复数的表示方法
1.2复数的几种表示形式
(3) | z | | z |;
P6
arg z - arg z , ( arg z π );
| z |2 z z .
z
|z| Im z
Re z
z2
z1 z2
z1
z1 - z2
|z| z
arg z arg z
|z| z
P8
证 | z1 z2 |2 (z1 z2 )( z1 z2 ) (z1 z2 )( z1 z2 )
复数 z 的乘幂，记为 zn , 即 zn z z z .
n个
利用复数的指数表示式可以很快得到乘幂法则。
法则 设 z r ei , 则 zn (r ei )n r n ein .
三、复数的乘幂与方根
1. 复数的乘幂 棣莫弗(De Moivre)公式 由 zn (r ei )n r n ein 以及复数的三角表示式可得
欧拉
Leonhard Euler (1707～1783)
瑞士数学家、自然科学家
十八世纪数学界最杰出的人物之一。 数学史上最多产的数学家。 不但为数学界作出贡献， 而且把数学推至几乎整个物理领域。
附：人物介绍 —— 欧拉
欧拉是科学史上最多产的一位杰出的数学家。 以每年平均 800 页的速度写出创造性论文。 一生共写下了 886 本书籍和论文。
注: 复数 0 的模为 0，辐角无意义。
一、复数的几何表示
2. 复数的模与辐角
主辐角 对于给定的复数 z 0 , 设有 满足： Arg z 且 - π π ,
则称 为复数 z 的主辐角或辐角主值，记作 arg z .
由此就有如下关系： Arg z arg z 2kπ , k 0 , 1, 2 , .
复数的四种表示形式
复数的四种表示形式
复数是指表示数量为多于一个的名词或代词。
在英语中，通常有以下四种表示复数的形式：
1.在大多数情况下，在名词后面加上-s。
例如：apple（一个苹果）→apples（苹果们）
2.对于以s、x、z、ch、sh等音结尾的名词，在其后面加上-es。
例如：box（一个盒子）→boxes （盒子们）
3.对于以辅音字母+y结尾的名词，将y改为i，然后加上-es。
例如：baby（一个婴儿）→babies （婴儿们）
4.对于某些不规则的名词，其复数形式不遵循以上规则。
例如：man（一个男人）→men （男人们），woman（一个女人）→women（女人们），child（一个孩子）→children（孩子们）
需要注意的是，虽然大多数名词都可以按照以上规则变成复数形式，但也有一些名词是不可数名词，即表示不可数或抽象概念的名词，它们没有复数形式。
例如：water（水），love（爱），knowledge（知识）等。
复数的知识点总结
复数的知识点总结一、复数概述复数是数学中的一个重要概念，它由实数和虚数部分组成。
虚数单位i定义为i² = -1，其中i是一个虚数。
复数可表示为a + bi的形式，其中a是实数部分，bi 是虚数部分。
二、复数运算1. 复数加法和减法复数的加法和减法按照实部和虚部分别进行运算，即将实部相加或相减，并将虚部相加或相减。
例如，给定复数z₁ = a₁ + b₁i和z₂ = a₂ + b₂i，它们的和可以表示为z₁ + z₂ = (a₁ + a₂) + (b₁ + b₂)i，差可以表示为z₁ - z₂ = (a₁ - a₂) + (b₁ - b₂)i。
2. 复数乘法复数乘法采用分配律和虚数单位的平方等于-1的性质进行计算。
例如，给定复数z₁ = a₁ + b₁i和z₂ = a₂ + b₂i，它们的乘积可以表示为z₁ * z₂ = (a₁ * a₂ - b₁ * b₂) + (a₁ * b₂ + a₂ * b₁)i。
3. 复数除法复数除法是将分子和分母同乘以分母的共轭，并利用虚数单位的平方等于-1的性质进行计算。
例如，给定复数z₁ = a₁ + b₁i和z₂ = a₂ + b₂i，它们的除法可以表示为z₁ / z₂ = ((a₁ * a₂ + b₁ * b₂) / (a₂² + b₂²)) + ((a₂ * b₁ - a₁ * b₂) / (a₂² + b₂²))i。
三、复数的共轭和模1. 复数的共轭复数的共轭是保持实部相同而虚部变号的操作。
复数a + bi的共轭可以表示为a - bi，其中a是实部，b是虚部。
2. 复数的模复数的模是复数到原点的距离，可以用勾股定理计算。
复数a + bi的模可以表示为√(a² + b²)。
四、复数的指数形式和三角形式1. 复数的指数形式复数可以用指数形式表示为re^(iθ)，其中r是模，θ是辐角。
2. 复数的三角形式复数的三角形式是指使用三角函数表示复数。
复数知识点总结
复数知识点总结复数在数学中是一个很重要的概念，它帮助我们解决了很多实际问题。
在我们学习的过程中，复数的知识点也是必须掌握的。
下面，我将针对复数的一些重要知识点进行总结和讲解。
一、复数的概念和表示方法复数是由实数和虚数构成的数，形如a+bi，其中a和b都是实数，而i则表示单位虚数，即√-1。
在复平面上，a和b分别代表复数的实部和虚部，而复数本身则是一个有序数对。
例如(2,3)就是由实部为2，虚部为3所组成的复数。
二、共轭复数和复数的表示法共轭复数是指虚部符号相反而实部相同的两个复数，如a+bi和a-bi就是一组共轭复数。
其表示法为，把原来的复数中虚部的符号取反即可。
复数还可以表示为极坐标形式，即r(cosθ+isinθ)，其中r是复数的模，θ是复数的幅角。
其中，模是指一个复数在复平面上与原点之间的距离，幅角则是指该复数向复平面正半轴的夹角。
这种表示方法在解决复数乘法、除法等问题时非常有用。
三、复数的四则运算类似于实数，复数也可以进行加减乘除运算。
在这些运算中，复数的实部和虚部分别进行相应的运算。
（1）加减运算对于复数a+bi和c+di的加减运算，实部和虚部分别相加减即可得到结果。
例如：(3+4i)+(5-6i)=8-2i。
（2）乘法运算复数的乘法运算也可以通过分别计算实部和虚部来实现。
例如：(3+4i)(5+6i)=(3×5-4×6)+(3×6+4×5)i=(-9+38i)。
（3）除法运算对于复数a+bi和c+di的除法运算，我们需要找到它们的共轭复数，即a-bi和c-di，然后将它们相乘得到分母的实部，再将分子乘以分母的共轭复数得到分子，最后将分子的实部和虚部除以分母的实部即可得到结果。
例如：(3+4i)/(5+6i)=(-11+18i)/61。
四、极坐标形式下的复数乘除法复数的极坐标形式可以帮助我们更方便地进行乘除法运算。
对于复数r1(cosθ1+isinθ1)和r2(cosθ2+isinθ2)的乘法运算，我们只需要将它们的模和幅角相乘即可得到结果的模和幅角。
1.2复数的几种表示
)
Arg
z1
-
Arg z2
.
(在集合意义下)
两个复数的商的 模等于它们的模的商；
幅角等于它们幅角的差。
13
§1.2 复数的几种表示
第 例 计算 i .
一
1- i
章 复
解
由
i
πi
e2 ,
1-i
-πi
2e 4
有
数 与 复 变
i 1- i
πi
e2
-πi
2e 4
1
( π π )i
e2 4
1
3π i
e4
2
§1.2 复数的几种表示
第 一、复数的几何表示
一 章
2. 复数的模与辐角 P5
将复数和向量对应之后，除了利用
复
数
实部与虚部来给定一个复数以外，
与
还可以借助向量的长度与方向来给
复
变
定一个复数。
函
数 定义 设 z 的是一个不为 0 的复数，
y
y
r
O
z x yi
x
x
(1) 向量 z 的长度 r 称为复数 z 的模，记为 | z |.
复 数
令 π 有 eiπ 1 0 . 克莱茵认为这是数学中最卓越的
与
公式之一，它把五个最重要的数 1, 0, i, π,e 联系起来。
复
变
ei( ) cos( ) i sin( ) ,
函
数
ei ei (cos i sin )(cos i sin )
(cos cos - sin sin ) i (sin cos cos sin ),
复 变
即 n(cos n i sin n ) r(cos i sin ) ,
复数的概念
复数的概念复数是数学中的一个重要概念，是指具有形式化表示形式 a+bi（i为单位虚数）的数。
在这里，a和b都是实数，而i则可以表示为√-1。
复数概念为解决一些现实问题提供了便捷的工具，如电学、信号处理、力学、经济学等领域。
复数的定义复数是实数域的扩张，它由实部和虚部两个实数组成。
例如，复数z=a+bi。
在这个复数中，a是实部，b是虚部，i是虚数单位，满足i^2= -1。
一个复数可以用复平面上的向量表示，实部和虚部分别在实轴和虚轴上表示。
复数的运算复数可以执行各种运算，如加法、减法、乘法、除法等等。
这些运算遵循基本的数学规则，但有一些特殊规则需要遵守。
首先，复数相加的时候实部与实部相加，虚部与虚部相加，即z1=a1+b1i,z2=a2+b2i,则z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i。
复数乘法的规则为：(a+bi) (c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i最后，复数除法的公式为：\frac{a+bi}{c+di} =\frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)} = \frac{(ac+bd)+(bc-ad)i}{c^2+d^2}但其实复数除法的运算会变得很麻烦，因为分子和分母以及有虚数。
所以我们用实数的倒数来改变一下发式，而有：复数表示方式除了a+bi的方式表示复数之外，还有极坐标表示法，z=r(cos Θ+i sin Θ)。
在这个表述中，r代表复数的模长，并且值为实部和虚部的平方根，θ是由(1,0)到(z,r)的线与x轴方向的夹角，也可以写成θ = arg(z)。
例如下图，z=x+yi，r是x,y组成的三角形的斜边，θ是这个斜边与x轴的夹角。
复数实际应用虽然复数被很多人认为是纯粹的数学概念，但他们实际上在现实世界中有很多应用。
具体而言，复数广泛应用于物理、工程和统计学领域。
在电学中，复数参量通常用于描述电路中的元件和信号。
复数表示法可将正弦波信号（例如音频或视频信号）写成振幅和相位的形式，这是用于处理信号和图像的数字信号处理（DSP）领域的重要工具。
复数的运算
(a bi) (c di) （a c) (b d )i
（a c) (b d )
复数乘法：按二项式相乘法则进行， 把i2换成-1,然后把实部和虚部分别 合并．
Z1〃Z2=(a+bi)〃(c+di) =ac+adi+bci+bdi2 =(ac-bd)+(ad+bc)i
复数的运算
复数的几种表示方法：
代数表示: Z=a+bi(a,b∈R) 几何表示:复平面上的点Z(a,bx
o z 即表示z=a + bi
定义
设z1=a+bi,z2=c+di,加法规则
z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i 两个复数的和仍然是复数,实部与实部 相加,虚部与虚部相加. 例题
1.（5 + 4 i)- (3 + 2 i)= (5-3)+(4-2)i =2+2i
2. (5 – 6 i) + (-2 - i) - (3 + 4 i) =(5-2-3) +(- 6-1-4 ) i =-11i
几何意义
两个复数相减法,即为 它们对应的向量相减.
oz1 oz2 z2 z1
复数乘方：用二项式定理展开计算．
复数除法：分子、分母同乘以分母的 共轭虚数，根据z〃z =|z|2,使分母 实数化。
z1 a bi (a bi )(c di ) z2 c di (c di )(c di ) ac bd bc ad 2 i 2 2 2 c d c d
1.已知f ( z) 1 z, z1 2 3i, z2 5 i, 求f ( z1 z2 )
复数知识点总结公式
复数知识点总结公式一、复数的构成1. 一般情况下，名词加-s构成复数，例如：book-books，cat-cats，dog-dogs等。
2. 以s, x, sh, ch结尾的词，加-es构成复数，例如：bus-buses，box-boxes，brush-brushes，watch-watches等。
3. 以辅音字母+y结尾的词，变y为i再加-es构成复数，例如：baby-babies，city-cities。
4. 以f或fe结尾的词，变f或fe为v再加-es构成复数，例如：leaf-leaves，wife-wives。
5. 一些不规则变化的名词，如：man-men，woman-women，child-children，tooth-teeth 等。
二、名词复数形式在句中的用法1. 主语：复数名词作主语时，谓语动词也要用复数形式，例如：Cats are cute animals.2. 宾语：复数名词作宾语时，动词不受其影响，仍用单数形式，例如：I like dogs.3. 形容词：修饰复数名词时，形容词也应该用复数形式，例如：I saw some beautiful flowers.4. 量词：表示数量的名词要用复数形式，例如：There are five apples on the table.三、不可数名词的复数表示不可数名词表示整体或一类东西，本身是不可数的，它们无复数形式，但可以用可数名词的复数形式表示。
例如：three pieces of news四、特殊情况1. 数字作主语时，其后的名词用单数形式，例如：Five miles is a long way.2. 集体名词当作整体来看时，用单数形式；当特指其中的成分或个体时，用复数形式，例如：The army is on the move. The army are marching rapidly.3. 不可数名词有时可以用复数形式表示，表示“种类”时，例如：coffees，milks，表示某种类型的咖啡，牛奶。