模糊集理论及其应用 第一章
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模糊集的理论及应用-1
1
1.1 经典集合的基本概念
定义
10/26/2018 9:20:19 AM
模 糊 集 的 理 论 及 应 用
集合是确定的、具有一定性质的事物的全体 集合常用大写字母表示 集合中的事物称为集合的元素，常用小写字母表示 集合的元素与集合的关系是：属于∊，或者，不属于∉ 对于给定的问题，所关心的事物的全体组成论域集合 集合的表示方法：
7
1.2 格与代数系统
偏序集的例子
10/26/2018 9:20:19 AM
模 糊 集 的 理 论 及 应 用
整数集合Z关于“≤”做成的集合（Z, ≤）； 集合A的幂集合关于“”做成的集合（P(A), ）； 正整数集合Z+关于“|”（整除）做成的集合（Z+, |）； 整数集合Z关于“mod(k)”做成的集合（Z, mod(k)”） 偏序集合可以做出相应的哈斯（hassen）图，其中要用到 覆盖的概念： ， L，说覆盖，如果<（ 且 ≠ ） 且不存在使得< < 。 若覆盖，则在，间画连线，且保证在上， 在下。 将所有的覆盖连线做出形成的图称为哈斯（hassen）图。
子集（⊆）
模 糊 集 的 理 论 及 应 用
10/26/2018 9:20:19 AM
注意特征函数表示方法：
AB ( x) A ( x) B ( x)
AB ( x) A ( x) B ( x)
相等（=） 并（∪） 交（∩） 余（-,c,’） 差（-） 对称差（）
A ( x) 1 A ( x)
c
上述公式可以推广到任意多 个集合的情况
3
1.1 经典集合的基本概念
运算律
模糊集合论及其应用
模糊集合论及其应用随着科技的不断发展，数据的处理和分析也变得越来越重要。
在实际应用中，我们经常会遇到模糊的、不确定的数据。
例如，当我们要对一个人的身高进行分类时，可能会遇到一些边界模糊的情况，比如一个人的身高介于1.70米和1.75米之间，我们无法确定他应该被归为哪一类。
这时，我们就需要使用模糊集合论来处理这些不确定的数据。
模糊集合论是集合论的一种扩展，它将元素的归属关系从“是”、“否”这两种二元关系扩展到了“可能是”、“可能不是”这两种模糊关系。
在模糊集合论中，元素的隶属度是一个介于0和1之间的实数，表示这个元素属于这个集合的程度。
当隶属度为1时，这个元素完全属于这个集合；当隶属度为0时，这个元素不属于这个集合；当隶属度在0和1之间时，这个元素部分属于这个集合。
模糊集合论的应用非常广泛，它可以用于模糊控制、模糊决策、模糊识别等领域。
下面我们将介绍模糊集合论在这些领域中的应用。
一、模糊控制模糊控制是一种控制方法，它将模糊集合论应用于控制系统中。
在传统的控制系统中，输入和输出之间的关系是通过一个确定的函数来描述的，这种方法需要精确的数学模型和精确的控制规则。
然而，在实际应用中，很难找到一个精确的数学模型来描述系统，很多时候我们只能获得一些不确定的数据。
这时，我们可以使用模糊控制来处理这些不确定的数据。
模糊控制的输入和输出都是模糊集合，控制规则也是由一组模糊规则组成。
每个模糊规则都包括一个条件部分和一个结论部分。
条件部分是由若干个模糊集合组成的，它描述了输入的模糊状态；结论部分也是一个模糊集合，它描述了输出的模糊状态。
模糊控制器根据输入的模糊状态和模糊规则，计算出输出的模糊状态，然后将输出的模糊状态转化为实际的控制信号。
模糊控制在工业控制、交通控制、机器人控制等领域中得到了广泛的应用。
例如，在交通控制中，模糊控制可以根据交通流量、行车速度、车辆密度等因素来调整红绿灯的时间，使交通流畅；在机器人控制中，模糊控制可以根据机器人的传感器数据来调整机器人的运动轨迹，使其能够适应不同的环境。
模糊集合及应用 1
模糊子集合（论域的一个模糊的部分）
L ＝ 胖子的集合
＝ {( 张三，0.93 )，( 李四，0.4 )，( 王五，0.88 )， ( 赵六，0.9 )，( 丁丽，0.66 )，( 刘丽，0.7 )， ( 白丽，0.4 )}
模糊集合的运算
模糊交运算
赵六隶属于高个子集合的程度为0.4；赵 六隶属于胖子集合的程度为0.9； 这两个数字中取小 0.4 ∧ 0.9＝0.4， 作为赵六隶属于又高又胖者集合的程度。
通常集合的运算
交集合（两个子集合的共同部分）
A∩C ＝ 东莞籍男生 ＝ {张三，李四} A∩D ＝ 惠州籍男生 ＝ {王五，赵六} B∩C ＝ 东莞籍女生 ＝ {丁丽，刘丽} B∩D ＝ 惠州籍女生 ＝ {白丽}
通常集合的运算
并集合（两个子集合的联合）
E ＝ 东莞籍男生 ＝ {张三，李四} F ＝ 惠州籍男生 ＝ {王五，赵六} I ＝ 东莞籍女生 ＝ {丁丽，刘丽} J ＝ 惠州籍女生 ＝ {白丽}
通常集合及其运算
并集 交集 补集
A∪B = { x | x A 或 x B }； A∩B = { x | x A 且 x B }； A′= { x | x A }.
通常集合及其运算
论域U 的所有子集所组成的集合称 为U 的幂集，记为 (U). 集合A 的所有子集所组成的集合称 为A 的幂集，记为 (A).
通常子集合
B ＝女生的集合＝{丁丽，刘丽，白丽}
C ＝东莞籍学生＝{张三，李四，丁丽，刘丽} D ＝惠州籍学生＝{王五，赵六，白丽}
模糊子集合
诸如此类的“集合”，大 胖子的集合，学习好的学 生的集合，能力强的学生 （论域的一个模糊的部分） 的集合，…，如何表达？ K ＝ 高个子的集合 ＝ ？
模糊集理论及其应用_第一章
1 μA
11
1.2 模糊集合与隶属函数(1/5)
目录
由此可见，模糊集合 A 是一个抽象的概念， 其元素是不确定的， 我们只能通过隶属函数 A来认识和掌握 A ．A(u)的数值的大小反映 了论域Ｕ 中的元素 u 对于模糊集合 A 的隶属 程度， A(u)的值越接近于1 ，表示u隶属于A 的程度越高；而μＡ(u)的值越接近于０，表示u 隶属于 A 的程度越低．特别地， 若A(u) =１，则认为u完全属于A ； 若A(u) =０，则认为u完全不属于A． 因此, 经典集合可看作是特殊的模糊集合． 换言之，模糊集合是经典集合的推广。
3
模糊数学的概念 处理现实对象的数学模型 确定性数学模型:确定性或固定性,对象间有必 然联系. 随机性数学模型:对象具有或然性或随机性 模糊性数学模型:对象及其关系均具有模糊性. 随机性与模糊性的区别 随机性:指事件出现某种结果的机会. 模糊性:指存在于现实中的不分明现象. 模糊数学:研究模糊现象的定量处理方法.
5
数学建模与模糊数学相关的问题
模糊数学—研究和处理模糊性现象的数学 （概念与其对立面之间没有一条明确的分 界线） 与模糊数学相关的问题（一）
模糊分类问题—已知若干个相互之间不分明的
模糊概念，需要判断某个确定事物用哪一个模 糊概念来反映更合理准确 模糊相似选择 —按某种性质对一组事物或对 象排序是一类常见的问题，但是用来比较的性 质具有边界不分明的模糊性
模糊集理论及其 应用
1
前言：什么是模糊数学
•模糊概念
秃子悖论: 天下所有的人都是秃子
设头发根数n n=1 显然
若n=k 为秃子 n=k+1 亦为秃子
模糊概念：从属于该概念到不属于该概念之间 无明显分界线 年轻、重、热、美、厚、薄、快、慢、大、小、 高、低、长、短、贵、贱、强、弱、软、硬、 阴天、多云、暴雨、清晨、礼品。
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1.2 模糊集合与隶属函数(1/5)
目录
由此可见，模糊集合 A 是一个抽象的概念， 其元素是不确定的， 我们只能通过隶属函数 A来认识和掌握 A ．A(u)的数值的大小反映 了论域Ｕ 中的元素 u 对于模糊集合 A 的隶属 程度， A(u)的值越接近于1 ，表示u隶属于A 的程度越高；而μＡ(u)的值越接近于０，表示u 隶属于 A 的程度越低．特别地， 若A(u) =１，则认为u完全属于A ； 若A(u) =０，则认为u完全不属于A． 因此, 经典集合可看作是特殊的模糊集合． 换言之，模糊集合是经典集合的推广。
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模糊数学的概念 处理现实对象的数学模型 确定性数学模型:确定性或固定性,对象间有必 然联系. 随机性数学模型:对象具有或然性或随机性 模糊性数学模型:对象及其关系均具有模糊性. 随机性与模糊性的区别 随机性:指事件出现某种结果的机会. 模糊性:指存在于现实中的不分明现象. 模糊数学:研究模糊现象的定量处理方法.
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数学建模与模糊数学相关的问题
模糊数学—研究和处理模糊性现象的数学 （概念与其对立面之间没有一条明确的分 界线） 与模糊数学相关的问题（一）
模糊分类问题—已知若干个相互之间不分明的
模糊概念，需要判断某个确定事物用哪一个模 糊概念来反映更合理准确 模糊相似选择 —按某种性质对一组事物或对 象排序是一类常见的问题，但是用来比较的性 质具有边界不分明的模糊性
模糊集理论及其 应用
1
前言：什么是模糊数学
•模糊概念
秃子悖论: 天下所有的人都是秃子
设头发根数n n=1 显然
若n=k 为秃子 n=k+1 亦为秃子
模糊概念：从属于该概念到不属于该概念之间 无明显分界线 年轻、重、热、美、厚、薄、快、慢、大、小、 高、低、长、短、贵、贱、强、弱、软、硬、 阴天、多云、暴雨、清晨、礼品。
模糊集的理论及应用1
模
糊 集
([0,1],,,c)是优软代数
的 理
其中运算定义为:
论 及
=inf{,} =sup{,}，c=1-
应
用
([0,1],,,c)不是布尔代数,因为补余律不成立。
(P(A),,,c)是布尔代数
13
1.2 格与代数系统
代数系统的相互关系
布尔代数软代数, 优软代数软代数
(F(X),,,c)是优软代数
由于 ([0,1],,, c) 是软代数，而模糊集合算律
的验证是通过隶属度来进行的，所以(F(X),,,c)
是软代数很容易验证；(F(X),,,c)的完全性、无
模 限分配律也是显然的；
糊 集
稠密性验证如下：设 A B ，则
的
理 论 及
x X , A(x) B(x),且x0 X , A(x0 ) B(x0 )
A T (A) A
,, c 模
糊
在 {0,1}X 中定义运算：
如下：
集 的 理
A B AB, A B AB, (A)c 1 A
论 及
则T是 (P( X ),,,c) 到 ({0,1}X ,,, c) 的同构映射
应
用 因此，可以把集合和与之对应的特征函数看成等同的对象。
运算及表示
子集（⊆）
相等（=）
模
糊 集
并（∪）
的 理
交（∩）
论 及
余（-,c,’）
应 用
差（-）
对称差（）
注意特征函数表示方法：
AB (x) A (x) B (x)
AB (x) A (x) B (x)
Ac (x) 1 A(x)
模糊理论及应用(1)
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模糊集合论(Fuzzy 模糊集合论(Fuzzy set)
Fuzzy set
经典集合理论 传统集合理论，通常是以二值化0 表示， 传统集合理论，通常是以二值化0或1表示， 所谓「 不是」两种的决择方式。 所谓「是」与「不是」两种的决择方式。 是一种明确的集合论 例如: 例如:男生和女生的性别 例如:明确集合{1,2,3,4,5}, 定义是1~5 1~5的 例如:明确集合{1,2,3,4,5}, 定义是1~5的 五个正整数，请问集合中有没有3 五个正整数，请问集合中有没有3，答案 是有;而集合中有没有6 答案是没有。 是有;而集合中有没有6，答案是没有。可 以很明确的分辨「 还是「 以很明确的分辨「有」还是「无」。
10
９．对偶律（对偶律也称德摩根定律） 对偶律（对偶律也称德摩根定律）
11
集合的直积（笛卡尔积） 集合的直积（笛卡尔积）
１．序偶：是由两个具有固定的客体组成，序偶中 元素的顺序是不允许改变的。 〈x,y> 三元组序偶〈〈x,y>,z>简写为〈x,y,z> 2. 笛卡尔积:任意给定两个集合Ａ和Ｂ，如果序偶 的第一个元素取自集合Ａ，而第二个元素取自集 合Ｂ，则所有这样的序偶组成的集合被定义为集 合Ａ和Ｂ的直积或笛卡尔积或叉积，记为： Ａ×Ｂ＝｛〈x,y>｜（x∈A）且(y∈B)｝
t∈ T
t∈T
{µ {µ
} ( x )}
(x)
其中， 表示上确界， 是 表示下确界， 其中，SUP是superior表示上确界，inf是inferior表示下确界，在有限的 是 表示上确界 表示下确界 情形下， 有时上、下确界分别用内插符∨ 情形下， SUP=max,inf=min, 有时上、下确界分别用内插符∨、∧来 表示， 有时还可以简化为： 表示，即∨=sup, ∧=inf,有时还可以简化为：∨=+， ∧=· 有时还可以简化为 ，
模糊集合论(Fuzzy 模糊集合论(Fuzzy set)
Fuzzy set
经典集合理论 传统集合理论，通常是以二值化0 表示， 传统集合理论，通常是以二值化0或1表示， 所谓「 不是」两种的决择方式。 所谓「是」与「不是」两种的决择方式。 是一种明确的集合论 例如: 例如:男生和女生的性别 例如:明确集合{1,2,3,4,5}, 定义是1~5 1~5的 例如:明确集合{1,2,3,4,5}, 定义是1~5的 五个正整数，请问集合中有没有3 五个正整数，请问集合中有没有3，答案 是有;而集合中有没有6 答案是没有。 是有;而集合中有没有6，答案是没有。可 以很明确的分辨「 还是「 以很明确的分辨「有」还是「无」。
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９．对偶律（对偶律也称德摩根定律） 对偶律（对偶律也称德摩根定律）
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集合的直积（笛卡尔积） 集合的直积（笛卡尔积）
１．序偶：是由两个具有固定的客体组成，序偶中 元素的顺序是不允许改变的。 〈x,y> 三元组序偶〈〈x,y>,z>简写为〈x,y,z> 2. 笛卡尔积:任意给定两个集合Ａ和Ｂ，如果序偶 的第一个元素取自集合Ａ，而第二个元素取自集 合Ｂ，则所有这样的序偶组成的集合被定义为集 合Ａ和Ｂ的直积或笛卡尔积或叉积，记为： Ａ×Ｂ＝｛〈x,y>｜（x∈A）且(y∈B)｝
t∈ T
t∈T
{µ {µ
} ( x )}
(x)
其中， 表示上确界， 是 表示下确界， 其中，SUP是superior表示上确界，inf是inferior表示下确界，在有限的 是 表示上确界 表示下确界 情形下， 有时上、下确界分别用内插符∨ 情形下， SUP=max,inf=min, 有时上、下确界分别用内插符∨、∧来 表示， 有时还可以简化为： 表示，即∨=sup, ∧=inf,有时还可以简化为：∨=+， ∧=· 有时还可以简化为 ，
模糊集理论及应用讲解
这就是说 模糊子集实际是普通子集的推广 普通子集就是模糊子集的特例。
模糊集合与隶属函数
例 设有论域：U={ 1,2,3,4,5 }，用模糊集表示出模糊概念“大数”。
解：设A表示“大数”的模糊集，μA为其隶属函数。 则有：
A={ 0, 0.1, 0.5, 0.8, 1 } 其中： μA(1)=0，μA(2)=0.1，μA(3)=0.5，μA(4)=0.8， μA(5)=1
经典集合与特征函数
3、特征函数
设A是论域U上的一个集合，对任何u∈U，令
1 当u∈A
CA(u)=
0 当u?A
则称CA(u)为集合A的特征函数。 显然有：
A={ u | CA(u)=1 }
经典集合与特征函数
例 设有论域：U={ 1,2,3,4,5,6 }，A={ 1,3,5 }，求其特征函数。
解：特征函数如下： 1 当u=1,3,5
2、模糊集
设A={ μA (u) | u∈U } ，则称A为论域U上的一个模糊集。 3、隶属度
μA (u)称为u对模糊集A的隶属度。
模糊集合与隶属函数
模糊集合完全由其隶属函数确定，即一个模糊集合与其隶属函数是等 价的。
可以看出 对于模糊集Ａ，当Ｕ中的元素u的隶属度全为0时，则Ａ就是个空 集； 当全为1时，Ａ就是全集Ｕ； 当仅取0和1时，Ａ就是普通子集。
模糊集合与隶属函数
例 设有论域：U={ 张三，李四，王五 } 确定一个模糊集A，以表示他们分别对“学习好”的隶属程度。
解：假设他们的平均成绩分别为： 98分，72分，86分，设映射为平 均成绩除以100。则有隶属度：
μA(张三)=0.98，μA(李四)=0.72，μA(王五)=0.86 模糊集A={ 0.98, 0.72, 0.86 }
模糊集合与隶属函数
例 设有论域：U={ 1,2,3,4,5 }，用模糊集表示出模糊概念“大数”。
解：设A表示“大数”的模糊集，μA为其隶属函数。 则有：
A={ 0, 0.1, 0.5, 0.8, 1 } 其中： μA(1)=0，μA(2)=0.1，μA(3)=0.5，μA(4)=0.8， μA(5)=1
经典集合与特征函数
3、特征函数
设A是论域U上的一个集合，对任何u∈U，令
1 当u∈A
CA(u)=
0 当u?A
则称CA(u)为集合A的特征函数。 显然有：
A={ u | CA(u)=1 }
经典集合与特征函数
例 设有论域：U={ 1,2,3,4,5,6 }，A={ 1,3,5 }，求其特征函数。
解：特征函数如下： 1 当u=1,3,5
2、模糊集
设A={ μA (u) | u∈U } ，则称A为论域U上的一个模糊集。 3、隶属度
μA (u)称为u对模糊集A的隶属度。
模糊集合与隶属函数
模糊集合完全由其隶属函数确定，即一个模糊集合与其隶属函数是等 价的。
可以看出 对于模糊集Ａ，当Ｕ中的元素u的隶属度全为0时，则Ａ就是个空 集； 当全为1时，Ａ就是全集Ｕ； 当仅取0和1时，Ａ就是普通子集。
模糊集合与隶属函数
例 设有论域：U={ 张三，李四，王五 } 确定一个模糊集A，以表示他们分别对“学习好”的隶属程度。
解：假设他们的平均成绩分别为： 98分，72分，86分，设映射为平 均成绩除以100。则有隶属度：
μA(张三)=0.98，μA(李四)=0.72，μA(王五)=0.86 模糊集A={ 0.98, 0.72, 0.86 }
模糊数学基本理论及应用
Y 到 Z 的关系 R2 = (bkj)s×n， 则X 到Z 的关系可表示为矩阵的合成： R1 ° R2 = (cij)m×n， 其中cij = ∨{(aik∧bkj) | 1≤k≤s}. 定义：若R为 n 阶方阵，定义 R 2 = R ° R，R 3 = R 2 ° R …
例 设 X ={1, 2, 3, 4}, Y ={ 2, 3, 4}, Z = {1, 2, 3}, R1 是 X 到 Y 的关系, R2 是Y 到 Z 的关系, R1 ={(x, y) | x + y = 6} = {(2,4), (3,3), (4,2)}, R2 ={(x, y) | y – z = 1} = {(2,1), (3,2), (4,3)}, 则R1与 R2的合成
ห้องสมุดไป่ตู้
关系的三大特性： 设R为 X 上的关系 (1) 自反性：若 X 上的任何元素都与自己有 关系R，即R (x , x) =1，则称关系 R 具有自反性； (2) 对称性：对于X 上的任意两个元素 x , y， 若 x 与y 有关系R 时，则 y 与 x 也有关系R，即 若R (x , y ) =1，则R ( y , x ) = 1，那么称关系R具 有对称性； (3) 传递性：对于X上的任意三个元素x, y, z， 若x 与y 有关系R，y 与z 也有关系R 时，则x与z 也有关系R，即若R (x , y ) = 1，R ( y , z ) =1，则 R ( x , z ) = 1，那么称关系R具有传递性.
第1章 模糊集的基本概念
模糊数学是研究和处理模糊性现象的数学方 法. 众所周知，经典数学是以精确性为特征的.
然而，与精确形相悖的模糊性并不完全是消极的、 没有价值的. 甚至可以这样说，有时模糊性比精确性还 要好. 例如,要你某时到某地去迎接一个“大胡子高个子 长头发戴宽边黑色眼镜的中年男人”. 尽管这里只提供了一个精确信息――男人，而其他 信息――大胡子、高个子、长头发、宽边黑色眼镜、中 年等都是模糊概念，但是你只要将这些模糊概念经过头 脑的综合分析判断，就可以接到这个人. 模糊数学在实际中的应用几乎涉及到国民经济的各 个领域及部门，农业、林业、气象、环境、地质勘探、 医学、经济管理等方面都有模糊数学的广泛而又成功的 应用.
例 设 X ={1, 2, 3, 4}, Y ={ 2, 3, 4}, Z = {1, 2, 3}, R1 是 X 到 Y 的关系, R2 是Y 到 Z 的关系, R1 ={(x, y) | x + y = 6} = {(2,4), (3,3), (4,2)}, R2 ={(x, y) | y – z = 1} = {(2,1), (3,2), (4,3)}, 则R1与 R2的合成
ห้องสมุดไป่ตู้
关系的三大特性： 设R为 X 上的关系 (1) 自反性：若 X 上的任何元素都与自己有 关系R，即R (x , x) =1，则称关系 R 具有自反性； (2) 对称性：对于X 上的任意两个元素 x , y， 若 x 与y 有关系R 时，则 y 与 x 也有关系R，即 若R (x , y ) =1，则R ( y , x ) = 1，那么称关系R具 有对称性； (3) 传递性：对于X上的任意三个元素x, y, z， 若x 与y 有关系R，y 与z 也有关系R 时，则x与z 也有关系R，即若R (x , y ) = 1，R ( y , z ) =1，则 R ( x , z ) = 1，那么称关系R具有传递性.
第1章 模糊集的基本概念
模糊数学是研究和处理模糊性现象的数学方 法. 众所周知，经典数学是以精确性为特征的.
然而，与精确形相悖的模糊性并不完全是消极的、 没有价值的. 甚至可以这样说，有时模糊性比精确性还 要好. 例如,要你某时到某地去迎接一个“大胡子高个子 长头发戴宽边黑色眼镜的中年男人”. 尽管这里只提供了一个精确信息――男人，而其他 信息――大胡子、高个子、长头发、宽边黑色眼镜、中 年等都是模糊概念，但是你只要将这些模糊概念经过头 脑的综合分析判断，就可以接到这个人. 模糊数学在实际中的应用几乎涉及到国民经济的各 个领域及部门，农业、林业、气象、环境、地质勘探、 医学、经济管理等方面都有模糊数学的广泛而又成功的 应用.
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13
1.2 模糊集合与隶属函数(5/5)
目录
§１．3 模糊集合的运算
1.3.2 模糊集合的运算及其性质 由于经典集合是模糊集合的特例，即经典集合的特征函数是一种 特殊的隶属函数，于是，Zadeh由经典集合的特征函数的运算性质出 发，引入模糊集合的运算如下： 定义1.3.2 设 A , B ∈ F ( U ) , 则 定义 ( i ) A ⊆ B iff A(u) ≤ B(u) , ∀u∈U ; (ii ) A = B iff A(u) = B(u) , ∀u∈U ; (iii) A∪B : (A ∪B) (u) = max {A(u), B(u)}= A(u) ∨ B(u), ∀u∈U ; ( v ) A∩B : (A ∩B) (u) = min {A(u), B(u)}= A(u) ∧ B(u), ∀u∈U ; ( vi) A′: A′(u) = 1﹣A(u) , ∀u∈U . 如下图所示:
所谓集合，是指具有某种特定属性的对象集体．设Ｕ 为所讨论对 象的全体，称之为论域．显然，论域Ｕ 是一个集合．论域Ｕ 中的每 个对象 u 称为 Ｕ 的元素．如此定义的集合通常称为Cantor 集合or经 典集合. 设 A 为论域Ｕ上的一个集合，则∀ u∈Ｕ， u∈A or u∉A ，二 者必居且仅居其一．这种关系可用如下二值函数表示之： χ A ：Ｕ → {0，1}， 1， u∈A u → χ A( u ) = 0， u∉A 称 χ A 为集合A的特征函数．反之，给定一个二值函数 χ A ：Ｕ → {0，1}， u → χ A( u ) ． 可唯一确定一个经典集合 A ，即A = { u∈Ｕ， χ A ( u ) = 1} ．
14
1.2 模糊集合与隶属函数(5/5)
目录
例1.3.1 设U ={u1 , u2 , u3 , u4 }时， A,B∈ F( U ) 且 A=(0.8, 0.9, 0.3, 0.6) , B=(0.2, 0.5, 0.6, 0.2) 则 (i) A⊄B且 B ⊄ A, A ≠ B (ii) A∪B =(0.8∨0.2, 0.9∨0.5, 0.3∨0.6, 0.6∨0.2) =(0.8, 0.9, 0.6, 0.6) (iii) A∩B =(0.8∧0.2, 0.9 ∧ 0.5, 0.3 ∧ 0.6, 0.6 ∧ 0.2) =(0.2, 0.5, 0.3, 0.2) (vi) A′ =(1－0.8, 1－ 0.9, 1－ 0.3, 1－ 0.6) =(0.2, 0.1, 0.7, 0.4) 类似于定理1.3.1,模糊集合关于“∪(并), ∩(交), ′(补)” 这三种运算满足定理1.3中的前八条运算,即
模糊集理论及其应用
陈水利
厦门 集美大学 理学院
1
第一章 模糊集合及其运算
1.1 经典集合与特征函数( P3~4) 1.2 模糊集合与隶属函数( P5~11) 1.3 模糊集合的运算( P12~14)
10 3
5
1.4 模糊集合的分解定理与表现定理( P15~24)
15
2
第一章
模糊集合及其运算
§1.1 经典集合与特征函数
表示论域U 上 u1 对于A 的隶属度为0.87 ， u2 对于A 的隶属度为0.75 ， u3 对于A 的隶属度为 A 0.75 A 0.96 ， u4 对于A 的隶属度为0.78 ， u5 对于A 的隶属度为0.56 的模糊集合 。
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(2) 若论域U 为无限集，则 A∈ F ( U ) 可表示为 A (u ) (1 − 2 A =
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1.1 经典集合与特征函数(2/2)
目录
§1.2 模糊集合与隶属函数
1.2.1 模糊集合的定义 为了定量地刻画模糊概念和模糊现象，美国计算机与 控制论专家，California 大学 Buckely 分校Ｌ.Ａ.Ｚadeh 教 授于1965年提出了模糊集合概念，具体定义如下: 定义1.2.1 设Ｕ 为论域，则称由如下实值函数 定义 µA ：Ｕ → [ 0，1 ]， u → µA ( u ) 所确定的集合 A 为Ｕ 上的模糊集合 模糊集合，而称µA 为模糊集合A 模糊集合 的隶属函数 A ( u )称为元素 u 对于A 的隶属度 隶属函数，µ 隶属度。 隶属函数 隶属度
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1.2 模糊集合与隶属函数(5/5)
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§1.3 模糊集合的运算
1.3.1 经典集合的运算及其性质 由于经典集合可由其特征函数唯一确定，故经典集 合的运算可通过特征函数的运算来描述，具体定义如 下： 定义1.3.1 设 A,B ∈ P ( U )，则 定义 ( i ) A ⊆ B iff ∀u∈U , χA(u) ≤ χB(u); ( ii) A = B iff ∀u∈U , χA(u) = χB(u); (iii) A∪B: ∀u∈U , χ A∪B (u) = max {χA(u) ,χB(u)}; (vi) A∩B: ∀u∈U , χ A∩B (u) = min {χA(u) ,χB(u)}; ( v) A′: ∀u∈U, χA′(u) = 1﹣χA(u) . 利用定义1.3.1不难验证，经典集合关于“∪(并), ∩(交), ′(补)”这三种运算具有如下九条基本性质.
{
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1.1 经典集合与特征函数(1/2)
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由此可见，经典集合A 与其特征函数χ A 是 一一对应的． 由于χA 只取0和1两个值，故经典集合A 只 能用来描述界限分明的研究对象，对界限不分 明的对象却无能为力。比如，对“年轻”这个 模糊概念，用经典集合就无法给出合理的描述。 而在自然界和现实生活中，模糊现象是普遍存 在的。因此，必须把经典集合扩充，使之能够 刻划模糊现象和解决模糊性问题。
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1.2 模糊集合与隶属函数(2/5)
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1.2.2 模糊集合的表示方法
1. Zadeh 表示法 (1) 若论域U 为有限集，即U ={u1 , u2 , … , un}，则 A∈ F ( U ) 可表示为 这里 不表示为“分数”，而是表 示 ui 隶属于A 的程度为A( ui ) ； 符号“+”也不表示加号，而是一种联系 符号。
∫
U
u
− 2)
这里“ ”不表示为积分号，而是表示 各个元素与隶 ∫ 属度对应关系的一个总括。 例1.2.2 以年龄作为论域，取U =[0，200]， Zadeh给出 “年轻”这个模糊集合Y 的隶属函数为
Y (u ) = 1 u − 25 2 1 + 5
8
A (u i ) ui
A (u 1 ) A (u 2 ) A (u n ) A = + +L + u1 u2 un
(1 − 2 − 1 )
1.2 模糊集合与隶属函数(3/5)
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例1.2.1 , u5 }，则
0 . 87 0 . 75 0 . 96 0 . 78 0 . 56 A= + + + + u1 u2 u3 u4 u5
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例如: 例如 设A=(0.8, 0.3, 0.7, 0.5), 则A′ =(0.2, 0.7, 0.3, 0.5) A ∪ A′ =(0.8, 0.7, 0.7, 0.5) ≠(1, 1, 1, 1)= U A ∩ A′ =(0.2, 0.3, 0.3, 0.5) ≠(0, 0, 0, 0)= ∅ 由此可见, (F( U ), ∪, ∩, ′ )不构成一个布尔代数,而 , , ) , 是构成一个软代数系统 称之为 软代数系统, 软代数系统 模糊格(Fuzzy Lattice) 模糊格
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目录
定理1.3.2 在(F( U ), ∪, ∩, ′ )中,幂等律、交换律、结 定理 合律、吸收律、分配律、复原律、两极律和De Morgan对 偶律均成立,但排中律不成立. 即 (1) 幂等律：A∪A = A , A∩A = A ; (2) 交换律：A∪B = B∪A , A∩B = B∩A ; (3) 结合律：( A∪B )∪C = A∪( B∪C ), ( A∩B )∩C = A∩( B∩C ); (4) 吸收律：( A∩B )∪B = B , ( A∪B )∩B = B ; (5) 分配律：A∩( B∪C ) = ( A∩B )∪( A∩C ), A∪( B∩C ) = ( A∩B )∪( A∩C ); (6) 复原律： (A′ )′= A ; (7) 两极律： A∪U = U , A∩U = A , A∪∅ = A , A∩∅ = ∅ ; (8) De Morgan律： ( A∪B )′ = A′∩B′ , ( A∩B )′ = A′∪B′. 但是, A∪A′ ≠ U, A∩A′ ≠ ∅
−1
, ,
当 0 ≤ u ≤ 25
; .
2
当 25 < u ≤ 200
用Zadeh表示法就是
u − 25 1 + 1 5 Y =∫ +∫ [0 , 25 ] u [ 25 , 200 ] u
−1
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1.2 模糊集合与隶属函数(4/5)
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1.2.2 模糊集合的表示方法 2. 向量表示法 当论域U ={u1 , u2 , … , un }时， A∈ F ( U ) 也可用 如下向量来表示： A=(A(u1 ) ，A(u2)， …，A( un)) (1-2-3) 例如，例1.2.1中的模糊集合A也可表示为 例如 A=(0.87 ，0.75， 0.96，0.78，0.56) 由于A( ui ) ∈[0,1](i=1，2，…，n )，故称式(1-2-3) 所示的向量为模糊向量 模糊向量。 模糊向量
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若记 P ( U )和 F ( U )分别为 U 上的所有经典 集合和所有模糊集合的全体，则 P ( U ) ⊂ F ( U ). 通常称P ( U )为U 的幂集 幂集， 幂集 模糊幂集。 而称F ( U )为U 的模糊幂集 模糊幂集 由于模糊集合A只能由其隶属函数µA来表达， 故为方便起见，我们将用记号A(u)来代替µA(u) , 即 A(u) ≌ µA(u) 这样，模糊集合与其隶属函数的记号将不加 区分．
1.2 模糊集合与隶属函数(5/5)
目录
§１．3 模糊集合的运算
1.3.2 模糊集合的运算及其性质 由于经典集合是模糊集合的特例，即经典集合的特征函数是一种 特殊的隶属函数，于是，Zadeh由经典集合的特征函数的运算性质出 发，引入模糊集合的运算如下： 定义1.3.2 设 A , B ∈ F ( U ) , 则 定义 ( i ) A ⊆ B iff A(u) ≤ B(u) , ∀u∈U ; (ii ) A = B iff A(u) = B(u) , ∀u∈U ; (iii) A∪B : (A ∪B) (u) = max {A(u), B(u)}= A(u) ∨ B(u), ∀u∈U ; ( v ) A∩B : (A ∩B) (u) = min {A(u), B(u)}= A(u) ∧ B(u), ∀u∈U ; ( vi) A′: A′(u) = 1﹣A(u) , ∀u∈U . 如下图所示:
所谓集合，是指具有某种特定属性的对象集体．设Ｕ 为所讨论对 象的全体，称之为论域．显然，论域Ｕ 是一个集合．论域Ｕ 中的每 个对象 u 称为 Ｕ 的元素．如此定义的集合通常称为Cantor 集合or经 典集合. 设 A 为论域Ｕ上的一个集合，则∀ u∈Ｕ， u∈A or u∉A ，二 者必居且仅居其一．这种关系可用如下二值函数表示之： χ A ：Ｕ → {0，1}， 1， u∈A u → χ A( u ) = 0， u∉A 称 χ A 为集合A的特征函数．反之，给定一个二值函数 χ A ：Ｕ → {0，1}， u → χ A( u ) ． 可唯一确定一个经典集合 A ，即A = { u∈Ｕ， χ A ( u ) = 1} ．
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1.2 模糊集合与隶属函数(5/5)
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例1.3.1 设U ={u1 , u2 , u3 , u4 }时， A,B∈ F( U ) 且 A=(0.8, 0.9, 0.3, 0.6) , B=(0.2, 0.5, 0.6, 0.2) 则 (i) A⊄B且 B ⊄ A, A ≠ B (ii) A∪B =(0.8∨0.2, 0.9∨0.5, 0.3∨0.6, 0.6∨0.2) =(0.8, 0.9, 0.6, 0.6) (iii) A∩B =(0.8∧0.2, 0.9 ∧ 0.5, 0.3 ∧ 0.6, 0.6 ∧ 0.2) =(0.2, 0.5, 0.3, 0.2) (vi) A′ =(1－0.8, 1－ 0.9, 1－ 0.3, 1－ 0.6) =(0.2, 0.1, 0.7, 0.4) 类似于定理1.3.1,模糊集合关于“∪(并), ∩(交), ′(补)” 这三种运算满足定理1.3中的前八条运算,即
模糊集理论及其应用
陈水利
厦门 集美大学 理学院
1
第一章 模糊集合及其运算
1.1 经典集合与特征函数( P3~4) 1.2 模糊集合与隶属函数( P5~11) 1.3 模糊集合的运算( P12~14)
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1.4 模糊集合的分解定理与表现定理( P15~24)
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第一章
模糊集合及其运算
§1.1 经典集合与特征函数
表示论域U 上 u1 对于A 的隶属度为0.87 ， u2 对于A 的隶属度为0.75 ， u3 对于A 的隶属度为 A 0.75 A 0.96 ， u4 对于A 的隶属度为0.78 ， u5 对于A 的隶属度为0.56 的模糊集合 。
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(2) 若论域U 为无限集，则 A∈ F ( U ) 可表示为 A (u ) (1 − 2 A =
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1.1 经典集合与特征函数(2/2)
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§1.2 模糊集合与隶属函数
1.2.1 模糊集合的定义 为了定量地刻画模糊概念和模糊现象，美国计算机与 控制论专家，California 大学 Buckely 分校Ｌ.Ａ.Ｚadeh 教 授于1965年提出了模糊集合概念，具体定义如下: 定义1.2.1 设Ｕ 为论域，则称由如下实值函数 定义 µA ：Ｕ → [ 0，1 ]， u → µA ( u ) 所确定的集合 A 为Ｕ 上的模糊集合 模糊集合，而称µA 为模糊集合A 模糊集合 的隶属函数 A ( u )称为元素 u 对于A 的隶属度 隶属函数，µ 隶属度。 隶属函数 隶属度
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1.2 模糊集合与隶属函数(5/5)
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§1.3 模糊集合的运算
1.3.1 经典集合的运算及其性质 由于经典集合可由其特征函数唯一确定，故经典集 合的运算可通过特征函数的运算来描述，具体定义如 下： 定义1.3.1 设 A,B ∈ P ( U )，则 定义 ( i ) A ⊆ B iff ∀u∈U , χA(u) ≤ χB(u); ( ii) A = B iff ∀u∈U , χA(u) = χB(u); (iii) A∪B: ∀u∈U , χ A∪B (u) = max {χA(u) ,χB(u)}; (vi) A∩B: ∀u∈U , χ A∩B (u) = min {χA(u) ,χB(u)}; ( v) A′: ∀u∈U, χA′(u) = 1﹣χA(u) . 利用定义1.3.1不难验证，经典集合关于“∪(并), ∩(交), ′(补)”这三种运算具有如下九条基本性质.
{
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1.1 经典集合与特征函数(1/2)
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由此可见，经典集合A 与其特征函数χ A 是 一一对应的． 由于χA 只取0和1两个值，故经典集合A 只 能用来描述界限分明的研究对象，对界限不分 明的对象却无能为力。比如，对“年轻”这个 模糊概念，用经典集合就无法给出合理的描述。 而在自然界和现实生活中，模糊现象是普遍存 在的。因此，必须把经典集合扩充，使之能够 刻划模糊现象和解决模糊性问题。
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1.2 模糊集合与隶属函数(2/5)
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1.2.2 模糊集合的表示方法
1. Zadeh 表示法 (1) 若论域U 为有限集，即U ={u1 , u2 , … , un}，则 A∈ F ( U ) 可表示为 这里 不表示为“分数”，而是表 示 ui 隶属于A 的程度为A( ui ) ； 符号“+”也不表示加号，而是一种联系 符号。
∫
U
u
− 2)
这里“ ”不表示为积分号，而是表示 各个元素与隶 ∫ 属度对应关系的一个总括。 例1.2.2 以年龄作为论域，取U =[0，200]， Zadeh给出 “年轻”这个模糊集合Y 的隶属函数为
Y (u ) = 1 u − 25 2 1 + 5
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A (u i ) ui
A (u 1 ) A (u 2 ) A (u n ) A = + +L + u1 u2 un
(1 − 2 − 1 )
1.2 模糊集合与隶属函数(3/5)
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例1.2.1 , u5 }，则
0 . 87 0 . 75 0 . 96 0 . 78 0 . 56 A= + + + + u1 u2 u3 u4 u5
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例如: 例如 设A=(0.8, 0.3, 0.7, 0.5), 则A′ =(0.2, 0.7, 0.3, 0.5) A ∪ A′ =(0.8, 0.7, 0.7, 0.5) ≠(1, 1, 1, 1)= U A ∩ A′ =(0.2, 0.3, 0.3, 0.5) ≠(0, 0, 0, 0)= ∅ 由此可见, (F( U ), ∪, ∩, ′ )不构成一个布尔代数,而 , , ) , 是构成一个软代数系统 称之为 软代数系统, 软代数系统 模糊格(Fuzzy Lattice) 模糊格
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定理1.3.2 在(F( U ), ∪, ∩, ′ )中,幂等律、交换律、结 定理 合律、吸收律、分配律、复原律、两极律和De Morgan对 偶律均成立,但排中律不成立. 即 (1) 幂等律：A∪A = A , A∩A = A ; (2) 交换律：A∪B = B∪A , A∩B = B∩A ; (3) 结合律：( A∪B )∪C = A∪( B∪C ), ( A∩B )∩C = A∩( B∩C ); (4) 吸收律：( A∩B )∪B = B , ( A∪B )∩B = B ; (5) 分配律：A∩( B∪C ) = ( A∩B )∪( A∩C ), A∪( B∩C ) = ( A∩B )∪( A∩C ); (6) 复原律： (A′ )′= A ; (7) 两极律： A∪U = U , A∩U = A , A∪∅ = A , A∩∅ = ∅ ; (8) De Morgan律： ( A∪B )′ = A′∩B′ , ( A∩B )′ = A′∪B′. 但是, A∪A′ ≠ U, A∩A′ ≠ ∅
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, ,
当 0 ≤ u ≤ 25
; .
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当 25 < u ≤ 200
用Zadeh表示法就是
u − 25 1 + 1 5 Y =∫ +∫ [0 , 25 ] u [ 25 , 200 ] u
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1.2 模糊集合与隶属函数(4/5)
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1.2.2 模糊集合的表示方法 2. 向量表示法 当论域U ={u1 , u2 , … , un }时， A∈ F ( U ) 也可用 如下向量来表示： A=(A(u1 ) ，A(u2)， …，A( un)) (1-2-3) 例如，例1.2.1中的模糊集合A也可表示为 例如 A=(0.87 ，0.75， 0.96，0.78，0.56) 由于A( ui ) ∈[0,1](i=1，2，…，n )，故称式(1-2-3) 所示的向量为模糊向量 模糊向量。 模糊向量
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若记 P ( U )和 F ( U )分别为 U 上的所有经典 集合和所有模糊集合的全体，则 P ( U ) ⊂ F ( U ). 通常称P ( U )为U 的幂集 幂集， 幂集 模糊幂集。 而称F ( U )为U 的模糊幂集 模糊幂集 由于模糊集合A只能由其隶属函数µA来表达， 故为方便起见，我们将用记号A(u)来代替µA(u) , 即 A(u) ≌ µA(u) 这样，模糊集合与其隶属函数的记号将不加 区分．