波利亚的解题理论
波利亚的解题理论_2022年学习资料
解题过程：-·第1弄清问题-·条件（已知）：-■1c-10:-2CosA/cosB-b/a=4/3-·③点 为△ABC内切圆上的动点、-口问题（未知）：-·求点P到项点A、B、C的距离的平方和的-最小值和最大值。6
第2拟订计划-回忆原来有没有见过同类问题（没有），但见-过相关的问题：-o-1已知三角形的某些边角关系，判 三角形-的形状、解三角形等（知三求一，已知的三个-边角元素中至少有一个是边，题目基本符-合-·②如果三角形 以确定，那么此题就是求这-个三角形的某个特征曲线上的动点到三个顶-点的距离的平方和的最值问题。-17
如何解题-1.积累认识的资源-2.掌握转化的方法-3。及时调控的能力-4.良好信念系统的支持
波利亚的怎样解题表-解题过程分为以下四个阶段：-1.弄清问题-2.拟订计划-3.实现计划-4.回顾
波利亚的怎样解题表-1弄清问题-1未知数是什么？已知数据是什么？条件是什么？-满足条件是否可能？要确定未知 ，条件是否充分？或-者它是否不充分？或者是多余的？或者是矛盾的？-2画张图，并引入适当的符号.-3把条件的 部分分开，并把它们写下来。
波利亚《怎样解题表》简介-波利亚的数学教育思想概述-波利亚George Polya数学教育思想的核心问题数 学教育的目的是什么？-1波利亚主张数学教学的目的应当是提高学生的一般素-养：首先和主要的目标应当是教会青年 考、-2教什么样的思考？数学是什么？数学有什么特点？对数-学及其意义的认识的教学观起着决定性的作用。
我国数学解题研究的代表人物和代表作-罗增儒-戴再平-单蹲-朱华伟-·中学数学解题的-理论与实践M.-数学习 理论-南宁：广西教育-[M上海：上-出版社，2008-解题研究M.-海教育出版社，-年9：前言-南京：南京 -•数学解题策略-范大学出版社，-1991.3:-·数学解题学引论-2002.6-1996.10.-[M西 .陕西-•北京：科学出-师范大学出版社，-版社，2009.8.-1997.6-4
波利亚的数学解题理论及其在初中数与代数应用题教学中的应用
所谓数学建模就是在阅读材料、理解题意 的基础上，把实际问题抽象成数学问题，并 对获取的信息进行分析加工、去粗取精、抽 象概括，利用数学知识建立相应的数学模型 。从实际问题到纯数学问题，既有对新信息 的分析加工，又有对记忆中的原有信息的提 取再加工，是一个复杂艰难的过程。建构数 学模型，是解应用题的关键。
列方程(组)解应用题的一般步骤： 审题 ； (1)_______ 设元 ； (2)_______ 等量关系 (3)找出包含未知数的___________； 列出方程(组) ； (4)_______________ 求出方程(组)的解 ； (5)___________________ 检验并作答 ． (6)_____________
在列方程（组）解应用题时，一般采用直 接设元法，但有时也使用间接设元。不论采用 什么方法设元，要首先寻找题目中的数量关系 ，然后再寻找等量关系，根据数量关系和等量 关系列出的方程，一般情况下，列出的方程的 个数要与未知数的个数相同。 根据题意列出的方程（组）可能是各种各样 的，这些方程（组）和我们学解方程（组）时 解过的方程（组）不一样，因此，我们要利用 学过的知识来判断是什么方程（组），然后， 根据不同类型方程（组）的解法去解方程（组 ）。
初中数学应用题类型分类
方程应用题
一次函数应用题
统计应用题 其他应用题
不等式应用题
二次函数应用题
解直角三角形应用题
一、方程应用题芈月传中的数学题
• 例1：为了有效地控制沙尘暴等恶劣天气对人 类生存环境的破坏，我国北方某地决定加快植 树造林的速度，计划用两年的时间将防风林面 积从现在的20,000公顷扩大到2.4万公顷。求平 均每年增长的百分率。 • 例2：某种商品因换季准备打折出售。如果按 定价的七五折出售将赔25元，而按定价的九折 出售将赚20元，问这种商品的定价是多少。 方程应用题的解题步骤可用六个字概括，即 审(审题)，设(设未知数)，列(列方程)，解(解 方程)，检(检验)，答。 考试内容多结合当前一些热点话题，如储蓄 问题，人均收入问题，环保问题，商品打折问 题等。
波利亚解题理论
四部曲
改善学生数学解题中的元认知的教学策略
问题与思考
• 设计一个解决某类问题的解题表． • 根据你的解题经历，选一个典型例子，详细介绍
解题的具体过程． • 实践解题表，求解下题：如果3个有相同半径的
圆过一点，则通过它们的另外3个交点的圆具有 相同的半径． • 对解题表，谈谈你想说的任何看法，写一篇不少 于1000字的小论文． • 基于波利亚的解题理论谈数学解题教学
程看得见，摸得着。
弄
拟
执
检
清
定
行
验
题
计
计
回
意ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
划
划
顾
变换,推广,类 比,作出新的 数学发现.
概括方法论 因素,建立数 学模型.
波利亚的教育思想
数学教学的目的应当是提高学生的一般素养：首 先和主要的目标应当是教会青年思考。
教什么样的思考?数学是什么?数学有什么特点? 对数学及其意义的认识决定性的作用。
波利亚及其解题理论
回答“一个好的解法是如何想出来的”这个令人困惑的问题，
波利亚致力于解题的研究，专门研究了解题的思维过程，并把
研究所得写成《怎样解题》一书。
核心是《怎样解题》表，他把寻找并发现解法的思维过程分解
为五条建议和23个具有启发性的问题，它们就好比是寻找和发
现解法的思维过程的“慢动作镜头”，使我们对解题的思维过
波利亚解题理论在高三圆锥曲线复习课中的教学案例研究
波利亚解题理论在高三圆锥曲线复习课中的教学案例研究《波利亚解题理论在高三圆锥曲线复习课中的教学案例研究》是本次研究的主题，波利亚解题理论是由意大利数学家阿隆索波利亚所提出的一种解决复杂数学问题的方法，他首先使用此理论解决三角函数问题，本次研究主要是研究该理论在高三圆锥曲线复习课中的应用。
一、波利亚解题理论的背景阿隆索波利亚（Arono B. Poli）是20世纪意大利数学家，他提出了一套叫做“波利亚解题理论”的数学方法，该方法又被称为“波利亚公式”。
这套理论的核心思想是“把一个复杂的问题分解成几个小问题，并且用具体的步骤来解决”。
这套理论的本质是动态解题法，即从反方向出发，先求解具体步骤，最后归纳出总体解法。
波利亚先生认为，数学学习只有通过实践来实现才能真正理解，而不是去学习繁杂的知识点。
二、波利亚解题理论在高三圆锥曲线复习课中的应用圆锥曲线是数学中一个重要的课题，学习这一类型的曲线，要求学生能够熟练掌握解方程的方法和计算圆锥曲线的坐标位置，但很多学生对此感到无从下手，屡屡重复犯同样的错误。
为此，本课程采用了“波利亚解题理论”的教学方法来解决一些典型的圆锥曲线问题，以帮助学生熟练掌握圆锥曲线的解方程法。
（1）课前准备本次课程内容包括从角度、离心率以及圆锥曲线的解方程等等，可以根据学生的不同学习水平来灵活调整每节课的内容，以帮助学生达到更好的学习效果。
（2）上课在上课过程中，教师可以先以一些圆锥曲线的简单例题来熟悉学生对波利亚解题理论的掌握情况。
然后，教师可以采用加深训练的方法，逐步增加难度，让学生用波利亚解题理论来解决更复杂的问题。
在教授方法时，教师可以详细讲解步骤，用不同的例子来让学生从多角度理解，并且与学生交流，加深学生对高三圆锥曲线的理解。
（3）总结在教学活动结束时，教师可以再次总结本节课的内容，提出一些细节问题，让学生对学过的知识有更深入的理解。
如果发现有学生对解题方法还存在困惑，教师应及时给予帮助，为学生解答问题，以提高学生自我学习能力。
(完整版)波利亚的解题理论
波利亚的解题理论（讲稿）同学们好!今天我们大家一起来学习波利亚的解题理论。
首先，让我们了解一下波利亚的生平.乔治·波利亚（George Polya,1887-1985）美籍匈牙利数学家，生于匈牙利,青年时期曾在布达佩斯、维也纳、哥廷根、巴黎等地攻读数学、数学、物理和哲学,1912年获数学博士学位。
他是法国科学院、美国全国科学院和匈牙利科学院的院士，是20世纪举世公认的数学家和数学教育家,也是享有国际盛誉的数学方法论大师,为数学方法论的现代研究,特别是为数学解题教学研究奠定了必要的理论基础。
他的成就主要包括解题理论、数学教学理论和教师教育理论,发表200多篇论文和许多专著，主要著作包括:《怎样解题》（1944)、《数学的发现》（1954）、《数学与猜想》（1961)等。
其中《怎样解题》与《数学的发现》集中论述了怎样解题的问题,而《数学与猜想》则对合情推理进行了生动地、富有创造性地论述。
在数学方面,对实变函数、复变函数和概率论等若干分支领域作出了开创性的贡献,留下了以他的名字命名的术语和定理。
在数学解题研究领域,波利亚是一面旗帜，也是一代宗师。
这里主要介绍他的解题理论。
学习波利亚的解题理论，首先需要了解对“解题”过程的界定。
波利亚认为，解题是智力的特殊成就，题目是数学的心脏，数学教学的本质在于教会学生解题，解题思想“应当诞生在学生心里，教师仅仅像助产士那样行事"（苏格拉底语),由此,数学教师的首要任务是发展学生解决问题的能力.为了帮助学生，为了回答“一个好的解法是如何想出来的”这个令人困惑的问题，他专门研究可解题的思维过程，用朴素而现代化的形式来阐明探索法（既有助于发现的探索方法），并集几十年教学与科研之大成写成《怎样解题》一书,与1948年出版，风靡世界.其中“怎样解题"表仔细分析了求解各种数学问题时的思维过程，成为经典之作。
概括的说来，“怎样解题”表是波利亚的解题理论的核心内容。
波利亚的《怎样解题》[word版]
![波利亚的《怎样解题》[word版]](https://img.taocdn.com/s3/m/b81648d6162ded630b1c59eef8c75fbfc67d945e.png)
波利亚的《怎样解题》[word版]乔治·波利亚是20世纪举世公认的数学家，著名的数学教育家，享有国际盛誉的数学方法论大师．波利亚在数学教育领域最突出的贡献是开辟了数学启发法研究的新领域，为数学方法论研究的现代复兴奠定了必要的理论基础。
波利亚致力于解题的研究，为了回答“一个好的解法是如何想出来的”这个令人困惑的问题，他专门研究了解题的思维过程，并把研究所得写成《怎样解题》一书。
这本书的核心是他分解解题的思维过程得到的一张《怎样解题表》。
波利亚的四步解题法：
1.彻底理解问题
2.形成解决思路
3.执行
4.总结
1、彻底理解问题：为了确保真正理解问题，你最好把问题用自已的话换成各种形式反复重新表达，但另忘了指出问题的主干：要求解的是什么？已知什么？要满足哪些条件？但凡能画图，一定要画出来。
2、形成解题思路：要专注，用过往经验，已撑握的知识，并调整适用性来形成思路。
如果不行，就改变这个问题的各个组件：已知、未知、条件，先构造简单一点的，引入辅助，条件是否用足，甚至改变求解的未知数，看能否找到解题线索？直到找到与之相似而你又解决过的问题。
3、执行：一要有耐心，二需要及时的检查每一步，可
凭直觉或证明（两个都有用，但是两回事），要问自已每一步都检查了吗？能看出来这一步是对的吗？能证明这一步是对的吗？
4、总结：巩固与提升的关键，多想想，再论证，尝试另外的解法，找更明快简捷的方法，还要问，这次的解法还能用在什么地方？总结是最好的启法时刻。
波利亚的数学解题理论及其在初中数与代数应用题教学中的应用
4、“解”就是解方程，求出未 知数的值． 5、“验”就是验解，即检验方程 的解能否保证实际问题有意义． 6、“答”就是写出答案(包括单 位名称)
数学教学就是数学语言的教学。 数学语言具有简洁、无歧义的特点， 但同时内涵丰富，具有一定的抽象性 。尤其是符号语言和图表语言要在阅 读中进行语意转换，给阅读带来了一 定的困难，因而指导学生进行科学有 效的阅读能起到事半功倍的效果。
学科的 学生的 知 识
教学设计
知 识
教学的 知 识
教学实施
PCK古已有之
波利亚及其解题理论介绍
一、波利亚数学教育思想简介
• 乔治· 波利亚(GeorgePolya,1887- 1985)，是美籍匈牙 利数学家、数学教育家。在数学教育方面他有3部 世界名著:《怎样解题》、《数学与猜想》、 《数学的发现———对解题的理解、研究和讲授》。 这3本书在我国有5个译本,其中《怎样解题》发行量 已过百万册。著名数学家瓦尔登曾高度评价这本书 :“每个大学生、每个学者,特别是每个教师都应该 读这本引人入胜的书”。
所谓数学建模就是在阅读材料、理解题意 的基础上，把实际问题抽象成数学问题，并 对获取的信息进行分析加工、去粗取精、抽 象概括，利用数学知识建立相应的数学模型 。从实际问题到纯数学问题，既有对新信息 的分析加工，又有对记忆中的原有信息的提 取再加工，是一个复杂艰难的过程。建构数 学模型，是解应用题的关键。
开发生活中的应用题课程资源，发展学 生解决应用题的能力
在数学教学中，应用题教学始终是困扰学生和 教师的一个难点，学生害怕应用题，认为应用题 枯燥无味，老师害怕应用题，是因为应用题情景 平淡空洞，缺少情景载体，不能激发学生学习兴 趣。究其根源，教材中编写的应用题由于带有普 遍性、公共性，所以对人就是“甲、乙两人”， 对地点就是“A, B 两地”等，这样的应用题，缺 乏具体的、贴近学生生活的情感体验，没有学生 感兴趣的情景载体，仅仅是为了学会解决一类应 用题的方法。
浅谈波利亚解题理论
浅谈波利亚解题理论对“怎样解题表”的认识乔治·波利亚（G.Polya，1887-1985年）出生于匈牙利布达佩斯。
上中学时，他就是一个很有上进心的学生。
但每当遇到较难的数学题时，他也时常感到困惑：“这个解答好像还行，它看起来是正确的，但怎样才能想到这样的解答呢？这个结论好像还行，它看起来是个事实，但别人是怎样发现这个事实的？我自己怎样才能想出或发现他们呢？”怎样解题表第一步：弄清问题第二步：拟订计划第三步：实现计划第四步：回顾我的认识与看法学习数学的目的，通常人们认为主要有两个，一是掌握必要的数学知识，二十提高分析的能力、解决问题的能力。
其中后者是数学教学的根本目标，但是，要有效的提高学生的分析和解决问题的能力却并非易事。
我认为乔治·波利亚有效地帮教师解决了这一难题。
但是要看教师个人怎样去用和实现这四部的教学法。
在我们看来这四个步骤十分的简单，但我们真的实施起来真的是那么回事吗？我想答案肯定是很难吧！下面我就这四步进行概括的说说我的看法。
①弄清问题，拟定计划这是解决数学问题的关键因素，探求解题思路的过程是训练学生良好思维方式的过程，也是教给学生恰当选取解题策略的过程。
在拟定计划中需要对问题不断地修正、转化，还经常需要类比等。
当我们引导学生将复杂问题转化为简单问题，把一个陌生的问题转化为熟悉的问题，这样一个解题的计划就基本形成了。
②回顾解答，深化理解这是巩固知识，提高解题能力的重要环节，在日常数学学习和活动中，我们往往在解答出某道题目后就立即进入另一个问题或找点别的事来干。
比利亚告诉我们：“没有任何一个题目是彻底完成了的……”。
所以当我们解决了一个问题后应该及时的进行反思，只有这样我们的解题水平才能得到有效的提高。
如果缺乏对问题本质的理解和更高层次的认识。
也失去了一个提高解题能力的好机会。
③小结应试教育，是中国平等待人的政治手法的灵活应用。
这样可以达到知识的普集和教育的平衡。
但是限制了学生的特长，使人从小养成了定向思维的习惯。
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问题解决
波利亚充分肯定解题的一般教育价值,把教会学 生解题看做是教会学生思考,培养他们独立探索 的一条有效途径.
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如何解题
1. 积累认识的资源 2. 掌握转化的方法 3. 及时调控的能力 4. 良好信念系统的支持
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如何解题
综观主体解题的全部过程，解题的 要素，即解题中起重要作用的成分，大 致包括认识的资源、启发法、调控和信 念系统四个方面．这些要素组成一个有 机整体，为解题研究提供了一个基本的 理论框架，而其本身也是理论研究深入 发展的产物．
波利亚(George Polya)数学教育思想的核心问题: 数学教育的目的是什么？
1.波利亚主张数学教学的目的应当是提高学生的一 般素养:首先和主要的目标应当是教会青年思考.
2.教什么样的思考?数学是什么?数学有什么特点? 对数学及其意义的认识的教学观起着决定性的作用.
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3. 波利亚强调应该教有目的的思考,教正规的演绎 推理，也教非正规的似真的合情推理.
和组建适合个体特征的数学知识结构．也就是说，
实践波伊亚的建议，关键是在平时的学习中，要
注意不断改善数学认知结构变量，在同化和顺应
上多下功夫．对于“关键知识”，要弄清它的来
龙去脉，熟悉它的思维模式，抓住它的纵横联系，
在解题实践中有目的地整理自己的知识系统，不
断地添加积累新例子，编织可以随时提取的记忆
网络．
数学解题教学
没有一道题可以解决得十全十美，总存在值得 我们探究的地方。
——[美]G. 波利亚
解题既是一种实践活动，也是一种学习活动。 分析典型例题的解题过程是学会解题的有效途径。 学会解题有四步骤基本程式：简单模仿、变式练习、 自发领悟、自觉分析。
—— 罗增儒
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波利亚《怎样解题表》简介 波利亚的数学教育思想概述
(2) 应当把已经解过的带有同样类型未知量 的那些问题和已经证明过的结论相同的那些定 理“贮存在一起”．
(3) 应当把两个具体知识间切实可行的联系找 出来．对于彼此相关的问题，它们之间的联系 可能是共同的解法模式，可能是共同的未知量， 或有共同的已知数据，或存在着某种类似特点 以及诸如此类的其他方面．
问题. 是否利用了所有的已知数据?是否利用了所有条件？是否
考虑了包含在问题中的所有必要的概念?
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3. 实现计划
实现你的求解计划,检验每一步骤. 你能否清楚地看出这一步骤是正确的?
你能否证明这一步骤是正确的?
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4. 回顾
能否检验这个论证? 你能否用别的方法导出结果? 能不能一下子看出它来? 能不能把这结果或方法用于其他问题?
自我意识是以自身为意识对象的意识. 只 有对解题活动的信息输入、加工、储存、 输出有着清醒的自我意识，才能克服思维 获得的盲目性，增强主动性和自觉性.
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4. 良好信念系统的支持
信念是激励主体坚定不移地按照自己的 观点、原则和世界观去行动的的个性倾 向.具备信念的人，经常表现为坚信某种 观点的正确性，并由此支配自己的行动. 解题中的信念系统，泛指解题的非智力 因素，即解题者学习积极性方面的因素， 诸如观念、情感等方面的个性品质.
解题中的观念，主要是指解题者的数学观，即怎样看 待数学，怎样看待解数学题.
解题中的情感主要是指从事解题活动的愿望和决心.
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小结解题的要素：
（1）积累认识的资源； （2）掌握转化的方法； （3）培养调控的能力； （4）信念系统的支持
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波利亚的怎样解题表 解题过程分为以下四个阶段:
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怎样解题表的解释
第1 你必须了解问题(弄清问题) (1) 未知数是什么? (2) 已知数据是什么? (3) 条件是什么? (4) 满足条件是否可能? (5) 要确定未知数，条件是否充分? (6) 或者它是否不充分？或者它是多余的？
（1）我们这里所说的思考不是空想,而是有目的的思考或 有意义的思考或有成果的思考; （2）数学思考不是完全正规的,它不仅涉及到公理定义和 严格证明,而且还包含许多别的方面,从观察到的情况得出 的结论,归纳推理,类比推理.在具体的情况里辨认数学概念 或从具体情况进行抽象.
数学教师应不失时机地使他的学生熟知这些相当重 要的非正规的思想方法.
1. 弄清问题 2. 拟订计划 3. 实现计划 4. 回顾
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波利亚的怎样解题表
1 弄清问题
（1）未知数是什么?已知数据是什么？条件是什 么?满足条件是否可能?要确定未知数,条件是否 充分?或者它是否不充分?或者是多余的?或者是 矛盾的? （2）画张图,并引入适当的符号. （3）把条件的各部分分开,并把它们写下来.
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波利亚在他的“怎样解题表”中，为了 激发学生找出已知条件与未知量之间的 关系，列了一类问题：你以前见过它吗？ 或者你见过同样的题目以一种稍有不同 的形式出现吗？尽量想出一道你所熟悉 的具有相同或相Fra bibliotek未知量的题目等等.
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用现代认知科学的理论来分析，数学知识
的合理组织，实质上就是按照解题的需要，改造
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2. 掌握转化的方法
解题，实质上就是确立题中条件与问题 或条件与结论逻辑上的必然联系，实现 由未知向已知的转化．因此把一个数学 题转化为我们曾经解决过的与之相似的 数学题就成为解题的关键。如何转化？
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3. 及时调控的能力
所谓调控，是指对所进行的解题活动（包 括解题模式的识别，解题策略的选择，解 题途径的探索，解题方案的构思，解题前 景的评价等）的自我意识、自我评估和自 我调整.
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2. 拟订计划
考虑以前是否见过它? 是否见过相同的问题而形式稍有不 同? 你是否知道一个可能用得上的定理?
考虑具有相同未知数或相似未知数的熟悉的问题. 能否利用它的结果或方法?为了利用它,是否引入某些辅助
元素? 能否用不同的方法重新叙述它? 回到定义去. 如果你不能解决所提出的问题,可先解决一个与此有关的
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1．积累认识的资源 认识的资源，主要是指与解题有关的数
学基础知识和基本技能．把认识的资源 作为解题的要素，这是一个公认的常 识．事实上，任何解题都是以一定的数 学知识，包括运算技能、作图和画图技 能、算法和程序性知识等，作为必要条 件的．
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关于知识的组织，波伊亚曾提出以下建议：
(1) 对于任何主题都有一些“关键知 识’’(关键问题，关键定理)，这些“关键知 识”应存放在你记忆的“最前方”．