高阶偏导数(教案)
微积分教学课件第8章多元函数微积分学第5节高阶偏导数
偏导数,求 2z . xy
解
z x
y
f1
2x
f2
,
2z xy f1 y( x f11 2 y f12 ) 2x ( x f21 2 y f22 )
f1 xy f11 2( x2 y2 ) f12 4 xy f22 .
9
例7
设 x2
y2
z2
4z
0，求
2z x 2
.
解 视 z 为 x, y 的二元函数z z(x, y) ,方程两边
y2 z2 x2
x2 ( x2 y2 z 2 )2 ( x2 y2 z2 )2 ,
5
2u x 2
y2 z2 x2 ( x2 y2 z2 )2
,
利用函数的对称性，可知
2u x2 z2 y2 y2 ( x2 y2 z2 )2 ,
2u z 2
x2 y2 z2 ( x2 y2 z2 )2
6x2
y
9 y2
1.
2
例2 设 u eax cos by ，求二阶偏导数.
解 u aeax cosby , u beax sinby ;
x
y
2u x 2
a 2eax
cos
by
,
2u y 2
b2eax
cos by
,
2u abeax sinby , 2u abeax sinby .
xy
yx
一般地,若 2z 与 2z 是连续函数,则必相等. xy yx
以后如无特别说明,均假定如此.
3
例3 证明函数 u ( x ay) ( x ay) 满足方程
a2
2u x 2
2u y 2
,
其中, 二阶可微.
《高阶导数数分教案》课件
《高阶导数数分教案》课件一、教学目标1. 理解高阶导数的定义和性质。
2. 学会计算常见函数的高阶导数。
3. 掌握高阶导数在实际问题中的应用。
二、教学内容1. 高阶导数的定义：二阶导数、三阶导数等。
2. 高阶导数的计算法则：和的导数、乘积的导数、商的导数等。
3. 高阶导数的性质：单调性、极值、拐点等。
三、教学重点与难点1. 重点：高阶导数的定义和计算法则。
2. 难点：高阶导数的性质的理解和应用。
四、教学方法1. 采用讲解法，引导学生理解高阶导数的定义和性质。
2. 采用案例教学法，让学生通过计算具体函数的高阶导数，加深对高阶导数计算法则的理解。
3. 采用问题驱动法，引导学生运用高阶导数解决实际问题。
五、教学过程1. 导入：回顾一阶导数的定义和计算法则，引导学生思考高阶导数的概念。
2. 新课：讲解高阶导数的定义，引导学生理解二阶导数、三阶导数等概念。
3. 案例分析：计算常见函数的二阶导数、三阶导数，让学生掌握高阶导数的计算法则。
4. 性质讲解：讲解高阶导数的单调性、极值、拐点等性质，引导学生理解高阶导数在实际问题中的应用。
5. 问题解决：布置练习题，让学生运用高阶导数解决实际问题。
7. 作业布置：布置课后作业，巩固所学内容。
六、教学活动设计1. 互动提问：在讲解高阶导数之前，先回顾一阶导数的概念和计算方法，通过提问方式检查学生对一阶导数的掌握情况。
2. 小组讨论：让学生分组讨论高阶导数的定义，每组提出自己的理解和观点，促进学生之间的交流和思考。
3. 实例分析：选取几个具体函数，让学生计算其二阶导数和三阶导数，通过实际操作加深对高阶导数概念的理解。
七、教学评价1. 课堂参与度：观察学生在课堂上的发言和提问情况，评估学生对高阶导数的理解和掌握程度。
2. 练习题完成情况：检查学生完成课后练习题的情况，评估学生对高阶导数计算法则和性质的应用能力。
3. 小组讨论报告：评估学生在小组讨论中的表现，包括观点提出、交流和合作能力。
高阶偏导数说课稿
高阶偏导数说课稿韩桂玲本节内容主要讲解了二元函数的二阶偏导数及高阶偏导数的定义及求法和二阶连续混合偏导数相等的定理证明，以为后面学习复合二元函数的高阶偏导数的求法、二元函数的泰勒公式及极值问题作铺垫。
本节主要以老师讲授为主，由老师带领学生复习回顾二元函数的一阶偏导数的定义引入到对二阶偏导数的讲解，还是以极限定义出发，（它是以一阶偏导函数的函数改变量与自变量改变量的比值的极限）此时并提醒学生对二阶偏导数符号的多种表示及求导顺序的注意。
由此类似得出n 阶偏导数及高阶偏导数的定义及求法下面举一个简单的例子：例1求函数3233y y x x z +-=的二阶偏导数，引导学生共同完成，使得学生知道公式法求二阶偏导数的具体方法与过程。
但在这个例子中发现=∂∂∂y x z 2xy z ∂∂∂2即两个混合偏导数相等对学生说明并不是所有函数的高阶混合偏导数都与求导顺序无关。
紧接着举出相关例子即例2：⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++-=0,00,),(22222222y x y x y x y x xy y x f 在原点处)0,0(xy f '')0,0(yx f ''≠ 在讲解这个例子时，提醒学生022=+y x 时对),(y x f 的一阶偏导数只能用定义法，022≠+y x 时对),(y x f 的一阶偏导数用可用定义法也可用公式法，公式法更为简单。
当然由一阶偏导数求两个混合偏导数)0,0(xyf ''与)0,0(yx f ''必须用定义法。
但例1又不是偶然，事实上，它满足定理1：若函数),(y x f 在点)(0,0y x P 的邻域G 存在二阶混合偏导数),(y x f xy''与),(y x f yx ''，并且它们在点)(0,0y x P 连续，则=''),(00y x f xy),(00y x f yx ''。
《高阶偏导数》课件
如何计算高阶偏导数？
1
一阶偏导数
对每个变量分别求偏导数，得到一阶偏导数。
2ห้องสมุดไป่ตู้
二阶偏导数
对一阶偏导数再次求偏导数，得到二阶偏导数。
3
高阶偏导数
重复以上步骤，求取更高阶的偏导数。
高阶偏导数的应用
泰勒公式
高阶偏导数在泰勒公式中起到了 重要的作用。
极值与拐点
高阶偏导数可以帮助判断函数的 极值和拐点。
曲率半径
高阶偏导数的应用场 景
高阶偏导数在数学和物理等领 域有广泛的应用。
高阶偏导数与曲率半径的计算密 切相关。
案例分析
计算高阶偏导数的例子
以具体函数为例，演示如何计算高阶偏导数。
应用高阶偏导数分析问题的例子
通过实际问题，展示高阶偏导数在应用中的价 值。
总结
高阶偏导数的意义
高阶偏导数描述函数在某点处 的局部行为。
高阶偏导数的计算方 法
通过对一阶偏导数再次求导， 可以计算得到高阶偏导数。
《高阶偏导数》PPT课件
本课件介绍了高阶偏导数的概念、计算方法和应用场景，让你轻松掌握高阶 偏导数的知识。
什么是高阶偏导数？
高阶偏导数是指在多元函数中，对同一个变量求导多次得到的导数。 它的含义是描述函数在某点处各个方向的变化率，反映了函数的曲线在该点的局部形态。 高阶偏导数可以用符号表示，如f''(x)表示二阶偏导数。
高阶偏导数(教案)
高阶偏导数韩桂玲教学目标： 1.掌握二元函数的二阶偏导数及高阶偏导数的定义2.会求二元函数的二阶偏导数3..理解二阶连续混合偏导数相等的定理证明教学重点： 1.掌握二元函数的二阶偏导数及高阶偏导数的定义2.会恰当的用定义法和公式法求二元函数的二阶及高阶偏导数教学难点： 二阶连续混合偏导数相等的定理证明教学方法： 讲授法教学过程：引入：若二元函数),(y x f z =在区域D 存在x 与y 的一阶偏导数，对D y x ∈∀),(xy x f y x x f y x f x z x x ∆-∆+='=∂∂→∆),(),(lim ),(0 (把y 看作常数) yy x f y y x f y x f y z y y ∆-∆+='=∂∂→∆),(),(lim ),(0 (把x 看作常数) 1.二阶偏导数定义若二元函数),(y x f z =在区域D 存在x 与y 的（一阶）偏导数),(y x f xz x '=∂∂与),(y x f y z y '=∂∂则在D 内它们都是x 与y 的二元函数。
若它们关于x 与y 的偏导数存在，即),()(22y x f xz x z x xx ''=∂∂=∂∂∂∂x y x f y x x f x x x ∆'-∆+'=→∆),(),(lim 0 (把y 看作常数) 定义法表出 ),()(2y x f y x z x z y xy ''=∂∂∂=∂∂∂∂yy x f y y x f x x y ∆'-∆+'=→∆),(),(lim 0 (把x 看作常数) 定义法表出 ),()(2y x f x y z y z x yx ''=∂∂∂=∂∂∂∂xy x f y x x f y y x ∆'-∆+'=→∆),(),(lim 0(把y 看作常数) 定义法表出 ),()(22y x f yz y z y yy ''=∂∂=∂∂∂∂y y x f y y x f y y y ∆'-∆+'=→∆),(),(lim 0(把x 看作常数) 定义法表出 则称它们是二元函数),(y x f z =的二阶偏导数，其中第二、三个二阶偏导数称为混合偏导数。
高等数学ch9_2_19.2.2 电子教案
一、 偏导数概念及其计算 二 、高阶偏导数
一、 偏导数定义及其计算法
引例: 研究弦在点 x0 处的振动速度与加速度 ,
就是 将振幅
中的 x 固定于 x0 处,
求
关于 t 的
一阶导数与二阶导数.
u u(x0 , t ) u(x, t )
O
x0
x
定义1. 设函数 z f (x, y) 在点 (x0 , y0 ) 的某邻域内 极限
2 z y2
4 ex2 y
3z yx2
x
(
2z ) yx
2ex2y
注意:此处 2 z 2 z ,
xy yx
但这一结论并不总成立.
定理.
若 f xy (x,y) 和 f y x (x,y) 都在点(x0 , y0 ) 连续,
则 f x y (x0 , y0 ) f y x (x0 , y0 ) (证明略)
f yx (x,
y);
(z) y x
2z x y
fx y (x, y)
(z) y y
2z y2
f y y (x, y)
目录 上页 下页 返回 结束
类似可以定义更高阶的偏导数. 例如，z = f (x , y) 关于 x 的三阶偏导数为
z = f (x , y) 关于 x 的 n –1 阶偏导数 ,
是曲线
在点M0 处的切线
y0 y
(x0 , y0 )
M 0Ty 对 y 轴的 斜率.
注意：函数在某点各偏导数都存在, 但在该点不一定连续.
例如,
z
f
(x, y)
xy
第五节高阶偏导数
′′ f 22
二元函数的二阶偏导数共 22 = 4 项
二元函数 z = f ( x , y ) 三阶偏导数
∂ z 2 ∂x
2
x
y
∂ ∂ 2z ∂ 3z 2= 3 ∂x ∂x ∂x
∂3z ∂ ∂ 2z 2= 2 ∂y ∂x ∂x ∂y ∂ ∂2z ∂3z 2= 2 ∂ x ∂ y ∂ y ∂x
3x y( x + y ) − x y ⋅ 2x ′ f x ( x, y) = 2 2 2 (x + y )
2 2 2 3
3x y( x + y ) − x y ⋅ 2x ′ f x ( x, y) = 2 2 2 (x + y )
2 2 2 3
3x y 2x y , = 2 − 2 2 2 2 x + y (x + y )
x 2x y ′ f y ( x, y) = 2 , − 2 2 2 2 x + y (x + y )
3 3 2
2
4
当 ( x , y ) = (0,0) 时,
0 f (∆x,0) − f (0,0) = lim = 0, ′ f x (0,0) = lim ∆x→0 ∆x ∆x→0 ∆x f (0, ∆y) − f (0,0) 0 ′ f y (0,0) = lim = lim = 0, ∆y→0 ∆y ∆y→0 ∆y
∂z Fx′ 故 = − =− ∂x Fz′
Fy′ ∂z =− ∂y Fz′
z = x+z x+z − 2 1 z 2 z y =− x+z = y( x + z ) − 2 z
∂z ∂z ( x + z) − z 2 z ∂ ∂ z ∂y ( ) = ∂y = ∂y x + z ∂ x∂ y ( x + z )2 z′y =
《高职应用数学》教案 第30课 偏导数
第30课偏导数复习（10 min）【教师】提前设计好复习题目，并针对学生存在的问题及时讲解【学生】做复习题目复习所学内容，为讲授新课打好基础讲授新课（20 min）【教师】讲解偏导数的概念，并通过例题介绍其求法定义1 设函数()z f x y=，在点00()x y，的某一邻域内有定义，当y固定在y，而x在x处有改变量x∆时，相应地函数有改变量0000()()f x x y f x y+∆-，，，称其为函数z对x的偏增量，记为xz∆．若极限000000()()lim limxx xz f x x y f x yx x∆→∆→∆+∆-=∆∆，，存在，则称此极限值为函数()z f x y=，在点00()x y，处对x的偏导数，记为x xy yzx==∂∂，x xy yfx==∂∂，x xxy yz=='，00()xf x y'，．类似地，当x固定在x，而y在y处有改变量y∆时，若极限000000()()lim limyy yz f x y y f x yy y∆→∆→∆+∆-=∆∆，，存在，则称此极限为函数()z f x y=，在点00()x y，处对y的偏导数，记为x xy yzy==∂∂，x xy yfy==∂∂，x xyy yz=='，00()yf x y'，．若函数()z f x y=，在区域D内每一点()x y，处对x的偏导数都存在，且这个偏导数仍是x y，的函数，则称这个偏导数为函数()z f x y=，对自变量x的偏导函数，简称偏导数，记为zx∂∂，fx∂∂，xz'，()xf x y'，．类似地，可以定义函数()z f x y=，对自变量y的偏导函数，简称偏导数，记为zy∂∂，fy∂∂，yz'，()yf x y'，．从偏导数的定义可以看出，偏导数的实质就是把一个学习偏导数的概念及求法。
边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高阶偏导数(教案) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
高阶偏导数
韩桂玲
教学目标： 1.掌握二元函数的二阶偏导数及高阶偏导数的定义
2.会求二元函数的二阶偏导数
3..理解二阶连续混合偏导数相等的定理证明
教学重点： 1.掌握二元函数的二阶偏导数及高阶偏导数的定义
2.会恰当的用定义法和公式法求二元函数的二阶及高阶偏导数
教学难点： 二阶连续混合偏导数相等的定理证明
教学方法： 讲授法
教学过程：
引入：若二元函数),(y x f z =在区域D 存在x 与y 的一阶偏导数，对D y x ∈∀),(
x
y x f y x x f y x f x z x x ∆-∆+='=∂∂→∆),(),(lim ),(0 (把y 看作常数) y
y x f y y x f y x f y z y y ∆-∆+='=∂∂→∆),(),(lim ),(0 (把x 看作常数) 1.二阶偏导数定义
若二元函数),(y x f z =在区域D 存在x 与y 的（一阶）偏导数),(y x f x
z x '=∂∂与),(y x f y z y '=∂∂则在D 内它们都是x 与y 的二元函数。
若它们关于x 与y 的偏导数存在，即
),()(22y x f x
z x z x xx ''=∂∂=∂∂∂∂x y x f y x x f x x x ∆'-∆+'=→∆),(),(lim 0 (把y 看作常数) 定义法表出 ),()(2y x f y x z x z y xy ''=∂∂∂=∂∂∂∂y
y x f y y x f x x y ∆'-∆+'=→∆),(),(lim 0 (把x 看作常数) 定义法表出 ),()(2y x f x y z y z x yx ''=∂∂∂=∂∂∂∂x
y x f y x x f y y x ∆'-∆+'=→∆),(),(lim 0(把y 看作常数) 定义法表出 ),()(22y x f y
z y z y yy ''=∂∂=∂∂∂∂y y x f y y x f y y y ∆'-∆+'=→∆),(),(lim 0(把x 看作常数) 定义法表出
则称它们是二元函数),(y x f z =的二阶偏导数，其中第二、三个二阶偏导数称为混合偏导数。
2.二元函数),(y x f z =的n 阶偏导数：二元函数),(y x f z =的1-n 阶偏导函数的偏导数 例如符号k k n n y
x z ∂∂∂-或),()(y x f n y x k k n -表示),(y x f z =的n 阶偏导数（先对x 求k n -阶偏导数，再对y 求k 阶偏导数）
3.高阶偏导数：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数
例1求函数3233y y x x z +-=的二阶偏导数 解：xy x x
z 632-=∂∂，2233x y y z -=∂∂ y x x z 6622-=∂∂，x y x z 62-=∂∂∂，x x y z 62-=∂∂∂，y y
z 622=∂∂ 从例1中我们发现=∂∂∂y x z 2x
y z ∂∂∂2即两个混合偏导数相等但并不说明所有函数的高阶混合偏导数都与求导顺序无关。
例如
例2：⎪⎩
⎪⎨⎧=+≠++-=0,00,),(2222222
2y x y x y x y x xy y x f
它的一阶偏导数为
022=+y x 时，)0,0(x f '＝x f x f x ∆-∆+→∆)0,0()0(lim 0000lim 0=∆-=→∆x x 022≠+y x 时，2
2222222222)()(2)(2),(y x y x x y x x xy y x y x y y x f x +--+++-=' 2224
224)
(4y x y y x x y +-+= 同理⎪⎩
⎪⎨⎧=+≠++--='0,00,)(4),(22222224
224y x y x y x y y x x x y x f y
则1lim )0,0()0,0(lim )0,0(00-=∆∆-=∆'-∆+'=''→∆→∆y y y
f y f f y x x y xy 1lim )0,0()0,0(lim )0,0(00=∆∆=∆'-∆+'=''→∆→∆x
x x f x f f x y y x yx 所以： )0,0(xy
f '')0,0(yx f ''≠ 但例1又不是偶然，事实上，它满足定理1：
若函数),(y x f 在点)(0,0y x P 的邻域G 存在二阶混合偏导数),(y x f xy
''与),(y x f yx ''，并且它们在点)(0,0y x P 连续，则=''),(00y x f xy
),(00y x f yx ''。
证明：把),(00y x f xy
''与),(00y x f yx ''按定义表示成极限形式 ),(00y x f xy ''y
y x f y y x f x x y ∆'-∆+'=→∆),(),(lim 00000 ]),(),(lim ),(),(lim [1lim 00000000000x
y x f y x x f x y y x f y y x x f y x x y ∆-∆+-∆∆+-∆+∆+∆=→∆→∆→∆ y x y x f y x x f y y x f y y x x f x y ∆∆+∆+-∆+-∆+∆+=→∆→∆),(),(),(),(lim lim 000000000
0 令),(),(),(),(),(00000000y x f y x x f y y x f y y x x f y x F +∆+-∆+-∆+∆+=∆∆
则),(00y x f xy ''y
x y x F x y ∆∆∆∆=→∆→∆),(lim lim 00 同理),(00y x f yx
''y x y x F y x ∆∆∆∆=→∆→∆),(lim lim 00 现只需证两个累次极限相等
令),(),()(00y x f y y x f x g -∆+=
则)()(),(00x g x x g y x F -∆+=∆∆
f 存在关于x 的偏导数∴函数
g 可导，)(x g 在],[00x x x ∆+上应用微分中值定理 )()(),(00x g x x g y x F -∆+=∆∆x x x g x ∆∆+'=)(10θ 101<<θ
x y x x f y y x x f x x ∆∆+'-∆+∆+'=)],(),([010010θθ
因为x f '存在关于y 的偏导数，故对以y 为自变量的函数),(10y x x f x ∆+'θ在],[00y y y ∆+上应用微分中值定理
),(y x F ∆∆y x y y x x f xy ∆∆∆+∆+''=),(2010θθ 1,021<<θθ （1）
再令),(),()(00y x f y x x f y l -∆+=同法可得
),(y x F ∆∆y x y y x x f yx ∆∆∆+∆+''=),(4030θθ 1,043<<θθ （2）
由（1）和（2）式得
),(2010y y x x f xy ∆+∆+''θθ),(4030y y x x f yx ∆+∆+''=θθ （3）
又因为),(y x f xy ''与),(y x f yx ''在点)(0,0y x P 连续
则当0,0→∆→∆y x 时（3）式两边两边极限都存在且相等
即=''),(00y x f xy ),(00y x f yx ''
小结：本节主要讲解了二元函数的二阶偏导数及高阶偏导数的定义及求法，值得我们注意的
是定理1的内容，它阐述了混合偏导数相等的条件。
作业:课后习题1，2题。