上海市普陀区2021届高三一模数学试卷 含官方标答
2021年上海市普陀区高考数学一模填空与解答题综合练习含答案
二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）若数列{a n}（n∈N*）是等比数列，则矩阵所表示方程组的解的个数是（）A．0个 B．1个 C．无数个D．不确定14．（5分）“m＞0”是“函数f（x）=|x（mx+2）|在区间（0，+∞）上为增函数”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件15．（5分）用长度分别为2、3、5、6、9（单位：cm）的五根木棒连接（只允许连接，不允许折断），组成共顶点的长方体的三条棱，则能够得到的长方体的最大表面积为（）A．258cm2B．414cm2C．416cm2D．418cm216．（5分）定义在R上的函数f（x）满足，且f（x﹣1）=f（x+1），则函数在区间[﹣1，5]上的所有零点之和为（）A．4 B．5 C．7 D．8三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（14分）如图所示的圆锥的体积为，底面直径AB=2，点C是弧的中点，点D是母线PA的中点．（1）求该圆锥的侧面积；（2）求异面直线PB与CD所成角的大小．18．（14分）某快递公司在某市的货物转运中心，拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本，已知购买x台机器人的总成本p（x）=+x+150万元．（1）若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？（2）现按（1）中的数量购买机器人，需要安排m人将邮件放在机器人上，机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣（如图），经实验知，每台机器人的日平均分拣量q（m）=（单位：件），已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为1200件，问引进机器人后，日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少百分之几？19．（14分）设函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，），已知角φ的终边经过点，点M（x1，y1）、N（x2，y2）是函数f（x）图象上的任意两点，当|f（x1）﹣f（x2）|=2时，|x1﹣x2|的最小值是．（1）求函数y=f（x）的解析式；（2）已知△ABC面积为，角C所对的边，，求△ABC的周长．20．（16分）设点F1、F2分别是椭圆（t＞0）的左、右焦点，且椭圆C上的点到点F2的距离的最小值为，点M、N是椭圆C上位于x轴上方的两点，且向量与向量平行．（1）求椭圆C的方程；（2）当时，求△F1MN的面积；（3）当时，求直线F2N的方程．21．（18分）设d为等差数列{a n}的公差，数列{b n}的前n项和T n，满足（n∈N*），且d=a5=b2，若实数m∈P k={x|a k﹣2＜x＜a k+3}（k∈N*，k≥3），则称m具有性质P k．（1）请判断b1、b2是否具有性质P6，并说明理由；（2）设S n为数列{a n}的前n项和，若{S n﹣2λa n}是单调递增数列，求证：对任意的k（k∈N*，k≥3），实数λ都不具有性质P k；（3）设H n是数列{T n}的前n项和，若对任意的n∈N*，H2n﹣1都具有性质P k，求所有满足条件的k的值．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）若数列{a n}（n∈N*）是等比数列，则矩阵所表示方程组的解的个数是（）A．0个 B．1个 C．无数个D．不确定【解答】解：根据题意，矩阵所表示方程组为，又由数列{a n}（n∈N*）是等比数列，则有===，则方程组的解有无数个；故选：C．14．（5分）“m＞0”是“函数f（x）=|x（mx+2）|在区间（0，+∞）上为增函数”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件【解答】解：∵m＞0，∴函数f（x）=|x（mx+2）|=|mx2+2x|，∵f（0）=0，∴f（x）在区间（0，+∞）上为增函数”；∵函数f（x）=|x（mx+2）|=|mx2+2x|在区间（0，+∞）上为增函数，f（0）=0，∴m∈R，∴“m＞0”是“函数f（x）=|x（mx+2）|在区间（0，+∞）上为增函数”的充分非必要条件．故选：A．15．（5分）用长度分别为2、3、5、6、9（单位：cm）的五根木棒连接（只允许连接，不允许折断），组成共顶点的长方体的三条棱，则能够得到的长方体的最大表面积为（）A．258cm2B．414cm2C．416cm2D．418cm2【解答】解：设长方体的三条棱分别为a，b，c，则长方体的表面积S=2（ab+bc+ac）≤（a+b）2+（b+c）2+（a+c）2，当且仅当a=b=c时上式“=”成立．由题意可知，a，b，c不可能相等，故考虑当a，b，c三边长最接近时面积最大，此时三边长为8，8，9，用2、6连接，3、5连接各为一条棱，第三条棱为9组成长方体，此时能够得到的长方体的最大表面积为2（8×8+8×9+8×9）=416（cm2）．故选：C．16．（5分）定义在R上的函数f（x）满足，且f（x﹣1）=f（x+1），则函数在区间[﹣1，5]上的所有零点之和为（）A．4 B．5 C．7 D．8【解答】解：∵函数，且f（x﹣1）=f（x+1），函数的周期为2，函数，的零点，就是y=f（x）与y=图象的交点的横坐标，∴y=f（x）关于点（0，3）中心对称，将函数两次向右平移2个单位，得到函数y=f（x）在[﹣1，5]上的图象，每段曲线不包含右端点（如下图），去掉端点后关于（2，3）中心对称．又∵y==3+关于（2，3）中心对称，故方程f（x）=g（x）在区间[﹣1，5]上的根就是函数y=f（x）和y=g（x）的交点横坐标，共有三个交点，自左向右横坐标分别为x1，x2，x3，其中x1和x3关于（2，3）中心对称，∴x1+x3=4，x2=1，故x1+x2+x3=5．故选：B．三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（14分）如图所示的圆锥的体积为，底面直径AB=2，点C是弧的中点，点D是母线PA的中点．（1）求该圆锥的侧面积；（2）求异面直线PB与CD所成角的大小．【解答】解：（1）∵圆锥的体积为，底面直径AB=2，∴，解得PO=，∴PA==2，∴该圆锥的侧面积S=πrl=π×1×2=2π．（2）∵圆锥的体积为，底面直径AB=2，点C是弧的中点，点D是母线PA的中点．∴PO⊥平面ABC，OC⊥AB，∴以O为原点，OC为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，﹣1，0），P（0，0，），D（0，﹣，），B（0，1，0），C（1，0，0），=（0，1，﹣），=（﹣1，﹣，），设异面直线PB与CD所成角为θ，则cosθ===，∴θ=．∴异面直线PB与CD所成角为．18．（14分）某快递公司在某市的货物转运中心，拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本，已知购买x台机器人的总成本p（x）=+x+150万元．（1）若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？（2）现按（1）中的数量购买机器人，需要安排m人将邮件放在机器人上，机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣（如图），经实验知，每台机器人的日平均分拣量q（m）=（单位：件），已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为1200件，问引进机器人后，日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少百分之几？【解答】解：（1）由总成本p（x）=+x+150万元，可得每台机器人的平均成本y==2．当且仅当，即x=300时，上式等号成立．∴若使每台机器人的平均成本最低，应买300台；（2）引进机器人后，每台机器人的日平均分拣量q（m）=，当1≤m≤30时，300台机器人的日平均分拣量为160m（60﹣m）=﹣160m2+9600m，∴当m=30时，日平均分拣量有最大值144000．当m＞30时，日平均分拣量为480×300=144000．∴300台机器人的日平均分拣量的最大值为144000件．若传统人工分拣144000件，则需要人数为人．∴日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少=75%．19．（14分）设函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，），已知角φ的终边经过点，点M（x1，y1）、N（x2，y2）是函数f（x）图象上的任意两点，当|f（x1）﹣f（x2）|=2时，|x1﹣x2|的最小值是．（1）求函数y=f（x）的解析式；（2）已知△ABC面积为，角C所对的边，，求△ABC的周长．【解答】解：（1）已知角φ的终边经过点，且，则：φ=﹣，点M（x1，y1）、N（x2，y2）是函数f（x）图象上的任意两点，当|f（x1）﹣f（x2）|=2时，|x1﹣x2|的最小值是．则：T=π，所以：ω=，所以：；（2）由于：=sin（）=，且0＜C＜π，解得：C=，△ABC面积为，所以：，解得：ab=20．由于：c2=a2+b2﹣2abcosC，c=2，所以：20=（a+b）2﹣3ab，解得：a+b=4，所以：．20．（16分）设点F1、F2分别是椭圆（t＞0）的左、右焦点，且椭圆C上的点到点F2的距离的最小值为，点M、N是椭圆C上位于x轴上方的两点，且向量与向量平行．（1）求椭圆C的方程；（2）当时，求△F1MN的面积；（3）当时，求直线F2N的方程．【解答】解：（1）点F1、F2分别是椭圆（t＞0）的左、右焦点，∴a=t，c=t，∵椭圆C上的点到点F2的距离的最小值为，∴a﹣c=t﹣t=2﹣2，解得t=2，∴椭圆的方程为+=1，（2）由（1）可得F1（﹣2，0），F2（2，0），点M、N是椭圆C上位于x轴上方的两点，可设N（2cosθ，2sinθ），∴=（2cosθ+2，2sinθ），=（2cosθ﹣2，2sinθ），∵，∴（2cosθ+2）（2cosθ﹣2）+4sin2θ=0，解得cosθ=0，s inθ=1，∴N（0，2），∴=（﹣2，2），∴k==﹣1，∵向量与向量平行，∴直线F1M的斜率为﹣1，∴直线方程为y=﹣x﹣2，联立方程组，解得x=0，y=﹣2（舍去），或x=﹣，y=，∴M（﹣，），∴|F1M|==，点N到直线直线y=﹣x﹣2的距离为d==2，∴△F1MN的面积=|F1M|•d=××2=，（3）∵向量与向量平行，∴λ=，∴，∴（λ﹣1）||=，即λ＞1，设M（x1，y1），N（x2，y2），∴λ（x1+2）=x2﹣2，y2=λy1，∴x2=λx1+2（λ+1）∵+=1，∴x22+2y22=8，∴[λx1+2（λ+1）]2+2λ2y12=12λ2+8λ+4+4λ（λ+1）x1=8，∴4λ（λ+1）x1=（1﹣3λ）（λ+1），∴x1==﹣3，∴y12=4﹣，∴||2=（x1+2）2+y12=（﹣3+2）2+4﹣=，∴||=，∴（λ﹣1）•=，∴λ2﹣2λ﹣1=0解得λ=2+，或λ=2﹣（舍去）∴x1=﹣3=﹣3=﹣1﹣，∴y12=4﹣=2﹣==，∴y1=，∴k==﹣，∴直线F2N的方程为y﹣0=﹣（x﹣2），即为x+y﹣2=021．（18分）设d为等差数列{a n}的公差，数列{b n}的前n项和T n，满足（n∈N*），且d=a5=b2，若实数m∈P k={x|a k﹣2＜x＜a k+3}（k∈N*，k≥3），则称m具有性质P k．（1）请判断b1、b2是否具有性质P6，并说明理由；（2）设S n为数列{a n}的前n项和，若{S n﹣2λa n}是单调递增数列，求证：对任意的k（k∈N*，k≥3），实数λ都不具有性质P k；（3）设H n是数列{T n}的前n项和，若对任意的n∈N*，H2n﹣1都具有性质P k，求所有满足条件的k的值．【解答】解：（1）（n∈N*），可得n=1时，T1+=﹣b1=﹣T1，解得b1=﹣，T2+=b2=﹣+b2+=b2，T3+=﹣b3=﹣+b2+b3+，即b2+2b3=，T4+=b4=﹣+b2+b3+b4+，即b2+b3=，解得b2=，b3=﹣，同理可得b4=，b5=﹣，b6=，b7=﹣，…，b2n﹣1=﹣，d=a5=b2，可得d=a1+4d=，解得a1=﹣，d=，a n=，P6={x|a4＜x＜a9}（k∈N*，k≥3）={x|0＜x＜}，则b1不具有性质P6，b2具有性质P6；（2）证明：设S n为数列{a n}的前n项和，若{S n﹣2λa n}是单调递增数列，﹣2λa n+1≥S n﹣2λa n，可得S n+1即为≥，化为4λ+6≤2n对n为一切自然数成立，即有4λ+6≤2，可得λ≤﹣1，又P k={x|a k﹣2＜x＜a k+3}（k∈N*，k≥3），且a1=﹣，d＞0，可得P k中的元素大于﹣1，则对任意的k（k∈N*，k≥3），实数λ都不具有性质P k；（3）设H n是数列{T n}的前n项和，若对任意的n∈N*，H2n﹣1都具有性质P k，由于H1=T1=b1=﹣，H3=T1+T2+T3=﹣，H5=T1+T2+T3+T4+T5=﹣，H7=﹣+0﹣=﹣，…，H2n﹣1=H2n﹣3+b2n﹣1，（n≥2），当k=3时，P3={x|a1＜x＜a6}={x|﹣＜x＜}，当k=4时，P4={x|a2＜x＜a7}={x|﹣＜x＜}，当k=5时，P5={x|a3＜x＜a8}={x|﹣＜x＜1}，当k=6时，P3={x|a4＜x＜a9}={x|0＜x＜}，显然k=5，6不成立，故所有满足条件的k的值为3，4．。
上海市普陀区2021届新第四次高考模拟考试数学试卷含解析
上海市普陀区2021届新第四次高考模拟考试数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设P ＝{y |y ＝－x 2＋1，x ∈R}，Q ＝{y |y ＝2x ，x ∈R}，则A ．P ⊆QB ．Q ⊆PC ．R C P ⊆QD ．Q ⊆R C P【答案】C【解析】【分析】【详解】解：因为P ={y|y=-x 2+1，x ∈R}={y|y ≤1}，Q ={y| y=2x ，x ∈R }={y|y>0},因此选C2．设双曲线22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）的一个焦点为F （c,0）（c ＞0）的一条渐近线被圆x 2+y 2﹣2cx ＝0截得的弦长为 ）A ．221205x y -= B ．22125100x y -= C ．221520x y -= D ．221525x y -= 【答案】C【解析】【分析】由题得ca =b ==222+=a bc ，联立解方程组即可得25a =，220b =，进而得出双曲线方程.【详解】由题得c e a== ①又该双曲线的一条渐近线方程为0bx ay -=，且被圆x 2+y 2﹣2cx ＝0截得的弦长为b == ②又222+=a b c ③由①②③可得：25a =，220b =，所以双曲线的标准方程为221520x y -=. 故选：C【点睛】本题主要考查了双曲线的简单几何性质，圆的方程的有关计算，考查了学生的计算能力.3．在ABC V 中，D 为BC 边上的中点，且||1,|2,120AB AC BAC ==∠=︒u u u r u u u r ，则||=uuu r AD （ ）AB ．12C ．34 D【答案】A【解析】【分析】由D 为BC 边上的中点，表示出()12AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，然后用向量模的计算公式求模. 【详解】解：D 为BC 边上的中点，()12AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r ， ()12=2AD AB AC =+===u u u r u u u r u u u r故选：A 【点睛】在三角形中，考查中点向量公式和向量模的求法，是基础题.4．若复数12bi z i-=+（b R,i ∈为虚数单位）的实部与虚部相等，则b 的值为( ) A ．3B ．3±C ．3-D ．【答案】C【解析】【分析】利用复数的除法，以及复数的基本概念求解即可.【详解】()221125b b i bi z i --+-==+，又z 的实部与虚部相等， 221b b ∴-=+，解得3b =-.故选:C【点睛】本题主要考查复数的除法运算，复数的概念运用.5．复数1z 在复平面内对应的点为()22,3,2,z i =-+则12z z =（ ） A ．1855i -+ B ．1855i -- C ．815i -+ D ．815i -- 【答案】B【解析】【分析】求得复数1z ，结合复数除法运算，求得12z z 的值. 【详解】 易知123z i =+，则()()1223(23)(2)(23)(2)2225z i i i i i z i i i ++--+--===-+-+--1818555i i --==--. 故选：B【点睛】本小题主要考查复数及其坐标的对应，考查复数的除法运算，属于基础题.6．关于函数22tan ()cos 21tan x f x x x=++，下列说法正确的是（ ） A ．函数()f x 的定义域为RB ．函数()f x 一个递增区间为3,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．函数()f x 的图像关于直线8x π=对称 D．将函数2y x =图像向左平移8π个单位可得函数()y f x =的图像 【答案】B【解析】【分析】化简到()24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据定义域排除ACD ，计算单调性知B 正确，得到答案. 【详解】22tan ()cos 2sin 2cos 22sin 21tan 4x f x x x x x x π⎛⎫=+=+=+ ⎪+⎝⎭， 故函数的定义域为,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭，故A 错误； 当3,88x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，2,224x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，函数单调递增，故B 正确； 当4πx =-，关于8x π=的对称的直线为2x π=不在定义域内，故C 错误. 平移得到的函数定义域为R ，故不可能为()y f x =，D 错误.故选：B .【点睛】本题考查了三角恒等变换，三角函数单调性，定义域，对称，三角函数平移，意在考查学生的综合应用能力.7．已知函数()()1x f x k xe =-，若对任意x ∈R ，都有()1f x <成立，则实数k 的取值范围是（ ）A ．(),1e -∞-B ．()1,e -+∞C ．(],0e -D ．(]1,1e - 【答案】D【解析】【分析】 先将所求问题转化为()11e x k x -<对任意x ∈R 恒成立，即1x y e=得图象恒在函数 (1)y k x =-图象的上方，再利用数形结合即可解决.【详解】由()1f x <得()11e x k x -<，由题意函数1x y e=得图象恒在函数(1)y k x =-图象的上方， 作出函数的图象如图所示过原点作函数1x y e =的切线，设切点为(,)a b ，则1e e a a b a a --==，解得1a =-，所以切 线斜率为e -，所以e 10k -<-≤，解得1e 1k -<≤.故选：D.【点睛】本题考查导数在不等式恒成立中的应用，考查了学生转化与化归思想以及数形结合的思想，是一道中档题. 8．已知焦点为F 的抛物线2:4C y x =的准线与x 轴交于点A ，点M 在抛物线C 上，则当||||MA MF 取得最大值时，直线MA 的方程为（ ）A ．1y x =+或1y x =--B ．1122y x =+或1122y x =--C ．22y x =+或22y x =--D ．22y x =-+【答案】A【解析】【分析】 过M 作MP 与准线垂直，垂足为P ，利用抛物线的定义可得11cos cos MA MA MF MP AMP MAF===∠∠，要使||||MA MF 最大，则MAF ∠应最大，此时AM 与抛物线C 相切，再用判别式或导数计算即可. 【详解】过M 作MP 与准线垂直，垂足为P ，11cos cos MA MA MF MP AMP MAF===∠∠， 则当||||MA MF 取得最大值时，MAF ∠最大，此时AM 与抛物线C 相切， 易知此时直线AM 的斜率存在，设切线方程为(1)y k x =+，则2(1)4y k x y x =+⎧⎨=⎩.则221616011k k k ∆=-===±，，， 则直线AM 的方程为(1)y x =?.故选：A.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，涉及到抛物线的定义，考查学生转化与化归的思想，是一道中档题. 9．已知12log 13a =131412,13b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，13log 14c =，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a b c >>B ．c a b >>C ．b c a >>D ．a c b >>【答案】D【解析】【分析】 由指数函数的图像与性质易得b 最小，利用作差法，结合对数换底公式及基本不等式的性质即可比较a 和c 的大小关系，进而得解.【详解】 根据指数函数的图像与性质可知1314120131b ⎛⎫<= ⎪⎭<⎝，由对数函数的图像与性质可知12log 131a =>，13log 141c =>，所以b 最小；而由对数换底公式化简可得1132log 13log 14a c -=-lg13lg14lg12lg13=- 2lg 13lg12lg14lg12lg13-⋅=⋅ 由基本不等式可知()21lg12lg14lg12lg142⎡⎤⋅<+⎢⎥⎣⎦，代入上式可得()2221lg 13lg12lg14lg 13lg12lg142lg12lg13lg12lg13⎡⎤-+⎢⎥-⋅⎣⎦>⋅⋅ 221lg 13lg1682lg12lg13⎛⎫- ⎪⎝⎭=⋅11lg13lg168lg13lg16822lg12lg13⎛⎫⎛⎫+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⋅((lg13lg13lg 0lg12lg13+⋅-=>⋅所以a c >，综上可知a c b >>，故选：D.【点睛】本题考查了指数式与对数式的化简变形，对数换底公式及基本不等式的简单应用，作差法比较大小，属于中档题.10．执行下面的程序框图，则输出S 的值为 （ ）A ．112-B ．2360C ．1120D ．4360【答案】D【解析】【分析】根据框图，模拟程序运行，即可求出答案.【详解】运行程序，11,25s i =-=， 1211,3552s i =+--=， 123111,455523s i =++---=， 12341111,55555234s i =+++----=， 12341111,55555234s i =+++----=， 1234511111,6555552345s i =++++-----=，结束循环， 故输出1111113743=(12345)135********s ⎛⎫++++-++++=-= ⎪⎝⎭， 故选：D.【点睛】本题主要考查了程序框图，循环结构，条件分支结构，属于中档题.11．已知a R ∈若（1-ai ）( 3+2i )为纯虚数，则a 的值为 （ ）A ．32-B ．32C ．23-D ．23【答案】A【解析】【分析】根据复数的乘法运算法则化简可得()3+223a a i +-，根据纯虚数的概念可得结果.【详解】由题可知原式为()3+223a a i +-，该复数为纯虚数， 所以3+2032302a a a =⎧⇒=-⎨-≠⎩. 故选：A【点睛】本题考查复数的运算和复数的分类，属基础题.12．若i 为虚数单位，则复数22sincos 33z i ππ=-+的共轭复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】B【解析】【分析】 由共轭复数的定义得到z ，通过三角函数值的正负，以及复数的几何意义即得解【详解】 由题意得22sin cos 33z i ππ=--，因为2sin 03π-=<，21cos 032π-=>， 所以z 在复平面内对应的点位于第二象限．故选：B【点睛】本题考查了共轭复数的概念及复数的几何意义，考查了学生概念理解，数形结合，数学运算的能力，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
上海市普陀区2021届新高考第一次大联考数学试卷含解析
上海市普陀区2021届新高考第一次大联考数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列命题是真命题的是（ ）A ．若平面α，β，γ，满足αγ⊥，βγ⊥，则//αβ；B ．命题p ：x R ∀∈，211x -≤，则p ⌝：0x R ∃∈，2011x -≤；C ．“命题p q ∨为真”是“命题p q ∧为真”的充分不必要条件；D ．命题“若()110xx e -+=，则0x =”的逆否命题为：“若0x ≠，则()110xx e -+≠”.【答案】D 【解析】 【分析】根据面面关系判断A ；根据否定的定义判断B ；根据充分条件，必要条件的定义判断C ；根据逆否命题的定义判断D. 【详解】若平面α，β，γ，满足αγ⊥，βγ⊥，则,αβ可能相交，故A 错误； 命题“p ：x R ∀∈，211x -≤”的否定为p ⌝：0x R ∃∈，2011x ->，故B 错误；p q ∨为真，说明,p q 至少一个为真命题，则不能推出p q ∧为真；p q ∧为真，说明,p q 都为真命题，则p q∨为真，所以“命题p q ∨为真”是“命题p q ∧为真”的必要不充分条件，故C 错误；命题“若()110xx e -+=，则0x =”的逆否命题为：“若0x ≠，则()110xx e -+≠”，故D 正确；故选D 【点睛】本题主要考查了判断必要不充分条件，写出命题的逆否命题等，属于中档题.2．函数cos 220,2y x x x π⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的单调递增区间是（ ） A ．06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D 【解析】 【分析】利用辅助角公式,化简函数的解析式,再根据正弦函数的单调性,并采用整体法,可得结果. 【详解】因为cos 23sin 2y x x =-2sin(2)2sin(2)66x x ππ=-=--，由3222,262k x k k πππππ+-+∈Z ≤≤，解得5,36k x k k Z ππππ+≤≤+∈，即函数的增区间为5[,],36k k k ππππ++∈Z ，所以当0k =时，增区间的一个子集为[,]32ππ. 故选D. 【点睛】本题考查了辅助角公式,考查正弦型函数的单调递增区间,重点在于把握正弦函数的单调性，同时对于整体法的应用,使问题化繁为简,难度较易.3．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．24π+B ．24π-C ．242π-D ．243π-【答案】B 【解析】 【分析】由题意首先确定几何体的空间结构特征，然后结合空间结构特征即可求得其表面积. 【详解】由三视图可知，该几何体为边长为2正方体ABCD A B C D ''''-挖去一个以B 为球心以2为半径球体的18， 如图，故其表面积为2124342248πππ-+⨯⨯⨯=-， 故选：B.【点睛】(1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理．(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．4．已知集合{}2{|23,},|1=-<<∈=>A x x x N B x x A ，则集合A B =I （ ） A ．{2} B ．{1,0,1}-C ．{2,2}-D ．{1,0,1,2}-【答案】A 【解析】 【分析】化简集合A ,B ，按交集定义，即可求解. 【详解】集合{|23,}{0,1,2}=-<<∈=A x x x N ，{|11}=><-或B x x x ，则{2}A B =I .故选:A. 【点睛】本题考查集合间的运算，属于基础题.5．已知三棱锥D ABC -的体积为2，ABC V 是边长为2的等边三角形，且三棱锥D ABC -的外接球的球心O 恰好是CD 中点，则球O 的表面积为（ ） A ．523πB ．403πC ．253πD ．24π【答案】A 【解析】 【分析】根据O 是CD 中点这一条件，将棱锥的高转化为球心到平面的距离，即可用勾股定理求解. 【详解】解：设D 点到平面ABC 的距离为h ，因为O 是CD 中点，所以O 到平面ABC 的距离为2h ， 三棱锥D ABC -的体积11122sin602332ABC V S h h ︒==⋅⨯⨯⋅⨯⋅=V ，解得23h =⋅，作OO '⊥平面ABC ，垂足O '为ABC V 的外心，所以23CO '=，且32h OO '==，所以在Rt CO O 'V 中，22133OC CO O O ''=+=，此为球的半径， 213524433S R πππ∴==⋅=. 故选：A.【点睛】本题考查球的表面积，考查点到平面的距离，属于中档题．6．已知命题p ：若1a >，1b c >>，则log log b c a a <；命题q ：()00,x ∃+∞，使得0302log x x <”，则以下命题为真命题的是（ ） A ．p q ∧ B ．()p q ∧⌝C ．()p q ⌝∧D ．()()p q ⌝∧⌝【答案】B 【解析】 【分析】先判断命题,p q 的真假,进而根据复合命题真假的真值表,即可得答案. 【详解】1log log b a a b =，1log log c a a c =，因为1a >，1b c >>，所以0log log a a c b <<，所以11log log a a c b>，即命题p 为真命题；画出函数2xy =和3log y x =图象，知命题q 为假命题,所以()p q ∧⌝为真.故选:B.【点睛】本题考查真假命题的概念,以及真值表的应用,解题的关键是判断出命题,p q 的真假,难度较易.7．已知实数,x y 满足,10,1,x y x y y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩则2z x y =+的最大值为（ ）A ．2 B．32C ．1D ．0【答案】B 【解析】 【分析】作出可行域，平移目标直线即可求解. 【详解】 解：作出可行域：由2z x y =+得，1122y x z =-+ 由图形知，1122y x z =-+经过点时，其截距最大，此z 时最大10y x x y =⎧⎨+-=⎩得1212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，11,22C ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 当1212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，max 1232222z =+⨯=故选：B 【点睛】考查线性规划，是基础题.8．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺莞生一日，长一尺蒲生日自半，莞生日自倍.问几何日而长倍？”意思是：“今有蒲草第1天长高3尺，芜草第1天长高1尺以后，蒲草每天长高前一天的一半，芜草每天长高前一天的2倍.问第几天莞草是蒲草的二倍？”你认为莞草是蒲草的二倍长所需要的天数是（ ）（结果采取“只入不舍”的原则取整数，相关数据：lg30.4771≈，lg 20.3010≈） A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】C 【解析】 【分析】由题意可利用等比数列的求和公式得莞草与蒲草n 天后长度，进而可得：131212212112nn ⎛⎫- ⎪-⎝⎭⨯=--，解出即可得出． 【详解】由题意可得莞草与蒲草第n 天的长度分别为1113,122n n n n a b --⎛⎫=⨯=⨯ ⎪⎝⎭据题意得：131212212112nn ⎛⎫- ⎪-⎝⎭⨯=--， 解得2n ＝12， ∴n 122lg lg ==232lg lg +≈1． 故选：C ． 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 9．函数()()23ln 1x f x x+=的大致图象是A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】利用函数的对称性及函数值的符号即可作出判断. 【详解】由题意可知函数()f x 为奇函数，可排除B 选项； 当x 0<时，()0f x ＜，可排除D 选项； 当x 1=时，()12f ln =，当x 3=时，ln10ln10(3),ln 22727f =>， 即()()1?3f f ＞，可排除C 选项， 故选：A 【点睛】本题考查了函数图象的判断，函数对称性的应用，属于中档题．10．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左，右焦点分别为12,F F ，O 为坐标原点，P 为双曲线在第一象限上的点，直线PO ，2PF 分别交双曲线C 的左，右支于另一点12,,3M N PF PF =若，且260MF N ∠=o ，则双曲线的离心率为( )A 5B ．3C ．2D 7 【答案】D 【解析】 【分析】本道题结合双曲线的性质以及余弦定理，建立关于a 与c 的等式，计算离心率，即可． 【详解】结合题意，绘图，结合双曲线性质可以得到PO=MO ，而12F O F O =，结合四边形对角线平分，可得四边形12PF MF 为平行四边形，结合0260MF N ∠=，故01260F MF ∠=对三角形12F MF 运用余弦定理，得到，222121212122cos F M F M F F MF MF F MF +-=⋅⋅⋅∠而结合213PF PF =，可得12,3MF a MF a ==，122F F c =，代入上式子中，得到 2222943a a c a +-=，结合离心率满足c e a =，即可得出72c e a ==，故选D ． 【点睛】本道题考查了余弦定理以及双曲线的性质，难度偏难．11．已知函数()()3sin f x x ωϕ=+，()0,0πωϕ><<，若03f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，对任意x ∈R 恒有()3f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，在区间ππ,155⎛⎫ ⎪⎝⎭上有且只有一个1x 使()13f x =，则ω的最大值为（ ）A ．1234B ．1114C ．1054D ．1174【答案】C 【解析】 【分析】根据()f x 的零点和最值点列方程组，求得,ωϕ的表达式（用k 表示），根据()1f x 在ππ,155⎛⎫ ⎪⎝⎭上有且只有一个最大值，求得ω的取值范围，求得对应k 的取值范围，由k 为整数对k 的取值进行验证，由此求得ω的最大值.由题意知1122ππ,3,πππ+,32k k k Z k ωϕωϕ⎧-+=⎪⎪∈⎨⎪+=⎪⎩，则()()321,421π,4k k ωϕ⎧+=⎪⎪⎨='+⎪⎪⎩其中12k k k =-，21k k k '=+． 又()1f x 在ππ,155⎛⎫⎪⎝⎭上有且只有一个最大值，所以ππ2π251515T -=≤，得030ω<≤，即()321304k +≤，所以19.5k ≤，又k Z ∈，因此19k ≤．①当19k =时，1174ω=，此时取3π4ϕ=可使12ππ,3πππ+,32k k ωϕωϕ⎧-+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩成立，当ππ,155x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()1173π 2.7π,6.6π44x +∈，所以当11173π4.5π44x +=或6.5π时，()13f x =都成立，舍去； ②当18k =时，1114ω=，此时取π4ϕ=可使12ππ,3πππ+,32k k ωϕωϕ⎧-+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩成立，当ππ,155x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()111π 2.1π,5.8π44x +∈，所以当1111π2.5π44x +=或4.5π时，()13f x =都成立，舍去； ③当17k =时，1054ω=，此时取3π4ϕ=可使12ππ,3πππ+,32k k ωϕωϕ⎧-+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩成立，当ππ,155x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()1053π 2.5π,6π44x +∈，所以当11053π4.5π44x +=时，()13f x =成立； 综上所得ω的最大值为1054．故选:C 【点睛】本小题主要考查三角函数的零点和最值，考查三角函数的性质，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.12．已知向量a r 与向量()4,6m =u r 平行，()5,1b =-r ，且14a b ⋅=r r，则a =r （ ）A ．()4,6B ．()4,6--C．1313⎛ ⎝⎭D．1313⎛-- ⎝⎭【答案】B 【解析】设(),a x y =r ，根据题意得出关于x 、y 的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出向量a r的坐标.【详解】设(),a x y =r，且()4,6m =u r ，()5,1b =-r ，由//a m r u r 得64x y =，即32x y =，①，由514a b x y ⋅=-+=r r，②，所以32514x y x y =⎧⎨-+=⎩，解得46x y =-⎧⎨=-⎩，因此，()4,6a =--r .故选：B. 【点睛】本题考查向量坐标的求解，涉及共线向量的坐标表示和向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中等题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
上海市普陀区2021届高三上学期一模数学试题(解析版)
普陀区2020学年第一学期高三数学质量调研考生注意：1．本场考试时间120分钟．试卷4页，满分150分，答题纸共2页．2．作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题纸指定位置．3．所有作答务必填涂或书写在答题纸上或试卷题号对应的区域，不得错位．在试卷上作答一律不得分．4．用2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题．一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1—6题每题4分，第7—12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1. 若集合{|01}A x x =<≤，{|(1)(2)0,R}B x x x x =--≤∈，则AB =________． 【答案】{}02x x <≤【解析】【分析】先求出集合B ，再由并集定义即可求出. 【详解】{}{|(1)(2)0,R}12B x x x x x x =--≤∈=≤≤， ∴{}02A B x x ⋃=<≤. 故答案为：{}02x x <≤.2. 函数2(0)y x x =≥的反函数是____________【答案】)0y x =≥ 【解析】【分析】反函数，即利用y 表示x ，即可．【详解】由2y x =,解得x =x,y 得到反函数()0y x =≥【点睛】本道题考查了反函数的计算方法，抓住用y 表示x ，即可，属于较容易题．3. 若2παπ<<且1cos 3α=-，则tan α=_________．【答案】-【解析】【分析】先由已知求出sin α，再由商数关系即可求出. 【详解】2παπ<<且1cos 3α=-，sin α∴==，sin tan cos ααα∴==-故答案为：-.4. 设无穷等比数列{}n a 的各项和为2，若该数列的公比为12，则3a =________． 【答案】14 【解析】【分析】 根据题意，得到121a q=-，求得11a =，结合等比数列的通项公式，即可求解. 【详解】由题意，无穷等比数列{}n a 的各项和为2，且公比为12， 可得121a q =-，可得11a =，所以2231111()24a a q ==⨯=. 故答案为：14. 5. 在81x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中4x 项的系数为__________． 【答案】28【解析】【分析】写出二项展开式通项公式，令x 的指数等于4，求出r 可得结果. 【详解】二项展开式的通项公式为882881()(1)r r r r r r C xC x x ---=-，0,1,2,,8r =， 令824r -=，得2r ，所以二项展开式中4x 项的系数为228(1)28C -=.故答案为：28【点睛】关键点点睛：利用二项展开式的通项公式求解是解题关键.6. 已知正方体的棱长为1，则正方体的外接球的体积为 ．【解析】【详解】【分析】试题分析：正方体棱长为1，所以 3423R R V R π==== 考点：正方体外接球 7. 若圆C 以椭圆2211612x y +=的右焦点为圆心、长半轴为半径，则圆C 的方程为__________． 【答案】22(2)16x y -+=【解析】【分析】根据椭圆的方程，可求出椭圆的右焦点和长半轴，椭圆的右焦点和长半轴是圆的圆心和半径，故可写出圆的方程.【详解】由椭圆方程可知221612a b ==，则24c =所以椭圆右焦点为()2,0长半轴为4.根据题意可知，()2,0为圆心，4为圆的半径.则圆的方程为()22216x y -+=.故答案为：()22216x y -+=.8. 一个袋中装有同样大小、质量的10个球，其中2个红色、3个蓝色、5个黑色．经过充分混合后，若从此袋中任意取出4个球，则三种颜色的球均取到的概率为_________． 【答案】12【解析】【分析】三种颜色均取得有3种情形：2个红色，1个蓝色和1个黑色；1个红色，两个蓝色和1个黑色；1个红色，1个蓝色和2个黑色，分类计数后可得所求的概率.【详解】10个球中任取4个共有4101098721024C ⨯⨯⨯==（种）， 三种颜色均取得有3种情形：（1）2个红色，1个蓝色和1个黑色，共有35=15⨯种，（2）1个红色，两个蓝色和1个黑色，共有232530C ⨯⨯=种，（3）1个红色，1个蓝色和2个黑色，共有252360C ⨯⨯=种， 故三种颜色均取共有105种， 故所求的概率为10512102=. 故答案为：12. 【点睛】方法点睛：古典概型的概率的计算，关键是基本事件的总数和随机事件中含有的基本事件的个数的计算，可采用列举法、树形图法来计数，如果数目较大，可以利用排列组合的方法来计数.9. 设1()lg f x x x =-，则不等式1(1)1f x -<的解集为__________． 【答案】10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【解析】【分析】 根据初等函数的性质，得到函数1()lg f x x x =-为单调递减函数，且(1)1f =，把不等式1(1)1f x -<转化为111x->，即可求解. 【详解】由题意，函数1()lg f x x x =-， 根据初等函数的性质，可得函数()f x 为单调递减函数，且(1)1f =， 则不等式1(1)1f x -<等价于111x ->，即11220x x x--=>，解得102x <<， 所以不等式的解集为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.故答案为：10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. 10. 某展馆现有一块三角形区域可以布展，经过测量其三边长分别为14、10、6（单位：m ），且该区域的租金为每天4元/2m ．若租用上述区域5天，则仅场地的租用费约需________元．（结果保留整数）【答案】520【解析】 【分析】 根据余弦定理求出一个角，根据面积公式求出三角形的面积后可得结果.【详解】设ABC 的,,A B C 对应的边为,,a b c ，且14,10,6a b c ===，由余弦定理可得222222106141cos 221062b c a A bc +-+-===-⨯⨯， 因为0A π<<，所以23A π=， 所以3sin 2A =， 所以113sin 10615322ABC S bc A ==⨯⨯=△ 所以仅场地的租用费为15345303⨯=520≈元.故答案为：520【点睛】关键点点睛：求出三角形的面积是解题关键.11. 如图所示，在直角梯形ABCD 中，已知//AD BC ，2ABC π∠=，1AB AD ==，2BC =，M 为BD的中点．设P 、Q 分别为线段AB 、CD 上的动点，若P 、M 、Q 三点共线，则AQ CP ⋅的最大值为_________．【答案】2-【解析】【分析】建立直角坐标系，设00(0,),[0,1]P y y ∈，求得直线CD 的方程，设000(,2),[1,2]Q x x x -+∈，根据//MP MQ ，得出00001102x y y x --+=，把001312AQ CP x y ⋅=-++，再化简得到0000131131[(1)]2212x y y y -++=-⋅+--，结合函数的单调性，即可求解. 【详解】以B 为原点，,BC BA 分别为,x y 轴建立如图所示的直角坐标系，如图所示， 则11(0,0),(2,0),(0,1),(1,1),(,)22B C A D M ，设00(0,),[0,1]P y y ∈，又由1CD k =-，所以直线:2CD y x =-+，设000(,2),[1,2]Q x x x -+∈， 所以0001113(,),(,)2222MP y MQ x x =--=--+， 因为P 、M 、Q 三点共线，所以//MP MQ ， 可得0001311()()()2222x y x --+=--，整理得00001102x y y x --+=， 又由0000000(,1)(2,)2AQ CP x x y x x y y ⋅=-+⋅-=--+00000011213122x y x y x y =---++=-++， 又由000000110,[1,2],[0,1]2x y y x x y --+=∈∈，可得0001(1)12x y y -=-， 又因为010y -≤，所以00(1)y x -⋅关于0x 单调递减，所以00002(1)(1)(1)1y x y y -≤-≤-⋅， 所以000122112y y y -≤-≤-，解得0203y ≤≤，所以000000011111111122231313()12122212y x y y y y y ---++=-⋅++=-⋅-⋅++--0000000331113311311()(1)[(1)]()221212212212y y h y y y y y =-+⋅++=⋅+-=-⋅+-=----， 令01t y =-，则0t >，令31122y t t =⋅+， 可得函数y 在(0,3)上减函数，在y 在(3,)+∞上增函数，当011[,1]3t y =-∈时，min 31112212y =⋅+⨯=， 所以0max ()2h y =-.故答案为：2-.【点睛】求解向量坐标运算问题的一般思路：1、向量的坐标化：向量的坐标运算，使得向量的线性运算可用坐标进行，实现了向量坐标运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，通过建立平面直角坐标系，使几何问题转化为数量运算；2、巧借方程思想求坐标：向量的坐标运算主要时利用加法、减法、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，求解过程中要注意方程思想的运用；3、妙用待定系数法求系数：利用坐标运算求向量的基底表示，一般线求出基底向量和被表示的向量的坐标，再用待定系数法求出系数. 12. 设b 、c 均为实数，若函数()b f x x c x =++在区间[1,)+∞上有零点，则22b c +的取值范围是___________．【答案】1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．根据零点的定义，转化为方程在区间[1,)+∞上有实数根，然后根据一元二次方程的实数根的分布的性质，结合重要不等式进行求解即可. 【详解】因为函数()b f x x c x =++在区间[1,)+∞上有零点， 所以方程()0b f x x c x=++=在区间[1,)+∞上有实数解， 即20x cx b ++=在区间[1,)+∞上有实数解，设2()g x x cx b =++，要想20x cx b ++=在区间[1,)+∞上有实数解，当20x cx b ++=在区间[1,)+∞上有唯一实数解时，只需2(1)0101()1g c b c b c b ≤⇒++≤⇒+≤-⇒+≥， 而2222222222112222()()22b c bc b c bc b c b c b c b c +≥⇒+≥++=+⇒+≥+=， 当20x cx b ++=在区间[1,)+∞上有二个不相等实数根时，设为12,x x ，则有222121240404221(1)(1)0102c b c b c b x x c c b x x b c c ⎧⎧⎧∆=->->>⎪⎪⎪+=->⇒<-⇒>⎨⎨⎨⎪⎪⎪-->++><-⎩⎩⎩， 由2240(2)010c b c b c ⎧->⇒+>⎨++>⎩，而2c <-，所以不等式2(2)0c +>显然成立， 因此有225b c +> ， 综上所述：2212b c +≥， 故答案为：1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【点睛】方法点睛：解决函数零点问题往往转化为方程的根的问题，通过方程实数根的分布进行求解. 二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13. 抛物线28y x =的准线方程是（ ）A. 4x =B. 2x =C. 2x =-D. 4x =-【答案】C由抛物线的知识直接可得答案.【详解】抛物线28y x =的准线方程是2x =-故选：C14. 设x 、y 均为实数，且3147625x y -=，则在以下各项中(),x y 的可能取值只能是（ ）． A. ()2,1B. ()2,1-C. ()1,2-D. ()1,2-- 【答案】B【解析】【分析】利用二阶行列式的运算法则可得出关于x 、y 的等式，由此可得出合适的选项.【详解】()()31421820227625x x y x y y -=---=-+=，所以，25x y -=.满足25x y -=的有序实数对(),x y 为B 选项.故选：B.15. 如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面边长2AB =，高14A A =，E 为棱1A A 的中点．设BAD ∠=α、BED θ∠=、1B ED γ∠=，则α、β、γ之间的关系正确的是（ ）．A. αγθ=>B. γαθ>>C. θγα>>D. αθγ>>【答案】B【解析】求出α、β、γ的大小即可求解. 【详解】由题意可得2BAD πα∠==， 连接BD ，则BDE 为等边三角形，所以3BED πθ∠==， 连接1B D ，则222122426B D =++=，222222BE DE ==+=，取1B D 的中点O ，连接EO ，则16BO =，862EO =-=, 所以16tan 32B EO ∠==， 所以13B EO π∠=，即123B ED πγ∠==，所以γαθ>>.故选：B16. 设b 、c 均为实数，关于x 的方程20x b x c ++=在复数集C 上给出下列两个结论： ①存在b 、c ，使得该方程仅有两个共轭虚根；②存在b 、c ，使得该方程最多有6个互不相等的根．其中正确的是（ ）．A. ①与②均正确B. ①正确，②不正确C. ①不正确，②正确D. ①与②均不正确【答案】A 【解析】 【分析】取0,1b c ==可知①正确；分析根为实根和虚根的两种情况，讨论根的个数即可.【详解】解：令0b =，c 为正实数，则存在两个共轭的虚根，如0,1b c ==，则存在两个共轭虚根，x i =±，故①正确；若x 为实数，则方程可看做20x b x c ++=，只需保证x 有两个正解即可，此时方程有四个实根；若x 为虚数，则设=+x m ni ，(),m n R ∈ 有20x b x c ++=，等价于2220m n mni c -++=，所以20mn =，又x 为虚数，所以0n ≠，则有0m =，即20n b n c -++=，()n R ∈，即20n b n c --=最多有两个根，所以方程最多有6个解.只需2240400b c b c b ⎧->⎪+>⎨⎪<⎩即可，如3,2b a =-=，方程有1,2,1,2--两个虚根.故②正确； 故选：A.【点睛】本题考查复数范围内求解，属于中档题.易错点睛：（1）根为复数时，设=+x m ni ，代入计算，可得0m =；（2）把握求实根和虚根时，两个方程之间的关系，,b c 保证一个最多方程4个根，一个方程最多2个根.三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17. 设a 为常数，函数()sin 2cos(22)1f x a x x π=+-+（R x ∈） （1）设a =()y f x =的单调递增区间及频率f ；（2）若函数()y f x =为偶函数，求此函数的值域． 【答案】（1）增区间为[,],36k k k Z ππππ-+∈，频率1π；（2）[0,2]．【解析】【分析】（1）当a =()2sin(2)16f x x π=++，结合三角函数的图象与性质，即可求解；（2）由函数()y f x =为偶函数，得到对于任意的x ∈R ，均有()()f x f x -=成立，进而求得0a =，即可求得函数的值域.【详解】（1）当a =()2cos 212sin(2)16f x x x x π=++=++，令222,262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，得,36k x k k Z ππππ-≤≤+∈，所以此函数的单调递增区间为[,],36k k k Z ππππ-+∈， 又由函数的()f x 的最小正周期为22T ππ==，所以f 11T π==． （2）由题意，函数()f x 定义域R ，因为函数()y f x =为偶函数，所以对于任意的x ∈R ，均有()()f x f x -=成立， 即sin(2)cos(2)1sin 2cos 21a x x a x x -+-+=++， 即2sin 20a x =对于任意实数x 均成立，只有0a =，此时()cos 21f x x =+，因为1cos21x -≤≤，所以01cos22x ≤+≤， 故此函数的值域为[0,2]．【点睛】解答三角函数的性质的基本方法：1、根据已知条件化简得出三角函数的解析式为sin()y A wx ϕ=+的形式；2、熟练应用三角函数的图象与性质（单调性、奇偶性、周期、对称轴（中心）最值等），结合整体代换的方法，列出方程求解；18. 双曲线Γ：221169x y -=的左、右焦点分别为1F 、2F ，直线l 经过2F 且与Γ的两条渐近线中的一条平行，与另一条相交且交点在第一象限．（1）设P 为Γ右支上的任意一点，求1||PF 的最小值；（2）设O 为坐标原点，求O 到l 的距离，并求l 与Γ的交点坐标． 【答案】（1）1min9PF =；（2）O 到l 距离3；l 与Γ的交点坐标为(4.1,0.675)．【解析】 【分析】（1）设00(,)P x y ，由两点距离公式有1||PF 0544x =+，结合已知04x ≥，即可求1||PF 的最小值； （2）根据双曲线方程写出渐近线方程为34yx ，由题设知l ：34150x y +-=，由点线距离公式求O 到l 的距离，联立双曲线、直线方程即可求交点坐标.【详解】（1）根据题设条件，可得1(5,0)F -．设00(,)P x y ，其中04x ≥，且22009916y x =- 1||PF 2200(5)x y =++0544x =+，04x ≥ 所以当04x =时，1min9PF =．（2）2(5,0)F ，Γ的两条渐近线方程为34yx ， 根据题设，得l ：34150x y +-=，O 到l 的距离22334d ==+．将l 与Γ的方程联立，得2234150916144x y x y +-=⎧⎨-=⎩，消去y 得，1041x =，解得 4.1x =，代入得0.675y =，所以l 与Γ的交点坐标为(4.1,0.675)． 【点睛】关键点点睛：1、设00(,)P x y ，应用两点距离公式以及点在曲线方程上列1||PF 关于0x 方程，P 在双曲线右支有04x ≥，求范围即可.2、由直线l 与双曲线渐近线关系写出直线方程，结合点线距离公式求距离，联立方程求交点即可.19. 某商场共有三层楼，在其圆柱形空间内安装两部等长的扶梯I 、∏供顾客乘用．如图，一顾客自一楼点A 处乘I 到达二楼的点B 处后，沿着二楼面上的圆弧BM 逆时针步行至点C 处，且C 为弧BM 的中点，再乘∏到达三楼的点D 处．设圆柱形空间三个楼面圆的中心分别为O 、1O 、2O ，半径为8米，相邻楼层的间距4AM =米，两部电梯与楼面所成角的大小均为1arcsin 3．（1）求此顾客在二楼面上步行的路程；（2）求异面直线AB 和CD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）． 【答案】（1）2π米；（2）421arccos 9-． 【解析】 【分析】（1）过点B 作一楼面的垂线，垂足为B '，则B '落在圆柱底面圆上，计算出1BO M ∠的大小，再利用扇形的弧长公式可计算得出结果；（2）以O 为坐标原点，以射线OB '、OA 、2OO 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得异面直线AB 和CD 所成角的大小.【详解】（1）过点B 作一楼面的垂线，垂足为B '，则B '落在圆柱底面圆上， 连接B A '，则B A '即为BA 在圆柱下底面上的射影， 所以BAB '∠即为BA 与一楼面所成的角，即1arcsin3BAB '∠=． 4BB AM '==，所以，12AB =，可得2282AB AB BB ''=-=．在AOB '中，8OA OB ='=，则222OA OB AB ''+=，所以AOB '是等腰直角三角形，故12BO M AOB π'∠=∠=．又因为AB CD =，所以弧BC 的长为824ππ⨯=，所以此顾客在二楼面上步行的路程为2π米；（2）由（1）可知OA 、OB '、2OO 两两互相垂直相交，于是以O 为坐标原点，以射线OB '、OA 、2OO 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示．易得()8,0,4B ，()0,8,0A，()C、()D -， 向量()8,8,4AB =-，()4CD =-， 设异面直线AB 和CD 所成角的大小为θ，则41cos 9AB CD AB CDθ⋅==⋅，即θ=，所以异面直线AB 和CD 所成角的大小为． 【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法：（1）定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应的三角形，即可求出结果；（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量的夹角（两直线的方向向量、直线的方向向量与平面的法向量、两平面的法向量）的余弦值，即可求得结果.20. 已知无穷数列{}n a 的首项为1a ，其前n 项和为n S ，且1n n a a d +-=（*N n ∈），其中d 为常数且0d ≠．（1）设11a d ==，求数列{}n a 的通项公式，并求1lim(1)n na →∞-的值； （2）设2d =，77S =-，是否存在正整数k 使得数列{}n n S ⋅中的项k k S ⋅<条件k 的所有值；若不存在，请说明理由．（3）求证：数列{}n a 中不同的两项之和仍为此数列中的某一项的充要条件为存在整数m 且1m ≥-，使得1a md =．【答案】（1）n a n =（*N n ∈）；1lim(1)n na →∞-=1；（2）存在；k 的值为1,2,3,4,5,6,7,8；（3）证明见解析． 【解析】 【分析】（1）利用已知条件得数列{}n a 是以1为首项、1为公差的等差数列，求出通项公式，取极限即可；（2）利用等差数列的前n 项和公式先得到4a ，再求出1a ，利用等差数列的前n 项和公式得到328n n S n n ⋅=-，即3228(8)k k S k k k k ⋅=-=-<，即可求出满足条件k 的所有值；（3）①先证必要性：存在k ，使得s t k a a a +=，利用等差数列的通项公式得到1(1)a k s t d =--+，故存在m ，使得1m k s t =--+，使得1a md =，m Z ∈．运用反证法．证明即可；②再证充分性：当1a md =，1m ≥-，m Z ∈，任取等差数列{}n a 中不同的两项s a 和t a （s t ≠），利用等差数列的通项公式得到11(2)s t m a s t m d a ++-+++-= 满足题意.【详解】（1）由11n n a a +-=，得数列{}n a 是以1为首项、1为公差的等差数列． 故n a n =（*N n ∈）；1lim(1)n n a →∞-=1lim(1)1n n→∞-=．（2）{}n a 是等差数列，7477S a ==-， 得41a =-，又因为2d =， 所以17a =-． 故221()822n d dS n a n n n =+-=-， 所以328n n S n n ⋅=-（*N n ∈），3228(8)k k S k k k k ⋅=-=-<，当k =1,2,3,4,5,6,7,8时，0k k S ⋅≤<，不等式成立；当29,k k k S k ≥⋅≥> 所以满足条件的所有的k 的值为1,2,3,4,5,6,7,8．（3）①先证必要性：任取等差数列{}n a 中不同的两项s a 和t a （s t ≠）， 存在k ，使得s t k a a a +=，则112(2)(1)a s t d a k d ++-=+-， 得1(1)a k s t d =--+，故存在m ， 使得1m k s t =--+，使得1a md =，m Z ∈． 再证1m ≥-：运用反证法． 假设当0d ≠时，1m ≥-不成立， 则1m <-恒成立．对于不同的两项1a 、2a ，应存在l a ， 使得12l a a a +=，即(21)(1)m d md l d +=+-，故2l m =+，又因为m 是小于1-的整数， 故0l ≤．所以假设不成立， 故1m ≥-．②再证充分性：当1a md =，1m ≥-，m Z ∈， 任取等差数列{}n a 中不同的两项s a 和t a （s t ≠），s t a a +=112(2)(2)a s t d a s t m d ++-=+++-，因为20s t m ++-≥且2s t m Z ++-∈， 所以11(2)s t m a s t m d a ++-+++-=， 综上①②可得，等差数列{}n a 中不同的两项之和仍为此数列中的某一项的充要条件为存在整数m 且1m ≥-，使得1a md =得证．【点睛】关键点睛：熟练掌握等差数列的通向公式以及等差数列的前n 项和公式是解决本题的关键，证明充要条件时要分别证明充分性和必要性两种情况.21. 已知函数()f x 22,0log ,0x x x x ⎧≤=⎨>⎩，（1）解不等式()0x f x ⋅≤；（2）设k 、m 均为实数，当(,]x m ∈-∞时，()f x 的最大值为1，且满足此条件的任意实数x 及m 的值，使得关于x 的不等式2()(2)310f x m k m k ≤--+-恒成立，求k 的取值范围；（3）设t 为实数，若关于x 的方程[]2()log ()0f f x t x --=恰有两个不相等的实数根1x 、2x 且12x x <，试将1221212log 211x x x x ++--+-表示为关于t 的函数，并写出此函数的定义域．【答案】（1）(,1]-∞；（2）4k ≥；（3）1221212log 211x x x x ++--+-1t t=+；函数的定义域为(]1,3．【解析】 【分析】（1）根据函数()f x 22,0log ,0x x x x ⎧≤=⎨>⎩，分0x ≤，0x >讨论求解.（2）由(,]x m ∈-∞时，max ()f x =1，得到02m ≤≤，根据不等式2()(2)310f x m k m k ≤--+-恒成立，转化为4(3)83k m m ≥-++-对于任意的[0,2]m ∈都成立求解. （3）易得()()22,1()log log ,1x x f f x x x ≤⎧=⎨>⎩，分1x ≤，1x >，将原方程分别转化为 2x t x =-，2log x t x =-求解.【详解】（1）当0x ≤时，()2x f x =，代入()0x f x ⋅≤，得20x x ⋅≤， 因为20x >， 所以0x ≤；当0x >时，2()log f x x =，代入()0x f x ⋅≤，得2log 0x x ⋅≤， 所以2log 0x ≤， 解得01x <≤．故原不等式的解集为(,1]-∞．（2）当(,]x m ∈-∞时，max ()f x =1，故02m ≤≤． 要使得不等式2()(2)310f x m k m k ≤--+-恒成立， 需使2(2)310m k m k --+-1≥，即2(2)3110m k m k --+-≥对于任意的[0,2]m ∈都成立． 因为133m ≤-≤，所以4(3)83k m m ≥-++-对于任意的[0,2]m ∈都成立． 由30m ->，403m <-得4(3)84843m m -++≤-+=-（当且仅当1m =时，等号成立） 所以4k ≥（3）由函数()f x 22,0log ,0x x x x ⎧≤=⎨>⎩，得()()22,1()log log ,1x x f f x x x ≤⎧=⎨>⎩， ①若1x ≤，则方程[]2()log ()0f f x t x --=变为x =2log ()t x -，即2x t x =-，且13t <≤； ②若1x >，则方程[]2()log ()0f f x t x --=变为()222log log log ()x t x =-，即2log x t x =-，且1t > 于是1x 、2x 分别是方程2x t x =-、2log x t x =-的两个根且121x x t ≤<<由于函数2log y x =与2xy =的图像关于直线y x =对称，故12x x t +=122122log 2()x x t x x t +=-+=，121211x x --+-1t=故1221212log 211x x x x ++--+-1t t=+此函数的定义域为(]1,3【点睛】方法点睛：恒成立问题的解法：若()f x 在区间D 上有最值，则()()min ,00x D f x f x ∀∈>⇔>；()()max ,00x D f x f x ∀∈<⇔<； 若能分离常数，即将问题转化为：()a f x >（或()a f x <），则()()max a f x a f x >⇔>；()()min a f x a f x <⇔<；。
2021年上海市普陀区高考数学一模试卷(含详细解析)
2021年上海市普陀区高考数学一模试卷一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1．（4分）若集合{|01}A x x =<，{|(1)(2)0B x x x =--，}x R ∈，则A B = ．2．（4分）函数2(0)y x x =的反函数为 ． 3．（4分）若2παπ<<且1cos 3α=-，则tan α= ． 4．（4分）设无穷等比数列{}n a 的各项和为2，若该数列的公比为12，则3a = ． 5．（4分）在81()x x-的二项展开式中4x 项的系数为 ．6．（4分）若正方体的棱长为1，则该正方体的外接球的体积为 ．7．（5分）若圆C 以椭圆2211612x y +=的右焦点为圆心、长半轴为半径，则圆C 的方程为 ． 8．（5分）一个袋中装有同样大小、质量的10个球，其中2个红色、3个蓝色、5个黑色，经过充分混合后，若从此袋中任意取出4个球，则三种颜色的球均取到的概率为 ． 9．（5分）设1()f x lgx x =-，则不等式1(1)1f x-<的解集为 ． 10．（5分）某展馆现有一块三角形区域可以布展，经过测量其三边长分别为14、10、6（单位：)m ，且该区域的租金为每天4元2/m ，若租用上述区域5天，则仅场地的租用费约需 元（结果保留整数）．11．（5分）如图所示，在直角梯形ABCD 中，已知//AD BC ，\{}{2}ABC frac π∠=，1AB AD ==，2BC =，M 为BD 的中点，设P 、Q 分别为线段AB 、CD 上的动点，若P 、M 、Q 三点共线，则\{}\{}overrightarrow AQ overrightarrow CP ⋅的最大值为 ．12．（5分）设b 、c 均为实数，若函数()bf x x c x=++在区间[1，)+∞上有零点，则22b c +的取值范围是 ．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）曲线28y x =的准线方程是( ) A ．4x =B ．2x =C ．2x =-D ．4x =-14．（5分）设x 、y 均为实数，且314||||7625x y-=，则在以下各项中(,)x y 的可能取值只能是( ) A ．(2,1)B ．(2,1)-C ．(1,2)-D ．(1,2)--15．（5分）如图，在正四棱柱_{1}_{1}_{1}_{1}ABCD A B C D -中，底面边长2AB =，高_{1}4A A =，E 为棱_{1}A A 的中点，设BAD α∠=，BED θ∠=，_{1}B ED γ∠=，则α、β、γ之间的关系正确的是( )A ．αγθ=>B ．γαθ>>C ．θγα>>D ．αθγ>>16．（5分）设b 、c 均为实数，关于x 的方程2||0x b x c ++=在复数集C 上给出下列两个结论：①存在b 、c ，使得该方程仅有两个共轭虚根；②存在b 、c ，使得该方程最多有6个互不相等的根；其中正确的是( ) A ．①与②均正确 B ．①正确，②不正确C ．①不正确，②正确D ．①与②均不正确三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）17．（14分）设a 为常数，函数()sin 2cos(22)1()f x a x x x R π=+-+∈． （1）设3a =()y f x =的单调递增区间及频率f ； （2）若函数()y f x =为偶函数，求此函数的值域．18．（14分）双曲线22:1169x y Γ-=的左、右焦点分别为1F 、2F ，直线l 经过2F 且与Γ的两条渐近线中的一条平行，与另一条相交且交点在第一象限． （1）设P 为Γ右支上的任意一点，求1||PF 的最小值；（2）设O 为坐标原点，求O 到l 的距离，并求l 与Γ的交点坐标．19．（14分）某商场共有三层楼，在其圆柱形空间内安装两部等长的扶梯Ⅰ、Ⅱ供顾客乘用，如图，一顾客自一楼点A 处乘Ⅰ到达二楼的点B 处后，沿着二楼面上的圆弧BM 逆时针步行至点C 处，且C 为弧BM 的中点，再乘Ⅱ到达三楼的点D 处，设圆柱形空间三个楼面圆的中心分别为O 、1O 、2O ，半径为8米，相邻楼层的间距4AM =米，两部电梯与楼面所成角的大小均为1arcsin 3．（1）求此顾客在二楼面上步行的路程；（2）求异面直线AB 和CD 所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）20．（16分）已知无穷数列{}n a 的首项为1a ，其前n 项和为n S ，且*1()n n a a d n N +-=∈，其中d 为常数且0d ≠．（1）设11a d ==，求数列{}n a 的通项公式，并求1lim(1)n na →∞-的值； （2）设2d =，77S =-，是否存在正整数k 使得数列{}n n S 中的项2k k S <成立？若存在，求出满足条件k 的所有值，若不存在，请说明理由；（3）求证：数列{}n a 中不同的两项之和仍为此数列中的某一项的充要条件为存在整数m 且1m -，使得1a md =．21．（18分）已知函数22,0()log ,0xx f x x x ⎧⎪=⎨>⎪⎩．（1）解不等式()0x f x ；（2）设k 、m 均为实数，当(x ∈-∞，]m 时，()f x 的最大值为1，且满足此条件的任意实数x 及m 的值，使得关于x 的不等式2()(2)310f x m k m k --+-恒成立，求k 的取值范围； （3）设t 为实数，若关于x 的方程2[()]log ()0f f x t x --=恰有两个不相等的实数根1x 、2x 且12x x <，试将1221212log 2|1||1|x x x x ++--+-表示为关于t 的函数，并写出此函数的定义域．2021年上海市普陀区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）若集合{|01}A x x =<，{|(1)(2)0B x x x =--，}x R ∈，则A B ={|02}x x < ．【解答】解：{|(1)(2)0B x x x =--，}{|12}x R x x ∈=，{|01}A x x =<， {|02}AB x x ∴=<，故答案为：{|02}x x <．2．（4分）函数2(0)y x x =的反函数为1()0)f x x -= ． 【解答】解：由2(0)y x x =解得x =或（舍去），所以x =0y ，所以原函数的反函数为1()f x -=0x ，故答案为：1()f x -=0x ． 3．（4分）若2παπ<<且1cos 3α=-，则tan α=- 【解答】解：由1cos 3α=-，且2παπ<<，可得sin α=，所以sin 3tan 1cos 3ααα===-- 故答案为：-4．（4分）设无穷等比数列{}n a 的各项和为2，若该数列的公比为12，则3a = 14． 【解答】解：由题意可得，121a q =-且12q =， 11a ∴=，故23111144a a q ==⨯=．故答案为：14． 5．（4分）在81()x x-的二项展开式中4x 项的系数为 28 ．【解答】解：81()x x-的二项展开式的通项为828(1)r r r C x --，0r =，1，2⋯，8．令824r -=，解得2r =， 则4x 项的系数2828C =， 故答案为：28．6．（4分）若正方体的棱长为1，则该正方体的外接球的体积为 ． 【解答】解：正方体棱长为1，∴正方体的外接球的半径R =∴正方体的外接球的体积343V π==．． 7．（5分）若圆C 以椭圆2211612x y +=的右焦点为圆心、长半轴为半径，则圆C 的方程为22(2)16x y -+= ．【解答】解：根据题意，椭圆2211612x y +=中，4a =，b =则2c ==，则椭圆的右焦点坐标为(2,0)，则圆C 的圆心C 为(2,0)，半径4r a ==， 故圆C 的方程为：22(2)16x y -+=， 故答案为：22(2)16x y -+=．8．（5分）一个袋中装有同样大小、质量的10个球，其中2个红色、3个蓝色、5个黑色，经过充分混合后，若从此袋中任意取出4个球，则三种颜色的球均取到的概率为12． 【解答】解：由题设知：从10个球中任取4个球，共有410210C =种取法， 满足三种颜色的球均取到的取法有211121112235235235105C C C C C C C C C ++=种，∴三种颜色的球均取到的概率为10512102=， 故答案为：12． 9．（5分）设1()f x lgx x =-，则不等式1(1)1f x-<的解集为 1(0,)2 ．【解答】解：因为1()f x lgx x=-在(0,)+∞上单调递减， 由1(1)1f f x-<=（1），可得111x ->即12x >，解得，102x <<． 故答案为：1(0,)2．10．（5分）某展馆现有一块三角形区域可以布展，经过测量其三边长分别为14、10、6（单位：)m ，且该区域的租金为每天4元2/m ，若租用上述区域5天，则仅场地的租用费约需 520 元（结果保留整数）．【解答】解：在ABC ∆中，设6AB =，10AC =，14BC =，利用222610141cos 26102A +-==-⨯⨯，由于(0,)A π∈， 所以23A π=． 所以136101532ABC S ∆=⨯⨯⨯=，则花费用为()45153520⨯⨯≈元． 故答案为：520元．11．（5分）如图所示，在直角梯形ABCD 中，已知//AD BC ，\{}{2}ABC frac π∠=，1AB AD ==，2BC =，M 为BD 的中点，设P 、Q 分别为线段AB 、CD 上的动点，若P 、M 、Q 三点共线，则\{}\{}overrightarrow AQ overrightarrow CP ⋅的最大值为 2- ．【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．(0,0)B ，(2,0)C ，(0,1)A ，(1,1)D ，(\{1}{2}M frac ，\{1}{2}).frac设(0,)P m ，[0m ∈，1]． 设\{}\{}overrightarrow CQ overrightarrow CD =，则\{}\{}\{}(2overrightarrow BQ overrightarrow BC overrightarrow CD =+=，0)(1+-，1)(2=-，)，[0∈，1]．P 、M 、Q 三点共线，∴可以设\{}\{}(1)\{}(2overrightarrow BM overrightarrow BQ overrightarrow BP λλλλ=+-=-，)(\{1}{2}m m frac λλ+-=，\{1}{2})frac ，2\{1}{2}frac λλ∴-=，\{1}{2}m m frac λλ+-=．消去λ可得：\{23}{22}frac m m =-+． 则\{}\{}(2overrightarrow AQ overrightarrow CP ⋅=-，1)(2-⋅-，)424(2)\{23}{22}\{5}{2}[\{1}{1}(1)]2m m m m frac m m m frac frac m m =-++-=-++⨯-+-=+-+-．令()\{5}{2}[\{1}{1}(1)]2f m frac frac m m =+-+-．[0m ∈，1]． 则()f m 在[0m ∈，1]上单调递减，因此0m =时，()f m 取得最大值(0)2f =-．12．（5分）设b 、c 均为实数，若函数()bf x x c x=++在区间[1，)+∞上有零点，则22b c +的取值范围是 1[2，)+∞ ．【解答】解：()bf x x c x=++在区间[1，)+∞上有零点， 0bx c x∴++=在区间[1，)+∞上有解， 20x cx b ∴++=在区间[1，)+∞上有解，令2()g x x cx b =++， g ∴（1）10b c =++，22()(1)b c ∴+-， 2221b c bc ∴++， 222b c bc +，2222()()1b c b c ∴++， 2212b c ∴+ 故答案为：1[2，)+∞．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13．（5分）曲线28y x =的准线方程是( ) A ．4x =B ．2x =C ．2x =-D ．4x =-【解答】解：抛物线28y x =的准线方程是422x =-=-，故选：C ．14．（5分）设x 、y 均为实数，且314||||7625x y-=，则在以下各项中(,)x y 的可能取值只能是( ) A ．(2,1) B ．(2,1)-C ．(1,2)-D ．(1,2)--【解答】解：314||||7625x y-=，可得218207x y --+=， 整理得：25x y -=，将选项代入，只有B 成立， 故选：B ．15．（5分）如图，在正四棱柱_{1}_{1}_{1}_{1}ABCD A B C D -中，底面边长2AB =，高_{1}4A A =，E 为棱_{1}A A 的中点，设BAD α∠=，BED θ∠=，_{1}B ED γ∠=，则α、β、γ之间的关系正确的是( )A ．αγθ=>B ．γαθ>>C ．θγα>>D ．αθγ>>【解答】解：由题意可得90BAD α∠==︒，连接BD ，因为高_{1}4A A =，E 为棱_{1}A A 的中点，所以2AE =，因为在正四棱柱_{1}_{1}_{1}_{1}ABCD A B C D -中，底面边长2AB =， 所以2\{2}BD BE DE sqrt ===，所以BDE ∆为等边三角形，所以，60BED θ∠==︒，连接_{1}B D ，在△_{1}B ED 中，_{1}2\{2}B E sqrt =，2\{2}DE sqrt =，{2}{2}{2}_{1}\{{2}{2}{4}}2\{6}B D sqrt sqrt =++=，由余弦定理可得cos _{1}\{8824}{22\{2}2\{2}}\{1}{2}B ED frac sqrt sqrt frac ∠=+-⨯⨯=-，所以_{1}120B ED γ∠==︒， 所以γαθ>>． 故选：B ．16．（5分）设b 、c 均为实数，关于x 的方程2||0x b x c ++=在复数集C 上给出下列两个结论：①存在b 、c ，使得该方程仅有两个共轭虚根；②存在b 、c ，使得该方程最多有6个互不相等的根；其中正确的是( ) A ．①与②均正确 B ．①正确，②不正确C ．①不正确，②正确D ．①与②均不正确【解答】解：对于方程2||0x b x c ++=，若0b =，1c =，方程化为210x +=， 即21x =-，得x i =±，即方程仅有两个共轭虚根，故①正确； 当3b =-，2c =时，方程2||0x b x c ++=为23||20x x -+=， 该方程有4个实数根，分别为1-，1，2-，2，有2，共6个互不相等的根，故②正确． 故选：A ．三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）17．（14分）设a 为常数，函数()sin 2cos(22)1()f x a x x x R π=+-+∈．（1）设a =()y f x =的单调递增区间及频率f ； （2）若函数()y f x =为偶函数，求此函数的值域．【解答】解：（1）因为a =()sin 2cos(22)1f x a x x π=+-+2cos212sin(2)16x x x π=++=++，令2[2,2]622x k k k Z πππππ+∈-+∈，解得[,]36x k k k Z ππππ∈-+∈， 所以函数的单调递增区间为[,]36k k k Z ππππ-+∈， 函数是频率212f ππ==； （2）因为函数是偶函数，则()()f x f x -=，即sin(2)cos(22)1sin 2cos(22)1a x x a x x ππ-+++=+-+， 即sin2cos2sin2cos2a x x a x x -+=+，所以0a =， 所以()cos21f x x =+，当x R ∈时，cos2[1x ∈-，1]， 所以cos21[0x +∈，2]， 故函数()f x 的值域为[0，2]．18．（14分）双曲线22:1169x y Γ-=的左、右焦点分别为1F 、2F ，直线l 经过2F 且与Γ的两条渐近线中的一条平行，与另一条相交且交点在第一象限． （1）设P 为Γ右支上的任意一点，求1||PF 的最小值；（2）设O 为坐标原点，求O 到l 的距离，并求l 与Γ的交点坐标．【解答】解：（1）由双曲线22:1169x y Γ-=，得216a =，29b =，则5c =， 1(5,0)F ∴-，设0(P x ，0)y ，其中04x ，且22009916y x =-，105|||4|4PF x ==+， ∴当04x =时，1||9min PF =；（2）2(5,0)F ，Γ的渐近线方程为34y x =±，由题设可知，直线l 的方程为34150x y +-=． O 到直线l 的距离22334d ==+．联立2234150916144x y x y +-=⎧⎨-=⎩，得1041x =，即4110x =， 代入34150x y +-=，得2740y =． l ∴与Γ的交点坐标为4127(,)1040．19．（14分）某商场共有三层楼，在其圆柱形空间内安装两部等长的扶梯Ⅰ、Ⅱ供顾客乘用，如图，一顾客自一楼点A 处乘Ⅰ到达二楼的点B 处后，沿着二楼面上的圆弧BM 逆时针步行至点C 处，且C 为弧BM 的中点，再乘Ⅱ到达三楼的点D 处，设圆柱形空间三个楼面圆的中心分别为O 、1O 、2O ，半径为8米，相邻楼层的间距4AM =米，两部电梯与楼面所成角的大小均为1arcsin 3．（1）求此顾客在二楼面上步行的路程；（2）求异面直线AB 和CD 所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）【解答】解：（1）过点B 作1楼面的垂线，垂足是B '， 则B '落在圆柱底面圆上，连接B A '， 则B A '即为BA 在圆柱下底面上的射影，故BAB ∠'即为BA 与楼面所成的角，即1arcsin 3BAB ∠'=，4BB AM '==，可得82AB =AOB ∆中，8OA OB ='=，故AOB ∆'是等腰直角三角形，故12BO M AOB π∠=∠'=，AB CD =，故弧BC 的长为824ππ⨯=，故此顾客在二楼面上步行的路程为2π米；（2）由（1）可知OA ，OB '，2OO 两两互相垂直相交，于是以O 为坐标原点，以射线OB '，OA ，2OO 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系， 如图示：则(8B ，0，4)，(0A ，8，0)，(42C ，424)，(42D -428)， 故(8AB =，8-，4)，(82CD =-，0，4)， 设异面直线AB 和CD 所成角的大小为θ， 则||421cos 09||||AB CD AB CD θ==>，即421arccos9θ=， 故异面直线AB 和CD 所成角的大小为421-． 20．（16分）已知无穷数列{}n a 的首项为1a ，其前n 项和为n S ，且*1()n n a a d n N +-=∈，其中d 为常数且0d ≠．（1）设11a d ==，求数列{}n a 的通项公式，并求1lim(1)n na →∞-的值； （2）设2d =，77S =-，是否存在正整数k 使得数列{}n n S 中的项2k k S <成立？若存在，求出满足条件k 的所有值，若不存在，请说明理由；（3）求证：数列{}n a 中不同的两项之和仍为此数列中的某一项的充要条件为存在整数m 且1m -，使得1a md =．【解答】解：（1）由11n n a a +-=得数列{}n a 是以1为首项1为公差的等差数列，故n a n =，*n N ∈，11lim(1)lim(1)1n n n a n→∞→∞-=-=； （2）因为{}n a 是等差数列，7477S a ==-，解得41a =-， 又因为2d =，所以17a =-，故221()822n d dS n a n n n =+-=-， 所以328n nS n n =-，*n N ∈，则3228(8)k kS k k k k =-=-< 当1k =，2，3，4，5，6，7，8时，02k kS <，不等式成立， 当9k 时，22k kS k >所以满足条件的所有的k 的值为1，2，3，4，5，6，7，8；（3）①先证必要性：任取等差数列{}n a 中不同的两项s a ，t a ，()s t ≠， 存在k 使得s t k a a a +=，则112(2)(1)a s t d a k d ++-=+-，得1(1)a k s t d =--+， 故存在m 使得1m k s t =--+，使得1a md =，m Z ∈，再整1m -：反证法证明：假设当0d ≠时，1m -不成立，则1m <-恒成立， 对于不同的两项1a ，2a ，应存在l a ，使得12l a a a +=，即(21)(1)m d md l d +=+-， 所以2l m =+，又因为m 是小于1-的整数，故0l ， 所以假设不成立，故1m -，②再证充分性：当1a md =，1m -，m Z ∈， 任取等差数列{}n a 中不同的两项sa ，ta ，()s t ≠，则112(2)(2)s t a a a s t d a s t m d +=++-=+++-，因为20s t m ++-且2s t m Z ++-∈， 所以11(2)s t m a s t m d a ++-+++-=， 综上①②可得，原结论成立．21．（18分）已知函数22,0()log ,0xx f x x x ⎧⎪=⎨>⎪⎩．（1）解不等式()0x f x ；（2）设k 、m 均为实数，当(x ∈-∞，]m 时，()f x 的最大值为1，且满足此条件的任意实数x 及m 的值，使得关于x 的不等式2()(2)310f x m k m k --+-恒成立，求k 的取值范围； （3）设t 为实数，若关于x 的方程2[()]log ()0f f x t x --=恰有两个不相等的实数根1x 、2x 且12x x <，试将1221212log 2|1||1|x x x x ++--+-表示为关于t 的函数，并写出此函数的定义域．【解答】解：（1）()0x f x 等价为020x x ⎧⎨⎩或200x log x >⎧⎨⎩，即为0x 或01x <，则原不等式的解集为(-∞，1]；（2）当(x ∈-∞，]m 时，()f x 的最大值为1，故02m ．要使不等式2()(2)310f x m k m k --+-恒成立，需要2(2)3101m k m k --+-， 即2(2)3110m k m k --+-对任意[0m ∈，2]都成立．133m -，4(3)83k m m ∴-++-， 由30m ->，403m>-，得4(3)84843m m -++-+=-， 当且仅当1m =时等号成立，4k ∴， 即k 的取值范围是[4，)+∞；（3）由函数22,0()log ,0xx f x x x ⎧⎪=⎨>⎪⎩，得22,1(())(),1x x f f x log log x x ⎧=⎨>⎩，①若1x ，则方程2[()]log ()0f f x t x --=变为2log ()x t x =-，即2x t x =-，且13t <； ②若1x >，则方程2[()]log ()0f f x t x --=变为222log (log )log ()x t x =-，即2log x t x =-，且1t >．于是1x ，2x 分别是方程2x t x =-、2log x t x =-的两个根且121x x t <<，1221222()x log x t x x t +=-+=，12112|1||1|x x t=--+-，故122121122|1||1|x log x t x x t++=+--+-，此函数的定义域为(1，3]．。
2021年上海市普陀区高考数学一模试卷
2021年上海市普陀区高考数学一模试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸相应位置直接填写结果1．（4分）函数f（x）＝的概念城为．2．（4分）若sinα＝，则cos（）＝．3．（4分）设α∈{，﹣1，﹣2，3}，若f（x）＝xα为偶函数，则α＝．4．（4分）若直线l通过抛物线C：y2＝4x的核心且其一个方向向量为＝（1，1），则直线l的方程为．5．（4分）若一个球的体积是其半径的倍，则该球的表面积为．6．（4分）在一个袋中装有大小、质地均相同的9只球，其中红色、黑色、白色各3只，若从袋中随机掏出两个球，则至少有一个红球的概率为．（结果用最简分数表示）7．（5分）设（x﹣1）（x+1）5＝a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a6x6，则a3＝（结果用数值表示）8．（5分）设a＞0且a≠1，若log a（sin x﹣cos x）＝0，则sin8x+cos8x ＝．9．（5分）如图，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为4，记A1C1∩B1D1＝F，BC1∩B1C＝E，若AE⊥BF，则此棱柱的体积为．10．（5分）某人的月工资由基础工资和绩效工资组成2021年每个月的基础工资为2100元、绩效工资为2000元从2021年起每个月基础工资比上一年增加210元、绩效工资为上一年的110%．照此推算，这人2021年的年薪为万元（结果精准到0.1）11．（5分）已知点A（﹣2，0），设B、C是圆O：x2+y2＝1上的两个不同的动点，且向量＝t+（1﹣t）（其中t为实数），则＝．12．（5分）设a为常数记函数f（x）＝+log a（a＞0且a≠1，0＜x＜a）的反函数为f﹣1（x），则f﹣1（）+f﹣1（）+f﹣1（）+……+f﹣1（）＝．二、选择题（本大题共有4题满分20分.每题5分）每题有且只有一个正确选项考生应在答题纸的相应位置将代表正确选项的小方格涂黑13．（5分）下列关于双曲线Γ：＝1的判断，正确的是（）A．渐近线方程为x±2y＝0B．核心坐标为（±3，0）C．实轴长为12D．极点坐标为（±6，0）14．（5分）函数y＝2cos（2x+）的图象（）A．关于原点对称B．关于点（﹣）C．关于y轴对称D．关于直线x＝轴对称15．（5分）若a、b、c表示直线，α、β表示平面，则“a∥b”成立的一个充分非必要条件是（）A．a⊥b，b⊥c B．a∥α，b∥αC．a⊥β，b⊥βD．a∥c，b⊥c 16．（5分）设f（x）是概念在R上的周期为4的函数，且f（x）＝，记g（x）＝f（x）﹣a，若0＜a≤则函数g（x）在区间[﹣4，5]上零点的个数是（）A．5B．6C．7D．8三、解答题17．在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边依次为a，b，c，且cos C＝．（1）求2cos2+2sin2C的值；（2）设c＝2，求a+b的取值范围．18．已知曲线Γ：＝1的左、右极点别离为A，B，设P是曲线Γ上的任意一点．（1）当P异于A，B时，记直线P A，PB的斜率别离为k1，k2，求证：k1•k2是定值；（2）设点C知足＝λ（λ＞0），且|PC|的最大值为7，求λ的值．19．如图所示，某地出土的一种“钉”是由四条线段组成，其结构能使它任意抛至水平面后，总有一端所在的直线竖直向上，并记组成该“钉”的四条线段的公共点为O，钉尖为A i（i＝1，2，3，4）．（1）设OA1＝a（a＞0），当A1，A2，A3在同一水平面内时，求OA1与平面A1A2A3所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．（2）若该“钉”的三个钉尖所肯定的三角形的面积为3cm2，要用某种线型材料复制100枚这种“钉”（损耗忽略不计），共需要该种材料多少米？20．设数列{a n}知足a1＝，a n+1＝（n∈N*）．（1）求a2，a3的值；（2）求证：{﹣1}是等比数列，并求（﹣n）的值；（3）记{a n}的前n项和为S n，是不是存在正整数k，使得对于任意的n（n∈N*且n≥2）均有S n≥k成立？若存在，求出k的值：若不存在，说明理由．21．已知函数f（x）＝2x（x∈R），记g（x）＝f（x）﹣f（﹣x）．（1）解不等式：f（2x）﹣f（x）≤6；（2）设k为实数，若存在实数x0∈（1，2]，使得g（2x0）＝k•g2（x0）﹣1成立，求k的取值范围；（3）记h（x）＝f（2x+2）+a•f（x）+b（其中a，b均为实数），若对于任意的x∈[0，1]，均有|h（k）|，求a，b的值．2021年上海市普陀区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸相应位置直接填写结果1．（4分）函数f（x）＝的概念城为（﹣∞，0）∪（0，1]．【分析】按照偶次根式中被开方非负，分母不为0列式解得．【解答】解：由解得：x≤1且x≠0，故答案为：（﹣∞，0）∪（0，1]【点评】本题考查了函数的概念域及其求法．属基础题．2．（4分）若sinα＝，则cos（）＝．【分析】由已知直接利用三角函数的诱导公式化简求值．【解答】解：∵sinα＝，∴cos（）＝﹣sin．故答案为：﹣．【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式的应用，是基础题．3．（4分）设α∈{，﹣1，﹣2，3}，若f（x）＝xα为偶函数，则α＝﹣2．【分析】可以看出，只有α＝﹣2时，f（x）为偶函数，从而得出α＝﹣2．【解答】解：f（x）＝x﹣2是偶函数；∴α＝﹣2．故答案为：﹣2．【点评】考查偶函数的概念，偶函数图象的特点．4．（4分）若直线l通过抛物线C：y2＝4x的核心且其一个方向向量为＝（1，1），则直线l的方程为x﹣y﹣1＝0．【分析】求出抛物线y2＝4x的核心，求出直线l的斜率，用点斜式求直线方程，并化为一般式．【解答】解：抛物线y2＝4x的核心为（1，0），方向向量为＝（1，1）的直线l的斜率为1，故直线l的方程是y﹣0＝1•（x﹣1），即y＝x﹣1，故答案为：x﹣y﹣1＝0．【点评】本题考查用点斜式求直线方程的方乘，抛物线的简单性质，肯定斜率是解题的关键．5．（4分）若一个球的体积是其半径的倍，则该球的表面积为4．【分析】设球的半径为R，按照题意列方程可得．【解答】解：设球的半径为R，则πR3＝R，∴πR2＝1，球的表面积为：4πR2＝4，故答案为：4．【点评】本题考查了球的体积和表面积，属中档题．6．（4分）在一个袋中装有大小、质地均相同的9只球，其中红色、黑色、白色各3只，若从袋中随机掏出两个球，则至少有一个红球的概率为．（结果用最简分数表示）【分析】从袋中随机掏出两个球，大体事件总数n＝＝36，至少有一个红球的对立事件是没有红球，由此能求出至少有一个红球的概率．【解答】解：在一个袋中装有大小、质地均相同的9只球，其中红色、黑色、白色各3只，从袋中随机掏出两个球，大体事件总数n＝＝36，至少有一个红球的对立事件是没有红球，∴至少有一个红球的概率为P＝1﹣＝．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，考查对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7．（5分）设（x﹣1）（x+1）5＝a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a6x6，则a3＝0（结果用数值表示）【分析】把（x+1）5依照二项式定理展开，可得a3的值．【解答】解：∵（x﹣1）（x+1）5＝（x﹣1）（x5+5x4+10x3+10x2+5x+1）＝a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a6x6，则a3＝10﹣10＝0，故答案为：0．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．8．（5分）设a＞0且a≠1，若log a（sin x﹣cos x）＝0，则sin8x+cos8x＝1．【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变变换和对数的应用求出结果．【解答】解：设a＞0且a≠1，若log a（sin x﹣cos x）＝0，所以：sin x﹣cos x＝a0＝1，所以：sin x•cos x＝0，则：sin x﹣cos x＝1，则：sin8x+cos8x＝（sin4x﹣cos4x）2+2sin4x•cos4x，＝[（sin2x+cos2x）（sin2x﹣cos2x）]2+2sin4x•cos4x，＝[（sin x+cos x）（sin x﹣cos x）]2﹣0，＝1，故答案为：1．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．9．（5分）如图，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为4，记A1C1∩B1D1＝F，BC1∩B1C＝E，若AE⊥BF，则此棱柱的体积为32．【分析】成立空间直角坐标系，设出直四棱柱的高h，求出的坐标，由数量积为0求得h，则棱柱的体积可求．【解答】解：成立如图所示空间直角坐标系，设DD1＝h，又AB＝BC＝4，则A（4，0，0），E（2，4，），B（4，4，0），F（2，2，h），∴，，∵AE⊥BF，∴4﹣8+＝0，即h＝．∴此棱柱的体积为．故答案为：．【点评】本题考查棱柱体积的求法，考查利用空间向量求解线线垂直问题，是中档题．10．（5分）某人的月工资由基础工资和绩效工资组成2021年每个月的基础工资为2100元、绩效工资为2000元从2021年起每个月基础工资比上一年增加210元、绩效工资为上一年的110%．照此推算，这人2021年的年薪为10.4万元（结果精准到0.1）【分析】由题意可得，基础工资是以2100元为首项，以210元公差的等差数列，绩效工资以为2000元首项，以公比为1.1的等比数列，即可求出2021年的每个月的工资，即可求出年薪【解答】解：由题意可得，基础工资是以2100元为首项，以210元公差的等差数列，绩效工资以为2000元首项，以公比为1.1的等比数列，则这人2021年每个月的基础工资为2100+210（10﹣1）＝3990元，每月的绩效工资为2000×1.19≈4715.90元，则这人2021年的年薪为12（3990+4715.90）≈10.4万元，故答案为：10.4．【点评】本题考查了等差数列和等比数列在实际生活中的应用，属于中档题．11．（5分）已知点A（﹣2，0），设B、C是圆O：x2+y2＝1上的两个不同的动点，且向量＝t+（1﹣t）（其中t为实数），则＝3．【分析】由向量＝t+（1﹣t）（其中t为实数），可得：A，B，C三点共线，且，同向，设圆O与x轴正半轴交于点E，由割线定理可得，|AB||AC|＝|AO||AE|＝1×3＝3【解答】解：由向量＝t+（1﹣t）（其中t为实数），可得：A，B，C三点共线，且，同向，设圆O与x轴正半轴交于点E，由圆的割线定理可得，|AB||AC|＝|AO||AE|，∴•＝||||cos0＝|AB||AC|＝|AO||AE|＝1×3＝3故答案为：3【点评】本题考查了向量中三点共线的判断，及圆的割线定理，属中档题12．（5分）设a为常数记函数f（x）＝+log a（a＞0且a≠1，0＜x＜a）的反函数为f﹣1（x），则f﹣1（）+f﹣1（）+f﹣1（）+……+f﹣1（）＝a2．【分析】先求出反函数，然后求出f﹣1（x）+f﹣1（1﹣x）＝a，所以等于a个a．【解答】解：由f（x）＝+log a，得f﹣1（x）＝，∴f﹣1（1﹣x）＝＝，∴f﹣1（x）+f﹣1（1﹣x）＝+＝a，∴原式＝a•a＝a2，故答案为：a2【点评】本题考查了反函数，属基础题．二、选择题（本大题共有4题满分20分.每题5分）每题有且只有一个正确选项考生应在答题纸的相应位置将代表正确选项的小方格涂黑13．（5分）下列关于双曲线Γ：＝1的判断，正确的是（）A．渐近线方程为x±2y＝0B．核心坐标为（±3，0）C．实轴长为12D．极点坐标为（±6，0）【分析】关于双曲线Γ：＝1，a2＝6，b2＝3，c2＝9，即可得答案．【解答】解：关于双曲线Γ：＝1，a2＝6，b2＝3，c2＝9，则渐近线方程为x±y＝0；核心为（±3，0）；实轴2a＝2，极点坐标为（±，0）．故选：B．【点评】本题考查双曲线的方程、几何性质，属于基础题．14．（5分）函数y＝2cos（2x+）的图象（）A．关于原点对称B．关于点（﹣）C．关于y轴对称D．关于直线x＝轴对称【分析】直接利用余弦函数的性质求出结果．【解答】解：对于选项：A，当x＝0时y＝，故错误．对于选项C：当x＝0时，y＝，故错误．对于选项D：当x＝时，y＝﹣，故错误．故选：B．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．15．（5分）若a、b、c表示直线，α、β表示平面，则“a∥b”成立的一个充分非必要条件是（）A．a⊥b，b⊥c B．a∥α，b∥αC．a⊥β，b⊥βD．a∥c，b⊥c【分析】在A中，a与b相交、平行或异面；在B中，a与b相交、平行或异面；在C中，a⊥β，b⊥β，则a∥b，反之a∥b，不必然取得a⊥β，b⊥β；在D 中，a与b相交或异面．【解答】解：由a、b、c表示直线，α、β表示平面，在A中，a⊥b，b⊥c，则a与b相交、平行或异面，故A错误；在B中，a∥α，b∥α，则a与b相交、平行或异面，故B错误；在C中，a⊥β，b⊥β，则a∥b，反之a∥b，不必然取得a⊥β，b⊥β，故C正确；在D中，a∥c，b⊥c，则a与b相交或异面，故D错误．故选：C．【点评】本题考查命题成立的一个充分非必要条件的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．16．（5分）设f（x）是概念在R上的周期为4的函数，且f（x）＝，记g（x）＝f（x）﹣a，若0＜a≤则函数g（x）在区间[﹣4，5]上零点的个数是（）A．5B．6C．7D．8【分析】别离作出y＝f（x）与直线y＝a（1＜a≤）的图象，观察交点个数即可【解答】解：由图可知：直线y＝a（0）与y＝f（x）在区间[﹣4，5]上的交点有8个，故选：D．【点评】本题考查了数形结合的思想及作图能力．三、解答题17．在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边依次为a，b，c，且cos C＝．（1）求2cos2+2sin2C的值；（2）设c＝2，求a+b的取值范围．【分析】（1）利用同角三角函数大体关系式可求sin C，利用三角函数恒等变换的应用即可计算得解．（2）由余弦定理，大体不等式可求a+b的最大值，利用三角形两边之和大于第三边可求a+b＞c＝2，即可得解a+b的取值范围．【解答】解：（1）∵cos C＝，∴sin C＝＝，∴2cos2+2sin2C＝1+cos（A+B）+2sin2C＝1﹣cos C+4sin C cos C＝1﹣+4×＝．…（6分）（2）∵c＝2，cos C＝，∴由余弦定理可得：4＝a2+b2﹣ab＝（a+b）2﹣ab，∵a2+b2≥2ab，可得：ab≤，当且仅当a＝b时等号成立，∴可得：（a+b）2＝4+ab≤，可得：a+b≤，当且仅当a＝b时等号成立，∵a+b＞c＝2，∴a+b的取值范围为：（2，]．…（12分）【点评】本题主要考查了同角三角函数大体关系式，三角函数恒等变换的应用，余弦定理，大体不等式，三角形两边之和大于第三边等知识的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18．已知曲线Γ：＝1的左、右极点别离为A，B，设P是曲线Γ上的任意一点．（1）当P异于A，B时，记直线P A，PB的斜率别离为k1，k2，求证：k1•k2是定值；（2）设点C知足＝λ（λ＞0），且|PC|的最大值为7，求λ的值．【分析】（1）由已知椭圆方程求出A，B的坐标，设P（x0，y0）（﹣4≤x0≤4），由斜率公式及点P在椭圆上即可证明k1•k2是定值；（2）设C（m，0）（﹣4＜m＜4），写出两点间的距离公式，分类利用配方式求最值，可得m值，结合＝λ（λ＞0），求得λ的值．【解答】（1）证明：由椭圆方程可得A（﹣4，0），B（4，0），设P（x0，y0）（﹣4≤x0≤4），则，，∴k1•k2＝＝为定值；（2）解：设C（m，0）（﹣4＜m＜4），则＝＝．若m≥0，则＝7，解得m＝3．此时，，，由＝λ，得λ＝7；同理，若m＜0，可得m＝﹣3，此时求得．故λ的值为7或．【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查两点间距离公式的应用，训练了利用配方式求最值，是中档题．19．如图所示，某地出土的一种“钉”是由四条线段组成，其结构能使它任意抛至水平面后，总有一端所在的直线竖直向上，并记组成该“钉”的四条线段的公共点为O，钉尖为A i（i＝1，2，3，4）．（1）设OA1＝a（a＞0），当A1，A2，A3在同一水平面内时，求OA1与平面A1A2A3所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．（2）若该“钉”的三个钉尖所肯定的三角形的面积为3cm2，要用某种线型材料复制100枚这种“钉”（损耗忽略不计），共需要该种材料多少米？【分析】（1）组成该种钉的条线段长必相等，且两两所成的角相等，A1，A2，A3，A4两两连结后取得的四面体A1A2A3A4为正四面体，延长A4O交平面A1A2A3于B，则A4B⊥平面A1A2A3，连结A1B，则∠OA1B就是OA1与平面A1A2A3所成角，由此能求出OA1与平面A1A2A3所成角的大小．（2）推导出＝3，A1A2＝a，从而a＝cm，由此能求出要用某种线型材料复制100枚这种“钉”（损耗忽略不计），共需要该种材料的长度．【解答】解：（1）按照题意，可知组成该种钉的四条线段长必相等，且两两所成的角相等，A1，A2，A3，A4两两连结后取得的四面体A1A2A3A4为正四面体，延长A4O交平面A1A2A3于B，则A4B⊥平面A1A2A3，连结A1B，则A1B是OA1在平面A1A2A3上的射影，∴∠OA1B就是OA1与平面A1A2A3所成角，设A1A4＝l，则A1B＝，在Rt△A4A1B中，＝，即，∴l＝a，∴，cos∠OA1B＝＝（其中0＜），∴∠OA1B＝，∴OA1与平面A1A2A3所成角的大小为arccos．（2）＝3，按照（1）可得A1A2＝a，∴a＝cm，∴要用某种线型材料复制100枚这种“钉”（损耗忽略不计），共需要该种材料：＝2（米）．∴要用某种线型材料复制100枚这种“钉”（损耗忽略不计），共需要该种材料2米．【点评】本题考查线面角的求法，考查需要材料数量的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，是中档题．20．设数列{a n}知足a1＝，a n+1＝（n∈N*）．（1）求a2，a3的值；（2）求证：{﹣1}是等比数列，并求（﹣n）的值；（3）记{a n}的前n项和为S n，是不是存在正整数k，使得对于任意的n（n∈N*且n≥2）均有S n≥k成立？若存在，求出k的值：若不存在，说明理由．【分析】（1）直接利用关系式求出结果．（2）利用概念证明数列{﹣1}是等比数列，并求出极限值．（3）首先求出数列的关系式，进一步利用数列的单调性求出函数的存在问题的条件，进一步肯定k的值．【解答】解：（1）数列{a n}知足a1＝，a n+1＝（n∈N*）．所以：，，（2）由于数列{a n}知足a1＝，a n+1＝（n∈N*）．所以：（常数），所以：：{﹣1}是以为首项，为公比的等比数列．所以：，所以：，故：，＝，＝2．（3）由于：，所以，，，所以：a n+1﹣a n＝＜0，所以：数列{a n}为递减数列，则：当n≥2时，k≤S2＝，所以：k＝1．所以：存在k＝1，使得对于任意的n（n∈N*且n≥2）均有S n≥k成立．【点评】1本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，叠加法在求数列的通项公式中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．21．已知函数f（x）＝2x（x∈R），记g（x）＝f（x）﹣f（﹣x）．（1）解不等式：f（2x）﹣f（x）≤6；（2）设k为实数，若存在实数x0∈（1，2]，使得g（2x0）＝k•g2（x0）﹣1成立，求k的取值范围；（3）记h（x）＝f（2x+2）+a•f（x）+b（其中a，b均为实数），若对于任意的x∈[0，1]，均有|h（k）|，求a，b的值．【分析】（1）函数f（x）＝2x，f（2x）﹣f（x）≤6，即为22x﹣2x﹣6≤0，即为（2x+2）（2x﹣3）≤0，可得解集；（2）按照g（2x0）＝k•g2（x0）﹣1，利用换元法，求解最值，即可求解k的取值范围；（3）按照h（x）＝f（2x+2）+a•f（x）+b（其中a，b均为实数），x∈[0，1]，均有|h（k）|，成立关系即可求解a，b的值．【解答】解：（1）函数f（x）＝2x，f（2x）﹣f（x）≤6，即为22x﹣2x﹣6≤0，即为（2x+2）（2x﹣3）≤0，即有2x≤3，解得x≤log23，即解集为（﹣∞，log23]；（2）存在实数x0∈（1，2]，使得g（2x0）＝k•g2（x0）﹣1成立，即为1+2﹣2＝k（2﹣2）2，设t＝2﹣2，在（1，2]递增，可得＜t≤，（2+2）2＝2+2+2＝t2+4，即有1+＝kt2，则k＝+，设m＝，m∈[，），即有y＝m+，在m∈[，）递增，可得y∈（，]，即有k∈（，]，（3）h（x）＝f（2x+2）+a•f（x）+b＝22x+2+a•2x+b＝4（2x）2+a•2x+b，令v＝2x，∵x∈[0，1]，∴v∈[1，2]，∴h（x）＝φ（v）＝4v2+av+b．若对于任意的x∈[0，1]，均有|h（x）|，即对任意v∈[1，2]，|φ（v）|＝|4v2+av+b|．∴，解得：a＝﹣12，b＝13.5．【点评】本题主要考查了函数恒成立问题的求解，分类讨论和转化思想的应用，二次函数闭区间是的最值和单调性的应用．。
上海市普陀区高考数学一模试卷解析版
【解析】解：直线 l： + =1 经过第一象限内的点 P（ ， ），
则 a，b＞0，
+
=1．
∴ab=ab（
+
）= + =
+．
令 =t＞0，g（t）= + ，（t＞0）．
∴g′（t）=
-=
，
可得 t= 时，g（t）取得极大值即最大值，g（ ）=4-2 ． 故选：B． 直线 l： + =1 经过第一象限内的点 P（ ， ），可得 a，b＞0，
【解析】解：因为集合 A={x||x-a|=1}， 所以 A={a-1，a+1}， 因为 B={1，-3，b}，A⊆B， 所以 a-1=1，或 a-1=-3，或 a-1=b， ①当 a-1=1 时，即 a=2，A={1，3}，此时可知 B={1，-3，3}，成立，即 a=2，b=3； ②当 a-1=-3 时，即 a=-2，A={-3，-1}，此时可知 B={1，-3，-1}，成立，即 a=-2，b=-1 ； ③当 a-1=b 时，则 a+1=1 或-3： 当 a+1=1 时，即 a=0，A={-1，1}，此时可知 B={1，-3，-1}，成立，即 a=0，b=-1； 当 a+1=-3 时，即 a=-4，A={-5，-3}，此时可知 B={1，-3，-5}，成立，即 a=-4，b=-5； 综上所述：a=2，b=3，或 a=-2，b=-1，或 a=0，b=-1，或 a=-4，b=-5，共 4 对． 故选：D． 先解出 A，再讨论包含关系（注意集合元素互异性），解出数对． 本题考查集合关系，综合集合元素互异性，属于基础题．
对），已知 f（x）=
，g（x）=|x+a|+1，若 y=f（x）与 y=g（x）
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若从此袋中任意取出 4 个球，则三种颜色的球均取到的概率为
.
9. 设 f (x) = 1 − lg x ，则不等式 f ( 1 − 1) 1 的解集为
.
x
x
10. 某展馆现有一块三角形区域可以布展，经过测量其三边长分别为14 、10 、 6 （单位： m ），
且该区域的租金为每天 4 元/ m2 .若租用上述区域 5 天，
D1 A1
C1 B1
E
D
C
A
B
（第 15 题图）
(C) ①不正确，②正确
(D) ①与②均不正确
2
三、解答题（本大题共有 5 题，满分 76 分） 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的 步骤. 17.（本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分）
设 a 为常数，函数 f (x) = a sin 2x + cos(2 − 2x) + 1（ x R ）
在答题纸指定位置.
3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上或试卷题号对应的区域，不得错位 .在试卷上
作答一律不得分.
4.用 2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题 .
一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1—6 题每题 4 分，第 7—12 题每题 5 分）
考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.
(D)
16.设 b 、 c 均为实数，关于 x 的方程 x2 + b | x | +c = 0 在复数集 C 上给出下列两个结论：
①存在 b 、 c ，使得该方程仅有两个共轭虚根； ②存在 b 、 c ，使得该方程最多有 6 个互不相等的根.
其中正确的是（ ）.
(A) ①与②均正确
(B) ①正确，② 不正确
（1）设 a1
上海市普陀区 2020-2021 学年高三第一学期质量调研
数学
2020.12
考生注意:
1.本场考试时间 120 分钟.试卷 4 页，满分 150 分，答题纸共 2 页.
2.作 答 前 ， 在 答 题 纸 正 面 填 写 姓 名 、 准 考 证 号 ， 反 面 填 写 姓 名 ， 将 核 对 后 的 条 形 码 贴
1. 若集合 A = {x | 0 x 1}， B = {x | (x −1)(x − 2) 0, x R}，则 A B =
.
2. 函数 y = x 2 （ x 0 ）的反函数为
.
3. 若 且 cos = − 1 ，则 tan =
.
2
3
4.
1 设无穷等比数列{an } 的各项和为 2 ，若该数列的公比为 2
，则 a3
=
.
5. 在 x − 1 8 的二项展开式中 x4 项的系数为
.
x
6. 若正方体的棱长为1 ，则该正方体的外接球的体积为
.
7. 若圆 C 以椭圆 x 2 + y 2 = 1的右焦点为圆心、长半轴为半径，则圆 C 的方程为
.
16 12
8. 一个袋中装有同样大小、质量的10 个球，其中 2 个红色、3 个蓝色、5 个黑色.经过充分混合后，
经过 F2 且与 的两条渐近线中
的一条平行，与另一条相交且的最小值；
（2）设O 为坐标原点，求O 到 l 的距离，并求 l 与 的交点坐标.
19.（本题满分 14 分，第 1 小题满分 7 分，第 2 小题满分 7 分） 某商场共有三层楼，在其圆柱形空间内安装两部等长的扶梯Ⅰ、Ⅱ供顾客乘用. 如图，一顾客自
13.曲线 y 2 = 8x 的准线方程是（ ）.
(A) x = 4
(B) x = 2
(C) x = −2
(D) x = −4
x3 14
14.设 x 、 y 均为实数，且
−
= 7 ，则在以下各项中 (x, y) 的可能取值只能是（ ）.
62 5y
(A) (2,1)
(B) (2,−1)
(C) (−1,2)
（1）设 a = 3 ，求函数 y = f (x) 的单调递增区间及频率 f ； （2）若函数 y = f (x) 为偶函数，求此函数的值域.
18.（本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分）
双曲线 ：
x2 16
−
y2 9
= 1的左、右焦点分别为 F1 、 F2 ，直线 l
(D) (−1,−2)
15. 如图，在正四棱柱 ABCD − A1B1C1D1 中，底面边长 AB = 2 ，高 A1A = 4 ， E 为棱 A1A 的中
点.设 BAD = 、 BED = 、 B1ED = ，则 、 、 之间的关系正确的是（ ）.
(A) =
(B)
(C)
的最大值为
.
12.设 b 、 c 均为实数，若函数 f (x) = x + b + c 在区间 x
[1,+) 上有零点，则 b2 + c2 的取值范围是
.
A
D
P
M
Q
B
（第 11 题图）
C
二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分，每题 5 分） 每题有且只有一个正确选项.考生应在答 题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.
一楼点 A 处乘Ⅰ到达二楼的点 B 处后，沿着二楼面上的圆弧 BM 逆时针步行至点 C 处，且 C 为弧 BM 的中点，再乘Ⅱ到达三楼的点 D 处.设圆柱形空间三个楼面圆的中心分别为O 、 O1 、 O2 ，半 径为 8 米，相邻楼层的间距 AM = 4 米，两部电梯与楼面所成角的大小均为 arcsin 1 .
3
（1）求此顾客在二楼面上步行的路程；
（2）求异面直线 AB 和 CD 所成角的大小（结果用
反三角函数值表示）.
3
（第 19 题图）
20.（本题满分 16 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 6 分）
已知无穷数列{an } 的首项为 a1 ，其前 n 项和为 Sn ，且 an+1 − an = d （ n N* ），其中 d 为 常数且 d 0 .
（第 10 题图） 1
则仅场地的租用费约需
元.（结果保留整数）
11.如图所示，在直角梯形 ABCD 中，已知 AD // BC ，ABC = ，AB = AD = 1，BC = 2 ，M 2
为 BD 的中点.设 P 、Q 分别为线段 AB 、CD 上的动点，若 P 、M 、 Q 三点共线，则 AQ CP