长春市2020届高三质量监测(一)理科数学试题(含答案)

理科数学试题第1页（共4页）长春市2020届高三质量监测（一）理科数学本试卷共4页.考试结束后，将答题卡交回.注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区.2.选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效.4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|||2}A x x =≥，2{|30}B x x x =->，=B A 则A.φB.{|32}x x x >-或≤C.{|30}x x x ><或D.{|31}x x x ><或2.复数252z i i =+的共轭复数z 在复平面上对应的点在A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知31()3a =，133b =，13log 3c =，则A.c b a << B.a b c << C.b a c << D.a c b <<4.已知直线0x y +=与圆22(1)()2x y b -+-=相切，则b =A.3- B.1 C.3-或1 D.525.2019年是新中国成立七十周年，新中国成立以来，我国文化事业得到了充分发展，尤其是党的十八大以来，文化事业发展更加迅速，下图是从2013年到2018年六年间我国公共图书馆业机构数（个）与对应年份编号的散点图（为便于计算，将2013年编号为1，2014年编号为2 (2018)年编号为6，把每年的公共图书馆业机构个数作为因变量，把年份编号从1到6作为自变量进行回归分析），得到回归直线 13.7433095.7y x =+，其相关指数9817.02=R ，给出下列结论，其中正确的个数是①公共图书馆业机构数与年份的正相关性较强②公共图书馆业机构数平均每年增加13.743个③可预测2019年公共图书馆业机构数约为3192个A.0 B.1 C.2D.3理科数学试题第2页（共4页）6.中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴.一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为1S ，圆面中剩余部分的面积为2S ，当1S 与2S 的比值为215-时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为A.(35)π- B.π)15(- C.π)15(+ D.π)25(-7.已知,,a b c 为直线，,,αβγ平面，则下列说法正确的是①,,//a b a b αα⊥⊥则；②,,αγβγαβ⊥⊥⊥则；③//,//,//a b a b αα则；④//,//,//αγβγαβ则.A.①②③ B.②③④C.①③D.①④8.已知数列{}n a 为等比数列，n S 为等差数列{}n b 的前n 项和，且21a =，1016a =，66a b =，则11S =A.44B.-44C.88D.-889.把函数()y f x =图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到2sin()y x ωϕ=+（0ω>，2πϕ<）的图象（部分图象如图所示），则)(x f y =的解析式为A.)62sin(2)(π+=x x f B.)6sin(2)(π+=x x f C.)64sin(2)(π+=x x f D.)6sin(2)(π-=x x f 10.已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且满足(2)()0f x f x ++=，当[2,0]x ∈-时，2()2f x x x =--，则当[4,6]x ∈时，()y f x =的最小值为A.8-B.1-C.0D.111.已知椭圆22143x y +=的右焦点F 是抛物线22y px =（0p >）的焦点，则过F 做倾斜角为60 的直线分别交抛物线于,A B （A 在x 轴上方）两点，则||||AF BF 的值为A.3 B.2 C.3 D.412.已知函数12)2()(--=x e x x x f ，若当1,()10x f x mx m >-++≤时有解，则m 的取值范围为A.1m ≤B.1m <-C.1m >-D.1m ≥x y 12o 1112π理科数学试题第3页（共4页）二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13.381(2)x x -展开式中常数项为___________.14.边长为2正三角形ABC 中，点P 满足1()3AP AB AC =+ ，则BP BC ⋅= _________.15.平行四边形ABCD 中，ABD △是腰长为2的等腰直角三角形，90ABD ∠= ，现将ABD △沿BD 折起，使二面角A BD C --大小为23π，若,,,A B C D 四点在同一球面上，则该球的表面积为________.16.已知数列{}n a 的前项n 和为n S ，满足nn a a a n n 22,21211+=+-=+且（n *∈N ），则2n S =__________，=n a __________.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22~23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.（本小题满分12分）ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，tan ()a b A a b =>.（Ⅰ）求证：ABC ∆是直角三角形；（Ⅱ）若10=c ，求ABC ∆的周长的取值范围.18.（本小题满分12分）如图，在四棱锥ABCD P -中，PA ⊥底面ABCD ，//AB CD ，AD DC ⊥，22AB AD DC ===，E 为PB 中点.（Ⅰ）求证：//CE 平面PAD ；（Ⅱ）若4PA =，求平面CDE 与平面ABCD 所成锐二面角的大小.19.（本小题满分12分）某次数学测验共有10道选择题，每道题共有四个选项，且其中只有一个选项是正确的，评分标准规定：每选对1道题得5分；不选或选错得0分.某考生每道题都选并能确定其中有6道题能选对，其余4道题无法确定正确选项，但这4道题中有2道题能排除两个错误选项，另2道只能排除一个错误选项，于是该生做这4道题时每道题都从不能排除的选项中随机选一个选项作答，且各题作答互不影响．（Ⅰ）求该考生本次测验选择题得50分的概率；（Ⅱ）求该考生本次测验选择题所得分数的分布列和数学期望.20.（本小题满分12分）已知点)0,1(),0,1(N M -若点),(y x P 满足||||4PM PN +=.（Ⅰ）求点P 的轨迹方程；（Ⅱ）过点)0,3(-Q 的直线l 与（Ⅰ）中曲线相交于B A ,两点，O 为坐标原点，求AOB ∆面积的最大值及此时直线l 的方程.理科数学试题第4页（共4页）21.（本小题满分12分）已知函数3()(1)ln ,()ln f x x x g x x x e=-=--（Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间；（Ⅱ）令()()()h x mf x g x =+（0m >）两个零点12,x x （12x x <），证明：121x e x e+>+.（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分.22.（本小题满分10分）选修4-4坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为1,222x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的C 极坐标方程为3cos 42=-θρρ.（Ⅰ）求直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；（Ⅱ）直线l 与圆C 交于B A ,两点，点)2,1(P ，求||||PA PB ⋅的值.23.（本小题满分10分）选修4-5不等式选讲已知函数()|3||1|f x x x =+--.（Ⅰ）解关于x 的不等式()1f x x +≥；（Ⅱ）若函数)(x f 的最大值为M ，设0,0>>b a ，且M b a =++)1)(1(，求b a +的最小值.数学（理科）试题参考答案及评分标准第1页（共4页）长春市2020届高三质量监测（一）数学（理科）试题参考答案及评分参考一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.B2.C3.C4.C5.D6.A7.D8.A9.C 10.B 11.C 12.C二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，16题第一空2分，第二空3分，共20分）13.11214.215.20π16.221n n +，1(1)(1)n n n -++三、解答题17.(本小题满分12分)【命题意图】本题考查三角函数的相关知识，特别是三角函数中的取值范围问题.【试题解析】解：（Ⅰ）由题可知sin sin sin cos A A B A =⋅，即sin cos B A =，由a b >，可得2A B π+=，即ABC △是直角三角形.（6分）（Ⅱ）ABC ∆的周长1010sin 10cos L A A =++，10)4L A π=++，由a b >可知，42A ππ<<，因此sin()124A π<+<，即2010S <<+.（12分）18.(本小题满分12分)【命题意图】本题考查立体几何相关知识.【试题解析】解：（Ⅰ）取PA 中点M ，连结EM 、DM ，//////EM CD CE DM CE PAD EM CD DM PAD ⎫⎫⇒⎬⎪⇒=⎬⎭⎪ ⊂⎭平面平面.（6分）（Ⅱ）以A 为原点，以AD 方面为x 轴，以AB 方向为y 轴，以AP 方向为z 轴，建立坐标系.可得(2,0,0)D ，(2,1,0)C ，(0,0,4)P ，(0,2,0)B ，(0,1,2)E ，(0,1,0)CD =- ，(2,0,2)CE =- ，平面CDE 的法向量为1(1,0,1)n = ；平面ABCD 的法向量为2(0,0,1)n = ；因此1212||2cos ||||2n n n n θ⋅==⋅ .即平面CDE 与平面ABCD 所成的锐二面角为4π.（12分）数学（理科）试题参考答案及评分标准第2页（共4页）19.(本小题满分12分)【命题意图】本题考查概率的相关知识.【试题解析】解：（Ⅰ）该考生本次测验选择题得50分即为将其余4道题无法确定正确选项的题目全部答对，其概率为11111(50)223336P X ==⋅⋅⋅=.（4分）（Ⅱ）设该考生本次测验选择题所得分数为X ，则X 的可能取值为30，35，40，45，50.11224(30)223336P X ==⋅⋅⋅=112211221112112112(35)223322332233223336P X ==⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅⋅⋅=11221112112111121121111113(40)22332233223322332233223336P X ==⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=11111111112111126(45)223322332233223336P X ==⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅=11111(50)223336P X ==⋅⋅⋅=该考生本次测验选择题所得分数为X 的分布列为X 3035404550P 43612361336636136选择题所得分数为X 的数学期望为1153EX =.（12分）20.(本小题满分12分)【命题意图】本小题考查圆锥曲线中的最值问题等知识.【试题解析】解：（Ⅰ）由定义法可得，P点的轨迹为椭圆且24a =，1c =.因此椭圆的方程为22143x y +=.（4分）（Ⅱ）设直线l 的方程为x ty =-与椭圆22143x y +=交于点11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立直线与椭圆的方程消去x 可得22(34)30t y +--=，即12234y y t +=+，122334y y t -=+.AOB ∆面积可表示为1211||||22AOB S OQy y=⋅-=△2216223434t t =⋅=++u =，则1u ≥，上式可化为26633u u u u=++≤，数学（理科）试题参考答案及评分标准第3页（共4页）当且仅当u =，即63t =±时等号成立，因此AOB ∆，此时直线l的方程为63x y =±-.（12分）21.(本小题满分12分)【命题意图】本小题考查函数与导数的相关知识.【试题解析】解：（Ⅰ）由题可知1()ln 1f x x x '=+-，()f x '单调递增，且(1)0f '=，当01x <<时，()0f x '<，当1x ≥时，()0f x '≥；因此()f x 在(0,1)上单调递减，在[1,)+∞上单调递增.（4分）（Ⅱ）由3()(1)ln ln h x m x x x x e =-+--有两个零点可知由11()(1ln )1h x m x x x'=+-+-且0m >可知，当01x <<时，()0h x '<，当1x ≥时，()0h x '≥；即()h x 的最小值为3(1)10h e =-<，因此当1x e =时，1113(1)2((1)(1)(1)0m e e h m e e e e e -+-=--+---=>，可知()h x 在1(,1)e 上存在一个零点；当x e =时，3()(1)10h e m e e e=-+-->，可知()h x 在(1,)e 上也存在一个零点；因此211x x e e -<-，即121x e x e+>+.（12分）22.(本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查极坐标与参数方程的相关知识.【试题解析】解：（Ⅰ）直线l 的普通方程为30x y +-=，圆C 的直角坐标方程为22430x y x +--=.（5分）（Ⅱ）联立直线l 的参数方程与圆C 的直角坐标方程可得22222(1)(2)4(1)30222t -++---=，化简可得220t +-=.则12||||||2PA PB t t ⋅==.（10分）数学（理科）试题参考答案及评分标准第4页（共4页）23.(本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识.【试题解析】（Ⅰ）由题意(3)(1),34,3()(3)(1),3122,31(3)(1),14,1x x x x f x x x x x x x x x x ---- <-- <-⎧⎧⎪⎪=+-- - =+ -⎨⎨⎪⎪+-- > >⎩⎩≤≤≤≤当3x <-时，41x -+≥，可得5x -≤，即5x -≤.当31x -≤≤时，221x x ++≥，可得1x -≥，即11x -≤≤.当1x >时，41x +≥，可得3x ≤，即13x <≤.综上，不等式()1f x x +≥的解集为(,5][1,3]-∞-- .（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可得函数)(x f 的最大值4M =，且14ab a b +++=，即23()()2a b a b ab +-+=≤，当且仅当a b =时“=”成立，可得2(2)16a b ++≥，即2a b +≥，因此b a +的最小值为2.（10分）。