平面成角正弦值等于，若存在，指出点位置，若不存在，请说明理由．20．（本小题满分12分）已知椭圆的左焦点为，左右顶点分别为，上顶点为，过三点作圆，其中圆心的坐标为.(Ⅰ)当时，椭圆的离心率的取值范围.(Ⅱ)直线能否和圆相切？证明你的结论.21.（本小题满分12分）已知，函数(Ⅰ)求的极小值；(Ⅱ)若在上为单调增函数，求的取值范围；（III）设，若在（是自然对数的底数）上至少存在一个，使得成立，求的取值范围．请考生在第(22)、（23）、（24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。
2021-2022年高三下学期5月模拟数学(理)试卷 含答案
2021年高三下学期5月模拟数学（理）试卷含答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．）1．“”是“”的A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要2．设i为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限 D．第四象限3．已知a，b，l，表示三条不同的直线，表示三个不同的平面，有下列四个命题：A．①② B．①④ C．②③ D．③④4．如图所示的程序框图，该算法的功能是A．计算…的值B．计算…的值C．计算……的值D．计算……的值5．设等比数列{a n}的前n项积,若P12=32P7,则a10等于(A)16 (B)8 (C)4 (D)26．已知为的导函数，则的图象大致是7．已知双曲线的左、右焦点分别是、，过垂直x轴的直线与双曲线C的两渐近线的交点分别是M、N，若为正三角形，则该双曲线的离心率为A． B． C． D．8. 已知均为锐角，，则角为A. B. C. D.9．某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为A． B．C． D．10．直线上存在点满足，求实数的取值范围A B C D11．已知A，B是抛物线上异于顶点O的任意二点，直线OA，OB的斜率之积为-4，设的面积分别为，则的最小值为A． 8 B. 6 C . 4 D. 2第9题图12．已知是方程的解, 是方程的解,函数，则A. B.C. D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．）13．若二项展开式中的第5项是常数项，则中间项的系数为_________.14．设P为等边所在平面内的一点，满足，若AB=1，则的值为_________．15．用一个边长为的正三角形硬纸，沿各边中点连线垂直折起三个小三角形，做成一个蛋托，半径为的鸡蛋（视为球体）放在其上（如图），则鸡蛋中心（球心）与蛋托底面的距离为 .16．已知数列中,,,,则……= .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. (本题12分)在△ABC中，a, b, c分别为内角A, B, C的对边，且（1）求A的大小；（2）求的最大值.18．（本题12分）如图，在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，已知侧面，AB=BC=1，BB 1=2，∠BCC 1=π3.（1）求证：C 1B ⊥平面ABC ； （2）设E 是侧棱上一点，，且平面AB 1E 与BB 1E 所成的锐二面角的大小为，试求λ的值.19．（本题12分）某联欢晚会举行抽奖活动,举办方设置了甲.乙两种抽奖方案,方案甲的中奖率为,中将可以获得2分;方案乙的中奖率为,中将可以得3分;未中奖则不得分.每人有且只有一次抽奖机会,每次抽奖中将与否互不影响,晚会结束后凭分数兑换奖品.(1)若小明选择方案甲抽奖,小红选择方案乙抽奖,记他们的累计得分为,求的概率;(2)若小明.小红两人都选择方案甲或方案乙进行抽奖,问:他们选择何种方案抽奖,累计的得分的数学期望较大?20．（本题12分）设椭圆，其长轴长是短轴长的倍，过焦点且垂直于轴的直线被椭圆截得的弦长为.（1）求椭圆的方程；（2）点是椭圆上横坐标大于的动点，点在轴上，圆内切于，试判断点在何位置时的面积最小，并证明你的判断.C xyO PB21（本题12分）已知（Ⅰ）求函数f(x)的单调区间;（Ⅱ）若恒成立，求m的取值范围（Ⅲ）若数列{}的各项均为正数，=1当m=2时,求证：请考生在第22,23,24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清楚题号。
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学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合A={-2，3，1}，集合B={3，m²}.若B A，则实数m的取值集合为（）
23．已知函数 的最小值为 ．
（1）求 的值以及此时的 的取值范围；
（2）若实数 满足： ，证明： ．
参考答案
1．C
【分析】
根据题意得到 或 ，计算得到答案.
【详解】
集合A={-2，3，1}，集合B={3，m²}.若B A则 或 ，得故选：【点睛】
本题考查了根据集合关系求参数，意在考查学生的计算能力.
2．D
【分析】
根据复数模的计算公式，计算出 的模.
(1)求频率直方图中的a的值；
(2)估计全市居民中35岁以上的“5G爱好者”的人数；
(3)若该市政府制定政策：按照年龄从小到大，选拔45%的“5G爱好者”进行5G的专业知识深度培养，将当选者称成按照上述政策及频率分布直方图，估计该市“5G达人”的年龄上限.
19．如图，在多面体 中，平面 平面 .四边形 为正方形，四边形 为梯形，且 ， 是边长为1的等边三角形，M为线段 中点， .
（Ⅱ）当点P异于点B时，求证： 为定值．
21．已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2)令 ，当 ， 时，证明： .
22．在直角坐标系 中， ， ，以O为极点，x轴的正半轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为： .
(1)求曲线C的直角坐标方程；
(2)动点P是曲线C在第一象限的点，当四边形 的面积最大时，求点P的直角坐标.
A． B． C． D．
12．已知抛物线 的焦点为F，过点F分别作两条直线 ，直线 与抛物线C交于 两点，直线 与抛物线C交于 点，若 与直线 的斜率的乘积为 ，则 的最小值为（）
A．14B．16C．18D．20
二、填空题
13．已知 ， ，且 ，则向量 在向量 方向上的投影为______．
14． (n为正整数)的展开式中各项的二项式系数之和为128，则其展开式中含x项的系数是______.
（1）a和c的值；
（2） 的值.
18．伴随着科技的迅速发展，国民对“5G”一词越来越熟悉，“5G”全称是第五代移动电话行动通信标准，也称第五代移动通信技术．2021年12月10日，工信部正式对外公布，已向中国电倌、中国移动、中国联通发放了5G系统中低频率使用许可．2021年2月18日上海虹桥火车站正式启动5G网络建设．为了了解某市市民对“5G”的关注情况，通过问卷调查等方式研究市民对该市300万人口进行统计分析，数据分析结果显示：约60%的市民“掌握一定5G知识（即问卷调查分数在80分以上）”将这部分市民称为“5G爱好者”．某机构在“5G爱好者”中随机抽取了年龄在15-45岁之间的100人按照年龄分布(如图所示)，其分组区间为： ， ， ， ， ， .
(1)求证： ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值；
(3)线段 上是否存在点N，使得直线 平面 ？若存在，求 的值；若不存在，请说明理由.
20．过点C(0，1)的椭圆 的离心率为 ，椭圆与x轴交于两点 、 ，过点C的直线l与椭圆交于另一点D，并与x轴交于点P，直线AC与直线BD交于点Q
．
（I）当直线l过椭圆右焦点时，求线段CD的长；
15．某医院拟派2名内科医生、3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队，平均分到甲，乙两个村进行义务巡诊，其中每个分队都必须有内科医生、外科医生和护士，则不同的分配方案有______种
16．已知在四面体 中， ，则该四面体的体积的最大值为___________．
三、解答题
17．在 中，内角A，B，C的对边a，b，c，且 ，已知 ， ， ，求：
6．九连环是我国从古至今广为流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜.据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合而为一.”在某种玩法中，用an表示解下n(n≤9，n∈N*)个圆环所需的最少移动次数，数列{an}满足a1=1，且an= 则解下4个环所需的最少移动次a4数为（）
A．7B．10C．12D．22
7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积（）
A． B． C． D．
8．已知函数 ，在其定义域上单调，则 的值不可能的是
A． B． C． D．
9．当点 到直线 的距离最大时，m的值为（）
A．3B．0C． D．1
10．函数 的图像大致是（）
A． B． C． D．
11．某次测量发现一组数据 具有较强的相关性，并计算得 ，其中数据 因书写不清楚，只记得 是 上的一个值，则该数据对应的残差（残差=真实值-预测值）的绝对位不大于0.5的概率为（）
A．{1}B．{ }C．{1，-1}D．{ ，- }
2．设i是虚数单位，若复数 ，则复数z的模为（）
A．1B． C． D．
3．设命题 ， ，则 为（）
A． ， B． ， C． ， D． ，
4．随着南京2月14日颁布修订后的《积分落户实施办法》，3月18日石家庄市推出“零门槛”人户政策实施，2019二线城市抢人大战再升级！某二线城市于2021年初制定人才引进与落户新政（即放宽政策，以下简称新政）硕士研究生及以上学历毕业生可直接落户并享有当地政府依法给予的住房补贴，本科学历毕业生可以直接落户，专科学历毕业生在当地工作两年以上可以落户，高中及以下学历人员在当地工作十年可以落户.新政执行一年，2021年全年新增落户人口较2021年全年增加了一倍，为了深入了解新增落口结构及变化情况，相关部门统计了该市新政执行前一年（即2021年）与新政执行一年（即2021年）新户人口学历构成比例，得到如图所示的扇形图：
则下面结论中错误的是（）
A．新政实施后，新增落户人口中本科生已经超过半数
B．新政实施后，高中及以下学历人员新增落户人口减少
C．新政对硕士研究生及以上学历的新增落户人口数量暂时未产生影响
D．新政对专科生在该市落户起到了积极的影响
5．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是( )
A．2019B．2018C．2017D．2016